JOÃO GILBERTO TEIXEIRA SILVA

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1 JOÃO GILBERTO TEIXEIRA ILVA CONTRIBUIÇÃO AO PROJETO DE ELEMENTO ETRUTURAI DE CONCRETO ARMADO COM DECONTINUIDADE ATRAVÉ DO MODELO DE PAINÉI ENRIJECIDO. Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Alagoas omo requisito parial para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. MACEIÓ 00

2 JOÃO GILBERTO TEIXEIRA ILVA CONTRIBUIÇÃO AO PROJETO DE ELEMENTO ETRUTURAI DE CONCRETO ARMADO COM DECONTINUIDADE ATRAVÉ DO MODELO DE PAINÉI ENRIJECIDO. Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Alagoas omo requisito parial para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de onentração: Estruturas Orientador: Prof. Doutor everino Pereira Cavalanti Marques. MACEIÓ 00 ii

3 ILVA, João Gilberto Teixeira Contribuição ao projeto de elementos estruturais de onreto armado om desontinuidades através do Modelo dos Painéis Enrijeidos. Maeió, p Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Alagoas. Programa de Pós - Graduação em Engenharia Civil.. Painéis. Enrijeidos Universidade Federal de Alagoas. Centro de Tenologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil iii

4 iv

5 Dedio este trabalho a meu pai João Rosendo ilva, ao meu filho João Vítor e a todos o meus familiares. Agradeço espeialmente à imone por ter estado ao meu lado nesses dois últimos anos. v

6 Agradeimentos Agradeço a Deus pela vida e por ter onseguido terminar este trabalho. Ao professor Dr everino Pereira Cavalante Marques pela orientação e dediação. A meu pai e minha esposa pelo apoio e inentivo. Á FAPEAL que finaniou este trabalho. Aos amigos do PPGEC que me ajudaram direto e indiretamente neste trabalho. vi

7 umário Agradeimentos... vi Lista de Figuras... x Lista de Tabelas... xiii Lista de ímbolos... xiv Resumo... xxii Abstrat... xxiii Capítulo.... Introdução..... Considerações iniiais..... Objetivos e relevânia..... Estrutura da dissertação... Capítulo Aspetos gerais do Método dos Painéis Enrijeidos Desrição geral do método Base teória do MPE Contribuição do trabalho e sua situação no ontexto geral... 0 Capítulo.... Enrijeedores.... Introdução..... Matriz de rigidez do enrijeedor.... Relações onstitutivas Enrijeedor traionado om onreto não fissurado Enrijeedor traionado om onreto fissurado e sem esoamento da armadura Enrijeedor traionado om onreto fissurado e armadura esoando.... Enrijeedor omprimido sem esmagamento do onreto e sem esoamento da armadura... vii

8 ..5. Enrijeedor omprimido om esmagamento do onreto e sem esoamento da armadura Enrijeedor omprimido sem esmagamento do onreto e om esoamento da armadura.... Dimensionamento das armaduras dos enrijeedores... 7 Capítulo Painéis Introdução Matriz de rigidez do painel Relações de equilíbrio Energia Potenial Complementar do painel Determinação da rigidez do painel Dimensionamento das armaduras dos painéis Relação tensão - deformação não linear do painel Relações onstitutivas dos materiais Capaidade de transmissão de tensão através das fissuras Proedimentos para obtenção da tensão de isalhamento do painel na análise não linear... 7 Capítulo Aspetos da Análise Estrutural Considerações iniiais Transformações de oordenadas para os enrijeedores Transformações de oordenadas para os painéis Formulação da análise não linear Estratégia de ontrole da análise istematização dos proedimentos da análise Atualização da matriz de rigidez dos elementos Capítulo Exemplos Numérios Considerações iniiais Caso de uma viga de seção T dotada de abertura retangular na alma Dimensionamento e análise omparativa das armaduras... 6 viii

9 6... Diagramas arga-desloamento para a viga de seção T Comparação entre resultados das análises linear e não linear Caso de uma viga parede om reforços vertiais Dimensionamento e análise omparativa das armaduras Diagramas arga-desloamento para a viga parede Comparação entre resultados das análises linear e não linear Caso de uma viga parede om uma grande abertura Dimensionamento e análise omparativa das armaduras Comparação entre resultados das análises linear e não linear Capítulo Considerações Finais e ugestões para Trabalhos Futuros Referênias Bibliográfias... 0 Bibliografia Complementar... 0 ix

10 Lista de Figuras Figura. - Deformação de uma seção loalizada em região B... Figura. - Deformação de uma seção loalizada em região D... uras om regiões B e D... ma estrutura pelo MPE - Hoogenboom (998)... 7 Figura. - Esforços atuantes nos painéis e enrijeedores... 7 Figura. - Curvas arga-desloamento das análises linear (a) e não linear (b)... 8 Figura. - Exemplos de estruturas que podem ser analisadas e projetadas pelo MPE... 9 Figura.- Forças e desloamentos típios de um enrijeedor... Figura. - Esforços normais atuantes em um enrijeedor... Figura. - Pontos de integração de Gauss para um enrijeedor... 8 Figura. - Relação onstitutiva do enrijeedor quando o esmagamento do onreto oorre depois do esoamento das armaduras... 6 Figura.5 - Relação onstitutiva do enrijeedor quando o esmagamentodo onreto oorre antes do esoamento das armaduras... 6 Figura.- Geometria do painel e tensões atuantes... 8 Figura. - Ações e desloamentos nos pontos nodais do painel... 8 Figura. - Relação onstitutiva do painel... 5 Figura. - uperposição de esforços em um elemento de membrana... 7 Figura.5 - Tensões prinipais no elemento de membrana em isalhamento puro... 9 Figura.6 - Equivalênia de tensões de tração nas armaduras... 0 Figura.7 - Tensões atuantes em uma seção entre fissuras e ao longo de uma fissura -Vehio & Collins (986)... Figura.8 - Tensões devidas ao intertravamento dos agregados -Vehio & Collins (986)... Figura.9 - Esquema ilustrativo da área efetiva... 7 Figura.0 - Curva tensão deformação do painel... 9 Figura 5. - Coordenadas loais de um enrijeedor... 9 x

11 Figura 5. - Transformação de oordenadas loais (a) para oordenadas globais (b) de um enrijeedor Figura 5. - Relação entre as oordenadas loais (a) e as oordenadas globais (b) do painel Figura 6.- Viga de seção T om abertura na alma (medidas em metro)... 6 Figura 6. - Disretização utilizada para a viga de seção T Figura 6. - Distânias entre eixos dos enrijeedores (em metros) Figura 6. - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões isalhantes Figura Armaduras da viga de seção T obtida pelo MPE Figura Armaduras da viga de seção T utilizadas por Tan et al (996) Figura Nova disretização para a viga de seção T Figura Valores dos esforços normais e tensões isalhantes da viga de seção T usando a disretização para a disretização mostrada na figura Figura Diagramas arga-desloamento da viga de seção T Figura Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura Figura 6. - Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura Figura 6. - Armaduras da viga de seção T obtidas através das análises não lineares... 7 Figura 6. - Viga parede om mudança brusa de espessura nas extremidades e no meio do vão Figura 6. - Disretização utilizada para a viga parede Figura Distânias entre eixos dos enrijeedores (em metros) 76 Figura Distribuição e valores dos esforços normais e tensões isalhantes Figura Armaduras da viga parede obtida pelo MPE Figura Armaduras da viga parede utilizadas por hayanfar et al. (997) Figura egunda disretização para a viga parede Figura Tereira disretização para a viga parede Figura 6. - Valores dos esforços normais e tensões isalhantes para a disretização mostrada na figura xi

12 Figura 6. - Valores dos esforços normais e tensões isalhantes para a disretização mostrada na figura Figura 6. - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da disretização da figura Figura 6. - Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da disretização da figura Figura Diagramas arga-desloamento da viga parede... 8 Figura Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura Figura Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura Figura Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura Figura Armaduras da viga parede obtidas através das análises não lineares das disretizações das figuras 6. e Figura Armaduras da viga parede obtidas através da análise não linear om uso da disretização mostrada na figura Figura 6. - Viga parede om abertura próxima ao apoio Figura 6. - Disretização utilizada para a viga parede om grande abertura Figura 6. - Distânias entre eixos dos enrijeedores (em metros)... 9 Figura 6. - Distribuição e valores dos esforços normais e tensões isalhantes... 9 Figura Armaduras da viga parede obtida pelo MPE... 9 Figura Armaduras da viga parede utilizadas por hlaih et al. (987)... 9 Figura Nova disretização para a viga parede om abertura... 9 Figura Valores dos esforços normais e tensões isalhantes para a disretização mostrada na figura Figura Armaduras da viga parede obtidas pelo MPE através da disretização da figura Figura Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura Figura 6. - Diagrama de esforços normais e tensões isalhantes para a análise não linear obtido pela disretização mostrada na figura xii

13 Figura 6. - Armaduras da viga parede obtidas através da análise não linear para a disretização da figura Lista de Tabelas Tabela.- Parâmetros para integração numéria de Gauss... 8 Tabela 6. - Propriedades dos materiais da viga de seção T... 6 Tabela 6. - Quadro das armaduras obtidas pelo MPE Tabela 6. - Quadro das armaduras utilizadas por Tan et al. (996) Tabela 6. - Quadro de armaduras para os esforços das análises não lineares... 7 Tabela Valores médios do esforço normal e tensões isalhantes para a viga de seção T dotada de abertura retangular na alma... 7 Tabela Propriedades dos materiais... 7 Tabela Quadro de armaduras obtido pelo MPE Tabela Quadro de armaduras utilizadas por hayanfar et al (997) Tabela Quadro de armaduras obtido pela segunda disretização... 8 Tabela Quadro de armaduras obtido pela tereira disretização... 8 Tabela 6. - Quadro de armaduras para os esforços das análises não lineares para as disretizações mostradas nas figuras 6. e Tabela 6. - Quadro de armaduras para os esforços da análise não linear para a disretização mostrada na figuras Tabela 6. - Valores médios do esforço normal e tensões isalhantes para a viga parede om reforços vertiais Tabela 6. Propriedades dos materiais Tabela Valores médios do esforço normal e tensões isalhantes para a viga parede om uma grande abertura xiii

14 Lista de ímbolos Maiúsulos romanos. A A Área da seção transversal de um enrijeedor; Área de onreto do enrijeedor; A x ; A y Áreas de onreto nas direções x e y; A Área de aço do enrijeedor; A sx ; A sy Áreas de aço nas direções x e y; A P Área superfiial do painel; p [ B ] Matriz que relaiona os desloamentos generalizados om os desloamentos loais do painel; [B e ] Matriz que relaiona os desloamentos generalizados om os desloamentos loais do enrijeedor; C Fração do trabalho total; C Constantes definidas pela equação.0 a-d; D ;C ;C ; C Relação entre a tensão e a deformação generalizada do painel; { D } o Vetor de desloamentos da estrutura segundo direções globais obtido na análise linear; t { D } E Vetor de desloamentos nodais da estrutura nas direções globais referente ao passo inremental t-; Módulo de elastiidade do enrijeedores E E Módulo de elastiidade do onreto; Módulo de elastiidade do aço; { F } i Norma eulidiana do vetor das forças desequilibradas na iteração i; { F } i Vetor das forças desequilibradas no final da iteração i-; F ij Coefiientes de flexibilidade do enrijeedor; F R Resultante de forças na direção perpendiular ás fissuras; xiv

15 F s Matriz de flexibilidade do enrijeedor F x ; F y Resultante de forças nas direções x e y; * G H K Módulo de rigidez transversal seante na origem Variável que determina o sinal do fator de arga na primeira iteração; Constante de valor 0, para barras nervuradas e 0,8 para barras lisas; K Constante definida pela equação (.6); [ K e ] t- Matriz de rigidez do elemento na última iteração do passo de arga t-; [ K gs ] Matriz de rigidez do enrijeedor relativa às oordenadas globais; [ K gp ] Matriz de rigidez do painel relativa às oordenadas globais; [ K i ] Matriz de rigidez da estrutura, na iteração i-; [ K t ] i Matriz de rigidez da estrutura atualizada na iteração i [ K t ] o [ K p ] Matriz de rigidez tangente iniial da estrutura; Matriz de rigidez do painel relativa às oordenadas loais; [K s ] Matriz de rigidez do enrijeedor; N N ;N N Esforço normal no enrijeedor; Valor do esforço normal nas extremidades do enrijeedor; Parela do esforço normal atuante no onreto quando σ = f ; N Valor do esforço normal de tração que provoa a primeira r fissura no enrijeedor; N d,max Valor de álulo do esforço normal de ompressão; t N d,max Valor de álulo do esforço normal de tração N r Parâmetro dado pela equação (.7); N Parela do esforço normal atuante nas armaduras; xv

16 N t Esforço normal que profoa o esmagamento do onreto N ( x ) Função do esforço normal de um enrijeedor; N yr Esforço normal nas armaduras quando o aço esoa; P Trabalho realizado pelas forças externas atuantes sobre o enrijeedor; { R } Vetor das argas de referênia; { R } Vetor de argas de projeto; t { R } Vetor de argas nodais da estrutura segundo direções globais referente ao passo inremental t-; Constantes definidas pelas equações.0 e-h; ; ; ; { e } i Vetor de esforços internos no elemento na iteração i t { e } { i Vetor de esforços internos do elemento na última iteração do passo inremental t. t } Vetor das ações nodais nos elementos rotaionados na direção das oordenadas globais para a iteração i t { t } Vetor das ações nodais nos elementos rotaionados na direção das oordenadas globais para o passo de arga t- U Energia de deformação omplementar total no volume. Minúsulos romanos. a b w d b e {e} Dimensão máxima do agregado graúdo; Largura do enrijeedor; Cobrimento das barras; Diâmetro das barras longitudinais; Desloamento generalizado do painel; Vetor dos desloamentos generalizados do enrijeedor; e ; Desloamentos generalizados do enrijeedor; e { f } Vetor das ações atuantes nas faes do painel; xvi

17 f Ações nas oordenadas loais, e respetivamente, do ; f; f ; f; f; f enrijeedor; f Ações atuantes nas faes do painel; f f d Resistênia do onreto à ompressão Resistênia à ompressão ilíndria de álulo do onreto; f k Resistênia araterístia do onreto; f t Resistênia à tração do onreto; {f e } Vetor de esforços loais no enrijeedor; {f eg } Vetor de esforços globais no enrijeedor; f y Resistênia ao esoamento do aço f yd Tensão de esoamento de álulo do aço; f yx ; f yy Tensão de esoamento no aço nas direções x e y; h h e k ; k ; k ; k Altura do elemento estrutural; Altura do enrijeedor; Constantes definidas pelas equações.5 a-d; k f Constate definida pela equação (.); l ;l ;l ; l Comprimento do enrijeedor; l Medidas dos lados do painel; n q ;r ;r ; r Número de graus de liberdade da estrutura; Carregamento distribuído ao longo do enrijeedor; r Constantes definidas pelas equações.0 i-m; s Espaçamento máximo entre barras longitudinais; s mθ Distânia média entre fissuras; s mx : Distânia média entre fissuras na direção x; s my Distânia média entre fissuras na direção y; t Espessura do painel; {u e } Vetor dos desloamentos loais do enrijeedor; u(x) Desloamento axial em um ponto genério de oordenada x; xvii

18 u Graus de liberdade do painel; ;u ;u ; u u Energia de deformação espeífia omplementar; { u e } Vetor dos desloamentos loais do enrijeedor; u Desloamentos loais do enrijeedor; e e e ;u ; u { u eg } Vetor dos desloamentos globais do enrijeedor; u ; u ; u ; u ; u Desloamentos globais do enrijeedor; eg eg eg eg eg 5 { u p } Vetor de desloamentos loais do painel; u Desloamentos loais do painel; p p p p ;u ;u ; u { u pg p } Vetor dos desloamentos globais do painel; u ; u ; u ; u Desloamentos globais do painel pg v i pg pg pg v imax Máximo valor de v i ; Tensão de isalhamento devido ao intertravamento formado pela rugosidade da superfíie fissurada; x ; x; x; x Valores da oordenada x dos vérties do painel; x i ; y; y; y Valor da oordenada x no i-ésimo ponto de integração numéria; y Valores da oordenada y dos vérties do painel; w: Trabalho total; w f w i Abertura média das fissuras; Valor do i-ésimo peso de integração numéria. Maiúsulos gregos. { D } i egunda parela do vetor de inremento de desloamento na ietração i; { D } i Vetor dos inrementos de desloamentos na iteração i; { D} i Primeira parela do vetor de inremento de desloamento na ietração i; xviii

19 { D e } i Vetor de inremento de desloamentos loais do elemento para a iteração i { D } o Vetor dos inrementos de desloamento no passo de arga anterior ao passo de arga orrente; { R } i Vetor dos inrementos de arga; { R } o Vetor dos inrementos de arga no passo inremental anterior; { e } i Vetor de inremento de esforços nos elementos na iteração i; { t } i Vetor de inremento das ações nodais nos elementos relativos às oordenadas globais w Inremento de trabalho; Π Π Π Energia de Deformação Potenial Complementar Total; Energia de Deformação Potenial Complementar Total; Energia potenial omplementar no painel por unidade de volume; F x omatório de forças na direção x; F y omatório de forças na direção y; M omatório de momentos em relação á origem do sistema de oordenadas. Minúsulos gregos α β Ângulo que define as direções das tensões prinipais do painel; Tensão generalizada no painel; [ β ] Matriz de rotação do enrijeedor; [ β ] T Transposta da matriz de rotação do enrijeedor; [ β p ] Matriz de rotação do painel; [ β ] T p Transposta da matriz de rotação do painel; xix

20 γ Distorção no entro do painel; i i γ ; γ Distorção no entro do painel para o nível de arga i e i-; γ xy Distorção do painel no plano xy; ε ε Deformação axial; Maior deformação de tração na área efetiva; ε ;ε Deformações prinipais; ε Menor deformação de tração na área efetiva ε Deformação axial no onreto quando = σ f ; ε r Valor da deformação assoiado à resistênia à tração do onreto; ε xx Deformação no plano perpendiular ao eixo x na direção do eixo x; ε yy Deformação no plano perpendiular ao eixo y na direção do eixo y; η Relação entre o módulo de elastiidade do aço e do onreto; θ ; θ; θ; θ Ângulos entre os lados do painel e o eixo x do sistema de referênia artesiano adotado para o painel; λ i : Fator de arga orrespondente à iteração i; µ Valor absoluto da relação entre a intensidade de qualquer arga não i nula atualizada e seu orrespondente valor em { R } na iteração i; ν ξ Coefiiente de Poisson para o onreto não fissurado; Parâmetro que relaiona as rigidezes do aço e do onreto; ρ ef Taxa efetiva de aço; ρ sx;ρ sy Taxas de armadura nas direções x e y; σ σ ; Tensão normal no enrijeedor; σ Tensões prinipais no onreto; σ Tensão de ompressão no onreto; σ r O mesmo que f t ; σ Tensão no aço; σ sx ;σ sy Tensões atuantes nas armaduras nas direções x e y; xx

21 σ sx,r ;σ Tensão na armadura na região das fissuras na direção x e y sy,r respetivamente; σ x ;σ y Tensão atuante no painel nas direções x e y; σ x ;σ y Tensões atuantes no onreto nas direções x e y; τ ; ; Tensão isalhante média atuante no painel; τ ; τ τ τ Tensões de isalhamento atuantes nas faes do painel; τ Tensão de isalhamento no onreto; i τ ; τ Tensão de isalhamento no painel para o nível de arga i e i-; i xy xy φ Diâmetro das barras. xxi

22 Resumo ILVA, JOÃO G. T. (00). Contribuição ao projeto de elementos estruturais de onreto armado om desontinuidades através do. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Alagoas, Maeió, 00. A não apliabilidade da hipótese de Navier-Bernoulli implia na não validade do uso da tradiional teoria de vigas no estudo de vigas paredes, onsolos urtos, regiões om grandes aberturas ou mudança de inéria. Para estruturas de onreto armado são freqüentemente utilizados proedimentos baseados na teoria das hapas, nos métodos dos elementos finitos e das bielas e tirantes. Neste trabalho, emprega-se para projetos desses tipos de estruturas em onreto armado, um proedimento alternativo que reúne as vantagens do método de bielas e tirantes e do método dos elementos finitos. Através deste proedimento, denominado aqui omo Método dos Painéis Enrijeidos (também onheido na literatura inglesa omo tringer and painel model), a estrutura é modelada omo um onjunto de painéis om ontornos enrijeidos por barras. Admite-se que as barras transmitem apenas forças normais e os painéis apenas forças de isalhamento. As análises podem ser feitas onsiderando-se distribuição de tensões elástias, denominada de análise linear, ou levando em onta a redistribuição de tensões devido à fissuração do onreto. Os painéis utilizados na disretização das vigas são quadrilaterais quaisquer. Alguns exemplos são analisados e os resultados enontrados para as armaduras são omparados om os obtidos por outros métodos. Também é analisada a influênia do tamanho dos elementos no volume de aço obtido, além de se fazer a omparação dos diagramas arga-desloamento experimental e teório. Também é omparado o volume de aço obtido om as análises linear e não linear. Palavras-have: Conreto armado, regiões D, painéis, enrijeidos, análise não linear xxii

23 Abstrat ILVA, JOÃO G. T. (00). Contribution to the design of reinfored onrete strutural elements with desontinuities using the tringers and Panel model. Master iene Dissertation - Universidade Federal de Alagoas, Maeió, 00. The traditional beam theory annot be applied to study walls, orbels and regions with holes or hange of inertia, beause the Navier-Bernoulli s hypothesis annot be used to these ases. Proedures based in the plates theories, the finite element method or truss-and-tie method are often used to study these type of reinfored onrete strutures. In this work, an alternative proedure that joins the advantages of truss-and-tie method and finite element method is used to design the above mentioned types of reinfored onrete strutures. Using this proedure, alled tringer and panel model, the strutures are modeled as a group of panels with their edges stiffened by straight bars (stringers). It s supposed that the stringers transmit only axial fores, while the panels, transmit only shear fores. The analyses an be made onsidering the distribution of elasti stresses, alled linear analysis, or onsidering the redistribution of stresses due to the onrete rak. Examples are analyzed, and the results for the reinforement are ompared with the other results obtained by the use of other methods. Element size effets on the reinforement volume are analyzed and the theoretial load-displaement urves are ompared with the orresponding experimental load-displaement urves. Finally, omparison between the reinforement volumes obtained by the linear analysis and by the non linear analysis is made. analysis Keywords: Reinfored onrete, regions D, panels, stringers, non linear xxiii

24 Capítulo Introdução.. Considerações iniiais Os primeiros modelos formulados para projetos de estruturas de onreto armado surgiram no final do séulo XIX. Como exemplo, pode ser itado aquele onheido por Analogia de Treliça proposto por Wilhelm Ritter (899) e melhorado por Emil Mörsh (908). Tal modelo ainda hoje é utilizado omo base para o dimensionamento de vigas submetidas a força ortante. egundo hoogenboom (98), na déada de trinta (do séulo passado), vários pesquisadores omo C.. Whitney e O. Bauumann desenvolveram a base do atual modelo empregado para o dimensionamento à flexão das vigas usuais de onreto armado. As partes que onstituem as estruturas são freqüentemente lassifiadas omo regiões B ou regiões D. As hamadas regiões B são aquelas ujas seções transversais satisfazem a hipótese de Navier-Bernoulli, ou seja, suas seções transversais apresentam uma distribuição linear de deformação, onforme mostrado na figura.. ε ε t Figura. - Diagrama de deformação de uma seção loalizada em região B.

25 Ao ontrário, as hamadas regiões D são aquelas ujas seções transversais não obedeem a hipótese aima referida, omo ilustrado na figura.. Estas regiões são geradas por desontinuidades físias, omo forças onentradas e reações de apoio, e geométrias, tais omo aquelas araterizadas pela presença de furos, mudança brusa de dimensões e de direção. Como exemplos de elementos que apresentam regiões D, podem ser itados: vigas parede (om ou sem furo), vigas furadas, onsolos urtos, nós de pórtios, dentes Gerber, enontro de pilar e fundação. ε ε t Figura. - Diagrama de deformação de uma seção loalizada em região D. Não existe uma maneira exata de se delimitar as regiões D em uma estrutura. Para isso, utiliza-se na prátia uma regra baseada no Prinípio de aint-venant (Timoshenko & Gere, 970), a qual emprega a medida da altura h da seção transversal omo parâmetro de delimitação, omo mostrado na figura. para trehos de estruturas dotadas de região B (em brano) e regiões D (hahuradas).

26 h h h h h h h h h h h h h h Figura. - Regra de delimitação de regiões D Por volta da déada de inqüenta do séulo passado, om o desenvolvimento da omputação, surgiu o Método dos Elementos Finitos. Posteriormente, utilizando-se os oneitos desse método, desenvolveram-se apliações para estruturas de onreto armado, tornando-se mais uma importante ferramenta no projeto de estruturas dotadas de regiões D. Em 979 o alemão Jorg hllaih omeçou a utilizar o Método de Bielas e Tirantes (strut-and-tie model) para expliar aos seus alunos o omportamento de estruturas de onreto dotadas de região D. Juntamente om seu olega Kurt hafer, organizou sistematiamente o método, generalizando suas apliações (hlaih et al.987). O Método de Bielas e Tirantes é onsiderado omo um aperfeiçoamento dos proedimentos empírios empregados em projeto de estruturas de onreto armado e onsiste em uma extensão do modelo da Analogia de Treliça. Baseados nos oneitos desenvolvidos pelo pesquisador dinamarquês Morgens Peter Nielsen (Nielsen, 999), os holandeses Hoogenboom e Blaauwendrad (Blaauwendaad & Hoogenboom, 996) lançaram o aqui hamado Método dos Painéis Enrijeidos, denominado na literatura inglesa omo tringer-panel Model. Tal método apresenta-se omo uma ferramenta numéria alternativa para o projeto e análise de estruturas de onreto armado dotadas de regiões D.

27 .. Objetivos e relevânia O objetivo deste trabalho é a apresentação de um estudo voltado para o projeto de elementos estruturais de onreto armado om desontinuidades, tais omo vigas paredes e vigas om aberturas, onsolos urtos, dentes Gerbers, et, utilizando o Método dos Painéis Enrijeidos (MPE). Elementos om desontinuidades (regiões D ) são muito freqüentes nos projetos estruturais e não podem ser analisados através de teorias baseadas na hipótese de Navier-Bernoulli. Para os projetos e análises de tais elementos estruturais são bastante utilizados o Método de Bielas e Tirantes (MBT) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). O MPE apresenta-se omo uma ferramenta alternativa para análise e projeto desses elementos om desontinuidades. Tal método ombina uma abordagem omputaional similar àquela empregada no Método dos Elementos Finitos, om as vantagens de apresentar failidade na disretização da estrutura e simpliidade para o detalhamento das armaduras. O Método de Bielas e Tirantes é um proedimento muito usado no projeto de estruturas de onreto armado, apresentando omo uma desvantagem a neessidade de se onheer, para efeito de disretização, as trajetórias das tensões prinipais, o que muitas vezes exige o emprego de métodos numérios, tal omo o Método dos Elementos Finitos. Dois inonvenientes normalmente enontrados om o uso da formulação em desloamento do MEF em projetos de elementos de onreto armado onsistem na maior omplexidade para a disretização da estrutura e para o detalhamento de suas armaduras... Estrutura da dissertação A dissertação está estruturada em sete apítulos inluindo este, onde se apresenta uma introdução. No apítulo é feita uma explanação sobre o Método dos Painéis Enrijeidos, ontendo uma desrição geral do mesmo, seu embasamento teório, os tipos de análises usados no presente estudo e exemplos de estruturas que podem ser analisadas.

28 No apítulo são apresentados os proedimentos para montagem da matriz de rigidez de um enrijeedor, assim omo suas relações onstitutivas e os ritérios usados para o dimensionamento de armaduras quando neessárias. O apítulo trata da formulação da matriz de rigidez de um painel, omo também sua relação onstitutiva e dimensionamento de armaduras. O apítulo 5 apresenta os proedimentos numérios orrespondentes às análises linear e fisiamente não linear empregados no estudo. No apítulo 6 são mostrados resultados das análises de exemplos de estruturas, omparando os valores enontrados pelo MPE om outros obtidos através de diferentes proedimentos. Finalmente, no apítulo 7, são apresentadas as onsiderações finais. 5

29 Capítulo Aspetos Gerais do Método dos Painéis Enrijeidos.. Desrição geral do método Observando-se a ténia de armar vigas paredes, perebe-se que as armaduras onsistem, na maioria dos asos, de malhas ortogonais dispostas nas proximidades das superfíies laterais da viga e de uma onentração de barras nas regiões próximas aos limites inferior e superior da estrutura e ao redor de furos, quando estes existem. Considerando esta típia disposição de armaduras e tendo omo base teória o Teorema do Limite Inferior, da Teoria da Plastiidade, desenvolveu-se o aqui denominado Método dos Painéis Enrijeidos (tringer Panel Model), que onsiste em disretizar a estrutura em um onjunto de elementos lineares hamados enrijeedores que, quando traionados, ontém as armaduras prinipais, ontornando painéis om armaduras dispostas em forma de malha. Para disretização de uma estrutura pelo Método de Painéis Enrijeidos (MPE) é neessária a disposição de enrijeedores ao longo das bordas da mesma, ao redor de furos eventualmente existentes, ao longo da linha de ação de reações de apoio e de argas onentradas. Os painéis são as regiões da estrutura limitadas pelos enrijeedores, onforme mostrado na figura.. 6

30 Painéis Enrijeedores Figura. - Disretização de uma estrutura pelo MPE - Hoogenboom (998). Os enrijeedores são onsiderados omo submetidos uniamente a esforços normais de ompressão ou de tração, enquanto que os painéis são admitidos omo soliitados apenas a esforços de isalhamento ao longo de suas bordas, onforme mostrado na figura.. Figura. - Esforços atuantes nos painéis e enrijeedores. 7

31 No presente estudo, dois tipos de análises são realizados: análise linear e análise fisiamente não linear. No primeiro não se leva em onta a perda de rigidez dos elementos que ompõem o modelo estrutural, ou seja, admite-se que os materiais que onstituem os enrijeedores e os painéis têm omportamento elástio linear. Tal análise é normalmente utilizada omo etapa preliminar para o dimensionamento das armaduras. Depois de dimensionadas as armaduras, pode-se efetuar uma análise fisiamente não linear na qual onsideram-se as mudanças de rigidez dos elementos devidas à fissuração do onreto e ao esoamento das armaduras. Através desta análise obtêm-se onfigurações de equilíbrio mais realístias para o modelo estrutural idealizado, sendo inlusive utilizada para a simulação do omportamento arga-desloamento da estrutura. A figura. mostra o diagrama arga-desloamento de uma estrutura utilizando os dois tipos de análises aima referidos. Figura. - Curvas arga-desloamento das análises linear (a) e não linear (b) 8

32 Com o MPE é possível analisar e projetar estruturas dotadas de região D bastante omuns em projetos estruturais tais omo aquelas mostradas na figura.. a) b) ) Figura. - Exemplos de estruturas que podem ser analisadas e projetadas pelo MPE: a) Viga parede; b) Consolo urto; ) Viga om mudança brusa de rigidez inerial... Base Teória do MPE Conforme já foi menionado, o MPE tem omo fundamentação teória o Teorema do Limite Inferior (Lower Bound Theorem), que pode ser assim enuniado: e para um dado arregamento atuante sobre uma estrutura for possível enontrar uma distribuição de tensões estatiamente admissível e segura, então a arga atuante não provoa o olapso da estrutura. Maiores detalhes e dedução podem ser enontradas em Nielsen (999). Com isso, idealizando-se a estrutura omo sendo onstituída por uma assoiação de enrijeedores e painéis, se for garantido que existe uma distribuição de esforços 9

33 internos, atuantes nos mesmos, em equilíbrio entre si e om as forças externas e que, além do mais, tal distribuição seja segura, no sentido de que os elementos estão projetados para suportar os esforços internos sem ruptura, onlui-se pelo itado teorema que aquelas forças externas não provoam o olapso da estrutura. Vale ressaltar que o Teorema do Limite Inferior tem seu ampo de validade regido pelas hipóteses e leis da Teoria da Plastiidade e, assim sendo, somente pode ser utilizado para estruturas de onreto armado se estas atenderem a ondições de dutilidade que permitam atingir a onfiguração de equilíbrio idealizada sem antes entrar em olapso. Esta limitação é omum a todos os proedimentos de análise de estruturas de onreto baseados na Teoria da Plastiidade, tal omo o Método de Bielas e Tirantes... Contribuição do trabalho e sua situação no ontexto geral. A referênia Hoogenboom (998) apresenta uma formulação do Método dos Painéis Enrijeidos do tipo não linear inremental, onsiderando-se os painéis omo submetidos a tensões normais e de isalhamento. Tal referênia onsiste na prinipal fonte bibliográfia para o desenvolvimento do presente trabalho. Baseando-se em Hoogenboom (998), o presente estudo apresenta, omo ontribuição, uma formulação do MPE destinada à análise linear e não linear, inremental iterativa, implementada usando o ambiente MATLAB. Outra ontribuição do estudo aqui apresentado onsiste na apresentação de omparações de resultados obtidos pelo MPE om outros orrespondentes a diferentes proedimentos. 0

34 Capítulo Enrijeedores.. Introdução Os enrijeedores são elementos lineares que absorvem apenas esforço normal, sendo onsiderados omo desprovidos de qualquer rigidez à flexão. Uma vez que os enrijeedores transmitem somente esforço normal, tais elementos podem estar totalmente traionados ou omprimidos, ou apresentar trehos submetidos à tração e à ompressão. Para o dimensionamento dos enrijeedores, supõe-se que os esforços de tração são absorvidos pelas armaduras de aço e, nas regiões omprimidas, que os esforços normais são absorvidos pelo onreto ou, no aso de ompressão exessiva, também por armaduras de aço... Matriz de rigidez do enrijeedor Para se determinar a matriz de rigidez de um enrijeedor emprega-se o Prinípio da Mínima Energia de Deformação Potenial Complementar (ver por exemplo hames, 989). Como definido na Meânia dos ólidos, em um determinado ponto de um orpo submetido a um estado uniaxial de tensão, a energia de deformação espeífia omplementar é dada por: σ = u ε dσ (.) 0 onde ε é a deformação axial e σ a orrespondente tensão. Em um dado volume V do orpo a energia de deformação omplementar total é definida pela expressão:

35 U C = V u dv (.) ou ainda, usando a equação (.), U C = σ V 0 ε dσ dv (.) No aso de um enrijeedor, admitindo que a seção transversal é onstante ao longo de seu eixo, a tensão normal em qualquer ponto é dada por N( x ) σ = (.) A sendo N ( x) o valor do esforço normal atuante na seção tranversal de área A e definida pela oordenada x. ubstituindo-se (.) em (.) e onsiderando-se que resulta dv = Adx, U C = l N ( x) 0 0 ε ( N( x)) dndx (.5) onde l representa o omprimento do enrijeedor. No modelo aqui apresentado, o enrijeedor é suposto omo um elemento de barra submetido a forças onentradas f e f em suas extremidades e, respetivamente, e a forças uniformemente distribuídas q ao longo de seu omprimento, onforme mostrado na figura.. Desta forma, o esforço normal varia linearmente ao longo do enrijeedor, omo ilustrado na figura., om uma distribuição dada pela equação (.6). x x N ( x ) = N + N (.6) l l

36 q Figura.- Forças e desloamentos típios de um enrijeedor. Figura. - Esforços normais atuantes em um enrijeedor. As grandezas N e N representam os valores do esforço normal em x = 0 x = l, respetivamente. O trabalho realizado pelas forças externas atuantes sobre o enrijeedor pode ser obtido através da seguinte expressão: e l P = fu + fu + q u(x)dx (.7) 0 endo u e u os desloamentos nas extremidades e, respetivamente, e u(x) o desloamento axial em um ponto genério de oordenada x. Por onsiderações de equilíbrio, admitindo-se que esforços normais de ompressão são negativos e aqueles de tração são positivos, têm-se as seguintes relações entre as forças externas e os esforços normais N e N : f = - N (.8)

37 f = N f = q = (N N )/l - (.9) (.0) Fazendo-se a substituição das equações (.8), (.9) e (.0) em (.8), tem-se então a seguinte expressão para o trabalho das forças externas: l P = Nu + Nu + ( N N )u( x ) dx (.) l 0 Definindo-se o desloamento no ponto médio do enrijeedor pela equação l u = u( x ) dx (.) l 0 o trabalho das forças externas pode ser obtido em função dos desloamentos nodais pela seguinte expressão P = N u + + (.) Nu ( N N ) u Assim, a energia pontenial omplementar total em um enrijeedor, Π = U P, pode ser expressa pela equação: l 0 N( x ) Π = ε( N( x ))dndx + Nu Nu ( N N )u (.) 0

38 Apliando-se o Prinípio da Mínima Energia de Deformação Potenial Complementar, tem-se Π = 0 N Π = 0 N (.5) (.6) Com isso, usando-se a ondição (.5) e a equação (.), resulta Π = N l 0 N( x ) d dn 0 [ ε( N( x ))] dndx + u u (.7) Usando-se a regra da adeia para obtenção da derivada que figura no integrando da equação (.7) e a expressão (.6), obtém-se d dn dε dn dε x ε = (.8) dn dn dn l [ ( N( x ))] = e daí, substituindo-se (.8) em (.7) e fazendo-se a integração em N(x), resulta Π = N l 0 x ε( N( x ))dx + u l u = 0 (.9) Desenvolvendo-se de maneira análoga a ondição (.6), hega-se na equação (.0). Π = N l 0 x ε( N( x ))dx + u l u = 0 (.0) 5

39 Definem-se omo desloamentos generalizados os valores e e e dados por e u u = (.) e = (.) u u ou, em forma matriial, {} [ B]{} u e = (.) onde {} e e = e (.) {} u u = u u (.5) 0 B = (.6) 0 por Através de (.9) e (.0), os desloamentos generalizados podem ser obtidos x e ε ( N( x )) dx (.7) l = l 0 l x e = ε ( N( x)) dx (.8) l 0 6

40 Os oefiientes de flexibilidade do enrijeedor são definidos pela seguinte equação: F ij e i = (.9) N j da qual, usando (.7) e (.8), resulta a matriz de flexibilidade de ordem ( x ) dada a seguir: F s = l 0 x d [ ε( N( x )] dx l dn l x d [ ε( N( x )] dx l dn 0 l 0 x d [ ε( N( x )] dx l dn l x d [ ε( N( x )] dx 0 l dn (.0) ou, ainda, F s = l 0 l x dε dx l dn 0 x x dε dx l l dn l 0 x x dε dx l l dn l x dε dx 0 l dn (.) Para o aso partiular de um enrijeedor elástio linear om rigidez axial onstante EA, a matriz de flexibilidade é dada por l F = 6 s (.) EA 6 Quando d ε / dn variar ao longo do enrijeedor, as integrais que apareem na equação (.) são resolvidas por integração numéria. Para isto utilizam-se as relações onstitutivas apresentadas na seção. deste apítulo e a regra de Quadratura Gaussiana 7

41 om quatro pontos de integração mostrados na figura.. Na tabela. estão indiados os elementos usados para realizar a referida integração numéria. Tabela.- Parâmetros para integração numéria de Gauss Ponto de integração(i) x Peso w ) Esforço Normal ( N( x i ) ) i ( i 0,07l 0,5 0,9N + 0,07N 0,l 0,65 0,67N + 0,N 0,67l 0,65 0,N + 0,67N 0,9l 0,5 0,07N + 0,9N,,,,,,, Figura. - Pontos de integração de Gauss para um enrijeedor. Com isso, os oefiientes de flexibilidade do enrijeedor são alulados pelas seguintes expressões: F x = i dε wi i= l dn i (.) x x dε F (.) = i i wi i= l l dn i 8

42 F = F (.5) xi dε = wi i= l dn i F (.6) O termo dε dn i dε india o valor de orrespondente ao i-ésimo ponto de integração. dn Conheida a matriz de flexibilidade do enrijeedor, pode-se obter a matriz de rigidez do mesmo através da equação: T [ K ] [ B] [ F ] [ B] s = (.7) s então, para o aso de um enrijeedor elástio linear, introduzindo (.6) e (.) em (.7), resulta a seguinte matriz de rigidez 6 EA K s = 6 6 (.8) l 6.. Relações onstitutivas... Enrijeedor traionado om onreto não fissurado Para qualquer soliitação em que as tensões de tração atuantes no enrijeedor não provoam fissuras, tanto o aço quanto o onreto são admitidos no regime elástio linear e, portanto, as forças atuantes em tais materiais são dadas, respetivamente, por: N = E Aε (.9) N = E Aε (.0) 9

43 onde E - módulo de elastiidade do aço; E - módulo de elastiidade do onreto; ε - deformação axial do enrijeedor; A - área da armadura longitudinal de aço; A - área da seção transversal de onreto. Assim sendo, o esforço normal N atuante ao longo do enrijeedor pode ser obtido pela seguinte equação: N = ( E A E A )ε (.) + Introduzindo-se o parâmetro para a deformação axial Α Ε s s ξ = em (.), resulta a seguinte expressão Ε Α N ε = (.) E A ( ξ) +... Enrijeedor traionado om onreto fissurado e sem esoamento da armadura Através da equação (.), o esforço normal N fissura do onreto de um enrijeedor traionado pode ser obtido por r orrespondente à primeira N r = ε E A ( + ξ ) (.) r onde ε r india o valor da deformação assoiado à resistênia à tração do onreto f t, dada por (Collins et al. 996) 0

44 f = ε E = 0, f (.) t r sendo f a resistênia do onreto à ompressão. Em (.) deve ser usado MPa omo unidade de tensão. Introduzindo (.) em (.), resulta a seguinte expressão para o esforço normal de fissuração do onreto: N r = f A ( + ξ ) (.5) t Com o onreto fissurado, ou seja para N > N r,a deformação média do enrijeedor traionado varia om o esforço normal através de uma relação não linear (Ghali & Favre 99). O Euroode (99) [art... (.8), p 7] sugere a seguinte expressão empíria, relaionando a deformação axial média e o esforço normal no enrijeedor: N Nr ε = (.6) E A N - onde o parâmetro N é dado por r Nr Nr = (.7) +ξ... Enrijeedor traionado om onreto fissurado e armadura esoando Após o esoamento do aço e a fissuração do onreto, a peça teoriamente não apresenta apaidade para resistir a arésimos de esforço normal. Assim sendo, neste regime de soliitação, o álulo da derivada d ε / dn leva a erros ou problemas numérios no modelo omputaional. Baseando-se em Hoogenboom (998), a presente formulação utiliza a seguinte relação entre a deformação média e o esforço normal para obtenção da referida derivada:

45 N yr r yr ε = + (.8) E A N N yr 0η( N N E A + E A ) onde E = E η (.9) N = A f (.50) yr y Em (.50), o parâmetro f y india a resistênia ao esoamento do aço.... Enrijeedor omprimido sem esmagamento do onreto e sem esoamento da armadura Para o aso do enrijeedor omprimido, adota-se a seguinte relação onstitutiva para o onreto: ε ε σ = f (.5) ε ε onde: ε - deformação do onreto orrespondente à resistênia σ - tensão de ompressão no onreto. f Na equação (.5), admite-se que as deformações e as tensões de ompressão são negativas, enquanto que a resistênia do onreto à ompressão, f, é tomada omo positiva. É enontrada na literatura a seguinte relação para avaliação da deformação orrespondente ao ponto de tensão máxima:

46 f = ε (.5) E O esforço normal atuante no enrijeedor omprimido pode ser obtido por N = σ A + σ A (.5) ubstituindo-se a equação (.5) em (.5) e admitido que armadura não estiver esoando, resulta a seguinte expressão: σ = Eε quando a N ε ε = f A + Eε A ε ε (.5) da qual obtém-se N ε = ε + ξ - ( + ξ ) + (.55) f A..5. Enrijeedor omprimido om esmagamento do onreto e sem esoamento da armadura Quando o onreto sofre esmagamento, todo o esforço de ompressão é transferido para o aço. Nesta situação, a armadura pode entrar em regime de esoamento, não resistindo a arésimos de esforço normal. Com isso, assim omo na situação desrita no item.., o valor da derivada d ε / dn tenderá para o infinito, gerando erros ou problemas numérios no modelo omputaional. Para ontornar tal situação, Hoogenboom (998) propõe o uso da seguinte expressão para avaliação da deformação axial em função do esforço normal atuante no enrijeedor:

47 0η ε = ε + ( N Nt ) (.56) E A + E A onde N t é dado pelo maior dos valores, em módulo, alulados pelas expressões abaixo apresentadas. N = (.57) t f A ( + ξ ) N t = f A A f (.58) y..6. Enrijeedor omprimido sem esmagamento do onreto e om esoamento da armadura Nas regiões omprimidas do enrijeedor, duas relações onstitutivas podem ser utilizadas, a primeira para o aso em que o valor absoluto da deformação orrespondente ao esmagamento do onreto é maior do que o valor absoluto da deformação de esoamento do aço e, a outra, para o aso ontrário. Quando o aço entra em esoamento, admitindo-se que o mesmo tem um omportamento elastoplástio perfeito, tem-se: σ = f y (.59) Assim, usando as equações (.5) e (.59), resulta a expressão abaixo apresentada para o esforço normal. ε ε N = f A - - ε ε f y A (.60)

48 Resolvendo a equação (.60) para ε, obtém-se: N + N yr ε = ε (.6) N sendo os termos N yr e N dados pelas equações (.6) e (.6), respetivamente. N = A f (.6) yr y N = f A (.6) Dependendo da relação entre a deformação de esoamento do aço e a deformação orrespondente à resistênia do onreto omprimido, o enrijeedor pode apresentar duas relações onstitutivas. Uma delas, mostrada na figura., orrespondente à situação em que o esmagamento do onreto aontee depois de oorrido o esoamento da armadura. A outra, ilustrada na figura.5, retrata a situação inversa, ou seja, quando oorre o esmagamento do onreto antes do esoamento do aço. Para ilustrar, suponha um enrijeedor onfeionado om um onreto de 0 MPa e armado om aço CA-5 ( f y = 50 MPa ). Neste aso, tem-se ε = 0, 00 e ε y = 0,009. Assim sendo, o aço entra em esoamento antes de oorrer a ruptura do onreto e, portanto, deve ser utilizada a relação onstitutiva mostrada na figura.5. e o enrijeedor aima itado fosse armado om aço CA-50 ( f y = 500 MPa ), as deformações limites dos materiais teriam os valores ε = 0, 00 e ε y = 0, 00, impliando na neessidade do uso da relação onstitutiva representada na figura.5. 5

49 Figura. - Relação onstitutiva do enrijeedor quando o esmagamento do onreto oorre depois do esoamento das armaduras. Figura.5 - Relação onstitutiva do enrijeedor quando o esmagamento do onreto oorre antes do esoamento das armaduras. 6

50 .. Dimensionamento das armaduras dos enrijeedores O dimensionamento das armaduras nas regiões traionadas dos enrijeedores pode ser feito admitindo-se que o onreto sob tração não oferee resistênia ao esforço normal, sendo o mesmo absorvido apenas pelo aço. Assim sendo, a área de aço da armadura de tração é dimensionada pela seguinte expressão: t Nd,max A = (.6) f yd onde t Nd,max - valor de álulo do esforço normal de tração; f yd - tensão de esoamento de álulo do aço. Em aso de projeto estrutural, os valores de álulo aima referidos são obtidos através da introdução de oefiientes de segurança reomendados pelas normas de ações e segurança estrutural. Para o aso de regiões omprimidas, somente se faz neessário o álulo de armadura quando o valor da tensão atuante superar a resistênia do onreto à ompressão. Em tal situação, a armadura omprimida é dimensionada para absorver a parela do esforço normal que exede a aquela que orresponde à resistênia da seção de onreto, onforme ilustrado pelas equações (.65) e (.66). N = f ( h b A ) + f. A (.65) d,max d e w yd A = N d,max ( f yd - f d f h d e ) b w (.66) Nas expressões aima, tem-se: Nd,max - valor de álulo do esforço normal de ompressão; h e - altura do enrijeedor; b w - largura do enrijeedor. 7

51 Capítulo Painéis.. Introdução No modelo de painéis enrijeidos (MPE) onsiderado no presente estudo, os painéis são admitidos om um formato quadrilateral qualquer, tendo suas faes soliitadas apenas por tensões tangeniais, τ i, onforme mostrado na figura.. Para efeito de análise, são assoiados a ada painel graus de liberdade paralelos às suas respetivas faes, omo ilustrado na figura. (Hoogenboom 998). Figura.- Geometria do painel e tensões atuantes Figura.-Ações e desloamentos nos pontos nodais do painel 8

52 .. Matriz de rigidez do painel... Relações de equilíbrio Com base na figura., as relações de equilíbrio do painel, expressas pelas nulidade das somas de forças nas direções x e y e de momentos das mesmas em relação à origem dos eixos, são dadas por F x = 0 0 = τ + (. a-b) tl osθ + τtl osθ + τtl osθ τtl osθ F y = 0 0 = τ + (. a-b) tl senθ + τtl senθ + τtl senθ τtl senθ M = 0 0 = τ tl osθ y + τ tl senθ x - τ tl osθ y + τ tl senθ x τ tl osθ y + τ tl senθ x - τ tl osθ y + τ tl senθ x - (. a-b) Os termos osθ i e sen θ i, que figuram nas equações aima, podem ser obtidos em função das oordenadas dos vérties do painel pelas seguintes equações: x - x os θ = ; senθ = l y - y l x - x y - y (. a-h) ; sen l os θ = θ = l 9

53 x - x os θ = ; senθ = l y - y l x - x os θ = ; senθ = l y - y l os quais quando substituídos em (. b), (. b) e (. b) resultam 0 - = τ ( x - x ) + τ ( x - x ) + τ ( x - x ) + τ ( x x ) (.5) 0 = τ ( y - y ) + τ ( y - y ) + τ ( y - y ) + τ ( y - y ) (.6) 0 - = τ ( x y - x y ) + τ ( x y - x y ) + τ ( x y - x y ) + τ ( x y x y ) (.7) onde: t - espessura do painel; x; x; x; x - valores das oordenadas x dos vérties do painel; y ; y; y; y ;l;l; l - valores das oordenadas y dos vérties do painel; l - medidas dos lados do painel; τ ; τ - tensões de isalhamento atuantes nas faes do painel; τ ; τ ; θ; θ; θ ; θ - ângulos entre os lados do painel e o eixo x do sistema de referênia (Fig.). Hoogenboom & Blaauwendraad (000) definem omo tensão generalizada β a grandeza dada por β = ( τ + τ τ + τ )t (.8) que, juntamente om as equações de equilíbrio (.5), (.6) e (.7), leva ao seguinte sistema de equações: 0