ESTUDO DE FENÔMENOS ÓPTICOS

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1 RELATÓRIO ESTUDO DE FENÔMENOS ÓPTICOS AMANDA RUBIO BRENO COMAZZETTO DIANA SENA RODRIGO MASSERA MÉTODOS ESTATÍSTICOS EM FÍSICA EXPERIMENTAL INSTITUTO DE FÍSICA

2 1 Introdução Nesse primeiro experimento utilizamos os conceitos da óptica geométrica (que se concentra no estudo da luz como um feixe, desprezando fenômenos ondulatórios), explorando principalmente os fenômenos de refração e reexão e as diferenças entre lentes delgadas e espessas, utilizando lasers. A óptica geométrica é usada para explicar fenômenos como a propagação de um feixe de luz de um meio para outro: um feixe incide na interface entre dois meios isotrópicos com um certo ângulo θ 1 da normal e sofre reexão e refração, ou seja, o feixe é reetido com um ângulo θ e refratado com um ângulo θ 2. A relação entre os ângulos depende do índice de refração dos meios pelos quais o feixe passa. O índice de refração n é dado por n = c v (1) onde c é a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade da luz no meio. Para o ar, por exemplo, o índice de refração é 1,00029 (para temperatura de 15 o C e 1 atm de pressão). Os índices de refração n 1 e n 2, então, se relacionam com os ângulos θ 1 (de incidência) e θ 2 (de refração), respectivamente, pela Lei de Snell n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (2) Quando tratamos de sistemas envolvendo lentes a situação é mais complexa, mas a lei de Snell ainda é fundamental: as distorções nas imagens vistas através de lentes ocorrem devido à refração sofrida pelos feixes de luz que passam de um meio, geralmente o ar, para o meio da lente. O formato da lente também tem um papel importante, alterando a direção dos feixes incidentes. Lentes do tipo convergente fazem com que os feixes se aproximem ao passar por ela, enquanto lentes divergentes fazem com que se afastarem. Um fenômeno interessante que foi estudado nesse experimento foi o de aberração cromática, que acontece devido a variações na distância focal(distância no eixo óptico entre o centro da lente e o foco, o ponto onde os feixes que incidiram paralelamente à lente convergem ou divergem depois de refratados) para diferentes cores. Uma aproximação bastante utilizada quando tratamos de lentes é a aproximação das lentes delgadas. Uma lente é considerada delgada quando a sua espessura (a distância no eixo óptico entre as duas faces curvas) é desprezível. Essa aproximação ignora os efeitos que a espessura da lente teria sobre o caminho dos feixes de luz, simplicando a matemática necessária para descrevê-lo. Lentes delgadas são caracterizadas por uma distância focal única. Nesse experimento nossa intenção era vericar se a aproximação de lentes delgadas poderia descrever um sistema com lentes espessas, ou seja, se nossos pontos experimentais se 1

3 Figura 1: Esquema da passagem de feixes de luz paralelos ao eixo óptico por lentes convergentes e divergentes. O ponto onde os feixes refratados pelas lentes cursam com o eixo nos dão o foco da lente. Para lentes convergente, o foco é dito positivo, pois se forma na sua frente. Para lentes divergente, negativo, pois se forma atrás da lente. comportariam de acordo com previsto pelo método matricial para lentes delgadas, e encontrar uma relação entre a distância ao objeto e a distância distância à imagem, ajustando nossos pontos com a equação i = f c (do f d o df d ) f c f d + do f d o df d fco Para realizar as medições, foi utilizado um trilho ótico com ajustes de alinhamento acoplado a uma régua milimetrada, com incerteza de 0,05 cm, sobre o qual colocamos duas lentes, uma convergente e uma divergente, entre uma fonte de luz e um anteparo. Posicionamos um objeto a uma distância o da lente divergente, e variamos tal distância em função da distância i, também variável, e que está relacionada à imagem do objeto, mantendo xa uma distância d entre as lentes durante todo o experimento. Como parâmetros geométricos das lentes convergente e divergente, respectivamente, temos os valores de 19,2 cm e 11,0 cm para raio de curvatura, 0,7 cm e 1,4 cm de espessura e 10,0 cm e 6,5 cm de diâmetro. Também queríamos observar o fenômeno de aberração cromática. (3) Para isso, tomamos os dados de distância da imagem em função da distância do objeto para cada um dos comprimentos de onda observados (para 4 cores: vermelho, amarelo, verde e azul), e os ajustamos com a lei de Gauss 1 f = 1 i + 1 o Para isso, utilizando o mesmo trilho das medidas tomadas para as lentes degadas, foram usados 4 ltros coloridos acoplados à fonte de luz branca: vermelho (λ = 650 nm), verde (λ = 510 nm), azul (λ = 475 nm) e amarelo (λ = 570 nm). Essa fonte de luz foi posicionada longe da lente convergente (a mesma utilizada no primeiro experimento, C262 com distância focal de 20cm) por uma uma distância o, variável, e foi medida a distância i, do anteparo de (4) 2

4 projeção até a lente, necessária para que a imagem casse devidamente focada. 2 Dados Coletados 2.1 Lentes Delgadas Tiramos os 12 pontos como descrito na anteriormente, variando a distância do objeto e focalizando a imagem para cada ponto. Ajustamos aos pontos a expressão 3, utilizando d = ± 0.05 Desse ajuste, obtivemos como distância focal para as lentes f c = 20.1±0.1 e f d = 10.4±1.2. Figura 2: Gráco do ajuste da curva obtida utilizando o método matricial para lentes delgadas aos nossos pontos experimentais. Os valores reais das distâncias focais das lentes estão dentro da incerteza obtida para f c e f d encontrados experimentalmente, que levam em conta prováveis inconsistências entre ajuste de foco de um ponto para outro (mesmo que tenhamos sempre utilizado o mesmo critério, quanto mais distante a imagem cava das lentes, maior era a área na qual o foco era mantido). 2.2 Aberração Cromática Durante a segunda etapa do experimento, estudamos os efeitos da aberração cromática. Para isso, tomamos os dados de distância da imagem em função da distância do objeto para cada um dos comprimentos de onda observados, como plotamos abaixo: Como pudemos perceber, a distância focal da lente varia signicantemente dependendo do comprimento de onda sendo observado, comprovando os efeitos da aberração cromática. Fazendo a análise dos grácos, e ajustando a curva a partir da equação de Gauss, denimos 3

5 (a) Filtro vermelho (b) Filtro verde (c) Filtro amarelo (d) Filtro azul Figura 3: Ajustes da curva para os dados experimentais. os valores de distância focal encontrados experimentalmente: ± 0.05cm para o comprimento de onda do amarelo, ± 0.06 cm para o azul, ± 0.11 cm para o vermelho e ± 0.08 cm para o verde. 3 Análise de χ Lentes Delgadas Para o teste de χ 2, a partir da função ajustada, obtivemos um valor de 6.45 para 10 graus de liberdade. Isso nos dá um valor de χ 2 reduzido de 0,64, e utilizando um nível de signicância α de 5%, encontramos o intervalo de conança dado entre a Como nosso valor de χ 2 se encontra dentro desses limites, podemos dizer que os nossos dados se adéquam ao modelo teórico com 95% de conança. Para o método dos mínimos quadrados, utilizamos o mapa de χ 2 que minimiza a função 4

6 χ 2 = N [ ] yi G(x i, a) σ i=1 i A partir desse método, encontramos os parâmetros [0] e [1] que tornam a função χ 2 mínima, ou seja, os resultados esperados que melhor se adéquam ao modelo. (5) Figura 4: Mapa de χ 2, onde os valores para o parâmetro [0] são dados pelo eixo x e os do parâmetro [1] são dados pelo eixo y. Como vemos no mapa, os melhores valores para [0] e [1] são os dados pela região azul-escuro. Na imagem 2, vemos exatamente onde se encontra dos mínimos da função: em para o parâmetro [0] e para o parâmetro [1]. Os valores encontrados pelo grupo foram de 10.3 ± 0.5 e ± 0.04, ou seja, dentro do valor esperado. (a) (b) Figura 5: Mínimos da função χ 2. O parâmetro [0] é dado à esquerda e o [1], à direita. 5

7 Podemos analisar também, pelo mapa de χ 2, a covariância entre os parâmetros: a partir da sua inclinação para a esquerda podemos inferir que a covariância é negativa, e por ser muito achatado e ter a forma de um elipsoide, sabemos que a covariância dos dois parâmetros é alta. 3.2 Aberração Cromática De forma análoga à anterior, foi feito o teste de χ 2 para os valores encontrados. Entretanto, para um nível de signicância de α = 5%, encontramos os intervalos de conança entre 7.26 e Os valores de χ 2 para cada cor estão tabelados abaixo. cor χ 2 vermelho 4.22 amarelo 2.75 verde 2.94 azul 1.99 Como podemos perceber, os valores estão abaixo do intervalo de conança, e por isso, rejeita-se a hipótese nula do teste de χ 2 de forma que não podemos dizer que nossos dados se adéquam ao modelo. Como rejeitamos a hipótese nula quando sabemos que ela é verdadeira, cometemos um erro tipo A. Para entender o que pode ter acontecido no experimento que nos levou a esse erro, estudamos nossas incertezas: elas foram medidas a partir de onde a imagem entrava em foco até onde ela saía de foco. Essa incerteza é muito grande, e como superestimamos as incertezas, nosso χ 2 cou abaixo do esperado, nos levando a cometer o erro. Para corrigir tal erro, deveríamos medir as incertezas de forma diferente: fazer a média da distância de onde a imagem entra e sai de foco, o que as tornaria menores e mais precisas. 4 Covariância nas Lentes Delgadas Logo na nossa primeira tentativa de realizar o experimento das lentes delgadas, zemos descoberta acidental: os dados não faziam sentido se mudássemos a posição das lentes, mesmo mantendo a distância entre elas constante. Esses primeiros dados foram descartados, mas nos indicaram que existia uma correlação entre as distâncias que queríamos medir. A matriz de covariância obtida com o ajuste da reta (no próprio webroot) foi ( ) ( ) σo 2 cov oi M = = cov io σ 2 i Com a covariância cov io = pudémos calcular o coeciente de correlação ρ (6) ρ io = cov io σ i σ o (7) 6

8 Obtivemos ρ io = Como ρ é um número de -1 a 1, vemos que os valores de i e o são altamente correlacionados. 5 Teste Z O teste z é uma forma de vericar se os dados estão de acordo com o resultado nominal e o experimental. Para isto devemos assumir que a distribuição dos dados segue uma maneira gaussiana e que temos uma quantidade relativamente grande de dados coletados. z = ( x ν) σ n (8) Como todos os requisitos para isto foram cumpridos em nosso experimento, podemos aplicar este teste para as duas etapas (foco das lentes e índice de refração). Logo, para a lente convergente temos uma distância focal nominal de 20cm e uma distância focal medida de ± 0.12cm, aplicando o teste Z obtemos um valor de aproximadamente de O qual indica que está bem de acordo, visto que para ser um valor aceitável deve ser algo menos que 3. Fazendo o mesmo teste para a lente divergente, em que a distância focal nominal é de -10cm e a obtida no experimento de 10.4 ± 1.2, obtemos um valor de 0.34, que está de acordo também. Para o índice de refração das cores, montou-se uma tabela com os respectivos valores de índice nominal, calculado e respectivas incertezas com o teste z calculado: Vermelho Amarelo Verde Azul Refração Nom. 1, , , ,47572 Refração Calc. 1,47 1,47 1,47 1,48 Incertezas 0,03 0,02 0,04 0,03 Medições Teste Z 0,048 0,6 0,09 0,14 Tabela 1: Valores dos índices de refração obtidos com os respectivos teste Z. Notemos que todos os valores estão de acordo e passaram no teste. Porém percebese que houve uma superestimativa das incertezas, visto que para a cor Verde e Vermelho o teste retornou valores extremamente baixos. 7

9 6 Análise de Resíduos A partir da análise de resíduos é possível estimar problemas com o ajuste feito para os dados coletados. Para tal, devem ser feitas algumas suposições: As variáveis devem ser lineares entre si. Essa relação pode não ser linear e mesmo assim X e Y podem estar correlacionadas. As observações são independentes e normalmente distribuídas com a mesma variância para cada tratamento. De forma que no gráco de resíduos estejam dispersos, aproximadamente, em torno de uma faixa horizontal,, então será obtida uma indicação da validade da suposições de independência. Os erros devem ser independentes, tem média zero e variância constante e são normalmente distribuídos. A presença de algum padrão indica correlação entre eles. Estes pressupostos podem ser vericados gracamente, representando os resíduos em função dos valores estimados da variável dependente ou em função dos valores duma das variáveis independentes. A partir da equação (3) foi feito o ajuste sobre os dados, e seus respectivos grácos de resíduos obtidos: (a) Resíduos para o ltro vermelho (b) Resíduos para o ltro verde (c) Resíduos para o ltroamarelo (d) Resíduos para o ltro azul Figura 6 Tomando os resultados obtidos nos grácos acima, como base; podemos dizer que o modelo é bem ajustado quando aplicado para os dados dos ltros amarelo e azul. O padrão 8

10 encontrado nos resultados dos ltros vermelho e verde; podemos concluir que as incertezas possam ter sido superestimadas, e o modelo foi aplicado para incertezas fora do intervalo de conança. E que houve correlação entre elas. 7 Conclusão Obtivemos, nesse experimento, valores para as distâncias focais iguais a 20.1 ± 0.1 para a lente convergente e 10.4 ± 1.2 para a lente divergente utilizadas na primeira parte do experimento. Encontramos valores para distância focal iguais a d vermelho = ± 0.11, d verde = ± 0.08, d azul = ± 0.06 e d amarelo = 20, 19 ± 0, 05, são compatíveis com os valores esperados quando se leva em consideração os efeitos da aberração cromática, uma vez que a distância focal aumenta conforme o comprimento de onda diminui. Concluímos, a partir desse estudo, que é possível fazer uma aproximação para lentes delgadas de forma a estudar sistemas óticos ideiais, uma vez que os testes estatísticos utilizados para analisar os resultados foram positivos e, portanto, valores obtidos nos experimentos das semanas 1 e 2 corroboram os valores nominais esperados. 8 Bibliograa Sites: en.wikipedia.org: Geometrical Optics, Snell's Law, Focus (optics) e Paraxial Approximation physicsclassroom.com/class/refrn/lesson-4/dispersion-of-light-by-prisms fotonica.ifsc.usp.br/ebook/book2/capitulo1.pdf Do site da disciplina de Física Experimental IV: Slides das aulas do Prof. Suaide e textos de apoio. 9