Capítulo 1 Linguagens, Teorias e Sistemas Formais

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1 Capítulo 1 Linguagens, Teorias e Sistemas Formais Introdução O todo sem a parte não é todo,a parte sem o todo não é parte, mas se a parte o faz todo sendo parte não se diga que é parte sendo todo. Gregório de Matos (1636/1695) Quanto mais reflito sobre a linguagem, tanto mais me admiro que as pessoas consigam se entender umas com as outras. Kurt Gödel ( ) Um idioma é a língua falada por uma nação ou por um povo. Os idiomas são considerados linguagens naturais. As linguagens naturais são aquelas que surgem e se desenvolvem a partir de capacidades naturais de certas espécies, como as línguas humanas e as linguagens de alguns animais As Linguagens Formais Ao lado das linguagens naturais os seres humanos vêm criando certas linguagens, denominadas formais, que são linguagens artificiais ou linguagens abstratas. As linguagens formais são linguagens projetadas especificamente para facilitar a comunicação em determinada área do conhecimento humano, muitas vezes recorrendo ao uso de símbolos e operações simbólicas, como as que são utilizadas especialmente na Lógica, na Matemática, na Química, por exemplo. As linguagens formais não devem ser confundidas com o jargão. Jargão é o nome que se dá aos códigos lingüísticos próprios de um grupo sociocultural ou profissional. Ele se restringe a um vocabulário especial, com não muitas palavras, difícil de ser compreendido ou até mesmo incompreensível para os não-iniciados. Como um linguajar destinado a não ser entendido senão por um grupo, em especial o que adota determinadas convenções, o jargão é apenas uma adaptação vocabular e não uma linguagem no sentido amplo do termo. É comum ouvir-se: jargão médico, jargão jurídico e, até mesmo, jargão popular substituindo, neste caso, a palavra gíria Sobre o que sejam a Sintaxe e a Semântica. As linguagens sejam elas naturais ou não, normalmente comportam uma sintaxe e uma semântica:

2 !"#$ %##& ''(( A sintaxe é o estudo das regras através das quais as palavras ou símbolos e outros elementos (sinais de pontuação e conectivos) devem ser combinados para formar sentenças aceitáveis (apropriadas ou corretas) naquela linguagem as sentenças-bem-formadas 1. A semântica é a ciência que estuda o significado das formas lingüísticas palavras, frases, sentenças, discursos e, até mesmo, textos inteiros. Ela estabelece formas de obtenção/verificação do significado das sentenças-bem-formadas ou das fórmulas-bemformadas nesta linguagem. O estabelecimento de regras semânticas em uma linguagem qualquer é extremamente necessário, para que nós não comecemos a escrever coisas sem sentido nesta linguagem. Por exemplo, a sentença: O garoto Paulo é estudioso está sintaticamente correta, ou seja, é uma sentença bem formada em Língua Portuguesa, e semanticamente veicula uma idéia que pode ser refutada (pois pode ser falsa) ou aceita (porque pode, por outro lado, ser verdadeira). Sendo assim, esta sentença é uma proposição. Já a frase: O automóvel Fiat é estudioso, apesar de ter a mesma estrutura sintática da frase anterior, se perde em termos de significado, ou seja, ela se perde semanticamente, ou seja, ela nada significa. Apenas a título de ilustração, poderíamos acrescentar que as linguagens naturais têm, além da sintaxe e da semântica, a pragmática: A pragmática é o estudo do uso da linguagem pelos diversos substratos sociais (envolvendo faixas etárias, níveis econômicos, níveis de aceitação, nacionalidades, religiões, costumes, crenças, ênfase nas assertivas, capacidade de formulação ou comunicação, sentimentos envolvidos, sensações provocadas, etc) envolvendo, ainda, o estudo de como ela afeta os interlocutores em termos de comportamento. A pragmática não é, e nem deve ser, levada em conta quando se estuda ou se trabalha com as linguagens formais, justamente pela própria natureza destas linguagens que, em geral, exigem clareza, necessidade de comprovação formal e não admitem ambigüidades sejam elas quais forem Linguagens-objeto e Metaliguagens A linguagem, seja ela natural ou formalizada, que serve para descrever ou falar sobre uma outra linguagem, natural ou artificial é denominada metaliguagem enquanto a linguagem sobre a qual se fala é denominada linguagem-objeto. Geralmente, ocorre que uma linguagem formal tomada como linguagem- 1 Sentenças-bem-formadas ou fórmulas-bem-formadas, cuja abreviatura é fbf. Sendo que em inglês: wff é utilizado para se referir às well-formed-formulas.

3 objeto, acabará por ser descrita por uma linguagem natural que, neste caso, passa a ser a sua metalinguagem. Para dar um exemplo: quando alguém estuda a língua inglesa utilizando-se de uma Gramática da Língua Inglesa explicada em Português estará se defrontando com um caso de linguagem-objeto (o Inglês) explicada ou referida por uma metalinguagem (o Português). Há casos, em que a própria linguagem natural é metalinguagem dela mesma (aqui ocorre o que se denomina auto-referência), como no caso de uma gramática da Língua Portuguesa, escrita em Português Sobre as Teorias Vamos partir da concepção de que uma Teoria tomando-se o sentido mais amplo desta palavra seja um sistema composto por um conjunto de hipóteses assumidas como verdadeiras e de suas conseqüências lógicas. Em resumo, uma teoria será tomada como sendo um sistema hipotético-dedutivo. No entanto, acrescente-se que, uma teoria pode ser pesada ainda como sendo: Um conjunto de regras ou leis, mais ou menos sistematizadas, aplicadas a uma área específica do conhecimento; Um conjunto de conhecimentos especulativos, de opiniões e idéias sobre um dado tema, sistematizado, organizado ou metódico, geralmente sintético e baseado em hipóteses; Um conjunto sistemático de conhecimentos, fundamentado em observações empíricas e/ou postulados racionais, voltado para a formulação de leis e categorias gerais que permitam a ordenação, a classificação minuciosa e, eventualmente, a transformação do modo de se encarar ou considerar os fatos e as realidades da natureza (Adaptação - Dicionário Houaiss ed. 2001). Pensada destas formas, uma Teoria pode fazer referência a objetos de qualquer espécie, objetos estes, não necessariamente bem descritos ou bem definidos, concretos ou abstratos, conceitualmente fundamentais ou, definidos a partir destes conceitos. E mais grave, as hipóteses podem ser verdadeiras, parcialmente verdadeiras ou até mesmo falsas. Isto é o que diferencia as Teorias, como um todo, das Teorias Formais, que é com as quais teremos que trabalhar no campo da Lógica e da Matemática.

4 1.3.- Sobre os Sistemas Formais!"#$ %##& ''(( Um Sistema Formal é constituído basicamente por: (i) uma linguagem formal e, associada a ela, uma linguagem natural usada como metalinguagem, permitindo a formulação de definições, explicitação de propriedades e demais esclarecimentos ou justificativas, necessários para dar significado à linguagem formal ou para aplainar a sua aridez; (ii) um conjunto de fórmulas básicas aceitas naquela linguagem e tidas como verdadeiras, denominadas axiomas; (iii) um conjunto de regras de transformação (ou derivação) de fórmulas, que aplicadas nos axiomas permite a obtenção de outras fórmulas também aceitáveis e que passam a ser tidas, automaticamente, como verdade naquela linguagem, justamente por terem sido geradas pelos axiomas. Há que se discutir que do conceito de aceitação de fórmulas básicas naquela linguagem se depreende que, além destas fórmulas estarem sintaticamente corretas, elas possam ser avaliadas quanto a serem ou não verdadeiras. No entanto, quando se tratar de axiomas desta linguagem, obrigatoriamente elas devem ser fórmulas aceitáveis naquela linguagem e verdadeiras 2. Note que a mera aceitação de uma fórmula como pertencente a uma dada linguagem não a torna implicitamente verdadeira. Veja, por exemplo, que X ama Y corresponde a uma formulação bastante comum e aceitável na Língua Portuguesa, e dependendo de quem seja o X e quem seja o Y ela poderá ou não ser uma fórmula verdadeira Especificando uma Linguagem e um Sistema Formais A seguir vai-se mostrar como se especifica uma Linguagem Formal, passando pelas definições de Teorias Formais Axiomáticas e as Teorias Formais Não-Axiomáticas e, finalmente, definindo-se o que sejam os Sistemas Formais Axiomáticos. 2 Pode-se discutir ainda, e muito, que o conceito de verdade poderá ser substituído por valores escalares onde o verdadeiro será 1 e o falso será 0; o verdadeiro será 100% e o falso será 0%; o verdadeiro será sim e o falso será não. Assim é que, a palavra verdade ou verdadeiro ganha uma dimensão abstrata, em que algo que esteja 98% certo possa ser aceito como verdadeiro se isto for permitido por alguma regra que estabeleça valores de tolerância; e algo que seja avaliado como valendo apenas ½, não possa ser nem verdadeiro nem falso (seja indecidível), apesar de ser uma formulação lingüística aceitável numa dada teoria.

5 Adotando um Símbolo para Representar uma Linguagem Formal Deve-se, para maior comodidade, adotar-se um símbolo para representar as linguagens formais como por exemplo: L α, onde a letra α, utilizada como um índice, serve para caracterizar ou nomear esta linguagem diferenciando-a das tantas linguagens que podem ser criadas, poderão ser criadas ou que já foram criadas e estão em uso. Assim L Prop poderá se referir à linguagem formal da Lógica Proposicional 3, enquanto L Pred, à da Lógica de Predicados, e L APeano irá se referir à linguagem formal utilizada no Sistema Aritmético de Peano Especificando a Linguagem Formal Lα Seja a Linguagem Formal L α, a sua especificação desta linguagem prevê o estabelecimento do Alfabeto de L α, que também pode ser denominado Vocabulário de L α, e da Gramática de L α, de acordo com o seguinte: O Alfabeto (ou Vocabulário) de uma dada linguagem L α é um conjunto dos símbolos lingüísticos, tais como: variáveis, constantes, sinais de operações e de funcionais lingüísticos, acrescido quando necessário, de símbolos e/ou sinais extra-língüísticos os denominados símbolos metalingüísticos, que eventualmente sejam necessários para dar maior clareza, ou evitar ambigüidades, naquilo que se escreve em L α, tais como: parênteses, vírgulas, chaves e colchetes e demais sinais de pontuação, e às vezes, o sinal de igualdade. A Gramática de uma L α é um conjunto de regras que determinam que encadeamentos de símbolos permitindo a boa-formação de sentenças simbólicas naquela linguagem, isto é, a formação de sentenças ou fórmulas gramaticalmente corretas ou bem-formadas as fbfs (fórmulas-bem-formadas) ou, em inglês: wffs ( well-formed-formulas ) Sobre as Teorias Formais Axiomáticas e Não-axiomáticas Os Sistemas Formais podem ser axiomáticos ou não-axiomáticos. Os sistemas não-axiomáticos são aqueles denominados, em geral, hipotético-dedutivos. Os Sistemas Formais, axiomáticos ou nãoaxiomáticos, podem ser desenvolvidos em linguagem natural ou em uma linguagem formal quando os símbolos e a sintaxe são formulados especialmente para atender às necessidades da teoria, mas devem 3 Neste Texto como iremos trabalhar principalmente com a Lógica Proposicional e a Lógica Predicativa, iremos adotar ao invés da notação L Prop e L Pred, simplesmente L 0 e L 1. Enquanto o símbolo L 1 se mostra bastante apropriado para se referir à Lógica Predicativa que também é uma Lógica de Primeira Ordem, o símbolo L 0 passa a se referir à Lógica Proposicional, justamente porque L 0 é, na verdade, uma Linguagem Formal que constitui o núcleo da Linguagem Formal L 1.

6 !"#$ %##& ''(( possuir, obrigatoriamente, pelo menos uma regra de inferência. Esta regra de inferência é que irá permitir a obtenção de leis (verdades) mais gerais ou derivar fórmulas mais complexas e demonstrar teoremas, seja a partir da associação conveniente dos princípios elementares, definições e hipóteses desta teoria, ou diretamente ao ser aplicada no conjunto de axiomas. A estes resultados é que devemos chamar teoria, devendo-se entender que uma teoria sempre deverá estar apoiada por, ou deverá ser veiculada, através de métodos axiomáticos ou então hipotético-dedutivos. Uma teoria não deve ser confundida com os métodos utilizados para desenvolvê-la Especificando um Sistema Formal A partir do que se disse até aqui, podemos estabelecer que a especificação de um Sistema Formal, axiomático ou não-axiomático S α, deverá prever: (i) o estabelecimento da sintaxe do Sistema S α representada por uma linguagem Formal L α (alfabeto e gramática); (ii) o estabelecimento da semântica da linguagem, ou seja, estabelecer (ou definir) aquilo que é considerado em seu significado válido (sempre verdadeiro) e aquilo que não é válido (inválido) naquela linguagem; (iii) o estabelecimento de um aparato de dedução denominado Estrutura Dedutiva de L α, composto por: (a) axiomas, quando os há, e por hipóteses, quando não os há, em L α, (b) por regras de inferência. Em outras palavras a estrutura dedutiva de L α é um conjunto de regras de inferência que permitam obter derivar, deduzir ou gerar outras fórmulas utilizando os axiomas ou as hipóteses, que neste último caso, poderão ser associadas às definições e aos teoremas anteriormente provados Particularidades Notáveis dos Sistemas Formais Axiomáticos No caso específico dos Sistemas Formais Axiomáticos, as Linguagens Formais sintaxe e semântica que irão veiculá-lo, é o que se denomina a morfologia do sistema e, os axiomas, bem como a(s) regra(s) de inferência, e os teoremas derivados a partir daí, é o que se denomina propriamente a teoria. Ainda sobre dos Sistemas Formais Axiomáticos, um fato bastante notável que queremos frisar é o seguinte: uma mesma teoria pode ser veiculada através de sistemas formais um pouco diferentes uns dos outros. Estes sistemas podem apresentar diferentes conjuntos de símbolos, diferentes regras sintáticas, distintos axiomas e regras de inferência, mas apesar de todas estas diferenças, se forem mantidas as mesmas regras semânticas, todos estes sistemas irão permitir praticamente o estabelecimento de uma

7 mesma teoria. A única ocorrência a ser registrada é que num dos sistemas aquilo que é um axioma será o teorema em outro, e vice versa. Isto poderá ser visto em exemplos bastante notáveis no final do Capítulo 4, capítulo no qual se fala sobre a estrutura dedutiva da Lógica Proposicional Conclusão Apenas a título de conclusão, podemos afirmar, sem receio de estarmos errados, que: teorias razoavelmente claras e precisas poderão ser organizadas usando-se apenas o termo de elementos: axiomas + definições + teoremas, enquanto as teorias calcadas em conceitos intuitivos ou conceitos primitivos + hipótese + definições + tese ou antítese devem ser utilizadas quando não se puder recorrer á axiomatização, que é, a bem da verdade, o que ocorre com a maioria das ciências experimentais 4, sejam elas, humanas ou biológicas. 4 Para Mário Bunge, em seu Dicionário de Filosofia, Editora Perspectiva, 2002, as ciências podem ser divididas em formais e factuais, sendo que a primeira se refere a constructos (exemplos: a Lógica e a Matemática) e a segunda a fatos. As ciências factuais podem ser divididas em: naturais (exemplo: Biologia), sociais (Economia) e biosociais (Psicologia).

8 !"#$ %##& ''(( Sumário do Capítulo 1 Uma Linguagem Formal é constituída por uma Gramática. A Gramática de uma Linguagem Formal deve prever: (i) a forma de construção correta de suas fórmulas (sentenças), uma sintaxe e (ii) uma forma de separar as fórmulas quanto a terem sentido, ou não, naquela linguagem, aquilo que se denomina a semântica da linguagem. Sentenças (fórmulas) de uma Linguagem seja ela Natural ou Formal podem ser construídas corretamente sem ter um significado naquela linguagem. As sentenças: O aluno José é estudioso e O automóvel Ford é estudioso são sintaticamente corretas, mas a segunda delas falha quanto ao significado, ela é ambígua, ou seja, falha no que diz respeito à semântica. A compreensão de que os Sistemas Formais são constituídos por uma linguagem formal uma gramática com regras sintáticas e a necessidade de uma semântica, um conjunto de sentenças semanticamente aceitáveis (axiomas) e um conjunto de regras de derivação, que a partir dos axiomas, se possa obter outras sentenças (fórmulas) semanticamente aceitáveis naquela linguagem, é fundamental para o estudo da Lógica e de Teorias, geralmente denominadas, Formais, Científicas, Matemáticas, ou simplesmente Teorias, no sentido mais amplo da palavra. São denominadas teorias axiomáticas, aquelas desenvolvidas através do uso de: linguagem simbólica + axiomas + regras de inferência + definições + teoremas, enquanto as teorias calcadas em conceitos intuitivos ou conceitos primitivos + hipótese + experimentação (testes de validação de hipóteses) até chegar-se à tese ou antítese são denominadas não-axiomáticas.

9 1.6.- Trabalhos Experimentais Capítulo (Experimental) Seja uma linguagem L cujos símbolos são: "&" " ". As expressões-bem-formadas de L são obtidas pelas regras: (a) "&" e " " são expressões; (b) qualquer que seja a expressão E de L "E&" e " E " são expressões de L. (c) somente as expressões formadas pelas regras (a) e (b) são expressões de L. Sendo assim, das expressões a seguir, assinale a única expressão que não pertence a L. a) & & b) &&&& c) & d) & e) & &&& & 2.- (Experimental) Dadas as regras do exercício anterior, verifique se as seguintes afirmativas são verdadeiras: [1] Se uma sentença S 1 de L tem pelo menos um símbolo " " e um símbolo "&" então o símbolo " ocorre um número ímpar de vezes em S 1. [2] Se uma sentença S 2 de L apresenta uma quantidade par de símbolos " "então pelo menos um símbolo "&" deve ocorrer em S 2. [3] Se ocorre numa dada expressão S 3 de L, a subexpressão & então o número de símbolos " " terá que ser ímpar em S (Experimental) Seja o alfabeto de uma linguagem L, formado pelos símbolos a e b. Sejam, ainda, as regras que permitem criar as sentenças em L, dadas por : (i) "a" e "b" são expressões; (ii) qualquer que seja a expressão E de L "Ea" e "be" são expressões de L. (iii) somente as expressões formadas pelas regras (i) e (ii) são expressões de L. Assim sendo, construa todas as sentenças de L com até 4 letras repetidas ou não do alfabeto de L. 4.- (Experimental) Seja uma Linguagem Formal e suas operações, dadas por: (1) As constantes ( k ) são tanto as 4 primeiras letras minúsculas ( x ) do alfabeto latino, na ordem: a, b, c, d, a, b,..., quanto as 4 primeiras letras latinas maiúsculas ( X ), na ordem: A, B, C, D, A, B,..., sendo que L é sensível ao contexto, isto é: x X (por exemplo: a A), somente: k = x, k = X. (2) Os símbolos de L são os seguintes: (i),, e : símbolos operacionais unários; (ii) e : símbolos operacionais binários e (iii) : o símbolo de negação; parênteses (também: parêntesis), colchetes e chaves podem ser usados como separadores para manter a clareza das expressões de L. (3) Definições das operações unárias e das negações: D1. k, k = antecedente(k) D2. k, k = sucessor(k) D3. X, X = x D4. x, x = X D5. x, (x ) = x D6. x, (X ) = X D7. k, (k ) = k D8. k, (k ) = k D9. x, x = X; D10. X, X = x

10 !"#$ %##& ''(( (4) As fórmulas-bem-formadas de L são dadas pelas seguintes definições recursivas: (i) As constantes acompanhas de símbolos operacionais unários são fórmulas bem formadas (fbfs); (ii) Se φ é uma fórmula bem formada (fbf), então φ também o é; (iii) As fbfs definidas em (i) e (ii) acompanhadas de símbolos operacionais unários são fbfs; (iv) As únicas maneiras de se obter fbfs são as descritas em (i), (ii) e (iii). (5) Definição das operações binárias: (D 11 e D 12 ) As operações, são tais que, como nos seguintes exemplos: a b = B; b c = C; d a = D, a b = A; sempre, de acordo com as tabelas: a b c d a b c d a A B C D a A A A A b B B C D b A B B B c C B C D c A B C C d D D D D d A B C D Após ter lido o texto acima responda às seguintes questões: Questão 4.1: Caso a sentença seja uma fbf de L assinalar o Sim e calcular o seu valor final, caso contrário assinalar o Não : (a) Sim ( ) Não ( ) [(B ) ] = (b) Sim ( ) Não ( ) {[ (a )] } = (c) Sim ( ) Não ( ) {[(A ) ] } = (d) Sim ( ) Não ( ) {[ (a )] } = (e) Sim ( ) Não ( ) { [(a ) ] } = (f) Sim ( ) Não ( ) { [( A) ] } = Questão 4.2: Resolva, passagem por passagem, as expressões a seguir e verificando se as sentenças resultantes são bem formadas em L: a) [(cd) ]= b) { [( C) ( D)] } = c) { [(a b) ] [(c a) ]} = d) {[((a b) ) d ] } = e) { [(D ) (A ) ] (c a) } Questão 4.3: Há definições equivalentes em L; há definições conflitantes em L; há definições faltantes em L? A seu ver quais seriam cada uma delas?