Uma solução que seria aceita seria saber quanto tempo cada um demora pra terminar a corrida.

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Iasmin de Miranda Santarém
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1 1) Na reta final de uma corrida, o carro A está 30 metros a frente do carro B. Neste instante o carro A se move com velocidade de 54 km/h acelerando 2m/s 2, e o carro B se move com velocidade constante de 90km/h. Sabe-se que o carro A está a exatamente 154 m da chegada. (0,5) O carro B consegue alcançar o carro A? Justifique. Uma solução que seria aceita seria saber quanto tempo cada um demora pra terminar a corrida. Quanto tempo A demoraria em terminar a corrida? Para responder isso, montamos a função horária de A, que precisa das seguintes informações. S 0 = 30m (considerando que a posição inicial do carro B seja zero) v 0 = 15m/s (transformando 54km/h em m/s seria este valor) a = 2 m/s 2 A função horária seria: S A = t + t 2. Reparem que como o carro B está na posição zero, a posição da linha de chegada é a distancia de B até a linha de chegada, ou seja S chegada = = 184m Assim sendo, t + t 2 = 184, ou montando a equação de bhaskara, t t 154 = 0 o resultado então seria: ou seja, t = 7s ou t = -22s Ficaremos com a resposta positiva. Tempo para A terminar a corrida é de 7 segundos. A função horária de B é Sabendo que v 0 = 25m/s (transformando 90km/h em m/s acharemos esse valor) S B = 25t O tempo para B terminar a corrida é calculado: 184 = 25t ALCANÇAR O CARRO A.. Ou seja, B termina a corrida DEPOIS de A. Assim sendo, O CARRO B NÃO CONSEGUE Esta solução é aceita mas ela tem um problema: O carro B está inicialmente mais rápido, mas com velocidade constante. O carro A esta inicialmente mais devagar, mas está acelerando (aumentando a velocidade). É possível que o carro B tenha ultrapassado o carro A e que tenha sido ultrapassado novamente. Teriamos que testar esta hipótese. Esta hipótese é testada da seguinte maneira:

2 Um carro ultrapassa o outro quando S A = S B. Assim sendo: t + t 2 = 25t montando a equação de bhaskara, t 2 10t + 30 = 0; O termo dentro da raiz é negativo, ou seja esta equação NÃO TEM SOLUÇÃO REAL. O que isto significa? Estavamos tentando achar o tempo em que B ultrapassa A, e achamos uma equação sem solução real, isto significa que B NUNCA ULTRAPASSA A. Nem antes, nem depois da chegada. (1,0) Qual a menor distancia entre eles durante este trecho? Como vimos no item acima, B nunca ultrapassa A, mas como isto ocorre? O carro B começa mais rápido, mas a velocidade do carro A vai aumentando, até que este fique mais rápido que B. Quando B está mais rápido os carros estão se aproximando. A partir do momento em que o carro A está mais rápido, Os carros estão se afastando. A distância mínima ocorreria quando os dois tem a mesma velocidade. V A = t V B = 25 V A = V B = > t = 25 Solucionando, t = 5s. Qual a posição de cada um em t = 5s? S A = t + t 2 = x = 130m S B = 25t = 25 x 5 = 125 m A diferença, que seria a distância, é = 5 m. (0,5) Qual a distancia entre eles quando A termina a corrida? Faz a mesma conta, só que agora com t = 7s.

3 Qual a posição de cada um em t = 7s? S A = t + t 2 = x = 184m S B = 25t = 25 x 7 = 175 m A diferença, que seria a distância, é = 9 m. 2) Se solta uma moeda de uma altura H e, um segundo após, atira-se uma caneta do mesmo lugar, para baixo, com velocidade de 11 m/s. Sabe-se que os dois chegaram ao chão ao mesmo tempo. a) (1,0) Qual o valor de H? O movimento de queda da moeda é um movimento uniformemente variado com velocidade inicial zero, e aceleração igual a gravidade (10m/s 2 ). Considerando o sentido para cima como positivo. A função horária então seria ou Após 1 segundo, a moeda já caiu uma distancia, em m de E a velocidade, em módulo, dela é: v = v 0 + adt = > v = 0-10Dt = > v = -10m/s. A partir deste momento, a caneta é atirada para baixo com velocidade 11m/s. Vamos considerar este momento como t = 0, e montar as duas funções horárias. Consideramos também como zero a altura do chão, então a altura H corresponde a posição H. Função horária da caneta: Posição inicial: H velocidade inicial: -11m/s aceleração: -10m/s 2. Função horária da moeda: Posição inicial: H 5 (ela já caiu 5 metros) velocidade inicial: -10m/s aceleração: -10m/s 2.

4 Os dois chegam ao chão ao mesmo tempo, ou seja, para um mesmo t as duas funções são iguais. = Cortando os temos iguais H 11t = H 5 10t H H + 5 = 11t 10t = > t = 5s. Jogando este valor em qualquer uma das funções horárias, você acha o valor de H b) (1,0) Com qual velocidade cada um deles atingiu o chão? Usando a função horária da velocidade para a caneta: v = v 0 + at = > v = t, em 5 segundos, v = x 5 = 61 m/s. Usando a função horária da velocidade para a moeda: v = v 0 + at = > v = t, em 5 segundos, v = x 5 = 60 m/s. 3) Um carro andou por uma estrada em linha reta. Fez metade do percurso com 60 km/h e a outra metade com 90 km/h. a) (1,0) Qual a velocidade média do carro neste trecho? Reparem que o carro não tem aceleração, ele está em movimento uniforme nas duas metades do percurso. Não sabemos qual é o tamanho do percurso. Vamos chamar de X Sabemos que a velocidade média é Qual foi o tempo total do percurso? Sabendo que a primeira parte do percurso tinha tamanho X/2, com velocidade de 60km/h, o tempo foi

5 Sabendo que a segunda parte do percurso tinha tamanho X/2, com velocidade de 90km/h, o tempo foi O tempo total então foi Sabemos que a distancia total foi X. Então

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