Simulação Realista de Tecidos

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1 Simulação Realista de Tecidos Leando P. Monteio Shin-Ting Wu Univesidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenhaia Elética e Computação, Basil (a) (b) (c) Figua : (a) bandeia hasteada, (b) poltona cobeta, (c) pano amassado. Resumo A cescente busca pelo ealismo nos jogos tem levado à integação da simulação de tecidos paa faze os movimentos de vestuáios, sobe um pesonagem animado, mais póximos da nossa pecepção usual. Este atigo objetiva apesenta a eficácia de um paadigma geometicamente exato, fundamentado na teoia de supefície de Cosseat Elástica, paa simulação de tecidos, descevendo uma implementação com integação tempoal explícita, de baixo custo computacional. Dessa foma, nossa implementação do modelo defomável esulta em compotamentos físicos convincentes, mesmo usando integações tempoais simples, como as integações Eule ou Velet. Palavas-chaves: modelagem e animação de tecidos, modelagem embasada fisicamente, simulação de tecidos Contato dos autoes: {lpm,ting}@dca.fee.unicamp.b. Intodução Os jogos e os pincipais pogamas paa a constução de cenas D, como DMax e Maya, têm se beneficiado de modelos embasados na Física paa gea cenáios impessionantes. Boa pate do notável cescimento no ealismo dos jogos deve-se à gande utilização de modelos físicos dinâmicos. Ao invés da geometia estática dos jogos antigos, é possível nota, nos atuais, que os objetos se compotam ealisticamente diante de divesos tipos de foça, como a gavidade e a esposta aos impactos com outos objetos. Muitos destes avanços estão elacionados dietamente com as novas tecnologias de placas gáficas, que sugem cada vez mais velozes ealizando cálculos complexos dietamente na GPU [Kolb e Cuntz 5]. Uma das fonteias das simulações físicas é a simulação de tecidos, da qual se espea a modelagem de tecidos em tempo eal com um alto gau de ealismo. Tais simulações são necessáias paa modela ao longo de um jogo, po exemplo, as oupas de pesonagens computadoizados em movimento ou uma bandeia hasteada ondulando. Há pouco tempo atás a simulação de tecidos nos jogos estava estita às cenas pé-pocessadas. Um dos pimeios jogos que incopoou algumas técnicas simples de simulação em tempo eal de tecidos foi Hitman: Code Name 7 (IO Inteactive, ), o qual utilizava o modelo poposto po Jakobsen [] paa simula defomações de casacos e capas, poém de foma pouco convincente. Atualmente, a tendência são os jogos massivos multi-jogado (MMOG ), capazes de conecta centenas de jogadoes que inteagem ente si em um mesmo mapa. Dessa foma, a velocidade no cálculo e ecebimento de cada quado necessita se altíssima, o que muitas vezes desencoaja o pojetista do jogo a inclui uma simulação de tecidos mais ealista paa não deteioa a jogabilidade e a escalabilidade. A dificuldade em modela um tecido eside no seu peculia compotamento, o qual é se muito pemissivo à vaiação de cuvatua e estitivo à vaiação de áea. Com a exceção dos tecidos feitos de elastano, que possuem uma vaiação de áea maio, os demais apesentam, sob defomações azoáveis, uma mudança de tamanho quase impeceptível. Um tecido é uma estutua complexa composta de fios, entelaçados em um deteminado padão. Os fios são feitos de fibas, natuais como a lã e o algodão ou sintéticas como o elastano e o couo, que deteminam o mateial do tecido. A sua massa e o seu compotamento estão dietamente elacionados ao mateial, à composição, ao padão de entelaçamento e ao tatamento de seus fios. Devido a essa divesidade de paâmetos a modelagem de um tecido pode se feita de muitas fomas. Existem tês metas elacionadas à simulação Massive Multiplaye Online Games

2 de tecidos que são colocadas em pimeio plano dependendo da finalidade da aplicação: o ealismo, em animações, como filmes, desenhos e popagandas; a eficiência, elevante nos jogos em geal, pois de nada adianta um jogo ealista se sua inteatividade fica pejudicada po algum método custoso que, na pática, seve apenas paa lhe da um maio adeeço; e a pecisão física, impotante paa análise e simulação do compotamento de tecidos nas aplicações da Engenhaia Têxtil. Os modelos embasados na Física são econhecidos po seem os mais pomissoes paa poduzi uma apaência natual do movimento de tecidos. Um tecido é epesentado como uma supefície defomável cuja dinâmica é govenada pela equação difeencial pacial de equilíbio em cada um de seus pontos [Tezopoulos et al. 987] δ ε ( ) µ + γ + f (, t), () t t δ na qual µ é a densidade de massa elacionada a enegia dinâmica, γ é a densidade de amotecimento que eduz a enegia cinética, f(, t) epesenta a contibuição total das foças extenas em em um dado instante t, e o temo δε()/δ coesponde à enegia intena acumulada na supefície. É no último temo, efeente à enegia intena, que se difeenciam duas abodagens dento dos modelos físicos: a mecânica de patículas e a mecânica de contínuo. A mecânica de patículas considea cada elemento isoladamente, em um conjunto disceto, apoximando a enegia intena de cada ponto pelas tensões ente as patículas vizinhas [Been et al. 99]. Já a mecânica de contínuo considea um conjunto contínuo e estabelece, paa cada ponto da supefície, uma enegia intena em função dos paâmetos da geometia difeencial [Tezopoulos et al. 987]. Ambas abodagens buscam soluciona um mesmo poblema, que é o de enconta de foma pecisa e estável, a pati de um instante t, as novas posições dos pontos que epesentam o tecido, depois de um instante t + t, no qual t é o chamado passo de tempo. Esta integação tempoal coesponde à dinâmica dos tecidos e consiste na esolução da equação (), com o veto sendo a incógnita. Há tês paadigmas distintos paa faze isso, os quais se difeem ente si pela pecisão, pela estabilidade e pela eficiência: explícito, semi-implícito e implícito. A integação implícita, sob o ponto de vista teóico, é a mais coeta poque intega os dois lados da equação () em elação ao tempo e o sistema deve se esolvido pela solução das duas integais, levando-se em consideação os novos dados da mesma iteação, como as foças esultantes e os elementos efeentes às pates cinemática e dinâmica. Já a integação explícita isola o veto na equação () e enconta as novas posições com base em todos os dados da iteação anteio. Po fim, a integação semi-implícita seia uma mistua das duas, pois utiliza pate dos dados da iteação anteio e pate da atual, fomulando estes últimos paa seem encontados na mesma iteação dos novos pontos. A integação semi-implícita, po mescla a pecisão e estabilidade do esquema implícito com a eficiência do explícito, junto com a mecânica de patículas, mais especificamente o modelo massa-mola, fomam a tendência atual da simulação de tecidos [Baaff et al. ; Bidson et al. ]. Nossa poposta visa uma nova abodagem que una a mecânica de contínuo com a integação explícita. Com isso, aceditamos que a pecisão peseguida pelas integações implícitas e semi-implícitas seá encontada na fomulação geometicamente exata da supefície de Cosseat Elástica, enquanto a integação explícita popocionaá a eficiência necessáia paa os jogos. Assim, na seção são citados os tabalhos elacionados com o intuito de aloca nosso tabalho em uma lacuna existente na liteatua. A seção apesenta o modelo de supefície defomável [Wu e Melo ] utilizado como base deste tabalho, e sua discetização espacial e tempoal. Os poblemas e as limitações deste modelo, bem como as espectivas soluções popostas, como a integação explícita, seão o tema da seção. Na seção 5 são mostados e analisados os esultados obtidos paa, po fim, tece conclusões e futuos desdobamentos na seção 6.. Tabalhos Relacionados Um dos pimeios tabalhos da mecânica de contínuo petence a Feynman [986], no qual ele encontava a foça intena da supefície minimizando as enegias de tensão e cuvatua. Neste tabalho pecuso, ele utilizava a integação tempoal implícita com um método de elaxação. Pouco depois sugiu o tabalho de Tezopoulos et al. [987], que também utilizava a mecânica de contínuo, poém baseava seu modelo na teoia da elasticidade, fazendo com que a foça intena fosse apoximada pelas vaiações das medidas geométicas ao longo do tempo elacionadas aos coeficientes elásticos da supefície. Neste tabalho ele utilizou uma integação tempoal semi-implícita com o método dos gadientes conjugados, conseguindo uma significativa contibuição paa a áea na época, poém o modelo apesentava muitos poblemas devido a uma consideação equivocada na enegia intena e uma estimativa uim paa o veto nomal. Foi então que sugiu o tabalho de Wu e Melo [; Melo ] que, fundamentado em um caso paticula da teoia de supefície de Cosseat Elástica, conseguiu uma melho estimativa paa o veto nomal e paa a enegia intena. Este tabalho adotou o mesmo esquema de integação tempoal semi-implícita poposto po Tezopoulos et al. [987].

3 No outo amo, da mecânica de patículas, o tabalho pecuso é de Haumann [987], que desenvolveu o pimeio modelo massa-mola paa modela a dinâmica de uma supefície defomável, utilizando a integação tempoal explícita. Neste modelo cada nó da supefície é conectado ao seu vizinho po uma mola e os coeficientes destas deteminam a enegia intena. Depois deste tabalho Been et al. [99] desenvolveam um tabalho oiginal, sem usa o modelo massa-mola, que contabilizava a foça intena da supefície como um somatóio de tês tipos de enegia baseadas nas distâncias e nos ângulos ente as patículas adjacentes. Eles também utilizaam a integação explícita. Po fim, Povot [995] constuiu um modelo massa-mola estendido em elação ao de Haumann usando tês tipos de mola ente patículas vizinhas em uma vizinhança de nós adjacentes, esolvendo alguns poblemas encontados na época, como o da supeelasticidade. Este modelo também utilizava a integação explícita e foi amplamente difundido po sua simplicidade e eficiência, apesa de efeitos ainda aquém de seem convincentes. A pati desse ponto, os autoes começaam a intega as vantagens da mecânica de patículas, mais especificamente do modelo massa-mola, com uma integação tempoal pecisa, como a implícita e semiimplícita. Um tabalho amplamente conhecido é o de Baaff e Witkin [998], no qual utilizaam a modelagem de Povot junto com uma integação tempoal implícita, que esultou em simulações elativamente ápidas paa a época e ainda com um passo de tempo maio do que os utilizados até então. Na mesma linha, mas utilizando uma integação tempoal semi-implícita, pode-se cita Bidson et al. [Bidson et al. ; Bidson et al. ], os quais isolaam a dinâmica dos tecidos e elaboaam, sobe ela, um algoitmo de detecção, tatamento e esposta a colisões muito eficiente. Nesta integação ea usado um esquema explícito paa enconta foças intenas e implícito paa as dissipadoas. O último tabalho deste campo e bastante atual, petence mais uma vez a Baaff et al. [], no qual utilizando seu modelo anteio desenvolve algumas técnicas paa desembaaça vestuáios, colhendo esultados bem convincentes. Os tabalhos que tentaam aplica essas técnicas em tempo eal sugiam impulsionados pelo tabalho de Baaff e Witkin [998], pois com um passo de tempo maio podiam-se te menos iteações, as quais eam custosas, ente um instante e outo da simulação em tempo eal. O tabalho de Desbun et al. [999] visava se uma solução em tempo eal, pois se tatava de Realidade Vitual, poém não tinha o apelo da eficiência como nos jogos. O tabalho de Oshita e Makinouchi [] utilizava um modelo massa-mola de poucos vétices com um algoitmo paa efina e tiangula as faces da supefície e, e junto com a integação semi-implícita, obteve esultados visuais não muito convincentes de uma saia sobe um pesonagem animado. Codie e Thalmann [] apesentaam otimizações paa tata colisões de vestuáios também sobe um modelo animado. Podemse ainda cita as teses de Boxeman [] e Bagmann [], ambos tabalhos em tempo eal de modelos massa-mola, inspiados no passo de tempo lago de Baaff e Witkin [998], com divesas contibuições sobe colisões com outos objetos e autocolisões. Apesa da eficiência alcançada com os modelos de patículas, simulações de alguns tipos de compotamento dos tecidos estão ainda aquém do ealismo. Um destes efeitos é o movimento pependicula ao plano sob foças puamente tangenciais que, de nosso conhecimento, somente foam avaliados de foma natual nos tabalhos de Wu e Melo [; Melo ]. Eles consideaam em seu modelo defomável um coeficiente de enegia intena que elaciona as defomações méticas com as de cuvatua, epoduzindo dobas e vincos sem mudança de áea e sem adição de foças atificiais paa consegui o mesmo efeito [Volino e Thalmann 999]. Apesentamos neste atigo uma implementação do modelo de Wu e Melo [] no esquema de integação explícita, pois aceditamos que nela a pecisão física da modelagem seja mantida, enquanto a substituição da integação tempoal semi-implícita paa a explícita foneça a eficiência equeida paa os jogos.. Modelo Defomável Esta seção apesenta uma beve descição do modelo poposto po Wu e Melo [], mais detalhado em [Melo ], e sua implementação no esquema de integação tempoal semi-implícita, mostada pelos mesmos autoes. Maioes infomações constam na página do pojeto DeSMo (Defomable Suface Modeling), que pode se acessada pelo endeeço eletônico: O modelo apesentado em [Wu e Melo ; Melo ] é fundamentado na teoia de Supefície Cosseat, a qual foi oiginalmente poposta pelos imãos Cosseat em 99, edescobeta na década de 5 paa modelagem de copos oientados e, mais tade, usada paa modelagem de cascas po Geen et al. [965]. Em 989 Simo e Fox [989] apesentaam uma solução numéica computacionalmente factível paa tal modelo e, em 996, Eischen et al. [996] aplicaam este esquema numéico paa modela a dinâmica dos tecidos. A supefície de Cosseat é uma supefície egula paametizada, ao longo de duas cuvas coodenadas, que possui associado a cada ponto um veto que aponta paa foa do plano tangente, chamado veto dieto. Supõe-se um domínio de coodenadas bidimensionais x e x, e uma função posição (x, x ), que mapeie os pontos deste domínio paa pontos tidimensionais (x(x, x ), y(x, x ), z(x, x )). Desta foma, as deivadas paciais δ/δx e δ/δx da função epesentam dois vetoes lineamente independentes, os quais junto com

4 o veto dieto d, fomam um sistema de efeência local em cada ponto da supefície S (figua ). x S ( x, Figua : Paametização da supefície de Cosseat. No seu tabalho, Wu e Melo [] popuseam utiliza o veto nomal unitáio do ponto à supefície como o seu veto dieto d x x d n. () x x Além desses elementos que definem o efeencial local a cada ponto, existem duas medidas geométicas muito impotantes paa o modelo, denominadas de tensoes mético e de cuvatua. O tenso mético G de cada ponto é o poduto escala ente seus vetoes de base e está elacionado com a áea na vizinhança do ponto G x ) x d y z,, y z,, α., β α, β,. () x x O tenso de cuvatua B de cada ponto é o poduto ente a deivada segunda multiplicada pelo veto nomal e indica o quanto o ponto está cuvado na dieção do veto nomal A enegia intena E amazenada em uma supefície de Cosseat, coespondente ao teceio temo do lado esquedo na equação (), é expessa em temos dessas vaiações E [ Φ ε ε + Ψ κ κ + Θ ε κ ], (7) α, β na qual os coeficientes Φ e Ψ estão dietamente associados ao mateial de que é feito o tecido ou, mais geneicamente, à supefície defomável. Podem-se defini duas caacteísticas de um tecido a pati destes coeficientes, que são a esistência à mudança de mética (Φ) e a esistência à mudança de cuvatua (Ψ). O teceio coeficiente Θ é chamado de temo de acoplamento e estabelece a vaiação da cuvatua na vizinhança de um ponto sem que a sua áea seja alteada. Este temo faz com que simulações de buckling e folding sejam muito mais ealistas e intuitivas, não necessitando de foças dissipadoas na dieção pependicula às aplicadas no movimento da supefície [Volino e Thalmann 999]. Com base nesse modelo, Wu e Melo apesentaam um algoitmo que tem como entada tês gupos de infomações: paâmetos de supefície, de ambiente e de simulação. A figua mosta as cinco etapas da simulação de tecidos que elacionam os elementos do modelo. O início do fluxo pate dos dados de entada paa gea a supefície inicial, a pati da qual as medidas geométicas são calculadas. Em seguida, com a vaiação destas últimas são definidas as medidas físicas que, po sua vez, fazem pate da enegia intena amazenada. Po fim, a etapa pincipal consiste no uso desses dados na equação de equilíbio () paa obte as novas posições dos pontos da supefície. Paa soluciona numeicamente a equação (), Wu e Melo [] utilizaam o mesmo paadigma de discetização espacial e tempoal que Tezopoulous et al. popuseam [987]. B n α x x β, α, β,. () δ ε ( ) µ + γ + f (, t) t t δ Os tensoes vaiam, em cada iteação da dinâmica, de acodo com a defomação que a supefície sofe. Estas vaiações em elação aos valoes G e B, da supefície inicial S, definem duas medidas físicas: Supefície Medidas Geométicas Enegia Intena Medidas Físicas ) vaiação da mética ε ) vaiação da cuvatua κ G G, α, β,, (5) B B, α, β,. (6) Figua : Fluxogama da dinâmica da supefície. Simulações de um pedaço de tecido amassado, com a fomação de dobas, vincos ou ugas, que nomalmente são geadas usando-se adição de foças na dieção pependicula à supefície. Simulações de um pedaço de tecido dobado, nomalmente consistindo de poucas dobas unifomes.

5 A pimeia peocupação da discetização espacial é tona o domínio contínuo do modelo apesentado em um conjunto disceto de nós bidimensionais. Dessa foma, a supefície é discetizada po uma malha etangula de m x n pontos, dispostos em duas dieções, x e x, cujos espaçamentos ente nós consecutivos são e, espectivamente (figua ). x (,) (,9) (,9) Figua : Gade de x9 epesentando uma supefície. A segunda peocupação seia apoxima as deivadas de pimeia e de segunda odem. Paa isso, foi utilizado o método das difeenças finitas, confome descito em [Smith 985]. Neste método, cada nó [, sendo k..m e l..n, efee-se a um ponto disceto no domínio de acodo com a convenção da figua. Consideando uma função malha ou vetoial, são definidos opeadoes avançados, atasados e centais, em uma deteminada odem, de acodo com dieção em que os pontos vizinhos são utilizados paa apoxima as deivadas desejadas. Wu e Melo [] consideaam os opeadoes de pimeia odem avançados paa defini a deivada pimeia das funções utilizadas no modelo. Os vetoes de base, utilizados paa o cálculo de outos elementos como o tenso mético mostado em (), são expessos po k +, [ D +, (8) l + ] [ D +. (9) Paa a segunda deivada também são utilizados os opeados avançados, paa os índices cuzados (equação, sendo,, ), e centais, paa índices iguais (equações e ), confome definido nas expessões k +, l + ] k +, ) l + ] +,[,() * k +, * ) + k,,[, () * l + ] * ) + l ],[. () * x (,) A discetização tempoal, po sua vez, estabelece que o tempo seá integado de foma semi-implícita paa constui a dinâmica da supefície. Assim, a equação (), aplicável a cada ponto da supefície, é tansfomada em um sistema maticial contendo os novos pontos a seem encontados em cada iteação, bem como alguns elementos equacionados em função destes pontos, como pate da enegia intena E decomposta po E Ẽ + Ê, () sendo Ẽ a pacela envolvendo temos de odem maio, a qual é apoximada com base nos elementos da iteação anteio, e Ê a pacela efeente à iteação atual, possuindo somente temos lineaizáveis e expessa po Ê K R, () em que K é a matiz de igidez, de odem mn x mn, que estabelece a tensão ente cada pa de nós, e R é o veto coluna contendo os pontos a seem encontados. De posse dessa última expessão e usando a enegia intena E decomposta em (), pode-se eesceve a equação () tansfomando-a no sistema maticial R R M + C + K R F Ẽ, (5) t t sendo M a matiz diagonal fomada pelas densidades de massa, C a matiz diagonal fomada pelos coeficientes de amotecimento, K a matiz de igidez efeente à enegia intena do instante t + t, F a matiz-coluna contendo a foça extena esultante no instante t, Ẽ a matiz-coluna da enegia intena efeente ao instante t e R é a matiz-coluna incógnita do sistema que contêm as posições dos pontos da supefície da póxima iteação t + t. Assim, o sistema expesso pela equação (5) deve se solucionado em cada nova iteação t + t da simulação. Obseve que a odem da matiz quadada K é mn, ou seja, sempe da odem do númeo de vétices da malha elevado ao quadado. Dessa foma, a solução do sistema em cada iteação possui um custo computacional de odem exponencial que, neste caso, é da odem O((mn) ). Paa os jogos, tal custo inviabiliza o uso de modelos complexos.. Integação Explícita Nesta seção apesentamos um esquema altenativo de integação tempoal paa soluciona a equação (). O esquema de integação explícita que adotamos é detalhado na seção.. Na seção. discutiemos os poblemas e soluções elacionadas com a definição de condições de fonteia que encontamos ao analisamos a discetização espacial apesentada na seção.

6 . Integação Eule A integação tempoal explícita é também conhecida como integação de Eule paa fente e, como o nome mesmo diz, explicita a solução em função dos temos conhecidos. Desta foma, patindo da equação () e isolando-se a pacela efeente à aceleação, obtém-se µ F(, t) γ, (6) t t sendo F(, t) a foça esultante ente as extenas e intenas. Assim, o pimeio passo de cada iteação consiste em enconta a aceleação esultante dos pontos [ da supefície após t, com base nos temos da iteação anteio a t + t) Fk, l ( t) γ vk l ( ). (7) µ l (, t Após a nova aceleação se encontada, a velocidade dos pontos é atualizada v l ( k, l k, l t t + t) v ( t) + t a ( t + ), (8) paa, po fim, atualiza suas posições t + t) ( t) + t v ( t + ). (9) l ( k, l l t Esse esquema é bastante simples e ápido, pois nele não é peciso soluciona um sistema de equações lineaes nem eesceve outos temos em função dos novos pontos. O pocesso é usado paa enconta as novas posições de cada elemento sepaadamente, no instante t + t, com base nos dados da iteação t. Isto pode se feito desde que se considee que a supefície vaie suavemente ente duas iteações subseqüentes paa que o eo de apoximação seja pequeno, ou seja, ao se usa os dados do instante anteio ao invés do atual deseja-se que a vaiação destes valoes seja a meno possível. Paa gaanti essa suavidade em todas as simulações deste atigo o passo de tempo utilizado foi de, segundos. Dessa foma, se no modelo de Wu e Melo [] com a integação semi-implícita, o passo de tempo utilizado ea de, segundos, ou seja, iteações paa se simula segundo de animação, neste novo esquema são necessáias iteações. Contudo, nesse esquema atual temos um custo linea de odem O(mn) conta O((mn) ), afinal, aqui já não é mais peciso utiliza a matiz de igidez. Na seção 5 seá mostado o tempo gasto po iteação de cada simulação paa que este ganho de eficiência fique nítido. Um dos gandes poblemas elacionados atualmente com o uso da dinâmica de tecidos em tempo eal é o chamado poblema de escalabilidade. Tal poblema efee-se ao descompasso ente o passo de tempo usado na dinâmica dos tecidos paa o passo de tempo da simulação em tempo eal. Natualmente, em apenas um ciclo de tempo da simulação em tempo eal, como nos jogos, é peciso ealiza toda a dinâmica de tecido coespondente a este intevalo, exigindo que o mínimo de pocessamento seja usado paa que os demais cálculos não sejam afetados e não se gee um ataso ente os quados da simulação. Devido a esse poblema e sabendo que, teoicamente, em uma simulação em tempo eal apoximadamente quados po segundo são suficientes paa mante a idéia de continuidade ente os movimentos, as iteações intemediáias da dinâmica dos tecidos ente os quados da simulação pecisam se geadas da foma mais ápida possível. Neste sentido, os métodos de integação explícita são os mais indicados de seem usados, desde que o passo de tempo imposto po uma apoximação estável de F(, t) seja espeitado. Intega explicitamente um modelo massa-mola tem a vantagem da complexidade de cômputo de cada quado se linea, poém eque um passo de tempo muito pequeno paa assegua a estabilidade no cálculo de δε()/δ. Emboa Baaff e Witkin [998] tenham mostado que o uso da integação implícita baseada nos métodos de gadiente conjugado pemite aumenta este passo de tempo, o valo apesentado po eles no seu atigo é somente vezes maio do que o passo utilizado nas nossas simulações. Aceditamos que isso decoe do fato do modelo geometicamente exato poposto po Wu e Melo [] apoxima melho a dinâmica de tecidos. Conjugando a complexidade linea do método de integação explícita com o uso de um passo de tempo uma odem meno ao que foi utilizado po Baaff e Witkin [998], conseguimos atingi um desempenho supeio, em temos de custo computacional, aos tabalhos do nosso conhecimento. Como uma altenativa de compaação do método numéico adotado neste tabalho, mais póxima do esquema explícito do que o antigo semi-implícito, implementamos também a integação Velet usada em Jakobsen []. Nesta integação os dois últimos passos expessos em (8) e (9) da integação Eule são substituídos po ( t + t) * ( t) ( t t) + a. () k, l k, l l t Dessa foma, usando dois vetoes que amazenam as posições dos pontos da supefície, coente e anteio, o esquema de evolução do tempo é feito sem o cálculo dieto da velocidade. A difeença ente as integações de Eule e Velet acontece na pecisão, pois em Velet o eo das soluções diminui po apoxima a velocidade do póximo instante t + t pelo intevalo [t - t, t + t] ao invés de [t - t, t], como na integação Eule. Entetanto, os esultados visuais das duas implementações foam similaes ao passo de tempo imposto po δε()/δ paa a sua convegência.

7 Aceditamos que esta difeença de pecisão só afete visualmente os esultados à medida que se use um passo de tempo maio que o empegado neste modelo, pois assim como no tabalho de Baaff e Witkin [998], Jakobsen [] também usa um modelo de patículas, ao invés de um modelo físico peciso, paa apoxima uma supefície defomável. Contudo, é inteessante salienta que o modelo defomável utilizado apesentou o mesmo desempenho e os mesmos esultados visuais em ambas as integações, mostando que o ealismo e a pecisão física são atibutos alcançados pelo modelo de tecido usado, e não pelo método numéico escolhido. Dessa foma, tais condições podem esulta, com feqüência, em valoes despopocionais da foça intena nas bodas, o que afeta toda dinâmica da supefície. A figua 6(a) exemplifica o aspecto visual de um caso em que o valo da foça intena de um ponto da boda tende ao infinito. Além do poblema de instabilidade numéica na simulação, há também casos em que o mau condicionamento na fonteia povoca impecisão em algumas bodas, confome a figua 6(b), em que é possível nota as duas bodas extemas com aspectos visuais uins. A solução que visa atenua tais poblemas é apesentada a segui.. Condições de Fonteia No pimeio instante, utilizamos o mesmo esquema de difeenças finitas paa computa os componentes da enegia intena E definida po (7). No entanto, constatamos que os opeadoes escolhidos paa discetiza os elementos do modelo levam a um poblema nas bodas, pois nem sempe te-se-á os nós necessáios paa os opeadoes usados. Paa estes casos, em que faltam os nós vizinhos, as deivadas de pimeia e segunda odem são zeadas, de acodo com as condições de fonteia escolhidas na implementação de Wu e Melo []. Mais especificamente, usando a notação da figua 5, as bodas B e B possuem todos os pontos da pimeia deivada bem definidos, enquanto que as bodas B e B possuem deivadas nulas nas dieções x e x, espectivamente, pois não possuem os nós [k+, paa o opeado definido po (8) e [ l+] paa o (9). Paa a deivada segunda todas as bodas utilizam-se, paa os opeadoes centais definidos po () e (), de um ponto à fente e um atás e, potanto, todos os nós das quato bodas possuem deivadas nulas. No opeado cuzado avançado () novamente o poblema acontece apenas nas bodas B e B, pois nelas os vizinhos [k+,, [ l+] e [k+, l+] nunca existem em um mesmo nó. B C C (k-,l) (l-) (l) (l+) B B (k+,l) Figua 5: Notação de bodas e cantos. Na figua 5 o ponto (,) está exemplificado como nó [ paa que fique claa a elação dos pontos com seus vizinhos po meio dos índices da malha. Natualmente, o canto C sofe o mesmo poblema da boda B, assim como C o de B e, ainda, C o de ambas. C C B (a) (b) Figua 6: Resultados inespeados nas bodas. O novo tatamento usado nas bodas é bastante intuitivo, pois ao invés de zea as deivadas onde os pontos necessáios não existiem são pegos pontos na dieção em que eles existem, ou seja, nenhum nó da malha possuiá a deivada pimeia e segunda nula. Potanto, paa a pimeia deivada te-se-ia a convenção utilizada na figua 7: paa os pontos até os índices m- e n-, no caso índice em ambas as dieções, são usados os antigos opeadoes, como mosta a pate infeio dieita da figua; já paa os pontos das bodas B e B são usados os opeadoes atasados de pimeia odem, confome a pate supeio esqueda da mesma figua. l ] a[ l + ] a[ k +, a[ Figua 7: Nova convenção paa a deivada pimeia. A mesma idéia é estendida paa a deivada segunda, sendo que paa os pontos foa das bodas da supefície o cálculo continuaia o mesmo, como mosta a figua 8, e paa os da boda seiam usados os pontos existentes, confome a convenção da figua 9. Assim, no canto C, que antes possuía o opeado cental nulo em ambas as dieções, agoa teá valoes com os opeadoes avançados, usando os nós [k+, e [k+, na dieção x, e [ l+] e [ l+] na dieção x. A mesma consideação é usada no canto C, ou seja, k, a[

8 ao invés dos opeadoes centais são usados os das dieções existentes, no caso, atasados. Da mesma foma, os opeadoes cuzados avançados se tonam atasados nas bodas B e B, como pode se visto no canto C com o uso do nó [k-, l-]. Figua 8: Antiga convenção paa a deivada segunda. (l) (l+) (l+) (k-,l) (k+,l) (l-) (l) (l+) (k+,l+) (k+,l) (k-,l) (k+,l) (k+,l+) (k-,l-) Figua 9: Nova convenção paa a deivada segunda. Uma maneia simples de pensa nessa discetização é que sempe são pegos pontos em dieção ao cento da supefície, e nunca ao seu exteio. Além disso, paa evita foças intenas muito gandes na fonteia somente a pacela Ê da equação () é usada nas bodas. Dessa foma, os poblemas elacionados às bodas, como instabilidade e falta de pecisão, são atenuados, confome os esultados apesentados na póxima seção. (k-,l) (l-) (l-) (l) coespondem aos paâmetos de tempo, como os dados apesentados na intodução desta seção, e também as estições que são definidas sobe os nós da malha. Na figua (a), po exemplo, a simulação usa uma gade de x nós, definida no plano xy com unidades de compimento em y e 5 em x (paâmetos de supefície); foça gavitacional de módulo e sentido y -9.8 (paâmetos de ambiente); e ainda, dois pontos fixos (estições nos cantos C e C) paa simula um masto (paâmetos de simulação). Cada estição sobe a malha possui um intevalo de duação especificado pelas iteações, sendo possível simula colisões com divesos objetos sem te nenhum tipo de tatamento paa colisões. A poltona da figua (b) foi feita desta foma, apenas definindo-se difeentes intevalos paa os pontos fixos que epesentam a pate de cima de seu encosto (que são fixos com % das iteações pocessadas) e paa os que epesentam seus baços (que são fixos com % das iteações pocessadas). Além disso, é possível também defini foças pontuais sobe a malha paa simula os pequenos ajustes que ocoem no mundo eal, como empuões em um pedaço de pano paa amassá-lo, como mosta a figua (c). As figuas (a) e (b) ilustam as estições usadas paa faze as figuas (b) e (c), espectivamente, consideando um cículo como ponto fixo e uma seta como foça pontual. 5. Resultados Como aqui estamos inteessados na dinâmica convincente de tecidos, e não em uma deteminada foma que um tecido pode assumi, todas as imagens são quados de animações geadas que alcançam o equilíbio físico. Tais animações são padonizadas em quados ( a cada 5 de iteações), com um passo de tempo de,, e podem se visualizadas na página do pojeto DeSMo já citada. Estes quados seão discutidos na seção 5. Além disso, todos os dados de tempo apesentados na seção 5. foam medidos em um pocessado AMD de GHz equipado com uma placa de vídeo GeFoce 66GT. 5. Dinâmicas Realistas Nesta implementação também é usado um aquivo de entada com tês gupos de paâmetos, elativos aos dados de supefície, de ambiente e de simulação. Os dados de supefície efeem-se ao tipo de objeto, mateial de que é feito e esolução espacial que apoxima o tecido, enquanto os de ambiente fonecem as foças extenas do meio no qual ele se enconta, como a foça de gavidade e de fluído, que são execidas em cada ponto. Os dados de simulação (a) (b) Figua : Restições nas imagens (a) (b), (b) (c). Na figua as esoluções espaciais são meamente ilustativas, não coespondendo ao tamanho das gades usadas efetivamente. Natualmente, se teá uma maio pecisão quanto maio fo a esolução ao custo de um maio pocessamento. Entetanto, enquanto na bandeia da imagem (a) foam usados vétices paa poduzi um esultado ealista, uma mesma simulação desta bandeia, poém com apenas 6 vétices, é exibida na figua paa mosta que nosso modelo consegue mante efeitos visuais convincentes paa um númeo eduzido de nós, o que é muito inteessante paa os jogos. Figua : Bandeia apoximada po uma gade 8x8.

9 Contudo, quando o ealismo estive em pimeio plano, como em uma cena pé-pocessada de um jogo, é possível eleva consideavelmente o númeo de vétices e, mesmo assim, te um tempo azoável, como é mostado na Tabela. A figua mosta uma cotina de vétices, na qual foam inseidas apenas estições de foças pontuais em duas linhas da gade paa simula o tilho de uma cotina. Figua : Cotina de vétices. Po fim, as novas condições de fonteia esultam em um melho efeito visual nas bodas, confome mostado na figua, sendo (a) uma imagem eal e (b) a imagem simulada. (a) (b) Figua : Compaação com fotogafia. 5. Análise de Complexidade Além das dinâmicas ealistas, nosso modelo ainda conseguiu um bom desempenho nos tempos das simulações. O gáfico da figua demonsta que nosso esquema de integação explícita executa as simulações em um tempo linea, de acodo com o númeo de vétices da supefície. Tempo Total Númeo de Vétices Figua : Complexidade linea. O tempo total desse gáfico efee-se ao montante gasto paa pocessa as iteações de uma simulação. A tabela apesenta os dados coespondentes às simulações das imagens usadas neste atigo, sendo T o tempo total e t o tempo gasto po iteação, ambos especificados em segundos. Tabela : Tempos po iteação. Figuas Númeo de Vétices T t a,5 - b 5 5,75 - c 6 5,55-6 6, - 6 7, - 6 7, - Dessa foma, é possível epaa que o tempo gasto em cada iteação é elativamente pequeno de acodo com a quantidade dos vétices utilizados, que estão dietamente ligados ao ealismo do tecido. Na bandeia, po exemplo, o tempo gasto po iteação paa enconta as novas posições dos vétices é muito pequeno, pemitindo que váias iteações possam se encontadas em uma pacela eduzida de um único passo de tempo da simulação em tempo eal. 6. Conclusão Apesa de ainda não temos uma simulação em tempo eal, os tempos po iteação apesentados neste tabalho mostam que os esfoços em pesegui esta linha de pesquisa são pomissoes. Além disso, nossa poposta não possui nenhum tipo de algoitmo de detecção de colisões, pois visa apenas popo uma nova foma de alcança uma simulação de tecidos mais ealista que também seja eficiente, o que não invalida usá-la como base e sobe ela desenvolve técnicas elativas à colisão. O acéscimo de algoitmos que ealizem o tatamento de colisões e autocolisões, bem com a implementação deste modelo na GPU, podeia tona nosso modelo aplicável a divesas simulações em tempo eal, como os jogos. Como tabalhos futuos, pensamos em modifica a paametização do domínio da supefície, estende o modelo paa malhas tiangulaes iegulaes, analisa com maio pofundidade a integação Velet e busca uma melho estimativa paa os elementos da geometia difeencial. Na implementação coente os espaçamentos e petencem ao intevalo (,), o que faz com que a malha acabe sendo limitada não pelo método de integação, mas pelos espaçamentos do domínio, que não podem se muito pequenos devido a poblemas numéicos. Além disso, essa implementação possui a limitação de utiliza somente uma tiangulação egula da malha, sendo possível obte, com a inclusão de tiangulações iegulaes, um ealismo ainda maio. Quanto à integação Velet, que foi a última pate implementada neste tabalho, ainda é peciso otimizála e adaptá-la paa se melho compaada com a integação Eule. Po fim, existem divesas fomas, além da utilizada neste modelo, paa estima os

10 paâmetos geométicos da geometia difeencial sobe uma supefície disceta. O tenso mético, o tenso de cuvatua, o veto nomal e os vetoes de base, po exemplo, são elementos fundamentais no modelo e amplamente discutidos na liteatua, potanto, uma compaação ente as difeentes fomas de calculá-los seia inteessante paa descobi qual é a melho estimativa. Agadecimentos O pimeio auto gostaia de agadece a Coodenação de Apefeiçoamento de Pessoal de Nível Supeio (CAPES) pelo supote financeio duante o peíodo de -6 dento do pogama de Mestado da Unicamp. A segunda autoa gostaia de agadece a Fundação de Ampao à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo apoio financeio atavés da concessão de veba paa o Pojeto Individual /9-6. Refeências BARAFF, D., E WITKIN, A., 998. Lage steps in cloth simulation. In: Poceedings of SIGGRAPH 98, -5. BARAFF, D., WITKIN, A., E KASS, M.. Untangling cloth. In: ACM Tansactions on Gaphics, July, BARGMANN, R.,. Real-time cloth simulation. PhD thesis, Swiss Fedeal Institute of Technology Zuich. BOXERMAN, E.,. Speeding up cloth simulation. MSc thesis, Univesity of McGill. BREEN, D.E., HOUSE D.H., E WOZNY, M.J., 99.. A paticlebased model fo simulating the daping behavio of woven cloth. Textile Reseach Jounal, Novembe 99, 6(), BRIDSON, R., FEDKIW, R., E ANDERSON, J.,. Robust teatment of collisions, contact and fiction fo cloth animation. In: Poceedings of the 9th annual confeence on Compute gaphics and inteactive techniques, BRIDSON, R., MARINO, S., E FEDKIW, R.,. Simulation of clothing with folds and winkles. In: Euogaphics / SIGGRAPH Symposium on Compute Animation. CORDIER, F. E THALMANN N.M.,. Real-time Animation of Dessed Vitual Humans. In: EUROGRAPHICS, (). DESBRUN, M., SCHRÖDER, P., E BARR, A., 999. Inteactive animation of stuctued defomable objects. In: Poceedings of Gaphics Inteface 99, June 999 Ontaio, -8. GREEN, A.E., NAGHDI, P. E WAINWRIGHT, W., 965. J., DENG, S. E CLAPP, T., 996. A geneal theoy of a cosseat suface. Achive fo Rational Mechanics and Analysis,, HAUMANN, D.R., 987. Modeling the physical behavio of flexible objects. ACM SIGGRAPH 87 Couse Notes #7 Topics in Physically-Based Modeling, July 987 Anaheim. JAKOBSEN, T.,. Advanced Chaacte Physics. Disponível em: [acessado em 5 Out 6]. KOLB, A. E CUNTZ, N., 5. Dynamic paticle coupling fo GPU-based fluid simulation. Disponível em: /5/asim_fluid_simulation_pape.pdf [acessado em Ago 6]. MELO, V.F.,. Modelagem e Contole de Caimento e Dobas em Supefícies Defomáveis. Tese de Doutoado, Univesidade Estadual de Campinas. OSHITA, M. E MAKINOUCHI, A.,. Real-time Cloth Simulation with Spase Paticles and Cuved Faces. In: Poceedings of Compute Animation, Novembe Seoul. PROVOT, X., 995. Defomation constaints in a mass-sping model to descibe igid cloth behavio. In: Poceedings of Gaphics Inteface, 995, 7-5. SIMO, J.C. E FOX, D.D., 989. On a stess esultant geometically exact shell model Pat I: fomulation and optimal paameteization. Compute Methods in Applied Mechanics and Engeneeing, 7, 67-. SMITH, G. D., 985. Numeical solution of patial diffeential equations: finite diffeence methods. New Yok: Oxfod Univesity Pess. TERZOPOULOS, D., PLATT, J., BARR, A., E FLEISCHER, K., 987. Elastically Defomable Models. Compute Gaphics (Poceedings of SIGGRAPH) July 987, (), 5-. VOLINO, P. E THALMANN, N. M., 999. Fast geometic winkles on animated sufaces. In: WSCG 99, Feb 999 Plzen. WU, S.-T., E MELO, V.F.,. A Defomable Suface Model on the basis of the Theoy of a Cosseat Suface. In: Poceedings of SIBGRAPI. WU, S.-T., E MELO, V.F.,. An appoximation fo nomal vectos of defomable models. In: Poceedings of SIBGRAPI, -. EISCHEN, J., DENG, S. E CLAPP, T., 996. Finite-element modeling and contol of flexible fabic pats. IEEE Compute Gaphics and Application 6, 5, 7-8. FEYNMAN, C.R., 986. Modeling the appeaance of cloth. MSc thesis, MIT, Cambidge.