COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS

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1 UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA REGIONAL DE CHAPECÓ CENTRO TECNOLÓGICO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS Paulo Roberto Simon Chapecó novembro 2006

2 2 PAULO ROBERTO SIMON COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS Trabalho de Estágio Supervisionado II, apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Comunitária Regional de Chapecó, como parte dos requisitos para obtenção de graduação em Engenharia Civil. Orientador: Prof. Rodnny Jesus Mendoza Fakhye Chapecó novembro 2006

3 Dedico este trabalho a minha família, aos meus colegas e amigos. 3

4 4 AGRADECIMENTOS Agradeço a minha família que possibilitou a minha total dedicação aos meus estudos para alcançar os resultados esperados. Agradeço ao Prof. Rodnny Jesus Mendoza Fakhye, orientador deste trabalho, pelo tempo que dedicou a me orientar nesse estudo, pelas dicas e explicações e também pelos materiais cedidos, que foram de grande importância no desenvolvimento do trabalho. Agradeço ao Prof. Mauro Leandro Menegotto, pelas dicas de formatação do trabalho.

5 5 Há muitas maneiras de avançar, mas só uma maneira de ficar parado. Franklin D. Roosevelt

6 6 RESUMO SIMON, P.R. Comparação de Métodos de Cálculo Analíticos e Aproximados de Lajes Bidimensionais p. Relatório de Estágio Supervisionado II (Graduação em Engenharia Civil) Universidade Comunitária Regional de Chapecó, UNOCHAPECÓ, Chapecó, As lajes armadas em cruz (bi-dimensionais) são aquelas que apresentam relação entre o vão maior e o vão menor não superior a 2. Os momentos fletores nas duas direções são importantes, o cálculo dos esforços deve ser feito levando-se em conta sua flexão biaxial, o que aumenta a complexidade do problema. Neste trabalho é feito comparações dos resultados dos momentos fletores máximos obtidos utilizando o Método de Marcus, Método de Czerny e o programa GiD Plus (Método dos Elementos Finitos) em placas de dimensões variadas e de diferentes condições de apoio, com a Solução Analítica proposta por Timoshenko. Nestas comparações observou-se que o Método de Czerny apresentou bons resultados e sua utilização é bastante simples e rápida, o Método de Marcus apresentou resultados um pouco dispersivos e possui dificuldade quanto o uso das tabelas, fazendo variar, laje por laje, o que seja direção x e direção y podendo com isso confundir o calculista e o programa GiD Plus que utiliza o método das elementos finitos, apresentou resultados relativamente bons, para malhas com número de elementos maiores. Palavra-chave: Comparação de métodos, Cálculo Analíticos e Aproximados de Lajes Bidimensionais.

7 7 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO TEMA PROBLEMA HIPÓTESES NA LITERATURA OBJETIVOS OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS METODOLOGIA COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E 11 APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS MÉTODOS DE CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES EM 11 PLACAS MÉTODOS APROXIMADOS Teoria das Grelhas Fórmula Empírica de A. Mesnanager (placa apoiada) Résal e Conselho Geral das Pontes e Estradas (1912) (placa apoiada) Fórmulas Empíricas de Pigeaud (1921) (placa apoiada articulada) Método de Chaudy (1925) Método de Marcus SOLUÇÀO Fórmulas de Navier (carga distribuída) Fórmulas de Résal (1912) Fórmulas de Mesnager (1916) Método de Ch. Dubas (1916) Teoria das Linhas de Ruptura MÉTODOS NUMÉRICOS Método de Czerny Método das Diferenças Finitas Método dos Elementos Finitos Programa GiD plus Aplicação dos Métodos e Resultados Alcançados Métodos utilizados Placas utilizadas Metodologia de aplicação das placas

8 2.2.4 Resultados obtidos com o Método de Marcus Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Marcus Momentos obtidos Resultados obtidos com o Método de Czerny Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Czerny Momentos obtidos Resultados obtidos com a Solução Analítica Metodologia obtenção dos momentos utilizando a Solução Analítica Momentos obtidos Resultados obtidos com o GiD Plus Metodologia obtenção dos momentos utilizando o GiD Plus Resultados dos momentos obtidos utilizando o GiD Plus Gráficos de momentos gerados pelo GiD Plus Comparação dos resultados obtidos com o Método de Marcus e Método de Czerny com a Solução Analítica Comparação dos resultados obtidos com o GiD Plus com a Solução Analítica 73 3 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS... ANEXO 01 TABELA DE MARCUS... ANEXO 02 TABELA DE CZERNY... ANEXO 03 TABELA DAS SOLUÇÕES S PROPOSTAS POR TIMOSHENKO

9 9 1 INTRODUÇÃO Uma laje ou placa é caracterizada por duas dimensões: sua largura, seu comprimento, amplamente preponderantes em relação à terceira dimensão, a espessura. Estes elementos são bastante utilizados na construção de pisos. A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-los para os apoios. Nos edifícios usuais, as lajes maciças têm grande contribuição no consumo de concreto, aproximadamente 50% do total. Para o dimensionamento destes elementos em concreto armado é necessário o cálculo dos momentos fletores, e suas deformações. As lajes armadas em cruz (bi-dimensionais) são aquelas que apresentam relação entre o vão maior e o vão menor não superior a 2. Os momentos fletores nas duas direções são importantes, o cálculo dos esforços deve ser feito levando-se em conta sua flexão biaxial, o que aumenta a complexidade do problema. Existem, basicamente, três tipos de vínculo de bordas das lajes: borda livre, borda simplesmente apoiada e borda engastada. 1.1 TEMA Comparação de Métodos de Cálculo Analíticos e Aproximados de Lajes Bi-dimensionais de Concreto Armado. 1.2 PROBLEMA Qual a precisão dos métodos aproximados de cálculo estrutural utilizados no dimensionamento?

10 HIPÓTESES NA LITERATURA Que métodos são os mais adequados? Para que tipo de problema os métodos tem precisão suficiente? 1.4 OBJETIVOS OBJETIVO GERAL Determinar os métodos mais adequados para o cálculo de placas de concreto armado OBJETIVOS ESPECÍFICOS a) Verificar a precisão dos métodos aproximados para análise de placas; b) Verificar a precisão dos métodos numéricos para análise de placas. 1.5 METODOLOGIA Primeiro levantamento dos métodos. Será realizada a análise estrutural para diversas condições de apoio e dimensões. Será feita uma análise comparativa dos métodos, tentando identificar quais são os mais adequados.

11 2 COMPARAÇÃO DE MÉTODOS DE CÁLCULO ANALÍTICOS E APROXIMADOS DE LAJES BI-DIMENSIONAIS MÉTODOS DE CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES EM PLACAS Segundo Trautwein (2006), o cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico e o plástico. O cálculo elástico dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogêneo, isótropo, elástico e linear. No cálculo plástico podem ser utilizadas tabelas, como as de Czerny, obtidas por diferenças finitas MÉTODOS APROXIMADOS Segundo Guerrin (19--), os métodos aproximados utilizado para o cálculo das lajes, são obtidos da comparação com vigas, ou do método de equalização das flechas de Chaudy, utilizando um coeficiente de efeito de placa Teoria das Grelhas Conforme Araújo (2003), o método é destinado ao cálculo das lajes retangulares. Considerase, a laje simplesmente apoiada nos quatro lados. A laje é submetida a uma carga p uniformemente distribuída por unidade de área. Os vãos são l x e l y. Consideram-se duas faixas de largura unitária, uma em cada direção, as quais se cruzam no centro da laje. A carga total p é dividida nos quinhões de carga px e py, correspondentes às direções x e y. Os quinhões de carga devem obedecer à relação: p = p x + p y (1) A flecha no centro da laje tem um valor único:

12 12 w x = w y (2) Definindo a relação entre os vãos como: λ = l y l x (3) Segundo Araújo (2003), os quinhões de carga dependem apenas da relação entre os vãos da laje. Conhecidos esses quinhões, pode-se calcular os momentos fletores nas duas direções: 2 p xl x M x = (4) 8 substituindo p x = k p, resulta x 2 M = m pl ; m = k 8 (5) x x x x x e o momento máximo na direção y pode ser escrito na forma 2 2 M y = m y pl x ; m y = k yλ 8 (6) Nas expressões dos momentos fletores, o termo comum é m x e m y dependem apenas do parâmetro λ (relação entre os vãos da laje). 2 pl x. Os coeficientes adimensionais Araújo (2003), diz que a teoria das grelhas, é uma simplificação grosseira do comportamento das lajes. A rigidez à torção da laje é desprezada e os efeitos da torção podem ser visualizados considerando-se a situação, onde a faixa da direção y não passa pelo centro da laje. As deflexões w x da faixa x provocam um giro de torção θ na faixa y. A rigidez à torção desta faixa faz com que as deflexões sejam reduzidas e, haverá uma redução dos momentos fletores Fórmula Empírica de A. Mesnanager (placa apoiada) Segundo Guerrin (19--), o coeficiente de efeito placa é obtido pela seguinte expressão: 1 α = (7) 2,35 1+ ρ³

13 13 onde: = coeficiente de efeito placa; = b/a b = lado maior da placa; a = lado menor da placa Résal e Conselho Geral das Pontes e Estradas (1912) (placa apoiada) Figura 01: retângulo concêntrico (GUERRIN, 19--). Neste caso, o coeficiente de efeito placa depende da distribuição da carga: carga distribuída uniformemente: 1 α = (8) ρ² ρ

14 14 carga concentrada no meio: 1 1+ ρ² α = (9) ρ² onde: = coeficiente de efeito placa; = b/a b = lado maior da placa; a = lado menor da placa Fórmulas Empíricas de Pigeaud (1921) (placa apoiada articulada) Segundo Guerrin (19--), o coeficiente de efeito placa é obtido pelas seguintes expressões, dependendo da localização das cargas: carga concentrada no centro: α = P ρ ρ³ ρ² ρ ρ ρ² (10) carga distribuída num retângulo concêntrico (figura 02): u,.

15 15 3 P 1 u 1 u 1 ν α = a ρ² a ρ b 1 4 ρ ρ² (11) onde: = coeficiente de efeito placa; = b/a b = lado maior da placa; a = lado menor da placa; P = carga concentrada na placa; u = menor lado do retângulo concêntrico; = maior lado do retângulo concêntrico Método de Chaudy (1925) Segundo Guerrin (19--), para carga uniformemente distribuída, o processo de cálculo consiste em considerar a placa, sobre quatro lados, como formada de dois planos fictícios repousando sobre dois apoios, absorvendo cada um uma parte p 1 e p 2 do total p. 1 α = (12) ρ carga no centro da placa: 1 α = (13) 1 1+ ρ³ onde:

16 16 = coeficiente de efeito placa; = b/a b = lado maior da placa; a = lado menor da placa Método de Marcus Segundo Araújo (2003), no método de Marcus, os momentos fletores positivos corrigidos, M xo e M yo, são dados por M = C M ; M = C M (14) xo x x yo y y onde M x e M y são os momentos fletores positivos calculados através da teoria das grelhas. Os coeficientes C x <1 e C y <1 dependem das condições de contorno e da relação entre os vãos da laje, C x 2 20k 20k yλ = 1 ; 1 (15) 3α 3α x C y = 2 xλ y onde k x e k y são os coeficientes que definem os quinhões de carga e λ = l y l x. Os coeficientes αx e αy dependem das condições de apoio nas duas direções: a) Faixa biapoiada: α = 8 b)faixa engastada e apoiada: α = 14,22 c)faixa biengastada: α = 24. Conforme Araújo (2003), os momentos fletores positivos nos vãos são escritos na forma M = C m pl M = C m pl (16) xo x x 2 2 x ; yo y y x e os momentos negativos nos engastes, M xe e M ye, nas direções x e y, podem ser escritos como

17 17 M = m pl M = m pl (17) xe xe 2 2 x ; ye ye x SOLUÇÕES S Segundo Guerrin (19--), os métodos exatos consideram a placa como um elemento de construção diferente da viga, pois baseiam-se nas teorias da Elasticidade Fórmulas de Navier (carga distribuída) Segundo Timoshenko (1959), Navier resolveu a equação diferencial pelas séries. Com complemento de Saint-Venant, em 1883, tem-se: W ( 1 η² ) 16 p = π 6ΕΙ i= j= i= 1 j= 1 1 ij iπx jπx sen sen a a 2 i² j² + a² b² (18) sendo i e j números ímpares. onde: W = deslocamento vertical de um ponto qualquer do plano médio da placa; = coeficiente de Poisson; I = momento de inércia nos dois sentidos; E = módulo de elasticidade; p = carga distribuída; b = lado maior da placa; a = lado menor da placa.

18 Fórmulas de Résal (1912) Segundo Guerrin (19--), Résal estudou o caso de uma carga pu = P distribuída uniformemente sobre um retângulo concêntrico. ( ) = a a u a u e a b b e a u sen b u a e a u a u a b b a a b a p Ma cos 1 3 ² 3 cos 1 ² ² ² 8 πν π π νπ ν π π (19) ( ) = a a u a u e a a a e a u sen a u b e a u b u b b b a a b a p Mb cos 1 3 ² 3 cos 1 ² ² ² 8 πν π π νπ ν π π (20) onde: Ma = momento no sentido a; Mb = momento no sentido b; p = carga distribuída; b = lado maior da placa; a = lado menor da placa; u = menor lado do retângulo concêntrico; = maior lado do retângulo concêntrico Fórmulas de Mesnager (1916) Segundo Guerrin (19--), as expressões para os momentos no centro, por unidade de comprimento, no caso de placa não engastada carregada uniformemente, são:

19 19 p Ma = ( η b² C`M + a² C M ) (21) 8 p Mb = ( b² CM +ηa² C`M ) (22) 8 onde: Ma = momento no sentido a; Mb = momento no sentido b; p = carga distribuída; b = lado maior da placa; a = lado menor da placa; = coeficiente de Poisson; C M = C M = 1/; = b/a Método de Ch. Dubas (1916) Segundo Guerrin (19--), Ch. Dubas, estudando os problemas introduzidos pela deformação das chapas esbeltas, generalizou o método de cálculo das placas por equações das flechas, que lhe permitiu levar em conta, a tensão lateras (coeficiente ) e, os efeitos de torção, as equações da estática aplicada, e eliminando a utilização das séries. Considerando a placa como formada de malhas de vigas cruzadas ortogonais, mostra que a carga p se decompõe em uma carga p x atuando na viga longitudinal, em uma carga p y atuando na viga transversal e em uma carga 2p xy, atuando pela metade em cada uma dessas duas vigas.

20 Teoria das Linhas de Ruptura Conforme Araújo (2003), a teoria das linhas de ruptura, introduzida por K. W. Johansen, é uma alternativa para o cálculo de esforços e reações em lajes. É possível determinar os momentos de ruína que serão utilizados para o dimensionamento das lajes de diferentes formas, condições de contorno e carregamentos. A NBR-6118 permite o emprego da teoria das linhas de ruptura quando as deformações das seções da laje estiverem nos domínios 2 ou 3 (peças subarmadas ou normalmente armadas). Deve-se ter x d 0, 30, onde x é a profundidade da linha neutra e d é a altura útil das seções da laje MÉTODOS NUMÉRICOS Método de Czerny Conforme Henrique (2006), as tabelas de Czerny, baseadas na Teoria da Elasticidade, os momentos fletores são dados pela seguinte equação: M = q.lx 2 /m (23) sendo m um coeficiente da tabela em função da relação entre os vãos e do tipo de apoio da laje Método das Diferenças Finitas Segundo Araújo (2003), o método das diferenças finitas é um método numérico que leva a uma solução aproximada da equação diferencial da placa. As derivadas que aparecem na equação diferencial são substituídas, por aproximações em diferenças, denominados pontos nodais. Esses pontos são localizados nos nós de uma malha retangular, triangular ou de outra forma, denominada malha de diferenças finitas. A função w(x, y), que representa a superfície deformada da placa, é descrita por valores aproximados da deflexão nos diversos pontos nodais. Quanto maior o número de pontos nodais, menor será o erro obtido.

21 Método dos Elementos Finitos Conforme Araújo (2003), o método dos elementos finitos no caso da análise estrutural, pode ser empregado tanto na formulação em deslocamentos, quanto na formulação em forças. Essas duas formulações são análogas, aos bem conhecidos métodos da rigidez e método das forças, utilizados na análise de estruturas reticuladas. Segundo Araújo (2003), o primeiro passo do método dos elementos finitos consiste na subdivisão do domínio do problema em um conjunto de pequenos elementos, denominados elementos finitos. O domínio discretizado forma uma malha de elementos finitos. Cada elemento é definido por sua geometria e pelo número de nós. Tem-se os elementos triangulares de três e de seis nós, os elementos retangulares de quatro e de oito nós e os elementos isoparamétricos. Esses últimos são elementos distorcidos, que permitem uma boa modelagem de domínios irregulares. Um aumento progressivo do número de nós melhora as características de precisão do elemento. A malha terá que ser mais refinada, quando for utilizado um elemento com poucos nós Programa GiD plus Segundo Marcipar (1999), GiD é um programa de pré e pós procesamento gráfico para a análise por elementos finitos, Calsef é um módulo de cálculo de estruturas sólidas pelo método dos elementos finitos. O programa GiD plus trabalha com a união de ambos programas. A integração de ambos programas, permite aplicar todo potencial da tecnología gráfica, facilitando a definição de um problema e a correta interpretação dos resultados obtidos, e o módulo de cálculo Calsef, nos permite resolver empregando o método dos elementos finitos nas diferentes estruturas. Segundo Marcipar (1999), é necessário efetuar uma análise completa da estrutura sólida sometida a ações externas pelo método dos elementos finitos, tal como a figura 10, a seguir:

22 22 Figura 02: esquema de funcionamento do GiD (MARCIPAR, 1999). Figura 03: resultados conseguidos com o calsef (CIMNE, 2006).

23 Aplicação dos Métodos e Resultados Alcançados Métodos utilizados Para a verificação dos momentos fletores utilizou-se os seguintes métodos: Método de Marcus (BOTELHO, 2003), Método de Czerny (BOTELHO, 2003), Soluções Analíticas propostas por Timoshenko (TIMOSHENKO, 1959), o Programa de pré e pós-processamento GiD (CIMNE, 2006) e o Programa Calsef 1.0 (CIMNE, 2006). Utilizou-se o Método de Marcus e o Método de Czerny, por serem bastante empregados nos cálculos em concreto armado Placas utilizadas Foram utilizadas placas armadas em duas direções, com relação entre o vão maior e o vão menor (), maior ou igual à 0,5 e menor ou igual à 2. As dimensões (l y xl x ) adotadas para as placas foram as seguintes: 2x2m; 2,4x2m; 2,8x2m; 3,2x2m; 3,6x2m; 4x2m. Sendo λ = l y l x =1,6; =1,8; =2., a relação entre os vãos obtidos foram os seguintes: =1; =1,2; =1,4; As condições de apoio adotadas foram os seguintes: a) caso 01 (simplesmente apoiadas nas quatro bordas); b) caso 02 (uma borda engastada (l y ) e três simplesmente apoiadas); c) caso 03 (duas bordas engastadas(l y e l x ) e duas simplesmente apoiadas); d) caso 04 (duas bordas engastadas (2xl y ) e duas simplesmente apoiadas); e) caso 05 (três bordas engastadas (2xl y e l x ) e duas simplesmente apoiadas);

24 24 f) caso 06 (engastada nas quatro bordas). Figura 05: condições de apoio das placas. A carga uniformemente distribuída adotada foi de 5 kn/m. A espessura das placas analisadas foi de 10 cm Metodologia de aplicação das placas Foram testadas todas as dimensões das placas citadas, nas diferentes condições de apoio citadas e obtido os momentos fletores.

25 Resultados obtidos com o Método de Marcus Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Marcus Para a obtenção dos momentos fletores devido à Marcus foram utilizadas as seguintes expressões: plx² Mx = (24); mx plx² My = (25); my plx² Xx = (26); nx plx² Xy = (27); λ = l y l x (3). ny onde: l y = maior lado da placa; l x = menor lado da placa; Mx = momento na direção x; My = momento na direção x; Xy = momento negativo na direção y (só ocorre com borda engastada); Xx = momento positivo na direção x(só ocorre com borda engastada); mx = coeficiente de cálculo,obtido na tabela; my = coeficiente de cálculo,obtido na tabela; nx = coeficiente de cálculo,obtido na tabela; ny = coeficiente de cálculo,obtido na tabela; Os valores mx, my, nx e ny são obtidos entrando com o valor de na tabela.(anexo 01).

26 Momentos obtidos Utilizando as tabelas de Marcus os resultados dos momentos fletores foram os seguintes: Tabela 01: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE MARCUS Mx(kN.m) My(kN.m) 1,0 0,729 0,729 1,2 1,028 0,714 1,4 1,314 0,671 1,6 1,556 0,608 1,8 1,747 0,539 2,0 1,892 0,473 Tabela 02: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE MARCUS Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 1,0 0,668 0,544-1,786 1,2 0,857 0,469-2,096 1,4 0,998 0,391-2,265 1,6 1,096 0,323-2,356 1,8 1,166 0,268-2,410 2,0 1,215 0,224-2,439 Tabela 03: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE MARCUS Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,538 0,538-1,250-1,250 1,2 0,740 0,514-1,686-1,171 1,4 0,904 0,461-1,984-1,012 1,6 1,026 0,401-2,169-0,847 1,8 1,114 0,344-2,283-0,704 2,0 1,178 0,294-2,353-0,588

27 Tabela 04: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE MARCUS Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 1,0 0,534 0,359-1,389 1,2 0,626 0,283-1,520 1,4 0,685 0,223-1,585 1,6 0,724 0,178-1,617 1,8 0,749 0,144-1,635 2,0 0,767 0,118-1,646 Tabela 05: momentos devido à Marcus, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE MARCUS Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,453 0,396-1,111-0,833 1,2 0,567 0,342-1,343-0,699 1,4 0,645 0,284-1,475-0,564 1,6 0,696 0,234-1,548-0,454 1,8 0,730 0,193-1,591-0,368 2,0 0,754 0,161-1,616-0,303 Tabela 06: momentos devido à Marcus,em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE MARCUS Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,359 0,359-0,833-0,833 1,2 0,489 0,340-1,124-0,781 1,4 0,587 0,299-1,325-0,676 1,6 0,656 0,256-1,449-0,565 1,8 0,702 0,216-1,527-0,469 2,0 0,733 0,183-1,563-0,392

28 Resultados obtidos com o Método de Czerny Metodologia obtenção dos momentos utilizando a tabela de Czerny Para a obtenção dos momentos fletores devido à Czerny foram utilizadas as seguintes expressões: qlx² Mx = (28); mx qlx² My = (29); my qlx² Xx = (30); xx plx² Xy = (31); l y l x (32). xy onde: l y = maior lado da placa; l x = menor lado da placa; Mx = momento na direção x; My = momento na direção x; Xy = momento negativo na direção y (só ocorre com borda engastada); Xx = momento positivo na direção x(só ocorre com borda engastada); mx = momento fletor positivo unitário máximo, na direção x; my = momento fletor positivo unitário máximo, na direção y; xx = momento fletor negativo unitário máximo, na direção x; xy = momento fletor negativo unitário máximo, na direção y. Os valores mx,my,xx e xy são obtidos entrando com o valor de l l na tabela.(anexo 02). y x

29 Momentos obtidos Utilizando as tabelas de Czerny os resultados dos momentos fletores foram os seguintes: Tabela 07: momentos devido à Marcus,em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE CZERNY Mx(kN.m) My(kN.m) 1,0 0,840 0,840 1,2 1,020 0,860 1,4 1,287 0,829 1,6 1,538 0,782 1,8 1,747 0,730 2,0 1,901 0,670 Tabela 08: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE CZERNY Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 1,0 0,720 0,600-1,681 1,2 0,800 0,560-1,860 1,4 0,948 0,503-2,064 1,6 1,050 0,436-2,222 1,8 1,128 0,372-2,331 2,0 1,176 0,324-2,404 Tabela 09: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE CZERNY Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,540 0,540-1,400-1,400 1,2 0,660 0,540-1,600-1,480 1,4 0,814 0,509-1,876-1,571 1,6 0,942 0,456-2,079-1,612 1,8 1,050 0,392-2,237-1,639 2,0 1,110 0,344-2,331-1,639

30 Tabela 10: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE CZERNY Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 1,0 0,620 0,400-1,400 1,2 0,680 0,360-1,480 1,4 0,751 0,303-1,582 1,6 0,792 0,242-1,646 1,8 0,822 0,196-1,663 2,0 0,834 0,172-1,674 Tabela 11: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE CZERNY Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,520 0,420-1,240-1,100 1,2 0,580 0,380-1,360-1,140 1,4 0,507 0,343-1,508-1,160 1,6 0,758 0,282-1,604-1,154 1,8 0,804 0,234-1,664-1,138 2,0 0,828 0,198-1,688-1,126 Tabela 12: momento devido à Czerny, em placas com condições de contorno do caso CASO MÉTODO DE CZERNY Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,420 0,420-1,040-1,040 1,2 0,500 0,400-1,180-1,100 1,4 0,608 0,354-1,379-1,145 1,6 0,704 0,316-1,516-1,160 1,8 0,766 0,254-1,608-1,160 2,0 0,802 0,218-1,656-1,160

31 Resultados obtidos com a Solução Analítica Metodologia obtenção dos momentos utilizando a Solução Analítica Para o cálculo dos momentos fletores, foi utilizando a Soluções Analíticas propostas por Timoshenko, foram utilizadas as equações: Mx = αql² (33); My = βql² (34); Xx = γql² (35); Xy = δql² (36); b/a (37). onde: a = lado da placa (x); b = lado da placa (y); Mx = momento na direção x; My = momento na direção x; Xy = momento negativo na direção y (só ocorre com borda engastada); Xx = momento positivo na direção x(só ocorre com borda engastada); = coeficiente de cálculo; = coeficiente de cálculo; = coeficiente de cálculo; = coeficiente de cálculo; l = menor valor de a e b. Os valores,, e são obtidos entrando com o valor de b/a na tabela. (anexo 03).

32 Momentos obtidos Utilizando à solução analítica os resultados dos momentos fletores foram os seguintes: Tabela 13: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do caso CASO SOLUÇÃO Mx(kN.m) My(kN.m) 1,0 0,884 0,884 1,2 1,184 0,898 1,4 1,446 0,878 1,6 1,672 0,828 1,8 1,854 0,782 2,0 1,998 0,734 Tabela 14: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do caso CASO SOLUÇÃO Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 1,0 0,734 0,614-1,680 1,2 0,896 0,558-1,960 1,4 1,014 0,504-2,150 1,6 1,100 0,446-2,278 1,8 1,154 0,396-2,360 2,0 1,250 0,354-2,500 Tabela 15: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do caso CASO SOLUÇÃO Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) Mmax(kN.m) 1,0 0,562 0,562-1,356-1,356 0,61 1,2 0,752 0,558-1,690-1,472 0,814 1,4 0,902 0,520-1,950-1,530 0,982 1,6 1,014 0,472-2,136-1,576 1,106 1,8 1,092 0,426-2,268-1,570 1,216 2,0 1,148 0,382-2,360-1,574 1,324

33 Tabela 16: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do caso CASO SOLUÇÃO Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 1,0 0,632 0,432-1,394 1,2 0,724 0,362-1,540 1,4 0,780 0,310-1,620 1,6 0,812 0,258-1,658 1,8 0,828 0,224-1,676 2,0 0,836 0,200-1,684 Tabela 17: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do caso CASO SOLUÇÃO Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,522 0,426-1,200-1,094 1,2 0,646 0,384-1,410-1,146 1,4 0,728 0,332-1,540-1,152 1,6 0,780 0,286-1,606-1,136 1,8 0,810 0,250-1,610-1,134 2,0 0,828 0,220-1,666-1,132 Tabela 18: momento devido à Solução Analítica, em placas com condições de contorno do caso CASO SOLUÇÃO Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 1,0 0,426 0,426-1,026-1,026 1,2 0,568 0,406-1,278-1,108 1,4 0,674 0,362-1,452-1,136 1,6 0,744 0,314-1,560-1,142 1,8 0,790 0,272-1,624-1,142 2,0 0,816 0,236-1,658-1,142

34 Resultados obtidos com o GiD Plus Metodologia obtenção dos momentos utilizando o GiD Plus Modelou-se todas as dimensões das placas com as diferentes condições de contorno. Para modelagem foram lançadas as condições de contorno, a carga distribuída, as placas foram consideradas sendo de concreto com espessura de 10 cm. Foram simuladas para as placas com =1, malha quadrada de 4x4, 8x8 e 16x16. Placas com =1,2 e =1,4, malha reticulada de 4x6, 8x12 e 16x24. Para placas com =1,6, =1,8 e =2, malha reticulada de 4x8, 8x16 e 16x Resultados dos momentos obtidos utilizando o GiD Plus Tabela 19: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e =1. GiD 1 CASO = 1,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) 4x4 (16) 0,802 0,802 8x8 (64) 0,875 0,875 16x16 (256) 0,900 0,900 Tabela 20: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e =1,2. GiD 1 CASO = 1,2 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) 4x6 (24) 1,111 0,812 8x12 (96) 1,183 0,886 16x24 (384) 1,208 0,910

35 Tabela 21: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e =1,4. 35 GiD 1 CASO = 1,4 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) 4x6 (24) 1,340 0,788 8x12 (96) 1,440 0,858 16x24 (384) 1,476 0,880 Tabela 22: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e =1,6. GiD 1 CASO = 1,6 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) 4x8 (32) 1,543 0,737 8x16 (128) 1,659 0,811 16x32 (512) 1,695 0,833 Tabela 23: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e =1,8. GiD 1 CASO = 1,8 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) 4x8 (32) 1,693 0,699 8x16 (128) 1,830 0,773 16x32 (512) 1,872 0,795

36 Tabela 24: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e =2. 36 GiD 1 CASO = 2,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) 4x8 (32) 1,812 0,679 8x16 (128) 1,967 0,749 16x32 (512) 2,012 0,771 Tabela 25: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e =1. GiD 2 CASO = 1,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x4 (16) 0,655 0,545-0,648 8x8 (64) 0,766 0,616-1,075 16x16 (256) 0,789 0,642-1,356 Tabela 26: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e =1,2. GiD 2 CASO = 1,2 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x6 (24) 0,798 0,476-0,836 8x12 (96) 0,952 0,565-1,311 16x24 (384) 0,976 0,589-1,616

37 Tabela 27: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e =1,4. 37 GiD 2 CASO = 1,4 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x6 (24) 0,880 0,431-0,947 8x12 (96) 1,081 0,516-1,470 16x24 (384) 1,111 0,538-1,795 Tabela 28: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e =1,6. GiD 2 CASO = 1,6 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x8 (32) 0,934 0,407-1,027 8x16 (128) 1,173 0,491-1,581 16x32 (512) 1,208 0,513-1,917 Tabela 29: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e =1,8. GiD 2 CASO = 1,8 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x8 (32) 0,967 0,392-1,077 8x16 (128) 1,235 0,475-1,653 16x32 (512) 1,273 0,500-1,996

38 Tabela 30: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 02 e =2. 38 GiD 2 CASO = 2,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x8 (32) 0,987 0,378-1,108 8x16 (128) 1,276 0,471-1,7 16x32 (512) 1,318 0,494-2,047 Tabela 31: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e =1. GiD 3 CASO = 1,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x4 (16) 0,502 0,502-0,476-0,476 8x8 (64) 0,588 0,588-0,836-0,836 16x16 (256) 0,615 0,615-1,095-1,095 Tabela 32: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e =1,2. GiD 3 CASO = 1,2 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x6 (24) 0,686 0,499-0,700-0,630 8x12 (96) 0,810 0,578-1,127-1,015 16x24 (384) 0,826 0,606-1,401-1,261

39 Tabela 33: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e =1,4. 39 GiD 3 CASO = 1,4 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x6 (24) 0,799 0,463-0,842-0,590 8x12 (96) 0,969 0,544-1,329-1,005 16x24 (384) 0,995 0,567-1,634-1,278 Tabela 34: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e =1,6. GiD 3 CASO = 1,6 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,881 0,423-0,955-0,663 8x16 (128) 1,094 0,508-1,483-1,081 16x32 (512) 1,122 0,532-1,803-1,337 Tabela 35: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e =1,8. GiD 3 CASO = 1,8 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,932 0,401-1,027-0,615 8x16 (128) 1,179 0,485-1,585-1,045 16x32 (512) 1,212 0,510-1,918-1,318

40 Tabela 36: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e =2. 40 GiD 3 CASO = 2,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,966 0,383-1,076-0,570 8x16 (128) 1,237 0,476-1,654-1,005 16x32 (512) 1,275 0,500-1,994-1,293 Tabela 37: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e =1. GiD 4 CASO = 1,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x4 (16) 0,553 0,368-0,489 8x8 (64) 0,617 0,420-0,863 16x16 (256) 0,633 0,433-1,107 Tabela 38: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e =1,2. GiD 4 CASO = 1,2 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x6 (24) 0,615 0,297-0,575 8x12 (96) 0,704 0,364-0,982 16x24 (384) 0,724 0,382-1,241

41 Tabela 39: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e =1,4. 41 GiD 4 CASO = 1,4 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x6 (24) 0,640 0,264-0,614 8x12 (96) 0,751 0,342-1,048 16x24 (384) 0,777 0,363-1,317 Tabela 40: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e =1,6. GiD 4 CASO = 1,6 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x8 (32) 0,645 0,267-0,632 8x16 (128) 0,776 0,339-1,084 16x32 (512) 0,806 0,355-1,356 Tabela 41: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e =1,8. GiD 4 CASO = 1,8 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x8 (32) 0,646 0,255-0,640 8x16 (128) 0,788 0,217-1,100 16x32 (512) 0,822 0,346-1,376

42 Tabela 42: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 04 e =2. 42 GiD 4 CASO = 2,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) 4x8 (32) 0,643 0,243-0,641 8x16 (128) 0,792 0,329-1,107 16x32 (512) 0,827 0,351-1,382 Tabela 43: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e =1. GiD 5 CASO = 1,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x4 (16) 0,467 0,376-0,396-0,334 8x8 (64) 0,512 0,439-0,718-0,64 16x16 (256) 0,533 0,451-0,953-0,843 Tabela 44: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e =1,2. GiD 5 CASO = 1,2 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x6 (24) 0,568 0,326-0,518-0,407 8x12 (96) 0,639 0,390-0,894-0,728 16x24 (384) 0,654 0,407-1,136-0,916

43 Tabela 45: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e =1,4. 43 GiD 5 CASO = 1,4 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x6 (24) 0,615 0,284-0,579-0,359 8x12 (96) 0,710 0,357-0,991-0,687 16x24 (384) 0,732 0,374-1,251-0,892 Tabela 46: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e =1,6. GiD 5 CASO = 1,6 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,634 0,272-0,614-0,401 8x16 (128) 0,754 0,344-1,052-0,729 16x32 (512) 0,780 0,361-1,318-0,920 Tabela 47: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e =1,8. GiD 5 CASO = 1,8 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,643 0,256-0,631-0,364 8x16 (128) 0,776 0,335-1,083-0,694 16x32 (512) 0,806 0,355-1,354-0,896

44 Tabela 48: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e =2. 44 GiD 5 CASO = 2,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,644 0,251-0,639-0,332 8x16 (128) 0,786 0,329-1,099-0,661 16x32 (512) 0,820 0,352-1,372-0,873 Tabela 49: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e =1. GiD 6 CASO = 1,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x4 (16) 0,384 0,384-0,307-0,307 8x8 (64) 0,414 0,414-0,588-0,588 16x16 (256) 0,422 0,422-0,779-0,779 Tabela 50: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e =1,2. GiD 6 CASO = 1,2 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x6 (24) 0,522 0,344-0,461-0,402 8x12 (96) 0,560 0,393-0,786-0,708 16x24 (384) 0,567 0,404-1,003-0,890

45 Tabela 51: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e =1,4. 45 GiD 6 CASO = 1,4 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x6 (24) 0,589 0,302-0,543-0,360 8x12 (96) 0,657 0,349-0,919-0,683 16x24 (384) 0,671 0,361-1,159-0,886 Tabela 52: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e =1,6. GiD 6 CASO = 1,6 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,623 0,252-0,596-0,402 8x16 (128) 0,720 0,306-1,005-0,729 16x32 (512) 0,740 0,319-1,260-0,919 Tabela 53: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e =1,8. GiD 6 CASO = 1,8 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,640 0,242-0,623-0,365 8x16 (128) 0,756 0,290-1,056-0,695 16x32 (512) 0,782 0,302-1,320-0,897

46 Tabela 54: momento devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e =2. 46 GiD 6 CASO = 2,0 malha(elementos) Mx(kN.m) My(kN.m) Xx(kN.m) Xy(kN.m) 4x8 (32) 0,646 0,250-0,637-0,333 8x16 (128) 0,776 0,287-1,084-0,662 16x32 (512) 0,806 0,296-1,353-0, Gráficos de momentos gerados pelo GiD Plus Figura 06: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e = 1, com malha de 4x4.

47 47 Figura 07: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e = 1, com malha de 4x4. Figura 08: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e = 1, com malha de 8x8.

48 48 Figura 09: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e = 1, com malha de 8x8. Figura 10: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e = 1, com malha de 16x16.

49 49 Figura 11: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 01 e = 1, com malha de 16x16. Figura 12: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e = 1, com malha de 4x4.

50 50 Figura 13: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e = 1, com malha de 4x4. Figura 14: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e = 1, com malha de 8x8.

51 51 Figura 15: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e = 1, com malha de 8x8. Figura 16: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e = 1, com malha de 16x16.

52 52 Figura 17: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 06 e = 1, com malha de 16x16. Figura 18: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e = 1, com malha de 4x4.

53 53 Figura 19: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e = 1, com malha de 4x4. Figura 20: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e = 1, com malha de 8x8.

54 54 Figura 21: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e = 1, com malha de 8x8. Figura 22: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e = 1, com malha de 16x16.

55 55 Figura 23: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 03 e = 1, com malha de 16x16. Figura 24: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e = 2, com malha de 4x8.

56 56 Figura 25: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e = 2, com malha de 4x8. Figura 26: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e = 2, com malha de 8x16.

57 57 Figura 27: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e = 2, com malha de 8x16. Figura 28: momento Mx devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e = 2, com malha de 16x32.

58 58 Figura 29: momento My devido à GiD Plus, em placas com condições de contorno do caso 05 e = 2, com malha de 16x32. Analisando os gráficos gerados pelo GiD Plus, observa-se a distribuição dos momentos fletores nas placas. Por exemplo na figura 07, 09, 11, que trata-se de uma placa simplesmente apoiada de 2x2m, a medida que aumentamos o número de elementos a precisão dos momentos vai aumentando até um ponto em que os resultados não mais se alteram, nesse ponto é possível observar a localização quase exata dos momentos. Na placa da figura 11, observa-se que o momento máximo está localizado no centro da placa, e que nos cantos da placa aparecem momentos negativos (necessidade de armadura negativa nos cantos). Na placa da figura 16, placa de 2x2m e totalmente engastada, observou-se que os momentos negativos máximos não ocorrem em toda borda engastada, mas sim nas proximidades da região central da borda engastada. Na placa da figura 27, placa de 4x2m, engastada nas duas bordas em y e em x uma borda apoiada e outra engastada, observou-se que a localização do momento máximo não está no centro do vão, ela foi alterada pelas condições de apoio, localizando-se próximo da borda apoiada.

59 Comparação dos resultados obtidos com o Método de Marcus e Método de Czerny com a Solução Analítica Foram realizadas comparações, tomando como referência a Solução Analítica, com os métodos de Marcus e Czerny, verificando a diferença em percentagem dos resultados dos momentos fletores de cada método. E os resultados foram os seguintes: Tabela 55: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,840 4,98% 0,884 1,2 1,020 13,86% 1,184 1,4 1,287 11,00% 1,446 1,6 1,538 7,99% 1,672 1,8 1,747 5,79% 1,854 2,0 1,901 4,85% 1,998 Tabela 56: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,729 17,52% 0,884 1,2 1,028 13,15% 1,184 1,4 1,314 9,12% 1,446 1,6 1,556 6,91% 1,672 1,8 1,747 5,79% 1,854 2,0 1,892 5,30% 1,998

60 Tabela 57: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A My(kN.m) 1,0 0,840 4,98% 0,884 1,2 0,860 4,25% 0,898 1,4 0,829 5,60% 0,878 1,6 0,782 5,57% 0,828 1,8 0,730 6,66% 0,782 2,0 0,670 8,72% 0,734 Tabela 58: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A My(kN.m) 1,0 0,729 17,52% 0,884 1,2 0,714 20,49% 0,898 1,4 0,671 23,61% 0,878 1,6 0,608 26,58% 0,828 1,8 0,539 31,06% 0,782 2,0 0,473 35,57% 0,734 Tabela 59: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,720 1,92% 0,734 1,2 0,800 10,71% 0,896 1,4 0,948 6,52% 1,014 1,6 1,050 4,56% 1,100 1,8 1,128 2,25% 1,154 2,0 1,176 5,94% 1,250

61 Tabela 60: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,668 8,96% 0,734 1,2 0,857 4,32% 0,896 1,4 0,998 1,58% 1,014 1,6 1,096 0,32% 1,100 1,8 1,166 1,04% 1,154 2,0 1,215 2,79% 1,250 Tabela 61: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A My(kN.m) 1,0 0,600 2,27% 0,614 1,2 0,560 0,37% 0,558 1,4 0,503 0,17% 0,504 1,6 0,436 2,24% 0,446 1,8 0,372 6,05% 0,396 2,0 0,324 8,48% 0,354 Tabela 62: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A My(kN.m) 1,0 0,544 11,37% 0,614 1,2 0,469 15,92% 0,558 1,4 0,391 22,43% 0,504 1,6 0,323 27,58% 0,446 1,8 0,268 32,36% 0,396 2,0 0,224 36,70% 0,354

62 Tabela 63: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Xx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Xx(kN.m) 1,0-1,681 0,04% -1,680 1,2-1,860 5,08% -1,960 1,4-2,064 4,00% -2,150 1,6-2,222 2,45% -2,278 1,8-2,331 1,23% -2,360 2,0-2,404 3,85% -2,500 Tabela 65: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Xx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Xx(kN.m) 1,0-1,786 5,92% -1,680 1,2-2,096 6,51% -1,960 1,4-2,265 5,08% -2,150 1,6-2,356 3,30% -2,278 1,8-2,410 2,06% -2,360 2,0-2,439 2,44% -2,500 Tabela 66: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,540 3,92% 0,562 1,2 0,660 12,23% 0,752 1,4 0,814 9,79% 0,902 1,6 0,942 7,09% 1,014 1,8 1,050 3,86% 1,092 2,0 1,110 3,32% 1,148

63 Tabela 67: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,538 4,21% 0,562 1,2 0,740 1,53% 0,752 1,4 0,904 0,24% 0,902 1,6 1,026 1,19% 1,014 1,8 1,114 1,99% 1,092 2,0 1,178 2,53% 1,148 Tabela 68: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A My(kN.m) 1,0 0,540 3,92% 0,562 1,2 0,540 3,23% 0,558 1,4 0,509 2,16% 0,520 1,6 0,456 3,39% 0,472 1,8 0,392 7,98% 0,426 2,0 0,344 9,95% 0,382 Tabela 69: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A My(kN.m) 1,0 0,538 4,21% 0,562 1,2 0,514 7,84% 0,558 1,4 0,461 11,28% 0,520 1,6 0,401 15,05% 0,472 1,8 0,344 19,25% 0,426 2,0 0,294 22,93% 0,382

64 Tabela 70: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Xx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Xx(kN.m) 1,0-1,400 3,11% -1,356 1,2-1,600 5,33% -1,690 1,4-1,876 3,79% -1,950 1,6-2,079 2,67% -2,136 1,8-2,237 1,36% -2,268 2,0-2,331 1,23% -2,360 Tabela 71: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Xx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Xx(kN.m) 1,0-1,250 7,82% -1,356 1,2-1,686 0,22% -1,690 1,4-1,984 1,72% -1,950 1,6-2,169 1,53% -2,136 1,8-2,283 0,66% -2,268 2,0-2,353 0,30% -2,360 Tabela 72: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xy obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Xy(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Xy(kN.m) 1,0-1,400 3,11% -1,356 1,2-1,480 0,57% -1,472 1,4-1,571 2,62% -1,530 1,6-1,612 2,21% -1,576 1,8-1,639 4,23% -1,570 2,0-1,639 3,99% -1,574

65 Tabela 73: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xy obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Xy(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Xy(kN.m) 1,0-1,250 7,82% -1,356 1,2-1,171 20,45% -1,472 1,4-1,012 33,85% -1,530 1,6-0,847 46,25% -1,576 1,8-0,704 55,13% -1,570 2,0-0,588 62,63% -1,574 Tabela 74: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,620 1,90% 0,632 1,2 0,680 6,07% 0,724 1,4 0,751 3,68% 0,780 1,6 0,792 2,45% 0,812 1,8 0,822 0,72% 0,828 2,0 0,834 0,24% 0,836 Tabela 75: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,534 15,54% 0,632 1,2 0,626 13,48% 0,724 1,4 0,685 12,13% 0,780 1,6 0,724 10,89% 0,812 1,8 0,749 9,53% 0,828 2,0 0,767 8,30% 0,836

66 Tabela 76: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A My(kN.m) 1,0 0,400 7,41% 0,432 1,2 0,360 0,56% 0,362 1,4 0,303 2,19% 0,310 1,6 0,242 6,20% 0,258 1,8 0,196 12,50% 0,224 2,0 0,172 14,00% 0,200 Tabela 77: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de My obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS My(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A My(kN.m) 1,0 0,359 16,94% 0,432 1,2 0,283 21,76% 0,362 1,4 0,223 28,10% 0,310 1,6 0,178 31,18% 0,258 1,8 0,144 35,81% 0,224 2,0 0,118 40,81% 0,200 Tabela 78: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Xx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Xx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Xx(kN.m) 1,0-1,400 0,40% -1,394 1,2-1,480 3,87% -1,540 1,4-1,582 2,33% -1,620 1,6-1,646 0,72% -1,658 1,8-1,663 0,80% -1,676 2,0-1,674 0,62% -1,684

67 Tabela 79: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Xx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Xx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Xx(kN.m) 1,0-1,389 0,37% -1,394 1,2-1,520 1,31% -1,540 1,4-1,585 2,17% -1,620 1,6-1,617 2,48% -1,658 1,8-1,635 2,43% -1,676 2,0-1,646 2,25% -1,684 Tabela 80: comparação da diferença entre Czerny e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS CZERNY Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de C p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,520 0,38% 0,522 1,2 0,580 10,21% 0,646 1,4 0,682 6,27% 0,728 1,6 0,758 2,84% 0,780 1,8 0,804 0,76% 0,810 2,0 0,828 0,02% 0,828 Tabela 81: comparação da diferença entre Marcus e a Solução Analítica dos resultados de Mx obtidos, em placas com condições de contorno do caso CASO COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS MARCUS Mx(kN.m) :: DIFERENÇA(%) de M p/ A Mx(kN.m) 1,0 0,453 13,28% 0,522 1,2 0,567 12,22% 0,646 1,4 0,645 11,41% 0,728 1,6 0,696 10,75% 0,780 1,8 0,730 9,82% 0,810 2,0 0,754 8,99% 0,828