A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis. 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN

Transcrição

1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 00, Natal-RN ESCOLHENDO RISCO NAS TOMADAS DE DECISÕES EMPRESARIAIS ATRAVÉS DE FUNÇÕES UTILIDADES E EPANSÃO DE TAYLOR. Anderson de Barros Dantas, Dr. Unversdade Federal de Alagoas/Deptº. de Admnstração/Ind. Clméro Sarmento, 164 Aptº. 10, Jatúca, Maceó-AL anderson.dantas@fapeal.br Robert Wayne Samohyl, Ph.D. Unversdade Federal de Santa Catarna/PPGEP/Caxa Postal 476, Floranópols-SC samohyl@eps.ufsc.br Resumo: Este artgo busca apresentar os dversos debates sobre o uso das funções utldades em teora da decsão, quando não apenas os dos prmeros momentos da dstrbução são consderados. Sendo assm, o tercero momento (assmetra) deve ser consderado na avalação do rsco envolvdo na tomada de decsão. Dversas funções serão apresentadas, nclusve uma polnomal de º grau que ncorpora dretamente a assmetra. Suas propredades serão estudadas para defnr aquelas que se ajustam a nvestdores com aversão ao rsco (possuam aversão absoluta ao rsco decrescente e aversão relatva ao rsco constante ou decrescente). A expansão por Sére de Taylor será utlzada para proporconar a utlzação da assmetra em funções que exprmem apenas os dos prmeros momentos (méda-varânca) da dstrbução. A conclusão deste artgo é que exstem funções nteressantes quanto à mensuração do rsco assumdo por nvestdores que são avessos ao mesmo. Funções do tpo raz, logarítmca, força postva e exponencal se adaptam bem a essa característca. Contudo, a função força postva e a função exponencal possuem um parâmetro b que permte assocar um rsco maor ou menor a função. Palavras-Chave: Rsco; funções utldades; expansão de Taylor. Abstract: Ths paper presents several dscussons about the use of utlty functons n decson theory, where two or three moments should be ncluded n the dstrbuton of returns. Varous functons wll be tested for nvestors wth averson to rsk (that hold averson to rsk absolute decreasng and averson to rsk relatve ncreasng). By a thrd-order Taylor expanson skewness wll be ncorporated nto the functons that express only the two frst moments (mean-varance) n the dstrbuton. The paper concludes by determnng the exstence of the functons approprate for measurng the rsk assumed by nvestors wth averson. Functons of the type, square root, logarthmc, and exponental, adapt well to the three moments caracterstc. Key-words: Rsk; utlty functons; Taylor expanson. 1. Introdução No âmbto da teora da decsão os camnhos segudos, no mundo real, não são exatamente prevsíves. Exstem ncertezas quanto à realzação do que fo planejado. Por mutas vezes, o desconhecdo pode receber probabldades assocadas conhecdas e, assm, o rsco pode ser mensurado. Normalmente o que é planejado se reflete em uma varável que pode assumr valores. Dadas às crcunstâncas, essa varável é denomnada de aleatóra, pos ela pode assumr dversos valores. Com todas as possbldades possíves, um valor médo é esperado através da multplcação das probabldades (que servem como peso) e os város valores assumdos pela varável aleatóra. Esse valor médo é conhecdo também como prmero momento da dstrbução e está assocado ao retorno médo das possbldades de decsão. Os valores

2 verdaderos, evdentemente, não serão todos guas a essa méda. Exstrão desvos para mas e para menos. Esses desvos representarão a varabldade dos acontecmentos e são conhecdos também como varânca e segundo momento da dstrbução. Por fm, outro fator anda pode ocorrer: os valores verdaderos podem acontecer de manera concentrada ou acma da méda ou abaxo dela. Esse fenômeno é conhecdo como assmetra e, é também denomnado de tercero momento da dstrbução. Como o prmero momento está assocado ao retorno, o segundo e o tercero momento estão assocados ao rsco, prncpalmente o segundo.. Utldade, Retorno e Rsco A prmera cosa a ser afrmada é que o aumento dos retornos sempre propcará uma melhor satsfação, ou seja, uma utldade maor. Nenhuma pessoa raconal, nos padrões captalsta, agra negatvamente com o acúmulo de rqueza. Porém, quando a rqueza vara, ela traz consgo um fator de rsco assocado a oportundades de nvestmentos. Três formas podem expressar um ndvíduo quanto ao rsco assocado a essa varação: comportamento avesso ao rsco, preferencal ao rsco e/ou ndferente ao rsco. Podem exstr casos específcos onde o ndvíduo se sntonza nos três concetos, ou em apenas dos deles, à medda que sua rqueza cresce. Na hpótese de Fredman-Savage (Fredman e Savage, 1948) os ndvíduos estão dante de uma stuação de aversão e amor ao rsco ao mesmo tempo. Esses autores fcaram ntrgados com o fato de que os ndvíduos compram seguros e também apostam em blhetes de loteras. As meddas de Arrow-Pratt ajudam a dentfcar se as funções utldades estudadas possuem comportamento esperado para o nvestdor conforme uma pré-defnção. Essas meddas são: medda de aversão absoluta ao rsco (AAR) e medda de aversão relatva ao rsco (ARR). U ( AAR( = U ( (.) ARR( = WU ( U ( (.1) Onde, W é a rqueza, U (W) é a prmera dervada da função utldade da rqueza e U (W) é a segunda dervada da função utldade da rqueza. Deve-se entender a nterpretação de cada medda anterormente ctada. Para Francs (1991: ), um esquema desta nterpretação é realzado através das prmeras dervadas de AAR (W) e ARR (W). Tabela 01: Interpretação das dervadas prmeras da aversão absoluta e relatva ao rsco. Condção Defnção Conclusão 1) AAR (W) > 0 Aversão ao Rsco Absoluto Crescente. Menos dnhero é mantdo em atvos arrscados quando W cresce. ) AAR (W) = 0 Aversão ao Rsco Absoluto Constante. Mesma quantdade em dnhero é mantda nos atvos arrscados quando W cresce. ) AAR (W) < 0 Aversão ao Rsco Absoluto Mas dnhero é mantdo em atvos arrscados quando Decrescente. W cresce. 4) ARR (W) > 0 Aversão ao Rsco Relatvo Crescente. Menor proporção da rqueza é mantda em atvos arrscados quando W cresce. 5) ARR (W) = 0 Aversão ao Rsco Relatvo Constante. Igual proporção rqueza é mantda em atvos arrscados quando W cresce. 6) ARR (W) < 0 Aversão ao Rsco Relatvo Maor proporção da rqueza é mantda em atvos Decrescente. arrscados quando W cresce. Adaptado de Francs (1991: ). 5

3 Para nvestdores raconas, parece razoável esperar que estes assumam posções de acetar um maor rsco à medda que sua rqueza aumenta, mesmo que eles sejam avessos ao rsco. Este posconamento dexa espaço apenas para aquelas funções de utldade que atendam a condção número da tabela acma. Quanto às posções em 4, 5 e 6, sobre a aversão relatva ao rsco, não exste um consenso entre os pesqusadores da área, porém, dante da proposção enuncada de aversão absoluta decrescente, parece mas raconal está stuado em aversão relatva ao rsco constante ou decrescente (condções número 5 e 6 da tabela). Segundo o mesmo autor, as funções que possuem aversão relatva constante ao rsco são consderadas altamente razoáves, pos à medda que a rqueza de uma pessoa cresce, a sua dsposção em expermentar um tamanho maor de rsco, desde que a sua proporção seja gual a anteror.. Alternatvas de Funções Utldades Dversas são as formas de representar o comportamento do tomador de decsões com esquemas matemátcos. As funções utldades, em especal, têm a característca de modelar a satsfação dos ndvíduos dante de dversas possbldades, seja ela de ganho ou de perda..1 Função Utldade Quadrátca U + = a b (.1.1) onde a e b são constantes postvas. Aplcando operadores de esperança matemátca, tem-se: E( U ) = E( a b ) = ae( ) be( ) (.1.) Sabendo que, σ = E{[ E( )] } σ σ σ = E[ E( ) + E( ) = E ) E( ) E( ) + E = E( ) E( ) ( ( ) ] E( ) = σ + E( ) (.1.) Substtundo.1. em.1., obtém-se: E( U ) = ae( ) b[ σ + E( ) ] (.1.4) Ou seja, a decsão é tomada sobre o crtéro da méda e da varânca em.1.4 decsão em cma dos dos prmeros momentos da dstrbução. Dervando parcalmente a equação.1.4 em função do retorno e da varânca de, obtém-se as restrções necessáras para a e b. E( U ) = a be( ) > 0 E( ) E( U ) = b > 0 σ (.1.5) (.1.6) Como já fo menconado a e b são postvos para garantr utldades margnas decrescentes, então: 54

4 be( ) > a be ( ) < a a E( ) < (.1.7) b U() =a/b Fgura 1: Área pratcável da função utldade quadrátca. Para entender o relaconamento entre retorno e varânca numa stuação de aversão ao rsco, toma-se a equação.1.4 e sola o valor da varânca. bσ = E( U ) + ae( ) be( ) E( U ) a σ = + E( ) E( ) (.1.8) b b Dados alguns valores para E() em.1.8 e consderando o prmero termo do lado dreto da mesma equação como uma constante, obtém-se as curvas soquantas para determnados pares de rsco e retorno. E() U U U1 Fgura : Isoquanta da utldade para pares de rsco e retorno. Em verdade, exste uma famíla de curvas soquantas, onde sendo consderado apenas U1, U e U, deve-se conclur que U1 < U < U..4 Função Utldade Logarítmca São funções que permtem a separação da rqueza ncal W 0 da taxa de retorno (ganho) x conforme segue abaxo. Tome-se uma das váras formas que ela pode assumr: U ( W T ) = ln( WT ) σ 55

5 U ( W T ) = ln[ W0 (1 + r)] U ( W T ) = ln( W0 ) + [ln(1 + r)] (..1) Tomando um exemplo apresentado em Francs e Archer (1979:66), pode-se verfcar o formato da curva. W T U 0 1,6, 4,6 6,4 7,59 9,0 11,50 1,4 1,80 Utldade 16,0 14,0 1,0 10,0 8,0 6,0 4,0,0 0, Rqueza Fgura : Função utldade logarítmca. As propredades que satsfazem as característcas econômcas já levantadas são provadas com suas respectvas dervadas. 1 = > 0 W T W T 1 = > 0 W 1+ r T U 1 = < 0 W T W T U 1 = < 0 r (1 + r ) (..) (..) (..4) (..5) As duas prmeras condções confrmam que um aumento na rqueza ou no retorno traz uma satsfação maor, enquanto as duas últmas mostram que esse aumento de satsfação é decrescente. Um caso especal e nteressante dessa classe de funções, segundo Lev e Sarnat (197:197), é a função utldade de Bernoull, a qual também ncorpora a suposção de utldade margnal decrescente. U ( ) = blog (..6) a Ou anda, na forma U ( ) = blog bloga (..7) 56

6 onde é o montante de dnhero e a e b são constantes postvas. Sendo que as prmeras e segundas dervadas das equações..6 e..7 são: b = 0 U b = 0.4 Função de Força (..8) (..9) Essa é do tpo: U Se 0 < a < 1 1 a ( ) = (..1) ou anda, U = b ( ) (..) onde b = 1 a, logo 0 < b < 1. Suas dervadas são: b = b 1 > 0 U = b( b 1) ( b 1) 1 < 0 0 para > 0 (..) para < 0 (..4) b = Utldade Rqueza Fgura 4: Função utldade força com b = 0,. Utldade b = Rqueza Fgura 5: Função utldade força com b = 0,8. 57

7 Especalmente quando a = 0,5, em...1, é obtda a função de Cramer: U ( ) = (..5) dervando, = = > 0 1 < 0 para > 0 (..6) para > 0 (..7).4 Função Exponencal U Utldade Fgura 6: Função utldade raz quadrada. Um dos tpos que pode ser assumdo é da forma: Rqueza b ( ) = a exp (.4.1) onde a e b são postvos e a 1. Assm, dervando 4.4.1, encontra-se: b = bexp > 0 b = b exp < 0 (.4.) (.4.) A satsfação pelo aumento do dnhero, neste tpo de utldade, depende de b em relação à a. Nos gráfcos abaxo sso fca evdente. Defnndo a = 1 e város valores para b, desde de que b < a, tem-se: utldade 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 b = 0, E+06 Rqueza Fgura 7: Função utldade exponencal para b relatvamente grande. 58

8 Fgura 8: Função utldade exponencal para b relatvamente menor. A segunda fgura mostra que a satsfação do nvestdor precsa de uma quanta maor em dnhero para que ela cresça. Na prmera fgura quantas menores já atngem os mesmos níves de satsfação. Pelo resumo exposto das funções acma, pressupõe-se que as funções logarítmca, de força e raz quadrada são as que estão adequadas para um nvestdor avesso ao rsco. 4. Assmetra: O Tercero Momento da Dstrbução Todas as funções anterormente apresentadas dão suporte a análse de decsão através do prncípo da méda-varânca, sendo que a função quadrátca parece a mas restrta entre todas. Porém, evdêncas de que a assmetra também é mportante na análse de rsco se tornaram cada vez mas fortes. A análse do rsco, evdencando apenas o segundo momento da dstrbução, é válda dentro de um leque de suposções não muto fácl de ser encontrado na prátca. Mutos são os autores que expressam esse tpo de preocupação. Hrshlefer (1970:8-8) argumenta que a tendênca à normaldade é dada quando as varáves randômcas ndvduas são normas (ou tendem a elas) e quanto mas as mesmas são ndependentemente dstrbuídas umas das outras. Não parece ser o que acontece com os retornos na prátca. E mesmo que fossem, na maora das vezes os problemas de decsão são consttuídos de sstemas relatvamente complexos, com mutas varáves envolvdas. Anda aparentando um comportamento normal em cada uma das varáves em questão, a ndependênca entre elas sera muto dfícl de ocorrer, o que levara a não normaldade do comportamento do sstema. Isso já tem sdo detectado em Dantas (1999) na smulação do comportamento de um sstema que otmza custos. Para uma percepção mas palpável do problema da assmetra pode-se reportar a um exemplo prátco que fo desenvolvdo em Haley e Schall (197:8). Nele são apresentadas duas dstrbuções com mesma méda e mesma varânca: uma assmétrca postva e outra assmétrca negatva. Para completar o racocíno fo desenvolvda mas uma dstrbução (também com mesma méda e varânca) sem assmetra. 59

9 Tabela 0: Conjunto de retornos possíves e os seus três prmeros momentos. Smétrca p ) E ( ) Var = [ E( )] * p( ) Ass = [ E( )] * p( ) ( 1,5 0, , , , ,5 0,1815, , , ,5 0, 4,5 1,5 -,15 7,5 0, 5,5 1,5,15,5 0,1815 5, , , ,5 0, , , ,9598 SOMA 1, Tabela 04: Conjunto de retornos possíves e os seus três prmeros momentos. Assmétrca Negatva p ) E ( ) Var = [ E( )] * p( ) Ass = [ E( )] * p( ) ( 10 0,1 1,5-7,5 15 0,1 1, ,1,5-1,5 5 0, 7, , , SOMA 1, Fonte: Haley e Schall (197:8). A conclusão que se pode chegar, na observação desses quadros e fguras acma, é que apesar de possuírem mesma méda e mesma varânca a dstrbução assmétrca postva tem uma maor chance de que o valor randômco seja muto superor ao da méda, podendo atngr um retorno de 40 (o que não é possível na assmétrca negatva). No outro extremo, a dstrbução assmétrca negatva tem uma maor chance de obter valores muto abaxo da méda, podendo atngr 10 (o que não é possível na assmétrca postva). Mutos são os autores que defendem a nclusão da assmetra na análse rsco retorno. O trabalho de Ardtt e Lev (1975) consdera muto restrta a suposção da dstrbução normal dos retornos, por sso ele recomenda a nclusão de momentos superores. Para esses autores, quando o horzonte de planejamento aumenta, num portfolo dnâmco, partcularmente a um aumento da assmetra. Scott e Horvath (1980), bem como Ardtt (1967), provam que a preferênca pela assmetra é postva (U >0) para nvestdores cuja condção de aversão ao rsco leva-os a exbrem utldade margnal postva (U >0) e consstente aversão ao rsco (U <0). Kraus e Ltzenberger (1976) têm buscado evdêncas empírcas a respeto da sgnfcânca da assmetra na composção do portfolo. Para sso, eles utlzaram uma regressão onde o excesso de retorno médo era dependente de um termo constante, de um termo que representa a varânca e de um termo que representa a assmetra. Os resultados foram sgnfcantes, sendo que o termo da varânca fcou com snal postvo e termo da assmetra com snal negatvo. Sgnfca dzer que para assumr uma maor varânca o nvestdor precsa ser compensado com maor retorno, enquanto uma maor assmetra não. Conne e Tamarkn (1981: 1114) sugerem que ntutvamente a assmetra postva podera ser explcada pelo fato de que a perda da rqueza do nvestdor não podera ser superor a 100 %, enquanto os ganhos relatvos a ela poderam ser lmtados. O mesmo racocíno é abordado em Lee, Fnnerty e Wort (1990:). Smkowtz e Beedles (1978) também ncorporaram assmetra nos seus estudos, demonstrando que com os três prmeros momentos da dstrbução a dversfcação do portfolo, para a redução do rsco, não é necessaramente desejada. Em Brockett e Kahane (199) e Brocket e Garven (1998) tem sdo argüdo exaustvamente que U < 0 e U > 0 não mplcam necessaramente em evtar varânca e preferr assmetra, respectvamente. Eles têm demonstrado, sobre a óptca de algumas funções utldades 50

10 comumente usadas, exemplos em que, entre dos nvestmentos alternatvos com mesma méda e assmetra, o nvestmento com maor varânca é escolhdo. Ou anda, é escolhdo aquele que possu menor méda, maor varânca e menor assmetra postva. Esse é um fato confltante dentro da lógca que se pretende manter neste trabalho, porém em nenhum momento é argüdo pelos autores que a assmetra não é mportante na análse. Na seção 7 serão apresentadas algumas contra-argumentações contra essas possíves falhas. 5. Funções que Incorporam a Assmetra A forma cúbca ncorpora dretamente a assmetra na utldade, por exemplo, tome-se a equação: U + = aw + bw cw (5.1) Aplcando-se os operadores de esperança, obtém-se: E ( U ) = ae( + be( + ce( (5.) onde, E W + ( = σ E( (5.) E W + ( = assmetra + E( σ E( (5.4) [( W E() ] Assmetra = E (5.5) Substtundo (6.), (6.4) e (6.5) em (6.): { + E( } + c{ assmtra + E( E( ) } E( U ) = ae( + b σ σ W (5.7) W W + Essa e qualquer outra função cúbca teram alguns problemas que já dervam das funções polnomas. Como na quadrátca a aversão absoluta ao rsco é crescente, porém apenas em algumas regões da curva, o que representara um certo cudado ao assocar tal função com o comportamento de um nvestdor avesso ao rsco. 6. Incorporação da Assmetra por Expansão de Taylor O processo de expansão de Taylor sobre o ponto ( W + Ex) é feto da segunte forma: U ( W + x) = U ( W + Ex) + U ( W + Ex) *[ W + x ( W + Ex)] U + ( W + Ex) *[ W + x ( W + Ex)]! U + ( W + Ex) *[ W + x ( W + Ex)]! U 4 + ( W + Ex) *[ W + x ( W + Ex)] +... (6.1) 4! Desde que é conhecdo que o nvestdor maxmzará a sua utldade esperada, então: U U U EU ( W + x) = U ( W + x) + ( W + x) σ + ( W + x) µ + ( W + x) µ (6.)!! 4! 51

11 Truncando a sére nos três prmeros momentos tem-se: U U EU ( W + x) = U ( W + x) + ( W + x) σ + ( W + x) µ (6.)!! Logo, pode-se escolher qualquer uma das funções utldades apresentadas (ou qualquer uma das suas dervações) desde de que atendam aos pré-requstos de aversão absoluta ao rsco decrescente e aversão relatva ao rsco não crescente. Como dto anterormente, Brockett e Garven (1998) apresentam exemplos para demonstrar a contradção da teora da função utldade através do prncípo da méda-varânca-assmetra. Tomando os seus exemplos e utlzando as séres de Taylor para ncorporar explctamente a varânca e a assmetra, pode-se demonstrar que essas contradções desaparecem. Veja quadros abaxo. Tabela 05: Estatístcas para o nvestmentos. Investmento P(x) Méda Varânca Assmetra,6 0,5 1,8 0,98-1,7 6,4 0,5, 0,98 1,7 5 1,96 0 Fonte: Brockett e Garven (1998). Tabela 06: Estatístcas para o nvestmentos Y. Investmento Y Y P(y) Méda Varânca Assmetra 0 0,0 0 0,5 -,5 5 0,96 4, ,0 0, 0,5, Fonte: Brockett e Garven (1998). Tabela 07: Comparação entre funções utldades para os dos nvestmentos e Y. Utldade Esperada de Utldade Esperada de Y Parâmetro Raz,1594,09871 Logarítmca,64401,6870 Força Postva,60076,60514 b = 0,8 Exponencal 0, ,9155 b = 0,6 Com Expansão de Taylor Raz,1091,4888 Logarítmca 1, ,58948 Força Postva,597806,610 b = 0,8 Exponencal 0, ,76689 b = 0, Pela tabela 07 é possível ver que a argumentação de Brockett e Garven (1998) podera ter sustentação em funções do tpo raz e logarítmca nos casos onde só a méda aparece explctamente. Porém, em funções do tpo força postva e exponencal (dependendo do valor de b) não. Quando se nclu explctamente a méda, a varânca e a assmetra (como na parte nferor da tabela 07), a argumentação desses autores já não parece mas válda. 7. Conclusão A conclusão deste artgo é que: no processo decsóro que ncorpore rsco, a varânca e a assmetra devem ser ncorporadas para representar uma maor realdade. Funções utldades podem ser utlzadas para ncorporar essas duas nformações. Para nvestdores com característcas de aversão ao rsco, algumas funções possuem uma melhor representação. Essas 5

12 são aquelas que possuem aversão absoluta ao rsco decrescente e aversão relatva ao rsco constante ou decrescente. Especfcamente, funções do tpo raz, logarítmca, força postva e exponencal atendem a esses pré-requstos. Devdo a algumas argumentações contradtóras em Brockett e Garven (1998), as funções de força postva e exponencal seram mas robustas (dependendo do b utlzado) quando apenas a méda é apresentada explctamente. Caso contráro, e argumentado neste trabalho, quasquer das funções menconadas no parágrafo anterores seram sufcentes para o tratamento do rsco. Contudo, a função força postva e a função exponencal possuem um parâmetro b que permte assocar um rsco maor ou menor a função. Referênca Bblográfca: Ardtt, F. D. and Lev, H. Portfolo effcency analyss n three moments: the multperod case. The journal of fnance. June, Vol., n.. Dantas, A. B. Uma aplcação de controle ótmo estocástco não lnear para o problema do planejamento agregado da produção. Dssertação de mestrado, PPGEP, Brockett, P. L. and Garven, J. R. A reexamnaton of the relatonshp between preferences and moment orderngs by ratonal rsk averse nvestors. Internet, Conne, T. E. and Tamarkn, M. J. On dversfcaton gven asymmetry n returns. The journal of fnance. December, Vol. VI, n. 5. Fama, E. F. and Mller, M. H. The Theory of Fnance. Illnos: Dryden Press, 197. Francs, J. C. Investments Analyss and Management. New York: McGrawHll, ed. Francs, J. C. and Archer, S. H. Portfolo Analyss. New Jersey: Prentce-Hall, ed. Haley, C. W. and Schall, L. D. The Theory of Fnancal Decsons. New York: McGraw-Hll, 197. Hrshlefer, J. Investment, Interest, and Captal. New Jersey: Prentce-Hall, Kraus, A. and Ltzenberger, R. H. Skewness preference and the valuaton of rsk assets. The journal of fnance. September, Vol. I, n. 4. Lee, C. F. Fnnerty, J. E. and Wort, D. A. Securty Analyss and Portfolo Management. Illnos: Scott, Foresman/ltlle, Brown Hgher Educaton, Lev, H. and Sarnat, M. Investment and Portfolo Analyss. New York: John Wley & Sons, Inc, 197. Scott, R. C. and Horvath, P. A. On the drecton of preference for moments of hgher order than the varance. The journal of fnance. September, Vol. V, n. 4. Smkowtz, M. A. and Beedles, W. L. Dversfcaton n a three-moment world. Journal of fnance and quanttatve analyss. December,