PREFÁCIO BOM TRABALHO!

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2 PREFÁCIO Este volume corresponde ao primeiro livro virtual lançado pelo Sistema de Ensino Interativo SEI. O livro trata de lógica, teoria dos conjuntos, relação, produto cartesiano, funções reais, função do grau e grau, modular, eponencial e logarítmica ao longo de capítulos. Cada um dos doze capítulos inicia-se com uma breve introdução do assunto, seguido de questões dos últimos concursos da AFA, EFOMM, Escola Naval, IME e ITA, sendo um total de 345 eercícios. Há ainda um último capítulo onde se encontra o gabarito das questões, bem como a solução daquelas que nos capítulos anteriores possuem sua numeração iniciada com a letra R, totalizando 63 soluções. Os eercícios dos capítulos 0, e que possuem sua numeração iniciada com a letra V serão resolvidos em vídeo aulas e postados no site do livro, regularmente e de maneira gratuita, bem como este livro. Com isto o autor e diretor do Sistema de Ensino Interativo SEI espera estender a sala de aula do SEI à residência dos que usarem este livro, principalmente daqueles que não podem frequentar um curso preparatório, contribuindo para sua preparação e aprovação. O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, será um prazer receber comentários, correções e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo BOM TRABALHO! Página

3 SOBRE O AUTOR Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM (994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último. Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática. Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA. Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais, por eemplo, na UFRJ, UFBA, UFAL e USP, e internacionais, como em Warwick (Inglaterra), Cournouaille (França) e PUC- CHILE (Santiago do Chile, Chile) nos quais ministrou algumas palestras. Fundador do Sistema de Ensino Interativo SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de matemática do SEI Ensina. Atualmente Luciano é Diretor do Sistema de Ensino Interativo SEI, no qual é coordenador e professor de matemática, além disso, é professor adjunto da UFRJ. Luciano Nunes Prudente Diretor do Sistema de Ensino Interativo - SEI Página 3

4 MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME ÍNDICE. Lógica.... Teoria dos Conjuntos Produto Cartesiano Relação Conjuntos Numéricos Função Função Constante Função do Grau Função do Grau Função Modular.... Função Eponencial.... Função Logaritmo Gabarito/Soluções Página 4

5 CAPÍTULO - LÓGICA Construção Aiomática da Ciência A linguagem da Ciência é construída a partir de Termos primitivos e Definições. Termo primitivo é um vocábulo cujo significado não é descrito por outros vocábulos. Definir é a ação de descrever o significado de um vocábulo a partir de outros vocábulos previamente definidos ou de termos primitivos. A introdução de novos vocábulos na Ciência será sempre feita a partir de termos primitivos ou de definições. Proposição ou sentença matemática é uma afirmativa a qual se associa um único valor: verdadeiro ou falso, que representaremos respectivamente por ou 0. Aioma é uma proposição cuja veracidade é assumida por definição e um Teorema é uma proposição cuja veracidade deve ser verificada por meio de outros aiomas ou teoremas. A matemática é construída por meio de Aiomas e Teoremas. Definição: A negação de uma proposição é uma nova proposição cujo valor é o oposto da original. Então dada uma proposição p, temos: p p 0 0 Definição: Conectivo é o elemento utilizado para unir duas proposições. Os conectivos se dividem em primários e secundários. Sejam p e q duas proposições, então: Conectivos Primários ) Conectivo e ( ): p q p q ) Conectivo ou ( ): p q p q Página 5

6 Conectivos Secundários ) Condicional se então ( ): p q p q ) Condicional se e somente se ( ): p q p q Definição: Tautologia é uma proposição que assume apenas o valor verdadeiro. Sejam p, q e r proposições, seguem as principais tautologias: Negação da negação. p p Comutatividade do e do. p q q p 3. p q q p Associatividade do e do 4. p q r p q r 5.p q r p q r Distributividade 6. p q r p q p r 7. p q r p q p r Negação do e do 8. p q p q 9. p q p q Página 6

7 Implicação lógica 0. p q p q. p q q p. pq p q Equivalência lógica 3. p q p q Página 7

8 EXERCÍCIOS NÍVEL A R. (EN 998) Considere a proposição: A proposição equivalente é (A) Se < 5 então y 6 (B) Se y 6 então < 5 (C) se y > 5 então = 5 (D) Se y 6 então 5 (E) Se 5 então y 6.. (EN 994) A negação da proposição: é: (A) " 3 e y " (B) " 3 e y " (C) " 3 ou y " (D) " e y 3" (E) " 3 ou y ". ESCOLA NAVAL Se > 5 então y = 6. " 3 e y ", 3. (EN 99) Sabe-se que se > 4 então y =. Podemos daí concluir que: (A) Se < 4 então y. (B) Se 4 então y. (C) Se y = então > 4. (D) Se y então 4. (E) Se y então < 4. NÍVEL B ESCOLA NAVAL R. (EN 989) Dada a proposição p (q r) ( p q) (p r) podemos afirmar que é: (A) logicamente falsa (B) uma tautologia (C) equivalente a ( p q) r (D) equivalente a ( p q)v r (E) equivalente a p q NÍVEL C ITA R. (ITA 00) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I. Se > 4 e y <, então y >. II. Se > 4 ou y <, então y >. III. Se < e y >, então y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas I e II. (C) apenas II e III. (D) apenas I e III. (E) todas. Página 8

9 CAPÍTULO - TEORIA DOS CONJUNTOS Elementos Primitivos A Teoria dos Conjuntos tem sua estrutura baseada em três termos primitivos: Elemento, Conjunto e na Relação de Pertinência. Embora termos primitivos intuitivamente sabe-se a diferença entre eles. Considere, por eemplo, as proposições: A é uma Vogal B não é uma vogal Primeiramente sabemos que estas proposições têm valor verdadeiro, ou seja, a letra A é um elemento do conjunto das vogais e a letra B não é um elemento do conjunto das vogais. Note que o elemento se liga ao conjunto pela relação de pertinência, nos eemplos acima esta relação foi feita através do verbo SER, a fim de evitar as limitações da língua, as mesmas proposições podem ser escritas utilizando uma simbologia universal, que respectivamente introduzimos abaio: A A,E,I,O,U B A,E,I,O,U. Um conjunto está bem definido quando dado um elemento podemos julgar se este pertence ou não ao conjunto. Variável é o símbolo utilizado para representar um elemento qualquer de um dado conjunto, neste caso, este conjunto é denominado Domínio da variável. Função Proposicional ou Proposição aberta é toda proposição que possui uma variável. E.: A,E,I,O,U É uma proposição aberta, onde é a variável e o seu domínio é o conjunto A,E,I,O,U. Solução da Função Proposicional é todo elemento pertencente ao Domínio da variável que dá valor verdadeiro à proposição aberta. E.: A,E,I,O,U A A,E,I,O,U (V) E A,E,I,O, U (V) I A,E,I,O,U (V) O A,E,I,O, U (V) U A,E,I,O, U (V). Conjunto Solução da Função Proposicional ou Conjunto Verdade da Função Proposicional é o conjunto de todas as soluções de uma Função Proposicional. E.: A,E,I,O,U S A,E,I,O,U. Definição: O Quantificador Universal para todo é utilizado quando todos os elementos do Domínio da variável pertencem ao Conjunto Solução da Função Proposicional. E.: IR, 0. Página 9

10 Definição: O Quantificador Eistencial eiste é utilizado quando eiste um elemento do Domínio da variável pertencente ao Conjunto Solução da Função Proposicional. E.: IR : 0. Definição: Sejam A e B dois conjuntos, define-se a relação de inclusão por: A B, A B. Neste caso dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B. Definição: Conjunto Universo é o conjunto maimal definido pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que contêm todos os outros. Assim, A, A U. Definição: Conjunto Vazio é o conjunto minimal dado pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que está contido em todos os outros. Representa-se o conjunto vazio por. Assim,, A A. Em particular temos que:, U. E.: Dado A,, 3 então A, A,,3 A e,,3 A. Definição: Conjunto das Partes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou seja, ( A) : B : B E. A,, 3 (A),,, 3,,,,3, 3,,,,3 A Obs.: Seja n(c) é o número de elementos de um conjunto C, então n( (A)): n(a). Observe no eemplo acima que n(a) 3 e n( (A)) 8. Definição: Seja A um conjunto o seu Complementar é definido por A C : A. Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então Ou equivalentemente A B, A B. A B B A A B. Página 0

11 Operações entre conjuntos Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a União entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B : A B. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A B,, 3, 4,5 Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Interseção entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B : A B. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A B, 3 Teorema. Sejam A e B conjuntos quaisquer então n(a B) n(a) n(b) n(a B). Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A \ B : A B. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A \ B e B \ A 4,5 Teorema. Sejam A e B conjuntos quaisquer então n(a B) n(a) n(b). Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença simétrica entre A e B é um terceiro conjunto definido por: A B A B B A. E. A,, 3 B, 3, 4,5 A B,4,5. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, seguem as principais propriedades das operações entre conjuntos.. Complementar do complementar. Comutatividade C A C A. A B B A. A B B A. 3. Associatividade B C (A B) C B C (A B) C A. A. Página

12 4. Distributividade 5. Complementar da união e da interseção B C A B A C B C A B A C A. A. C C C A B A B C C C A B A B.. 6. Complementar de Sobconjuntos 7. Diferença C C A B B A. C A B A B. Página

13 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. (EFOMM 00) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(x) representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: n(a B C) = 5, n(a C) = 3, n(b A) = 0, n(a C) = n(c (A B)). O maior valor possível de n(c) é igual a (A) 9 (B) 0 (C) (D) (E) 3 R. (EFOMM 00) Analise as afirmativas abaio. I - Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = { K / possui lados opostos paralelos}; L = { K / possui 4 lados congruentes}; R = { K / possui 4 ângulos retos}; e Q = { K / possui 4 lados congruentes e ângulos com medidas iguais}. Logo, L R = L Q. II - Seja o conjunto A = {,,3,4}, nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. III- Observando as seguintes relações entre conjuntos: {a, b, c,d} U Z = {a, b, c, d, e}, {c,d} U Z = {a, c, d, e} e {b, c, d} Z = {c}; pode-se concluir que Z = {a, c, e}. Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 3. (EFOMM 007) Numa companhia de 496 alunos, 0 fazem natação, 60 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é (A) 6 (B) 4 (C) 66 (D) 76 (E) (EFOMM 006) Sejam os conjuntos U = {,,3,4} e A = {,}. O conjunto B tal que BA = {} e BA = U é (A) 0 (B) {} (C) {,} (D) {,3,4} (E) U. AFA 5. (AFA 998) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 7 nadam, 9 jogam basquetebol, jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? Página 3

14 (A) 3 (B) 37 (C) 47 (D) 5. R6. (AFA 998) Entrevistando 00 oficiais da AFA, descobriu-se que 0 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) (AFA 995) Assinale a afirmação correta. (A) A intersecção de conjuntos infinitos pode ser finita. (B) A intersecção infinita de conjuntos não vazios é vazia. (C) A reunião infinita de conjuntos não vazios tem infinitos elementos. (D) A intersecção dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B. 8. (AFA 995) Analisando-se uma amostra populacional, com relação à altura, determinou-se: - 95% tem altura maior ou igual a,6m; - 8% tem altura menor ou igual a,6m. Qual o percentual de indivíduos com, eatamente,,6m? (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 3 ESCOLA NAVAL R9. (EN 009) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 0 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 6 (D) 30 (E) (EN 989) Considere os conjuntos A={} e B={,{A}} e as proposições: I - {A} B II- {} A III- A B IV- B A V- {, A} B As proposições FALSAS são: (A) I, III e V (B) II, IV e V (C) II, III, IV e V (D) I, III, IV e V (E) I, III e IV. (EN 99) Sejam A, B e C conjuntos. A condição necessária e suficiente para que A(B C) = (AB) C é: (A) A = B = C (B) A C = (C) A C = (D) A = (E) AC = B Página 4

15 ITA R. (ITA 009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a,b,c, d,e, f, g, h}. Sabendo que (B C A) C = {f, g, h}, B C A = {a, b} e A C \B = {d, e}, então, n(p( A B)) é igual a (A) 0. (B). (C). (D) 4. (E) (ITA 004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. U e n(u) = 0. II. U e n(u) = 0. III. 5 U e {5} U. IV. {0,,, 5} {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) (A) apenas I e III. (B) apenas II e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas IV. (E) todas as afirmações. NÍVEL B ITA R. (ITA 007) Se A, B, C forem conjuntos tais que: n(ab)= 3, n(b A)=, n(c A)=0, n(b C)= 6 e n(a B C)= 4, então n(a), n(a C), n(a B C), nesta ordem, (A) formam uma progressão aritmética de razão 6. (B) formam uma progressão aritmética de razão. (C) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é. (D) formam uma progressão aritmética de razão 0, cujo último termo é 3. (E) não formam uma progressão aritmética. R. (ITA 006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A então, o número máimo de elementos que S pode ter é: (A) n- (B) n/, se n for par, e (n + )/ se n for ímpar (C) n + (D) n (E) n (ITA 006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(b\a) = 4 e n(a B) + r = 64, então, n(a\b) é igual a: (A) (B) 7 (C) 0 (D) (E) (ITA 003) Sejam U um conjunto não-vazio e A U, B U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que: I. Se A B =, então B A C. II. B\A C = B A. Página 5

16 R5. (ITA 00) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P() é igual a (A) 8. (B) 6. (C) 0. (D) 7. (E) (ITA 000) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(a B)= 8,n(A C)= 9, n(b C)= 0, n(a B C) = e n (A B C) =. Então, n(a) + n(b) + n(c) é igual a (A) (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 5. IME 7. (IME 009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação, definida por X Y = (X Y) (Y X). Pode-se afirmar que (A) (X Y) (X Y) = Ø (B) (X Y) (X Y) = Ø (C) (X Y) (Y X) = Ø (D) (X Y) (X Y) = X (E) (X Y) (Y X) = X NÍVEL C ESCOLA NAVAL R. (EN 988) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? (A) 5% (B) 0% (C) 0% (D) 45% (E) 70%. ITA R. (ITA 0) Analise a eistência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) U (B\A) = A 3. (ITA 0) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C B \ A}) = 8. Então, das afirmações abaio: I n(b) n(a) é único; II n(b) + n(a) 8; III a dupla ordenada (n(a), n(b)) é única. É (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) nenhuma. Página 6

17 4. (ITA 00) Considere as afirmações abaio relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de A B é: A ou B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma. 5. (ITA 00) Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, n(b\c) = 3n(B C) = 6n(A B), n(a B) = e (n(c), n(a), n(b)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(c) b) Determine n(p(b\c)). 6. (ITA 008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X Y ) Z = {,, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y =, W (X Z) = {7, 8}, X W Z = {, 4}. Então o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igual a (A) {,, 3, 4, 5} (B) {,, 3, 4, 7} (C) {, 3, 7, 8} (D) {, 3} (E) {7, 8}. 7. (ITA 007) Seja A um conjunto com 4 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: (A) 8 9. (B) 8. (C) 8 6. (D) 4 8. (E) 8. R8. (ITA 006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A,...,A m } P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. A i, i =,..., m II. A i A j =, se i j, para i, j =,..., m III. A = A A A m Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(a i ) = k, i =,..., m. Supondo que n(a) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A b) O número de partições de A que têm ordem 9. (ITA 004) Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(a) = m, calcule n(p(a)) em termos de m. b) Denotando P (A)=P(A) e P k + (A) = = P(P k (A)), para todo número natural k, determine o menor k, tal que n(p k (A)) 65000, sabendo que n(a) =. NÍVEL C IME R0. (IME 00) Sejam os conjuntos P, P, S e S tais que (P S ) P, (P S ) P E (S S ) (P P ). Demonstre que (S S ) (P P ). Página 7

18 . (IME 0) Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C então A C. II. Se A B e B C então A C. III. Se A B e B C então A C. Estão corretas: (A) nenhuma das alternativas (B) somente a alternativa I (C) somente as alternativas I e II (D) somente as alternativas II e III (E) todas as alternativas. (IME 000) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes. a) em 8 saiu uma face preta para o jogador I; b) em 5 saiu uma face branca para o jogador II; c) em 7 saiu uma face branca para o jogador III; d) em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II; e) em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I; f) em 4 saíram faces pretas para os três jogadores; g) em saíram faces pretas para os jogadores II e III. Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. R3. (IME ) Dados dois conjuntos A e B, define-se A B (A B) (B A). Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z X (Y Z) (X Y) (X Z). Página 8

19 CAPÍTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO Definição: Sejam A,B IR, o produto cartesiano entre A e B é definido por: A B,y : A B. O Plano Cartesiano é obtido pelo produto cartesiano da reta por ela mesma, ou seja, IR IR IR, y : IR y IR. A representação gráfica do plano cartesiano é dada por um par de eios perpendicurales, chamados eios coordenados, cujo ponto em comum é chamado de origem do plano cartesiano. O eio horizontal é chamado eio das abscissas e seus pontos são representados por,0, IR Quando 0 o ponto localiza-se à direita da origem, caso contrário à esquerda,.. O eio vertical é chamado eio das ordenadas e seus pontos são representados por, y, y IR Quando y 0 o ponto localiza-se acima da origem, caso contrário abaio. Assim a origem é o ponto de coordenadas 0,0. 0., onde os valores de e y são obtidos pelas coordenadas dos pontos de interseção das perpendiculares traçadas pelo ponto aos eios coordenados. Os pontos não pertencentes a nenhum dos eios serão representados por, y,, y IR \ 0, y Os eios coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões disjuntas chamadas quadrantes, desta forma define-se: 0 e y 0 0 e y 0 0 e y 0 0 e y 0, y Quadrante, y Quadrante, y 3 Quadrante, y 4 Quadrante Página 9

20 As retas y e y são chamadas respectivamente de bissetrizes dos quadrantes ímpares e pares. Página 0

21 EXERCÍCIOS NÍVEL C ITA R. (ITA 999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: I- Se (E G) (F H), então E F e G H. II- Se (E G) (F H), então (E G) (F H) = F H. III- Se (E G) (F H) = F H, então (E G) (F H) Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira (B) Apenas a afirmações (II) é verdadeira (C) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras (D) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras (E) Todas as afirmações são verdadeiras.. (ITA 989) Sejam A, B e C subconjuntos de IR, não vazios, e A B = {p IR; p A e p B}. Dadas as igualdades: -(A B)C = (AC) (BC) -(A B)C = (AB) (BC) 3-(A B) A (A B) B 4-A (BC) = (A B) (A C) 5-(A B)(B C) = (A B)(A B) Podemos garantir que: (A) e 4 são verdadeiras. (B) e 5 são verdadeiras. (C) 3 e 4 são verdadeiras. (D) e 4 são verdadeiras. (E) e 3 são verdadeiras. Página

22 CAPÍTULO 4 - RELAÇÃO Definição: Sejam A,B IR, uma Relação R de A em B é um subconjunto qualquer de A B. Em particular, uma Relação R de IR em IR é um subconjunto qualquer de IR. Assim, a região abaio é um eemplo de um gráfico de uma relação de IR em IR. Definição: O Domínio e a Imagem de uma relação R de A em B são definidos por: D R :, y R. Im R y :,y R. Definição: Seja R uma Relação de A em B, a Relação Inversa R de B em A é definida por: R y, :, y R. Em particular, o gráfico de um relação e da sua relação inversa são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares. Definição: Uma Relação de A em B é dita Refleiva se e somente, se:, R A,. Página

23 Definição: Uma Relação de A em B é dita Simétrica se e somente, se:,y R y, R. Definição: Uma Relação de A em B é dita Antissimétrica se e somente, se:,y R y, R, y y,. Definição: Uma Relação de A em B é dita Transitiva se e somente, se:, y y,z R R, z R. Definição: Uma Relação de A em B é dita de Equivalência se e somente, se é uma Relação Refleiva, Simétrica e Transitiva. Definição: Uma Relação de A em B é dita uma Relação de Ordem se e somente, se é uma Relação Refleiva, Antissimétrica e Transitiva. Página 3

24 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. (EFOMM 006) Dados A = {,3,4} e B = {,6,8,}, a relação R = {(,y) A B y = + 4} de A em B é dada por: (A) {(3,6), (4,8)} (B) {(,6), (4,8)} (C) {(6,), (8,4)} (D) {(,6), (3,), (4,8)} (E) {(,), (3,6), (4,8)} NÍVEL C IME R. (IME 986) Seja N * o conjunto dos números naturais não nulos e n N*. Mostre que a relação R n = {((a, b) a, b N* e a b é múltiplo de n } é uma relação de equivalência. R. (IME 984) Dada a matriz M = (m ij ) M = e o conjunto A = {a ; a ; a 3 ; a 4 }, define-se em A uma relação R por: a i R a j m i j = Verifique se R é uma relação de equivalência. 3. (IME 983) Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relação m por R m = {(i; j) i = j + km; k inteiro}. Mostre que m é uma relação de equivalência. Página 4

25 CAPÍTULO 5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS OPERAÇÃO Uma operação definida em um conjunto é uma relação que associa a dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou seja, *: A A B a, a * a, a : a* a Quando o resultado da operação for um elemento de A, a operação é dita fechada, assim, É uma operação fechada. *: A A A a, a * a, a : a* a -Números Naturais: IN 0,,,3,.... IN *,,3,.... CONJUNTOS NUMÉRICOS A soma e a multiplicação de dois números naturais são eemplos de operações fechadas neste conjunto, logo: e : IN IN IN a, b a, b : a b : IN IN IN a, b a, b : a b Em particular, a soma e a multiplicação gozam das seguintes propriedades: a, b e c IN, temos:.-associatividade (Adição): a b c a b c..- Comutatividade (Adição): a b b a..3- Eistência de elemento neutro (Adição): e IN : a e e a a, a IN. Em relação aos números naturais o elemento neutro da adição é o número zero..4- Associatividade (Multiplicação): s s a b c a bc s. Página 5

26 .5- Comutatividade (Multiplicação): a b b a..6 - Eistência de elemento neutro (Multiplicação): e IN: a e e a a, a IN. p Em relação aos números naturais, o elemento neutro da multiplicação é o número um..7- Distributividade da multiplicação em relação à adição:.8- Não eistem divisores de zeros: -Números Inteiros: Z...,,, 0,,,.... p p b c a b a c a. a 0 a, b IN : a b 0 ou. b 0 Z *...,,,,,.... Repare que IN Z, porém eistem números inteiros que não são números naturais, cuja necessidade se percebe quando se tenta resolver, por eemplo, a seguinte sentença: De fato, suponha que haja solução natural, então, 0. IN 0 0 IN. Definindo a soma e a multiplicação de maneira natural, defini-se a operação de subtração por: : Z Z Z a, b a, b : a b a ( b). As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas em relação ao conjunto dos números inteiros, além disso, estas operações gozam das mesmas propriedades dos números naturais e da seguinte:.- Inverso aditivo: 3-Números Racionais: p * Q : p Z q Z. q * p * * Q : p Z q Z. q a Z, b Z : a b b a 0, b a. Página 6

27 Repare que IN Z Q, porém eistem números racionais que não são números inteiros, cuja necessidade é percebida quando se tenta resolver a seguinte sentença: 0. De fato, suponha por absurdo que haja solução inteira, então, Z impar Z. Definindo a soma, a multiplicação e a subtração de maneira natural, define-se a operação de divisão por: : Q Q * Q b a b a, b a, b : a b a. O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão, sempre que definida, e goza das mesmas propriedades dos números inteiros e da seguinte: 3.- Inverso Multiplicativo: * a Q, b Q : ab b a, b a. 4-Números Reais: A esta altura o leitor pode se perguntar se todo número pode ser escrito sob a forma de fração, a resposta para esta pergunta é não. Eiste a necessidade de outros tipos de números, isto é percebido, por eemplo, quando se tenta resolver a equação:. De fato, suponha que a solução desta equação seja um número racional, dito isto, sabemos que pode ser escrito como a razão de dois números inteiros, sejam p e q inteiros com q não nulo e tais que: p *, p Z e q Z, mdc (p,q) q Então Logo, O que implica p p q p p p0 Z : p p0. q p0 q q p0 q q q0 Z : q q0 mdc(p,q). O que é um absurdo uma vez que por hipótese p e q são primos entre si. Logo há a necessidade que eistam números que não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. Estes números serão chamados de números Irracionais. Define-se o conjunto dos números reais como a união do conjunto dos números racionais e dos números irracionais. Geometricamente os números reais IR podem ser representados pela reta, o que define uma bijeção entre estes conjuntos, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real da mesma forma que a cada número real corresponde um único ponto da reta. Esta bijeção está definida a menos de um ponto fio chamado origem que representa o número zero e de uma escala que define o sistema de unidade, em particular, esta escala também define os números naturais e os números inteiros. Página 7

28 Os números racionais podem ser obtidos construindo-se primeiramente os racionais positivos menores que um, a partir de construções geométricas, depois estes são levados a toda a reta a partir de translações. Diante do que foi dito acima temos que IN Z Q IR. O conjunto dos números reais é fechado em relação às quatros operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, esta última estando definida. Além disso, o conjunto dos números reais goza das mesmas propriedades relativas a adição e multiplicação que os números racionais. O conjunto dos números reais munido das operações soma e produto é chamado de corpo dos números reais. 4.-Intervalos: Definem-se também os seguintes conjuntos: Inteiros Positivos: Z *,, 3,.... Inteiros não-negativos: Z 0,,, 3,.... Inteiros negativos: Z *..., 3,,. Inteiros não-positivos: Z..., 3,,, 0. Racionais Positivos: p p Q * Q : 0. q q Racionais não-negativos: Q p p Q : q q 0 a, b IR : a b a, b IR : a b a, b IR : a b a,b IR : a b a, IR : a a, IR : a, a IR : a, a IR : a Página 8

29 Racionais negativos: p p Q * Q : 0. q q Racionais não-positivos: p p Q Q : 0. q q Reais Positivos: IR * IR : 0. Reais não-negativos: IR IR : 0. Reais negativos: IR * IR : 0. Reais não-positivos: IR IR : 0. Página 9

30 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R. (AFA 0) Se α =..., então (A) α (IR IN) (B) α pode ser escrito na forma α = k, k Z (C) α [(Q Z) (IR Q)] (D) [(Z Q) (IR IN)] α. (AFA 008) Analise as alternativas abaio e marque a correta. (A) Se = B {m N m² < 40}, então o número de elementos do conjunto B é 6. (B) Se α =, então α [(IR Q) (IR Z)] (C) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente. (D) Se A =], 5[ e B =] 3,3[, então B A=] 3,[. R3. (AFA 005) Considere um subconjunto A contido em 3 são múltiplos de 4 7 são múltiplos de 0 5 são múltiplos de 0 e 9 são números ímpares. É correto dizer que y é um número: (A) par menor que 9. (B) múltiplo de. (C) ímpar entre 0 e 0. (D) primo maior que. * N e constituído por y elementos dos quais: ESCOLA NAVAL R4. (EN 993) Sejam A = [0,], B = (,] e C = (,3). O complemento de A(B C) em relação ao conjunto B é igual a: (A) (,0) [,] (B) (,) (C) (,0] [,] (D) (,] (E) (,0) (,] NÍVEL B ITA R. (ITA 004) Seja o conjunto S = {r Q : r 0 e r }, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 5 7 I. S e S 4 5 II. { IR : 0 } S = III. S. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) I (E) II Página 30

31 NÍVEL C ITA. (ITA 0) Sejam r, r e r 3 números reais tais que r r e r +r +r 3 são racionais. Das afirmações: I. Se r é racional ou r é racional, então r 3 é racional; II. Se r 3 é racional, então r + r é racional; III. Se r 3 é racional, então r e r são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) I, II e III. IME. (IME 993) Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta. a) O conjunto dos números reais não tem pontos etremos reais; b) Eiste um número em Q (racionais) cujo quadrado é ; c) O ponto correspondente a na escala dos números reais R está situado entre os pontos e Página 3

32 CAPÍTULO 6 - FUNÇÃO Definição: Sejam A,B IR, uma Função de A em B é uma Relação de A em B tal que a cada elemento de A é associado um único elemento de B. Representa-se uma Função de A em B por: f O gráfico de uma Função de A em B é a representação dos pontos da função no plano cartesiano, em particular: G f f : A Em seguida o gráfico de uma função e o gráfico de uma relação. B,f : A A B De fato, eistem pontos no domínio da circunferência tais que a reta perpendicular ao eio das abscissas intercepta o seu gráfico em mais de um ponto. O Domínio e o Contradomínio e a Imagem de uma Função de A em B, são definidos por: D f CD Im f A f B f A y B : A, f y. Página 3

33 Classificação de Funções: Função Injetora: Uma função é injetora se e somente, se quaisquer dois elementos distintos do seu domínio possuírem imagens distintas, ou seja, O gráfico abaio é um eemplo de gráfico de função injetora., A : f f. f é injetora Já o próimo não é um eemplo de gráfico de função injetora, uma vez que eiste ponto na imagem tal que a reta perpendicular ao eio das ordenadas intercepta o gráfico da função em mais de um ponto. Função Sobrejetora: Diremos que uma função é sobrejetora se e somente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio, ou seja, f é sobrejetora Im f CD f Página 33

34 Seja a, b c, d f : dependendo do conjunto imagem f pode ser uma função sobrejetora, Ou não: No segundo caso eistem pontos no contradomínio tais que a reta perpendicular ao eio das ordenadas por estes pontos não intercepta o gráfico da função. Função Bijetora: Diremos que uma função é bijetora se e somente se for injetora e sobrejetora, ou seja, f é Bijetora f é Injetora e Sobrejetora Em seguida o gráfico de uma função bijetora. Página 34

35 Classificação de Funções quanto ao crescimento: Função Crescente: Seja f : A B f é crescente f, A, f Função Decrescente: Seja f : A B f é decrescent e f, A, f Obs.: Estas funções também podem ser chamadas de funções estritamente crescentes ou estritamente decrescentes. Obs.: Toda função crescente ou decrescente é injetora. Função não Crescente: f é não crescente f, A, f Função não Decrescente: f é não decrescent e f, A, f Página 35

36 Função Monótona: f é monótona f é crescente ou f é de crescente ou f é não crescente ou f é não de crescente Classificação de Funções quanto à Paridade: Função Par: Seja f : A B f é par A, f f Obs.: O gráfico de uma função par é simétrico em relação aos eios das ordenadas. Função Ímpar: Seja f : A B f é ímpar A, f f Obs.: O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema de coordenadas. Página 36

37 Classificação de Funções quanto à Periodicidade: Função Periódica: Seja f : A B f é periódica T 0 : A, f T f O Período de uma função periódica é definido por: P mín T : TIR *, f T f, A Em seguida o gráfico de uma função periódica: Obs.: Eistem funções periódicas que não possuem período, por eemplo, as funções constantes, f :A B f () b Função Composta: Sejam f : A B, g: C D funções, e os conjuntos B e C tais que, B C, define-se A Função Composta de f por g por: g f : A D y : g f () g ( f ( )) Página 37

38 Função Inversa: Uma vez que uma função f : A B é uma relação, sempre eiste a sua relação inversa R f : B A. O Teorema seguinte dá condições para que a relação inversa de uma função também seja uma função. Teorema: Seja f : A B uma função, então: f é bijetora R f : B A é função Se f : A B é uma Função Bijetora, então a Relação Inversa de B em A é uma função e é chamada de Função Inversa de B em A f : B A. Em particular, f f f f y y, y B, A f f f id B f id A Onde id A é a função identidade restrita ao conjunto A. Obs.: Caso Ou seja, f : IR IR então f f f f () f f f id f (), IR Teorema: O gráfico de uma função bijetora e o gráfico da sua função inversa são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta y. Página 38

39 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA. (AFA 009) Um estudo sobre a concentração de um candidato em provas de memorização indicou que, com o tempo decorrido, sua capacidade de reação diminui. t A capacidade de reação (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em horas, podem ser epressos pela relação E =. t 3 Sendo assim, é INCORRETO afirmar que (A) a concentração tende a ser máima por volta de 0 minutos do início da prova. (B) a cada intervalo de h de prova há uma queda de 33, 3 % na capacidade de reação. (C) a capacidade de reação nunca é menor que (D) se a capacidade de reação é 4, então o tempo t decorrido é maior que 4 minutos. R. (AFA 005) Observe os gráficos abaio, das funções f e g, definidas no intervalo [ 0,] Página 39

40 Com base nos gráficos, assinale a alternativa FALSA. (A) g(f (0,4)) g(f()), [ 0,]. (B) g(f (0,6)) g(f ()). (C) g(f (0,05)) g(f (0, )). (D) g(g()), [ 0,3;0,8 ]. R3. (AFA 00) Se f e g são funções de IR em IR definidas por f(3+) = 4 (A) 5 (B) 5 9 (C) (D) 5. 3 e g( 3) = 5, então f(g()) ;e: 4. (AFA 00) Os números inteiros do domínio da função real f () (5 ) ( 3) são as raízes da equação g() 0. Uma epressão analítica da função g () é: 3 (A) 3 (B) 3 (C) 3 3 (D) 3. R5. (AFA 999) Seja D =,,3,4,5 e f: D R, a função definida por f() = ( )( 4). Então, pode-se afirmar que f (A) é bijetora. (B) é somente injetora. (C) é somente sobrejetora. (D) possui conjunto imagem com 3 elementos. ESCOLA NAVAL R6. (EN 0) Considere f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n + ) = 3 + f(n), n N, f(0) = 0 e f() = 5. Qual o valor de f (8) f (70)? (A) (B) 0 (C) 3 (D) 5 (E) 3 R7. (EN 993) Sejam h() = 3, t() = (A) (B) (C) (D) (E) 3, e, f() = t(h()). O valor de f- (/9) é: 8. (EN 990) Se, para todo real, f( + 3) = 3 + então f [f()] é igual a: (A) Página 40

41 3 (B) 3 5 (C) 9 5 (D) 4 (E) (EN 989) Sabendo que f, g e h são funções reais de variável real e que f e g não se anulam, considere as afirmações abaio : I - fo (g + h) = fog + foh II - (g + h) of = gof + hof III - og fog f IV - fo fog g Podemos afirmar que: (A) todas as afirmativas acima são verdadeiras. (B) somente I a II são verdadeiras (C) somente a IV é falsa (D) somente II e III são verdadeiras. (E) somente I é falsa. R0. (EN 988) Seja {-, 0, }. Se f () = 3 (A) (B) 3 (C) 3 (D) 3 (E). 3 e f n+ () = f f () para todo n natural, então f 988 () igual a: NÍVEL B ITA R. (ITA 005) Considere os conjuntos S = {0,, 4, 6}, T = {, 3, 5} e U = {0, } e as afirmações: I. {0} S e S U II. {} S\ U e S T U = {0, } III. Eiste uma função f : S Tinjetiva. IV. Nenhuma função g : T Sé sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas IV. (C) apenas I e IV. (D) apenas II e III. (E) apenas III e IV. n Página 4

42 IME R (IME 007) Seja f : IR IR, onde IR é o conjunto dos números reais, tal que: f (4) 5 f ( 4) f (). f (4) O valor de f( 4) é: 4 (A) 5 (B) 4 (C) 5 (D) 5 (E) 5 4. R3. (IME ) Considere os conjuntos A={(,),(,3),(,3)} e B={,,3,4,5}, e seja a função f : A B tal que: f(,y) = + y É possível afirmar que f é uma função: (A) injetora (B) sobrejetora (C) bijetora (D) par (E) ímpar. NÍVEL C EFOMM R. (EFOMM 009_00) Seja f: R R uma função estritamente decrescente, quaisquer l e reais, com l < tem-se f( l ) > f( ) Nessas condições, analise as afirmativas abaio. I - f é injetora. II - f pode ser uma função par. III- Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. Assinale a opção correta. (A) Apenas as afirmativas I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. ITA R. (ITA 005) Seja D = R \ {} e f : D D uma função dada por f() = I. f é injetiva e sobrejetiva II. f é injetiva, mas não sobrejetiva III. f() + f = 0,para todo D, 0 IV. f(). f( ), para todo D Então, são verdadeiras. Considere as afirmações: Página 4

43 (A) apenas I e III. (B) apenas I e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas I, III e IV. (E) apenas II, III e IV. R3. (ITA 003) Considere uma função f : IR IR não- constante e tal que f( + y) = f()f(y),, y IR. Das afirmações: I. f() > 0, IR. II. f(n) = [f()] n, IR, n IN*. III. f é par. é (são) verdadeira(s): (A) apenas I e II. (B) apenas II e III. (C) apenas I e III. (D) todas. (E) nenhuma. 4. (ITA 003) Mostre que toda função f : IR \ {0} IR, satisfazendo f(y) = f() + f(y) em todo seu domínio, é par. 5. (ITA 00) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por: a b f() =, c < < c. c Então f(), para c < < c, é constante e igual a (A) a + b. (B) a + c. (C) c. (D) b. (E) a. R6. (ITA 00) Seja f : IR IR bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f : IR IR também é ímpar. 7. (ITA 00) Sejam f, g : R R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações I. f. g é ímpar, II. f g é par, III. g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e II (E) todas. 8. (ITA 009) Seja f: IR IR \ {0} uma função satisfazendo às condições: f( + y) = f() f(y), para todo, y IR e f(), para todo IR \ {0}. Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f (0) =. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f () > 0 para todo IR. é(são) falsa(s) apenas (A) I e III. (B) II e III. (C) I e IV. (D) IV. (E) I. Página 43

44 3 9. (ITA 009) Seja f : IR \ { } IR definida por f() = a) Mostre que f é injetora. b) Determine D= {f(), IR \ { }} e f : D IR\ { }. R0. (ITA 00) Se f : ] 0, [ IR é tal que, ] 0, [, f () e f() = f f 4 então a desigualdade válida para qualquer n =,, 3,... e 0 < < é: (A) f () n (B) f () n (C) f () n (D) f () n (E) f (). n. (ITA 999) Sejam f, g, h: R R funções tais que a função composta h o g o f : R R é a função identidade. Considere as afirmações: I A função h é sobrejetora. II Se o R é tal que f( 0 ) = 0, então f() 0 para todo R com 0. III A equação h() = 0 tem solução em R. Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. (B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. (C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são falsas.. (ITA 997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções f, g : R R definidas por: 0, se Q f (), se I, se Q g() 0, se I Seja J a imagem da função composta f o g: R R. Podemos afirmar que: (A) J = R (B) J = Q (C) J = {0} (D) J = {} (E) J = {0, }. R3. (ITA 997) Seja f, g : R R funções tais que g() = e f() + f( ) = ( ) 3, para todo R. Então f[g()] é igual a (A) ( ) 3 (B) ( ) 3 (C) 3 (D) (E). Página 44

45 4. (ITA 996) Seja f : * R R uma função injetora tal que f () = 0 e f (. y) = f () + f (y) para todo > 0 e y > 0. Se,, 5 3, 4 e 5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde i > 0 para i =,, 3, 4, 5 e sabendo que f ( i ) = 3 f () i 4 i + f ( ) e f( ) = f ( ), então, o valor de é: i i (A) (B) (C) 3 (D) 4 (E). 5. (ITA 993) Seja f: IR IR uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes informações: I. f(p) 0 II. f( ) = f( p), IR III. f( ) = f( p), IR IV. f() = f( ), IR Podemos concluir que: (A) I e II são falsas (B) I e III são falsas (C) II e III são falsas (D) I e IV são falsas (E) II e IV são falsas R6. (ITA 99) Dadas as funções f:ir IR e g: IR IR, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog. Então podemos afirmar que: (A) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (B) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (C) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível. (D) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. (E) n.d.a 7. (ITA 99) Considere as afirmações: I- Se f: IR IR é uma função par e g: IR IR uma função qualquer, então a composição gof é uma função par. II- Se f: IR IR é uma função par e g: IR IR uma função ímpar, então a composição fog é uma função par. III- Se f: IR IR é uma função ímpar e inversível então f - : IR IR é uma função ímpar. Então: (A) Apenas a afirmação I é falsa; (B) Apenas as afirmações I e II são falsas; (C) Apenas a afirmação III é verdadeira; (D) Todas as afirmações são falsas; (E) n.d.a (ITA 990) Seja a função f: IR {} IR {3} definida por f() =. Sobre sua inversa podemos garantir que: (A) não está definida pois f é não injetora. (B) não está definida pois f não é sobrejetora. y (C) está definida por f - (y) =, y 3. y 3 y 5 (D) está definida por f - (y) =, y 3. y 3 y 5 (E) está definida por f - (y) =, y 3. y 3 Página 45

46 IME (9) (IME 0_0) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real, ( b) ( c) ( c) ( a) ( a) ( b) f () a b c, obtém se f() igual a : (a b) (a c) (b c)(c a) (c a)(c b) (A) (a + b + c) + abc (B) + abc (C) (D) (E) + abc 0. (IME 009) Sejam f uma função bijetora de uma variável real, definida para todo conjunto dos números reais e as relações h e g, definidas por: h : IR IR 3, y h, y, f y e g : IR IR 3, y g, y, f y Pode-se afirmar que (A) h e g são sobrejetoras. (B) h é injetora e g sobrejetora. (C) h e g não são bijetoras. (D) h e g não são sobrejetoras. (E) h não é injetora e g é bijetora. R. (IME 004) Seja uma função f : IR {0} IR, onde IR representa o conjunto dos números reais, tal que f(a / b) = f(a) f(b) para a e b pertencentes ao domínio de f. Demonstre que f é uma função par. n (n ) R. (IME 007) Seja f : IN IR uma função tal que f (k) 008, onde N e IR são, respectivamente, o conjunto (n ) k0 dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de. f (006) R3. (IME 996) Seja f uma função real tal que, a IR : f( + a) = + f () [f ()], f é periódica? Justifique. 4. (IME ). Considere uma função que satisfaz: L:IR. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 y L Ly. Ly L L,, y IR. Mostre que: L 0 ; a) L L, IR b) L L L y, e y IR ; y c) ;. IR Página 46

47 n d) L nl, IR e n IN ; L L, IR e nin, n ; n 0 yl 0 L y L. e) n f) R5. (IME 987) Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por h :IR IR Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que g h, y, y,, y IR h g, y, y,, y IR 3, y h, y, f y Página 47

48 CAPÍTULO 7 - FUNÇÃO CONSTANTE Definição: Seja b IR, a relação: é uma função, chamada função constante. Definida a função temos D f CD Im f f IR IR b. Gráfico: f : IR IR f ( ) b, Página 48

49 CAPÍTULO 8 - FUNÇÃO DO GRAU Definição: Sejam a IR e * b IR, a relação: f : IR IR f ( ) a b, é uma função, chamada Função do Grau ou Função Afim, denomina-se o parâmetro a por coeficiente angular e o parâmetro b por coeficiente linear. Definida assim temos: D f CD Im f f IR IR IR. Gráfico: O gráfico de uma função do grau é uma reta. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que se determine a sua raiz, bem como seu comportamento. A raiz de uma função é o valor de tal que f ( ) 0, em particular, a raiz de uma função do grau é obtida resolvendo-se a equação do grau associada. Ou seja, Resumindo: b f ( ) 0 a b 0, a 0a b.. a O próimo passo é determinar o comportamento da função do Grau, que é dado pelo coeficiente angular. Se a 0 então a função do Grau é crescente. De fato f ( ) a a f ( b a a Analogamente se a 0 a Função do Grau é decrescente. b O gráfico de uma função do grau tem em comum com o eio das abscissas o ponto de coordenadas (,0) e com o eio das a ordenadas o ponto de coordenadas ( 0,b ) e o seu comportamento é dado pelo sinal do coeficiente angular, caso este seja positivo a função será crescente, caso contrário, será decrescente.. ) b Em particular a função do grau é sobrejetora, pois, CD Im e é injetora, pois, f f f ( ) f ( a a b a ) a, a 0. A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do grau, nos diferentes casos. b Página 49

50 Caso: a < 0 e b > 0 Caso: a < 0 e b < 0 3 Caso: a > 0 e b < 0 4 Caso: a > 0 e b > 0 Página 50

51 Analisando os gráficos acima concluímos que o sinal da função do grau é obtido de acordo com o sinal do coeficiente angular, ou seja, com o sinal de a. Resumindo: À direita da raiz a função do grau tem o mesmo sinal do coeficiente angular. Obs.: Se b 0 a função do grau pode ser chamada de função linear, neste caso o gráfico contém a origem do plano cartesiano. Obs.: Nem toda relação cujo gráfico é uma reta é uma função do grau, em particular podemos ter uma função constante Página 5

52 f : IR IR f ( ) b Ou simplesmente uma relação R : ( c, y) : y IR Definição: Sejam EQUAÇÃO DO GRAU * a IR, b IR, a equação do grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente à: Discussão de equações do tipo a b 0 : Seja a b 0 onde a,b IR, então: a b 0. Se a 0 a equação a b 0 é uma equação do grau, neste caso a equação é classificada como possível e determinada e b S. a a 0 A equação a b 0 se reduz à: Página 5

53 Assim temos dois casos a analisar b 0 e b 0. 0 b 0 Se a 0 e b 0 a equação se reduz a Assim S IR já que todo número real é solução, neste caso a equação é classificada como possível e indeterminada. Se a 0 e b 0 a equação se reduz a 0 b 0 é classificada como impossível. Resumindo: Definição Sejam e neste caso a 0 a 0 e b 0 a 0 e b 0 Equação Im possível S já que nenhum número real é solução, neste caso a equação Equação Possível e det er minada Equação Possível e indet er minada INEQUAÇÃO DO GRAU * a IR, b IR, uma inequação do grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente a a b 0 ou a b 0 ou a b 0 ou a b 0 A solução de uma inequação do grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do grau correspondente. Página 53

54 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R. (AFA 0) Para angariar fundos de formatura, os cadetes do º ano da AFA vendem camisas de malha com o emblema da turma. Se o preço de venda de cada camisa é de 0 reais, eles vendem por mês 30 camisas. Fizeram uma pesquisa e verificaram que, para cada reais de desconto no preço de cada camisa, são vendidas 6 camisas a mais por mês. Dessa forma é correto afirmar que (A) é possível fazer mais de 0 descontos de reais. (B) tanto faz vender as camisas reais cada uma ou 8 reais cada uma que o faturamento é o mesmo. (C) o máimo faturamento ocorre se são vendidas menos de 40 camisas por mês. (D) se o preço de venda de cada camisa é de 4 reais, então o faturamento é maior que 680 reais. R. (AFA 00) Na figura abaio, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis α, β e γ para quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três opções. Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando ]m, + [, m IR. O menor valor possível para m é (A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) (AFA 009) Considere as funções reais f : IR IR dada por f() = + a, g : IR IR dada por g() = a, h : IR IR dada por h() = a Sabendo-se que a < 0, é INCORRETO afirmar que (A) h() f() < g() a (B) IR g() f() (C) se < a, então f() < g() < h() (D) se a < < a, então f() < h() < g(). Página 54

55 R4. (AFA 008) " A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e ao aumento da alíquota, cresceu mais de 40% nos últimos anos (em bilhões de reais por ano)". Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico acima é linear do ano 005 ao ano de 007 e que y% representa o aumento da arrecadação do ano de 005 ao ano de 006, é correto afirmar que y é um número do intervalo: (A) [8, 9[ (B) [9, 0[ (C) [0, [ (D) [, [ 5. (AFA 008) Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à Receita federal no ano de 007 ano base 006 (valores arredondados para facilitar os cálculos). Rendimento para base de cálculos (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir (R$) até 4.999,99 Isento de 5.000,00 a , ,00 acima de ,00 7, ,00 Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. Esse rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ ,00 teve direito às seguintes deduções: R$ 4.400,00 com o total de gastos em educação, R$ 5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$.500,00 por dependente. Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este trabalhador, no ano de 007, foi de R$ 3.55,00, o número de dependentes considerado foi: (A) (B) 3 (C) 4 (D) 6 R6. (AFA 005) Seja: * 4 A N n e n N Seja: 3 4 B Z 0 9 É incorreto afirmar que: (A) A B tem 8 elementos. (B) A B. (C) B A 0. (D) A B B. Página 55

56 7. (AFA 005) Seja f a função real cujo gráfico se apresenta a seguir: Analisando o gráfico, é INCORRETO afirmar que: (A) f (f ()) f (0,5). (B) f (0) f (), R. 5 (C) se g() f (), então g ( ) f. (D) f () 0, R. 8. (AFA 003) Analise o gráfico abaio das funções f e g e marque a opção correta. (A) O gráfico da função h() = g() f() é uma reta ascendente. (B) O conjunto imagem da função s() = f(g()) é IR (C) f(). g() 0 t (D) g(f()) = g() IR. R9. (AFA 003) Considere a função f: IRIR tal que (A) f é sobrejetora. (B) f é par. (C) f não é par nem ímpar. (D) Se f é definida de IR em IR +, f é bijetora., se f () e assinale a alternativa verdadeira., se 0. (AFA 003) Na figura abaio, tem-se o gráfico da função real f em que f() representa o preço, pago em reais, de quilogramas de um determinado produto. (Considere f() IR) Página 56

57 De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar que (A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 8,00. (B) com R$ 0,00, foi possível comprar 55 quilogramas do produto. (C) com R$ 36,00, foi possível comprar 7 quilogramas do produto. (D) com R$ 3,00, compra-se tanto 53, quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto. R. (AFA 00) Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte. Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 4.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 0 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 0% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais, (A) menor que 4500 (B) maior que 4500 e menor que 7000 (C) múltiplo de 7500 (D) um número que NÃO divide 000. R. (AFA 999) Seja f uma função real do primeiro grau com f(0) = + f() e f( ) = f(0). Então, o valor de f(3) é (A) 3. (B),5. (C). (D),5. R3. (AFA 994) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale dólares e daqui a 5 anos.000 dólares, o seu valor em dólares, daqui a 3 anos, será: (A) 3600 (B) 400 (C) 4600 (D) 5000 R4. (EN 993) Temos < se e somente se: (A) > / (B) < / (C) 0 < < / (D) < 0 ou > / (E) < 0 ESCOLA NAVAL NÍVEL B EFOMM Página 57

58 R. (EFOMM 00) O gráfico das três funções polinomiais do grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(), b() e c () estão representadas abaio. Nessas condições, o conjunto solução da inequação (A) ( 4; ) U [3;+) (B) [ 4; ] U [3;+ ) (C) ( ; 4) U [ ;+ ) (D) [4;+ ) (E) R {4} (a()).(b()) 3 (c()) (EFOMM 007) Uma empresa mercante A paga R$ 000,00 fios mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$ 400,00 fios mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Cláudio na B e obtiveram o mesmo valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados? (A) (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9. AFA 3. (AFA 0) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaio, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de bolsas. Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender (A) no mínimo bolsas. (B) pelo menos bolsa. (C) eatamente 3 bolsas. (D) no mínimo 4 bolsas. Página 58

59 5. (AFA 00) O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia o de junho começa o plano de racionamento de energia. O modelo energético brasileiro é baseado quase que eclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida no país. Sem chuva, entra em colapso. Revista Veja 6/05/0 No gráfico abaio, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica. Analise as alternativas e marque a opção correta. (A) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. (B) O nível de 80 metros foi atingido eatamente duas vezes até o ano 000. (C) Após o ano de 000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. (D) No período de 995 a 000, o nível da água só diminuiu. 6. (AFA 995) A função linear f, dada por f() = a + b, satisfaz a condição f(5 + ) = 5f() +. Então (A) a = b (B) a = b + (C) a = b + (D) a = (b + ) ESCOLA NAVAL R7. (EN 99) Representemos por min (a, b) o menor dos números a e b, isto é, a, se a b min (a, b) = b, se a b A solução da inequação min ( + 3, 3 5) < 4 é: (A) < / (B) < 3 (C) /< < 3 (D) > / (E) > 3 NÍVEL C AFA Página 59

60 . (AFA 007) No gráfico abaio estão representadas as funções reais f e g sendo A = f g É FALSO afirmar sobre as mesmas funções que (A) (fog)() 0 g() (B) se s() = [f ()] 00.[g()], então o domínio de s é dado por IR * 0 { } f () (C) o gráfico da função j definida por j() = possui pontos no 4º quadrante g () (D) se h: IR B tal que h() = f(). g(), então h será bijetora se B = [, +[ ESCOLA NAVAL. (EN 99) Determine o conjunto-imagem da função (fog) para: 0 se 0 se 0 f () se 0 e g() / se 0 0 se se (A) [0, ] {} (B) (, + ) (C) [0, ] (D) [0, + ) (E) {} ITA, 0 / R3. (ITA 006) Seja f : [0, ) IR definida por f() =., / f ( / ), / 0 Seja g : (-/, /) IR dada por g(), f ( / ), 0 / com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 4. (ITA 994) Dadas as funções reais de variável real f() = m + e g() = + m, onde m é uma constante real com 0 < m <, considere as afirmações: Página 60

61 I.(f o g)() = (g o f)(), para algum R. II. f(m) = g(m). III.Eiste a R tal que (f o g)(a) = f(a). IV.Eiste b R tal que (g o f)(b) = mb. V.0 < (g o f)(m) < 3. Podemos concluir que: (A)todas são verdadeiras (B)apenas três são verdadeiras (C)apenas uma é verdadeira (D)apenas quatro são verdadeiras (E)apenas duas são verdadeiras. Página 6

62 Definição: Sejam CAPÍTULO 9 - FUNÇÃO DO GRAU * a IR, b, c IR, a relação: é uma função, chamada função do grau. Definida assim tem-se f : IR IR f ( ) a b c, D f CD IR f IR Gráfico: O gráfico de uma função do grau é uma curva chamada parábola. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que analisemos as raízes da equação do grau associada à função, bem como sua concavidade. Primeiramente vamos estudar a eistência de raízes reais. As raízes de uma função do grau são obtidas resolvendo-se a equação do grau associada. Então a a a a b c 0, a 0 b c 0 a a b a b a b 4a c 0 a b 4ac 0 4a Chamando b 4ac temos a b a 4a 0 b a 4a Discussão da equação: 0 A equação não possui raízes reais S b 0 A equação possui duas raízes reais e iguais, pois 0 a b 0 A equação possui duas raízes reais e desiguais, pois a 4a b a b S a b b a b b S, a a b a a a O próimo passo é a determinação do vértice da parábola, aproveitando a fatoração acima temos que: f : IR IR b f ( ) a, a 4a Página 6

63 Como Temos que De qualquer maneira Em particular, obtemos que b 0 a b b a 0f () a f ( ) a 4a 4a a b b a 0f () a f ( ) a 4a 4a a b V,. a 4a a 0 Im, 4a e a 0 Im f, 4a f Quanto à concavidade, se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e caso contrário voltada para baio. A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do grau, nos diferentes casos. caso: a 0 0 caso: a 0 0 Página 63

64 3 caso: a caso: a caso: a caso: a 0 0 Página 64

65 Dos gráficos acima podemos concluir que: Se 0 a função do grau tem o sinal oposto ao sinal do parâmetro a no intervalo compreendido pelas raízes e o mesmo sinal do parâmetro a no complemento do intervalo das raízes. Se 0 a função do grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real diferente das raízes. Se 0 a função do grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real. Definição: Sejam Apenas lembrando, temos que: Soma e Produto das raízes: EQUAÇÃO DO GRAU * a IR, b, c IR, a equação do grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à: Sejam e as raízes da equação do grau Logo, a b c 0 b b 0 S, a a b 0 S a 0 S a b c 0, podemos escrever a b c a ( ) ( ) a b c a ( )( ) a b c a a ( ) a a a b a b c b a ( ) S e P. c a a c a a Em particular temos as seguintes identidades: S S, P c 0 P S P, c 0 P 3 S 3SP 3 S 3SP, c 0 3 P Página 65

66 Discussão de equações do tipo a b c 0 : Seja a b c 0 onde a, b e c IR, então: a 0 A equação a b c 0 é uma equação do grau e basta resolver conforme feito anteriormente. a 0 A equação a b c 0 se reduz a b c 0 e a discussão é feita conforme a discussão de uma equação do tipo a b 0, veja o capítulo 8. Definição Sejam INEQUAÇÃO DO GRAU * a IR, be c IR., uma inequação do grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à: a b c 0 ou a b c 0 ou a b c 0 ou a b c 0 A solução de uma inequação do grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do grau correspondente. Página 66

67 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM R. (EFOMM 006) Se M e N são as raízes de = 0, então (A) 6 (B) (C) (D) 3/5 (E) /6. vale: M N R. (EFOMM 005) O intervalo onde a função f () = (A), a (B),0 a (C), a (D), a a (E),0. a a a com * a IR, apresenta sinal positivo é AFA 3. (AFA 00) Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do º grau e g e h são do º grau. Sabe-se que V é o vértice da parábola. O conjunto de todos os valores de para os quais h() > g() > f() é (A) IR ], 5[ (B) IR [, 5] (C) IR [, 3] (D) IR ], 3[ Página 67

68 4. (AFA 009) Considere que g : IR B, definida por g() = b + c a é função par e possui como gráfico o esboço abaio. Marque a alternativa INCORRETA. (A) Se B = [ a, + [, então a função g é sobrejetora. (B) A função t : IR IR dada por t() = g() + a é positiva IR (C) b < c < a (D) A função h: IR IR dada por h() = g() a possui um zero real duplo. R5. (AFA 004) Seja f () a b c (a 0) uma função real definida para todo número real. Sabendo-se que eistem dois números e, distintos, tais que f ().f ( ) 0, pode-se afirmar que: (A) f passa necessariamente por um máimo. (B) f passa necessariamente por um mínimo. (C). é necessariamente negativo. (D) b 4ac 0. R6. (AFA 994) O polinômio do º grau y = b ( + ) + a, com coeficientes reais, não possui raiz real se, e somente se: (A) a b < 0 (B) a b < 0 (C) b 4a > 0 (D) b ab < 0 R7. (AFA 994) A solução da inequação > intervalo: (A) < < 5 (B) < < 3 (C) < < 3 (D) < < IME 5 0, no conjunto dos números reais, é dada pelo R8. (IME 999) Sejam as funções g() e h() assim definidas: g() = 3 4 ; h() = f (g()) = Determine a função f() e faça seu gráfico. R9. (IME 994) Seja f : IR IR uma função quadrática tal que f()=a +b+c, a 0, IR. Sabendo que = e = 5 são as raízes e que f () = 8. Pede-se: a)determinar a, b, c; b)calcular f (0); c)verificar se f () apresenta máimo ou mínimo, justificando a resposta; d)as coordenadas do ponto etremo; e)o esboço do gráfico. Página 68

69 NÍVEL B AFA R. (AFA 0) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaio, onde a IR a I) a IR a II)se e a > 0, então { IR < 0 ou > a} a III)se a > 0 e < a, então a < 0 Tem-se a sequência correta em (A) F V F (B) F F V (C) V F V (D) F V V R. (AFA 0) Considere a função quadrática f: A B de raízes = ou = 3, cujas coordenadas do vértice são iguais. Se f() 0 A e f é função crescente [p, q], então (q p) é igual a (A) (B) (C) 3 (D) 4 3. (AFA 008) As funções f: IR IR do º grau e g: IR [b, + [ do º grau estão representadas no gráfico abaio. Com base nas informações acima é correto afirmar que: (A) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número inteiro (B) (gogof 5 ) > 0 f () (C) 0 { IR ou 4} g() (D) f() g() 0 { IR 0 ou 6} Página 69

70 4. (AFA 007) A função f definida por f() = 4 7, se, se 4 se (A) não admite inversa porque não é injetora. (B) não admite inversa porque eistem valores de com várias imagens. (C) admite inversa e uma das sentenças que define a mesma é y = 3 se 3 (D) admite inversa f tal que f (5) = 5. (AFA 005) Dada a função real f definida por f(), considere a função real g definida por g() f( m) k, sendo m, k R. É INCORRETO afirmar que: (A) o gráfico da função g em relação ao gráfico da função f é deslocado k unidades para cima, se k 0, e m unidades para a direita, se m 0. (B) se m 0 e k, então o conjunto imagem de g é dado por Im yr y. (C) se m e k 3, então as coordenadas do vértice da parábola que representa g são ( m, k). (D) a equação do eio de simetria da parábola que representa g é dada por m. 6. (AFA 007) Analise as alternativas abaio e marque a FALSA. (A) Se a função f: IR IR é tal que f() = a + b, f(3) = 0 e f() > 0, então f é crescente em todo o seu domínio. (B) Se o gráfico da função quadrática f definida por f() = + k + m é o da figura abaio, então k m = (C) Seja f: IR IR tal que f() = 3 + e A um subconjunto do domínio de f. Se f é crescente em A e f() 0 em A, então A = [, ] (D) Se na função f: IR IR tal que f() = a + b + c, (a tangente ao eio das abscissas. b, então, necessariamente, o gráfico da função f é o 4a R7. (AFA 003) Observe o gráfico da função f abaio. Página 70

71 Sabendo que f é definida por (A) ac < 0 (B) pk 0 (C) p = (D) ab > 0. a b c, se f () analise as alternativas e marque a opção correta. p k, se R8. (AFA 00) Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$,00 cada uma e tem uma despesa fia semanal de R$ 50,00. Se são vendidas camisetas por semana, ao preço de reais a unidade, então, o número de camisetas que 3 30 deve ser vendido por semana para se obter o maior lucro possível é (A) 60 (B) 65 (C) 80 (D) 90. R9. (AFA 998) Seja f: [, ) [ 3, ) a função definida por f() = 3 6. Se g: [ 3, ) [, ) é a função inversa de f, então [g(6) g(3)] é (A) 5 (B) 6 (C) 5 6 (D) (AFA 998) Corta-se um pedaço de arame de comprimento 98 cm em duas partes. Com uma, faz-se um quadrado, com a outra, um retângulo com base e altura na razão de 3 para. Se a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras for mínima, o comprimento, em cm, do arame destinado à construção do quadrado será (A) 36 (B) 48 (C) 50 (D) 54. ITA. (ITA 004) Seja as funções f e g definidas em IR por f() = + a e g() = ( + ), em que e são números reais. Considere que estas funções são tais que Valor mínimo f Ponto de mínimo < 0 g Valor Ponto de máimo máimo 9 > 0 4 Então, a soma de todos os valores de para os quais (f o g) () = 0 é igual a (A) 0 (B) (C) 4 (D) 6 (E) 8. Página 7

72 R. (ITA 00) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função f() = está definida e é não-negativa para todo real é: 7 (A), 4 4 (B), 4 (C) 7 0, 4 (D), 4 (m 3) (m (m ) (m 3) ) (E) 7, (ITA 999) Considere as funções f e g definidas por f() =, para 0 e g() = (A) [, +[ (B) ], [ (C) [, [ (D) ], [ (E) ], [ ], + [., para. O conjunto de todas as soluções da inequação (g o f) () < g() é NÍVEL C AFA. (AFA 003) O conjunto { IR f() < 0}, onde f: IR IR é definida por f() = a + a + a 3, com a IR, é (A) ] ; a[ (B) ] ; a[ ] a; + [ (C) ] ; a[ ]a; + [ (D) ] a; + [. V. (AFA 00) O retângulo, com base no eio das abscissas, está inscrito numa parábola, conforme figura abaio. O valor de que faz esse retângulo ter perímetro máimo é (A) (B) 0,5 (C) 0,5 (D) 0,5. * Página 7

73 V3. (AFA 000) Na figura abaio, AC = BC, h = AB = 0 e SP é perpendicular a AB. O ponto S percorre AB e AS =. Nessas condições, a área da figura sombreada pode ser epressa por: (A) 5 se [0, 5] e se [5, 0] (B) se [0, 5] e se [5, 0] (C) 5 se [0, 5] e se [5, 0] (D) se [0, 5] e se [5, 0]. ESCOLA NAVAL 4. (EN 998) Considere os conjuntos A = 3 R 0 e B = { R < 0}. O conjunto solução A B é 5 3 (A),4 (B) 3,4 (C) 3, (D) ], 4] (E), ]4, [ 5. V5. (EN 994) O conjunto solução da inequação: 0, é: (A) ], ] ], [ (B) ], ] ], [ (C) ], [ ]0,[ (D) ], [ ], [ (E) ], ] ],0 [. V6. (EN 993) O conjunto imagem da função f() = 6 6 é: (A) [ 4; 4] (B) (, 4] [4; ) (C) {0} (D) {-4; 4} 4 Página 73

74 (E) [0; ) V7. (EN 990) + > k para todo real se, e só se: (A) k < 0 (B) k > 0 (C) < k < (D) < k < (E) k > 3 a V8. (EN 988) Para todo real, -3 < (A) 3 < a < (B) < a < (C) 6 < a <7 (D) < a < 7 (E) 6 < a < se e só se: ITA V9. (ITA 00) Determine todos os valores de m IR tais que a equação ( m) + m + m + = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero. 0. (ITA 998) Sejam as funções f : R R e g : A R R, tais que f () 9 e ( f g)() 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: (A) 3,. (B) R. (C) 5,. (D), 3,. (E), 6.. (ITA 996) Considere as funções reais f e g definidas por f () =, R {, } e g () =, /}. O maior subconjunto de R onde pode ser definida a composta f o g, tal que (f o g) () < 0, é: (A)], / [ ] /3, /4 [ (B)], [ ] /3, /4 [ (C)], [ ] /, [ (D)], [ (E)] /, /3 [. R { V. (ITA 996) Seja f : R R definida por 3 3, 0 f () = 4 3, 0 Então: (A)f é bijetora e (f o f) ( /3) = f () (B)f é bijetora e (f o f) ( /3) = f (99) (C)f é sobrejetora mas não é injetora (D)f é injetora mas não é sobrejetora (E)f é bijetora e (f o f) ( /3) = f (3). V3. (ITA 995) Os dados eperimentais da tabela abaio correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos eperimentais é uma parábola, tem-se que a concentração ( em moles ) após,5 segundos é: Página 74

75 (A) 3,60 (B) 3,65 (C) 3,70 (D) 3,75 (E) 3,80. Tempo s 3 Concentração moles 3,00 5,00,00 4. (ITA 990) Seja f: IR IR a função definida por, se f() =, se 4, se Lembrando que se A IR então f (A) = { IR: f() A} considere as afirmações: I- f não é injetora e f - ([3, 5]) = {4} II- f não é sobrejetora e f - ([3, 5]) = f - ([, 6]) III- f é injetora e f - ([0, 4]) = [, +[ Então podemos garantir que: (A) Apenas as afirmações II e III são falsas; (B) As afirmações I e III são verdadeiras; (C) Apenas a afirmação II é verdadeira; (D) Apenas a afirmação III é verdadeira; (E) Todas as afirmações são falsas. 5. (ITA 989) Os valores de, 0 < < e π, para os quais a função f: IR IR dada por f() = 4 4 tg, assume seu valor mínimo igual a 4, são: π 3π (A) e 4 4 π π (B) e 5 5 π π (C) e 3 3 π π (D) e 7 7 π 3π (E) e 5 5 IME V6. (IME 007) Sejam e as raízes da equação + (m 5) + m = 0. Sabendo que e são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para m. 7. (IME 000) Considere a, b e c números reais tais que a < b < c. Prove que a equação abaio possui eatamente duas raízes e, que satisfazem a condição: a < < b < < c. 0 a b c R8. (IME 989) Resolva o sistema 7 3 y 3 y 4 y 0 Página 75

76 9. (IME ) Dada a equação m 3m = 0, onde m IR: a) Determine m tal que uma raiz seja nula; calcule a outra raiz. b) Mostre que a equação dada tem sempre duas raízes distintas. c) Determine m para que uma raiz seja inferior a e a outra seja superior a. 0. (IME 98) a) Seja a função y = m ( + 8m) + 4(4m + ), onde m é um número dado, mas variável. Mostre que todas as curvas representativas da função passam por um ponto A fio e que são todas tangentes entre si, neste ponto. Calcule as coordenadas do ponto A e dê a equação da tangente comum. b) Determine os dois valores de m para os quais a razão entre as raízes da equação m ( + 8m) + 4(4m+ ) = 0, é igual a ( ). 4. (IME 98) Determine os valores de h, de modo que a desigualdade h 3 < < 3 seja válida para qualquer real. Página 76

77 CAPÍTULO 0 - FUNÇÃO MODULAR Definição: A relação É uma função, chamada função modular. f :IR IR, 0 f () :, 0 Definida assim temos D f CD Im f IR f IR IR Gráfico: O gráfico de uma função modular é obtido de maneira imediata da sua definição EQUAÇÃO MODULAR Definição: Seja a IR, uma equação modular é uma sentença aberta equivalente à: Assim, a. a 0 S a 0 S a 0 S a 0 INEQUAÇÃO MODULAR Definição: Seja a IR, uma inequação modular é uma sentença aberta equivalente à: Página 77

78 ou ou ou a a a a A solução de uma inequação modular é obtida pela definição do módulo. Página 78

79 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA R. (AFA 999) O conjunto solução da inequação 9 9 (A) R (B) R (C) R (D) R ou < 5 é. (AFA 0) Considere a função real g : A IR tal que NÍVEL B AFA g() Sabendo-se que o conjunto A é o mais amplo possível, é verdade que (A) A tal que g()=- (B)se h g (C)se 0, então tal que (D) ], [, então h possui raiz real. g 0 g 3. (AFA 007) Sobre a função real definida por f() = 3, se ou ( ),se, pode-se dizer que (A) tem o valor máimo igual a (B) f() 7 ou (C) f() > 0, IR (D) se < <, então 0 < y 3. (AFA 005) Considere a função (A), se 0 f(). A função g() f () terá o seguinte gráfico:, se 0 (B) Página 79

80 (C) (D) 4. (AFA 003) Analise as proposições abaio classificando-as em V (verdadeiro) ou F (falso), considerando funções reais. ( ) O domínio e a imagem da função g definida por g() 9 ( ) Se f() = e g() = f( + m) f() então g() é igual a m(4 + m) ( ) Se h(), então h () = h() A seqüência correta é (A) F V V (B) F V F (C) V F V (D) V V F. são, respectivamente, 3,3 e 0, ESCOLA NAVAL 3 R5. (EN 005) O conjunto dos números reais que satisfaz a desigualdade 4 é: 5 (A) ], [ ], [. (B) ], [,. 6 (C) (E) 5 3 5,,. (D) 6,, ,, (EN 990) A equação + 3 = a + : (A) não possui solução para a < ; (B) possui duas soluções para a > ; (C) possui solução única para < /3; (D) possui solução única para < a < /3; (E) possui duas soluções para < a < /3. V7. (EN 989) O conjunto solução da inequação 3 + > é (A) (/3, ) Página 80

81 (B) (, ) (C) (/3,) (D) (E) (,) V8. (EN 987) Sejam A = { R 4 } e B = { R < 0}. A diferença A B é igual a: (A){ R < 4} (B){ R 4} (C){ R 4 < 6} (D){ R 6 < < 0} (E){ R 6 < 0}. NÍVEL C ESCOLA NAVAL V. (EN 006) O conjunto de todos os números reais que satisfazem a desigualdade é: (A),, 5, (B),, 5, 3,., 5 5,. (C) 5, (D) (E) 5,,. 3. (EN 997) O máimo absoluto e o mínimo absoluto da função real f() = 0 se 6 ou 3 se 6 se se são, respectivamente: (A) e (B) e (C) e 0 (D) e 0 (E) 3 e. 3. (EN 994) O conjunto solução de 3 3 (A) ] 8 5,3[ ]3, [ (B) ] 3,0[ ]0, [ (C) ],8 5[ ]3,0[ (D) ] 8 5,3[ ]3,0[ (E) ] 8 5,3[ ]0, [. é: Página 8

82 ITA V4. (ITA 00) O produto das raízes reais da equação 3 + = 3 é igual a: (A) 5 (B) (C) (D) (E) (ITA 00) Os valores de R, para os quais a função real dada por f() = 5 6. Está definida, formam o conjunto (A) [0, ] (B) [ 5, 6] (C) [ 5, 0] [, ) (D)(, 0] [, 6] (E) [ 5, 0] [, 6]. 6. (ITA 99) Se A = { IR : }, então temos: (A) A = [, ] [4, + [ (B) A = [, 4] (C) A = [ 3, ] (A) A = ], 3] [, + [ (E) n.d.a. CAPÍTULO - FUNÇÃO EXPONENCIAL Página 8

83 Definição: Seja a IR, a 0 e a. A relação f : IR IR f a É uma função, chamada função eponencial de base a, em particular, tem-se D f CD IR f IR Im f IR. Gráfico: O gráfico de uma função eponencial é uma curva que possui algumas particularidades, por eemplo, para todo a IR, a 0 e a, temos f (0), ou seja, o gráfico de toda função eponencial contem o ponto ( 0, ).O próimo passo é determinar o comportamento da função eponencial quanto ao crescimento. a Se a > então a logo a função eponencial é crescente. a Se 0 < a < então a, logo é a função eponencial é decrescente. Assim dado a IR, a 0 e a, a função eponencial de base a é uma função injetora. Em seguida um esboço para o gráfico de uma função eponencial nos dois casos: Página 83

84 EQUAÇÃO EXPONENCIAL Definição: Seja a IR, a 0 e a, uma equação eponencial de base a é uma sentença aberta equivalente a a b. Discussão de equações do tipo a b : Se b 0 a equação eponencial é possível e determinada. Se b 0 a equação eponencial é impossível. INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Definição: Seja a IR, a 0 e a, uma inequação eponencial de base a é uma sentença aberta equivalente a a b ou a b ou a b ou a b A solução de uma inequação eponencial é obtida a partir do comportamento da função. Página 84

85 EXERCÍCIOS NÍVEL A AFA. (AFA 00) Todo número real positivo pode ser descrito na forma 0. Tendo em vista que = 0 0,30, então o epoente, tal que 5 = 0 vale, aproimadamente, (A) 0,5 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70. V. (AFA 00) Se IR e 7 5 = 43, então 7-3 é igual a: (A) /3 (B) /9 (C) /7 (D) /8. 3. (AFA 00) No intervalo [ -, 00], o número de soluções inteiras da inequação 3 8 > 3 - é: (A) 97 (B) 98 (C) 99 (D) 00. V4. (AFA 000) A soma das raízes da equação (A) (B) (C) 3 (D) = 8 é: V5. (AFA 998) O conjunto solução da inequação (0,5) ( ) < (0,5),5 é (A) { R l < }. (B) { R l > 3}. (C) { R l < < 3}. (D) { R l < ou > 3}. V6. (AFA 995) O conjunto solução da inequação + (0,75) + < é: (A) (B){ IR / > 0} (C) { IR / < 0) (D) { IR / ¼ < < } 7. (AFA 994) A solução da inequação eponencial 5 5 (A) ( R 0 ) (B) ( R ) (C) ( R 0 ) (D) ( R ou ) é: Página 85

86 4 8. (AFA 990) O conjunto solução da desigualdade: 8 + é: (A) { IR } (B) { IR } (C) { IR ou } (D) { IR ou } (E) nra 9. (AFA 989) O triplo da solução da equação (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) (AFA 989) A solução da equação = 0 é : (A) 0/3 (B) 0 (C) (D) é igual a : ESCOLA NAVAL. (EN 986) A inequação / < /4 se verifica para todo pertencente a: (A) (, ) (B) (, ) (C) (, 0) (D) (, 0) (E) (0, ). ITA. (ITA 006) Considere a equação ( a a )/(a + a ) = m, na variável real, com 0 < a. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é: (A) (, 0) (0,) (B) (, ) (, + ) (C) (, ) (D) (0, ) (E) (, + ). 3. (ITA 000) A soma das raízes reais e positivas da equação vale: (A) (B) 5 (C) (D) (E) 3. Página 86

87 4. (ITA 000) Seja S = [, ] e considere as afirmações: (I) 6, para todo S. 4 (II), para todo S. 3 3 (III) 0, para todo S. Então, podemos dizer que: (A) apenas (I) é verdadeira; (B) apenas (III) é verdadeira; (C) somente (I) e (II) são verdadeiras; (D) apenas (II) é falsa; (E) todas as afirmações são falsas 5. (ITA 999) Sejam f, g: R R funções definidas por f() = (3/) e g() = (/3). Considere as afirmações: I.Os gráficos de f e g não se interceptam. II.As funções f e g são crescentes. III.f( ) g( ) = f( ) g( ). Então: (A)apenas a afirmação I é falsa; (B)apenas a afirmação III é falsa; (C)apenas as afirmações I e II são falsas; (D)apenas as afirmações II e III são falsas; (E)todas as afirmações são falsas. V6. (ITA 999) Seja a R com a >. O conjunto de todas as soluções reais da inequação é: (A) ], [ (B) ], + [ (C) ] /, [ (D) ], [ (E) vazio. a ( ) a IME V7. (IME ) Dada a função f() = (56 56 ), demonstre que: f( + y) + f( y) = f() f(y) NÍVEL B EFOMM. (EFOMM 008) Em uma certa região, ocorreu uma infecção viral que se comportou de acordo com a função: N(t)= a. b.t, em que N(t) são pessoas infectadas em t dias após a realização do estudo; a e b constantes reais. Sabe-se que, ao iniciar o estudo, havia 3000 pessoas infectadas e que, após dias, esse número chegava a 4000 pessoas. Assinale a alternativa que representa o número de pessoas infectadas após 6 horas. (A) (B) (C) (D) (E) Página 87

88 AFA. (AFA 009_00) Sejam as funções f : IN IR e g : IN IR definidas por f() = e g() = Considere os números A e B, tais que A = f() + f() f(50) e B = + g() + g() g(n) +... Se o produto de A por B tende para o número α, então, α é (A) ímpar múltiplo de 9 (B) par divisor de (C) par múltiplo de 5 (D) ímpar múltiplo de 5 V3. (AFA 008) Sabendo-se que b é um número real tal que b > e que a função real f: IR B é tal que f() = b as alternativas abaio e marque a FALSA. (A) A função f admite valor mínimo. (B) b f() < (C) A função f é par. (D) Se B = [0, [ então f é sobrejetora., analise 4. (AFA 006) Seja f : R B a função definida por f () a ( a R e a ). Analise as afirmativas abaio, classificandoas em (V) verdadeiras(s) ou (F) falsa(s). ( ) f (p q) f (p) f (q), p,q R. ( ) f é crescente R. ( ) Se ],0[, então 3 y,. ( ) Se B ], [, então f é bijetora. A seqüência correta é: (A) F F V V. (B) F V F V. (C) V F F F. (D) F V V V. 5. (AFA 006) Assinale a alternativa INCORRETA: (A) O conjunto solução da inequação ( 3) e R. (B) O número real que satisfaz a sentença 3 5 -e divisor de 04. (C) A função eponencial definida por f () (a 4) é decrescente se 4 a 5. (D) Se y 0 é um número entre e , então está entre 4 e (AFA 003) Analise os itens abaio classificando-os em V (verdadeiro) ou F (falso). ( ) Em, o conjunto solução da inequação 8. (0,5) 0 é dado por [4, + [ e ( ) A função real y = é crescente IR (considere e a base dos logaritmos neperianos) ( ) Se f() =, então f(a). f(b) é sempre igual a f(a + b), onde a e b são reais quaisquer A seqüência correta é (A) F F V (B) V V F (C) F V V (D) V F F. Página 88

89 V7. (AFA 997) O produto das raízes da equação pertence ao conjunto dos números: (A) naturais e é primo (B) inteiros e é múltiplo de quatro (C) compleos e é imaginário puro (D) racionais positivos e é uma fração imprópria. 8. (AFA 996) A solução da equação =,9 é: (A) {0} (B) {} (C) { } (D) {,}. V9. (EN 005) Dadas as funções reais (A) 0. (B) 3. (C). (D) 3. ESCOLA NAVAL 00 f () e () g, pode-se afirmar que (g f )(90) é igual a: (E) (EN 004) O valor de é: (A) 8. (B) 3. (C). (D) 4. (E) 4. y onde e y são números inteiros que satisfazem a equação 6 y 3 3 y. (EN 988) A solução da equação abaio = pertence ao intervalo: (A) (, ) (B) (, 0) (C) (0, ) (D) (, ) (E) (, ). 94 V. (EN 007) No universo U IR, o conjunto solução da inequação., 4,., 0., ,,4. (A) 0,, 4 (B) (C) (D) (E) é: Página 89

90 4 3. (EN 005) O conjunto solução da inequação ( ) 3, onde é uma variável real, é: () 3 (A) ], 3[ ], [. (B) ], 3[ ], [. (C) ], [ ],3[. (D) ],[ ] 3, [. (E) ] 3,[ ], [. 4. (EN 994) O domínio da função (A) ], 5[ (B) ],5[ (C) ] 5, [ (D) ] 5, [ (E) ] 5,5[. 3 y é: ( 3) 43 ITA 5. (ITA 004) Seja um número real, com 0 < <. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de tais que <. (A) ], 0] [, +[ (B) ], 0[ ], +[ (C) ]0, [ (D) ], 0[ (E) ], +[. 6. (ITA 00) Sejam f e g duas funções definidas por 3sen f() = e g() = R 3sen, A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a (A) 0 (B) 4 (C) 4 (D) (E). IME V7. (IME 008) Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por: y y e e e, admite solução real. y K Página 90

91 (A) 0 K (B) 0 K ln (C) K e - (D) K > ln4 (E) 0 K. e e 8. (IME 008) Sejam f() =, g() = e e h() = g(f ()). Se os valores da base e da altura de um triângulo são e e definidos por h(0,5) e h(0,75) respectivamente, a área desse triângulo é igual a: e (A) (B) (C) 7 (D) 0 (E) e. 9. (IME 97) Dizemos que f : R R é uma função eponencial se f() = a, R, onde a é uma constante real estritamente positiva. Determine as funções eponenciais que satisfazem a equação: 6f(+5)+f(+4) 43f(+3) 43f(+)+f(+ )+6f() = 0 NÍVEL C EFOMM V. (EFOMM 009) A equação + cos(π ) = 0 tem quantas raízes no intervalo [0, π]? (A) Zero. (B) Uma. (C) Duas. (D) Três. (E) Quatro. ITA V. (ITA 00) A epressão 4e + 9e y 6e 54e y + 6 = 0, com e y reais, representa: (A) o conjunto vazio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(,y) IR (e ) + 3(e y 3) = }. 3. (ITA 998) Seja f: R R a função definida por f() = 3a, onde a é um número real 0 < a <. Sobre as afirmações: (I) f( + y) = f() f(y), para todo, y R; (II) f é bijetora; (III)f é crescente e f( ]0, + [ ) = ] 3, 0[. Podemos concluir que: (A) Todas as afirmações são falsas; (B) Todas as afirmações são verdadeiras; (C) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras; (D) Apenas a afirmação (II) é verdadeira; (E) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. Página 9

92 V4. (ITA 993) Um acidente de carro foi presenciado por /65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que B soube do acontecimento t horas após é dado por: f (t) = onde B é a população da cidade. Sabendo-se que /9 da kt Ce população soube do acidente 3 horas após, então o tempo passou até que /5 da população soubesse da notícia foi de: (A) 4 horas. (B) 5 horas. (C) 6 horas. (D) 5 horas e 4 min. (E) 5 horas e 30 min. 5. (ITA 99) Considere as funções f: IR* IR g: IR IR, e h: IR* IR definidas por: f() 3, g() =, h() = 8/. O conjunto dos valores de em IR* tais que (fog)() = (hof)(), é subconjunto de: (A) [0, 3] (B) [3, 7] (C) [ 6, ] (D) [, ] (E) n.d.a. e 6. (ITA 990) Dadas as funções f() = e (A) ambas são pares. (B) f é par e g é ímpar. (C) f é ímpar e g é par. (D) f não é par e nem ímpar e g é par. (E) ambas são ímpares., X {0} g() = sen, IR, podemos afirmar que: IME 4 7. (IME 998) Determine os valores de que satisfaçam à inequação, > 0, e represente, graficamente, a 9 função, y = (IME 997) Resolva o sistema abaio: y y y a onde a e a 0 Página 9

93 CAPÍTULO - FUNÇÃO LOGARITMO Definição: O logaritmo de um número real positivo, na base a IR, a 0 e a, é o número real y tal que a y, assim, escrevesse y log Resumindo: a, em particular é chamado de logaritmando. Se a IR, a 0 e a 0 então: E.: log log 8 7. a y y log. a Definição: Seja a IR, a 0 e a, a relação: f : IR IR f log. a. é uma função chamada função logaritmo de base a, em particular, tem-se: D f IR CD f IR Im f R. Gráfico: Decorre da definição que a função logaritmo na base a é a função inversa da função eponencial na base a, logo seu gráfico é o simétrico do gráfico da função eponencial em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Assim para a IR, a tem-se E para a IR, 0 a temos: Página 93

94 Sistema de logaritmos: Sistema de logaritmos na base a é o conjunto dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a. Os sistemas mais usados são o sistema decimal e o sistema neperiano. Sistema decimal (base 0): Neste caso a 0, os logaritmos podem ser representados simplesmente por log em vez de log 0. Sistema neperiano: A base do logaritmo é o número irracional e definido por: lim e n n Os logaritmos são representados simplesmente por ln. log Obs.: Uma consequência da definição de logaritmo é que a a. n,7. LOGARITMO Definido o logaritmo, a seguir enumeramos suas principais propriedades: Sejam a,b e c IR, a 0, b 0 e c0 e a então:. Logaritmo do Produto: Demonstração: Sejam log log log a a a b m b a c n n ca bc log b log a m a bc a c.. Logaritmo do Quociente: m a n a m n log a bc a log a bc log b log c. mn a log a a bc m n b loga b loga c. c Página 94

95 Demonstração: Sejam log log log a a a b m b a c n n ca b c log a m b log a b a c a c. m n a mn b c a mn log a b c m n 3. Logaritmo da Potência: Demonstração: Seja log b y, então : b a y a b a y b a y log a b log a log b a a log y a log b, a IR. b y log a b log a b. 4. Potência da Base Demonstração: Seja log b y, então : b a y a b 5. Mudança de base log a b log a b, IR y y a b a log b y log b y log b log b. a a. a a Demonstração: logc b m b c logc a n a c m n log a b log c n c m m n logc b loga b. log a log c c m n c log a b logc b log a c. Definição: O Anti-logaritmo na base a é definido por: log a y anti log y. a E.: log 5 3 anti log Definição: O Cologaritmo na base a é definido por: E.3: log 8 4 co log co log a log. a EQUAÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Seja a IR, a 0 e a, uma equação logarítmica de base a é uma sentença aberta equivalente à: loga b. Página 95

96 Discussão de equações do tipo loga b. : A equação logarítmica é sempre possível e determinada. INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Definição: Seja a IR, a 0 e a, uma inequação logarítmica de base a é uma sentença aberta equivalente à: log b ou a log b ou a log b ou a log b a A solução de uma inequação logarítmica é obtida a partir do comportamento da função. Página 96

97 EXERCÍCIOS NÍVEL A EFOMM V. (EFOMM 00) Sabendo que o log 3o 3 = a e log 30 5 = b, que opção representa log l0? (A) a b a (B) a b a (C) a b a (D) a b a (E) a b a V. (EFOMM 009) Os domínios das funções reais f() = log e g() =.log são D e D, respectivamente. Sendo assim, pode-se afirmar que (A) D = D (B) D D, mas D D (C) D D, mas D D (D) D D, e D D = (E) D D, D D e D. 3. (EFOMM 006) Se Log a = 0,477 e Log b = 0,300, então Log b a é (A) 0,76 (B) 0,76 (C) 0,778 (D) 0,839 (E) 0, (EFOMM 005) Determine o domínio da função real y = (A) D = { IR / 0 < 4} (B) D = { IR / 0 > 4} (C) D = { IR / 0 < } (D) D = { IR / 0 > } (E) D = { IR / < 4}. log Página 97

98 AFA 5. (AFA 0) Considere uma aplicação financeira denominada UNI que rende juros mensais de M log7 96 e outra aplicação financeira denominada DUNI que rende juros mensais de N log 4 9 A razão entre os juros mensais de M e N, nessa ordem, é (A) 70% (B) / 3 (C) 4 / 3 (D) 80% 6. (AFA 009) Se a função real f é definida por f() = log 3 (3 + 4) log 3 ( ), então o conjunto de valores de para os quais f() < é 7 (A) IR 3 (B) IR 7 (C) IR ou 3 7 (D) IR 3 7. (AFA 007) De acordo com Richter (935), a energia E (medida em joules) liberada por um terremoto de magnitude M, obedece à equação M = 0,67. log E 3,5 Baseando-se nisso, é FALSO afirmar que (adotar log = 0,3) a) se a energia de,0. 0 joules equivale à de uma bomba atômica como a lançada sobre Hiroshima, então, o valor da magnitude de um terremoto cuja energia liberada equivale a 000 bombas atômicas como a lançada sobre Hiroshima, é um número do intervalo ] 7; 7,3 ] (B) o acréscimo de 0,67 unidades na magnitude de um terremoto na escala Richter corresponde a um terremoto cerca de 0 vezes mais intenso em termos de energia liberada. (C) o crescimento na magnitude de terremotos na escala Richter, acarreta um aumento eponencial da energia liberada. (D) a energia de,0. 0 joules (equivalente à de uma bomba atômica como a lançada sobre Hiroshima) corresponde à ocorrência de um terremoto de magnitude superior a 5 pontos na escala Richter. 8. (AFA 007) Dada a função real f tal que f() = correto afirmar que o conjunto D, domínio de f é igual a (A) { IR e } (B) { IR* < < } (C) { IR < ou > } (D { IR * } log (e ) 4, onde e =,7... é a base de logaritmos neperianos, é Página 98

99 9. (AFA 007) As funções que melhor descrevem as curvas abaio são (A) y = log a e sua inversa, sendo 0 < a < (B) y = log a () e sua inversa, sendo a > (C) y = a e sua inversa, sendo a > 0 (D) y = log a ( + ) e sua inversa, sendo a > V0. (AFA 004) O gráfico epressa a variação de log y em função de log, onde log é p logaritmo na base decimal. A relação correta entre e y é igual a (A) y = + (B) y = 3 + (C) y = 00 (D) y = 5 +. é. (AFA 003) O conjunto solução da equação log ( ) (A) (B) { IR > 3} (C) { IR < < 3} (D) { IR > e 3}.. (AFA 00) Todo número real positivo pode ser descrito na forma 0. Tendo em vista que = 0 0,30, então o epoente, tal que 5 = 0 vale, aproimadamente, (A) 0,5 (B) 0,33 (C) 0,50 (D) 0,70. Página 99

100 3. (AFA 00) Se IR e 7 5 = 43, então 7-3 é igual a: (A) /3 (B) /9 (C) /7 (D) /8. 4. (AFA 000) O domínio da função real f() = log ( ) + log( 6 + 8) é: (A) {XR ou 4 < 8} (B) {XR < < ou 4 < < 8} (C) {XR < ou < < 4 ou > 8} (D) {XR < ou < < 4 ou > 4}. 5 (AFA999)A soma das raízes da equação log ( 6) = 4 é (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) (AFA 999) O valor de é (A). (B). (C) 3. (D) 4. - log log 7. (AFA 996) Uma das soluções da equação: ( ) log ( + ) = log ( ) 3 + log (A) (B) (C) 3 (D) (AFA 994) Se é variável real, então o campo de definição da função f() = (A) { R < < } (B) { R 0 < < } (C) { R < } (D) { R 0 } é: log é o conjunto: 9. (AFA 994) A solução da equação log (+3) + log / = é: (A) 3 (B) (C) 3 (D) Página 00

101 V0. (AFA 994) Sendo log 3, ( 7 ) = K, o valor de log 3 ( 7 + ) é: (A) k (B) + k (C) k (D) + k. (AFA 990) Se > é a solução da equação: então vale: (A) (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) nra log 5 +log 5 log 5 3,. (AFA 990) O domínio da função log [log /4 ( + )] é: (A) ]0,/[ ] 3/, [ (B) ], 0[ ] 3/, [ (C) ], 0[ ]3/, + [ (D) ], ½ [ ]3/, + [ (E) nra 3. (AFA 990) O domínio da função f() = log[log(+3)] é o intervalo: (A) ], 3[ (B) ] 3, + [ (C) ], [ (D) ], +[ (E) nra 4. (AFA 989) O logaritmo de um número numa certa base é 3, e o logaritmo, desse mesmo número, numa base igual ao dobro da anterior, é. Então, o número vale: (A) 64 (B) 65 (C) 75 (D) (AFA 989) A raiz da equação log ( ) (A) 9 (B) 3 (C) 3 (D) 9 log( 7) = log é: ITA 6. (ITA 999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log /4 ( + ) = log 4 ( ). Então: (A) S é um conjunto unitário e S ], + [; (B) S é um conjunto unitário e S ], [; (C) S possui dois elementos distintos e S ], [; (D) S possui dois elementos distintos e S ], + [; (E) S é o conjunto vazio. Página 0

102 V7. (IME 0) Se o log 0 = e log 0 3 = y, então log 5 8 vale: (A) y (B) y (C) y (D) y (E) 3 y IME 8. (IME 007) Sabendo que log = 0,300, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,6989, o menor número entre as alternativas abaio é: (A) 4 30 (B) 9 4 (C) 5 40 (D) 8 0 (E) (IME 986) Determine log 0, , , (IME 009) Seja log 5 = m, log = p e N = O valor de log 5 N, em função de m e p, é 75m 6p (A) 5m 70m 6p (B) 5m 75m 6p (C) 5m 70m 6p (D) 5m 70m 6p (E) 5p 3. (IME 996) Considerando log = a e log 3 = b, encontre, em função de a e b, o logaritmo do número 5, 5 no sistema de base (IME 984) Seja log a o logaritmo decimal de a e log 3 a o logaritmo de a na base 3. São dados: log = e log 3 =. Calcule em função de e os valores de log N e log 3 N onde onde e β são números reais positivos. 364,5 N = Página 0

103 NÍVEL B EFOMM. (EFOMM 009) Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que o nível sonoro β e a intensidade I de um desses sons esteja relacionado com a equação logarítmica β = + log 0 I, em que β é medido em decibéis e I I em watts por metro quadrado. Qual é a razão, sabendo-se que I corresponde ao ruído sonoro de 8 decibéis de uma I aproimação de dois navios e que I corresponde a 6 decibéis no interior da embarcação? (A) 0, (B) (C) 0 (D) 00 (E) (EFOMM 007) Leia e assinale a alternativa correta. Os Terremotos Abandonando-se um pequeno dado sobre a superfície terrestre, ocorrerá uma liberação de energia que a fará vibrar levemente. Se, no lugar do dado, for abandonado um tijolo, a energia liberada fará vibrar mais intensamente essa superfície. Imagine um cubo de granito com Km de aresta abandonado de uma altura de 80Km; a energia liberada será equivalente a 0 trilhões de Kwh. Essa foi a medida da energia liberada pelo terremoto ocorrido em San Francisco, Califórnia, em 906. Mais violento ainda foi o terremoto que arrasou Lisboa, em 755, liberando energia equivalente a 350 trilhões de kwh. Os logaritmos são aplicados na medida da intensidade de um terremoto. Na escala Richer, a intensidade de um terremoto é definida por: I = /3. log E/E 0, em que E é a energia liberada pelo terremoto em kwh e E 0 = 0-3 kwh. O terremoto ocorrido em 906 na cidade de San Francisco (EUA) registrou 9 pontos na escala Richter. Qual foi, então, a intensidade do terremoto que arrasou Lisboa em 755? (dado log 7 = 0,845 e log 5 = 0,698) (A) 5,609 (B) 6,695 (C) 7,06 (D) 7,609 (E) 7,695. AFA 3. (AFA 0) Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir. Tomar gotas do medicamento α de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser 3 calculada pela fórmula log8 y = log 6. Considerando log = 0 e log 3 = 0,48, é correto afirmar que log é um número do intervalo (A) [3,4[ (B) [4,5[ (C) [5,6[ (D) [6,7[ 4. (AFA 00) Sejam as funções reais dadas por f() = + e g()=3 +. Se b IR tal que f = g(b) e p = log 3 b, então sobre p é correto afirmar que (A) não está definido. (B) é positivo e menor que. (C) é negativo e menor que. (D) é positivo e maior que. Página 03

104 5. (AFA 00) Sobre a função real f : D IR dada por f() = + log ( ), é INCORRETO afirmar que é a) par b) sobrejetora D c) crescente se [, + [ d) injetora D 4 6. (AFA 008) Considere todo IR que torne possível e verdadeira a igualdade log[f(² )] = log, onde f é função real de A em B e marque a alternativa correta. (A) O conjunto imagem de f é Im = IR + {} (B) f é uma função injetora. (C) Se B = IR + {}, então eiste a inversa de f. (D) f tem domínio A = { IR > } 7. (AFA 008) Considere as funções reais f: IR * IR tal que f() = g: IR IR * tal que g() = h: IR * IR tal que h() = log e marque a alternativa correta. (A) O domínio da função k definida por k() = g() h() é o conjunto dos números reais positivos. f ().h () (B) A função j definida por j() = se anula em dois pontos distintos. (gof )() (C) A função m definida por m() = + (gof)() não possui raiz. (D) Se g(h(a)) = 8 e h(g(b)) = log 3 9, então (a b) é um número primo. 8. (AFA 007) Sabe-se que o isótopo do carbono, C 4, tem uma meia vida de 5760 anos, isto é, o número N de átomos de C 4 na substância é reduzido a N após um espaço de tempo de 5760 anos. Essa substância radioativa se degrada segundo a seqüência N = N 0. t, t {0,,,...} em que N 0 representa o número de átomos de C 4 na substância no instante t = 0 e t é o tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base nas informações acima, pode-se dizer que (A) o número de átomos quando t = era 5760 (B) o número de átomos será igual a um terço de N 0 quando decorridos 90 anos. (C) após 50 anos haverá a quarta parte do número inicial de átomos. (D) quando t = 5760 haverá metade do número inicial de átomos. 9. (AFA 006) Assinale a alternativa CORRETA. (A) log 3 log. 9 4 (B) Se log3 4. log 3.log4, então. 5 5 m (C) Se m, então, um possível valor real de tal que.log3 é log log 3 (D) Se 3 (0 ), então, um possível valor de é. log Página 04

105 0. (AFA 003) "Na semana passada, a Secretaria Municipal de Saúde do Rio de Janeiro anunciou que 5000 bombeiros participarão da campanha de combate à epidemia de dengue na cidade. É mais uma tentativa de deter o ritmo alucinante de crescimento da doença." Veja. 3 de março de 00 Suponha uma cidade com habitantes e que, em determinada ocasião, fosse constatado que 8000 habitantes estavam com dengue. Num estudo realizado, constatou-se que a taa de aumento de pessoas contaminadas era de 50% ao mês. Com base nisso, pode-se afirmar que, caso não tomasse nenhuma providência, Dados: log = 0,3 e log 3 = 0,48 (A) toda população seria contaminada em dois meses. (B) em três meses, apenas pessoas seriam contaminadas. (C) pessoas seriam contaminadas em quatro meses. (D) dez mil pessoas seriam contaminadas eatamente na metade de um mês.. (AFA 00) Sejam f e g funções definidas por f() 4 3 e g() log. O domínio de (gof)() é o conjunto dos números reais, tais que (A) 0 < < ou > 3 (B) < ou > 3 (C) < < 3 e 0 (D) > 3.. (AFA 995) No conjunto dos números reais, o campo de definição da função f() = log ( + ) ( 5 + ) é dado por: (A) { IR / ou = } (B) { IR / ½ < < e ½} (C) { IR / ½ < < 0 ou 0} (D) { IR / < < 0 ou 0 < < ½ ou > } ESCOLA NAVAL 3. (EN 00) Uma progressão geométrica infinita tem o 4º termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do produto de seus 0 primeiros termos vale 0 5 log 5. Se S é a soma desta progressão, então o valor de log S é (A) + 3 log 5 (B) + log 5 (C) 4 + log 5 (D) + log 5 (E) 4 + log 5 V4. (EN 009) Sejam n IN tal que n = 876 e m o menor m IN tal que verdadeira. O produto m.n vale. (A) 0 (B) 4 (C) 30 (D) 3 (E) 43. m! (m) log seja 5. (EN 009) Consideremos a, * IR, e a. Denotemos por log e log a, os logaritmos nas bases 0 e a respectivamente. O produto das raízes reais da equação log (0) (A) 0 0 (B) 0 (C) 0 0 ( ) log( ) é Página 05

106 0 (D) 00 (E) (EN 009) Seja n o menor inteiro pertencente ao domínio da função real de variável real () = ln Podemos afirmar que log n é raiz da equação (A) 3 9 = 0 (B) 3 + = 0 (C) = 0 (D) = 0 (E) = 0. 3 e (). 7. (EN 008) No sistema cartesiano abaio está esboçado uma porção do gráfico de uma função y() log ( a) restrita ao intervalo [,8 ], * a R. Se y(), então o valor da área hachurada é: 3 (A) 6 log4 3. (B) log 3. (C) 8 log 3. (D) 6 log 3. (E) log (EN 008) Considere os conjuntos e Pode-se afirmar que A B é: 3 6 (A),,. 7 0 (B),,. 9 0 (C), 3,. 9 A R / B IR / log ( 5 7) 0. Página 06

107 0,. 9 6, 3,. 7 (D) 3, (E) 9. (EN 006) Seja A o menor inteiro pertencente ao domínio da função real, de variável real, f() ( ). Pode-se afirmar que log A pertence ao intervalo: (A),. (B) 0,. 3 (C), 3. 3 (D),. (E) 3,. V0. (EN 005) Se a, b, m e n são números reais tais que a b 34ab, a 0, b 0, log 3 m e log 3 7 n então o valor da epressão [a b] 7 log3 log3 [log 9 ] log 4 64ab 3 é: 3 (A) m 6n. m (B) 7m. n (C) 3 3m 6n. n (D) 6n. (E) n 6m.. (EN 999) Sendo M o menor inteiro pertence ao domínio da função f () podemos afirmar que log M é: (A) 4 7 ( ) ; (B) 8 7 (C) 4 3 (D) 8 3 Página 07

108 (E). 4 V. (EN 99) Se f() = (A) ln( ) (B) ln / (C) ln (D) ln (E) + e e, determine f () 3. (EN 990) O valor de é: (A) 5/6 (B) 5/9 (C) 5/7 (D) 63/65 (E) log9 : log3 43 log0,5 4 : log0,04 0,5 0, (EN 989) Dada a função (A) f( + y) = f() + f(y) (B) f (y) = f () + f (y) f () f (y) (C) f( + y) = y y (D) f( + y) = f y y (E) f() + f(y) = f y f () ln podemos afirmar que : 5. (EN 988) O conjunto solução da inequação é: (A) R (B) (0, ) (C) (0, ) (, ) (D) (, ) (E) (0, ) (, ). log < log V6. (EN 988) Se f() = log 3 ( ) então f - () = (A) log ( ) (B) (C) (D) log 3 Página 08

109 (E) 3. V7. (ITA 009) Seja S o conjunto solução da inequação Determine o conjunto S C. ITA 3 4. ( 9) log ( 6) 0 V8. (ITA 007) Sejam, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo log k (y) = 49, log k (/z) = 44. Então, log k (yz) é igual a: (A) 5. (B) 6. (C) 67. (D) 80. (E) (ITA 007) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que A B C = { IR : + }, A B = { IR: > 0}, A C = { IR: log( + 4) 0}, B C = { IR: < }. 30. (ITA 007) Sendo, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log [( + y) (w 3z) - ] = 0, +3z 8. y-3z+w = 0, 3 y 6z w 0. 0 k 8 (4 ) 3. (ITA 006) Considere as seguintes afirmações sobre a epressão S = log : k 0 I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão /3 III. S = 345 IV. S log 8 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira (s) apenas: (A) I e III (B) II e III (C) II e IV (D) II (E) III. 3. (ITA 005) Considere a equação em a + = b / onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = ln a > 0. A soma das soluções da equação é (A) 0. (B). (C). (D) ln. (E). Página 09

110 33. (ITA 004) Seja IR e a matriz, ( ) A =. log 5 Assinale a opção correta. (A) IR, A possui inversa. (B) Apenas para > 0, A possui inversa. (C) São apenas dois os valores de para os quais A possui inversa. (D) Não eiste valor de para o qual A possui inversa. (E) Para = log 5, A não possui inversa. IME 34. (IME 00) Seja f ( ) 3log( ), X. Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade n-3 f() f() 4f() f() 9... n somente é possível se: (A) (B) (C) (D) (E) (IME 008) Seja a i um dos termos da progressão geométrica com oito elementos,,,,..., e 4 S = log a + log a log a. 8 S Se b = 5 (A) 7 (B) 7 (C) (D) (E). e f() = + b + bo valor de f() será: V36. (IME 007) Considere o sistema de equações dado por 3log3 log9 0 log9 log3 0 Determine o valor de P 37. (IME 003) Determine todos os valores reais de que satisfazem a equação: log ( ) = log( ), onde log(y) e y representam, respectivamente, o logaritmo na base 0 e o módulo de y. V38. (IME 00) Sabe-se que log a b = X, log q b = Y e n > 0, onde n é um número natural. Sendo c o produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, calcule o valor de log c b em função de X, Y e n. 39. (IME 985) Determine o valor de b tal que n lim n t0 log 5 t+ = 4 p onde p = b (t+) t. Página 0

111 NÍVEL C AFA V. (AFA 006) Considere as funções reais f e g definidas por f () log3 e g() f ( ). Sabendo-se que eistem g, é correto afirmar que o conjunto solução da equação g () f () é: (A). (B). (C) log 3. (D) log3. f e V. (AFA 006) Num certo dia, a temperatura ambiente era de 40 C. A água que fervia em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tinha a temperatura de 70 C. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura D entre um objeto e o meio que o contém é dada por a t D(t) D0. e, em que D 0 é a diferença de temperatura no instante t 0 e D(t) a diferença num instante t qualquer. Sabendo-se que a temperatura de ebulição da água é de 00 C, n 0,7 e n5,6, pode-se dizer que a água atingirá a temperatura de 46 C: (A) 0 minutos após o fogo ter sido apagado. (B) entre 8 e 0 minutos após o fogo ter sido apagado. (C) eatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado. (D) aproimadamente 6 minutos após apagado o fogo. 3. (AFA 003) Considere uma P.G. onde o o termo é a, a >, a razão é q, q >, e o produto dos seus termos é c. Se log a b = 4, log q b = e log c b = 0,0, então a soma dos termos da P.G. é 4 a a (A) a 4 a (C) a 40 a a (B) a 40 a (D). a log 4. (AFA 00) A soma de todos os valores reais que satisfazem a equação 4 6, > 0, é 7 (A) 4 33 (B) 4 65 (C) 4 9 (D) (AFA 000) A epressão * com a, b, c R, é verdadeira quando: (A) b = ac ou a = c (B) c = ab ou a = b (C) a = bc ou b = c (D) ac = b ou a = b. a (loga)log b b (logc)log 0, c Página

112 6. (AFA 000) Se b = é: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7., então o número de soluções inteiras que satisfaz a inequação 5 3 logb logb (AFA 998) Seja a y a definida é (A) { R l 0}. (B) { R l }. (C) { R l < }. (D) { R l 0 < < }. y =, com a R, a > 0 e a. Determinando-se y em função de, o domínio da função assim 8. (AFA 998) Se log 0 (log 4. log 4 6. log 6 8), então (A) 0 < 0 (B) 0 < 0 4 (C) 0 4 < 0 6 (D) 0 6 < (AFA 997) A soma das raízes da equação e ln (log 5) 5(log 5) - (log 3) = 5, onde e =,7 é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) (AFA 996) A solução da equação: 3 (A) log (B) log7 log3 (C) log 4 7 (D) log. 3 = é:. (AFA 996) Seja 6 π π. Os valores de k, para que a epressão cosse = logk seja verdadeira, pertence ao intervalo: (A) k (B) 0 k 0 (C) 0 k 00 (D) 0 k (AFA 996) Sejam a = b = e c = 4 8 Se = min(a,b,c) e y= ma(a,b,c) o valor de log (. y - ) é: (A) 0 (B) 5 Página

113 (C) 0 (D). 5 ESCOLA NAVAL 3. (EN 0) Considere, y, z e a números reais positivos, tais que seus logaritmos numa dada base a, são números primos log a (ay) 50 satisfazendo as igualdades log. Podemos afirmar que a z log a (yz) vale: (A) 8 (B) 56 (C) 58 (D) (E) V4. (EN 0) Sendo e y números reais, a soma de todos os valores de e de y, que satisfazem ao sistema y y y, vale (A) 36 5 (B) 9 (C) 5 (D) 5 4 (E) V5. (EN 00) Seja S o subconjunto de IR cujos elementos são todas as soluções de Podemos afirmar que S é um subconjunto de (A) ], 5[ ], +[ (B) ], 3[ ]3, +[ (C) ], 5[ ]3, +[ (D) ], 3[ ], +[ (E) ], [ ]4, +[ log 3 log ( 4) 3 5 ( 5) Página 3

114 V6. (EN 007) Seja b a menor das abscissas dos pontos de interseção das curvas definidas pelas funções reais de variável real 5 5 f () n e g() n. O produto das raízes da equação é: (A). (B). 5 5 log5 5 logb 5 (C) 5. (D) 5 3. (E). 7. (EN 993) O produto das raízes positivas da equação, é: (A) 5 (B) 5 (C) 5 5 (D) 5 (E) 5 5 log5 5, 5 8. (EN 0) Sejam e g funções cujo domínio é o conjunto D = { n IN / n 3} onde n representa o número de lados de um polígono regular. As funções e g associam respectivamente para cada n D, as medidas dos ângulos interno e eterno do mesmo polígono. É correto afirmar que : (A) (n) < g(n) se e somente se (n )! = n! (n )!. (B) Se (n)=g(n) então o polígono considerado é um triângulo equilátero. f (n) (C) log g(n) = log (n ) para todo n ou g(0) = (0) (D) é injetora e sen((n) + g(n)) = 0 (E) (go)(n) está sempre definida. ITA 9. (ITA 0) Resolva a inequação em IR: 4 log ( 9) (ITA 00) A epressão 4e + 9e y 6e 54e y + 6 = 0, com e y reais, representa: (A) o conjunto vazio. (B) um conjunto unitário. (C) um conjunto não-unitário com um número finito de pontos. (D) um conjunto com um número infinito de pontos. (E) o conjunto {(,y) IR (e ) + 3(e y 3) = }. Página 4

115 V. (ITA 00) Analise se a função f : IR IR, f() =. 3 3 é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f. (ITA 00) Considere conjuntos A, B IR e C (A B). Se A B, A C e B C são os domínios das funções reais definidas por ln( ), (A) C =,5 (B) C = [, ] (C) C = [, 5[ (D) C = [, 4] (E) C não é intervalo. 6 8 e 3. (ITA 009) Seja S o conjunto solução da inequação Determine o conjunto S C., respectivamente, pode-se afirmar que ( 9) log ( 6) 0 V4. (ITA 008) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por f() = ln( + ) é injetora, é dado por (A) IR (B) (, ) (C) [0,/] (D) (0, ) (E) [/, ). V5. (ITA 008) Seja f() = ln ( + + ), IR. Determine as funções h, g : IR IR tais que f() = g() + h(), IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar. V6. (ITA 007) Sejam e y dois números reais tais que e, e y e o quociente (A) 0. (B). (C) log 5 3. (D) log 5. (E) 3 log e. e 5 y 4e 5 são todos racionais. A soma + y é igual a: 7. (ITA 006) Determine para quais valores de (- /, /) vale a desigualdade log cos (4sen -) - log cos (4 sec )>. log log V8. (ITA 004) Para b > e > 0, resolva a equação em : () b 3 (3) b = (ITA 00) Dada a função quadrática f() = In 3 + In6 4 In 3, temos que: (A) a equação f() = 0 não possui raízes reais. (B) a equação f() = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima. (C) a equação f() = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baio. In In3 (D) o valor máimo de f é. In3 In In In3 (E) o valor máimo de f é. In3 In Página 5

116 30. (ITA 00) Seja a função f dada por: f() = (log 3 5). log log log 3 (3+). Determine todos os valores de que tornam f não-negativa. 3. (ITA 00) Sendo dado e 4 n n n = a n n 3 4 n n = b n então, n n3 n4 n nn n é igual a: (A) a n - b n (B) a n - b n (C) a n - b n (D) b n - a n (E) a n + b n. 3. (ITA 999) Seja a R com a >. Se b = log a, então o valor de é: (A) b 3 65 (B) b + 8 log 4 a 3 + log 4a + log a a + (log 8 a) a log a (C) (D) (E) b 3b b 63b 36 8 b 9b 7. 9 V33. (ITA 998) O valor de y R que satisfaz a igualdade log y 49 = log y 7 + log y7 é: (A) (B) 3 (C) 3 (D) 8 (E) 7. Página 6

117 34. (ITA 998) A inequação 4 log 5 ( + 3) ( + 3) log /5 ( + 3) é satisfeita para todo S. Então: (A) S = ] 3, ] [, + [; (B) S = ], 3 [ [, + [; (C) S = ] 3, ]; (D) S = ], + ]; (E) S = ], 3 [ ] 3, + [. 35. (ITA 997) O domínio D da função f() = ln ( ) 3 é o conjunto (A) D = { R : 0 < < 3 /} (B) D = { R : < / ou > } (C) D = { R : 0 < / ou } (D) D = { R : > 0} (E) D = { R : 0 < </ ou < < 3 /}. V36. (ITA 997) Dado um número real a com a >, seja S o conjunto solução da inequação 7 log / a loga log/ a ( ). a Então S é o intervalo: (A) [4, +[ (B) [4, 7[ (C) ], 5] (D) ], 4] (E) [, 4[. V37. (ITA 996) Seja a R, a >. Para que o valor de a é: (A) (B) 3 (C) 5 (D) 9 (E) 0. * 4, 5 R ; log log 5 0, V38. (ITA 996) Se ( 0, y 0 ) é uma solução real do sistema log ( y) log3 ( y), 4y 4 então 0 + y 0 é igual a: (A) 7/4 (B) 9/4 (C) /4 (D) 3/4 / a a Página 7

118 (E) 7/ (ITA 995) Se é um número real positivo, com e 3, satisfazendo Então pertence ao intervalo I, onde (A) I = 0, 9 (B) I = 0, (C) I =, (D) I =, (E) I =,. log log 3 log log ( ) 3 = log ( + ) 40. (ITA 994) Sejam e y números reais, positivos e ambos diferentes de, satisfazendo o sistema: Então o conjunto (, y) está contido no intervalo: (A) [, 5] (B) ]0, 4[ (C) [, ] (D) [4, 8[ (E) [5, [. y y e log log y log( 4. (ITA 994) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão geométrica de razão a, com a > 0 e a. Se a soma de seus termos é igual a 3a + e é um número real positivo diferente de tal que: então é igual a: (A) 3 3 (B) 3 (C) (5/) (D) (5/) 3/ (E) (/5). log log 4. (ITA 993) O conjunto solução da inequação a b log c log d ) log e 5, é dado por: (A) < < 3/ (B) 0 < < (C) 0 < < (D) 0 < < log [( )] < log [( + ) ] (E) 0 < <. Página 8

119 43. (ITA 99) O domínio da função: f() = log (3 5 + ) 3 é: (A) (, 0) (0, /) (, 3/) (3/, + ) (B) (, /) (, 5/) (5/, + ) (C) (, /) (/, /3) (, 3/) (3/, + ) (D) (, 0) (, + ) (E) n.d.a. 44. (ITA 99) Numa progressão geométrica de razão inteira q >. Sabe-se que a a n = 43, log q P n = 0 e log q a n = 6, onde a n é o enésimo termo da progressão geométrica e P n é o produto dos n primeiros termos. Então a soma dos n primeiros termos é igual a: 3 9 (A) 6 (B) (C) (D) 3 (E) n.d.a. 45. (ITA 99) Sejam a, a > e f: IR IR definida por f() = (A) log a ( ), para > (B) log a ( + ), para IR (C) log a ( + ), para IR (D) log a ( + ), para < (E) nda. R46. (ITA 99) Seja IR IR definida por: a e, se 0 f (), se 0 ln, se Se D é um subconjunto não vazio de IR tal que f: D IR é injetora, então: (A) D = IR e f(d) = [, + [ (B) D = ], ] ]e, +[ e f(d) = ], +[ (C) D = [0, +[ e f(d) = ], +[ (D) D = [0, e] e f(d) = [, ] (E) n.d.a. Notação: f(d) = {y IR : y = f(), D} e ln denota o logaritmo neperiano de. a. A função inversa de f é dada por: V47. (ITA 99) Numa progressão geométrica de razão q, sabe-se que: I- O produto do logaritmo natural do primeiro termo a pelo logaritmo natural da razão é 4. II- A soma do logaritmo natural do segundo termo com o III- O logaritmo natural do terceiro termo é 6. Se ln q é um número inteiro então o termo geral vale: (A) e 6n (B) e 4 + 6n (C) e 4n Página 9

120 (D) e 4+6n (E) nda 48. (ITA 99) O conjunto dos números reais que verificam a inequação 3log + log ( + 3) 3 3 log, é dado por: (A) { IR: > 0} (B) { IR : 3} (C) { IR : 0 < } (D) { IR : < } (E) n.d.a. Notação: loga denota o logarítimo de a na base 0 V49. (ITA 990) O conjunto das soluções reais da equação ln (sen ) = ln (sen ) é dado por: (A){ IR : = π + k, k Z} (B){ IR : = + k π, k Z} (C){ IR : = k, k Z} (D){ IR : } (E){ IR : 0}. 50. (ITA 990) Sabendo-se que 3 é fator de então as soluções reais da equação (3 3 ) 9(3 ) + 8(3 ) = 0 somam: (A) log 3 (B) (C) 3 log3 (E) (E) log 3 7. R5. (ITA 990) Numa progressão geométrica de três termos a razão é e -a, a soma dos termos é 7 enquanto que a diferença do último termo com o primeiro é 3. Nestas condições o valor de a é: (A) ln (B) ln 5 (C) ln 3 (D) ln (E) não eiste número real a nestas condições. 5. (ITA 989) Sobre a epressão: M = onde < < 3, qual das afirmações abaio está correta? (A) M (B) < M < 4 (C) 4 M 5 (D) 5 < M < 7 (E) 7 M 0. log, log 5 Página 0

121 IME V53. (IME 0) Seja f() = a sen + b 3 + 4, onde a e b são números reais diferentes de zero. Sabendo que f( log 0(log 30) ) = 5, o valor de f ( log 0(log 0 3) ) é: (A) 5 (B) 3 (C) 0 (D) 3 (E) 5 log 5 log 7 V54. (IME 0) O valor de y real positivo na equação (A) 70 (B) 35 (C) (D) 35 5y - 7y 0, onde é um número real maior do que é: (E) (IME 005) (ANULADA) Sejam a, b, c e d números reais positivos e diferentes de. Sabendo que log a d, log b d e log c d são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que: c = (ac) log a b V56. (IME 000) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de. Dado o sistema abaio: a. b. log / y a ab log / b y. log a b Determine os valores de e y. 57. (IME 988) Para que valores de a função Assume o valor e 4? f() = ln 4. ln V58. (IME 970) Calcule os valores de X e Y sabendo que: log5 +y log55 0 log3 y 5log5 y anti ln co log 5 y 5log3 9 0 log3 e y Obs: O símbolo ln significa logaritmo neperiano; e ébase dos logaritmos neperianos. (A) X = 3 e Y = (B) X = 3 e Y = (C) X = 5 e Y = 0 (D) X = 4 e Y = (E) Solução impossível (F) Nenhuma das respostas acima. Página

122 CAPÍTULO 3 - GABARITO E SOLUÇÕES CAPÍTULO - LÓGICA NÍVEL A. D Temos que p q p q ou p q q p Logo (( 5) (y 6)) (( 5) (y 6)) (( 5) (y 6)) ou (( 5) (y 6)) ((y 6) ( 5) ) ((y 6) ( 5)) (D). C 3. D NÍVEL B. B A proposição é uma tautologia, pois, p q r (q r) p (q r) p q p r (p q ) ( p r ) p (q r) (p q ) ( p r ) D NÍVEL C Página

123 I. 4 > 6 y -y > -4 II. e y > (V) ( (5 4 (V))ou (0 (F))) e (5 0=5 ) (F) III. 0 > 6 e y >6-- (V) y > y -y > - CAPÍTULO TEORIA DOS CONJUNTOS NÍVEL A. D É fácil notar que A C B A (A C) (C (A B)) A C B A (A C) (C (A B)) A B C logo n(a B C) n A C n B A n(a C) + n(c (A B)) 53 0 n(a C) + n(c (A B)) n(a C) + n(c (A B)). Uma vez que (A C) (C (A B)) ((B C) (A B C)) (A C) (C (A B)) ((B C) (A B C)) C Temos n(c) n(a C) +n(c (A B)) n((bc) (A BC)) n(c) n((bc) (A BC)) Como ((BC) (ABC)) (B A) n((bc) (A BC)) n(ba) 0 Temos n(c) n((bc) (A BC)).. B I - (F) Uma vez que L é o conjunto dos losangos, R é o conjunto dos retângulos e Q é um conjunto que contém L, temos que L Q L e como LR é o conjunto dos quadrados, então LQ L L R. II (F) Uma vez que n(a) 4 então n(p(a)) 6. III- (V) Temos que a, b, c,d U Z a, b, c, d, e Z a, b, c, d, e e Z c,d U Z a, c, d, e Z a, c, d, e b Z a Z e Z Z a, c,e b, c, d Z c b Z d Z c Z Página 3

124 3. B 4. D 5. C 6. B n(u) 00 n(t) 0 n(e) 40 n(t E) Como n(t E) n(t) n(e) n(t E) n(t E) n(t E) A 8. A 9. D n(u) 36 Como n( 3 ) 0 0 n( ) n( 3 ) n( 3 ) 0 0 n( ) 4 0 n( ) 0 n(3 ) n( 3 ) n( 3 ) n( ) n( ) n(3 ) n( ) n( 3 ) n( 3 ) n( 3 ) 3 (4 ) ( ) (4 ) C. C. C U {a,b,c,d,e,f,g,h} C C C (B A) f, g, h B A f, g, h C B A a, b C C C C C C A \ B d, e A B d, e A B (A B ) {a,b,c,f,g,h} Como C C A B (A B) \ ((B A ) (B A)) {c} n(p(a B)). Página 4

125 3. C. D n(a B) 3 n B \ A n C \ A 0 n(b C) 6 n(a B C) 4 Como NÍVEL B A (A B) \ (B\ A) n(a) n(a B) n(b\ A) 3 e A C A C \ A n(a C) n(a) n C\ A 0 A C \ A e A B C (A B) C \(A B) (A B) C \(A B) C \(A B) (C \A) \ ((B C) \ (A B C)) n(a B C) n(a B) n C \(A B) 3 (0 (6 4)) 3. C C S n(c ) n(c ) C S De fato n(c ) n(c ) C C Logo o conjunto S só pode ter um elemento com uma determinada cardinalidade, ou seja, só pode ter um elemento que seja um conjunto com zero elemento, um elemento que seja um conjunto com um elemento, um elemento que seja um conjunto com dois elementos e assim sucessivamente, como CS0 N(C) n n(s) n. ma 3. B 4. Demonstração 5. B É importante notar que P( ) P(B\ A) P(B\ A) P( ) P(B\ A) Como 4 n(b\ A) n(a B) n(a) 8 4 n(p(b\ A)) D 7. A. B NÍVEL C Página 5

126 C n(s) 70% n(s ) 30% C n(c) 75% n(c ) 5% C n(b) 80% n(b ) 0% C n(r) 85% n(r ) 5% C C C C n(s ) n(c ) n(b ) n(r ) 90% C C C C C n(s C B R ) 90% n((s C B R) ) 90% n(s C B R) 0%.. Suponha que: Então Logo se Pois se Então Então A menos que O contraria a hipótese. 3. A 4. E 5. a) 4 b) C 7. A 8. a),, 4 ou 8 A e B e (A\ B) ( B \ A) A (A\ B) ( B \ A) A. : (A\ B) ( B \ A) (A\ B) ( B \ A) (A\ B) ( B \ A) A. : (A\ B) ( B \ A) ( B \ A) B \ A B A. (A\ B) ( B \ A) (A\ B) A B b) 05 a) Devemos ter b) Queremos dividir oito objetos em quatro grupos cada um como dois elementos, logo 9. a) m b) 3 0. Demonstração Uma vez que (S S ) (P P ) : S S P P C C C C P 4 05 Suponha que S S P S P P S P P P Analogamente se S S P S P P S P P P Logo : S S P P (S S ) (P P ). Página 6

127 . B Demonstração Temos que: (X Y) (X Z) ((X Y) (X Z)) ( (X Z) (X Y)) C C ((X Y) (X Z) ) ( (X Z) (X Y) ) C C C C ((X Y) (X Z )) ( (X Z) (X Y )) C C C C (((X Y) X ) ((X Y) Z ))) (((X Z) X ) ((X Z) Y ))) C C ( ((X Y) Z ))) ( ((X Z) Y ))) C C C C ((X Y) Z ) ((X Z) Y ) X ( (Y Z ) (Z Y )) X ((Y Z) (Z Y)) X (Y Z).. E (I) CAPÍTULO 3 PRODUTO CARTESIANO NÍVEL C (, y) : (, y) E G (, y) F H Como (, y) : (, y) E G ( E) (y G) temos (, y) : (, y) E G ( E) (y G) ( F) (y H) E F E F e y G y H G H. Uma vez que A B AB B (II) e (III) são verdadeiras.. D CAPÍTULO 4 RELAÇÃO NÍVEL A. B AB (,), (,6),(,8),(,),(3,), (3,6),(3,8),(3,),(4,), (4,6),(4,8),(4,) R {(,6),(4,8) }.. Demonstração NÍVEL C Página 7

128 Sejam n IN, a,b e c N, então : (i) Refleiva \ : a a 0 (ii) Simétrica : (a,b) R n * (iii) Transitiva: * a a é múltiplo de n (a,a) R a b é múltiplo de n b a é múltiplo de n (b,a) R (a,b) R n a b é múltiplo de n a c (a b) (b c) é múltiplo de n (a,c) R (b,c) R n b c é múltiplo de n Logo R n é refleiva, simétrica e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência.. Demonstração: (i) Refleiva \ : m (ii) Simétrica : M é simétrica, logo, m Ou seja a i (iii) Transitiva: Note que m ii i j R a 4 ou seja, i m j a, m,, 3,4 a R a,i,, 3,4. j 4 j i R a i. e m 0 i i a R a 4, a 4 R a porém a R a. Logo R é refleiva, simétrica e não é transitiva, ou seja, R não é uma relação de equivalência. 3. Demonstração. B n. CAPÍTULO 5 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÍVEL A.. 4 ( ).. 4. par.. B 3. B Temos que: m.m.c.(4,0) 0 n(40) n( 0). Como n(4 0) n(4) n(0) n(40) n(4 0) N(A) E n. n.. D NÍVEL B Página 8

129 (I) Uma vez que : S e S (I) Verdadeira Q Q 4 5 (II) IR : 0 S S (II) Falsa. (III) 0 S (III) Falsa. Q. Demonstração. B. B Repare que: g(0,8) g(), 0, Uma vez que f (0,4) f () 0,8 temos que g(f (0,4)) g(f ()) g(f ()), 0,. Logo opção (B) é falsa. 3. B Temos que: y 3 y 3 y 4 3 y f (y) 3 e 3 y y 3 g(y) 5(y 3) 5y 3 Assim f (g()) f (5 3). 4. D 5. D Temos que f () f (5) 3 f () f (4) 0 f (3) logo f f Im, 0, 3 CD IR Logo f não é sobrejetora e nem injetora, porém 6. B As sequências CAPÍTULO 6 FUNÇÃO n(im f ) 3. NÍVEL A Página 9

130 (f (),f (3),..., f (8)) e (f (0),f (),..., f (70)) São duas progressões aritméticas de razão 3 com 4 e 35 termos respectivamente, logo, f (8) f () (4 ) e f (70) f (0) (36 ) log o f (8) f (70) C f ( ) f (). 9 9 Como f () t(h()) temos 8 Logo h() () 8 f () t(h()) t(8 ). 3 f ( ) D 9. D 0. C 3 f f =f f = f = = f3 =f f = f = = f 988() f (). 3 NÍVEL B. B (I) Falsa 0 S S U 0 (II) Falsa S \ U,4,6 S \ U ST U (III) Falsa Pois n(s) 4 n(t) 3 (IV) Verdadeira Pois n(s) 4 n(t) 3. D 3. A NÍVEL C Página 30

131 . B (I) Sejam, IR com l l l > f l < f f l f l < f l f f l f f l f f injetora (I) Verdadeira. (II) f () f ( ), IR f n decrescente (II) Falso. (III) Sejam y f ( ) f (y ) y f ( ) f (y ) f decrescente ( ( ) (f ( ) f ( ) ) ( (f (y ) f (y )) (y y ) ) f decrescente (III) Verdadeiro.. A (I) D R \ f : D D f. (a) Sejam, D com se f f (Absurdo) f f f injetora (b) Seja y D y y f () y y yd, D :f () y f sobrejetora y y (a) e (b) (I) Verdadeiro. (II) (I) (II) Falso (III) D R \ f : D D f. f () f ( ) 0, D \ 0 (III) Verdadeiro. (IV) D R \ f : D D f. f ()f ( ), D \ (IV) Falso. 3. A Página 3

132 (I) f : IR IR nãoconstante f y f f y,, y IR f ()=f ( + )=(f ( )) 0, IR. Suponha que IR: f () 0 f () f ( 0) f ()f (0) 0 f () 0, IR (Absurdo) f () 0, IR (I) Verdadeiro. (II) f : IR IR nãoconstante f y f f y,, y IR Seja n S n IN : f (n) (f ()), IR P(k) verdadeiro ks. (i) P() Verdadeiro f () f () P() Verdadeiro (ii) (Hipotese) k P(k) Verdadeiro k S f (k) (f ()), IR k k f ((k )) f (k ) f (k)f () (f ()) f () (f ()), IR k S P(k ) Verdadeiro (III) * PIF S IN (II) Verdadeiro. f : IR IR nãoconstante f y f f y,, y IR f par f (0) f ( ( )) f ()f ( ) (f ()), IR f cons tan te (Absurdo) (III) Falso. 4. Demonstração 5. E 6. Demonstração Seja f : IR IR bijetora e ímpar e f :IR IR Seja y f ( ) f (y) f (y) f ( y) y f () 7. D 8. E 9. Demonstração 0. E y f () f ( ) f () IR f ímpar. f : 0, IR 0, (i) f () (ii)f () f f 4 Seja S n IN : f (), n 0, e P(n) verdadeiro ns Página 3

133 (a) (i) S P() verdadeiro (b)(hipotese) P(k) verdadeiro ks f (), k 0, 0, f ( ) k Uma vezque 0, 0, f ( ) k f () f f f f P(k ) verdadeiro k S * PIFS IN. k k k. D. C 3. C 3 f f, IR 3 3 f f ( ) ( ), IR f f ( ), IR 3 3 f f () f f ( ) () 3 3 () () 3f 3, IR f, IR f (g()) f ( ) 3 3 ( ), IR. 4. B 5. B 6. A f : IR IR g : IR IR, decrescentes e sobrejetoras h : IR IR, h fog. ()Sejam, IR, g( ) g( ) h(g( )) h g( ) h(g( )) h g( ) h : IR IR crescente. () h : IR IR crescente h : IR IR injetora (3)f : IR IR e g : IR IR sobrejetoras h : IR IR sobrejetora () e (3) h : IR IR bijetora h : IR IR inversivel (4) h : IR IR crescente h : IR IR crescente. 7. E 8. E 9. C 0. B. Demonstração f : IR \ 0 IR : f a / b f a f b () b f( a) f a f, air ()a e b f( ) f f f( ) f (3) a b f( ) f f 0 (): f( ) 0 (): f( a) f a, a IR f par Página 33

134 n (n ) f : N IR : f (k) 008 (n ) k0 n n n n n n 008 f (n) f (k) f (k) k0 k0 n n n n (n )(n ) f (006) f (006) 3. Demonstração f : IR IR : f ( a) f () [f ()] f ( a) f (( a) a) f ( a) [f ( a)] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] f () [f ()] 4 f () [f ()] f () f () f () f periodica Demonstração 5. Demonstração () Injetora : h, y 3 3 Sejam, y e, y IR,, y, y h, y, f y, f y 3 3 f y f y f y f y y y () Sobrejetora Seja, y IR,, y IR : h, y, y? Vamos supor que sim h, y, y, f y, y f y0 y f y0 y y0 f ( y ) 3 h(, f ( 3 y )) (, y) h sobrejetora. Em particular h : IR IR 3 (, y) h, y (, f ( 3 y )), y, y h injetora. CAPÍTULO 7 FUNÇÃO CONSTANTE CAPÍTULO 8 FUNÇÃO DO GRAU NÍVEL A. B O valor arrecadado pelas vendas em função do desconto concedido é dado por: p : IR IR p() (0 )(30 6) Note que p(4) p() A Página 34

135 Analisando os gráficos das funções f, g e h, nota-se que a locadora α é a mais vantajosa a partir do quilômetro em que o gráfico de f encontra-se abaio dos gráficos de g e h, em particular pela análise gráfica, abaio do gráfico de g. Assim f : IR IR f () 50 g : IR IR g() 0 f () g() m B Temos que A : IR IR e A() m h A(007) 34,8 007m h 34,8 () A(005) 9, 005m h 9, () () () m 5,6 m,8 h 5584,8 A : IR IR A(),8 5584,8 3 9, A(006) 3 Aumento 0,095 9,5% 9, 4. B 5. C 6. C Vamos determinar cada um dos conjuntos. A,,3,4,6,8,,4 3 4 B Z S,5 Assim B,,3,4 7. D 8. C 9. C Uma vez que Imf IR Então f não é sobrejetora. Além disso, f não é par, pois, f () 0 e f ( ), nem ímpar, pois, f (0). 0. B. B Página 35

136 Da semelhança de triângulos temos V ,8V 0V V V ,V D Seja f : IR IR f () a b f 0 f b (a b) a 3 f f 0 a b b a b b b f : IR IR 3 3 f () f (3). 3. D f : IR IR f () a b f b f a b.000 5a a.800 f : IR IR f () f (3) D 0 0 S (,0),. C NÍVEL B Página 36

137 Uma vez que 6 (b()) a() (a()).(b()) 0 0 (, 4), ) 0 c() 4 S (, 4) 3, ). (c()) c() B 3. B 4. C 5. C 6. C 7. B 3, min 3, , , 8 3 5, 8 Logo min 3, S ou S, 3 S S S,3 NÍVEL C. D. A 3. G não é par nem ímpar. f : 0, IR e f g : /, / IR 4. C, 0 /, / f ( / ), / 0 g() f ( / ), 0 /, / 0, 0 / CAPÍTULO 9 FUNÇÃO DO GRAU NÍVEL A Página 37

138 . D M N MN 0 M N 6. M N MN 0. D 3. B 4. B 5. D Uma vez que f ().f ( ) 0 então eiste r, tal que f (r ) 0, logo 0, como f ( ).f ( ) 0 podemos garantir que 0 caso contrário teríamos f().f() B b b y a b b a 4 a b 0 a b C ( 3 8) ( )( 3 8) ( )( 6) ( )( )( 3) ( )( 3) 0 3 S (,3). 8. f : IR IR f () 6 9 Página 38

139 9. f : IR IR f () a( )( 5) f () 8 8a 8 a. f : IR IR f () 4 5 a) a b 4 c5 b) f (0) 5 c) a 0 Valor Maimo d) 4 V () ( 4) 4()( 5) yv 4() 9 V (, 9) e) NÍVEL B. D a I) Falso, a IR {a} a II) Verdadeiro, < 0 (a > ) a a < 0 a Página 39

140 III) Verdadeiro, < a < a ou > a a < 0 < a ou > a. A Se = ou = 3 são as raízes, então v = Como v = y v V(, ) Se f() 0 A e f é crescente [p, q], então pelo gráfico, tem-se p = e q = p q = ( ) = 3. B 4. C 5. D 6. C 7. D Se < temos que a < 0 uma vez que a concavidade da parábola está voltada para baio. Além disso, como 0 e 0 temos que, b b 0 0 a a b 0. a 0 a 0 Logo ab C L :IN IR L() L :IN IR 6 6 L() 50 3 v C Página 40

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