Modelo de aprendizagem de geometria do casal Van Hiele

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1 Modelo de aprendizagem de geometria do casal Van Hiele Luciana Silva, 1 and Cláudia Cueva Candido (Orientadora) 2 1 Universidade de São Paulo (USP), Brasil 2 Universidade de São Paulo (USP), Brasil cueva@ime.usp.br 1. Introdução O modelo de aprendizagem de geometria teve origem no trabalho de dois professores holandeses de matemática do ensino secundário, Pierre M. Van Hiele e Dina Van Hiele-Geldof. Esse trabalho resultou em duas teses de doutorado, respectivamente, um modelo de ensino e aprendizagem de geometria [1] e um exemplo concreto de aplicação desse modelo em cursos de geometria. Como Dina faleceu logo após o término da tese de doutorado foi Pierre que esclareceu sobre os níveis, fases e propriedades do modelo. Na União Soviética o modelo de Van Hiele foi tomado como base para a elaboração de um novo currículo de geometria, implementado na primeira metade da década de Também foi utilizado na Holanda, no projeto Wiskobas de desenvolvimento curricular a partir de [2]. O modelo não foi muito difundido até a década de 1970, época em que surgiram vários projetos de pesquisa nos Estados Unidos. Somente então vários artigos publicados por Van Hiele passaram a ser traduzidos para o inglês, fazendo com que o modelo se tornasse conhecido [2]. Apoiado em experiências educacionais apropriadas, a teoria arma que no processo de aprenizagem de geometria, o estudante passa por cinco níveis de raciocínio seqüenciais e ordenados. Para assimilar conceitos e propriedades próprios de um nível é preciso dominar o nível anterior. Os Van Hiele armam que o progresso ao longo dos níveis depende mais da instrução recebida do que da idade ou da maturidade do aluno e propuseram cinco fases de aprendizagem. Armam que a instrução desenvolvida de acordo com essa seqüência promove a aquisição de cada um dos níveis. [4] Neste trabalho, apresentamos uma descrição detalhada do modelo e uma proposta de ensino de translações elaborada e aplicada por Adela Jaime, da Universidade de Valência, com base na teoria de Van Hiele [2]. projetolumat@hotmail.com 2. Projetos de pesquisa sobre a teoria de Van Hiele Nos Estados Unidos, na década de 1970, motivados por encontrar soluções para os problemas com ensino de geometria na escola secundária, muitos pesquisadores tomaram como base de estudos a teoria dos Van Hiele. De modo geral, tais pesquisas objetivavam testar a validade do modelo, a viabilidade e vantagens de sua aplicação [2]. Destacamos três trabalhos de pesquisa que caram conhecidos como projetos do Brooklin, de Chicago e de Oregon. - Projeto do Brooklyn Objetivos do projeto: desenvolver e documentar os níveis de Van Hiele através de traduções de artigos publicados em holandês para esse projeto; avaliar os níveis em que se encontravam alunos cursando do 6 a à 9 a séries(crianças de 11 a 15 anos); analisar em que nível se encontravam os livros de geometria de acordo com o modelo; determinar a possibilidade de instruir professores para que estes identicassem os níveis de Van Hiele para seus alunos e também em que nível encontravam os materiais didáticos utilizados por eles. Uma importante contribuição desse projeto foram as traduções, para o inglês, dos textos de Van Hiele, o que possibilitou a difusão do modelo. - Projeto de Chicago O projeto, dirigido por Usiskin, avaliou 2700 estudantes do ensino secundário utilizando vários testes, realizados antes e depois da aplicação do modelo de Van Hiele no ensino de geometria. Com ele foi possível: observar o nível de Van Hiele antes e depois do curso de geometria; determinar se o nível de Van Hiele prediz corretamente o sucesso ou não de um estudante no curso de geometria; apontar relações e diferenças entre os níveis de raciocínio de Van Hiele aplicados no ensino e os exibidos pelos alunos. O teste aplicado durante a pesquisa, pela faciliddade de sua aplicação, foi o motivo da grande divulgação que teve o projeto de Chicago. Trata-se de um teste para medir os níveis de raciocínio com questões de múltipla escolha e pode ser aplicado a um grande número de alunos. No entanto, muitos pesquisadores levantaram dúvidas quanto à possibilidade de avaliar níveis de raciocínio por meio de testes de múltipla escolha [2]. Projeto de Óregon O projeto envolveu 48 estudantes da escola básica, avaliados por entrevistas orais para a vericação dos níveis de raciocínio de geometria. Os assuntos abor-

2 dado nessas entrevistas foram quadriláteros e triângulos. 3. Descrição do modelo O casal Van Hiele arma que o aprendizado em geometria segue níveis de raciocínio ou níveis de desenvolvimento mental em geometria Nível 1: Visualização ou reconhecimento - O aluno tem percepção global das guras; na observação de um conjunto de guras cada gura é observada isoladamente de outras guras de mesma classe e é dada atenção a atributos irrelevantes das guras. - Percepção individual: o aluno observa o objeto e o associa à gura, sem reconhecer que ela faz parte de uma classe, a gura é observada por suas partes. - As descrições das guras são feitas através de comparações de objetos com formas geométricas. - O vocabulário é básico para poder fazer descrições das guras, sem a utilização de propriedades das formas geométricas. - As descrições são feitas pelos aspectos físicos e posição no espaço. Nível 2: Análise. - Os alunos começam a perceber conceitos geométricos, fazendo análise das características das guras. Observam a gura não como um todo, mas identicam suas partes, propriedades geométricas e percebem as conseqüências das propriedades. - Há utilização dessas propriedades para resolução de problemas. - Demonstrações por meio de exemplos. - Os alunos não relacionam diferentes propriedades entre guras diferentes, não entendem denições. - Utilizam-se de muita observação e experimentação Nível 3: Dedução informal ou classicação - Os alunos conseguem fazer inter-relações entre as propriedades de uma gura e compará-las com outra gura, por exemplo, um quadrado é um retângulo pois, tem todas as propriedades de um retângulo. - Podem realizar classicações inclusivas. - Denem corretamente conceitos e tipos de guras. - Possuem raciocínio dedutivo informal. - Podem entender uma demonstração, mas não são capazes de elaborar uma demonstração formal completa. Nível 4: Dedução formal. - Os alunos conseguem fazer distinção entre postulados, teoremas e denições - Elaboram demonstrações formais sem decorá-las. - São capazes de ter uma visão global das demonstrações. - Percebem que podem chegar ao mesmo resultado mediante diferentes formas de demonstração. - São capazes de formular enunciados de problemas. - Utilizam linguagem precisa. Nível 5: Rigor. - Os alunos estão aptos a estudar sistemas axiomáticos distintos do usual, (geometria euclidiana). - São capazes de fazer comparações entre diferentes sistemas axiomáticos. O quinto nível não em sido muito explorado pelos pesquisadores. P.M Van Hiele arma que se interessava pelos três primeiros níveis, justamente por ter desenvolvido a teoria no ensino secundário [5]. 4. Propriedades do modelo As características dos níveis de raciocínio são de extrema importância para um boa compreensão do modelo de Van Hiele. Seqüencialidade O modelo diz que para um determinado tema escolhido os alunos devem passar por todos os níveis para que haja compreensão, não há como os alunos estarem no nível 2 sem terem passado pelo nível 1. A passagem de um nível a outro independe da idade. O aluno pode estar em níveis diferentes em assuntos diferentes. Linguagem A linguagem tem extrema importância para a compreensão do raciocínio matemático, deve se utilizar uma linguagem especíca de cada nível, para que os alunos possam interpretá-la.o mau uso da linguagem pode fazer com que o professor não atinja o propósito esperado, pode fazer com que o aluno se sinta intimidado por não entendê-la, causando uma frustração. Localidade dos níveis Um aluno pode estar em níveis diferentes com relação a tópicos diferentes em geometria, mas algumas pesquisas comprovaram que uma vez que o aluno chegou a um determinado nível em um tópico de geometria, a progressão a esse nível em outro tema de estudo requer menos tempo e esforço. O nível em que se encontra o aluno independe da idade do aluno, mas sim da instrução recebida [2]. Continuidade dos níveis Na formulação inicial da teoria, Van Hiele arma que o aluno passa de um nível a outro de modo brusco. Porém pesquisas realizadas indicam que há uma fase de transição na progressão de um nível a outro [2].

3 Fases de aprendizado Os Van Hiele propuseram cinco fases seqüenciais de aprendizado para cada nível e, segundo eles, ao completar a quinta fase o aluno alcançará um nível superior. Essas fases são: interrogação ou informação, orientação dirigida, explicitação, orientação livre e integração. Fase 1 - Interrogação ou informação O professor e os alunos conversam sobre o objeto de estudo (o tema). O professor verica quais são as habilidades prévias dos alunos diante do objeto estudado. O professor deve sempre tomar muito cuidado com os símbolos utilizados em cada nível. Fase 2 - Orientação dirigida O professor coloca os alunos em situações para explorar o assunto através de materiais ordenados cuidadosamente numa seqüência de grau de diculdade cresecente. Neste momento cada atividade deve estar voltada para que os alunos dêem respostas especícas de forma que possam perceber por si mesmos, as propriedades, conceitos e denições que o professor quer atingir. Fase 3 - Explicitação De acordo com a experiência vivida nas fases anteriores os alunos expõem as experiências ao professor de maneira oral ou escrita. O professor direciona esse diálogo de forma a corrigir a linguagem do aluno quando necessário, utilizando nesse momento uma linguagem especíca do nível em que se encontra o grupo de alunos. É o momento de diálogo entre professor e alunos, no intuito de chegarem a um comum acordo com relação ao tema estudado. Nesta fase não se introduzem conceitos novos, há somente a troca de experiências. Fase 4 - Orientação livre O professor passa tarefas aos alunos de maneira que eles tenham que utilizar os conteúdos anteriormente conhecidos; os problemas dados aos alunos tem que ter um grau de diculdade maior que os dados na fase 2 de maneira que os alunos possam ter mais de uma maneira de resolução. Os problemas nessa fase não devem ser só uma aplicação dos exercícios anteriores, mas devem sim ter grau de complexidade maior fazendo com que os alunos utilizem o conhecimento anterior. Nesta fase o professor deve interferir o mínimo possível, deixando aos alunos a tarefa de formalizar o conceito. Para Van Hiele só sabemos se houve compreensão quando ao aluno é colocada uma nova situação e este consegue resolver o novo problema Fase 5 -Integração Os alunos fazem uma análise e resumem o que aprenderam. O professor auxilia nesse resumo para xar a compreensão. Neste momento não devem aparecer novos conhecimentos; é o momento de se ter uma visão geral do conteúdo estudado anteriormente. É uma fase muito importante, pois em alguns casos os alunos não se recordam do conteúdo que estudaram em semanas anteriores. 5. Um exemplo de aplicação do modelo A escassez de materiais didáticos que levem em conta o modelo dos níveis de aprendizagem em geometria foi a motivação para que Adela Jaime, da Universidade de Valência, pesquisasse o assunto [2]. Ela realizou trabalhos utilizando o modelo de Van Hiele no ensino de isometrias dando origem a sua tese de doutorado, onde podemos encontrar a descrição completa do modelo e de suas propriedades, além de uma análise detalhada das pesquisas relacionadas com a teoria de Van Hiele. A classicação adotada do modelo considera a numeração de 1 a 5 e, não de 0 a 4 como formulada inicialmente na teoria. Adela Jaime comprovou que não existem saltos de um nível para outro como arma Van Hiele e sim que existe um momento de transição entre um nível e outro. Adela Jaime apresenta uma proposta de ensino de isometrias no plano seguindo o modelo de Van Hiele. Reproduzimos abaixo as atividades correspondentes às fases a serem aplicadas no ensino de translações para promover o raciocínio geométrico do Nível 1 ao Nível 3. - Nível 1 Fase 1: Para esse nível a utilização de material concreto é de extrema importância. É feita a utilização de guras recortadas. A1. Apresentar exemplos e contra exemplos de guras transladadas. Em primeiro lugar se mostram pares de guras. Depois mostram-se grupos de guras. Pedir aos alunos que expressem o que entendem por translação. A2. Dar e pedir exemplos de translações que estão ao redor da escola. A3. Utilizar uma régua ou outro tipo de suporte equivalente para deslizar uma gura ao longo de sua borda (utilizando guras com algum de seus lados totalmente apoiado sobre o suporte). Pedir que os alunos expressem como é o deslocamento. Fase 2: A1. Transladar uma gura sobre uma linha marcada usando suporte para o deslocamento. Desenhar outras linhas válidas para o deslocamento. A2. Dadas duas guras transladadas, deslizar uma até a outra (com a ajuda de um suporte). Marcar um ponto ou lado sobre a gura original. Marcar o

4 correspondente na gura transladada. Unir os pontos por uma linha que represente o ocorrido nessa translação. Fase 4: A1. Transladar uma gura de maneira que um lado concreto da gura se situe sobre um segmento dado do mesmo comprimento. (sempre há solução) Propor aos alunos um exercício análogo ao primeiro, mas em que nem sempre exista solução. - Nível 2 Fase 1: A1. Dadas várias retas, de diversas inclinações, desenhar retas paralelas a essas, utilizando ferramentas adequadas: régua e esquadro, e se os alunos souberem utilizar compasso, utilizar também este material. A atividade A1 comprova se há conhecimento prévio do aluno, em que nível de raciocínio ele se encontra e se há a necessidade de dispor um método para se traçar retas paralelas. Fase 2: Os objetivos desta fase são descobrir e utilizar o paralelismo e a igualdade de comprimento das translações efetuadas; utilizar a translação com as características de comprimento, direção e sentido; aprender a transladar guras, independente do ponto escolhido na gura, vericar que a translação será a mesma independente do ponto escolhido; descobrir e utilizar coordenadas para a realização das translações. As atividades para esta fase apresentam-se com grau crescente de diculdade. A1. Em uma folha estão impressos pares de guras transladadas, em alguns pares a translação é a mesma; entre outras a diferença está só no comprimento, direção ou sentido. Pede-se para marcar vários pontos da gura A e unir a pontos homólogos na gura A' com segmentos que representem a translação. Marcar, em todos os segmentos, uma echa no extremo correspondente para chamar a atenção para o sentido do movimento de translação. (abrir um diálogo sobre as regularidades e propriedades observadas. Introduzir o conceito de vetor associado a translação). Copiar, em um lugar separado das guras, um vetor que indica qual é a translação. Repetir o exercício com outros pares de guras transladadas. Pedir aos estudantes uma previsão do que pode acontecer. Em que se diferenciam os vetores dos pares de gura? São iguais alguns vetores de pares distintos de gura? (pedir aos estudantes que especiquem os dados que necessitam para determinar uma translação). A2. Dadas as guras e os vetores, transladar essas guras pelos vetores dados. A3. Utilizando papel quadriculado com guras dadas pede-se ao aluno que realize a translação 3 quadrados à direita, 2 abaixo. Realizar o mesmo exercício para guras em diferentes posições. Este exercício é realizado para a introdução de pares ordenados. A4. Dada a mesma gura em diferentes locais do quadriculado, dizer qual translação ocorreu na gura que se encontra na posição A para a gura na posição B, de C para D, fazer várias combinações. Fase 3: Nessa fase há uma discussão entre professor aluno, é um momento de aparecimento de dúvidas, momento para esclarecê-las. Fase 4: Os objetivos são introduzir a composição de translações; utilização de vocabulário apropriado e notações formais; vericar propriedades de translação como comutatividade; descobrir e utilizar essas propriedades. A1. Dadas as guras e vários vetores, alguns com módulo e direção iguais só mudando o sentido, fazer a translação de uma gura compondo dois vetores. Realizar essa composição em outras guras. A2. Obter as coordenadas dos vetores dados, fazer a composição de dois vetores e dar as coordenadas desse vetor resultante. As atividades realizadas na fase 4 do nível 2 servem para vericar se houve compreensão da fase 2 do mesmo nível. Fase 5: Os alunos fazem uma conclusão sobre o conteúdo de translações aprendido nessa fase, o professor auxilia procurando não introduzir nenhum conhecimento novo. - Nível 3 Os objetivo são trabalhar com translações utilizando coordenadas; demonstrar os resultados obtidos da composição de vários vetores; demonstrar informalmente, usando raciocínio dedutivo. Fase 1: Vericar o conhecimento prévio do aluno Fase 2: A1 As coordenadas de um ponto P são (2,3). Se ao ponto P se aplica uma translação do vetor (5,2), quais são as coordenadas de sua imagem? E quais são as coordenadas da imagem de Q=(-1,5)? E as coordenadas da imagem de R=(20,-30)? Fase 4: A1. Demonstrar que a composição de translações é comutativa, com base na representação gráca dos vetores de translação. Demonstrar também essa propriedade mediante ao uso de coordenadas. 6. Conclusão Os pesquisadores do modelo de Van Hiele armam que o modelo tem grande importância no ensino/aprendizagem de geometria, pois depois de tes-

5 tado em diversos países ( Espanha, Estados Unidos e Brasil) vem fazendo com que os currículos e livros didáticos sejam modicados adequadamente ao modelo, para obter melhor desempenho dos alunos em geometria. O modelo dá orientação aos professores de como melhorar o ensino de geometria, favorecendo assim os estudantes, para que estes tenham o máximo de aproveitamento na aprendizagem de cada tópico. Ajuda os professores a identicar formas de raciocínio do aluno vericando em que nível ele se encontra o aluno; se vericar que o aluno se encontra em um nível inferior em relação a toda a classe, o professor tem subsídios para que este avance seu nível se compreensão, o professor tem as ferramentas adequadas para ajudar o aluno a progredir de nível. O modelo visa sempre colocar o aluno não como um ser passivo na aprendizagem de geometria, mas sim um ser ativo, participando ativamente das aulas e obtendo assim o desenvolvimento necessário para a aprendizagem em geometria. Referências [1] P.M. Van Hiele, El problema de la comprensión, Universidade de Valencia, 1990, Versão em espanhol do original De Problematiek van het inzicht, 1957, realizada pelo projeto Diseño y evaluación de una propuesta curricular de aprendizaje de la geometría en Enseñanza Media Media basada en el modelo de razonamiento de Van Hiele sob a orientação de Angel Gutiérrez. [2] Adela Jaime, Aportaciones a la Interpretación y aplicación del modelo de Van Hiele, Universidade de Valencia, 1993, Tese de doutorado sob a orientação de Angel Gutiérrez. [3] Lilian Nasser, A teoria de Van Hiele para o ensino de Geometria. Pesquisa e Aplicação, Anais Do I Seminário Internacional de Educação Matemática Do Rio de Janeiro, UFRJ, Rio de Janeiro, pp [4] Mary L. Crowley, O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico, Aprendendo E Ensinando Geometria, Atual Editora, pp [5] Alan Hoer, Geometry is more than proof, Mathematics Teacher (1981), 1118.