A Lei de Mitscherlich e a Análise da Varidncia em Experiências de Adubação

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1 A Lei de Mitscherlich e a Análise da Varidncia em Experiências de Adubação FREDERICO PIMENTEL GOMES Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Universidade de São Paulo ÍNDICE 1 Introdução A Correlação Linear e a Análise da Variância O Caso da Correlação não Linear Uma Digressão Interessante Conclusões Agradecimento Bibliografia Citada 368

2 1 INTRODUÇÃO A análise da variância em certos casos é perturbada pela existência da correlação. Tal se dá, por exemplo, quando se experimentam doses diferentes de um mesmo adubo. Neste caso, é preciso levar em conta a correlação, sem o que a análise da variância pode conduzir a resultados falsos. Em geral se supõe que a regressão é linear. Em experiências de adubação, porém, é freqüente o caso da existência de regressão não linear, geralmente do tipo exponencial introduzido por Mitscherlich. Este trabalho tem por fim especial estudar a análise da variância nesse caso. 2 A CORRELAÇÃO LINEAR E A ANÁLISE DA VARIÂNCIA Consideremos os seguintes dados (fictícios) onde se supõem 5 tratamentos e 4 repetições. Os valores de x são as doses de adubo usadas e os 2 y são os totais de cada tratamento. Uma análise da variância segundo o esquema corrente nos daria : O valor de ú será insignificante.

3 O fato de não levarmos em conta a correlação nos levaria a esse resultado em desacordo com a realidade e equipararia os dados em apreço, onde é evidente a influência da adubação, aos seguintes, por exemplo, onde tal influência não aparece. Consideremos, porém, a correlação e vamos obter r =' 0,65, significativo. A equação de regressão é y =. 0,2x + 0,4, com a qual calculamos as médias esperadas. A soma dos quadrados dos desvios entre as médias esperadas e as observadas dá 0,025, número que multiplicamos por 4 (n. de repetições). A soma dos quadrados dos desvios relativos aos tratamentos se decompõe, então, em duas partes :

4 Temos agora í> = 1/ : = 3,38, significativo. 0,14 O cálculo numérico poderia ser feito de maneira mais simples (1, pp ), mas a marcha seguidaé mais conveniente para a compreensão do que se segue. Como exemplo objetivo, damos a seguir a análise dos dados de uma experiência de adubação fosfatada de milho, realizada em Campinas pelo Engenheiro-Agrônomo Glauco Pinto Viegas. Cada linha horizontal reptesenta um bloco Os dados se referem à produção em quilos por. canteiro de 30m2. O x está expresso em quintais métricos de P205 por hectare sob a forma de superfosfatp. Além da^ adubação.fosfatada,, fez-se também uma adubação geral de W kg/ha de N sob a forma de salitre do Chile e 45 kg/ha de K20 sob a forma de KC1. Temos a seguinte análise da variância, onde não isolamos a parte da variação devida aos blocos por não haver vantagem neste caso, devido à uniformidade notável d,os mesmos.

5 Os limites da tabela de ú (2, p. 523) são: l%o....' 2,87, 1% 2,21, 5% 1,75. Logo o valor obtido é significativo para 1%, mas não para l%o. A consideração da correlação nos dá, porém, r = 0,72, significativo. E a equação de regressão é y = 2,02x + 2,76. A soma dos quadrados dos desvios devidos aos tratamentos x se decompõe como se segue : Temos agora Este valor de ú é superior ao limite de l%o, que é 4,05. Fica evidente, pois, a vantagem do isolamento da parcela correspondente à correlação. 3 0 CASO DA CORRELAÇÃO NAO LINEAR No caso de uma correlação não linear como, por exemplo, a que obedece à lei de Mitscherlich, torna-se, agora, evidente, a necessidade de uma análise da variância que leve em conta esse fato. Utilizando os dados observados e com o auxílio das fórmulas já conhecidas (3, pp ) podemos calcular os parâmetros da função de Mitscherlich

6 y = A [1 10 c (x 4- b) ] por meio do método dos quadrados mínimos ou do método dos momentos. Torna-se possível, então, calcular os valores esperados e, a seguir, decompor a soma dos quadrados dos desvios relativos aos tratamentos em duas partes, uma devida à regressão e outra relativa aos desvios a partir da curva de regressão. Suponhamos um caso de 5 doses diferentes de um mesmo fertilizante e 4 repetições. A soma dos quadrados dos desvios atribuídos aos tratamentos é : de cada tratamento» Seja y^ o valor esperado de acordo com a equação de regressão.temos então: Mas, quer no caso do método dos quadrados mínimos, quer no do método dos momentos, o segundo membro da última igualdade é nulo. Logo temos:

7 5 5 (3.D 20.,1 r v- i 8 C > = jy i U[l-10- (^Í}.[^- (^ ], 1*1 No caso do método dos quadrados mínimos à última expressão se anula (3, p. 201). Logo neste caso temos: Fica, assim, a soma dos quadrados dos desvios das médias parciais dos tratamentos repartida em duas parcelas, uma correspondente aos desvios das médias esperadas em relação à mér dia geral, outra relativa aos desvios entre os valores observados e os valores esperados. Quando se aplica o método dos momentos, porém, nada nos garante que a somatória de (3,1) se anule. Logo a igualdade expressa em (3,2) não se verifica necessariamente e a decomposição por ela indicada é falha. Vejamos um exemplo. Os dados seguintes se referem a uma experiência de adubação de milho realizada em Ipanema pelos Engenheiros-Agrônomos Glauco Pinto Yiegas e Erik Smith, segundo o esquema adotada para a experiência que vimos atrás. A análise da variância nos conduziu aos resultados seguintes, onde não se isolou a variação atribuída aos blocos por serem estes muito uniformes, como o leitor poderá verificar.

8 Se procurarmos o coeficiente de correlação, acharemos r = 0,688, significativo. No entanto a correlação linear dá apenas uma aproximação muito grosseira, como mostram os dados e a análise que se seguem.

9 significativo. Porém os desvios a partir dos valores esperados nos dão uma nova estimativa da variância, que não deve diferir significativamente da que nos dá o resíduo. No entanto temos significativo, o que nos mostra que a correlação linear é, neste caso, pouco satisfatória. Aliás, o gráfico anexo confirma o que aí fica dito. O gráfico acima representa a reta de regressão calculada, bem como a curva de Mitscherlich interpolada pelo método dos quadrados mínimos, e ainda os valores observados, que estão indicados por pontos.

10 O método dos quadrados mínimos aplicado à lei de Mitscherlich nos dá, porém, para equação de regressão y== 9,436 [ J 10 5,590 (x + 0,0527) ], com a qual calculamos os valores esperados que figuram no quadro seguinte Método dos quadrados mínimos A análise da variância nos dá então o seguinte quadro. A soma 71, ,2621 difere um pouco do total dos tratamentos 72,2199 devido aos pequenos desvios inerentes às aproximações feitas. Temos agora significativo,, não significativo

11 A análise da variância nos mostra, pois, que a correlação obedece muito bem à lei de Mitscherlich. Se quizéssemos isolar a influência da variação entre blocos, teriamos o quadro a seguir. Como já dissemos, isso não convém neste caso, mas em geral é vantajoso. A validez de (3,2) é um bom argumento a favor do método dos quadrados mínimos. Além disso a interpolação por esse método nos dá a melhor concordância possível entre os valores esperados e os observados e, se admitirmos que seja normal a distribuição dos desvios entre esses valores, êle é equivalente à determinação dos parâmetros pelo método da máxima verossimilhança ("maximum likelihood") (4, 2 o. vol., p. 59). O método dos momentos, porém, conduz a uma equação muito mais simples. Por exemplo no caso em estudo o método dos quadrados mínimos nos dá uma equação do quarto grau em z = 10 0,25c, ao passo que o método dos quadrados mínimos nos leva, depois de operações muito mais laboriosas, e uma e- quação do décimo grau. E' possível, portanto, que muitos dêem preferência ao método dos momentos que, no exemplo em estudo, nos conduz à equação y = 9,553 [ \ 10 3,470 (x + 0,086) ] Com esta equação obtivemos os valores esperados do quadro seguinte.

12 Método dos momentos Para avaliar o grau de concordância da curva calculada podemos obter a soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados e os esperados ^ z (yj yj) 2 - Esta soma, multiplicada pelo número de repetições e dividida pelo grau de liberdade, nos dá uma estimativa da variância, que não deverá diferir significativamente da que se obtém do resíduo. Np exemplo em estudo temos Logo 4 E (yj - yj)2 = não significativo. A interpolação é, portanto, satisfatória. 4 UMA DIGRESSÃO INTERESSANTE Em um trabalho anterior (5, pp. 7-9) apresentamos uma fórmula para o cálculo da adubação economicamente aconselhável. Tal fórmula era

13 log f t 0,4343.= log A c (x + b), s c onde x é a dose de adubo a ser usada, A, b, c são os parâmetros da equação de Mitscherlich, t é o preço de um quintal métrico de adubo, s é o preço de igual quantidade do produto agrícola obtido, e / é um fator maior que um. A aplicação dessa fórmula aos dados em estudo, suposto o preço de 750 cruzeiros por quintal-métrico de P205 e de 100 cruzeiros por quintal de milho e ainda tomando-se f 1,5, nos dá x = 0,132 no caso do método dos quadrados mínimos. Conclui-se, então, que a adubação mais aconselhável seria a de cerca de 13 quilos de P205 por hectare, isto é, uns 72 quilos de superfosfato com 18% de P205 por hectare. Esta adubação é evidentemente pobre. Isso se deve aos seguintes fatores: I. Elevááò preço dò adubo; II. Baixo preço do milho; III. Valor elevado de c. Com efeito o valor de c obtido, corresponde, se referido a quintais-métricos de milho por hectare, a 1,677, quando Mitscherlich obtinhá em média, na Alemanha, 0,60 e CROWTHER (6, p. 96) conseguia na Grã-Bretanha um valor correspondente a 0,64. Porém SARAIVA (7, p. 26) obteve no Rio de Janeiro um valor de c que, reduzido às unidades usadas por Mitscherlich, corresponde a 1,532, valor que pouco difere do que agora indicamos. O método dos momentos nos dá para dose mais aconselhável de adubo x = 0,152, isto é, cerca de 15 quilos de P205 por hectare. 5 CONCLUSÕES.A análise da variância pode ser utilizada com vantagens no estudo das experiências de adubação com o auxilio da lei de Mitscherlich. Ela nos permite avaliar a precisão da concordância entre os valores esperados e os observados e verificar se há ou hão vantagem e conveniência na aplicação daquela lei. Uma vez obtida uma concordância razoável, podem-se tirar conclu-

14 soes bem fundadas sobre a adubação economicamente mais a- conselhável. Ao contrário a aplicação indiscriminada da lei de Mitscherlich, como de qualquer processo interpolatório, sem os cuidados necessários, é suspeita. 6 AGRADECIMENTO Agradecemos as indicações do Prof. W. L. Stevens que, além de examinar a nossa sugestão sôbre a análise da variân cia no caso de aplicação da lei de Mitscherlich, ainda nos deu conhecimento do importante e moderno trabalho de CROW THER (6). Agradecemos também cordialmente o auxílio do Engenheiro-Agrônomo Izaías Rangel Nogueira, Assistente de Matemática da E. S. A. "Luiz de Queiroz", nos laboriosos cálculos realizados, e a colaboração de minha esposa no tedioso trabalho datilográfico. E finalmente, "last but not least", ficamos gratos ao Engenheiro-Agrônomo Glauco Pinto Viegas pelos dados que gentilmente nos forneceu. 7 BIBLIOGRAFIA CITADA 1 WISHART, J. e H. G. Sanders "Princípios e Prática de Experimentação de Campo". Tradução de G. P. Viegas. S. Paulo. 2 BRIEGER, F. G. "Limites Unilaterais e Bilaterais na Análise Estatística". Bragantia 6, pp , Campinas. 3 PIMENTEL GOMES, Frederico e Eurípedes Malavolta "Aspectos Matemáticos e Estatísticos da Lei de Mitscherlich". Anais da Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", vol. 6, (1949), pp Piracicaba. 4 KENDALL, Maurice G. "The Advanced Theory of Statistics". 3a. edição, Londres. 5 PIMENTEL GOMES, Frederico e Eurípedes Malavolta "Considerações Matemáticas sôbre a Lei de Mitscherlich" Piracicaba 6 CROWTHER, E. M. e F. Yates "Fertilizer Policy in War Time : The Fertilizer Requirements of Arable Crops". The Empire Journal of Experimental Agriculture, vol. IX, 1941, pp Oxford. 7 SARAIVA, Mario, Admar Lopes da Cruz e Carlos del Negro "Contribuição para o Estudo dos Methodos de Mitscherlich, Wiessmann e Neubauer" Rio de Janeiro.