Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

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1 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Cinemática - 3D 1/ 67 (Vetores) Física 1 1/58

2 Outline 1 Grandezas da Cinemática 3D 2 Lançamento de Projéteis 3 Movimento Circular 4 Movimento Relativo 2/ 67 (Vetores) Física 1 2/58

3 Cinemática 3D Estudamos os conceitos de posição, velocidade, aceleração, deslocamento em 1 dimensão. Vamos estender esses conceitos para o caso mais comum que são os movimentos em 2 e 3 dimensões. Trajetória da partícula Atenção: Não confunda o gráfico da trajetória (y x ) com o gráfico da função horária (x t ou y t) r 1 e r 2 são os vetores posição nos instantes t 1 e t 2 O movimento da partícula será dado pelo vetor posição em qualquer instante de tempo, ou seja, r t. 3/ 67 (Vetores) Física 1 3/58

4 Vimos que um vetor pode ser escrito em termos das suas componentes: r t x t y t z t k Alguns problemas de 3 dimensões podem ser reduzidos ao tratamento de 3 movimentos unidimensionais independentes. Ex: x t 10 t y t 20 5 t 2 e z t 0 Esse movimento é do tipo chamado parabólico, pois sua trajetória é uma parábola. r t 10t 20 5t 2 Ex: x t 5 cos 2t y t 5sen 2t e z t 4 t Esse movimento é do tipo chamado helicoidal, pois sua trajetória éumahélice. r t 5 cos 2t 5sen 2t 4 t k 4/ 67 (Vetores) Física 1 4/58

5 Velocidade Média Definimos o vetor deslocamento da partícula para ir do ponto P 1 até o ponto P 2 : r r t 2 r t 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 k Definimos o vetor velocidade média v m t 1 t 2 r t r 2 r 1 x t 2 t 1 t Note que a direção do vetor velocidade média é a mesma do vetor deslocamento. v mx y t v my 5/ 67 (Vetores) Física 1 5/58

6 Velocidade Instantânea Ao considerarmos o limite da v m quando t 0 obtemos o vetor velocidade instantânea: v t lim t 0 r t lim t 0 r t t r t t ovetorvelocidadeinstantâneaésempretangenteà trajetória na posição em que está a partícula e no sentido do movimento Escrevendo em termos de suas componentes: dr dt v t dr dt dx dt dy dt dz dt k ah v x v y v z 6/ 67 (Vetores) Física 1 6/58

7 Exemplo Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de acordo com a função: r t 10 t x t 20 5t 2 Determine o vetor velocidade dessa partícula: y t 7/ 67 (Vetores) Física 1 7/58

8 Exemplo Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de acordo com a função: r t 10 t x t 20 5t 2 Determine o vetor velocidade dessa partícula: y t v t 10 10t Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x 8/ 67 (Vetores) Física 1 7/58

9 Exemplo Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de acordo com a função: r t 10 t x t 20 5t 2 Determine o vetor velocidade dessa partícula: y t v t 10 10t Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x y 20 5 x 2 x 10 t t 100 x x 2 parabola / 9/ 67 (Vetores) Física 1 7/58

10 Aceleração Média O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definido como a variação da velocidade neste intervalo. a m Qual a direção do vetor a m? v t v 2 v 1 t 2 t 1 10/ 67 (Vetores) Física 1 8/58

11 Aceleração Média O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definido como a variação da velocidade neste intervalo. a m v t v 2 v 1 t 2 t 1 Por definição, o vetor a m tem a mesma direção da variação da velocidade: 11/ 67 (Vetores) Física 1 8/58

12 Aceleração Instantânea A aceleração instantânea é definida como a t dv dt dv x dt dv y dt dv z dt k a t d 2 r dt 2 d 2 x dt 2 d 2 y dt 2 d 2 z dt 2 k a t a x t a y t a z t k A aceleração instantânea aponta sempre para a concavidade da trajetória, ou é tangente à ela no caso particular da trajetória ser retilínea. 12/ 67 (Vetores) Física 1 9/58

13 Aceleração Instantânea Em um movimento retilíneo, a velocidade pode mudar apenas em módulo e sentido, e nesse caso a aceleração tem sempre a mesma direção do vetor velocidade. Se o movimento é curvo, avelocidadenecessariamentemudade direção e a aceleração nunca pode ser nula. Podemos decompor o vetor aceleração em duas componentes, uma tangente à trajetória e outra perpendicular a esta. Se o módulo da velocidade for constante, só teremos a componente que aponta para o centro. 13/ 67 (Vetores) Física 1 10 / 58

14 Exercício A função horária vetorial de uma partícula é r t 5 t 2 2t 3 3t 2 k Determine a velocidade e a aceleração da partícula (i) em um instante arbitrário; (ii) no instante t 0; (iii) no instante t 1 0 s. 14/ 67 (Vetores) Física 1 11 / 58

15 Lançamento de Projéteis Um tipo de movimento bem comum na natureza é o chamado lançamento de projéteis. Ele é caracterizado por lançarmos um objeto perto da superfície da Terra, de forma que podemos considerar a Terra plana, desprezar a resistência do ar e termos o vetor aceleração constante, apontando para baixo e de módulo g 9 8 m/s 2. 15/ 67 (Vetores) Física 1 12 / 58

16 Uma partícula é lançada das coordenadas iniciais x 0 y 0, com velocidade inicial v 0 que faz um ângulo com a direção horizontal r 0 x 0 y 0 v 0 v 0x v 0y v 0 cos v 0 sen (1) Queremos determinar o vetor posição e o vetor velocidade em qualquer instante de tempo. 16/ 67 (Vetores) Física 1 13 / 58

17 Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e tratá-las independentemente: Como a g, temos: No eixo x : a x 0 17/ 67 (Vetores) Física 1 14 / 58

18 Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e tratá-las independentemente: Como a g, temos: No eixo x : a x 0 MU v x v 0x constante, x x 0 v 0x t No eixo y: a y g 18/ 67 (Vetores) Física 1 14 / 58

19 Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e tratá-las independentemente: Como a g, temos: No eixo x : a x 0 MU v x v 0x constante, x x 0 v 0x t No eixo y: 1 a y g MUV y y 0 v 0y t 2 gt2, v y v 0y gt 19/ 67 (Vetores) Física 1 14 / 58

20 Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e tratá-las independentemente: Como a g, temos: No eixo x : a x 0 MU v x v 0x constante, x x 0 v 0x t No eixo y: 1 a y g MUV y y 0 v 0y t 2 gt2, v y v 0y gt Voltamos agora a juntar os dois movimentos escrevendo o vetor posição : r t x 0 v 0x t y 0 v 0y t r t r 0 v 0 t 1 2 eovetor velocidade: 1 2 gt 2 v t v x 0 v y0 gt v t v 0 gt Equações fundamentais do lançamento de projéteis 20/ 67 (Vetores) Física 1 14 / 58

21 Trajetória de projéteis Qual a trajetória da partícula? x x 0 v 0x t t v 0y g y y 0 x x 0 v 0x que é a equação de uma parábola 2v 2 0x x x 0 v 0x x x / 67 (Vetores) Física 1 15 / 58

22 Altura Máxima, Alcance Podemos calcular algumas grandezas características: Qual a altura máxima H atingida pelo projétil? 22/ 67 (Vetores) Física 1 16 / 58

23 Altura Máxima, Alcance Podemos calcular algumas grandezas características: Qual a altura máxima H atingida pelo projétil? v Neste ponto v y 0 t 0sen v0 H H 2sen 2 g 2g Qual o alcance A do projétil? 23/ 67 (Vetores) Física 1 16 / 58

24 Altura Máxima, Alcance Podemos calcular algumas grandezas características: Qual a altura máxima H atingida pelo projétil? v Neste ponto v y 0 t 0sen v0 H H 2sen 2 g 2g Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quando o projétil volta à altura de lançamento. 2v Neste ponto y 0 t 0sen A 2t g H A v 0 2sen2 g A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo ponto de altura máxima. A max ocorre quando 45 Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo? 24/ 67 (Vetores) Física 1 16 / 58

25 Altura Máxima, Alcance Podemos calcular algumas grandezas características: Qual a altura máxima H atingida pelo projétil? v Neste ponto v y 0 t 0sen v0 H H 2sen 2 g 2g Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quando o projétil volta à altura de lançamento. 2v Neste ponto y 0 t 0sen A 2t g H A v 0 2sen2 g A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo ponto de altura máxima. A max ocorre quando 45 Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo? v y v 0 sen gt A v 0 sen v x v 0 cos v v 0x v 0y Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componente vertical, o que vale para qualquer plano 25/ 67 (Vetores) Física 1 16 / 58

26 Use estas fórmulas com moderação 26/ 67 (Vetores) Física 1 17 / 58

27 Independência dos movimentos 27/ 67 (Vetores) Física 1 18 / 58

28 Exercícios Halliday. Um pacote de suprimentos é solto por um avião que está a 100m acima do solo e que voa a uma velocidade de 40 m/s. (a) Por quanto tempo o pacote ficou no ar? R: 4.52s (b) A que distância horizontal a partir da origem o pacote atingiu o solo? R: 181m (c) qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? R: v 40m s 44 3m s (d) em que posição está o avião quando o pacote atinge o solo? 28/ 67 (Vetores) Física 1 19 / 58

29 29/ 67 (Vetores) Física 1 20 / 58

30 Halliday. Uma pedra é lançada do topo de um prédio, com um ângulo de 30 acima da horizontal com uma velocidade de módulo 20m/s. A altura do prédio é de 45m. (a) Quanto tempo a pedra levou para atingir o solo? R: 4.22s (b) A que distância horizontal a partir da origem a pedra atinge o solo? R: 73m (c) qual a velocidade da pedra ao atingir o solo? R: v 17 3m s 31 4m s 30/ 67 (Vetores) Física 1 21 / 58

31 31/ 67 (Vetores) Física 1 22 / 58

32 Movimento Circular Movimento Circular (MC) de uma partícula é caracterizado por sua trajetória ser um círculo (ou arco de círculo). Queremos caracterizar as velocidades e acelerações possíveis nesse movimento. Um caso particular de MC é o movimento circular uniforme (MCU) em que a partícula percorre arcos iguais em intervalos de tempos iguais. Exemplos: ponteiros de um relógio, movimento da lua, um ponto em um disco girando Atenção: o nome uniforme pode levar à uma interpretação errada: Oqueéconstanteéomódulodavelocidade,mas como a trajetória é curva, sua direção varia, e portanto a aceleração nunca é nula. 35/ 67 (Vetores) Física 1 26 / 58

33 Movimento Circular Uniforme Como o módulo de v não muda, a T componente radial (ou centrípeta). 0 e temos apenas a Como os dois triângulos são semelhantes (isósceles e de mesmo ângulo): v v s r v v s r 36/ 67 (Vetores) Física 1 27 / 58

34 Movimento Circular Uniforme Omódulodaaceleraçãomédiaé v a m t Aaceleraçãoinstantâneaé v r s t v s v a lim t 0 r t r lim s t 0 t portanto, no MCU a aceleração é centrípeta, de módulo: e na forma vetorial: a c v 2 r v 2 a r r onde r é o vetor unitário na direção radial, apontando para fora da circunferência. 37/ 67 (Vetores) Física 1 28 / 58

35 Período Uma outra definição importante é o período T do movimento, que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa. No caso em que a trajetória é um círculo completo: 2 r 2 r T v v T e podemos expressar a aceleração centrípeta como a c 4 2 R T 2 38/ 67 (Vetores) Física 1 29 / 58

36 Movimento Circular Geral No movimento circular mais geral (sem ser uniforme) temos também uma componente tangencial da aceleração, que está ligada à variação do módulo da velocidade. a rad v 2 R a tan dv dt MC 39/ 67 (Vetores) Física 1 30 / 58

37 Relação entre velocidade e aceleração Não existe uma relação fixa entre velocidade e aceleração 40/ 67 (Vetores) Física 1 31 / 58

38 Exercícios Halliday 68. Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5 voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a aceleração de um passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais baixo? Halliday 72. Um menino gira uma pedra em uma circunferência de 1,5 m de raio, localizada em um plano horizontal a 2m acima do solo por meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de distância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava em movimento circular uniforme? Moysés 19. Com que velocidade linear estamos nos movendo devido à rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na Linha do Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta? Exprima essa aceleração como um percentual de g. Raioda Terra = m. 41/ 67 (Vetores) Física 1 32 / 58

39 Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5 voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a aceleração de um passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais baixo? R = 15mV 5 = 1 oil = 2 o = = 7, 8 Mls 7 = 4.im/i or 42/ 67 (Vetores) Física 1 33 / 58

40 - Um menino gira uma pedra em uma circunferência de 1,5 m de raio, localizada em um plano horizontal a 2m acima do solo por meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de distância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava em movimento circular uniforme? ^ =/ 0=2 2.0$ { 7- ptryt µ R= k= shot vent. ±gt2 ' 645 ztgt t=, 15,6 9,8 1.5=6 =lgsm/s2 = 0 o 110. u x. Jon = - Is 2 A = l± = ion tt = z# R / 67 (Vetores) Física 1 34 / 58

41 Com que velocidade linear estamos nos movendo devido à rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na Linha do Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta? Exprima essa aceleração como um percentual de g. Raio da Terra = m. - V = 2 IT Rf T = 24 3 Goo 106 V = 2T 6, = 463 mls A = 2 g- = ls2 a g- = 3q ' 52 = 0.003g = g 44/ 67 (Vetores) Física 1 35 / 58

42 Movimento Relativo Pergunta: Uma pessoa se move com velocidade v = 1 m/s ao longo do corredor de um trem, o qual se move com v = 3 m/s. Qual a velocidade da pessoa? R: Depende... Para descrever um movimento precisamos definir um referencial. Neste caso o referencial mais simples é o que se move junto com o trem, e podemos descrever o movimento do trem em relação à Terra e compor os dois movimentos. 45/ 67 (Vetores) Física 1 36 / 58

43 Movimento Relativo Temos um objeto P que se move em relação a um referencial B e queremos descrever seu movimento em relação a um referencial A, supondo que B se move com velocidade constante em relação a A r P A r P B r B A 46/ 67 (Vetores) Física 1 37 / 58

44 r P A r P B r B A Essa equação vetorial é equivalente às três equações escalares: x P A x P B x B A, y P A y P B y B A e z P A z P B z B A Sendo v P A avelocidadedep em relação a A, v P B avelocidade de P em relação a B, ev B A avelocidadedoreferencialb relativa ao referencial A, obtemos v P A v P B v B A AT a = rate Essa equação é equivalente às três equações escalares: v P Ax v P Bx v B Ax, v P Ay v P By v B Ay e v P Az v P Bz v B Az 47/ 67 (Vetores) Física 1 38 / 58

45 Exercícios Halliday 2.73 Um barco está navegando rio acima, a 14km/h em relação à água do rio. A velocidade da água em relação ao solo é 9km/h. (a) Qual a velocidade do barco em relação ao solo? (b) uma criança no barco caminha da proa para a popa a 6km/h em frente ties relação ao barco. Qual a velocidade da criança em relação ao solo? 48/ 67 (Vetores) Física 1 39 / 58

46 - 6 9 A) - > VB, = VBR + VRT Two lhendo o eico ze - - > > Tsn = 14km/h =. acima i 5 km/h i =. me -2 - = Irs + Jia + Tat Trt = - 9km/h Top = 14 - b) enpontanoo honor No It = +5 = - 1 a 1 km/h - rented de ales a do do Ny, 49/ 67 (Vetores) Física 1 40 / 58

47 Exercícios Halliday 2.80 A chuva cai verticalmente com velocidade constante de 8,0 m/s. O motorista de um carro, viajando em linha reta numa estrada com a velocidade de 50km/h, vê os pingos caírem formando um ângulo com a vertical. Qual é este ângulo? 50/ 67 (Vetores) Física 1 41 / 58

48 To, = Td. ^ + Tat Yt = 8 mlsj. - TI so f Tat = 13.8 mtsi en za- Yan = > Tax = in y : 8 = Fa = tgl = wing + a + 8 j mb 13.8 =p, > 'T 0 : AT - ( :p to, O I 60 51/ 67 (Vetores) Física 1 42 / 58

49 Exercícios Halliday 2.83 Um trem viaja para o sul a 30 m/s em relação ao solo sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetória de cada pingo de chuva forma um ângulo de 21,6 com a vertical quando medido por um observador parado na Terra. Um passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços verticais. Determine a velocidade da chuva em relação à Terra. 52/ 67 (Vetores) Física 1 43 / 58

50 53/ 67 (Vetores) Física 1 44 / 58

51 Exercícios Um barco parte de uma margem de um rio, direcionando o barco na direção Norte. Sua velocidade em relação à água é de 10 km/h, e o rio tem uma velocidade de 5 km/h em relação à Terra. Determine a velocidade do barco relativa a um observador parado em uma das margens. Se a largura do rio é de 3 km, quanto tempo ele leva para atravessá-lo? 54/ 67 (Vetores) Física 1 45 / 58

52 Exercícios 55/ 67 (Vetores) Física 1 46 / 58

53 Exercícios Se agora este barco, com a mesma velocidade de 10 km/h em relação à água quiser atingir o lado diretamente oposto do rio, qual deve ser a direção da sua velocidade em relação à Terra? E em quanto tempo ele atravessa o rio? 56/ 67 (Vetores) Física 1 47 / 58

56 Exercícios Um problema de navegação: Suponha que o navegador de um avião deseja ir de uma cidade C a uma outra D distante 900km de C na direção Norte. O meteorologista informa que há um vento soprando na direção Nordeste com velocidade de 50 km/h. Ele sabe que o piloto planeja manter uma velocidade de 240 km/h em relação ao ar. a) O problema do navegador é informar ao piloto em que direcão o avião deve ser dirigido. b) Quanto tempo ele leva para chegar? 59/ 67 (Vetores) Física 1 50 / 58

57 . SO Avian Terra Vento Tait = Jar + Vvt - > za. y * lm m : O = 240 sen O - sen 45 sen 0 = 50 K/z = O = tempo : t= d - v AT en y : VAT = Va cos o + 50 cos 45 = 900 = VAT = 275 km/h - 27k 60/ 67 (Vetores) Física 1 51 / 58

58 Encontro de dois objetos Um outro exemplo em que é vantajoso mudar de referencial é o problema de evitar colisões no mar e no ar. Considere dois navios com velocidades v 1 e v 2 em relação à água, constantes. As trajetórias dos navios estendidas ao longo das direções do movimento a partir dos pontos iniciais A e B interceptam-se em um ponto P. Eles irão colidir? Responder a essa questão no referencial do navio é muito mais fácil do que no referencial do oceano, pois assim estaremos parados (em um navio) observando o movimento de apenas um objeto ( o outro navio). ask.xe.fi : it 61/ 67 (Vetores) Física 1 52 / 58

59 Exercícios Vamos nos colocar no navio A. A velocidade do navio B em relação a A é v 21 v 2 v a I 1 -a III. se v 21 tiver a mesma direção que r 21 eles irão bater. Senão qual é a distância de menor aproximação entre eles? É quando r 21 v 21, ou seja é a distância AN e o tempo para atingirem essa menor separação é BN v 21 62/ 67 (Vetores) Física 1 53 / 58

60 Exercícios 2.8 lista. Duas partículas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com velocidades constantes v 1 2 cm/s e v 2 3 cm/s. No instante t 0 elas estão nas posições dadas por x 1 3cm, y 1 0, x 2 0ey 2 3cm. Obtenha o vetor r 2 r 1 que representa a posição da partícula 2 em relação à partícula 1, como função do tempo. Determine em que instante de tempo elas estarão com a menor separação possível, e qual é essa distância de máxima aproximação. 63/ 67 (Vetores) Física 1 54 / 58

61 tilt 3 Y ^ 2n # a) iz, ( t ) = Ii It ). ) ThC tl = &+ if t = ( x., + v, t ) i = 3 f-+2 t ) i Tz ( t ) = To, +5's t = ( yoz + at ) I = 3 +3 t ) t I Jiz, ( t ) = ( 3-2 t ) I + ( - +3 t ) I 64/ 67 (Vetores) Física 1 55 / 58

62 2 6 zt J. 9=0 zi - Zi A minor distance e. qdo 5'z, L ii, T, ii,.fi,. = it ^ 21 2 its, 2 ' siz, 4 -. Vz =. ( 3 =o, = - z +9 t - ' = zj. ) a + ( 3 t - = 3$ ( z zt ) + 3 (3+-3)=0. t = t.is 's +3J e a distance nurse instant e- : 'z I, Iii, ( t = t.is 's ) = ( - I = =1 = e. is +3 ) it ( 3 1, n DI 65/ 67 (Vetores) Física 1 56 / 58

63 Exercícios Um rio de 1km de largura tem uma correnteza de velocidade 1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a uma velocidade de 2,5 km/h em relação à água. (a) Qual é o tempo mínimo que leva para atravessar o rio? Onde desembarca neste caso? (b) Suponha agora que ele quer chegar a um ponto diametralmente oposto na outra margem, e tem duas opções: remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direção perpendicular à margem sendo arrastado pela correnteza até além do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta até lá. Se ele caminha a 6km/h, qual das duas opções leva menos tempo? qual é esse tempo? 66/ 67 (Vetores) Física 1 57 / 58

64 ^ Tnt = 1.5km/h : - qj -1=2.5 bmlht ] ' a - liter - ) - - ) > Is Tisa + Vrt =, Y3+y=L_ dt= T.fr/r q RT = VT, DTI en y : VDT L a VB, for 43T 9,3 =) VB, =0 a VRT t.tn = 0.44=24 - n 2.5km/h 4 D t BE Vbty Do Imho memos que Bty e- _- xi no q do Cmk : y Dae,zDt = = VB ( Vat #za+ ) Dt = = 0. 6km = Goon 67/ 67 (Vetores) Física 1 58 / 58 I