Desenho geométrico, para que serve isso?

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1 Desenho geométrico, para que serve isso? Jorge Alexandre dos Santos Gaspar Resolução de equações pelo Método Euclidiano: uma aplicação do Desenho Geométrico nas salas de hoje. Manual para professores do ensino fundamental e médio

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3 APRESENTAÇÃO Em um mundo que os softwares constroem representações em um piscar de olhos, por que se resgatar o traçado de figuras geométricas por meio de régua, esquadros, compasso e transferidor? Puro saudosismo ou há alguma razão pedagógica? Responder a tais questões é a proposta deste livreto paradidático, além de resgatar competências e habilidades que se perderam no tempo. Tal como Chervel (1990), cremos que as disciplinas escolares são produtos da escola e variam com as culturas escolares. Como o autor nos prova em sua pesquisa de mestrado (GASPAR, 2014), a disciplina Desenho no Brasil passou por momentos de ascensão e queda. Há cerca de cinco décadas o desenho geométrico só aparece na proposta de alguns poucos colégios da educação básica (bem como na maioria das licenciaturas em Matemática) e, por conseguinte, a quase totalidade de nossos colegas de profissão ou desconhecem a área ou a subestimam, crendo ser algo obsoleto diante dos recursos tecnológicos. Quem assim pensa, é porque crê que o único objetivo do desenho geométrico é o de apenas traçar figuras com relativa precisão. Mas será que Gaspar, ao nos propor o presente material, está preso unicamente a este objetivo ou está nos induzindo a refletir sobre como nos apropriarmos dos recursos da área e Desenho Geométrico em nossa prática docente em Matemática? Saboreiem mais este produto, sedimentado na linha de pesquisa de História da Educação Matemática de um curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática. Lucia Maria Aversa Villela.

4 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO 4 2. TRAÇADO COM INSTRUMENTOS RÉGUA Leitura de medidas de segmentos Construção de segmentos TRANSFERIDOR Leitura de ângulos Construção de ângulos PAR DE ESQUADROS Identificação dos esquadros Construção de retas paralelas e perpendiculares com auxílio do par de esquadros _ COMPASSO Construção de circunferências Construção de ângulos notáveis, linhas paralelas e linhas perpendiculares APLICANDO AS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Divisão de segmentos em partes iguais e proporcionais Resolução de equações de 1 grau Resolução de equações de 2 grau COMENTÁRIOS FINAIS REFERÊNCIAS 55

5 1. INTRODUÇÃO A presente publicação é um anexo à dissertação O Desenho Geométrico como Disciplina Escolar no Rio de Janeiro: Uma História de 1890 a 1964 (GASPAR, 2014), apresentada pelo mesmo autor à coordenação do Mestrado Profissional em Educação Matemática, da Universidade Severino Sombra. Foi desenvolvido a partir de oficinas oferecidas durante a Prática Docente Supervisionada, outro pré-requisito de um curso desta natureza, e foi aplicado a professores da Rede Municipal de Vassouras e a alunos do curso de Mestrado em Educação Matemática da referida instituição, para que verificássemos a sua validade. A partir do levantamento histórico realizado em nossa pesquisa, verificamos que a formação de professores na área de Desenho Geométrico sofreu um grande baque a partir da publicação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação de 1961 (DECRETO 4024, de 20/12/1961), que gerou desdobramentos como a indicação do Conselho Federal de Educação, 5

6 de 24 de abril de 1962, em que a disciplina Desenho passou a ser opcional no então curso médio 1. Em consequência destas alterações legais, vê-se que gerações de profissionais atuantes no ensino de Matemática pouco trabalharam com os conteúdos relativos ao Desenho, excetuando-se os que ao longo de sua formação passaram pelas poucas instituições que optaram pela permanência do Desenho no seu currículo. Além disto, os professores recémformados estão mais ligados às construções feitas com auxílio de softwares, desconhecendo a manipulação dos instrumentos, bem como a importância de tais conhecimentos ligados aos demais campos da Matemática. Sendo assim, esta obra foi pensada a fim de que professores tenham à sua disposição, como sugestão, um novo velho material, que poderá vir a ter importância nas aulas tanto de Álgebra, quanto nas aulas de Geometria, visto que nos dias atuais, a utilização de materiais 1 Art. 34. O ensino médio será ministrado em dois ciclos, o ginasial e o colegial, e abrangerá, entre outros, os cursos secundários, técnicos e de formação de professôres para o ensino primário e pré-primário (LDB 4024 de 1961). 6

7 manipulativos não tem sido mais um pré-requisito para a aplicação de programas e softwares educacionais de Desenho. Esta não-utilização de tais recursos faz com que se tire do aluno a oportunidade de interpretar o que o computador está fazendo à sua frente. As atividades aqui propostas iniciam-se pelo estudo de proporcionalidade como elemento articulador com o trabalho de equações, através das construções básicas de Desenho Geométrico: linhas paralelas e perpendiculares, ângulos. A partir da utilização destas construções, foram desenvolvidas as soluções gráficas para equações de primeiro e segundo grau. Quando é possível construí-las, as representações gráficas servem para mostrar aos alunos que existem soluções para as equações, dando sentido às raízes. As construções são feitas a fim de que o educando consiga visualizar e comparar as medidas encontradas, de tal forma que fiquem claras as possíveis relações que entre elas possam ser geradas ou observadas. 7

8 Para Chervel, as disciplinas escolares nascem, crescem e morrem nas instituições escolares em resposta à interação entre as gerações de educadores e educandos, sendo então o preço que a sociedade deve pagar à sua cultura para poder transmiti-la no contexto da escola ou do colégio (CHERVEL, 1990, p. 222). Assim podemos dizer que o Desenho, mesmo que não apareça de forma explícita, enquanto disciplina escolar na maioria das propostas curriculares, ainda pode se encontrar vivo em apropriações feitas, via encaminhamentos metodológicos, por outras disciplinas, tais como a Matemática, a Física e as Artes Plásticas. Esperamos que esta publicação sirva como ponto de partida a outros trabalhos que também venham a auxiliar a junção do Desenho com os diferentes campos do conhecimento. 8

9 2. TRAÇADO COM INSTRUMENTOS 2.1. RÉGUA. A régua usual 2 é o instrumento utilizado para se traçar linhas retas. Pode ser graduada, ou seja, com a representação das unidades de medida indicadas em uma de seus lados ou não graduada (este tipo de régua era a que Euclides utilizava nas suas construções 3 ). Nos dias atuais, a régua é um instrumento usual para alunos de todos os níveis de ensino e ela está presente nos kits de materiais que são doados por governos, como por exemplo, do Município do Rio de Janeiro e Estadual do Rio de Janeiro, para que sejam utilizadas em sala de aula. 2 Há outros tipos de réguas, possíveis de serem utilizadas em outras concepções geométricas, tais como para medir distâncias em uma superfície esférica. 3 As medidas que eram necessárias eram tomadas por abertura de compasso, o que fazia um problema ser mais genérico. 9

10 Figura 1 Régua graduada, da marca Trident Leitura de medidas de segmentos. A leitura da medida de um segmento ocorre quando alinhamos a régua a este segmento e colocamos o zero da régua sobre uma de suas extremidades. Fazemos a leitura observando em que ponto existe a coincidência da outra extremidade. 10

11 Figura 2 Leitura da medida de um segmento. Mas e aqui vai uma proposta desestabilizadora para o aluno - e se você possuir uma régua quebrada, sem a parte inicial? Será que conseguiria medir um segmento de reta com esse instrumento avariado? A resposta é sim! Basta que utilizemos a Aritmética para isso. Podemos fazer a leitura a partir de um valor graduado conhecido e a leitura do ponto final. A seguir basta realizarmos a subtração da leitura encontrada no ponto final e no ponto inicial. 11

12 Leituras: A = 5, B = 11 Leitura do segmento: ( ) Figura 3 Leitura de medida de um segmento fora da origem da régua Construção de segmentos. A construção de um segmento de reta é feita a partir de um ponto conhecido. Esta situação pode-nos gerar a construção de infinitos segmentos que passam por este ponto 4. Como exemplo, vamos construir um segmento de reta que parte do ponto A e que terá a medida de 5 cm. O procedimento consiste em posicionar a régua, com sua origem no ponto A, traçar uma reta-suporte que terá todos os pontos que estão alinhados ao ponto A e que 4 Se bem trabalhado pelo professor, esta situação pode gerar a definição de circunferência! 12

13 seguem na direção traçada e por fim, medir o tamanho do segmento indicado, conforme nos mostra a sequência de fotos a seguir. Figura 4 construção de segmento de reta 13

14 2.2. TRANSFERIDOR. O transferidor usual é o instrumento utilizado para traçar e medir ângulos. Seu formato é circular, podendo ser de volta inteira, com a possibilidade de leitura direta de ângulos de 1 até 360, ou de meia volta, com possibilidade de leitura de 1 até 180. Este instrumento não é distribuído atualmente nos kits do Município do Rio de Janeiro, mas pode ser disponibilizado pelas escolas, caso requisitado pelo professor. O transferidor é dividido em três partes: o ponto central, que deve ser sempre colocado sobre o vértice do ângulo, a linha de fé, que deve ser alinhada com um dos lados do ângulo e o limbo, que é onde fazemos a leitura e marcação para a construção do ângulo. 14

15 LIMBO PONTO CENTRAL LINHA DE FÉ Figura 5 Transferidores. Se observarmos bem, veremos que as medidas são unitárias, impossibilitando a marcação de décimos de grau. Outro detalhe é que os modelos podem ter a sua graduação no sentido horário 5 (modelo da esquerda) ou nos dois sentidos (modelo da direita). 5 Quando nos referimos à circunferência e encaminhamos à construção dos seus ângulos, na grande maioria das vezes, influenciados pelo círculo trigonométrico, nós professores caminhamos no sentido anti-horário, o que seria um fator que dificultaria a construção pelos nossos alunos. 15

16 Leitura de ângulos. A leitura dos ângulos é feita seguindo uma sequência simples que consiste em: colocar o ponto central sobre o vértice do ângulo alinhar a linha de fé com um dos lados do ângulo. observar em que medida no limbo encontra-se o outro lado do ângulo. Ponto A Vértice. um dos lados do ângulo  (Alinhado com a linha de fé). Leitura ( ) Figura 6 Leitura do ângulo com transferidor. 16

17 Mas existe uma situação que deve ser observada. Caso o outro lado do ângulo não toque o transferidor, devemos prolongá-lo até que isto aconteça Construção de ângulos. A construção de um ângulo é feita alinhando-se o lado com a linha de fé e coincidindo-se o vértice com o ponto central. Fazemos a leitura do valor desejado no limbo, marcando com um ponto esta medida. Por fim, unimos este ponto ao vértice. A abertura entre as duas linhas é o ângulo desejado. Vejamos um exemplo de construção na sequência de fotos a seguir: 17

18 Figura 7 Construção de um ângulo 18

19 2.3.PAR DE ESQUADROS O par de esquadros é composto por duas peças na forma de triângulos retângulos, sendo um isósceles e outro escaleno. São instrumentos utilizados no Desenho Geométrico para os traçados de linhas paralelas e linhas perpendiculares Identificação dos esquadros. Conforme dito acima, os esquadros são triângulos retângulos e eles recebem o nome em função dos ângulos que os formam. Assim, o esquadro de 45 é um triângulo retângulo isósceles enquanto o esquadro de 30 e 60, é um triângulo escaleno. Figura 8 Esquadro de 45 Figura 9 Esquadro de 30 e 60 19

20 Construção de retas paralelas e perpendiculares com auxílio do par de esquadros. As construções de retas paralelas e perpendiculares são realizadas a partir de deslocamentos ou rotações dos esquadros, afim de que se obtenham os elementos construtivos desejados. As linhas paralelas são linhas que mantêm a mesma distância entre si durante toda a sua representação. São obtidas pelo deslocamento de um esquadro, que daremos o nome de esquadro móvel, sobre outro esquadro, que chamaremos de esquadro fixo. O processo consiste em alinhar a hipotenusa do esquadro móvel com a linha da qual queremos construir uma paralela e fixar em um dos catetos a hipotenusa do esquadro fixo, para que se possa obter um maior deslocamento. Assim, qualquer linha traçada pela hipotenusa do esquadro móvel será paralela à linha traçada originalmente. A sequência de fotos da figura 10 mostra como traçamos linhas paralelas. 20

21 Figura 10 Construção de linhas paralelas com os esquadros. 21

22 As linhas perpendiculares são aquelas que formam um ângulo reto entre si. São obtidas a partir da rotação do esquadro móvel em relação ao esquadro fixo. O processo consiste em alinhar o esquadro móvel com a linha que queremos construir a perpendicular e fixar o esquadro fixo com um dos catetos do esquadro móvel. Após estes movimentos iniciais, devemos rotacionar o esquadro móvel de tal forma que os catetos troquem de posição. Com isso, o ângulo formado pelas hipotenusas dos esquadros é um ângulo reto. A sequência de fotos (figura 11) mostra como traçamos linhas perpendiculares. 22

23 Figura 11 Construção de linhas perpendiculares com os esquadros. 23

24 2.4.COMPASSO. O compasso que conhecemos hoje é invenção de Leonardo Da Vinci ( ). É o instrumento que consegue traçar todos os pontos equidistantes de um ponto central. Existem vários tipos de compassos: o escolar, o técnico (que é muito parecido com o escolar, porém com uma melhor fixação das hastes), o balaústre (que tem uma haste parafusada transversal às duas hastes, que permite ajustar a abertura e mantê-la fixa), o de ponta seca (que possui duas pontas secas) o naval (compasso curvo que é utilizado na navegação), o de cintel (compasso fabricado com haste rígida para projetar, riscar e medir distâncias e círculos com medidas maiores). 24

25 Figura 12 Exemplo de compassos Construção de circunferências. Uma circunferência é construída a partir da abertura do compasso com a medida desejada. Para construir a circunferência devemos segurar o compasso pela superior e nunca pelas hastes, pois isso pode causar a abertura das mesmas e, com isso, a circunferência não irá fechar. 25

26 Figura 13 Construção de circunferência Construção de ângulos notáveis, linhas paralelas e linhas perpendiculares. A construção dos ângulos notáveis com o compasso é possível a partir da construção do ângulo de 60. Este é feito, a partir da construção de um triângulo equilátero. Com uma abertura qualquer traçamos um arco que deve tocar o lado traçado. A seguir, com a mesma abertura, mas no vértice oposto, traçamos um arco, até que ele toque o arco traçado anteriormente. A solução será a união deste ponto com o vértice inicial. Veja a sequência de fotos (figura 14) que se refere à construção do ângulo de

27 Figura 14 Construção do ângulo de

28 O ângulo de 30 é obtido pela divisão do ângulo de 60 em duas partes iguais. Essa divisão é feita pela bissetriz. A bissetriz é a semirreta, que tem origem no vértice do ângulo e que o divide em duas partes iguais. Ela pode ser traçada de algumas formas. Aqui, mostraremos uma em que usaremos somente o compasso. O processo consiste em traçar o ângulo de 60 e a seguir, nas extremidades traçamos outros dois arcos com a mesma abertura. Basta agora unir o ponto onde estes dois arcos se encontram e o vértice do ângulo de 60. A sequência de fotos a seguir mostra como esta construção é feita. 28

29 Figura 15 Construção do ângulo de

30 O ângulo de 90 é construído a partir de um ângulo de 60 e outro de 30. O processo consiste em, trabalhando sempre com a mesma abertura, traçar arcos que se encontrem para primeiro traçar dois ângulos de 60 consecutivos, sendo que o segundo será dividido em duas partes iguais, formando assim dois ângulos de 30. O ângulo de 60 adicionado ao de 30 formam, juntos, um ângulos de 90. A sequência de fotos da figura 16 mostra como realizar essa construção. 30

31 Figura 16 Construção do ângulo de

32 O último ângulo notável que iremos mostrar a construção é o de 45. A mesma técnica aplicada para a construção do ângulo de 30 será aplicada nesta situação, visto que o ângulo de 45 é bissetriz do ângulo reto. Logo, o processo consiste em construir um ângulo de 90 pelo processo descrito acima e, na sequência, construir a bissetriz, afastando as hastes do compasso com uma abertura maior que a metade da distância entre as linhas que formam o ângulo reto e traçar um arco a partir do encontro desses arcos com os lados do ângulo, de forma que esses arcos se encontrem. Por fim, basta unir este ponto ao vértice do ângulo reto. A sequência de fotos da figura 17 mostra a construção de um ângulo de

33 Figura 17 Construção do ângulo de

34 A partir destes ângulos base, podemos construir outros, através da combinação deles, como por exemplo, um ângulo de 45 somado com um de 30, resulta no ângulo de 75. As linhas perpendiculares já foram inicialmente trabalhadas quando traçamos o ângulo reto. Porém existem outros processos que serão trabalhados a partir de pontos que estejam na linha ou fora da linha. Para traçar uma perpendicular por um ponto pertencente a uma linha, iremos construir um arco com abertura qualquer e com centro no ponto da reta a partir do qual desejamos traçar a perpendicular. A partir de cada um dos pontos de encontro da linha com o arco traçado, construir arcos com o raio maior que a distância entre este ponto de encontro e o ponto desejado. O ponto de encontro dos novos arcos será unido ao ponto pertencente à linha, formando a perpendicular. A sequência de fotos a seguir (figura 18), mostra como realizar esta construção. 34

35 Figura 18 Construção da perpendicular passando por um ponto. 35

36 Quando o ponto a partir do qual devemos traçar a perpendicular se encontra fora da linha, o procedimento consiste em traçar um arco com abertura maior que a distância entre o ponto e a linha. A partir de cada um dos dois pontos de encontro do arco com a linha, construiremos novos arcos cujo raio seja maior que a metade da distância entre estes dois pontos, até que os dois novos arcos se encontrem. Este novo ponto de encontro dos arcos será unido ao ponto exterior à reta, formando a perpendicular. A sequência de fotos a seguir (figura 19) mostra os passos desta construção. 36

37 Figura 19 Construção da perpendicular passando por um ponto. 37

38 3. APLICANDO AS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Iremos aplicar as construções anteriormente vistas na solução de proporções e de equações de 1º e 2º graus. Este processo de resolução dos problemas geométricos, a partir do Desenho, recebe o nome de método euclidiano, por ter sido sistematizado por Euclides no livro Os Elementos Divisão de segmentos em partes iguais e proporcionais. A divisão de segmentos em partes iguais é uma das aplicações práticas do Teorema de Tales. O processo de divisão de um segmento começa pelo traçado de uma semirreta auxiliar qualquer, traçada a partir de um dos extremos desse segmento inicial. Sobre esta semirreta, com o auxílio do compasso, serão marcados tantos segmentos de mesmo comprimento quantas são as partes que desejamos dividir o segmento inicial. Unimos o último ponto marcado sobre a semirreta com a outra extremidade do segmento que queremos dividir. A 38

39 linha recém traçada é a responsável pela direção das paralelas. Com auxílio do par de esquadros traçamos retas paralelas e dividimos o segmento em partes iguais. A sequência de fotos a seguir (figura 20) mostra como realizamos a divisão de um segmento em cinco partes iguais. 39

40 Figura 20 Divisão de um segmento em cinco partes iguais. 40

41 Quando queremos dividir um segmento em partes com outra razão de proporcionalidade, o processo é bem semelhante ao de divisão em partes iguais, isto é, com razão de semelhança igual a 1. Tal como ocorrera no traçado anterior, a semirreta auxiliar será dividida, com o auxílio do compasso, em quantas partes necessitamos para que haja a proporcionalidade. Une-se o último ponto com a extremidade do segmento que queremos dividir e traçamos as paralelas no ponto que desejamos a proporcionalidade. Assim obteremos o segmento original dividido em partes proporcionais ao coeficiente de proporcionalidade desejado. A sequência de fotos a seguir (figura 21) mostra a divisão de um segmento em partes proporcionais a dois e cinco (2:5). 41

42 Figura 21 Divisão de um segmento em partes proporcionais. 42

43 3.2.Resolução de equações de 1 grau. Chamamos de equação polinomial de 1º grau, ou simplesmente equação de 1º grau, a toda sentença matemática simples e aberta que representa uma igualdade. Por esta definição podemos representar as equações da seguinte forma geral: Esta equação pode ser imaginada a partir de uma proporção. Consideremos. Então podemos reescrever a equação acima da seguinte maneira: se e, então. Esta última igualdade pode ser reescrita como se segue: Esta nova escrita tem a forma de solução para a quarta proporcional. 43

44 Se b for um quadrado perfeito, isto é, considerando, podemos ainda reescrever a equação de outra forma, que ficaria desta forma: se e, então, Esta forma de reescrever a equação é a representação da terceira proporcional. Na construção da solução, primeiro traçamos duas linhas base, uma para os antecedentes e outra para os consequentes. A seguir, marcamos as medidas dos antecedentes em sequência, e do consequente conhecido, cada um na sua respectiva linha suporte. Unimos o antecedente e o consequente da primeira razão, para, a seguir, traçar uma paralela a esta linha que passe pelo antecedente do qual queremos encontrar a quarta proporcional. A solução do problema é o segmento representado na linha suporte dos consequentes entre as paralelas. Como exemplo, na figura 22, vamos resolver graficamente a equação 3x 10 = 0. Reescrevendo o valor de 10 como o produto de 2 por 5, podemos transformar a equação 44

45 inicial 3x 10 = 0 em uma proporção do tipo. A sequência de fotos a seguir mostra como é a solução gráfica desta equação. Figura 22 Solução gráfica da equação 3x 10 = 0. 45

46 Porém nem sempre temos uma equação onde podemos decompor o termo b em um produto de forma direta. Quando isto acontecer, devemos abrir este valor b em uma adição de duas parcelas e aplicar a proporção reiterada (proporção obtida pela adição de proporções). Como exemplo, resolveremos graficamente a equação 3x 35 = 0. Primeiro, separamos o 35 em uma adição (25+10). A seguir, reescrevemos a equação 3x = e, construímos a igualdade 10. A proporção reiterada será escrita da seguinte maneira: e. A solução gráfica final é a soma das duas respostas encontradas. Vejamos a solução desta equação na sequência de fotos a seguir. 46

47 Figura 23 Solução gráfica da equação 3x 35 = 0 (parte 1). 47

48 Figura 24 Solução gráfica da equação 3x 35 = 0 (parte 2). 48

49 Figura 25 Solução gráfica da equação 3x 35 = 0 (solução final) Resolução de equações de 2 grau. As equações do 2º grau, no processo euclidiano são resolvidas utilizando os conceitos dos sistemas de equações. Para isso, é necessário, primeiro, escrever a expressão no formato. Assim, uma equação que, em princípio se apresenta como, deve ter seus elementos divididos por a e, a seguir, determinar um número n tal que. Teremos, então, dois sistemas possíveis: 49

50 { ou {. Quando o sistema é do tipo {, a solução passa pelas seguintes etapas: Primeiro representamos a adição das variáveis x e y (cuja soma representa m). Achamos o ponto médio e, a seguir, traçamos uma paralela com a medida igual a. Construímos uma perpendicular, a partir da intersecção desta paralela e o arco com centro no ponto médio de x + y. A solução da equação encontra-se no diâmetro da semicircunferência traçada. O valor de x é a distância entre uma das extremidades do diâmetro até a intersecção de n com m e o valor de y é o complemento da distância até a outra extremidade da semicircunferência. A sequência de fotos a seguir (figura 26) mostra a resolução da equação Tomemos m = 12 e n² = 9, logo n = 3. 50

51 Figura 26 Solução gráfica da equação x² + 12x + 9 = 0 (solução final). 51

52 Quando o sistema é do tipo {, a solução passa pelas seguintes etapas: Primeiro, construímos o valor de n (sendo ). Construímos uma perpendicular, a partir da extremidade de n, com a metade da medida de m. Traçamos a secante que passa por uma das extremidades de até a outra extremidade de n. Os valores de x e y são encontrados na secante traçada. O valor de x é a distância completa e y é a distância da extremidade de n até a primeira intersecção com a circunferência. A sequência de fotos a seguir mostra a resolução da equação Tomemos m = 12 e n² = 9, logo n = 3. 52

53 Figura 26 Solução gráfica da equação x² + 12x + 9 = 0 (solução final). 53

54 4. COMENTÁRIOS FINAIS As construções geométricas com instrumentos foram muito importantes no passado. Hoje em dia, a solução algébrica e os softwares educacionais são utilizados como substitutos dos instrumentos. Ao propor as construções geométricas como ponto de partida, temos a intenção de mostrar o que está por de trás das construções feitas no computador, de forma rápida e com a precisão matemática que somente as máquinas conseguem. Assim, ao sugerir a solução de equações através do Desenho Geométrico, pretendemos explorar o tema proporcionalidade mais a fundo, visto que as construções baseiam-se explicitamente nas construções de segmentos proporcionais, da quarta proporcional e da terceira proporcional, conteúdos estes que normalmente são trabalhados somente de forma algébrica em nossas escolas. Estas construções podem ser feitas posteriormente com o auxílio de softwares, visto que o intuito das construções geométricas não é de resgatá-las pela sua beleza construtiva, mas sim fazer com que sejam compreendidas na sua totalidade. A partir delas é que 54

55 conseguimos fazer com que as soluções sejam entendidas, que tenham significado tanto para alunos quanto para professores. As aplicações de construções geométricas aqui apresentadas nada mais são do que exemplos do potencial de recursos metodológicos que nós professores podemos ter se enveredarmos por esta seara. 55

56 5. REFERÊNCIAS BRASIL. Diário Oficial da União. Lei 4024, de 20/12/1961 Fixa as Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Publicado em 27/12/1961, seção 1, p Disponível em publicacaooriginal-1-pl.html. Acesso em 20/6/ Diário Oficial da União. Indicação do Conselho Federal de Educação, de 21/2/1962. Publicado em 24/4/1962, seção 1, p Disponível em /pdfView. Acesso em 20/6/2013. CHERVEL, A. História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa. In: Teoria & Educação. Porto Alegre: Pannonica, n 2, 1990, p DEUS COMO ARQUITETO Altura: 1244 pixel. Largura: 1705 pixel. 300 dpi Formato: JPEG. Disponível em < God_the_Geometer.jpg>. Acesso em 28/02/