Cuidado! Pois muitas frases não se tratam de proposições, logo, não se pode atribuir a elas, um julgamento de verdadeiro ou falso.

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1 Lógica Proposicional TEORIA E EXERCÍCIOS Professor Carlos Mainardes 1. Proposição Quando numa frase declarativa podemos atribuir um julgamento de verdadeiro ou falso, sendo estas as únicas expressões possíveis, dizemos que tal frase se trata de uma proposição. Exemplo: Carlos é paranaense. A declaração pode ser verdadeira ou falsa, portanto é uma proposição. Outros exemplos de proposição: 1. O alfabeto tem 25 letras. 2. Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais. 3. O coletivo de peixes é manada. 4. Qualquer número par somado com 1 é um número ímpar. Cuidado! Pois muitas frases não se tratam de proposições, logo, não se pode atribuir a elas, um julgamento de verdadeiro ou falso. Exemplos: 1. Vamos ao cinema hoje? Essa é uma frase interrogativa, faz uma pergunta. 2. Volte para casa. Essa frase é imperativa, pois exprime uma ordem. 3. Sensacional esse quadro! Essa frase representa uma expectativa. 4. Sua idade multiplicada por R$5,00 é o seu prêmio. Essa é uma sentença aberta, pois depende da idade de quem a lê. 2. Uso de conectivos Quando agregamos 2 ou mais sentenças numa mesma frase utilizamos conectivos lógicos, e estes, são representados por símbolos como veremos a seguir: 1 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

2 a) Conectivo de Conjunção (e) Sentença 1: Jorge é engenheiro. Sentença 2: Jorge é pai. Jorge é engenheiro e pai. Observe que unimos as 2 sentenças por intermédio de um conectivo e e é um conectivo de conjunção, representado pelo símbolo. Organizando numa tabela temos: Exemplo Sentenças Conectivo (linguagem) Jorge é Jorge é engenheiro e engenheiro (A) e pai Jorge é pai (B) Conectivo (símbolo) Estrutura lógica Conjunção: A B b) Conectivo de Disjunção (ou) Sentença 1: Estudarei literatura. Sentença 2: Ficarei em casa. Estudarei literatura ou ficarei em casa. Observe que unimos as 2 sentenças por intermédio de um conectivo ou ou é um conectivo de disjunção, representado pelo símbolo. Organizando numa tabela temos: Exemplo Sentenças Conectivo (linguagem) Estudarei Estudarei literatura ou literatura (A) ou ficarei em casa. Ficarei em casa (B) Conectivo (símbolo) Estrutura lógica Disjunção: A B c) Conectivo de Disjunção Exclusiva (ou... ou, mas não ambos) Sentença 1: João toca guitarra. Sentença 2: João sai com a namorada. Ou João toca guitarra ou sai com a namorada, mas não ambos. 2 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

3 Observe que unimos as 2 sentenças por intermédio de um conectivo ou... ou ou... ou é um conectivo de disjunção exclusiva, representado pelo símbolo v. Organizando numa tabela temos: Exemplo Sentenças Conectivo (linguagem) Ou João toca João toca guitarra ou sai guitarra (A) Ou... ou com a namorada. João sai com a namorada (B) Conectivo (símbolo) v Estrutura lógica Disjunção exclusiva: A v B d) Conectivo Condicional (se... então) Sentença 1: Roberto veste jeans. Sentença 2: Hoje é sábado. Se Roberto veste jeans então hoje é sábado. Observe que unimos as 2 sentenças por intermédio de um conectivo se... então se... então é um conectivo condicional, representado pelo símbolo. Organizando numa tabela temos: Exemplo Sentenças Conectivo (linguagem) Se Roberto Roberto veste veste jeans jeans (A) Se... então então hoje é sábado. Hoje é sábado (B) Conectivo (símbolo) Estrutura lógica Condicional: A B e) Conectivo Bicondicional (se e somente se) Sentença 1: Me caso com Sabrina. Sentença 2: Morarmos em Florianópolis. Me caso com Sabrina se e somente se morarmos em Florianópolis. Observe que unimos as 2 sentenças por intermédio de um conectivo se e somente se se e somente se é um conectivo bicondicional, representado pelo símbolo. 3 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

4 Organizando numa tabela temos: Exemplo Sentenças Conectivo (linguagem) Me caso com Me caso com Sabrina se e Sabrina (A) Se e somente somente se se morarmos em Morarmos em Florianópolis. Florianópolis (B) Conectivo (símbolo) Estrutura lógica Bicondicional: A B Para facilitar, e sobretudo para que você tenha uma visão completa dos conectivos, apresentamos tudo numa única tabela: Exemplo Sentenças Conectivo (linguagem) Jorge é Jorge é engenheiro e engenheiro (A) e pai Estudarei literatura ou ficarei em casa. Ou João toca guitarra ou sai com a namorada. Se Roberto veste jeans então hoje é sábado. Me caso com Sabrina se e somente se morarmos em Florianópolis. Jorge é pai (B) Estudarei literatura (A) Ficarei em casa (B) João toca guitarra (A) João sai com a namorada (B) Roberto veste jeans (A) Hoje é sábado (B) Me caso com Sabrina (A) Morarmos em Florianópolis (B) ou Ou... ou Se... então Se e somente se Conectivo (símbolo) v Estrutura lógica Conjunção: A B Disjunção: A B Disjunção exclusiva: A v B Condicional: A B Bicondicional: A B 3. Analisando Proposições e Conectivos Quando analisamos proposições, não se esqueça que devemos julgar cada uma como verdadeira ou falsa. A sentença composta, ou seja, com conectivo, será verdadeira ou falsa, conforme o valor das sentenças simples. a) Conjunção A e B Considere como verdade absoluta as seguintes sentenças: 4 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

5 (A) Jorge é engenheiro (VERDADE) (B) Jorge é pai (VERDADE) Seria então falso, afirmar: (A) Jorge é médico (FALSO) (B) Jorge é tio (FALSO) Observe agora a tabela: Analisando: O uso do conectivo e implica que a sentença resultante (A e B) só poderá ser verdadeira se cada sentença simples (A) e (B) também forem verdadeiras. Para a sentença resultante (A e B) ser falsa, basta que uma das sentenças simples seja falsa. b) Disjunção A e B Considere como verdade absoluta as seguintes sentenças: (A) Estudarei literatura. (VERDADE) (B) Ficarei em casa. (VERDADE) Seria então falso, afirmar: (A) Estudarei piano. (FALSO) (B) Irei ao parque. (FALSO) Observe agora a tabela: 5 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

6 Analisando: O uso do conectivo ou implica que a sentença resultante (A e B) só poderá ser falsa se cada sentença simples (A) e (B) também forem falsas. Para a sentença resultante (A e B) ser verdadeira, basta que uma das sentenças simples seja verdadeira. c) Disjunção Exclusiva ou A ou B Considere como verdade absoluta as seguintes sentenças: (A) João toca guitarra. (VERDADE) (B) João sai com a namorada. (VERDADE) Seria então falso, afirmar: (A) João não toca guitarra. (FALSO) (B) João não sai com a namorada. (FALSO) Observe agora a tabela: Analisando: Observe que a disjunção exclusiva ou... ou impõe que apenas um dos eventos poderá ocorrer, logo João tocar guitarra (A) é impossível de ocorrer juntamente com João sair com a namorada (B). Dessa forma vemos que para ser verdade (A ou B) é necessário que João toque guitarra e não saia com a namorada ou que João não toque guitarra e saia com a namorada. Observe ainda que João não tocar guitarra e nem sair com a namorada faz de (A ou B) uma sentença falsa. Observação: os símbolos ou e v são equivalentes. d) Condicional Se A então B Considere como verdade absoluta as seguintes sentenças: (A) Roberto veste jeans. (VERDADE) (B) Hoje é sábado. (VERDADE) Seria então falso, afirmar: 6 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

7 (A) Roberto veste terno. (FALSO) (B) Hoje é segunda. (FALSO) Observe agora a tabela: Analisando: Na condicional se A então B, é importante compreender que B é condição necessária para ocorrer A, enquanto que A, é apenas uma condição suficiente para B. Nesse caso observe que ser sábado deve ser condição necessária para Roberto vestir jeans. Na segunda linha a afirmativa Se Roberto veste jeans então hoje é segunda é falsa, pois sabemos que toda vez que Roberto vestir jeans (VERDADE) deve ser sábado (VERDADE) e não segunda (FALSO). e) Bicondicional A se e somente se B Considere como verdade absoluta as seguintes sentenças: (A) Me caso com Sabrina. (VERDADE) (B) Moro em Florianópolis. (VERDADE) Seria então falso, afirmar: (A) Não me caso com Sabrina. (FALSO) (B) Moro em Curitiba. (FALSO) Observe agora a tabela: Analisando: Nesse caso, B é condição necessária para ocorrer A ao mesmo tempo em que A é condição necessária para ocorrer B. Sendo assim, para me casar com Sabrina teremos de morar em Florianópolis, (A B) é verdade. Se me casar com outra que não seja Sabrina (FALSO) moraremos em Curitiba (FALSO), isso faz de (A B) verdadeiro, pois morar em Florianópolis e não Curitiba era a condição de casar com Sabrina e não outra pessoa. Note ainda que morar em 7 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

8 Curitiba e casar com Sabrina não é possível bem como não casar com Sabrina e morar em Florianópolis. 4. Uso do Modificador Não O modificador não apenas nega a sentença, logo, se uma sentença é verdadeira, o uso do modificador não a torna falsa, e, caso ela seja falsa, o uso do modificador não irá torná-la verdadeira. Sejam as sentenças: (A) José é magro. (VERDADE) (B) Carlos não é gordo (FALSO) Observe a tabela: A ~ A B ~ B V F V F F V F V 5. O uso das Tabelas Verdade A utilização de tabelas verdade tem seu principal propósito na organização das idéias, e conseqüente, a interpretação correta das proposições, mas, no caso de uma prova de concurso, percebe-se que a mesma representa ganho de tempo e mais segurança na análise de fatos propostos. O uso combinado da tabela com o conhecimento teórico sobre proposições, acarretará numa arma muito poderosa nos discernimentos que envolvem principalmente as proposições compostas. Quando se monta uma tabela verdade, o número de linhas que a mesma terá será dado pela expressão 2 n onde n é o número de proposições que há na sentença. Aqui é importante observar, que muitas vezes não teremos propriamente sentenças escritas nos problemas e sim, apenas letras que representam tais sentenças. Exemplo: Seja A uma proposição e B outra proposição, o número de linhas que a tabela deverá ter é 4, pois o número de linhas é dado por 2 n e nesse caso n =2. A B ~B (A ~B) ~(A ~B) V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F 8 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

9 6. Tautologia e Contradição a) Tautologia Temos uma tautologia quando o resultado de uma proposição composta, formada por 2 ou mais proposições for verdadeiro. É importante ressaltar que esse resultado é totalmente independente dos resultados lógicos das preposições que a compõem. Para visualizar um caso de Tautologia, considere a seguinte tabela verdade: A B A B A B (A B) (A B) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V O exemplo mostra que a proposição composta (A B) (A B) em todos os campos é verdadeira, portanto, é uma TAUTOLOGIA. b) Contradição Temos uma contradição quando o resultado de uma proposição composta, formada por 2 ou mais proposições for falso. É importante ressaltar que esse resultado é totalmente independente dos resultados lógicos das preposições que a compõem. Para visualizar um caso de Contradição, considere a seguinte tabela verdade: A B ~B A B A ~B (A B) (A ~B) V V F V F F V F V F V F F V F F F F F F V F F F O exemplo mostra que a proposição composta (A B) (A ~B) em todos os campos é FALSA, portanto, é uma CONTRADIÇÃO. 7. Silogismos: Todo, Algum e Nenhum Os silogismos são construídos por premissas e uma conclusão. Há sempre uma premissa maior e outra menor (ou outras menores). O silogismo é uma espécie de raciocínio dedutivo, em que a conclusão é obtida em função das premissas. Exemplo: Premissa maior: Brasília é a capital do Brasil. Premissa menor: Manoel mora em Brasília. Conclusão: Manoel mora na capital do Brasil. 9 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

10 Os problemas sobre silogismos normalmente apresentam expressões como todos, algum, nenhum, pelo menos um. Uma boa ferramenta que auxilia na solução de muitos problemas de silogismos é o Diagrama de Venn. Vamos a seguir representar algumas proposições categóricas através do Diagrama de Venn: a) Todo A é B Exemplo: Todo nordestino (A) é brasileiro (B). Interpretação: Qualquer pessoa que seja nordestina, necessariamente é brasileira. b) Algum A é B Nesse caso é muito importante saber que se afirmamos que algum A é B, estamos assumindo que pelo menos um elemento de A também pertence ao conjunto B. Exemplo: Há algum cantor (A) que é dançarino (B). Isso é o mesmo que dizer que pelo menos um cantor é dançarino. c) Nenhum A é B Nesse caso os conjuntos A e B não apresentam nenhum elemento em comum. Exemplo: Nenhum jogador de basquete gosta de futebol. 10 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

11 d) Algum A não é B Nesse caso, existem elementos de A que não pertencem a B, ou, existe pelo menos um elemento em A que não pertence a B. Exemplo: Algum palhaço não é engraçado. 8. Negação de todo, nenhum e algum a) Negação de todo Quando você ouve a afirmação: Todo político é rico e quer negá-la, você precisa dizer que pelo menos um político não é rico. Como já vimos acima, dizer pelo menos um é o mesmo que algum, dessa forma a negação para a afirmação acima seria: Algum político não é rico. Esquematicamente tem-se: Afirmação: Todo A é B Negação: Algum A não é B Cuidado! Muitos pensam que poderiam negar a afirmação dizendo: Nenhum político é rico, mas isso é um erro, pois, a negação não deve ser necessariamente que nenhum político é rico e sim, que pelo menos um político não é rico. b) Negação de nenhum 11 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

12 Da mesma forma, você poderia escutar uma afirmação: Nenhum político é honesto, mas, por sua vez, você conhece um político honesto, ou seja, você poderia então negar pelo menos um político é honesto Novamente, lembrando que pelo menos um é o mesmo que algum, a negação para Nenhum político é honesto seria: Algum político é honesto. Esquematicamente tem-se: Afirmação: Nenhum A é B Negação: Algum A é B Cuidado! Aqui também muitos se enganam tentando negar que Nenhum político é honesto dizendo: Todos os políticos são honestos. Para negar que não há um honesto, basta que haja pelo menos um honesto, ou seja, algum. c) Negação de algum Imagine agora a seguinte afirmação: algum aluno é preguiçoso. Se você deseja negar isso, lembre-se que a afirmativa é equivalente a: pelo menos um aluno é preguiçoso então, a negação necessariamente deve ser nenhum aluno é preguiçoso Esquematicamente: Afirmação: Algum A é B Negação: Nenhum A é B Considere ainda a seguinte afirmação: alguma fruta não serve para suco. Note que alguma fruta não serve para suco é o mesmo que pelo menos uma fruta não serve para suco. Se queremos negar essa afirmação, teremos de dizer necessariamente que: todas as frutas servem para suco. Esquematicamente tem-se: Afirmação: Algum A não é B Negação: Todo A é B 12 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

13 Enfim, para facilitar seu estudo, podemos agrupar todos os conceitos num quadro. Afirmação Exemplo de afirmação Negação Exemplo de negação Todo A é B Todo cachorro morde Algum A não é B Algum cachorro não morde ou pelo menos um cachorro não morde Nenhum A é B Nenhum ônibus é confortável Algum A é B Algum ônibus é confortável ou pelo menos um ônibus é confortável Algum A é B Algum político é honesto ou pelo menos um político é honesto Nenhum A é B Nenhum político é honesto Algum A não é B Algum palhaço não é engraçado ou pelo menos um palhaço não é engraçado Todo A é B Todo palhaço é engraçado 13 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

14 50 Questões Comentadas de Concursos 1. CESPE TCE-RO - Auditor de Controle Externo - Direito P Q R S V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Com base na tabela representada acima, referente ao início da construção da tabela-verdade da proposição S composta de P, Q e R, que são proposições lógicas simples, julgue os itens a seguir: Se S = Q (P R), a coluna correspondente à proposição S, depois de preenchida a tabelaverdade, mostrará, de cima para baixo e nesta mesma ordem, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, V, F, V. Primeiramente observe que a tabela contém oito linhas, isso ocorre porque temos n = 3 termos (P, Q e R). Lembre-se que o número de linhas da tabela é determinado por 2 n, portanto, 8. A primeira coisa que deve ser feita é o preenchimento da tabela verdade: Nesse caso, temos: P R: equivale a P ou R. Nesse caso basta para ser verdade que uma delas seja verdade. Somente será falsa se as duas forem falsas. S = Q (P R): equivale a Q se e somente se (P R). Aqui, se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas, o resultado da preposição é verdadeiro. Quando seus sinais lógicos forem opostos será falsa. Conclusão: Após terminar a tabela-verdade, comparamos as ordens lógicas (de cima para baixo), como proposta no enunciado e encontrada na tabela. Vemos que na 2ª e na 6ª linha os valores obtidos são diferentes. 14 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

15 2. CESPE TCE-RO - Auditor de Controle Externo - Direito P Q R S V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Com base na tabela representada acima, referente ao início da construção da tabela-verdade da proposição S composta de P, Q e R, que são proposições lógicas simples, julgue os itens a seguir: Se S = (P Q) (P R), a coluna correspondente à proposição S, na tabela acima, conterá, de cima para baixo e na ordem em que aparecem, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, V, V, V. A primeira coisa que deve ser feita é o preenchimento da tabela verdade: Nesse caso, temos: P Q: equivale a se P então Q. Nesse caso, Q é condição necessária para P, sendo assim a proposição resultante (P Q) só será falsa unicamente quando Q for falsa e P for verdadeira. P R: equivale a se P então R. É o mesmo caso anterior sendo falsa unicamente quando R é falsa e P for verdadeira. S = (P Q) (P R): O conectivo e ( ) somente é verdadeiro no caso em que as duas proposições são verdadeiras. Conclusão: Após terminar a tabela-verdade, comparamos as ordens lógicas (de cima para baixo), como proposta no enunciado e encontrada na tabela. Vemos aqui que são idênticos. 15 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

16 3. CESPE SEGER-ES - Analista Executivo - Direito Um provérbio chinês diz que: P1: Se o seu problema não tem solução, então não é preciso se preocupar com ele, pois nada que você fizer o resolverá. P2: Se o seu problema tem solução, então não é preciso se preocupar com ele, pois ele logo se resolverá. O número de linhas da tabela verdade correspondente à proposição P2 do texto apresentado é igual a: a) 24 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 Analisando a proposição P2, podemos dizer que essa é formada pelos seguintes termos: A: O seu problema tem solução B: Não é preciso se preocupar com ele C: Ele logo se resolverá Como vimos, o número de linhas é dado fazendo-se 2 n, como n equivale a 3, a resposta é 8. Observação: A proposição P1 colocada, apresenta um termo em comum com a proposição P2, que é não é preciso se preocupar com ele ; por ser o mesmo termo nas 2, isso pode induzir o estudante ao erro por achá-lo indiferente e não considerá-lo na contagem de termos. Aqui fica a dica que uma proposição deve ser analisada de forma independente da outra. Letra (b) 4. VUNESP PC-SP - Investigador de Polícia Sobre as tabelas de verdade dos conectivos de disjunção (inclusiva), conjunção e implicação (material), assinale a alternativa correta. a) As conjunções só são falsas quando ambos os conjuntos são falsos. b) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro. c) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos é falso. 16 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

17 d) Só há um caso em que as implicações são verdadeiras. e) As implicações são verdadeiras quando o antecedente é falso. Interpretando o enunciado encontramos os seguintes termos e seus respectivos significados: Disjunção (inclusiva): ou (P Q) Conjunção: e (P Q) Implicação (material): se... então (P Q) Montando a tabela verdade para visualizar cada operação temos: P Q P Q P Q P Q V V V V V V F V F F F V V F V F F F F V Analisando agora cada alternativa: a) As conjunções só são falsas quando ambos os conjuntos são falsos. FALSA, na verdade as conjunções só são verdadeiras quando ambos os conjuntos são verdadeiros. Veja a coluna 4 da esquerda para a direita. b) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro. FALSA, observe que no caso P Q sendo P (antecedente) verdadeiro e Q (consequente) falsa, a proposição é falsa. c) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos é falso. FALSA, observe na coluna central que o único caso em que as disjunções são falsas, é o casos em que ambas P e Q são falsas. d) Só há um caso em que as implicações são verdadeiras. FALSA, observe na última coluna a direita que num único caso a implicação não é verdadeira. Observe que nesse caso Q é condição necessária para P, como Q é falsa a implicação também o é. e) As implicações são verdadeiras quando o antecedente é falso. VERDADEIRA, lembre-se que P (termo antecedente) é apenas a condição suficiente para Q. Nesse caso, P pode ser falso e mesmo assim a implicação ser verdadeira. Comentário do item (e); considere a afirmação a seguir: Se João veio de ônibus então a gasolina está cara. Lembrando que: João vir de ônibus é condição suficiente para a gasolina estar cara. A gasolina estar cara é condição necessária para João vir de ônibus. Consideremos as duas hipóteses: 1) Se João veio de carro (FALSO) então a gasolina está cara (VERDADEIRO). A implicação é verdadeira, pois a gasolina está cara e João não veio de carro. 17 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

18 2) Se João veio de carro (FALSO) então a gasolina está barata (VERDADEIRO). A implicação é verdadeira, pois a gasolina não está barata e João não veio de carro. 5. CESPE SERPRO - Técnico - Segurança do Trabalho Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F). As proposições normalmente são representadas pelas letras maiúsculas A, B, C etc. A partir de duas proposições, pode-se formar novas proposições compostas, empregando-se o conectivo e, indicado por ; o conectivo ou, indicado por,e o condicional se A então B, indicado por. Emprega-se também o modificador não, indicado por ~, para produzir a negação de uma proposição. O julgamento de uma proposição composta depende do julgamento de suas proposições componentes. Considerando todos os possíveis julgamentos V ou F para as proposições A e B, tem-se a seguinte tabela-verdade para algumas proposições compostas. A B A B A B ~ A A B V V V V F V V F F V F F V F V V V F F F F V Duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. A coluna da tabela-verdade da proposição composta (A B) (~ B ~ A) conterá somente valores lógicos V, independentemente dos valores lógicos de A e B. Vamos montar uma tabela que expresse a proposição proposta: Aqui é importantíssimo lembrar que B é condição necessária para A então a única proposição falsa surge para A (VERDADEIRO) e B (FALSO) e ~ A é condição necessária para ~ B, sendo a única proposição falsa em ~ B (VERDADEIRO) e ~ A (FALSO). A comparação das linhas mostra que as duas proposições são equivalentes entre si. 18 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

19 6. CESPE STF - Técnico Judiciário - Tecnologia da Informação Julgue o item, relativo à lógica proposicional. A sentença um ensino dedicado à formação de técnicos negligencia a formação de cientistas constitui uma proposição simples. A sentença se trata de uma proposição simples, pois, para ser composta precisa fazer uso de conectivos e, ou, ou... ou, se... então e se e somente se. 7. CESPE MTE - Auditor Fiscal do Trabalho - Prova 1 Julgue o item relacionado à lógica proposicional. A sentença A presença de um órgão mediador e regulador das relações entre empregados e patrões é necessária em uma sociedade que busca a justiça social é uma proposição simples. A sentença se trata de uma proposição simples, pois, para ser composta precisa fazer uso de conectivos e, ou, ou... ou, se... então e se e somente se. Observação Importante: Não há a presença de conectivos nessa proposição, por mais que exista o e na proposição, ele não está sendo utilizado com o intuito de unir proposições simples e, portanto, não faz desta proposição uma composta. 8. CESPE MTE - Auditor Fiscal do Trabalho - Prova 1 Julgue o item relacionado à lógica proposicional. A sentença Quem é o maior defensor de um Estado não intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda? é uma proposição composta que pode ser corretamente representada na forma (P Q) R, em que P, Q e R são proposições simples convenientemente escolhidas. Observe primeiramente que essa frase é interrogativa, sendo assim é impossível atribuir a ela um valor lógico VERDADEIRO ou FALSO, portanto, jamais ela poderá ser uma proposição, e, muito menos uma proposição composta como afirma o enunciado. 19 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

20 9. CESPE TCE-RO - Contador Com referência à proposição lógica simples P, Q e R, julgue o item. A proposição (P Q)(Q P) é uma Tautologia. Observe que nessa questão não há um conectivo entre os termos (P Q) e (Q P), portanto analisaremos todos os casos possíveis: e, ou, ou... ou, se... então e se somente se através de uma tabela-verdade. Primeiramente montamos a tabela para as proposições (P Q) e (Q P). P Q P Q Q P V V V V V F F F F V V F F F V V Agora vamos analisar cada caso: (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) V V F V V F F F V V F V V F F F V F V V Para ser Tautologia, a tabela da proposição composta deve ter todos os valores lógicos verdadeiros. Note que em nenhum dos casos analisados tivemos essa configuração. 20 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

21 10. CESPE DEPEN - Agente Penitenciário - Conhecimentos Básicos Considerando que, P, Q e R sejam proposições conhecidas, julgue o próximo item. A proposição [(P Q) R] R é uma tautologia, ou seja, ela é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de P, Q e R. Para solucionar a questão é necessária a montagem de uma tabela-verdade. P Q R P Q (P Q) R [(P Q) R] R V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V V F V V F V V F V F F V V F F V F V V F F F F V V Observe que para ser uma Tautologia, a última coluna teria de apresentar todos os valores lógicos verdadeiros. 11. VUNESP PC-SP - Escrivão de Polícia Civil Um enunciado é uma tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que contém um enunciado que é uma tautologia. a) Está chovendo e não está chovendo. b) Está chovendo. c) Se está chovendo, então não está chovendo. d) Está chovendo ou não está chovendo. e) Não está chovendo. Considerando que: (A) Está chovendo 21 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

22 a) A proposição: Está chovendo e não está chovendo, é do tipo A ~ A A ~ A A ~ A V F F F V F Os valores lógicos de A ~ A são falsos, não é uma Tautologia. b) A afirmação Está chovendo pode receber 2 valores lógicos V ou F logo também não é uma Tautologia. c) A proposição: Se está chovendo, então não está chovendo, é do tipo A ~ A A ~ A A ~ A V F F F V V Observe que A ~ A pode ser tanto V ou F, logo não é uma Tautologia. d) A proposição: Está chovendo ou não está chovendo, é do tipo A ~ A A ~ A A ~ A V F V F V V É uma Tautologia, pois os 2 valores lógicos são verdadeiros. Lembre-se que o conectivo ou só é falso quando as duas proposições são falsas. e) A afirmação Não está chovendo pode receber 2 valores lógicos V ou F logo também não é uma Tautologia. Letra (d) 12. VUNESP PC-SP - Escrivão de Polícia Civil Enunciados contraditórios são enunciados que não podem nem ser ambos verdadeiros e nem ambos falsos. Nessas condições, assinale a alternativa que apresenta corretamente o enunciado que é o contraditório de Todo homem é loiro. a) Nenhum homem é loiro. b) Algum homem não é loiro. c) Nenhum loiro é homem. d) Algum loiro é homem. e) Algum homem é loiro. 22 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

23 Dizer que Todo homem é loiro significa dizer que não há um único homem que tenha outra cor de cabelo. Contradizer essa afirmação significa dizer que há pelo menos um homem que não é loiro. Sabendo que pelo menos um = algum então a contradição é Algum homem não é loiro. Em outras palavras: Quando se afirma que Todo A é B, sua negação será Algum A não é B. A alternativa correta então é a letra (b). Letra (b) 13. VUNESP PC-SP - Investigador de Polícia Considerando que A e B representam enunciados verdadeiros e M e N representam enunciados falsos, assinale a alternativa que corresponde ao valor de verdade da seguinte forma sentencial: (A ~ M) (~ B N) a) O mesmo valor de A B. b) O valor de verdade não pode ser determinado. c) Verdadeiro. d) Falso. e) O mesmo valor de ~ M ~ N Com base no texto, que já fornece os valores lógicos de A, B, M e N, a tabela-verdade fica assim representada: A ~ B ~ M N (A ~ M) (~ B N) (A ~ M) (~ B N) V F V F V F F a) O valor de A B, como ambos são V é V. Sendo que o valor lógico da forma proposta no enunciado é F, logo a alternativa está FALSA. b) O valor de verdade não pode ser determinado. O valor foi determinado (tabela acima) e é falso. A alternativa é FALSA. c) Verdadeiro. O valor foi determinado (tabela acima) e é falso. A alternativa é FALSA. d) Falso. Conforme o resultado obtido na tabela. Essa é a alternativa CORRETA. e) O valor de ~M ~ N, como ambos são V é V. Sendo que o valor lógico da forma proposta no enunciado é F, logo a alternativa está FALSA. Letra (d) 23 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

24 14. VUNESP PC-SP - Investigador de Polícia Assinale qual das formas sentenciais seguintes é equivalente à forma: ~ P Q a) P Q b) (P ~ Q) Q c) (P Q) P d) ~ ~ P ~ Q e) P ~ Q Através da tabela verdade temos: P ~ P Q ~ P Q V F V V V F F F F V V V F V F V Analisando cada alternativa e comparando os resultados: a) P Q P Q P Q V V V V F F F V V F F V b) (P ~ Q) Q P Q ~ Q (P ~ Q) (P ~ Q) Q V V F V V V F V V F F V F F V F F V V F c) (P Q) P P Q (P Q) (P Q) P V V V V V F F V F V F V F F F V 24 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

25 d) ~ ~ P ~ Q Observe aqui que ~ ~ P é P. Logo a proposição composta fica: P ~ Q P Q ~ Q (P ~ Q) V V F V V F V V F V F V F F V V e) P ~ Q P Q ~ Q (P ~ Q) V V F F V F V V F V F F F F V F A comparação mostra que a proposição da letra (a) é equivalente a proposição do enunciado. Nesse caso é interessante observar que (~ P Q) e (P Q) são equivalências condicionais. Existem algumas outras que se possível devem ser memorizadas, pois, podem representam ganho de tempo na solução de problemas. Letra (a) 15. FUNDATEC PROCERGS - Técnico de Nível Médio Dadas as proposições: P: Ana é saudável. Q: Paulo está gripado. Uma forma de se representar a proposição ~(P ~ Q) em linguagem corrente é: a) Ana não é saudável e Paulo não está gripado. b) Não é verdade que Ana não é saudável e Paulo não está gripado. c) Ana não é saudável ou Paulo não está gripado. d) Se Ana é saudável, então Paulo está gripado. e) Se Ana não é saudável, então Paulo não está gripado. Primeiramente observamos que ~(P ~ Q) é o mesmo que ~ P Q. A negação (~) na frente dos parênteses transforma P em ~ P, em e ~ Q em Q. 25 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

26 Agora, consideremos as seguintes hipóteses: P: Ana é saudável. [V] Q: Paulo está gripado. [V] A partir da proposição obtida acima, [~ P Q], vemos que a mesma só pode ser falsa se ocorrer que ~ P seja falsa e Q também seja falsa, logo a única hipótese para essa proposição ser falsa seria o caso de: Ana é saudável ou Paulo não está gripado. Sabendo que na condicional (P Q), o único modo desta ser falsa, é o caso em que Paulo está gripado seja uma afirmação falsa, então seria verdadeiro dizer: Se Ana é saudável, então Paulo está gripado [V, V] Se Ana não é saudável, então Paulo está gripado [F, V] Se Ana não é saudável, então Paulo não está gripado [F, F] Considerando que [~ P Q] indica que Ana não é saudável ou Paulo está gripado [F, V], vemos concordância com a proposição Se Ana não é saudável, então Paulo está gripado [F, V]. Letra (d) 16. AOCP TCE-PA - Assessor Técnico de Informática - Analista de Suporte Três funcionários do Tribunal de Contas do Estado foram investigados pelo chefe imediato do setor em que atuam acerca de uma consulta ilícita a um relatório sob sigilo. O depoimento de cada um foi: Ary: Bruno não consultou o relatório e Clóvis consultou Bruno: Se Ary não consultou o relatório, Clóvis também não consultou Clóvis: Eu consultei o relatório, mas pelo menos um dos outros dois não consultou Considere as proposições: P: Ary consultou o relatório Q: Bruno consultou o relatório R: Clóvis consultou o relatório Assinale a alternativa que apresenta uma possível linguagem simbólica para o depoimento de Clóvis. a) R ~(P Q) b) R ~(P Q) c) R [(~P) Q] d) R [P (~ Q)] e) R [(~P) Q] 26 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

27 Se Clóvis disse Eu consultei o relatório, mas pelo menos um dos outros dois não consultou, podemos considerar o seguinte: 1. O conectivo depois de Eu consultei o relatório só pode ser e, observe em todas as alternativas. 2. Quando Clóvis diz... mas pelo menos um dos outros dois não consultou ele está afirmando que com certeza um dos outros não consultou, ou, até mesmo os dois não consultaram, reforçado pela expressão pelo menos um que pode ser entendida como no mínimo um. Dessa forma podemos dizer não P ou não Q representada por: (~ P ~ Q), que, se ajustada às alternativas teremos, R ~(P Q), como visto na alternativa (b). Letra (b) 17. CESPE MPE-PI - Cargos de Nível Médio - Conhecimentos básicos A fim de minimizar o risco de desvios de recursos públicos por meio da segregação de funções, uma repartição estabeleceu as seguintes regras para os processos de aquisição de bens/serviços: R1: Se o servidor participa da elaboração das especificações técnicas, não participa do julgamento das propostas. R2: Se o servidor participa do julgamento das propostas, não atesta o recebimento dos bens/serviços. R3: Se o servidor atesta o recebimento dos bens/serviços, não ordena seu pagamento. Com base nessas informações, julgue o item. Se P e Q representam, respectivamente, as proposições O servidor participa da elaboração das especificações técnicas e O servidor participa do julgamento das propostas, então a regra R1 pode ser representada por P (~ Q) Considerando: P: O servidor participa da elaboração das especificações técnicas [V] Q: O servidor participa do julgamento das propostas [V] Se montarmos a sentença: P (~ Q), teremos: Se o servidor participa da elaboração das especificações técnicas, então não participa do julgamento das propostas 27 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

28 Veja que ficou de acordo com a proposição em R CESPE SERPRO - Analista - Programação Visual A proposição Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras pode ser, simbolicamente, escrita como A B, em que A é a proposição Não precisa mais capturar o código de barras e B é a proposição Não precisa mais digitar o código de barras. O próprio enunciado é auto-explicativo, as frases estão conectadas por e. Tome cuidado somente porque aqui, considera-se que: A: Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras [V] B: Não precisa mais digitar o código de barras [V] Logo: A B implica em VERDADEIRO 19. CESPE SERPRO - Analista - Programação Visual Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser verdadeira. Observe que a afirmação Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta é uma condicional do tipo se A então B. Nessa condicional, A é apenas condição suficiente para que B ocorra, mas B é condição necessária para que A ocorra. Existem as seguintes possibilidades para tal proposição ser VERDADEIRA: 1. Pedro ser aprovado no concurso e comprar a bicicleta. 2. Pedro não aprovar no concurso e ainda sim comprar a bicicleta. 3. Pedro não passa no concurso e não compra a bicicleta. A única possibilidade FALSA é: 28 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

29 4. Pedro passar no concurso e não comprar a bicicleta. Portanto, existem 3 possibilidades de VERDADE e não apenas uma. 20. CESPE SERPRO - Analista - Programação Visual Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso, é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser julgada como V. Observe que a afirmação O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso é uma bicondicional A se e somente se B. Nessa bicondicional, A é condição suficiente e necessária para que B ocorra, mas B é condição suficiente e necessária para que A ocorra. Existem as seguintes possibilidades para tal proposição ser VERDADEIRA: 1. O Serpro processa as folhas de pagamento, seus servidores estão treinados para isso. 2. O Serpro não processa as folhas de pagamento, seus servidores não estão treinados para isso. Existem as seguintes possibilidades para tal proposição ser FALSA: 3. O Serpro não processa as folhas de pagamento, seus servidores estão treinados para isso. 4. O Serpro processa as folhas de pagamento, seus servidores não estão treinados para isso. Portanto, existem 2 possibilidades de VERDADE e não apenas uma. 21. FCC TRF - 3ª REGIÃO - Técnico Judiciário - Área Administrativa Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. b) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. c) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. d) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. e) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. 29 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

30 a) "nenhum livro é instrutivo". FALSA, pois todo livro é instrutivo já foi tomado como proposição verdadeira. b) "algum livro não é instrutivo". FALSA, pois essa é uma proposição falsa e não como mencionada, verdadeira ou falsa. c) "algum livro é instrutivo". FALSA, é o mesmo caso do item anterior, essa proposição é falsa, mas o item menciona como verdadeira ou falsa. d) "algum livro é instrutivo", é uma proposição necessariamente verdadeira. VERDADEIRA. e) "algum livro é não instrutivo", FALSA. É a negação de "todo livro é instrutivo" que foi tomada como verdade. Comentário 1. Negar a expressão todo é dizer que há pelo menos um que não é ou algum não é, logo, nenhum não é a contradição de todo. Comentário 2. Se todo livro é instrutivo é uma verdade, dizer que algum livro é instrutivo não se trata de negar, então, é uma afirmação necessariamente verdadeira. Letra (d) 22. CESPE TRT - 17ª Região (ES) - Técnico Judiciário - Área Administrativa Considerando a proposição P: Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei, julgue o item seguinte, acerca da lógica sentencial. A proposição P é equivalente a Se há jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz. Numa condicional A B uma equivalência possível é (~ B ~ A). Logo dizer que Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei é o mesmo que dizer Se há jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz 23. CESPE TRT - 17ª Região (ES) - Técnico Judiciário - Área Administrativa Considerando a proposição P: Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei, julgue os itens seguintes, acerca da lógica sentencial. 30 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

31 A proposição P é equivalente a Nesse jogo há juiz ou não há jogada fora da lei. Numa condicional A B outra equivalência possível é (~ A B). Logo dizer que Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei é o mesmo que dizer Há nesse jogo juiz, ou não há jogada fora da lei Portanto, CORRETA. 24. CESPE MPU - Técnico - Tecnologia da Informação e Comunicação Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue o item seguinte. A negação da colocação do jornalista é equivalente a Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar. A disjunção exclusiva ou... ou é verdade quando um termo é falso e outro verdadeiro, logo, seria VERDADE se ocorresse: 1. Cai o ministro da fazenda [V] e o dólar não cai [F] 2. Não cai o ministro da fazenda [F] e o dólar cai [V] A negação para a conjunção exclusiva é do tipo se e somente se logo temos como correto: Cai o ministro da fazenda se, e somente se, cai o dólar 25. CESPE MPU - Técnico - Tecnologia da Informação e Comunicação Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue os itens seguintes. A proposição do jornalista é equivalente a Se não cai o ministro da Fazenda, então cai o dólar. 31 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

32 Inicialmente consideramos: A: Cai o ministro da fazenda B: Cai o dólar Montando a tabela-verdade, podemos verificar se as proposições são equivalentes. A comparação das duas últimas colunas mostra que não equivalência entre as proposições. 26. CESPE TCE-RS - Oficial de Controle Externo Um delegado, ao interrogar os servidores A, B, C, D e E em que A e D são homens e B, C e E são mulheres, suspeitos de fraudar um processo licitatório, ouviu as seguintes declarações: o culpado é E ou D, disse B; o culpado é um homem, disse E; se B é culpada, então C é inocente, disse D. Com base nessa situação hipotética e sabendo que somente um dos servidores participou da fraude, julgue o item seguinte. A afirmação de D é equivalente a B ou C é inocente. A negação de ser culpado é ser inocente, assim se B é culpada for [V], B é inocente é [F]. Através de tabela-verdade, temos: B C ~ B (B C) (~ B ou C) V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Observe que as 2 últimas colunas tem os mesmos valores lógicos, logo a equivalência existe. 32 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

33 Observação: Vale lembrar que essa é uma equivalência importante (A B) (~ A B). Importante: O símbolo utilizado ( ) significa equivalência e não bicondicional representada por ( ). 27. CESPE TCE-RS - Oficial de Controle Externo Um delegado, ao interrogar os servidores A, B, C, D e E em que A e D são homens e B, C e E são mulheres, suspeitos de fraudar um processo licitatório, ouviu as seguintes declarações: o culpado é E ou D, disse B; o culpado é um homem, disse E; se B é culpada, então C é inocente, disse D. Com base nessa situação hipotética e sabendo que somente um dos servidores participou da fraude, julgue o item seguinte. A negação da afirmação de B pode ser corretamente expressa por Nem E nem D são culpados. A proposição do tipo (X Y) só admite uma hipótese falsa. Sendo: X: O culpado é E, VERDADE Y: O culpado é D, VERDADE A proposição falsa só pode ser: ~ X: E não é culpado, FALSO ~ Y: D não é culpado, FALSO Logo a única negação possível para (X Y) é (~ X ~ Y), ou seja, E não é culpado e D não é culpado Substituindo não é por nem teremos enfim: nem E é culpado e nem D é culpado ou nem E nem D são culpados Logo, está correto o que se diz. 33 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

34 28. CESPE TCE-RS - Oficial de Controle Externo Com base na proposição P: Quando o cliente vai ao banco solicitar um empréstimo, ou ele aceita as regras ditadas pelo banco, ou ele não obtém o dinheiro, julgue o item que se segue. A negação da proposição Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não obtém o dinheiro é logicamente equivalente a O cliente aceita as regras ditadas pelo banco se, e somente se, o cliente não obtém o dinheiro. As proposições do tipo ou... ou são falsas quando as proposições simples que formam a proposição composta são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Considere: A: o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, VERDADE B: o cliente não obtém o dinheiro, VERDADE Sendo assim, é FALSO acontecer: O cliente aceita as regras ditadas pelo banco e não obtém o dinheiro O cliente não aceita as regras ditadas pelo banco e obtém o dinheiro Dessa forma vemos que para negar a afirmação Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não obtém o dinheiro, com base nas negativas acima, é necessário que a proposição seja: O cliente aceita as regras ditadas pelo banco se e somente se não obtém o dinheiro Observe que o uso da proposição se e somente se colocada acima é igual à negação proposta no enunciado. A afirmação, portanto, está CORRETA. 29. IBFC EBSERH - Advogado Sejam as proposições: P: Maria é estagiária Q: Marcos é estudante A negação da frase Maria é estagiária ou Marcos é estudante é equivalente a: a) Maria não é estagiária ou Marcos não é estudante. b) Se Maria não é estagiária, então Marcos não é estudante. 34 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

35 c) Maria não é estagiária, se e somente se, Marcos não é estudante. d) Maria não é estagiária e Marcos não é estudante. O uso do conectivo ou só admite uma alternativa falsa, exatamente quando as preposições simples são falsas. Considerando: P: Maria é estagiária, VERDADE Q: Marcos é estudante, VERDADE É certamente falso: Maria não ser estagiária e Marcos não ser estudante. Desse modo, vemos que a negação da frase Maria é estagiária ou Marcos é estudante fica então, Maria não é estagiária e Marcos não é estudante. Letra (d) 30. CESPE TCE-RO - Contador Com referência às proposições lógicas simples P, Q e R, julgue o item. Se ~R representa a negação de R, então as proposições, P [~(Q R)] e (P Q) [P (~ R)] são equivalentes. Primeiramente veja que: (P Q) [P (~ R)] é uma distributiva, podendo ser passada para: [P (Q ~ R)]. Desenvolver a tabela-verdade nesse tipo de questão pode levar muito tempo, então usaremos outra estratégia: Considere: P: [V], Q: [V], R: [V] e ~R: [F] e vamos substituir na expressão, P [~(Q R)] e [P (Q ~ R)] ficando com: V [~(V V)] [V (V F)] Resolvendo as proposições (aqui você precisara lembrar dos resultados lógicos das operações): 35 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

36 V [~(V)] [V F] V F V V V Atenção: representa equivalência. Observe que o resultado V V indica que a equivalência existe. 31. BIO-RIO ELETROBRÁS - Profissional de Nível Superior Eng. Elétrica Se não é verdade que Amanhã Maria vai à praia e ao teatro então amanhã: a) Maria não vai à praia nem ao teatro b) Maria vai à praia ou ao teatro c) Maria não vai à praia ou vai ao teatro d) Maria vai à praia ou não vai ao teatro e) Maria não vai à praia ou não vai ao teatro Considerando: A: Maria vai à praia B: Maria vai ao teatro Veja que (A B) representa Maria vai à praia e ao teatro, não ser verdade que Maria vai à praia e ao teatro seria: ~(A B). Então, para não ser verdade, basta uma das 2 proposições não ocorrer ou até mesmo as duas. Sendo assim, temos como equivalente a proposição, ~(A B), a proposição (~ A ~ B) que significa Maria não vai à praia ou não vai ao teatro. Letra (e) 32. CESPE DEPEN - Agente Penitenciário - Conhecimentos Básicos Em determinado estabelecimento penitenciário, todos os detentos considerados perigosos são revistados diariamente, e todos os detentos que cometeram crimes utilizando armas são considerados perigosos. Com base na informação, julgue o item: 36 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

37 A negação da proposição Todos os detentos considerados perigosos são revistados diariamente é equivalente à proposição Nenhum detento perigoso é revistado diariamente. Negar que todos são, é dizer que pelo menos um não é ou algum não é, sendo assim negar afirmando que Nenhum detento perigoso é revistado diariamente está errado. 33. CESPE MPOG - Todos os Cargos - Conhecimentos Básicos P: Todo número natural primo é ímpar. Q: Existe um triângulo eqüilátero que não é isósceles. Considerando as proposições apresentadas acima, julgue o item. A negação da proposição P Q pode ser escrita da seguinte forma: Existe um número natural primo que é par, ou todo triângulo equilátero é isósceles. Primeiramente, a negação da proposição (P Q) é (~P ~Q). Na proposição todo número natural primo é ímpar, a negação seria Algum número natural primo não é ímpar Na proposição Existe um triângulo eqüilátero que não é isósceles a negação seria Todo triângulo eqüilátero é isósceles. Juntando os elementos temos: Algum número natural primo é par, ou todo triângulo equilátero é isósceles Observe que está questão combina lógica das proposições com silogismos. 37 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

38 34. FUNCAB SUDECO - Agente Administrativo A negação de Arthur ou Paulo são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília é: a) Arthur e Paulo não são agentes administrativos e Mauro mora em Brasília. b) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro mora em Brasília. c) Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. d) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos e Mauro não mora em Brasília. e) Arthur ou Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. Considere: A: Arthur é agente administrativo B: Paulo é agente administrativo C: Mauro mora em Brasília A afirmação acima tem a forma: (A B) C. A negação de (A B) só ocorre na caso no caso em que as proposições simples A e B sejam falsas: Arthur não é agente administrativo e Paulo não é agente administrativo. Fazendo R = (A B) temos: (R C) cuja negação ocorre simplesmente sendo R ou C falsos. Logo, a negação então, tem a forma: Arthur e Paulo não são agentes administrativos ou Mauro não mora em Brasília. Letra (c) 35. FUNCAB SUDECO - Agente Administrativo Considere a afirmação: Existem agentes administrativos da SUDECO que não são concursados. Se essa afirmação é falsa, então é verdade que: a) Nenhum concursado é agente administrativo da SUDECO. b) Nenhum agente administrativo da SUDECO é concursado. c) Nem todos os agentes administrativos da SUDECO são concursados. d) Todo agente administrativo da SUDECO é concursado. e) Todos os concursados são agentes administrativos da SUDECO. A frase equivale dizer que: Pelo menos um agente administrativo da SUDECO não é concursado. 38 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

39 Negar que pelo menos um não é é dizer que todos são; logo, a negação fica necessariamente: Todo agente administrativo da SUDECO é concursado. Letra (d) 36. FUNCAB SUDECO - Agente Administrativo A negação da afirmação condicional Se estiver fazendo sol no feriado, eu vou ao clube é: a) Está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube. b) Se não estiver fazendo sol no feriado, eu vou ao clube. c) Se estiver fazendo sol no feriado, eu não vou ao clube. d) Não está fazendo sol no feriado e eu vou ao clube. e) Não está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube Observe que fazer sol no feriado é condição suficiente para ir ao clube, mas, ir ao clube é condição necessária para estar fazendo sol no feriado. Dessa forma, a negação da condicional está em não ir ao clube mesmo que faça sol no feriado. Escrevendo temos: Está fazendo sol no feriado e eu não vou ao clube Letra (a) 37. FGV TJ-AM - Analista Judiciário - Enfermagem José afirmou: Todos os jogadores de futebol que não são ricos jogam no Brasil ou jogam mal." Assinale a alternativa que indica a sentença que representa a negação do que José afirmou. a) Nenhum jogador de futebol que não é rico joga no Brasil ou joga mal. b) Todos os jogadores de futebol que não são ricos não jogam no Brasil e não jogam mal. c) Algum jogador de futebol que não é rico não joga no Brasil e não joga mal. d) Algum jogador de futebol é rico, mas joga no Brasil ou joga mal. e) Nenhum jogador de futebol que é rico joga no Brasil ou joga mal. Considere: 39 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

40 A: Todos os jogadores de futebol que não são ricos jogam no Brasil B: Todos os jogadores de futebol que não são ricos jogam mal A afirmação de José tem a forma: (A B) é sua negação é da forma: (~A ~B). Precisamos ainda negar a expressão todo, que nesse caso é só dizer que pelo menos um não é ou algum não é. Finalmente, a negação à afirmação de José pode ser escrita: Algum jogador de futebol que não é rico não joga no Brasil e não joga mal. Letra (c) 38. VUNESP CTA - Analista em C&T Júnior - Administração Se sou responsável, então sou um bom profissional. Uma afirmação equivalente à afirmação acima está contida no item: a) Se sou um bom profissional, então sou responsável. b) Sou um bom profissional se e somente se sou responsável. c) Se não sou responsável, então não sou um bom profissional. d) Não sou responsável se e somente se não sou um bom profissional. e) Se não sou um bom profissional, então não sou responsável. A afirmação corresponde a uma condicional e, dentre as alternativas possíveis, só temos condicionais (na verdade 2 delas bicondicionais). Negando a condição necessária: Não sou um bom profissional no que isso implica? Implica em não ser responsável também, logo, a equivalência está em: Se não sou bom profissional, então não sou responsável Letra (e) 39. VUNESP CTA - Analista em C&T Júnior - Administração Uma negação lógica para a proposição A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul, pode ser dada por: a) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul. b) a Terra é redonda e o céu não é azul. c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul. d) a Terra não é redonda ou o céu não é azul. e) O céu não é azul e a Terra não é redonda. 40 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

41 O termo se e somente se é uma bicondicional, ou seja, só pode ser verdade se as duas proposições simples forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Nesse caso, note que a negação reside entre ou uma ou outra necessariamente ser falsa. Podemos então escrever a negação como: Ou Terra é redonda ou o céu não é azul Uma tradução dessa frase seria: A terra é redonda e o céu é azul ou a Terra não é redonda e o céu não é azul Observe que a letra diz exatamente isso, mas não necessariamente nessa ordem. Letra (c) 40. FCC Caixa - Engenheiro Civil Admitindo que todo racional é pensador, e nenhum romântico é racional, então, se há ao menos um racional, é correto afirmar que, necessariamente que: a) nenhum pensador é romântico. b) todo pensador é romântico. c) algum pensador é romântico. d) algum pensador não é romântico. e) algum romântico não é pensador. Vamos utilizar o Diagrama de Venn para visualizar a resposta: Todo racional é pensador 41 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

42 Nenhum romântico é racional... se há ao menos um racional é o mesmo que algum racional a) Nenhum pensador é romântico, FALSO. Observe que dentre os pensadores, podemos ter algum que não é racional e dessa forma algum ser romântico. b) todo pensador é romântico, FALSO. Nesse caso, algum pensador é racional, mas nenhum racional é romântico, logo, não há possibilidade de todos os pensadores serem românticos. c) algum pensador é romântico, FALSO. Há uma possibilidade de algum racional ser o mesmo que pensador, e, dessa forma, nenhum pensador poderá ser romântico. d) algum pensador não é romântico, VERDADEIRO. Veja o item anterior, algum racional certamente será pensador e, dessa forma não será romântico. e) algum romântico não é pensador, FALSO. Como dito antes, se algum racional for o mesmo que pensador; nenhum romântico poderá ser pensador, contradizendo a frase, que apenas algum romântico não é pensador. Letra (d) 41. CESPE TRT - 10ª REGIÃO (DF e TO) Técnico Judiciário Ao noticiar que o presidente do país X teria vetado um projeto de lei, um jornalista fez a seguinte afirmação. Se o presidente X não tivesse vetado o projeto, o motorista que foi pego dirigindo o veículo de categoria diferente daquela para a qual estava habilitado teria cometido infração gravíssima, punida com multa e apreensão do veículo, mas continuaria com a sua habilitação. Em face dessa afirmação, que deve ser considerada como proposição A, considere, ainda, as proposições P, Q e R, a seguir. P: O presidente não vetou o projeto. Q: O motorista que foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para qual é habilitado cometeu infração gravíssima, punida com multa e apreensão do veículo. R: O motorista que foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para qual é habilitado continuou com sua habilitação. 42 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

43 Limitando-se aos aspectos lógicos inerentes às proposições acima apresentadas, julgue os itens seguintes. A proposição A é logicamente equivalente à seguinte proposição: O motorista que foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para a qual está habilitado não cometeu infração gravíssima, punida com multa e apreensão do veículo, ou não continua com sua habilitação, pois o presidente vetou o projeto. A afirmação A, tem a forma [~ P ~(Q R)], e a sua equivalência, portanto deverá ser: [(~ Q ~ R) P] Desse modo pode-se escrever: Se o motorista que foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para qual é habilitado não cometeu infração gravíssima, punida com multa e apreensão do veículo ou não continuou com sua habilitação, então, o presidente vetou o projeto 42. CESPE IBAMA - Analista Ambiental - Tema 2 A proposição Os mineiros são tímidos e os cariocas são extrovertidos são expressões equivalentes pode ser corretamente representada por P Q escolhendo-se convenientemente as proposições P e Q. O símbolo significa equivalência, ou seja, igualdade. Nesse caso temos uma condição que se P é [V], então, Q também é [V] e, se P é [F], Q deverá ser [F]. Logo, como diz o enunciado, escolhendo-se convenientemente as proposições P e Q, se consegue a equivalência. Consultando o dicionário Aurélio online, encontra-se: Equivalência lógica, relação que exprime que duas proposições P e Q são conseqüências uma da outra. Entende-se que a relação lógica em que uma é consequência da outra é se e somente se onde para ser verdade ambas devem ser verdadeiras ou ambas devem ser falsas. 43. CESPE INPI - Todos os Cargos - Conhecimentos Básicos - Cargo 1 a 5 Com relação à lógica proposicional, julgue o item que segue, considerando que P e Q sejam proposições adequadas. A expressão ~(P Q) [(~ P) (~ Q)] é uma das leis de Morgan. 43 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

44 O matemático inglês Augustus de Morgan ( ) enunciou a seguinte lei, negar a simultaneidade de P e Q é afirmar pelo menos que não P ou não Q Interpretando: simultaneidade de P e Q ~(P Q) é afirmar = equivalência ( ) pelo menos que não P ou não Q [(~ P) (~ Q)] 44. CESPE FNDE - Especialista em Financiamento e Execução de Programas e Projetos Educacionais Desde que haja transformação na linha pedagógica e no processo de ensino, e que seja utilizada não apenas como forma unilateral de se transmitir conhecimento, mas de formar cidadãos, a educação é o remédio contra a escalada da violência e da criminalidade. Tendo como referência o texto acima, que constitui a proposição designada por P, julgue o item seguinte. A negação da proposição Há transformação na linha pedagógica e no processo de ensino pode ser corretamente expressa por Não há transformação na linha pedagógica ou no processo de ensino. Observe que esse é um exemplo puro da lei de Morgan retratada simbolicamente na questão anterior (43). Negar Há transformação na linha pedagógica e no processo de ensino, negar a simultaneidade de P e Q ~(P Q); é afirmar que não P ou não Q (~ P ~ Q) Não há transformação na linha pedagógica ou no processo de ensino. 45. CESPE SEDUC-AM - Professor - Língua Espanhola Em uma instituição de ensino, o critério para aprovação dos estudantes determina que a nota final deva ser igual ou superior a 6 e que a quantidade de faltas não exceda a 25% da quantidade de dias de aulas. 44 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

45 Tendo como base as informações acima e as proposições P: A nota final do estudante foi igual ou superior a 6 ; Q: A quantidade de faltas do estudante não excedeu a 25% da quantidade de dias de aulas ; e R: O estudante foi aprovado., julgue os itens a seguir, a respeito de lógica sentencial. A proposição ~P negação da proposição P está corretamente expressa por A nota final do estudante foi igual ou inferior a 6. A negação de superior é de fato inferior, porém, observe que na afirmação tem-se...deva ser igual ou superior a 6 e na negação foi igual ou inferior a 6, a possibilidade de ser igual a 6 aparece tanto para quem afirma quanto para quem nega, e isso é impossível. Sendo assim a negação está errada. 46. FESMIP-BA MPE-BA - Assistente Administrativo - Salvador A negação da proposição Todo candidato estudioso passará no concurso e será um bom profissional é: a) Todo candidato estudioso passará no concurso e não será um bom profissional. b) Algum candidato estudioso não passará no concurso ou será um bom profissional. c) Todo candidato estudioso não passará no concurso e não será um bom profissional. d) Existe candidato estudioso que não passará no concurso ou não será um bom profissional. e) Existe candidato estudioso que não passará no concurso e não será um bom profissional. Sejam: A: Todo candidato estudioso passará no concurso B: Todo candidato estudioso será um bom profissional A proposição composta é da forma (A B), admitindo A e B afirmações verdadeiras, basta no mínimo uma não se confirmar para se ter a negação. Outro detalhe, devemos negar a expressão todo com a equivalente algum não, então, teremos a seguinte negação: Algum candidato estudioso não passará no concurso ou não será um bom profissional Letra (d) 45 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

46 47. FCC TRT - 5ª Região (BA) - Analista Judiciário - Área Judiciária Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orientação: Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário. Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente: a) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. b) todos os processos foram analisados até às 11 horas. c) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. d) todos os processos foram analisados até às 18 horas. e) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas. Como está sendo informado que o plantão só foi finalizado às 18 horas, a orientação que tem a forma se P então Q tem resposta lógica falsa, ou seja, o plantão não terminou as 11 horas, o que pode ser visto na afirmação...o plantão só foi finalizado às 18 horas. Sendo assim a conclusão obvia é que não todos os processos foram analisados até as 11 horas ou, em outras palavras pelo menos um processo não foi analisado até as 11h. Letra (e) 48. IBFC EBSERH - Técnico em Informática Se o valor lógico de uma proposição p é verdadeira e o valor lógico de uma proposição q é falsa, podemos afirmar que: a) A conjunção entre as duas é verdadeira. b) p condicional q é verdadeira c) p bicondicional q é falsa. d) A disjunção entre as duas é falsa a) Errada. Para uma conjunção ser verdadeira, as duas proposições devem ser verdadeiras. b) Errada. Em (P Q) há um caso falso, justamente quando P é (V) e Q é (F). 46 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

47 c) Certo. Uma bicondicional será sempre falsa quando os sinais lógicos das proposições forem contrários d) Errada. A disjunção só pode ser falsa quando as duas proposições forem falsas e, nesse caso, P é verdadeira. Letra (c) 49. CETRO ANVISA - Técnico Administrativo - Área 1 Considere a proposição P. P: A ou B Onde A e B, por sua vez, são as seguintes proposições: A: Suelen é morena. B: Se Cláudia é loira então Noemi é ruiva. Ora, sabe- se que a afirmação P é falsa, logo: a) Suelen não é morena, Cláudia não é loira e Noemi não é ruiva. b) Suelen não é morena, Cláudia é loira e Noemi não é ruiva. c) Suelen é morena, Cláudia é loira e Noemi não é ruiva. d) Suelen não é morena, Cláudia é loira e Noemi é ruiva. e) Suelen é morena, Cláudia não é loira e Noemi é ruiva. Se P é falsa, necessariamente, A e B são falsas também. Como B, é uma proposição composta do tipo condicional, concluímos que, para ser falsa é necessário escrever, Noemi não é ruiva, mas Cláudia é loira. Letra (b) 50. IBFC EBSERH - Advogado Sejam as afirmações: I. Se o valor lógico de uma proposição p é falso e o valor lógico de uma proposição q é verdadeiro, então o valor lógico da conjunção entre p e q é verdadeiro. II. Se todo X é Y, então todo Y é X. 47 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

48 III. Se uma proposição p implica numa proposição q, então a proposição q implica na proposição p. Pode-se afirmar que são verdadeiras: a) todas b) somente duas delas c) somente uma delas d) nenhuma Analisando cada item temos: I. Se o valor lógico de uma proposição p é falso e o valor lógico de uma proposição q é verdadeiro, então o valor lógico da conjunção entre p e q é verdadeiro. FALSO A única opção que faz a conjunção e ser verdadeira é no caso em que os valores lógicos são verdadeiros. II. Se todo X é Y, então todo Y é X. FALSO Na teoria de conjuntos X está contido em Y, então pode haver algum Y que não é X. III. Se uma proposição p implica numa proposição q, então a proposição q implica na proposição p. FALSO A equivalência para (p q) é escrita na forma (~p ~q) ou seja, não p implica na proposição não q. Nenhum item correto. Letra (d) 48 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

49 Questão 1 Prova: FCC TRF - 3ª REGIÃO - Analista Judiciário - Informática - Banco de Dados Diante, apenas, das premissas Nenhum piloto é médico, Nenhum poeta é médico e Todos os astronautas são pilotos, então é correto afirmar que: a) algum poeta não é astronauta. b) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico. c) algum astronauta é médico. d) todo poeta é astronauta. e) nenhum astronauta é médico. Resposta: Letra E Questão 2 Prova: IADES CFA - Analista de Sistemas Considere os argumentos a seguir. Argumento I: Se nevar então vai congelar. Não está nevando. Logo, não vai congelar. Argumento II: Se nevar então vai congelar. Não está congelando. Logo, não vai nevar. Assim, é correto concluir que: a) ambos são falácias. b) ambos são tautologias. c) o Argumento I é uma falácia e o Argumento II é uma tautologia. d) o Argumento I é uma tautologia e o Argumento II é uma falácia. Resposta: Letra C 49 LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

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