Modelos Epidemiológicos Acoplados para a Dinâmica da Transmissão da Dengue

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1 Moelos Epiemiológicos Acoplaos para a Dinâmica a Transmissão a Dengue Ana Carolina Simoneto 1, Rogério Luis Rizzi 1 1 Colegiao o Curso e Matemática - Centro e Ciências Exatas e Tecnológicas a Universiae Estaual o Oeste o Paraná Caixa Postal Cascavel - PR - Brasil Resumo. A Epiemiologia Matemática surge com o intuito e auxiliar no estuo quantitativo e fatos e formalizar o fenômeno e interação a oença e seu hospeeiro, explicano e forma precisa os acontecimentos observaos, ajuano na interpretação e aos e nas estimativas e parâmetros e inicano possíveis aboragens para controle e oenças, além e avaliar seu impacto. Neste contexto, o presente trabalho visa sistematizar e organizar aos bibliográficos referentes à moelagem epiemiológica a engue, elaborano um texto iático, conciso e consistente sobre o tema aborao, além e sistematizar questões pertinentes à epiemiologia matemática, enfocano sempre a inâmica e transmissão a engue. Palavras Chaves. Moelos epiemiológicos, epiemiologia matemática, engue, inâmica a transmissão a engue. 1. Dengue: características e aspectos principais 1.1. Sintomas, características, aspectos biológicos A palavra engue tem origem espanhola e significa melinre, manha, referino-se ao estao e moleza e prostração que acomete o oente. Já a oença, esigna uma infecção e curta uração, cuja graviae é variável. É causaa pelo vírus a família Flaviviriae e a transmissão se á pelo artrópoe o gênero Aees. O esenvolvimento a oença ocorre e forma intrínseca, no ser humano, ou extrínseca, no vetor. Quano o mosquito transmite a oença ao ser humano, surge após o períoo e incubação, a viremia. Neste períoo, o Aees Aegypti que picar o inivíuo contaminao também se contaminará, esencaeano o processo e incubação extrínseca, o qual vai ese a ingestão o sangue infectao até o momento em que o mosquito é capaz e transmitir o vírus pela sua replicação nas glânulas salivares. Apesar e contaminao, a oença não se manifesta no mosquito. [YANG, 2003] Após a contaminação, o vírus fica presente no sangue humano no períoo entre o

2 ia anterior e aparecimento a febre e o sexto ia a oença. Já no mosquito, o períoo e incubação viral varia e três a quinze ias. Apesar o mosquito transmitir a oença, ela só acomete o ser humano. A engue poe ser classificaa como clássica, forma benigna e mais comum a oença, e hemorrágica, que poe levar ao óbito. A engue clássica inicia-se com febre, a qual se manifesta após o períoo e incubação e 5 a 8 ias. Usualmente esta surge acompanhaa e cefaléia frontal e or retrorbital e mialgia generalizaa. A artralgia, hiperemia conjuntival e a eritema facial se manifestam ese o início. A partir o seguno ia, os sintomas igestivos se mostram mais significativos. Nesta fase, poem aparecer fenômenos hemorrágicos e pouca intensiae, principalmente na pele e mucosa. [MACHADO, 2000] Quano a pessoa se infecta pela seguna vez com o vírus a engue, poe surgir o quaro e engue hemorrágica, na qual ocorrem febres e hemorragias. No início, a sintomatologia assemelha-se com a a engue clássica, no entanto, a partir o seguno ao sétimo ia, o quaro o infectao agrava-se. Os sintomas neste períoo são ores abominais, vômitos, quea brusca e temperatura, sonolência ou inquietação, paliez, ispnéia e cianose. Poem ocorrer casos e alteração os níveis e consciência, convulsões e sinais e éficit neurológico. [MACHADO, 2000] Existem quatro sorotipos causaores a engue, 1, 2, 3 e 4, seno que no Brasil aina não há circulação o tipo 4. O tratamento é apenas sintomático e, após a contaminação, o inivíuo torna-se imune ao sorotipo pelo qual foi contaminao, porém, aina suscetível aos emais Vetor transmissão O principal transmissor a engue é o mosquito Aees Aegypti, a família Culiciae. Tem origem africana e ficou conhecio por transmitir a engue e a febre amarela. O Aees Aegypti foi escrito pela primeira vez no Egito, em 1762 [LEITE, 2004]. De acoro com Gaelha (apu DOMINGOS, 2005), a ispersão o mosquito ocorre, principalmente, pelo transporte e formas imaturas o Aees Aegypti, principalmente ovos. Assim, apesar e ter origem africana, este mosquito foi levao a outros países. À América, foi trazio no períoo colonial (Gaelha e Toa apu DOMINGOS, 2005), seno introuzio no Brasil com o tráfico e escravos. [LEITE, 2004] Atualmente este mosquito está isseminao nas regiões tropicais e subtropicais o planeta, epenente a concentração humana. Estano bem aaptao ao meio urbano, necessita o omicílio humano para se procriar, one encontra pequenas quantiaes e água limpa, pobre em matéria orgânica em ecomposição e sais, para epositar seus ovos. Em função a procriação, a fêmea necessita a substância albumina, presente no sangue. Para tanto ela pica o inivíuo para se alimentar e completar o processo e amaurecimento os ovos. Após se alimentar o sangue infectao, passa por um períoo e incubação. Só epois isso que o mosquito passa a transmitir a oença ao ser humano. As etapas e esenvolvimento o Aees Aegypti compreenem o ovo, a larva, a pupa e o aulto. Por não haver vacinação contra a engue, a prevenção se á por meio a vigilância epiemiológica e controle o mosquito. Este controle poe acontecer mecânica ou quimicamente. O controle mecânico se á pela eliminação e locais com conições para o esenvolvimento as larvas o mosquito, ou seja, locais com acúmulo e água potável. O controle químico, no entanto, consiste na aplicação e proutos em locais e criação o vetor, a fim e eliminá-lo.

3 2. Moelos matemáticos e moelagem epiemiológica Verifica-se uma iteração efetiva entre a Matemática e as Ciências em geral, entre estas a física, a química e a biologia. Para tanto, se faz necessário, e é observaa ese a criação e símbolos numéricos, a existência e motivação para abstrair uma situação o cotiiano, formalizano e sintetizano iéias. Assim, poe-se izer que o objetivo a matemática aplicaa é extrair esta essência e formalizá-la em um contexto abstrato, one ela possa ser trabalhaa intelectualmente, esenvolvia e absorvia como uma extraorinária economia e pensamento. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988]. Deste moo, o moelo matemático abstrairá o fenômeno a ser explicao, conceitualizano e generalizano, e, moelano o problema, terá a missão e simplificálo. Assim, a moelagem oferece-se como mecanismo para planejar o futuro e analisar tenências. Para tanto, a precisão o moelo epenerá a quantiae e qualiae e suas variáveis. Se houver muitas aproximações e simplificações no moelo, o resultao poe não ser confiável, teno em vista que se istanciará a realiae. No entanto, um moelo que apresenta poucas aproximações poerá ser e resolução tão complexa que seu resultao seria inútil. [COMCIÊNCIA, 2008]. Um problema real não poe ser representao e maneira exata, em toa sua complexiae, por uma equação matemática ou um sistema e equações. No entanto, se trabalharmos com as variáveis essenciais o fenômeno observao, o moelo matemático que simula tal fenômeno poerá levar a soluções bastante próximas aquelas observaas na realiae. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988] 2.1. Moelos Compartimentais Como cita Gomes [GOMES, 2008], os inivíuos que compõem a população hospeeira são iviios em: Suscetíveis: São os inivíuos que poem contrair a oença; Latentes ou expostos: São os inivíuos contaminaos, mas que aina não transmitem a oença; Infecciosos: São os inivíuos transmissores a oença; Removios: São os inivíuos que não contraem a oença, seja por aquirir imuniae ou por ser isolao. O processo infeccioso, portanto, se iniciará com o inivíuo suscetível, o qual, em contato com o agente infeccioso, se contamina e entra no períoo e latência. Quano a quantiae viral em seu organismo aumenta, o inivíuo passa a transmitir a oença, seno enominao assim, infeccioso. Após sua recuperação, ele passa a ser novamente suscetível ou se enquarará na classe os removios, no caso poeno ter aquirio imuniae. Consierano S = suscetíveis, E = latentes, I = infecciosos, R = removios e N = população total, poemos esquematizar a seguinte forma: S + E + I + R = N Poe-se, aina, consierar as proporções os inivíuos em relação à população, e assim obter a expressão s + e + i + r = 1, one, s = S/N, e = E/N, i = I/N, r = R/N. Nestes casos leva-se em consieração, e moo geral, que a população N é

4 constante ou varia em uma escala temporal muito longa quano comparaa com o tempo o processo infeccioso. No entanto, as classes iniviuais citaas não precisam necessariamente aparecer juntas no estuo a oença. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988] 3. Moelos matemáticos a inâmica a transmissão na população mosquitos A população e mosquitos será estuaa e moo a separar suas fases biológicas, visto que essas etapas são importantes à moelagem a inâmica a transmissão a engue. O estuo feito é baseao nos artigos e Hyun Mo Yang, Cláuia Pio Ferreira e seus colaboraores, publicaos, em sua maioria, pela revista TEMA - Tenências em Matemática Aplicaa e Computacional. 1. Fase ovo: Fase inicial a via o Aees Aegypti. O número e ovos por períoo e tempo, representao por E(t), aumenta e acoro com a taxa per-capita φ(t) e ovoposição por períoo e tempo e leva em consieração o número C e criaouros isponíveis. A quantiae e ovos iminui com a sua inviabiliae, por morte (µ e (t)) ou a meia que os mesmos ecloem (σ e (t)); 2. Fase larva: A meia que os ovos ecloem (σ e (t)) surgem as larvas, representaas por L(t). O número e larvas inicial por períoo e tempo iminuirá com a mortaliae as larvas, seja naturalmente (µ l (t)) ou por controle mecânica e químico (m l (t) e µ l (t), respectivamente) ou pela sua transformação em pupa (σ l (t)) 3. Fase pupa: As larvas se transformam em pupas (P(t)) por meio a taxa per-capita σ l (t). O número inicial e pupas por períoo e tempo é reuzio à meia que as pupas morrem (naturalmente (µ p (t)) ou por controle) ou com a sua transformação em mosquito aulto (σ p (t)); 4. Fase aulta: A quantiae e fêmeas aultas por períoo e tempo é aa por W(t) e esta quantiae se á pela transformação as pupas (σ p (t)). Também existe uma subivisão a fase aulta: 1. Mosquitos Suscetíveis: estão suscetíveis ao vírus a engue, enomina-se W 1 (t). Neste períoo a quantiae e mosquitos iminui à meia em que eles se contaminam pela oença (η w (I)) ou morrem (naturalmente (µ w (t)) ou por controle químico (µ w(t))); 2. Mosquitos Infectaos e não infectantes: Quano os mosquitos suscetíveis se contaminam, passam por um períoo one estão infectaos, porém, não transmitem a oença. A quantiae e mosquitos neste períoo é representaa por W 2 (t), one esta iminui à meia em que estes mosquitos passam a infectar (γ w ) ou morrem (naturalmente (µ w (t)), por controle mecânico (µ w(t)) ou pelo envelhecimento (µ 2 (t))); 3. Mosquitos Infectantes: Quano os mosquitos passam a transmitir a oença, estes passam a ser enominaos infectantes (W 3 (t)). Neste estágio sua quantiae iminui à meia que os mosquitos morrem, naturalmente (µ w (t)), por controle químico (µ w(t)) ou pelo envelhecimento (µ 3 (t)). Com a isseminação a oença, meias e controle são aplicaas a fim e reuzir a quantiae o vetor transmissão, o mosquito Aees Aegypti. Controle Mecânico: Este controle é feito por agentes e saúe pública em visitas à resiências ou pelos próprios moraores quano a remoção ou inviabilização

5 os criaouros. Neste caso são atingias iretamente as fases aquáticas o Aees Aegypti, one as taxas per-capita e inviabilização os criaouros por períoo e tempo são aas por m e (t), m l (t) e m p (t), referentes a ovos, larvas e pupas, respectivamente. Além isso, neste controle eve ser consieraa a quantiae C e criaouros, one há a eliminação as frações f i, i = 1, 2,...,k, e caa tipo e criaouros, poeno estes ser e vários tipos e formas, ese granes, como caixas água, até pequenos como tampas e garrafas. Assim, a quantiae os criaouros removios será ao por k i=1 f ic i e a capaciae remanescente os criaouros será 1 k i=1 (1 f i)c i ; Controle químico por larvicia: Este controle é realizao por meio a isseminassão e venenos atuantes nas fases e larvas e pupas. A taxa e mortaliae por tal métoo é representaa por µ l (t) e µ p(t), inicano as taxas aicionais e morte por períoo e tempos e larvas e pupas, respectivamente; Controle químico por aulticia: Este controle é realizao por meio a isseminação e venenos atuantes sobre mosquitos aultos, seja aplicao por equipamentos portáteis (geralmente entro e casa) ou pelo uso e pulverizaores (pulverização nas ruas). A taxa e mortaliae por períoo e tempo por este métoo é inicaa por µ w(t). A partir e estuos, obtém-se o sistema e equações iferenciais orinárias para a inâmica e transmissão o vírus a engue na população e mosquitos Aees Aegypti: ] [1 E(t) = ϕ(w) E(t) P t k E(t)(σ i=1 (1 f e (t) + µ e (t) + m e (t)) i)c i L(t) = σ t e(t)e(t) L(t)(σ l (t) + µ l (t) + µ l (t) + m l(t)) P(t) = σ t l(t)l(t) P(t)(σ p (t) + µ p (t) + µ p(t) + m p (t)) W t 1(t) = σ p (t)p(t) W 1 (t)(η w (I) + µ w (t) + µ w(t)) W t 2(t) = η W (I)W 1 (t) W 2 (t)(γ w + µ w (t) + µ w(t) + µ 2 (t)) W t 3(t) = γ w W 2 (t) W 3 (t)(µ w (t) + µ w(t) + µ 3 (t)) (1) 4. Moelos matemáticos a inâmica a transmissão na população humana A engue é transmitia pelo mosquito Aees Aegypti para a população humana, one a oença se manifesta e moo benígno em sua infecção pelo primeiro sorotipo. O inivíuo infectao se torna, após curao, imune ao sorotipo pelo qual se contaminou. Para o estuo a população humana, esta é subiviia, e acoro com a história natural a infecção, em suscetíveis, latentes, infectantes e recuperaos, seno que tais classes não se interceptam. 1. Suscetíveis (S): Inivíuos não infectaos, vulneráveis a contaminação a oença; 2. Latentes (H): A meia com que os inivíuos suscetíveis são picaos pelos mosquitos infectantes, migram para a classe os latentes, a qual esigna inivíuos contaminaos em períoo e incubação, ou seja, não infectantes;

6 3. Infectantes (I): Com o término o períoo e incubação, o inivíuo passa à classe os infectantes. Neste períoo, além e manifestar a oença, o inivíuo a transmite ao mosquito suscetível que o picar; 4. Recuperaos (R): Quano o períoo e infecção chega ao fim, o inivíuo está recuperao a oença. Temos, então, o sistema e equações iferenciais orinárias que escreve a inâmica e transmissão a engue na população humana: S(t) = µ t hn(t) S(t)(η h (W 3 ) + µ h ) H(t) = η t h(w 3 )S(t) H(t)(γ h + µ h ) I(t) = γ t hh(t) I(t)(σ h + µ h ) t R(t) = σ hi(t) R(t)µ h Consierano que S(t)+H(t)+I(t)+R(t) = N(t) é constante, poemos iviir o sistema (2) e equações a inâmica e transmissão a engue na população humana pelo valor N(t), obteno um novo sistema e equações em termos a proporção e inivíuos. (2) 5. Estuo e casos O estuo e casos foi realizao por meio a implementação os moelos a inâmica a transmissão a engue no software MATLAB R e no software Xmgrace. Para a implementação, são escolhios valores para os parâmetros que remetem situções reais, como clima e fatores biológicos. Após, o moelo foi implementao nos softwares citaos. Em too o estuo, é utilizao, para resolução as equações iferencias orinárias, o métoo Runge-Kutta vetorial e 4 a orem e acurácia. A partir isso, é possível realizar análises quantitativas e qualitativas os resultaos obtios a partir a análise os gráficos População humano livre e mosquitos Uma análise inicial a inâmica a transmissão a engue mostra o comportamento a população livre o mosquito Aees Aegypti. Para este caso a reproutibiliae os mosquitos é pequena, o que leva a sua extinção. Com isso, é necessário que os parâmetros escolhios satisfaçam a razão e reproutibiliae R < 1, one R = γ wγ h ǫ 2 β w β h ρ 2 ρ 3 ρ h ρ i e ρ h = γ h + µ h ; ρ i = σ h + µ h E aina, a ovoposição φ < φ th, one φ th = ( ) 1 σe σ l σ p 1 ρ e ρ l ρ p ρ w e ρ e = σ e (t) + µ e (t) + m e (t); ρ l = σ l (t) + µ l (t) + µ l (t) + m l(t); ρ p = σ p (t) + µ p (t) + µ p(t) + m p (t); ρ w = µ w + µ w

7 Neste caso, os resultaos obtios serão como os apontaos na figura 1. populações E L P W1 W2 W3 s h i r tempo (ias) Figura 1: Populações e mosquitos e humana No gráfico apresentao na figura 1, nota-se que, com a extinção os mosquitos, a população humana se estabiliza como suscetíveis População humana infestaa por mosquitos livres a engue A população humana poe estar infestaa por mosquitos Aees Aegypti, os quais estão livres o vírus a engue. Neste caso, φ > φ th e R < 1 e os resultaos são como os apresentaos na figura populações E L P W1 W2 W3 s h i r tempo (ias) Figura 2: Populações e mosquitos e humana

8 No gráfico apresentao na figura 2, nota-se que, há a extinção os mosquitos latentes (W 2 ) e infectaos (W 3 ) e a população humana portaora a oença, permaneceno apenas inivíuos suscetíveis (s) População humana infestaa por mosquitos contaminaos pela engue Este caso é o mais completo, one há população e mosquitos contaminaa pelo vírus a engue, ou seja, φ > φ th e R > 1 e, então, tem-se: s h i r populações tempo (ias) Figura 3: População humana O gráfico apresentao na figura 3 representa a inâmica a população humana. Nota-se que, após a contaminação os inivíuos, há um pico e inivíuos recuperaos e uma grane baixa em inivíuos suscetíveis. No entanto, com a mortaliae os inicíuos recuperaos, a curva os inivíuos recuperaos passa a ecrescer e os suscetíveis começa a crescer.

9 E L P W1 W2 W3 populações tempo (ias) Figura 4: População e mosquitos Já o gráfico apresentao na figura 4 mostra a inâmica a população e mosquitos. Nota-se que as curvas se alteram conforme a sazonaliae, a qual refere-se à época o ano, e acoro com o clima e a umiae. Para as análises realizaas foram consieraas ois períoos istintos, um esfavorável para o esenvolvimento as fases o mosquito e outro favorável, compreeneno um períoo e 75 ias o ano e 360 ias. Os resultaos apresentaos neste trabalho estão e acoro com os apresentaos nas literaturas técnicas citaas. Agraecimentos Agraeço, em especial, a professora Dra. Cláuia Pio Ferreira, pelo atenimento e isponibiliae, ajuano e sanano as úvias em relação a moelagem apresentaa neste trabalho. Referências YANG, H.M., MACORIS, M.L.G., GALVANI, K.C., ANDRIGHETTI, M.T.M. Dinâmica a transmissão a engue com aos entomológicos temperaturaepenentes. Revista TEMA p BASSANEZI, R.C., FERREIRA JR, W.C. Equações iferenciais com aplicações. Harbra YANG, H.M. Epiemiologia a transmissão a engue. Revista TEMA p MACHADO, R.F. A importância a prevenção, tratamento e erraicação o vírus a engue, como instrumento a política e saúe pública no Brasil. Revista Eucação e Tecnologia p13-20 FERREIRA, C.P., YANG, H.M. Estuo inâmico a população e mosquitos Aees Aegypti. Revista TEMA p

10 FERREIRA, C.P., YANG, H.M. Estuo a transmissão a engue entre os inivíuos em interação com a população e mosquitos Aees Aegypti. Revista TEMA p YANG, H.M., FERREIRA, C.P., TERNES, S. Dinâmica populacional o vetor transmissor a engue. Revista TEMA p BARREIRA, J. A Matemática a Via. Revista Ciência Hoje p8-12 YANG, H.M., FERREIRA, C.P. Assessing the effects of vector control on engue transmission. Applie Mathematics an Computation p GOMES, M.C. Dinâmica e Doenças Infecciosas. mcgomes/ aulas/i/inex.html DOMINGOS, M. e F. Aspectos a ecologia e Aees Aegypti (Linnaeus) em Santos. Universiae e São Paulo LEITE, J.O. e C. Importância a escentralização as ações e epiemiologia e controle e oenças na aplicação a vigilância entomológica o Aees Aegypti, no Rio Grane o Sul, e 2000 a Boletim Epiemiológico COMCIÊNCIA junho/2008

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