FORMAÇÃO ESPONTÂNEA DE CÉLULAS FRACTAIS NA MAXIMIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE MÁQUINAS EM ARRANJOS FÍSICOS

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1 FORMAÇÃO ESPONTÂNEA DE CÉLULAS FRACTAIS NA MAXIMIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE MÁQUINAS EM ARRANJOS FÍSICOS José Hamilton Chaves Gorgulho Júnior Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI) Av. BPS, 1303, Bairro Pinheirinho, Itajubá - MG, CEP: , Cx. Postal 50 gorgulho@unifei.edu.br Eduardo Vila Gonçalves Filho Escola de Engenharia de São Carlos (EESC-USP) Av. Trabalhador Sãocarlense, 400, Centro, São Carlos SP, CEP: evila@sc.usp.br RESUMO Este trabalho apresenta os resultados inesperados obtidos no procedimento de maximização da distribuição de máquinas em arranjos físico: a formação espontânea de células fractais. O artigo apresenta inicialmente a razão do desenvolvimento dos arranjos físicos distribuídos e fractais bem como as principais referências ligadas a eles. Em seguida mostra como a distribuição das máquinas pode ser avaliada matematicamente e cita as técnicas utilizadas, destacando o algoritmo genético desenvolvido. A parte principal do artigo mostra diversos arranjos físicos, com variadas dimensões, que foram submetidos ao algoritmo genético para maximizar a distribuição das máquinas e que, inesperadamente, formaram células fractais. Esse fato, ainda sem nenhuma referência na literatura, provavelmente poderá ser explorado para aperfeiçoar os procedimentos de maximização da distribuição de máquinas já existentes e oferecer contribuições nos estudos relacionados às células virtuais de manufatura. PALAVRAS CHAVE. Arranjo Físico Distribuído. Arranjo Físico Fractal. Algoritmo Genético. Aplicações à Indústria. ABSTRACT This work presents unexpected results obtained in the proceeding of maximization of the machines distribution in layouts: the spontaneous formation of fractal cells. The article presents initially reasons for development of the distributed and fractal layouts as well as the principal references related to them. Next shows how the machines distribution can be evaluated mathematically, and cite the used techniques, emphasizing the genetic algorithm developed. The main part of the article shows several layouts, with varied dimensions, which were submitted to genetic algorithm to maximize the machines distribution and, unexpectedly, formed fractal cells. This fact, without any reference in the literature, probably could be exploited to improve existents procedures for machines maximization and to offer contributions in the studies related to virtual cell manufacturing. KEYWORDS. Distributed Layout. Fractal Layout. Genetic Algorithm. Applications to the Industry. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1940

2 1. Introdução Gorgulho Júnior e Gonçalves Filho (2005, 2007) propuseram um algoritmo para maximizar a distribuição das máquinas em um arranjo físico que gera um bom resultado rapidamente. Mas, quão bom é esse resultado? Para obter arranjos físicos que pudessem servir de comparação foi implementado um algoritmo genético que maximizava a distribuição. Para surpresa dos pesquisadores observou-se que o processo de maximização leva à formação de células fractais. 2. Arranjos físicos para ambientes altamente dinâmicos Segundo Rheault, Drolet e Abdulnour (1995) alguns setores da indústria de manufatura estão inseridos em ambientes onde mudanças ocorrem com grande frequência (ambiente volátil, turbulento ou altamente dinâmico). Esses ambientes são caracterizados por: alta variabilidade na demanda e no tamanho dos lotes de produção, alta variabilidade nos tempos de processamento e nos tempos de preparação, demanda parcialmente ou totalmente estocástica, frequentes mudanças no mix de produtos, variabilidade nas sequências de produção e forte competição. Benjaafar, Heragu e Irani (2002) citam que nesses ambientes os arranjos físicos clássicos (por produto, por processo, posicional e celular) não obtém desempenho satisfatório. Assim, novas distribuições foram propostas: arranjo físico distribuído (Montreuil e Venkatadri, 1991), arranjo físico fractal (Venkatadri, Rardin e Montreuil, 1997) e arranjo físico modular (Irani e Huang, 2000). Os itens seguintes descrevem os dois arranjos físicos relevantes para este trabalho. 3. Arranjo físico fractal Segundo Saad e Lassila (2004) os conceitos de manufatura fractal (fractal manufacturing) e fábrica fractal (fractal factory) foram propostos por Warnecke (1993). A primeira metodologia que aplica essa teoria no projeto de arranjo físico foi proposta por Venkatadri, Rardin e Montreuil (1997) que definiram o arranjo fractal como uma extensão do arranjo celular, pois o chão de fábrica é dividido em pequenos grupos denominados células fractais ou simplesmente fractais. Na definição original as células fractais são idênticas e podem produzir toda a gama de produtos da empresa, pois possuem pelo menos uma estação de trabalho de cada tipo de processo existente na fábrica. Por isso Ozcelik e Islier (2003) usam o termo fábrica dentro da fábrica (Plant Within a Plant - PWP). Porém, é possível formar diferentes tipos de fractais na mesma empresa com a especialização das células, como mostraram Montreuil, Venkatadri e Rardin (1999). 4. Arranjo físico distribuído O arranjo físico distribuído (distributed layout) caracteriza-se por espalhar os equipamentos pelo chão de fábrica para aproximar diferentes tipos de máquinas, ou seja, o objetivo desse arranjo físico é garantir a proximidade de qualquer estação de trabalho de qualquer processo com as estações de trabalho de outros processos para que rotas mais eficientes possam ser criadas pelo sistema de planejamento e controle da manufatura (Montreuil, Venkatadri e Lefrançois, 1991). Montreuil et al. (1993) compararam o desempenho entre arranjos físicos aleatoriamente distribuídos com arranjos físicos distribuídos por um critério de utilização de máquinas. Benjaafar e Sheikhzadeh (2000) e Lahmar e Benjaafar (2001, 2002a, 2002b e 2005) realizaram comparações entre arranjos físicos funcionais, aleatoriamente distribuídos, parcialmente distribuídos e maximamente distribuídos. Esses trabalhos mostraram uma grande superioridade do arranjo físico parcialmente distribuído sobre o funcional e uma pequena vantagem do arranjo físico maximamente distribuído sobre o parcialmente distribuído. Gorgulho Júnior e Gonçalves Filho (2006 e 2007) mostraram que o arranjo físico maximamente distribuído tem desempenho sensivelmente superior aos demais quando se usa um sistema de roteamento inteligente que busca o percurso mais curto analisando todas as possíveis sequências de fabricação das peças (cuja flexibilidade de sequenciamento é representada por relações de precedência). Nesses trabalhos, bem como nas demais pesquisas relacionadas com o arranjo físico distribuído, os resultados foram obtidos por meio de simulações com dados gerados pelos autores, sendo que a única exceção encontrada foi o trabalho de Baykasoglu (2003) que usou dados reais, mas sem implementar o arranjo físico projetado. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1941

3 Surge a questão: como comparar diferentes distribuições em arranjos físicos? Para avaliar quantitativamente a distribuição das máquinas no arranjo físico Benjaafar e Sheikhzadeh (2000) usaram um valor denominado grau de distribuição (GDD) que será apresentado no próximo item. 5. Grau de distribuição A abordagem é similar à proposta por Montreuil, Venkatadri e Lefrançois (1991), porém, ignorando informações sobre fluxo de material. Esse cálculo (equações (1) e (2)), mede a distância entre cada máquina de um tipo e as máquinas dos demais tipos. Quanto mais espalhadas estão as máquinas, menor será o valor obtido por essa função, ou seja, menor é a distância entre máquinas de processos diferentes. N Nj δ N nj * Φ = (1) δ nj = d n N.Nj j k (2) j= 1 nj= 1 k j Onde: * d n j k : distância entre a n-ésima máquina do tipo j e a máquina do tipo k mais próxima. nj: n-ésima máquina do tipo j. Nj: número de máquinas do tipo j. N: número de processos (departamentos ou tipos de máquina). 6. Métodos de distribuição das máquinas Montreuil et al. (1993) desenvolveu o algoritmo Target que gera o arranjo físico distribuído em 2 fases usando dados como taxa média de uso das máquinas e tempo médio de processamento de lotes. Nas abordagens de Benjaafar (1995), Benjaafar e Sheikhzadeh (1996, 2000) e Lahmar e Benjaafar (2001, 2002a, 2002b e 2005) são usados procedimentos heurísticos para determinar a melhor distribuição de acordo com informações de fluxo de material, níveis de demanda e custos de manuseio. Askin, Ciarallo e Lundgren (1999) geraram arranjos físicos distribuídos usando a probabilidade de ocorrer transições entre os diferentes tipos de processo. Nota-se que todas essas abordagens assumem que as informações estão disponíveis no estágio inicial do projeto do arranjo físico. Porém a imprevisibilidade é uma das principais características de um ambiente altamente volátil tornando essas abordagens inadequadas e pouco confiáveis (Baykasoglu, 2003). Gorgulho Júnior e Gonçalves Filho (2005, 2007) propuseram o algoritmo ALVO que cria rapidamente o arranjo físico maximamente distribuído considerando apenas o número de linhas e colunas do arranjo físico e a quantidade de máquinas de cada processo. Essa abordagem permite direcionar os esforços computacionais para o roteamento e programação das peças, tirando o máximo proveito da proximidade de estações de trabalho de diferentes tipos. Para avaliar a qualidade dos resultados do algoritmo ALVO era necessária alguma referência e, para isso, os autores usaram um algoritmo genético para maximizar a distribuição das máquinas por meio da minimização do grau de distribuição. Esse algoritmo genético será discutido no tópico seguinte. 7. Algoritmo genético Um algoritmo genético (AG, ou GA - Genetic Algorithm) é um procedimento computacional baseado nos mecanismos genéticos da seleção natural e seu objetivo é obter a otimização global de um problema (Goldberg, 1989). O procedimento inicia-se com a geração aleatória da população inicial. Em seguida cada indivíduo da população é avaliado por uma função de aptidão (Gravel, Nsakanda e Price, 1998). Cada nova geração é formada pela modificação dos indivíduos da população anterior, usando as técnicas de mutação (alterações aleatórias nos genes de um indivíduo) e cruzamento (partes de dois indivíduos são trocadas para gerar dois novos filhos). Também é comum fazer com que os indivíduos mais aptos de uma geração sejam levados diretamente para a próxima (elitismo manutenção do ótimo atual). 7.1 Codificação Delmaire, Langevin e Riopel (1997) mostram que nem sempre a codificação binária é aplicável e, devido a isso, foi mantida a forma matricial para representar os indivíduos da XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1942

4 população (Figura 1). Nessa figura cada elemento da matriz é um número real onde a parte inteira representa o processo (fresamento, torneamento, soldagem etc.) e a parte fracionária indica o número da máquina desse processo. O indivíduo exemplificado pela Figura 1 mostra um arranjo físico com 5 processos (1, 2, 3, 4 e 5) compostos por 4 máquinas cada um (.01,.02,.03 e.04). Figura 1 - Representação de um arranjo físico 7.2 População inicial A população inicial é gerada por modificações em um arranjo físico previamente criado, denominado arranjo físico semente. No programa implementado para o desenvolvimento do trabalho o número de indivíduos da população pode ser definido entre 10 e 100. As modificações definidas para criar novos indivíduos a partir da semente são: troca de duas linhas, troca de duas colunas e troca de dois elementos quaisquer, sempre escolhidos aleatoriamente. 7.3 Função de aptidão (avaliação) A função de aptidão adotada é o grau de distribuição proposto por Benjaafar e Sheikhzadeh (2000), apresentada no item 5 (quanto menor esse valor, mais distribuídas estão as máquinas). Dessa forma tem-se que o processo de otimização consiste na minimização dessa função. 7.4 Condição de encerramento A única condição de encerramento adotada na implementação foi atingir o número de gerações selecionado entre 50 e gerações (em passos de 50). Após o encerramento do algoritmo o melhor indivíduo era apresentado como solução. 7.5 Nova população Seguindo a regra do elitismo optou-se por enviar diretamente para a geração seguinte os 10% melhores indivíduos da população. Os demais componentes da população são submetidos ao processo de seleção pelo método da Roleta (Roulette Wheel) para, em seguida, passarem ou não pelas mutações elaboradas. A mutação 1, que ocorre com maior frequência, consiste na simples troca de posição de duas máquinas (desde que sejam de processos diferentes). A probabilidade de ocorrer essa mutação podia ser ajustada entre 75 a 100%. A operação de cruzamento consiste em determinar um ponto de corte e trocar as partes de dois cromossomos. Em geral essa alteração ocorre com alta probabilidade. Sua função é gerar indivíduos mais diversificados para aumentar a exploração do universo de soluções. Porém, a codificação adotada neste trabalho impede o uso do cruzamento que, se fosse realizado, não garantiria que o número de máquinas de cada tipo fosse mantido. Para substituir o cruzamento duas diferentes mutações que alteram de forma mais radical o indivíduo foram adotadas. A mutação 2 realiza a troca de duas linhas selecionadas aleatoriamente e a mutação 3 realiza a troca de duas colunas. A probabilidade de ocorrência dessas mutações podia ser selecionada de forma independente de 0 a 20%. 7.6 Seleção pelo Método da Roleta Foi adotado o tradicional Método da Roleta para seleção dos indivíduos da população que sofrerão mutações para passar para a próxima geração. A probabilidade de seleção é proporcional XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1943

5 ao seu índice de aptidão, ou seja, os indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de seleção, sem impedir que um indivíduo com menor grau de adaptação venha a ser selecionado. 8. Formação de células fractais em arranjos físicos equilibrados Gorgulho Júnior e Gonçalves Filho (2006 e 2007) compararam arranjos físicos funcionais com arranjos físicos parcialmente distribuídos, aleatoriamente distribuídos e maximamente distribuídos em três diferentes tamanhos (20, 40 e 80 máquinas) e em duas configurações: equilibrado (departamentos com o mesmo número de máquinas) e desequilibrado. Os resultados obtidos pelo algoritmo genético para os arranjos físicos equilibrados mostraram a formação espontânea de células fractais (cada célula possui uma máquina de cada processo). Nas Figuras 2, 3 e 4 são mostrados respectivamente os arranjos físicos pequeno, médio e grande. Em cada caso tem-se uma ou mais formas de divisão fractal apresentadas de forma esquemática do lado direito do arranjo físico, bem como o valor obtido para o grau de distribuição (apenas para que possam servir como base de comparação em outras pesquisas). Figura 2 - Arranjo físico maximamente distribuído pequeno (GDD= 4.9) Figura 3 - Arranjo físico maximamente distribuído médio (GDD= 4.7) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1944

6 Figura 4 - Arranjo físico maximamente distribuído grande (GDD= 10.65) A Figura 5 mostra o arranjo físico maximamente distribuído e suas possíveis células fractais para o mesmo conjunto de máquinas usado por Benjaafar e Sheikhzadeh (2000). Figura 5 - Arranjo físico maximamente distribuído (GDD= ) O objetivo do algoritmo genético era simplesmente minimizar o valor do grau de distribuição. Como a formação dessas células fractais não era esperada foram elaborados outros arranjos físicos equilibrados para observar se esse comportamento é realmente característico do procedimento de maximização da distribuição. Na Figura 6 há 4 máquinas em cada um dos 4 processos e na Figura 7 o arranjo físico é formado por 2 máquinas em cada um dos 8 processos. Figura 6-4 processos com 4 máquinas (GDD= 3.25) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1945

7 Figura 7-8 processos com 2 máquinas (GDD= 11.75) Três arranjos físicos na dimensão 6x6 foram elaborados e também mostram células fractais (Figuras 8, 9 e 10). Figura 8-4 processos com 9 máquinas (GDD= ) Figura 9-9 processos com 4 máquinas (GDD= ) Figura processos com 2 máquinas (GDD= ) Os últimos arranjos físicos elaborados para estes testes têm dimensão 6x8 (Figuras 11 à 14). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1946

8 Figura 11-6 processos com 8 máquinas (GDD= ) Figura 12-4 processos com 12 máquinas (GDD= ) Figura processos com 4 máquinas (GDD= ) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1947

9 Figura processos com 2 máquinas (GDD= ) 9. Formação de células fractais em arranjos físicos desequilibrados A maximização da distribuição dos arranjos físicos desequilibrados também leva à formação de células, porém diferentes entre si devido ao fato de alguns processos possuírem número ímpar de máquinas. Normalmente um arranjo físico nesta condição pode ser dividido em dois, como é o caso dos três arranjos físicos desequilibrados adotados originalmente (20, 40 e 80 máquinas). A Figura 15 mostra o arranjo físico desequilibrado pequeno onde os processos 3, 4, 5 e 6 (com número ímpar de máquinas) foram divididos desigualmente enquanto os processos 1 e 2 (com número par de máquinas) foram divididos igualmente. Figura 15 - Arranjo físico maximamente distribuído pequeno (GDD= ) O arranjo físico médio, exibido pela Figura 16, possui 15 processos, sendo que 5 deles com apenas uma máquina (processos 1 até 5). Neste caso as duas células são mais distintas uma da outra. Todos os processos com máquinas pares foram divididos em duas partes. A Figura 17 mostra o resultado para o arranjo físico grande. Figura 16 - Arranjo físico maximamente distribuído médio (GDD= ) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1948

10 Figura 17 - Arranjo físico maximamente distribuído grande (GDD= 46.85) Se todos os processos têm número par de máquinas existirá similaridade entre as células e o número de células será igual ao número de máquinas do menor departamento. O arranjo físico da Figura 18 possui 2 processos com 2 máquinas, 2 processos com 4 máquinas e 2 processos com 6 máquinas. A maximização gerou duas células que podem ser observadas dividindo o leiaute nos sentidos horizontal ou vertical. Figura 18 - Arranjo físico 4x6 (GDD= ) O arranjo físico da Figura 19 possui 7 processos sendo 3 deles com 4 máquinas, 3 com 8 máquinas e 1 com 12 máquinas. Foi possível identificar 4 células em cinco configurações (também é possível a divisão horizontal e vertical para obter apenas duas células). XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1949

11 Figura 19 - Arranjo físico 6x8 (GDD= ) 10. Algumas observações A dificuldade na maximização da distribuição aumenta com as dimensões do arranjo físico. Enquanto que para arranjos físicos menores o valor mínimo para o grau de distribuição foi obtido com poucas execuções do algoritmo genético e com número de gerações relativamente pequeno o mesmo não ocorreu com os arranjos físicos maiores que necessitaram de dezenas de horas de processamento. Sendo assim é possível que alguns dos arranjos físicos apresentados possam ter um GDD ainda menor. Os resultados do algoritmo genético mostram outro efeito importante: apesar do grau de distribuição atingir um mesmo valor, há arranjos físicos que podem ser considerados mais distribuídos que outros. A Figura 20 mostra duas diferentes configurações com o mesmo valor para o grau de distribuição. Enquanto a distribuição da esquerda está completamente espalhada a da direita possui dois departamentos no centro do arranjo físico, com duas máquinas cada um Figura 20 Dois arranjos físicos com GDD= 3.25 Isso ocorre devido ao cálculo do grau de distribuição levar em consideração apenas a distância entre as máquinas de um processo e as máquinas dos demais processos, ignorando a distância entre máquinas do mesmo processo. Isso fica ainda mais evidente quando o algoritmo genético trabalha em um arranjo físico com apenas dois tipos de máquinas. Ao invés de atingir a forma tabuleiro de xadrez outras configurações com GDD= 1 são atingidas (Figura 21) Figura 21 - Arranjos físicos com GDD= 1 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1950

12 11. Considerações finais O objetivo do algoritmo genético elaborado era gerar arranjos físicos maximamente distribuídos para serem comparados com os obtidos pelo algoritmo ALVO. A formação espontânea de células pela maximização da distribuição foi uma ocorrência inesperada, pois não há nenhuma referência a esse fato na literatura. Provavelmente essa característica poderá ser explorada para aperfeiçoar os procedimentos de maximização existentes ou gerar novas técnicas. É importante destacar que o arranjo físico distribuído tem objetivos diferentes do arranjo físico fractal, atuando em situações distintas. Além disso, há diversas discussões sobre a definição da distribuição das máquinas dentro de cada célula fractal que, obviamente, evitam que o arranjo físico fique maximamente distribuído. Porém, a proximidade observada entre estes arranjos físicos pode levar a novas frentes de pesquisa e também oferecer contribuições nos estudos relacionados com as células virtuais de manufatura. Alterações na forma de cálculo do grau de distribuição para que leve em consideração as distâncias entre máquinas de mesmo tipo permitirão que este índice represente os arranjos físicos de forma ainda melhor. Isso contribuirá para que o algoritmo genético obtenha melhores resultados consumindo menos tempo de processamento. O algoritmo genético apresentado não foi o foco principal da pesquisa realizada, que consistia na comparação de desempenho entre arranjos físicos funcional e distribuído (parcialmente, aleatoriamente e maximamente). Sendo assim, não foram buscadas alternativas para melhoria de seu desempenho. Mudanças na forma de codificação que permitam a adoção de técnicas de cruzamento parece ser uma alternativa interessante. Referências Askin, R. G., Ciarallo, F. W. & Lundgren, N. H. (1999), An empirical evaluation of holonic and fractal layouts, International Journal of Production Research, v. 37, n. 5, p Baykasoglu, A. (2003), Capability-based distributed layout approach for virtual manufacturing cells, International Journal of Production Research, v.41, n.11, p Benjaafar, S. (1995), Design of flexible layouts for manufacturing systems, IEEE Engineering Management Conference, p Benjaafar, S., Heragu, S. S. and Irani, S. A. (2002), Next Generation Factory Layouts: Research Challenges and Recent Progress, Interfaces, v.32, n.6, Nov-Dec, p Benjaafar, S. and Sheikhzadeh, M. (1996), Design of flexible layouts for manufacturing systems, Proceedings of de IEEE, International Conference on Robotics and Automation, Minneapolis, Minnesota, Apr., p Benjaafar, S. & Sheikhzadeh, M. (2000), Design of flexible plant layouts, IIE Transactions, v.32, n.4, p Delmaire, H.; Langevin, A.; Riopel, D. (1997), Skeleton-based facility layout design using genetic algorithms, Annals of Operations Research, 69, pp Goldberg, D. E. (1989), Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning, Addison-Wesley Publishing Company, Inc, New York. Gorgulho Júnior, J. H. C. & Gonçalves Filho, E. V. (2005), Nova abordagem na geração de arranjo físico maximamente distribuído, XII SIMPEP, Bauru, SP, Brasil, 7-9 novembro. Gorgulho Júnior, J. H. C. & Gonçalves Filho, E. V. (2006), Análise do desempenho dos arranjos físicos distribuídos operando sob roteamento de peças com flexibilidade de sequenciamento, XXVI ENEGEP, Fortaleza, CE, Brasil, 9-11 outubro. Gorgulho Júnior, J. H. C. & Gonçalves Filho, E. V. (2007), Análise do desempenho dos arranjos físicos distribuídos em ambiente de roteamento de tarefas com flexibilidade de sequência de fabricação, Tese (Doutorado), Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Paulo. Gravel, M.; Nsakanda, A. L.; Price, W. (1998), Efficient solutions to the cell-formation problem with multiple routings via a double-loop genetic algorithm, European Journal of Operational Research, n.109, p XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1951

13 Irani, S. A. ; Huang, H. (2000), Custom design of facility layouts for multi-product facilities using layout modules, IEEE Transactions. Robotics Automation, v.16, p Lahmar, M.; Benjaafar, S. (2001), Design of dynamic distributed layouts, INFORMS Fall Meeting, Session TC17 (Advances in Factory Layouts), Nov., Miami, Fl. Lahmar, M.; Benjaafar, S. (2002a), Design of dynamic distributed layouts, Working Paper, Department of Mechanical Engineering, University of Minnesota, Minneapolis, MN. Lahmar, M.; Benjaafar, S. (2002b), Design of dynamic distributed layouts, Proceedings of the 11 th Annual Industrial Engineering Research Conference (IERC), May 19-21, Orlando, Fl. Lahmar, M.; Benjaafar, S. (2005), Design of distributed layouts, IIE Transactions, v.37, p Montreuil, B.; Lefrançois, P.; Marcotte, S. & Venkatadri, U. (1993), Layout for chaos Holographic layout of manufacturing systems operating in highly volatile environments, Document de Travail 93-53, Groupe de Recherche en Gestion de La Logistique, Faculté des Sciences de L Administration, Université Laval, Québec, Canada. Montreuil, B. & Venkatadri, U. (1991), Scattered layout of intelligent job shops operating in a volatile environments, Proceedings of the International Conference on Computer Integrated Manufacturing, Singapore, p Montreuil, B.; Venkatadri, U.; Lefrançois, P. (1991). Holographic layout of manufacturing systems. Document de travail (Technical Report) 91-76, Faculty of Management, Université Laval, Montreal, Québec, Canada, Oct. Montreuil, B.; Venkatadri, U.; Rardini R. (1999), Fractal layout organization for job shop environments, International Journal of Production Research, v.37, n.3, p Ozcelik, F.; Islier, A. A. (2003) Novel approach to multi-channel manufacturing system design, International Journal of Production Research, v. 41, n. 12, p Rheault, M.; Drolet, J. R. & Abdulnor, G. (1995), Physically reconfigurable virtual cells: A dynamic model for a highly dynamic environment, Computers and Industrial Engineering, v.29, n.1-4, p Saad, S. M.; Lassila, A. M. (2004), Layout design in fractal organizations, International Journal of Production Research, v. 42, n. 17, p Venkatadri, U; Rardin, R. L. & Montreuil, B. (1997), A design methodology for the fractal layout organization, IEE Transactions, v.29, n.10, p Warnecke, H. J. (1993), The fractal company - a revolution in corporate culture, Berlin, Germany, 1992, reprint, New York: Springer-Verlag. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1952