OTIMIZANDO CUSTOS NO COMBATE DA DENGUE ATRAVÉS DE ALGORITMOS

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1 OTIMIZANDO CUSTOS NO COMBATE DA DENGUE ATRAVÉS DE ALGORITMOS GENÉTICOS L. S. Barsante, R. T. N. Cardoso, J. L. Acebal Mestranda em Modelagem Matematica e Computacional Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais(CEFET-MG) Av. Amazonas, 7675, , Belo Horizonte, MG, Brasil Departamento de Física e Matemática Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais(CEFET-MG) Av. Amazonas, 7675, , Belo Horizonte, MG, Brasil s: lilliabarsante@gmail.com, rodrigoc@des.cefetmg.br, jlacebal@gmail.com Abstract At present, dengue fever is an infectious disease that motivates many studies and research. Among these studies have different mathematical models that describe and analyze the evolution of the vectors of this disease. One of the main strategies to combat these vectors in Brazil is accomplished through the intensive use of chemicals. Another way to control these vectors is releasing sterile males into the natural environment, and so alter its reproduction process. Aiming at to analyze the cost of these controls and based on the model proposed in the literature to study the effect of the insertion of sterile males into the environment, this work proposes an application of genetic algorithms on the cost minimization in combating dengue, obtainning better results than those come to Thomé (2007). Keywords Dengue, Mathematical Model, Optimization. Resumo Atualmente a dengue é uma das doenças infecciosas que motiva diversos estudos e pesquisas. Dentre estes estudos temos diferentes modelos matemáticos que descrevem e analisam a evolução dos vetores desta doença. Uma das principais estratégias de combate destes vetores no Brasil é realizada através do uso intenso de produtos químicos. Outra forma de controlar estes vetores é liberando machos estéreis no ambiente natural e, assim, alterar seu processo de reprodução. Visando analisar o custo destes controles e baseando no modelo proposto na literatura para estudar o efeito da inserção de machos estéreis no meio ambiente, propomos nesse trabalho uma aplicação de algoritmos genéticos na minimização do custo no combate da dengue, obtendo resultados melhores que os de Thomé (2007). Palavras-chave Dengue, Modelo Matemático, Otimização. 1 Introdução A dengue ocorre principalmente em áreas tropicais e subtropicais do mundo, independente da classe social do ser humano. As epidemias geralmente ocorrem no verão, durante ou imediatamente após períodos chuvosos. A doença é causada pelo vírus do gênero Flavivírus, do qual existem quatro sorotipos: 1, 2, 3 e 4; cuja gravidade é variável. Após a contaminação, o humano torna-se imune ao sorotipo pelo qual foi contaminado, porém, fica suscetível aos demais (FNS, 2001). No Brasil a dengue se tornou uma doença de grande importância epidêmica a partir da década de 90 e no ano de 2005, foi considerada pela Organização Mundial de Saúde (OMS), a doença viral mais importante, veiculada por mosquitos, que afeta os seres humanos. Neste sentido, a doença necessita de população suscetível, circulação do vírus e presença do vetor. O Aedes aegypti é o principal vetor transmissor desta doença, onde machos e fêmeas alimentam-se da seiva das plantas, e somente as fêmea picam o ser humano em busca de sangue para maturar seus ovos. Este vetor ficou conhecido por transmitir mundialmente à dengue e a febre amarela, e tem-se caracterizado como um inseto de comportamento urbano. Apesar dos diversos estudos sobre a dengue, ainda não há uma forma eficaz de combater a doença. Atualmente não existe vacina contra a dengue, e a prevenção se dá por meio da vigilância epidemiológica e controle do vetor. Este controle é realizado pela Superintendência de Controle em Endemias (SUCEN) e pode acontecer de forma mecânica, química e/ou biológica. A forma mecânica consiste na eliminação cotidiana da população humana e dos agentes de saúde pública de locais com condições para o desenvolvimento das larvas do vetor, ou seja, locais com acúmulo de água. O controle químico consiste na aplicação de larvicidas e inseticidas em locais de criação do vetor nas fases larval e adulta, a fim de eliminá-las. O uso intenso destes produtos químicos pode provocar danos ambientais e gerar o desenvolvimento da resistência dos vetores, ou seja, morrem os indivíduos suscetíveis e sobrevivem os resistentes, que transferem essa capacidade a seus descendentes (Thomé, 2007). O controle biológico consiste basicamente no emprego de um organismo (predador, parasita ou patógeno) que ataca outro que esteja causando da- ISSN: Vol. X 27

2 nos econômicos. Outra forma de conter estes vetores é através da inserção de machos estéreis em regiões endêmicas visando alterar seu processo reprodutivo, reduzindo assim o nível de indivíduos contaminados. Estes insetos se tornam estéreis devido ao uso de agentes que causam mutações tais como a radiação gama. Esta técnica, conhecida como Sterile Insect Technique (SIT), foi desenvolvida pelo entomólogo americano Edward Knipling e tem-se mostrado muito eficiente no controle de pragas agrícolas (Thomé, 2007). Desta forma, modelos matemáticos vêm sendo desenvolvidos a fim de descrever a dinâmica populacional deste vetor e a propagação de epidemias a ele associada, baseando-se em variáveis sócioambientais, e/ou em parâmetros climáticos, que influem em seu ciclo vital, buscando inclusive avaliar certas formas de controle do vetor. Assim, baseando-se no modelo proposto na literatura para estudar o efeito da inserção de machos estéreis no meio ambiente, propomos neste trabalho a aplicação de algoritmos genéticos na minimização do custo no combate da dengue proposto por (Thomé, 2007). 2 Formas de Transmissão A transmissão da dengue dá-se pela picada das fêmeas adultas infectadas de mosquitos do gênero Aedes no ser humano, em busca de sangue para maturar seus ovos. Após um repasto de sangue infectado, o vírus vai se localizar nas glândulas salivares deste vetor, onde se multiplica depois de 8 a 12 dias de incubação, logo após torna-se vetor permanentemente da doença estando apta a transmitir o vírus a indivíduos sadios. Apesar de contaminado, a doença não se manifesta no mosquito (SVS, 2005). O período de incubação do vírus no ser humano varia de 3 a 15 dias, mas em média ocorre de 5 a 6 dias, após a picada do vetor infectado. A transmissão para o vetor ocorre enquanto houver presença de vírus no sangue do homem, ou seja, no período de viremia que começa um dia antes do aparecimento da febre e vai até o 6 o dia da doença (SVS, 2005). Não há transmissão por contato direto de um doente ou de suas secreções para uma pessoa sadia, nem através da água ou alimento (SMSF, 2003). 3 Ciclo de vida do vetor O ciclo de vida completo do vetor é composto pelas fases: aquática (ovos, larvas e pupas) e alada (mosquitos adultos). Os ovos são depositados pelas fêmeas na água e/ou nas paredes internas de qualquer recipiente escuro ou sombreado que serve como reservatórios de água. Uma vez completado o desenvolvimento embrionário, 48 horas após a sua postura (em condições favoráveis de umidade e temperatura), estes ovos são capazes de resistir a longos períodos de dessecação, que podem prolongar por mais de um ano. Esta condição permite que os ovos sejam transportados a grandes distâncias, em recipientes secos, tornando-se assim o principal meio de dispersão do inseto (FNS, 2001). A fase larvária possui quatro estágios evolutivos, correspondendo ao período de alimentação e crescimento. A duração desta fase depende da temperatura, disponibilidade de alimento e densidade das larvas no criadouro (FNS, 2001). As pupas não se alimentam e corresponde a fase que ocorre a metamorfose do estágio larval para o adulto. Este estágio dura geralmente, de dois a três dias (FNS, 2001). O adulto representa a fase reprodutora do vetor, em média, 24 horas após emergirem da fase aquática ambos os sexos estão aptos para o acasalamento, que se realiza durante o vôo e dificilmente ocorre sobre uma superfície vertical ou horizontal (Oliveira, 2006). Uma única inseminação é suficiente para fecundar todos os ovos que a fêmea venha a produzir, esta pode colocar 150 a 200 ovos de cada vez, sendo estes depositados aos poucos e em lugares diferentes, aumentando assim a probabilidade de nascimento de novos mosquitos. Calcula-se que haja uma probabilidade entre 30 e 40% de chances dos descendentes de vetores infectados já nascerem com o vírus por transmissão transovariana (Oliveira, 2006). Os vetores adultos podem permanecer vivos em laboratório durante meses, mas na natureza vivem em média de 30 a 35 dias (Cavalcante, 2011). 4 Modelo Matemático O efeito da inserção de inseticidas e machos estéreis na dinâmica de evolução da dengue, a partir de duas fases epidêmicas da doença, fase aquática (ovos, larvas e pupas) e fase alada (mosquitos adultos), foram descritas por Esteva and Yang (2006). A conseqüência desta inserção é a redução da população dos Aedes a níveis aceitáveis ou mesmo o seu desaparecimento do ambiente. Este modelo descreve a população de mosquitos naturais dividida em cinco compartimentos, onde a população da fase aquática é representada por A(t) e a população da fase alada é representada pelas populações fêmeas não acasaladas I(t), machos naturais M(t), fêmeas acasaladas férteis F(t) e fêmeas acasaladas removidas U(t). A população de machos estéreis S(t) é introduzida no meio de forma externa a uma taxa constante α. Considerou-se também que o modelo com dinâmica vital apresenta: µ a taxa de mortalidade natural dos vetores; ISSN: Vol. X 28

3 φ a taxa de oviposição intrínseca das fêmeas fertilizadas; C é a capacidade do meio relacionada como o número de nutrientes, criadouros disponíveis, dentre outros, para proliferação dos vetores na fase aquática; γ a taxa com que os vetores evoluem da fase aquática para a fase alada; β a taxa de acasalamento entre machos naturais e fêmeas imaturas; β S a taxa de acasalamentos entre machos estéreis e fêmeas imaturas; Desta forma, o sistema de equações diferenciais não-lineares que representa a dinâmica deste vetor com controle biológico descrito por Esteva and Yang (2006) é o seguinte : da di df dm ds = φ(1 A C )F γa µ AA = rγa βmi M+S β SMI M+S µ II = βmi M+S µ F F = (1 r)γa µ M M = α µ S S (1) A população I(t) e M(t) representam respectivamente, vetores fêmeas e machos naturais que evoluíram da fase aquática para a fase alada a uma taxa γ. A população F(t) é proveniente do cruzamento de machos naturais com fêmeas imaturas a βm M+S uma taxa igual a I, onde β é a taxa de acasalamento e M M+S I é a probabilidade de encontro destas populações. Esta população irá alimentar a fase aquática a uma taxa φ(1 A C )F. A população S(t) representa machos estéreis que foram introduzidos de forma externa no meio endêmico a uma taxa constante α. Já a população U(t) descrita pela equação abaixo, du = β SSI M + S µ U U está desacoplada deste sistema, sendo composta por fêmeas ditas removidas, isto porque machos estéreis acasalaram com as mesmas a uma taxa β S S M+S I tornando-as impossibilitadas de produzir ovos viáveis a continuidade do ciclo natural do vetor. 5 Otimização Dando continuidade ao trabalho elaborado pelos autores anteriores, Thomé (2007) analisou a minimização do custo de utilizar a técnica de controle da dengue através do uso de inseticidas e de liberação de machos estéreis, considerando u 1 (t) (investimento com inseticida) e u 2 (t) (investimento com mosquitos estéreis) as variáveis de decisão do problema de controle ótimo. Desta forma, o modelo dinâmico (1) acrescido destas variáveis de controle é o seguinte: da di df dm = φ(1 A C )F γa µ AA = rγa βmi M+S β SMI M+S µ II u 1 I = βmi M+S µ F F u 1 F = (1 r)γa µ M M u 1 M ds = u 2 µ S S u 1 S (2) Observe que u 1 (t) não atua na fase aquática A(t) e a taxa constante α foi substituída pela variável de controle u 2 (t). Para analisar a minimização do custo de utilizar estes controles, Thomé (2007) adotou um custo funcional quadrático por considerar o índice de desempenho J uma função não-linear quadrática de u, onde os quadrados nas variáveis funcionam como uma penalização, enfatizando as contribuições de pequenas variações e ampliando os efeitos de grandes variações nestas variáveis, os coeficientes (c i ) representam a importância relativa de cada fator no custo do funcional e o sinal negativo na frente do custo c 4 reflete o desejo de maximizar a presença de mosquitos estéreis no ambiente. Assim J[u] = 1 2 onde T 0 (c 1 u c 2 u c 3 F 2 c 4 S 2 ) (3) c 1 representa a importância relativa do custo com inseticidas; c 2 representa a importância relativa do custo com a produção de mosquitos estéreis; c 3 representa a importância relativa do custo social, ou seja, o número de fêmeas fertilizadas; c 4 representa a importância relativa do custo de preservação de mosquitos estéreis. ISSN: Vol. X 29

4 A fim de obter uma estratégia mais realística, Thomé (2007) propõe uma ação de controle alternativa, considerando as variáveis de decisão do problema u 1 (t) e u 2 (t) constantes no tempo. Para resolver o sistema (2), ele utilizou o pacote bvp4c do Matlab, que resolve problemas de equações diferenciais ordinárias (EDO) com condições de contorno e para otimizar (3) adotou-se o Método de Newton, onde usou o método da continuação analítica para gerar uma aproximação inicial que garantia a convergência do Método de Newton, visto que a convergência deste método depende criticamente de uma aproximação inicial suficientemente perto da solução desejada. Depois disso, ele utiliza o Teorema do Valor Médio para integrais para encontrar os valores ū 1 (t) e ū 2 (t) constantes. Neste sentido, o presente trabalho propõese minimizar através de Algoritmos Genéticos (AG s) o funcional J criado por Thomé (2007) considerando 4 cenários, onde resolvemos numericamente o problema de controle através de Algoritmo Genético (AG), conforme (Takahashi, 2007). Visto que nos algoritmos genéticos uma população de possíveis soluções para o problema em questão evolui de acordo com operadores probabilísticos (seleção, mutação, cruzamento) gerados a partir de ideias biológicas, de modo que exista em média, uma tendência dos indivíduos representarem soluções cada vez melhores à medida que o processo evolutivo continua. As variáveis de decisão do problema de controle u 1 (t) e u 2 (t) geradas no AG foram consideradas constantes no tempo em cada cenário. A evolução das populações do sistema (2) em uma escala de tempo de 120 dias foram realizadas através do pacote ode45 do MATLAB. Para realizar as simulações, adotou-se os seguintes parâmetros: 1000 como número máximo da população; 750 como número máximo de gerações de uma população; o domínio das variáveis de decisão u 1 (t) e u 2 (t) foram escolhidos de acordo com o cenário estudado; taxa de crossover de 90% e taxa de mutação de 5%. Os parâmetros do sistema γ, φ, r, C, β, β S, µ A, µ I, µ F, µ M, µ S, cuja unidade com exceção do r é dias 1 e as condições iniciais adotados neste trabalho foram extraídos de (Thomé, 2007) e compõem as Tabela1-2. Tabela1: Parâmetros adotados no estudo C γ φ r β S β µ S µ A µ I µ F µ M Tabela2: Condições Iniciais adotadas no estudo A(0) I(0) F(0) M(0) S(0) Em cada cenário foi ilustrado a evolução da população de machos estéreis introduzidas no sistema, visto que a minimização da variável u 2 (t) teve importância direta na diminuição do J[u] encontrado no AG. 5.1 Cenário 1: Custo Social Elevado e produção Cara de Mosquitos Estéreis Neste caso, foi considerado que o custo do inseticida é mais barato do que produção de mosquitos estéreis, ou seja, c 1 < c 2 ; elevado custo social, c3 = 100, pois almejarmos eliminar a doença e custo barato para preservar mosquitos estéreis. Seguem abaixo os coeficientes adotados em J neste cenário. Tabela3: Coeficientes adotados em J encontraram-se u=[0,0931 0,0156] e J[u] = 42155,4705. O gráfico a seguir ilustra a evolução Na execução do AG, onde se adotou [0 0,1] e [0 0,02] como o domínio das variáveis de decisão u 1 (t) e u 2 (t), respectivamente; encontramos como solução ótima u = [0,0991 0,00015], correspondendo J[u] = 26384,9560. O gráfico a seguir ilustra a evolução da população de machos estéreis do modelo (2) considerando u encontrado no AG. 5.2 Cenário 2: Custo Social Barato e Produção Cara de Mosquitos Estéreis Neste cenário, consideramos preço barato de inseticida, de preservação de mosquitos estéreis e de custo social; e mantivemos produção cara de mosquitos estéreis fazendo c 2 = 10. Seguem ISSN: Vol. X 30

5 abaixo os coeficientes adotados em J neste cenário. Tabela4: Coeficientes adotados em J encontraram-se u=[0,0786 0,0055] e J[u] = 429,2792. O gráfico a seguir ilustra a evolução No GA adotando-se [0 0,07] e [0 0,05] como o domínio das variáveis de decisão u 1 (t) e u 2 (t), respectivamente; encontramos como solução ótima u = [ ], correspondendo J[u] = 350,1990. O gráfico a seguir ilustra a evolução considerando u encontrado no AG. Já na execução do GA adotou-se [0 0,08] e [0 0,01] como o domínio das variáveis de decisão u 1 (t) e u 2 (t), respectivamente; onde encontramos como solução ótima u = [ ], correspondendo J[u] = 313,7376. O gráfico a seguir ilustra a evolução da população de machos estéreis do modelo (2) considerando u encontrado no AG. 5.3 Cenário 3: Custo Social Barato e Produção Barata de Mosquitos Estéreis 5.4 Cenário 4: Elevado Custo com Inseticidas Neste caso, consideramos um custo elevado para inseticidas fazendo c 1 = 3 e preços baratos com custo social e de preservação e produção de mosquitos estéreis. Seguem abaixo os coeficientes adotados em J neste cenário. Tabela6: Coeficientes adotados em J encontraram-se u=[ ] e J[u] = 725,0563. O gráfico a seguir ilustra a evolução Neste cenário, consideramos todos os custos baratos, ou seja, c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 1. Seguem abaixo os coeficientes adotados em J neste cenário. Tabela5: Coeficientes adotados em J encontraram-se u=[ ] e J[u] = 547,1557. O gráfico a seguir ilustra a evolução Na execução do GA adotou-se [0 0,04] e [0 0,08] como o domínio das variáveis de decisão u 1 (t) e u 2 (t), respectivamente; onde encontramos ISSN: Vol. X 31

6 como solução ótima u = [ ], correspondendo J[u] = 607,9772. O gráfico a seguir ilustra a evolução da população de machos estéreis do modelo (2) considerando u encontrado no AG. Oliveira, M. M. F. (2006). Condicionantes sócioambientais urbanos da incidência da dengue na cidade de londrina/pr, Master s thesis, Universidade Federal do Paraná. SMSF (2003). Boletim de Saúde de Fortaleza, 7 edn, Secretaria Municipal de Saúde de Fortaleza, Fortaleza-Ceará. SVS (2005). Guia de Vigilância Epidemiológica, 6 edn, Secretaria de Vigilância em Saúde, Ministério de Saúde, Brasília. Takahashi, R. H. C. (2007). Otimização Vetorial, Vol. 2, Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática. 6 Conclusões Ao utilizarmos qualquer estratégia de controle em um determinado problema, devemos sempre questionar o custo/beneficio desta operação, pois nem sempre dispomos de bons recursos financeiros e não basta apenas extinguir os vetores da dengue, devemos também manter sua população em níveis aceitáveis para que não ocorra um desequilíbrio ecológico. Neste trabalho, observamos que a otimização mono-objetivo adotada para minimizar o funcional obteve uma melhor solução ótima em todos os 4 cenários, quando comparados com o obtidos por Thomé (2007), onde a minimização da variável u 2 (t) teve importância direta na diminuição do J[u] encontrado no AG, refletindo assim em um menor custo de tratamento desta doença para os gestores públicos. Thomé, R. C. A. (2007). Controle Ótimo Aplicado na Estratégia de Combate ao Aedes Aegypti Utilizando Inseticida e Mosquitos Estéreis, PhD thesis, UNICAMP-SP. Agradecimentos Ao Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG) nosso agradecimento pela oportunidade de desenvolver este trabalho. Referências Cavalcante, A. A. (2011). Dengue: Modelo matemático para evolução das população de mosquitos e humanos infectados em diferentes estratégias de controle, Master s thesis, CEFET-MG. Esteva, L. and Yang, H. M. (2006). Control of dengue vector by the sterile insect technique considering logistic recruitment, TEMA Tend. Mat. Apl. Comput. 7(2): FNS (2001). Dengue- Instruções para Pessoal de Combate ao Vetor : Manual de Normas Técnicas, 3 edn, Fundação Nacional de Saúde, Ministério da Saúde, Brasília. ISSN: Vol. X 32