DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

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2 DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS A) Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a outros é achar partes de N, (, 2,..., n ), diretamente proporcionais a esses outros números, (y, y 2,..., y n ), e cuja soma seja N. Eemplo de aplicação Três sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido. Quanto cada um recebeu? Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas por cada um a b c dos sócios, temos: a + b + c = 24 e Somando os numeradores e denominadores da proporção, obtemos: a b c a b c Daí: a 30 5 a 6 b b 40 5 c 0 c 50 5 Página 2

3 Assim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo sócio receberá mil reais e o terceiro sócio receberá 0 mil reais. B) Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a outros é achar partes de N, (, 2,..., n ), diretamente proporcionais aos inversos desses outros números, (y, y 2,..., y n ), e cuja soma seja N. Eemplo de aplicação Uma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$ ,00 entre seus netos, de maneira inversamente proporcional às idades desses netos. Sabendo que as idades dos netos são 0, 5 e 4, qual a quantia recebida por neto? Solução: Indicando por, y e z os valores recebidos por neto, temos: y z y z, e Somando os numeradores e denominadores da proporção, obtemos: y z y z, Daí: 0 2 0,2 5y 2 y 0,4 4z 2 z 0,5 Página 3

4 Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil reais), o neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais) e o neto mais novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais). C) Divisão Proporcional Composta Em alguns casos, pode ser necessário dividir um número em partes diretamente proporcionais a dois ou mais conjuntos de números ou, ainda, diretamente proporcional a um conjunto de números e inversamente proporcional a um outro conjunto. Nesses casos, é só lembrar que: - se é inversamente proporcional a y, é diretamente proporcional a y. - se é diretamente proporcional a y e z, é diretamente proporcional a yz. Eemplo de aplicação Dividir o número 9 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e também diretamente proporcionais a e 4. Solução: Sejam e y as partes procuradas. Temos: é D.P. a 2 e é D.P. a 2. = 2 y é D.P. a 3 e 4 y é D.P. a 3. 4 = 2 Logo: y e + y = 9, que resolvido dá: 2 2 = 4, e y = 4 Página 4

5 Observações. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando os valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza são diretamente proporcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto) correspondente da outra grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada pela mesma constante k. 2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando os valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza são inversamente proporcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto) correspondente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sendo dividida pela mesma constante k. Eemplos. Velocidade e distância percorrida são grandezas diretamente proporcionais, para um mesmo intervalo de tempo. Observe o caso em que é medido o deslocamento de quatro móveis com velocidades diferentes durante duas horas: Podemos observar que os valores da velocidade e do deslocamento formam uma proporção direta: Página 5

6 Observe que da velocidade 0 para a velocidade 30, a grandeza foi multiplicada por 3, enquanto a distância correspondente foi de 30 para 90, ou seja, também multiplicada por Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamente proporcionais, para uma mesma distância. Observe o caso em que é medido o deslocamento de quatro móveis com velocidades diferentes para percorrer uma distância de 200 km: Podemos observar que os valores da velocidade e do deslocamento formam uma proporção inversa: 020 = 2020 = 405 = 504 Observe que, da velocidade 0 para a velocidade 40, a grandeza foi multiplicada por 4, enquanto o tempo correspondente foi de 20 para 5, ou seja, foi dividida por 4. PROBLEMAS DAS TORNEIRAS Considere um tanque de volume V e duas torneiras T e T 2. Suponhamos que a torneira T 2 enche este tanque em t horas e a torneira T 2, enche o mesmo tanque em t 2 horas. Se elas são abertas ao mesmo tempo, quando o tanque estará cheio? Resolução: Sejam Q a vazão da torneira T, ou seja, Analogamente, para a torneira T 2, sua vazão é Q 2 V Q. t V t 2. Fie * um t. A quantidade de água no tanque devido a * * torneira T de 0 até t é V Q t e da Página 6

7 * torneira T 2 é V2 Q2 t. Portanto, se elas forem abertas simultaneamente, a contribuição total das duas torneiras * * de 0 a V t V V. t é 2 Por outro lado, a quantidade de água armazenada no tanque é proporcional ao tempo em que estas torneiras estão abertas. Assim, se representa o tempo total para encher o tanque de volume V, segue que V V * t t t * Vt * t Q Q 2 t * Q t V Q V 2 t t 2 Eemplo de aplicação Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra torneira o enche em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio? Solução: Suponhamos que o volume do tanque seja V. O próimo passo é analisar quanto cada torneira contribui para encher o tanque no período de hora. A primeira torneira neste período contribui com 3 V e a segunda torneira com 6 V do tanque. Assim, se elas forem abertas simultaneamente, elas juntas em hora encherão com 6 V do tanque. Assim, se elas forem abertas simultaneamente, elas juntas em hora encherão V V 3 6 2V V 6 V 2 Página 7

8 Se em uma hora elas enchem a metade do tanque, então o tanque ficará completamente cheio em duas horas. Regra de Três Simples Dadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma grandeza e medida da outra, podemos calcular a quarta medida estabelecendo uma proporção entre esses valores. Eemplo de aplicação Se 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 2 cachorros comem quantos quilos de ração? Solução: O número de cachorros e a quantidade de ração são grandezas diretamente proporcionais, pois, quanto mais cachorros, mais ração será consumida. Vamos representar que são diretamente proporcionais por duas setas com mesmo sentido. ( N º de cachorros) ( Qde de ração) Estabelecendo a proporção, temos: Assim, os 2 cachorros comem 20 quilos de ração. Eemplo de aplicação Quatro pintores demoram 60 horas para pintar uma casa, quantas horas cinco pintores levariam para pintar a mesma casa? Página

9 Solução: O número de pintores e a quantidade de horas são grandezas inversamente proporcionais, pois, quando aumentamos o número de pintores, vamos precisar de menos horas para eecutar o mesmo serviço. Vamos representar as grandezas inversamente proporcionais por duas setas com sentidos contrários. ( N º de p int ores) ( Qde de horas) Estabelecendo a proporção, invertendo uma das frações, temos: Assim, os cinco pintores levariam 4 horas para pintar a casa. Regra de Três Composta Quando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos proceder de maneira idêntica à regra de três simples, porém vamos adotar o seguinte procedimento: escolher uma das grandezas e comparar com as outras, verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; isolar a fração obtida da grandeza que foi usada para comparação no primeiro membro e no segundo membro colocamos o produto das frações obtidas das outras grandezas, com o cuidado de inverter as frações que são de grandezas inversamente proporcionais à grandeza escolhida para comparação. Página 9

10 Eemplo de aplicação Cinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro semanas, em quanto tempo dez pessoas comem trinta quilos de feijão? Solução: Vamos escolher o número de pessoas para comparar com as outras grandezas. Quanto mais pessoas, mais feijão será consumido, portanto a quantidade de feijão e o número de pessoas são diretamente proporcionais. Quanto mais pessoas, menos tempo irá durar o feijão, portanto o número de pessoas e o tempo são duas grandezas inversamente proporcionais. Estabelecendo a proporção, temos: t. 20t 600 t Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão precisarão de cinco semanas. Leia mais! O número (letra grega que se pronuncia fi ), apesar de não ser tão conhecido, tem um significado muito interessante. Durante anos, o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram, então, o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia proporções (do lado maior dividido pelo lado menor) e, a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim, eles fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que forma a face central e lateral). A profundidade dividida pelo comprimento ou Página 0

11 altura, tudo seguia uma proporção ideal de,6. Os egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides, cada pedra era,6 menor do que a pedra de baio, a de baio era,6 maior que a de cima, que era,6 maior que a da 3ª fileira e assim por diante. Durante milênios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas, depois de muito tempo, veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam retângulo de ouro grego. Mas, em 200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência em que um número é igual a soma dos dois números anteriores:,, 2, 3, 5,, 3, 2, 34, 55, 9,... + = = = = 5 + = = = 34 e assim por diante. Aí entra a primeira coincidência : proporção de crescimento média da série é,6. Os números variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaio, mas a média é,6, eatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção que os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas: Página

12 a proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de,6; a proporção em que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de,6; a proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de,6; a proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura é de,6. E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de,6 também. Por isso, o número ficou conhecido como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os historiadores descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo. Bom, por volta de 500, com o Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e, principalmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe; como cientista, pegava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto à Divina proporção quanto o corpo humano... obra-prima Divina. Eemplos. Meça sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão; o resultado é,6. 2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo; o resultado é,6. 3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra; o resultado é,6. 4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão; o resultado é,6. 5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é,6; Página 2

13 6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tóra; o resultado é,6. (Considere erros de medida da régua ou fita métrica que não são objetos acurados de medição.) 7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção. Seria Deus, usando seu conceito maior de beleza em sua maior criação feita à sua imagem e semelhança? Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes, todas ligadas numa proporção em comum. Então, até hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções. Porcentagem Qualquer razão de denominador 00 é chamada de razão centesimal, taa percentual ou simplesmente porcentagem. Eemplos % % ,6 0,426 42,6% 7 00 Observe, no terceiro eemplo, que, para transformarmos um número escrito na forma decimal para porcentagem, basta multiplicarmos o número por 00%. Eemplos. 0,23 = 0,2300% = 23%. 2. 0,324 = 0,32400% = 32,4%. Página 3

14 Observação: Podemos calcular a porcentagem que um número a representa de outro b, com b0, simplesmente escrevendo a fração b a na forma de porcentagem. Eemplo: O número 9 representa 60% do número 5, pois 5 9 = 0,6 = 60%. EXERCÍCIOS O PROFESSOR RESOLVE 0. (VUNESP) Para uma prova, 50 candidatos deveriam ser acomodados nas salas A, B, C e D de um colégio, com capacidade para receber 60, 50, 40 e 30 candidatos, respectivamente. A organização decidiu preencher inicialmente todos os lugares da sala menor, e os candidatos restantes foram repartidos entre as demais salas de forma diretamente proporcional à capacidade de cada uma. O número de lugares não ocupados na sala de maior capacidade foi igual a A). B) 0. C) 2. D) 4. E) Quando estava na 3ª série colegial, participei de um grupo de trabalho de biologia, composto de 4 pessoas: André, Beth, Carlos e eu. Combinamos que os gastos com os materiais seriam divididos inversamente à participação de cada um na elaboração do trabalho, ou seja, quem trabalhasse mais pagaria proporcionalmente menos. No balanço final, após a entrega do trabalho, o resultado foi o seguinte: Página 4

15 Total dos gastos: R$ 40,00 Tempo trabalhado: André: 5h, Beth: 20h, Carlos: 30h e eu: 40h. Dessa forma, André, Beth, Carlos e eu, pagamos, respectivamente A) R$ 05,00, R$ 75,00, R$ 20,00 e R$ 350,00. B) R$ 20,00, R$ 60,00, R$ 240,00 e R$ 320,00. C) R$ 320,00, R$ 240,00, R$ 60,00 e R$ 20,00. D) R$ 350,00, R$ 20,00, R$ 75,00 e R$ 05,00. E) R$ 400,00, R$ 200,00, R$ 40,00 e R$ 00, (UPENET) Uma bomba enche um tanque em 3 horas, e uma válvula colocada no fundo o esvazia em 5 horas. Estando o tanque vazio, a bomba ligada e a válvula aberta, em quanto tempo o tanque estará cheio? A) 6 horas. B) 7 horas. C) 7,5 horas. D) horas. E),5 horas. 04. (UECE-200) Três torneiras X, Y e Z, abertas simultaneamente, enchem um tanque em três horas. Cada uma das torneiras tem vazão constante e, sozinhas, encheriam o tanque em horas, horas e 6 horas, respectivamente. Nestas condições, o valor de será A). B) 20. C) 22. D) 24. E) (PUC-SP) Paulina está sempre apressada: quando usa a escada rolante de uma certa estação de metrô, costuma subir alguns degraus no percurso para ganhar tempo. Considerando que, quando ela sobe degraus, gasta 50 segundos no percurso de toda a escada e, quando sobe 2 degraus, gasta 40 segundos, então o total de degraus dessa escada é Página 5

16 A) 22. B) 24. C) 2. D) 30. E) Um fazendeiro tem ração para alimentar 32 bois durante 25 dias; no fim de 4 dias compra mais 0 bois. Se a ração de cada boi não for diminuída, as provisões serão suficientes para A) 5 dias. B) 4 dias. C) 6 dias. D) 9 dias. E) 2 dias. 07. (AFRE) Se homens, trabalhando horas por dia, levam dias para fabricar unidades de um artigo, então, em 2 dias, o número de unidades do mesmo artigo fabricado por 2 homens de mesma capacidade de trabalho que os primeiros, trabalhando 2 horas por dia, é A) 2. B) 24. C) 27. D) 32. E) (FCC) Sabendo que megabyte = 0 6 bytes, suponha que certo site de pesquisa da internet processa megabyte de informações digitais a cada 40 segundos. Com base nessa informação e sabendo que gigabyte é igual a bilhão de bytes, o esperado é que esse site seja capaz de processar gigabyte de informações digitais a cada A) horas, 6 minutos e 40 segundos. B) horas e 46 minutos. C) horas, 56 minutos e 20 segundos. D) 2 horas, 6 minutos e 46 segundos. E) 2 horas, 56 minutos e 40 segundos. 09. A capa de uma revista de grande circulação trazia a seguinte informação, relativa a uma reportagem daquela edição: Página 6

17 O brasileiro diz que é feliz na cama, mas debaio dos lençóis 47% não sentem vontade de fazer seo. O teto abaio, no entanto, adaptado da mesma reportagem, mostra que o dado acima está errado: Outro problema predominantemente feminino é a falta de desejo 35% das mulheres não sentem nenhuma vontade de ter relações. Já entre os homens, apenas 2% se queiam de falta de desejo. Considerando que o número de homens na população seja igual ao de mulheres, a porcentagem aproimada de brasileiros que não sentem vontade de fazer seo, de acordo com a reportagem, é A) 2%. B) 24%. C) 29%. D) 35%. E) 50%. 0. Suponha que a garçonete tenha decidido misturar água ao café-com-leite do "seu" Almeida. Num copo de 300 ml, colocou 20 ml de água pura e completou o restante de acordo com o pedido do freguês. Em comparação com a porção solicitada de café-com-leite, pode-se afirmar que "seu" Almeida bebeu a menos uma quantidade de leite igual a Página 7

18 A) 5 ml. B) 0 ml. C) 5 ml. D) 20 ml. E) 25 ml. SOLUÇÕES Solução ª questão Sala menor : 30 candidatos Re s tan te : candidatos Ocupados : 60 4 SalaMaior : 5 Não ocupadas :60 4 2lugares. Página

19 Página 9 Solução 2ª questão : : : : E C B A Solução 3ª questão h 7, Solução 4ª questão

20 Solução 5ª questão Seja " " o número ( ) ( 2) de deg raus : ( D. P) 50 seg 2 deg raus 40 seg Solução 6ª questão nº bois 32 nº 2 42 dias dias Solução 7ª questão Homens horas / dia 2 27 nº dias 2 27 unidades unidades Página 20

21 Solução ª questão Quantidade tempo MB 40 seg seg 000 MB horas 6min e 40 seg Solução 9ª questão ( 35% de 50%) (2% de 50%) 7,5% 6% 23,5% Solução 0ª questão 75% de leite 0, Porção Solicitada : 25% de café 0, ml de água Porção com água : leite : 75% de Café : 25% de Bebeu ml de leite a menos. Página 2