PREVISÃO DE CUSTO DE HORA-EXTRA COM A UTILIZAÇÃO DO MODELO TOBIT

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1 PREVISÃO DE CUSTO DE HORA-EXTRA COM A UTILIZAÇÃO DO MODELO TOBIT Anderson de Barros Dantas Doutorando do PPGEP/UFSC/Bolssta CNPq anderson@eps.ufsc.br Robert Wayne Samohyl Prof. PhD do PPGEP/UFSC samohyl@eps.ufsc.br Antono Fernando de O. A. Perera Prof. do Departamento de Cêncas Contábes/UFPE afoap@uol.com.br Abstract: Ths paper descrbes about the use Tobt Model appled to forecast n over tme costs. The use ths type model warrants the dependent varable a control locaton to some lmt. The varable smulated after n the model wll attend the lmt specfed. Ths lmt s known as truncated dstrbuton. Whle over tme costs enter n composton of the total costs, t wll be relevant for makng decson too. Ths form, ther estmaton wll may not take negatves values n ths smulaton. An exercse has run wth HMMS data (Holt et al, 1955) and ther results dsplay the dfferences. Key-words: Over Tme Costs; Tobt Model; Smulaton. 1. Introdução O processo de prevsão é uma das etapas mas mportantes dentro do planejamento agregado. Cente dessa nformação toma-se o cudado em fazer uma boa revsão não só dos város mecansmos de prevsão, como também, e anteror a sso, dos problemas de préestmação dos modelos, os quas garantrão o melhor ajustamento possível dos parâmetros. Quatro palavras-chave são postas em mutos dos lvros de econometra e prevsão, são elas: 1) Não-tendencosdade garante que o valor esperado, ou méda da estmatva, seja gual ao do valor verdadero; 2) Efcênca garante que a estmatva tem varânca mínma se comparada a outras; 3) Consstênca ndca que no lmte a estmatva tende para o valor verdadero; 4) Parcmôna que prefere a utlzação de poucas varáves explcatvas, ao nvés de um modelo muto cheo. Os problemas báscos que devem ser evtados também são bem conhecdos na lteratura. São estes: multcolneardade, autocorrelação seral, heterocedastcdade, heterocedastcdade condconada a autoregressão, forma funconal, não ndependênca dos resíduos, entre outros. Para um melhor esclarecmento, o letor deve se reportar a qualquer um dos autores a segur: Matos (1995), Makrdaks et al. (1998), Kennedy (1992), Madalla (1992). 2. Raz Untára

2 Há um bom tempo, os profssonas de economa começaram a perceber que os seus modelos, quando ajustados com problemas de raízes untáras, poderam ter boas conclusões, porém com resultados nváldos. É que, com raz untára, os testes para a sgnfcânca do(s) parâmetro(s) não são mas confáves e a sére a ser analsada possurá característca explosva. Em termos concetuas, dz-se que um processo é estaconáro quando esse possu méda e varânca constantes ao longo do tempo (MADALLA, 1992). Consdere Xt qualquer uma das séres utlzadas numa análse de regressão, onde: Xt = αxt- 1 + Ut (2. 1) e Ut d (,σ 2 ) Assumndo Xo = e α = 1, tem-se X 1 = U 1 X 2 = U 1 + U 2 X 3 = U 1 + U 2 + U 3. t Xt = Uj (2. 2) Onde, J=1 t Var(Xt) = Var (Uj) J=1 Var(Xt) = t σ 2 (2. 3) Logo em (2. 3) a sére é não estaconára, pos a varação de Xt é crescente com o tempo. Na equação (2. 1) se α < 1, tem-se um camnho aleatóro convergente. Caso contráro, em α >= 1, tem-se um camnho aleatóro explosvo. Três maneras são as mas utlzadas para testar raz untára: plotar o gráfco da sére no tempo e ver o seu comportamento (se possu méda e varânca constante); plotar o gráfco das autocorrelações; e, por fm, o teste estatístco de DF e ADF. Os testes Dckey-Fuller (DF) e Dckey-Fuller Amplado (ADF) servem para dentfcar se uma sére é ou não estaconára. Eles se baseam, respectvamente, nas seguntes regressões(ver Madalla, 1992): DF Xt = βxt 1 + Ut (2. 4) ADF Xt = βxt 1 + λj* Xt-j + Ut (2. 5) Procura-se testar: H : β >= Xt é pelo menos I(1), ou seja, ntegrada de ordem 1, ou anda, nãoestaconára. H 1 : β < Xt é I(), ou seja, ntegrada de ordem zero, ou anda, estaconára. A ordem de ntegração de uma varável sgnfca quantas dferencações foram necessáras para que a sére se tornasse estaconára. Logo, I() dz que a sére é estaconára em nível, I(1) dz que a sére é estaconára com a prmera dferença, e assm por dante. Os testes DF e ADF têm dstrbução próxma à de t-student; entretanto, a dstrbução fo construída por Dckey e Fuller através de smulação de Monte Carlo. A

3 aplcação de OLS (Mínmos Quadrados Ordnáros) em séres que apresentem problemas de raz-untára levarão a resultados nefcentes, embora não tendencosos. 3. Modelo Tobt Algumas varáves estmadas não podem assumr valores negatvos. Esses são os casos encontrados para as funções de custo ou vendas. No momento em que se pretende ncorporar o erro novamente na equação para se computar a parte estocástca, haverá, em alguns casos, a necessdade de se trabalhar com modelos de varáves censoradas ou, como mas conhecdo, modelo Tobt cujo nome se deve a James Tobn, seu crador (Eatwell et al., 199). Sua estrutura é a segunte: Y * = β X + u (3. 1) ' Onde u é d~n(,σ 2 ) Os valores observados de Y são chamados de Y *, ou seja, são condconadas a: * * Y = Y se Y Y * Y = Y se Y < Y (3. 2) Normalmente Y é dexado para ser zero. Grafcamente, tem-se para o caso de Y = e as observações A, B, C e D negatvos. O problema é que o método de mínmos quadrados ordnáros, aplcado à fgura 1, consderando A, B, C e D como zero, va levar a estmadores vesados e nconsstentes (Amemya, 1984). Esse problema é resolvdo estmando a regressão pelo método de máxma verossmlhança (ML), o qual encontrará um estmador não-tendencoso e assntotcamente efcente. Como colocado por Amemya (op. ct.) a função de ML para o modelo Tobt é dada por: ' 1 Y ' L = [ 1 φ( X α)] σ φ[( X α )] (3. 3) σ Y 1 * * * * * * * * * * * * * * * X A C B D Fgura 1: Lnha de Regressão por OLS. Na equação (3. 3) o prmero membro representa a probabldade do evento ser menor que zero e o segundo termo representa a densdade do evento ser observado. Nos dos termos α= β, pos é uma forma convenente de escalar a equação para σ convergênca. Outros crtéros necessáros para a convergênca são: utlzação dos

4 parâmetros estmados por OLS como um chute ncal e que estes parâmetros estejam entre e Resultados A versão de HMMS para o custo de hora extra é: COT t = C 3 (P t - kw t ) 2 + C 4 P t C 5 W t Onde, C 3, C 4 e C 5 são os parâmetros estmados, k é a produtvdade méda, W t é nível de força de trabalho no período t e P t é o nível de produção no período t. Os custos de hora extra para HMMS são, prmeramente, reestmados na busca de uma melhor representação. COT t = 3,19 OT O valor de 3,19 é uma constante encontrada através de alguns cálculos artmétcos nos dados orgnas e algumas suposções. As suposções dzem respeto à carga horára semanal trabalhada na fábrca de tntas - que será consderada de 4 horas semanas e que o custo de hora extra é acrescdo de 5% do valor da hora normal. As 4 horas semanas equvalem a um total de 16 horas mensal. Dado que o custo ndvdual médo da folha de pagamento é $ 34,, o custo de uma únca hora é $ 2,125 (34,/16) que acrescdo dos 5% dará aproxmadamente $ 3,19 (2,125*1,5). Estma-se OT (Over Tme) por duas técncas: uma por OLS e outra por varáves truncadas (Modelo Tobt Eatwell et al. (199)). Como já menconado, a segunda estmatva se deve ao fato de evtar que a hora extra assuma valores negatvos em determnado período da programação, o que vnha acontecendo na smulação estocástca do modelo. A varável de hora extra, quando plotada com algumas varáves que poderam explcá-la, mostra um comportamento não muto lnear (ver fgura 2). Sendo assm, algumas combnações serão testadas até que se encontre uma forma equaconal adequada não lnear. Por exemplo, elevar alguma varável ao quadrado ou ao cubo, multplcar algumas varáves explcatvas, entre outras.

5 Fgura 2: DISPERSÃO DE HORA EXTRA COM PRODUÇÃO (P), TRABALHO (W), PW E P^2. Os testes DF e ADF foram estmados nas séres que podem explcar a hora extra e são apresentados na tabela 1 apenas os que realmente permaneceram na equação fnal. Essas são: Varável DF ADF Lag t-lag t-prob W -2,61 DW -6,8858** PW -4,6182** DPW -1,268** P^2-5,364** DP^2-1,867** OT -6,2145** -2,2981-2,3292* ,6883** ,377** -2,729 TABELA 1: Teste DF e ADF - Hora Extra. 4-1,6295, ,653, ,2555*.288* 1 2,87**,69** *.229* 1 3,2664**,19** 5-1,6152,1126 ** passa ao nível de sgnfcânca de 1%; * passa ao nível de sgnfcânca de 5%. A análse é smples, procura-se por algum lag sgnfcatvo através das duas últmas colunas da tabela 3. Caso exsta, está se avalando a estatístca ADF, daí é só verfcar se o seu valor é estatstcamente sgnfcante na coluna três da mesma tabela. Caso não exsta, está se avalando o DF, e, então, basta verfcar se o valor da segunda coluna, na mesma tabela, é sgnfcante. Sgnfcânca em nível quer dzer estaconardade e sgnfcânca em alguma dferença quer dzer ntegração. Os testes ndcam que trabalho (W), produção x trabalho (PW) e produção elevado ao quadrado (P^2) são ntegradas de ordem 1. Logo, elas devem ser trabalhadas com uma

6 dferença, enquanto hora extra (OT) é ntegrada de ordem zero. Usando a técnca do stepwse, elmna-se varáves não sgnfcantes, uma a uma através da estatístca F e t, para se obter o prncípo da parcmôna. A equação fnal e suas estatístcas estão apresentadas na tabela 2. Varável Coefcente Erro Padrão t-value t-prob R parcal OT t-1,28734,1456 2,748,79,112 OT t-2,53537,1653 5,25,,2928 DW 75,383 35,512 2,123,378,688 DW t-2 73,383 34,121 2,162,346,712 DPW t-2 -,45435,115-4,536,,2523 DPW t-3 -,21542, ,36,245,82 DP^2,38621,8941 4,772,,2718 R^2 =, σ = 789,58 DW = 1,99 TABELA 2: Equação Estmada da Hora Extra por OLS. A equação apresentada na tabela 2 precsa passar por outros testes para que se possa dzer que ela é uma equação muto boa. Sabe-se que uma boa equação por OLS precsa não ter problemas de heterocedastcdade, autocorrelação e multcolneardade. E, espera-se que ela possua erros dstrbuídos normalmente, forma funconal adequada, entre outros testes que são dados de uma únca vez pelo pacote do PcGve 8.. TESTE RESULTADO 1) AR 1-5F(5, 56) = 2,156 (,726) 2) ARCH 5 F(5, 51) =,63564 (,6734) 3) Normaldade Qu-quadrado (2) = 1,2177 (,544) 4) X 2 F(14, 46) = 1,839 (,611) 5) X *X j F(35, 25) = 1,2997 (,2497) 6) RESET F(1, 6) =,1516 (,6989) TABELA 3: Testes para Forma Funconal do Modelo Hora Extra. ** reprovado a 1% de sgnfcânca; * reprovado a 5% de sgnfcânca; Em (1), (2), (4), (5) e (6) a hpótese alternatva é que exstem problemas de ajustamento, enquanto em (3) a hpótese alternatva é que não exste. O teste (1) reprova a exstênca de autoregressão, o (2) ndca que não exste heterocedastca condconada a autoregressão, o (3) ndca que os erros são dstrbuídos normalmente, o (4) ndca que não exste problema de heterocedastcdade e o (5) e (6) ndcam que a forma funconal está correta. O modelo Tobt pode ser programado no PcGve 8. através do edtor de álgebra. Os resultados encontrados para esta equação são apresentados na tabela 4. Varável Coefcente α Erro Padrão t-value t-prob Coefcente β &,32523, ,42,194, &1,52326, ,452,1, &2 1,1784, ,58,124 92,98 &3,48384, ,12, ,178 &4-5,4415 1,3729-3,963,2 -,399

7 &5-1,423 1,1939-1,19,2389 -,1127 &6 8,9938 3,849 2,337,228,7966 &7 1,1886, ,662, Loglk = -22, para 68 observações e 8 parâmetros TABELA 4: Estmação por Máxmoverossmlhança. A estmação por máxmoverossmlhança trabalha com váras terações, buscando de todas as probabldades possíves aquela que mnmze os erros da prevsão. Um valor ncal deve ser dado aos coefcentes. Para a convergênca acontecer com sucesso, os valores utlzados são os da equação estmada por OLS. No Tobt esses valores são dvddos pelo desvo-padrão e &7 é o nverso do desvo-padrão. Por fm, os dados são reescalonados para que fquem entre,1 e 1. Para encontrar os verdaderos valores da equação de Tobt, pegam-se os coefcentes encontrados e os multplque pelo desvo-padrão. Lembre-se que o desvopadrão é o nverso de &7. Dos valores estão com sgnfcânca rejetada (&3 e &5), entretanto, esses valores fazam parte da equação por OLS e, por sso, resolveu-se mantêlos. A últma coluna da tabela 4 já traz os valores dos coefcentes transformados. O valor do novo desvo-padrão depos de retornado a escala normal dos dados é 789,58. Note que é o mesmo do modelo por OLS e os coefcentes estão alguns próxmos e outros não (comparar tabela 4 com a tabela 2). SIMULAÇÃO DO CUSTO DA HORA EXTRA Méda Méda Méda 343, ,13 456,45 COT postvo e negatvo 188,32 18,7 1122,49 COT postvo ou zero DIAGRAMA 1: Custo Médo da Hora Extra Computados os Valores Negatvos ou Não. O dagrama 1 smula 1 vezes o custo da hora extra, pela dstrbução normal em três amostras dferentes, para mostrar a mportânca do uso de uma estmação por regressão truncada ou, como mas conhecdo, modele Tobt. Caso o modelo Tobt não seja consderado, o custo geral (afetado pela hora extra) será menor, não refletndo com exatdão o verdadero peso do custo de hora extra. Esse fato por s só altera qualquer regra de decsão, prncpalmente quando as dferenças são tão sgnfcatvas como no dagrama apresentado. 5. Conclusão Modelos truncados são mas robustos para determnados tpos de prevsão, sso porque eles corrgem os estmadores com objetvo de retornarem valores lógcos para uma determnada stuação. Esse é o caso da prevsão de hora extra (OT) explanado neste artgo. A não utlzação desta ferramenta em stuações em que ela se aplque, poderá nvaldar toda análse de decsão para um determnado estudo. Por exemplo, a mnmzação dos custos totas na fábrca de tntas em HMMS tera um vés quando o problema levasse

8 em conta algumas smulações, consderando o modelo estocástco. Mas precsamente, os custos seram subestmados do verdadero valor. Por fm, depos de tudo que fo dto antes, além de problemas na méda, a varânca computada é maor sem Tobt e os valores computados para a assmetra são bem dferentes também. 6. Referênca Bblográfca AMEMIYA, T. Tobt models: a survey. Journal of Econometrcs Pp. 3-61, v. 24. DANTAS, Anderson de Barros. Uma aplcação de controle ótmo estocástco não lnear ao problema de planejamento agregado da produção. Defesa de Dssertação, PPGEP, Ufsc, Orentada por Robert Wayne Samohyl. DOORNICK, J. A. and HENDRY, D. F. PcGve 8.: an nteractve econometrc modelng system. London: Chapman & Hall, EATWELL, J., MILGATE, M. and NEWMAN, P. Econometrcs. New York: W.W. Norton & Company, 199. HOLT, C., MODIGLIANI, F., SIMON, H. A lnear decson rule for producton and employment schedulng. Management Scence, Pp KENNEDY, Peter. A gude to econometrcs. The MIT Press, MADDALA, G. S. Introducton to econometrcs. New Jersey: Prentce-Hall, MAKRIDAKIS, S., WHEELWRIGHT, S. C. and HYNDMAN, R. J. Forecastng: methods and applcatons. John Wley & Sons, Inc., MATOS, O. C. Econometra básca: teora e aplcações. São Paulo: atlas, 1995.