Conceitos de medidas e teoria de erros

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1 Conceitos de medids e teori de erros - Introdução o curso de Lortório de Físic I nosso ojetivo será fmilirizção com o método científico, utilizndo-o n oservção de fenômenos descritos pel Mecânic clássic. Em um sociedde cd vez mis dependente d informção (conhecimento) e tecnologi, pens um pequen prcel dess sociedde se d estreit relção entre ciênci e tecnologi, em gerl pens cientists e engenheiros. É verdde que muits vezes tecnologi em evolui com o desenvolvimento d ciênci, ms tmém ocorre o contrário, ou sej, ciênci se desenvolve com os vnços tecnológicos. A Físic é um rmo d ciênci que tem por ojetivo o estudo d nturez. Ms definir um cmpo de tução pr Físic é muito difícil, pois seus interesses são muito mplos e vão desde constituição d mtéri elementr o surgimento do universo sus possíveis cuss e origens. Em físic sempre que se investig e/ou estud um ddo fenômeno físico, usc-se entender como certs proprieddes ou grndezs ssocids os corpos prticipm desse fenômeno. O procedimento dotdo nesse estudo é chmdo de método científico, e é sicmente composto de 3 etps: Oservção: pode ocorrer de form diret olhndo o comportmento do fenômeno n nturez (e: rco-íris) ou indiret por meio de eperiêncis que repetem o fenômeno oservdo (prism decompondo luz em feies com s cores do rco-íris); ciocínio: ness etp é onde são feits lgums indgções respeito do que foi oservdo do tipo: Como? Por quê? É possível reproduzir em lortório? ( ). est etp podem ser formulds s hipóteses, modelos, que forneçm resposts s pergunts, que podem vir ser confirmds ou não como teoris ou leis; Eperimentção: é prte onde se tent crir e/ou reproduzir em lortório ou sl de ul determindo fenômeno ocorrido n nturez ou previsto por lgum teori, sendo este pssível de medição e que possiilite colet de ddos, isto serve tnto, como meio de confirmção e/ou simplesmente verificção ds leis que regem tl fenômeno. Se pós investigção minucios um dd hipótese se mostrr dequd, ou sej, el eplic um grnde número de ftos, constitui-se num cndidt o que chmmos de um lei físic. Ests leis são quntittivs, ou sej, devem ser epresss em lingugem mtemátic funções. Assim, pr estelecermos um lei físic está implícito que devemos vlir quntittivmente um ou mis grndezs físics, portnto é necessário relizr medids. É importnte notr que prticmente tods s teoris físics conhecids representm proimções plicáveis num certo domínio d eperiênci. Assim, por eemplo, s leis d mecânic clássic são plicáveis os movimentos usuis de ojetos em escl mcroscópic (moléculs de um gás, crro, plnets, por eemplo), ms deim de vler em determinds situções. Por eemplo, qundo s velociddes são compráveis com d luz, devem ser considerdos os efeitos reltivísticos. Já pr ojetos em escl microscópic (tômics), é necessário empregr mecânic quântic. Entretnto, o surgimento de um nov teori não inutiliz s teoris precedentes. É por isso que continumos utilizndo mecânic newtonin, desde que estejmos em seu domínio de vlidde. Dqui em dinte trtremos então ds grndezs físics com s quis estremos envolvidos e os procedimentos necessários n relizção de medids. - Grndezs Físics e Pdrões de Medid Tods s grndezs físics podem ser epresss em termos de um pequeno número de uniddes fundmentis. 4 Conferênci Gerl sore Pesos e Medids (97), comunidde científic elegeu s sete grndezs físics fundmentis que constituem se do Sistem Interncionl de Uniddes (SI): comprimento, mss, tempo, intensidde de corrente elétric, tempertur, quntidde de mtéri e intensidde luminos. metro [m]: unidde de comprimento. É o comprimento do trjeto percorrido pel luz no vácuo durnte um intervlo de tempo de / de segundo; quilogrm [kg]: unidde de mss. É mss do pdrão interncionl do quilogrm Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00.

2 Conceitos de medids e teori de erros eistente no Instituto Interncionl de Pesos e Medids em Sévres, n Frnç; segundo [s]: unidde de tempo. É durção de períodos d rdição correspondente à trnsição entre dois níveis hiperfinos do estdo fundmentl do átomo de césio 33; mpére [A]: unidde de corrente elétric. É intensidde de corrente elétric constnte que, mntid em dois condutores prlelos, retilíneos, de comprimento infinito e secção circulr desprezível, situdos no vácuo à distânci de um metro entre si, produz entre esses dois condutores um forç igul 0-7 newton por metro de comprimento; kelvin [K]: unidde de tempertur termodinâmic. É frção /73,6 d tempertur termodinâmic do ponto tríplice d águ; mol [mol]: unidde de quntidde de mtéri. É quntidde de entiddes elementres igul o número de átomos eistentes em 0,0 quilogrms de crono ; cndel [cd]: unidde de intensidde luminos. É intensidde luminos, de um fonte que emite um rdição monocromátic de freqüênci 5400 hertz e cuj intensidde energétic, que num dd direção é de /683 wtts por esferordino; Prticulrmente em Lortório de Físic I, estudse Mecânic pelo método eperimentl pr comprovção de leis físics, gerlmente em termos de medids com três desss grndezs fundmentis: comprimentos, tempo e mss. Adotndo o Sistem Interncionl (SI), mostrdo n tel, pr esss grndezs que é chmdo de sistem MKS (m de metro, k de kilogrm e s de segundo). Tel : Sistem MKS. Grndez unidde Símolo comprimento mss tempo metro kilogrm segundo m kg s Qundo se diz, por eemplo, que um ddo comprimento vle 0 m, est se levndo em considerção que o comprimento em questão corresponde dez vezes o comprimento d unidde pdrão, o metro. Há outros sistems de uniddes muito usdos dentre eles citmos o CGS (c de centímetro, g de grm, e s de segundo), pr s mesms grndezs de comprimento mss e tempo. Tel : Sistem CGS. Grndez unidde Símolo comprimento mss tempo centímetro grm segundo Além desses há outros pdrões de uniddes, tis como polegd (in) pr comprimento, lir (l) pr mss, etc, isso é importnte ser por que desão o Sistem Interncionl (SI) é opcionl e cd pís decide qul unidde lhe é mis conveniente. Outrs grndezs, como velocidde, energi, forç, torque, etc, são derivds ds três uniddes do sistem MKS. tel io, estão listds lgums dests grndezs. Tel 3: Uniddes derivds do sistem MKS (SI). Grndez dimensão unidde símolo Forç Trlho Potênci Velocidde Acelerção Densidde kg.m/s kg.m /s J/s m/s m/s kg/m 3 ewton Joule Wtt Um eemplo, em se trtndo d forç que é dd pel epressão F = m., onde m é mss e é celerção, como unidde d forç é o ewton cuj dimensão é o kg.m/s, indic que unidde de mss deve ser o kilogrm (kg), e unidde celerção deve ser o m/s, ou sej, lê-se metro (m) por segundo o m g s J W Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00.

3 Conceitos de medids e teori de erros qudrdo (s ). Portnto unidde de um grndez físic depende ds uniddes de grndezs els ssocid. o qudro io tmém estão listdos lguns prefios dos múltiplos e sumúltiplos mis comuns ds grndezs fundmentis, todos n se de potêncis de 0. Os prefios podem ser plicdos qulquer unidde. Assim, 0 3 s é o mesmo que milisegundo, ou ind ms; 0 6 W é megwtt ou MW. múltiplo prefio símolo Ter Gig Meg Kilo centi mili micro nno T G M K c m µ n 3 - Medids Físics Fzer um medid físic signific comprr um quntidde e um dd grndez, com outr quntidde d mesm grndez, definid como unidde ou pdrão d mesm. As medids de grndezs físics podem ser clssificds em dus ctegoris: medids direts e indirets. A medid diret de um grndez é o resultdo d leitur de um mgnitude medinte o uso de instrumento de medid, como por eemplo, um comprimento com um régu grdud, ou ind de um corrente elétric com um mperímetro, de um mss com um lnç ou de um intervlo de tempo com um cronômetro. Um medid indiret é que result d plicção de um relção mtemátic que vincul grndez ser medid com outrs diretmente mensuráveis. Como por eemplo, medid d velocidde médi v de um crro pode ser otid trvés d medid d distânci percorrid e o intervlo de tempo t; sendo v = / t. Ou ind usndo um método eperimentl que dele resulte medids indirets de medids tis como determinr áres irregulres com ppel milimetrdo ou o volume de um ddo ojeto usndo um provet com líquido, por eemplo, águ. É conveniente definir o significdo dos termos medição, medid(s), ddos eperimentis e resultdos eperimentis. Medição é o to ou efeito de medir. Medid é o termo usdo pr se referir o vlor numérico (em unidde pdrão) resultnte de um dd medição. Ddos eperimentis são os vlores otidos ns medições direts. esultdos Eperimentis gerlmente são os vlores otidos pós serem relizdos cálculos com ddos eperimentis, podendo ser otidos de dus mneirs: trvés de medições direts ou de medições indirets. 4 - Incertezs de um medid Um dos princípios ásicos d físic é que não se consegue medir um grndez físic com precisão solut, ou sej, qulquer medição, por mis em feit que sej, é sempre proimd. De cordo com o princípio descrito no prágrfo nterior, o vlor medido nunc represent o vlor verddeiro d grndez, pois este nunc é conhecido com totl certez. Chm-se vlor verddeiro ou vlor do mensurndo o vlor que seri otido se medição d grndez fosse feit de mneir perfeit e com instrumentos perfeitos. Qundo um resultdo deve ser plicdo ou registrdo é necessário ser com que confinç se pode dizer que o número otido represent grndez físic. O vlor medido ou o resultdo deve ser epresso ssocido o erro, desvio, ou incertez d medid, utilizndo um representção em um lingugem universl, fzendo com que sej compreensível outrs pessos. É importnte slientr que plvr erro não tem, qui, o significdo de distrção, descuido ou engno, pois estes podem ser evitdos, enqunto o erro eperimentl não pode ser evitdo, mesmo ns medições mis preciss. 5 - Algrismos significtivos Ao epressr um medid é necessário ser epressr o número de lgrismos com que se pode Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00. 3

4 Conceitos de medids e teori de erros escrever tl medid, unidde e o gru de confinç do vlor epresso, ou sej, é necessário incluir um primeir estimtiv de incertez. O erro de um medid é clssificdo como incertez do tipo A ou incertez do tipo B. A incertez otid prtir de váris medições é chmd de incertez pdrão do tipo A, que é o desvio pdrão determindo por métodos esttísticos. A incertez estimd em um únic medição é clssificd como incertez pdrão tipo B, que é incertez otid por qulquer método que não sej esttístico. A estimtiv d incertez é um vlição visul, podendo ser considerd um frção d menor divisão d escl, feit mentlmente por quem reliz medição. Um eemplo d incertez do tipo B é presentdo n Figur, n medição do comprimento S de um lápis, utilizndo um régu com menor divisão em mm. Figur - Medição do comprimento de um lápis utilizndo um régu com escl de mm. A medid do comprimento do lápis n Figur, estimndo incertez como sendo metde d menor divisão d escl do equipmento utilizdo é: S = 5,75 ± 0, 05 cm O resultdo é presentdo com três lgrismos significtivos. A incertez ou erro n medid é representdo pelo termo 0,05 cm ou 0,5 mm, que é metde d menor divisão d escl do equipmento. Este procedimento só pode ser dotdo qundo houver segurnç de quem reliz medição, o vlir visulmente um cs deciml mis que descrit n escl do equipmento. Cso contrário incertez deve ser considerd menor divisão d escl do equipmento. Os lgrismos significtivos do comprimento do lápis são representdos por lgrismos corretos e pelo primeiro lgrismo duvidoso, de cordo com descrição: lgrismos significtivos = lgrismos corretos + primeiro lgrismo duvidoso 5,75 5,75 5, Operções ritmétics Medids devem ser escrits com o número correto de lgrismos significtivos, omitindo todos os lgrismos sore os quis não se tem informção. Ao efetur um operção com tis números, não se deve escrever lgrismos sem significdo. A dição ou sutrção de números que possuem lgrismos significtivos é feit com o linhmento ds css decimis, sendo completdos com zero, d mesm form que em um operção ritmétic de som e sutrção convencionl. Ao finl d operção, o número de lgrismos significtivos do resultdo é o mesmo do elemento somdo com menor precisão. Consideremos como eemplo dição dos seguintes vlores de comprimento: 83mm + 83,4mm + 83,5mm. 83 mm + 83,4 mm 83,5 mm 49,9 mm O resultdo dest operção é 50 mm (por regr rredondmento). A multiplicção ou divisão de números com lgrismos significtivos tmém deve ser feit d mesm form que em um operção ritmétic convencionl. o resultdo finl o número de lgrismos significtivos do produto ou d divisão de dois ou mis números (medids) deve ser igul o número de lgrismos significtivos do ftor menos preciso. Consideremos como eemplo, multiplicção dos vlores dos comprimentos 83,4 mm e 83 mm. A operção é escrit como: 83,4 mm 83 mm 5 0 mm mm 6 9, mm Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00. 4

5 Conceitos de medids e teori de erros O resultdo d operção é 69 mm (vlor rredonddo), ele ind pode ser epresso em termos de potênci de 0, ficndo 6,90 3 mm (vlor rredonddo novmente). Oserve que unidde de mm tem um epoente, isso ocorre porque o multiplicrmos o vlor unitário de um grndez físic tmém multiplicmos s uniddes dotds, por isso mm mm = mm. divisão ocorre o contrário mm/mm =, ou sej, unidde é nuld ficndo pens o coeficiente em seu lugr. Já n som e sutrção é pens unidde usd que pode ser inserid, ou sej, se é mm então respost só pode ser dd em mm. 7 - egrs de rredondmento O rredondmento dos números é feito de cordo com s seguintes regrs: Os lgrismos,,3,4 são rredonddos pr io, isto é, o lgrismo precedente é mntido inlterdo. Por eemplo: 3,4 e,73 são rredonddos pr 3, e,7 respectivmente. Os lgrismos 6,7,8,9 são rredonddos pr cim, isto é, o lgrismo precedente é umentdo de. Por eemplo: 3,6 e,78 são rredonddos pr 3, e,8 respectivmente. Pr o lgrismo 5 é utilizd seguinte regr: 5 é rredonddo pr io sempre que o lgrismo precedente for pr e, é rredonddo pr cim sempre que o lgrismo precedente for impr. Por eemplo: 4,65 e 4,75 são rredonddos pr 4,6 e 4,8 respectivmente. 8 - Erros ou desvios Os erros eperimentis podem ser clssificdos em dois grndes grupos: erros sistemáticos ou erros letórios. Os erros sistemáticos são queles que resultm de discrepâncis oservcionis persistentes, tis como erros de prle. Os erros sistemáticos ocorrem principlmente em eperimentos que estão sujeitos mudnçs de tempertur, pressão e umidde. Ests mudnçs estão relcionds condições mientis. Os erros sistemáticos podem e devem ser elimindos ou minimizdos pelo eperimentdor, oservndo se os instrumentos estão corretmente justdos e clirdos, se estão sendo usdos de form corret n interligção com outros instrumentos, n montgem eperimentl. Eiste um limite io do qul não é possível reduzir o erro sistemático de um medição. Um destes erros é o de clirção, diretmente ssocido o instrumento com o qul se fz medição. Este tipo de erro é tmém chmdo erro sistemático residul, é o limite dentro do qul o fricnte grnte os erros do instrumento, sendo gerlmente indicdo no instrumento ou mnul. Os erros letórios (ou esttísticos) são queles que ind eistem mesmo qundo tods s discrepâncis sistemátics num processo de mensurção são minimizds, lnceds ou corrigids. Os erros letórios jmis podem ser elimindos por completo. Há ind for do âmito d definição de erros eperimentis, ms que podem fetr os resultdos, os erros grosseiros, que ocorre devido á flt de prátic (imperíci) ou distrção do operdor. Como eemplo desse tipo de erro se pode citr escolh errd de escls, erros de cálculo, etc. Estes devem ser evitdos pel repetição cuiddos ds medições, verificndo se não se trt de erro sistemático, ou sej, s condições e limites do instrumento de medição são propridos, se o miente em se trtndo de lortório, por eemplo, não há ftores eternos que fetrão sus medids significtivmente, revisão dos cálculos, fzer conversão ds uniddes medids de grndezs, pr unidde requerid pelo professor, ms que n miori ds vezes deve estr epressos em termos d unidde pdrão (SI), ver n tel Prâmetros esttísticos Pr oter um melhor resultdo de medids direts o invés de se fzer um infinidde de medids, o que demndri muito tempo, pode-se recorrer à Esttístic, pr oter o melhor vlor possível. A seguir são presentds definições de diversos prâmetros esttísticos ssocidos um conjunto de medids otids d repetição de um mesmo mensurável. O vlor médio de um conjunto de medids é definido como médi ritmétic dos vlores que compõem este conjunto, de cordo com relção: Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00. 5

6 Conceitos de medids e teori de erros = i i = () Sendo i o i-ésimo elemento do conjunto de medids. O desvio soluto ssocido o conjunto de medids é definido prtir d somtóri do resíduo δ i = ( i ) de cd i-ésim medid integrnte do conjunto, de cordo com relção: δ s = () i= O desvio reltivo ssocido o conjunto de medids é definido de cordo com relção: d s i δ rel = (3) O desvio percentul ssocido o conjunto de medids é definido de cordo com relção: δ % = 00 δ rel (4) O desvio pdrão mostrl ou desvio médio qudrático é descrito pel relção: s = i= ( i ) (5) O vlor de s inform sore incertez pdrão (incertez típic) tendo como se o conjunto ds medids. O prâmetro s pode ser interpretdo como sendo incertez que se pode esperr, dentro de cert proilidde, se um (+)-ésim medição viesse ser relizd, qundo é conhecido o que ocorreu ns medições nteriores. O desvio pdrão mostrl indic um o vlição sore distriuição ds medids, em torno do vlor médio. O desvio pdrão d médi é definido como rzão do desvio pdrão mostrl pel riz qudrd de, de cordo com relção: ( i ) i= m = ( ) (6) Este prâmetro esttístico é o de mior interesse, pois indic incertez d médi em relção um médi mis gerl. Um médi mis gerl seri médi de K conjuntos, sendo cd conjunto formdo com M medids. O resultdo de um série de medições pode ser escrito como: = ± (7) A cd medid que se dicion o conjunto de vlores previmente utilizdos, o vlor médio resultnte é modificdo. O desvio pdrão d médi será tnto menor qunto mior o número, ou qunto mior o número K, de conjuntos com medids cd um. Com isto, o vlor médio present oscilções irregulres (δ j ) cd vez menores, proimndo-se de form ssintótic de um vlor finl qundo. O desvio pdrão d médi tmém indic que um número de medições ecessivo não compens o tempo gsto, sendo preferível relizção cuiddos de um série, de ums 0 medições, pr ssegurr qulidde do resultdo. De cordo com teori de erros, o serem relizds medições, o desvio () diminuirá pr do vlor inicil. Outro prâmetro esttístico de grnde interesse é relção eistente entre o desvio e o vlor, denomindo desvio reltivo d médi, definido como: δ = (8) Em um conjunto de medids relizds com muito cuiddo, no qul o desvio percentul presente o vlor muito io de %, os resultdos podem ser trtdos com dígito mis depois d vírgul, que o permitido pelo instrumento de medid utilizdo. Est prente irregulridde result do fto de que o segundo dígito pode ser otido trvés d inferênci ns medids. 0 - Intervlo de confinç O desvio pdrão é um medid, que permite fornecer intervlos que quntificm qulidde ds medids, indicndo qul é proilidde de encontrr s medids nesse intervlo, conforme os desvios vão se fstndo do ponto de vlor médio. A quntificção do Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00. 6

7 Conceitos de medids e teori de erros ftor de confinç em relção os intervlos limitdos por vlores inteiros de desvio pdrão é relciond n 4: Tel 4: elção entre o intervlo d vriável, o ftor de confinç, e proilidde de encontrr medid dentro do intervlo. Intervlo Ftor de Proilidde confinç, α = 0, 683 [ ] + [, + ] α = 0, 954 [ 3, + 3 ] α = 0, ,3% 95,4% 99,7% Assim, prticmente quse tods s flutuções letóris dos vlores medidos se situm n fi de { ± 3}, ou sej, do ftor de confinç α = 0, 997. Isto signific que pens 3 dentro de 000 medids podem estr for d fi. Os erros que ecedm est fi podem ser considerdos engnos e não erros letórios. - Propgção de erros ou desvios A medição de um grndez de interesse pode feit de mneir indiret, sendo est grndez otid prtir de medids de n grndezs primáris {,, 3, Κ, k, Κ, n }. O cálculo de é feito prtir de um função conhecid ds grndezs primáris. Ests grndezs são tmém denominds grndezs de entrd, enqunto grndez é denomind grndez de síd. Um eemplo é o cálculo d densidde de um ojeto (grndez ), no qul se mede mss e o volume do corpo. As grndezs mss e volume são chmds grndezs de entrd. Os vlores ds grndezs de entrd provêm, todos ou em prte, de medições direts, sendo escritos como: =,,,..., A ) (9) ( 3 n Utilizndo proimções e um grnde número de medids, o vlor médio pode ser considerdo o vlor verddeiro. D mesm form, incertez pdrão pode ser considerd o desvio pdrão verddeiro. Fzendo um desenvolvimento mtemático proprido, epressão pr o cálculo d incertez pdrão de um grndez de síd é escrit: = ( ) ( ) ( ) n n (0) Est epressão chmd de incertez pdrão comind, é utilizd qundo s grndezs de entrd {,,..., n } são medids repetids vezes, gerndo vlores médios k e desvios pdrão ds médis k. Em muits situções não é necessário muito rigor qunto à etidão nos vlores ds incertezs cominds, sendo ceitável que sejm usds epressões pr oter vlores proimdos ds grndezs de interesse. este cso, qundo é relizd pens um medição isold (e não um série de medições) devemos usr o conceito de limite máimo de erro. Como eemplo de cálculo d incertez pdrão propgd no vlor de um grndez de síd, dd pel relção funcionl do tipo = +, são relizds medições direts ds grndezs de entrd e, com sus respectivs incertezs pdrão e. este cso, s grndezs e são equivlentes às grndezs e, contids n equção (0), d qul se otém: = ( ) + ( = + ( ) ( Sendo form finl pr grndez comind e su incertez pdrão comind escrit como: ± = + ( + ) ± ( ) ( Ver mis eemplos de funções e seus erros propgdos n tel 5 em neo. ) ) ) Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00. 7

8 Conceitos de medids e teori de erros eferêncis Biliográfics. Domicino, J. B., Jurltis K.., Introdução o lortório de Físic Eperimentl, Deprtmento de Físic, Universidde Estdul de Londrin, Vuolo, J. H. Fundmentos d Teori de Erros Ed. Edgrd Blücher, São Pulo, Aul : Medids Físic. Disponível em: < df> Acessdo em: 0 de Jneiro de 0. Aneo Tel 5: Epressões pr cálculos ds incertezs cominds ou propgds de lgums grndezs que possuem forms funcionis simples. elção funcionl (,, ) =, Κ ± =. ou n Erro propgdo n n = Λ = ( ) = r = ln = e = ) + ( ) ( = ( ) = ( ) + ( ) = r = = Toginho Filho, D. O., Andrello, A.C., Ctálogo de Eperimentos do Lortório Integrdo de Físic Gerl Deprtmento de Físic Universidde Estdul de Londrin, Junho de 00. 8