UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Transcrição

1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Nova Andradina MS

2 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL Ana Patrícia Toledo Picolo Claudemir Foratini de Oliveira Carlos Roberto das Virgens Gisele Maria Gomes Ildo Andrade Aquino José Marcelo Gomes Luciene Maria da Silva Oliveira Michele Fernanda Picolo Marta Roque Branco Sirlene de Souza B. das Virgens Ticyara Halik S. Vicente FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Trabalho acadêmico apresentado no curso de graduação, ª Licenciatura em Informática, como requisito parcial para sua conclusão. Professor Marcio Demetrius Martinêz Nova Andradina MS

3 Introdução Conta à lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 63, o que corresponde a aproximadamente = 9,33.8. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido! A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = x. As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R R tal que y = a x, sendo que a > e a. Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > e < a <. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

4 a > y = x plotfuncd(^x,x=-..) y 4 ^x x y=4 x plotfuncd(4^x,x=-..) y 5 4^x x

5 y= x-3 plotfuncd(^x - 3,x=-..) ^x - 3 y x < a < y =,5 x plotfuncd(/^x,x=-..) y /^x x

6 y=/3 x plotfuncd(/3^x,x=-..) /3^x y x y=/8 x plotfuncd(/8^x,x=-3..3) y 5 /8^x x Função exponencial Para o estudo da função exponencial necessitamos dos conceitos de potenciação em R, por isso faremos uma breve revisão. Se a>, x e y são dois números reais quaisquer, então: I. (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes)

7 II. (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes) III. (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes) IV. (distributiva da potenciação em relação à multiplicação) V. (distributiva da potenciação em relação à divisão) VI. ou, se (inverte-se a base e trocam-se o sinal do expoente,) Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller =,78...) y = e x se, e somente se, x = ln(y) ln(e x ) =x Teorema Para todos os valores de x e x = exp(x) Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x. Teorema Se a e b forem números reais quaisquer, então Teorema Se a e b forem números reais quaisquer, então

8 Teorema Se a e b forem números reais quaisquer, então Definição O número e é definido pela fórmula e=exp O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que: Ln(e) = Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonardo Euler (77-783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. O valor deste número expresso com 4 dígitos decimais é: e, Definição A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: log a b = x a x = b Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: y = a x, com a > Propriedades ) Na função exponencial y = a x, temos:

9 x = => y = a =, ou seja, o par ordenado (,) satisfaz a lei y = a x para todo a (a > e a ). Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo dos y no ponto de ordenada. ) Se a >, então a função f(x) = a x é crescente. Portanto, dados os reais x e x, temos: Se x < x, então a x < a x (Sinais Iguais <) São crescentes, por exemplo, as funções exponenciais f(x) = x, f(x) = 3 x, f(x) = (3/) x, f(x) = (,) x. 3 ) Se < a <, então a função f(x) = a x é decrescente. Portanto, dados os reais x e x, temos: Se x < x, então a x > a x (Sinais Opostos <, >) São decrescentes, por exemplo, as funções exponenciais f(x) = (/) x, f(x) = (/3) x, f(x) = (/3) x, f(x) = (,) x. 4 ) Para todo a > e a, temos : Se a x = a x, então x = x 5 ) Para todo a > e todo x real, temos a x > ; portanto, o gráfico da função y = a x está sempre acima do eixo x. Se a >, então a x aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores. Se < a <, então a x aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada vez maiores. Tudo isso pode ser resumido dizendo-se que o conjunto-imagem da função exponencial y = a x é Im = {y R y > } = R * +. Função exponencial natural A função exponencial natural é a inversa da função logarítmica natural; assim

10 sendo, ela é definida por: exp(x)=y se e somente se x=in y A notação exp(x) deve ser entendida como o valor da função exponencial natural em x. Como a imagem da função logarítmica natural é o conjunto de todos os números reais, o domínio da função exponencial natural é o conjunto de todos os números reais. A imagem da função exponencial natural é o conjunto dos números positivos, pois esse é o domínio da função logarítmica natural. Como as funções logarítmicas e exponenciais naturais são inversas uma da outra In(exp(x))= x e exp(in x)=x Queremos definir agora a x, onde a é um número positivo e x, um número irracional. Para chegar a uma definição razoável, consideremos o caso a r, onde a > e r é um número racional. Colocando a r no lugar de x, na equação x=exp(in x), temos a r = exp[in(a r )] Definição Se a for um número positivo qualquer e x for um número real qualquer, definimos a x = exp(x In a) Teorema Se a for um número positivo qualquer e x um número real qualquer, então, In a x =x In a.

11 Logaritmos Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmicas e suas aparentadas têm uma vasta aplicação na matemática e na ciência. (Howard Anton, ) Definição Algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mas precisamente, se a> e a, então para valores positivos de b o logaritmo na base a de b é denotado por e é definido como sendo aquele expoente ao qual a deve ser elevado para produzir b. Por exemplo: Em símbolos: Nomenclatura Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir a referência explícita para a base e escrever e não. Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel

12 em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são os logaritmos naturais, os quais têm uma base irracional denotada pela letra (logaritmos neperianos) em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos num artigo não-publicado, escrito em 78. Esta constante, cujo valor até seis casas decimais, é Representamos o logaritmo neperiano de com ou. Condições de existência dos logaritmos De acordo com a definição dos logaritmos, temos: Conseqüências da definição I. II. III. IV. V. Propriedades dos logaritmos Sendo < a, b > e c>, temos: Logaritmo de um produto: Logaritmo de um quociente:

13 Logaritmo de uma potência: Caso Particular do logaritmo de uma potência: Cologaritmo: Mudança de base Sendo: Importante Podemos utilizar os logaritmos e suas propriedades na resolução de equações exponenciais quando, as mesmas, apresentarem bases diferentes. Exemplo : Dado, determine o valor de x na equação. Resolução:

14 Portanto, o valor de x é aproximadamente,56. Equações logarítmicas São equações que contém a incógnita no logaritmo ou na base do logaritmo. Para sua resolução, podemos seguir a seguinte sequência: Indicar a condição de existência. Resolver a equação. Fazer a verificação das soluções com a condição de existência. Exemplo : Resolver a equação. Resolução: Condição de existência (C.E.) Em primeiro lugar, devemos impor a condição de existência do logaritmo: Preparação da equação Transformamos os dois membros da equação em logaritmos de mesma base. O número 5 pode ser escrito como logaritmo de base, do seguinte modo: Assim, temos: Resolução da equação Pela conseqüência da definição (IV), temos: Note que satifaz a C.E.. Portanto:

15 Função logarítmica função Dado um número a, < a, denominamos função logarítmica a definida para todo positivo. Em geral as funções logarítmicas têm as seguintes características: Domínio: D = Contradomínio: Conjunto Imagem: O par ordenado (, ) pertence à função. Se a >, a função é crescente; se < a <, a função é decrescente. Observação Podemos notar que o gráfico da função logarítmica é simétrico ao gráfico da função exponencial, em relação à reta de equação y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares ou ainda função identidade). Isso nos leva à conclusão de que a função logarítmica é a função inversa da função exponencial, para domínio e contradomínio convenientemente definidos. Observação A função logarítmica é classificada como função injetora. Exemplo 3: Seja a função dada por, definida para todo positivo:

16 y log(, x) 3 x ) O domínio desta função é D = ; ) O conjunto imagem é Im = ; 3) A função é crescente em, pois, ; 4) A curva que a representa passa pelo ponto (, ) e está à direita do eixo dos y. Exemplo 4: Seja a função dada por, definida para todo positivo: y log(/, x) x Observemos que: ) O domínio desta função é D = ; ) O conjunto imagem é Im = ; 3) A função é decrescente em, pois

17 , ; 4)A curva que a representa passa pelo ponto (, ) e está à direita do eixo dos y. Recursos disponíveis para construção de gráficos de função exponencial: onencial BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard. Cálculo um novo horizonte. 6ª Ed. Porto Alegre. Bookman.. PAIVA, Manoel. Matemática, Volume Único.ª Ed. São Paulo. Ed. Moderna. 5. IEZZI, Gelson [Et. al.]. Matemática. ª Ed. São Paulo. Atual. 99. HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7 ed. Trad. Ronaldo Sergio de Biasi. Rio de Janeiro. LTC.. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3 ed. Vol. São Paulo. Harbra Ltda I. IEZZI, Gelson II. DOLCE, Osvaldo, 938- III. DEGENSZAJN,- IV.PÉRIGO, Roberto. Matemática: volume único: manual do professor. ed. al. São Paulo. Atual, 997. NOÉ, Marcos. Função exponencial. Disponível em << >>. Acesso em de dezembro de. SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. ed. Trad. Alfredo Alves de Faria. São Paulo. Makrom Books Disponível em << Acesso em 6 de dezembro de.