ALGORITMO DIDÁTICO PARA O MÉTODO DE GAUSS

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1 ALGORTMO DDÁTCO PARA O MÉTODO DE GAUSS Augusto M. Horiguti ugusto.horiguti@frroupilh.ifrs.edu.br Juline Dondel juline.dondel@frroupilh.ifrs.edu.br nstituto Federl de Educção, Ciênci e Tecnologi do Rio Grnde do Sul, Cmpus Frroupilh AV. São Vicente, 785, Birro Cinquentenário 958- Frroupilh RS Resumo: Diversos trblhos ns áres de educção e engenhri, junto dos ltos índices de reprovção ns disciplins básics que envolvem mtemátic e físic, consttm grnde lcun n prendizgem de conceitos mtemáticos dos lunos ingressntes nos cursos superiores. Trt-se de um deficiênci n compreensão d teori mtemátic, culminndo n dificuldde de resolução de problems. Nesse conteto, este trblho vis mostrr um lgoritmo didático bsedo no método de Guss pr resolução de sistems de equções lineres. O método é simples e de fácil compreensão, bsei-se no uso de tbels pr resolução do sistem. Afinl, prátic eductiv necessit de constnte renovção pr contemplr de mneir simples e eficiente o processo de ensino-prendizgem, ns mis diverss áres do conhecimento. Plvrs-chve: Sistems de Equções Lineres, Método de Guss, Algoritmo Didático.. NTRODUÇÃO A prátic eductiv necessit de constnte renovção, buscndo lterntivs diverss pr que o prdigm do processo de prendizgem sej contempldo de mneir eficiente. Atulmente, percebe-se um grnde lcun n prendizgem de conceitos mtemáticos em lunos que ingressm em cursos técnicos pós-médios ou superiores, sendo que, ess defsgem culmin ns áres ds ciêncis ets e engenhris. Ddos de pesquiss de váris universiddes nos cursos de engenhri indicrm um concentrção de reprovção ns disciplins básics, tis como cálculo e físic, sendo que, 8% dos lunos que ingressrm em cursos de engenhri no pís não se grdurm o finl do curso segundo ddos do NEP/MEC (BRASL, ; RAMOS et l., 8). Durnte o ensino fundmentl e médio, muitos lunos não conseguem dquirir hbiliddes pr pensr logicmente e/ou plicr ferrments mtemátics pr resolver problems. Ess dificuldde é pontd por Pesquiss como s de Pedroso e Krupechce (9) e Cury e Bisognin (6), s quis mostrm o bio nível de conhecimento de conceitos mtemáticos básicos. Com o intuito de minimizr esses problems, s instituições de ensino superior estão implntndo diversos tipos de projetos como disciplins ou cursos preprtórios de mtemátic básic (COUTO, ), monitoris em turnos inversos os d ul, métodos

2 diferencidos de ensino bsedos em projetos ou resolução de problems práticos, (CAVALCANTE & EMBRUÇU, ), entre outrs (PERALTA et l., ). Pensndo nesss dificulddes e n busc de lterntivs pr fcilitr compreensão e plicção ds ferrments mtemátics tão importntes no desenvolvimento desses cursos, esse trblho vis mostrr um método didático pr solução de sistems de equções lineres, já que tnto bibliogrfi de ensino básico como de superior bord ess prte d álgebr liner com métodos bsedos no cálculo de determinntes ou n mnipulção de mtrizes. Porém, pr resolução de sistems de qurt ordem ou mis esses métodos tornmse bstnte trblhosos, tornndo-se cnstivos e, consequentemente, elevndo probbilidde de erros. Sbe-se tmbém que ferrments computcionis são grndes lids nesses csos, no entnto, é preciso compreender o método pr posteriormente, implementá-lo computcionlmente. O objetivo do trblho é mostrr um método de fácil mnuseio e compreensão, bsedo n Eliminção de Guss pr resolver sistems de equções lineres. O método proposto utiliz tbels como ferrment de orgnizção e lgoritmo de cálculo.. RESOLUÇÃO DE SSTEMAS DE EQUAÇÕES LNEARES A resolução de sistems de equções lineres e o cálculo de determinntes são eemplos de problems fundmentis d álgebr liner que form estuddos desde long dt. Leibniz encontrou fórmul pr os determinntes em 69 e, em 75, Crmer presentou um método pr resolver sistems lineres bsedo no cálculo de determinntes, conhecid como Regr de Crmer. (LAMN, ). A solução de sistems bsedo em determinntes é mis usd em nível médio e técnico, porém, esse método restringe-se sistems de terceir ordem, pois o cálculo de determinntes pr mtrizes de qurt ordem ou mis, torn-se etremmente trblhoso. Outro método de resolução de sistems bsedo em esclonmento é conhecido por Eliminção de Guss, porém, menos utilizdo por envolver mnipulção d mtriz do sistem em questão. A miori dos livros de ensino médio bord métodos de resolução de sistems trvés de determinntes e esclonmento com mtrizes de terceir ordem, no máimo. Sistem de ordem superior torn-se de difícil resolução medid que necessitm de cálculo de determinntes e/ou mnipulção ds mtrizes ssocids. (PAVA, 5; DANTE, ). Já os livros de ensino superior bordm sistems lineres de ordem n, em que resolução dos mesmos se dá trvés de esclonmento. (STENBRUCH & WNTERLE, ; BOLDRN et l.,986)... Método de Eliminção de Guss O método de Guss pr solução de sistems de equções lineres é um método numérico direto, em que solução do sistem é obtid com um número finito de operções. Com (n-) pssos o sistem liner = é trnsformdo num sistem tringulr equivlente. (BARROSO et l., 987; RUGGERO & LOPES, 9).

3 Consider-se um sistem liner do tipo A = B : n n n b n b = nn n bn () O objetivo do método de Guss consiste em eliminr os elementos pr i > j pr obter um mtriz tringulr superior: ' ' ' ' n b' ' n b' = ' nn n b' n () A prtir dess mtriz tringulr, plicm-se substituições sucessivs pr obter-se solução pretendid. O método de eliminção de Guss consiste em n- pssos, em que os elementos são obtidos prtir dos elementos. O elemento é chmdo de pivô sendo que, pr =, n-, se o pivô = então tem-se que efetur troc de linhs. Por outro ldo, se, utiliz-se seguinte rotin: i º) Clcul-se o quociente m i : m i =, pr i = +,, n; º) Determinm-se os elementos + : + = m i j, pr i,j = +,,n; + + º) Determinm-se os elementos b i : bi = bi mib, pr i = +,,n. De form que, o finl dos n- pssos obtém-se o sistem tringulr superior conforme equção mtricil cim... Algoritmo didático pr o método de Guss O Algoritmo seguir mostr um método simplificdo pr resolver sistems de equções lineres, bsedo n Eliminção de Guss. nicilmente us-se mtriz totl do sistem, ou sej: n n n n nn b b b n ()

4 O princípio básico deste lgoritmo é o mesmo do método de eliminção de Guss, com diferenç que não se us o quociente m i pr o cálculo dos novos elementos, ms sim multiplicção cruzd de termos, isto é, º) Determinm-se os elementos : + + = i j, pr i,j = +,,n; + + º) Determinm-se os elementos b i : bi = bi ib, pr i = +,,n. Cd vez que est rotin é eecutd, eliminm-se um linh e um colun d mtriz totl. Pr eemplificr, supõe-se um sistem liner solúvel e determinável com qutro incógnits, ddo pel Equção (): = b = b = b = b () A mtriz totl do sistem será 5, conforme Equção (5): b b b b (5) Utiliz-se form tbulr pr fcilitr visulizção, conforme Tbel : Tbel Coeficientes d mtriz X 5. b b b b A mtriz resultnte será, com os elementos d Tbel : Tbel Coeficientes d mtriz X. ' = - ' = - ' = - b' = b -b

5 = - ' = - ' = - b' = b -b ' = - ' = - ' = - b' = b -b : Repete-se est rotin, obtendo-se como resultdo um mtriz, de cordo com Tbel Tbel Coeficientes d mtriz X. '' = ' - ' '' = ' - ' b'' = b - b '' = ' - ' '' = ' - ' b'' = b - b té obter um mtriz, como mostr Tbel : Tbel Coeficientes d mtriz X. ''' = '' '' - '' '' b''' = '' b'' - '' b'' fzendo com que solução d qurt incógnit sej igul : b''' = (6) ''' As demis incógnits terão soluções dds por: b'' '' '' = (6) b' ' ' = (7) ' b' ' ' ' = (8) ' Porém, qulquer linh desss mtrizes poderá ser utilizd pr determinção ds demis incógnits. Cbe lembrr que, ssim como em qulquer sistem liner, é possível encontrr Sistems Possíveis e Determináveis, que terão solução propost cim, ssim como Sistems Possíveis e ndetermináveis ou sistems mpossíveis. Atrvés desse lgoritmo, um Sistem Possível e ndeterminável ficrá crcterizdo qundo pelo menos dus linhs d mesm mtriz forem idêntics ou pelo menos um dels tiver todos os elementos nulos ou ind, n últim etp, for encontrd linh conforme Tbel 5:

6 Tbel 5 Coeficientes d mtriz X pr sistem possível e indetermindo. Já um Sistem mpossível é crcterizdo principlmente n últim etp qundo pens o elemento d primeir colun é nulo, conforme Tbel 6: Tbel 6 Coeficientes d mtriz X pr sistem impossível. Número.. Eemplo sobre o uso do lgoritmo didático em sistems lineres Resolução de sistems provenientes d nálise de circuitos pels Leis de Kirchoff. Suponh o seguinte circuito ( resistênci R está em curto-circuito, ms pretende-se pens utilizr configurção pr ilustrr o método): Figur : Circuito elétrico Em que ε = 5 V, ε = V, R = R = R = R = Ω, de form que obtém-se s seguintes equções: = + + = = + = 5 (9) A mtriz totl será neste cso mostrd n Tbel : 5 ()

7 O lgoritmo é montndo conforme Tbel 7: Tbel 7 Coeficientes d mtriz X N primeir etp reduz-se pr um mtriz : Tbel 8 Cálculo dos coeficientes d mtriz X. Ou sej, - (-) = - (-) = - = 5 - = 5 - (-) = (-) - (-) = - - = (-) - = - - (-) = - (-) = - = - = Tbel 9 Coeficientes d mtriz X N próim etp mtriz nterior é reduzid um mtriz : Repetindo rotin, obtém-se mtriz : Tbel Coeficientes d mtriz X Tbel Coeficientes d mtriz X. - Logo, qurt incógnit ( ) terá como solução: = = A ()

8 Pr determinção ds demis incógnits, pode-se utilizr s linhs obtids em cd um dos pssos cim. Por eemplo, pr clculr terceir incógnit ( ) pode-se usr primeir linh d Tbel 9, qul corresponde à Equção (): + = 6 = 6 A () = A determinção d segund incógnit ( ) utilizmos terceir linh d Tbel 7 e obtémse Equção (): = = = A () Finlmente, o vlor de é obtido pel primeir linh d Tbel 8, qul fornece Equção (): + = + = 5 =. () 5 A Sendo ssim, um sistem de qurt ordem é resolvido com poucs operções e de mneir simples e eficiente obtêm-se os vlores ds correntes elétrics.. CONSDERAÇÕES FNAS É senso comum entre lunos e professores dos mis diversos níveis de ensino, que mtemátic é um ds disciplins em que os estudntes presentm mior dificuldde de prendizgem. Como menciondo nteriormente, diversos utores constrm esse fto que torn-se mis visível e preocupnte nos cursos de Engenhri, em que mtemátic é bse pr todo o curso, culminndo em ltos índices de reprovção. Desse problem, lido constnte busc por renovção e perfeiçomento d prátic de ensino surgiu idéi d plicção do método proposto. O lgoritmo didático bsedo no método de Guss pr resolução de sistems mostrou-se eficiente por ser de fácil compreensão e mnuseio, simplificndo o número de operções necessáris pr resolver sistems lineres. O lgoritmo us tbels como form de orgnizção e mnutenção do método. Portnto, pode ser utilizdo como ferrment n resolução de problems práticos como o eemplo mostrdo. Além disso, o método teve um bo ceitção por prte dos lunos, os quis resolverm sistems de ordem mior que três de form simples e eficiente. Agrdecimentos Professor Celso Edurdo Pscholti, que forneceu subsídios pr plicção do lgoritmo didático. REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS BARROSO, Leônids Conceição. et l. Cálculo Numérico com plicções. ed. São Pulo: Hrbr, 987, 67p, l.

9 BOLDRN, José Luiz. et l. Álgebr Liner. ed. São Pulo: Hrbr, 986, 7p, il. BRASL. Reltório d Comissão Especil de Estudos sobre Evsão ns Universiddes Públics Brsileirs. Diplomção, Retenção e Evsão nos Cursos de Grdução em nstituições de Ensino Superior Públics. ANDFES/ABRUEM/SESU/MEC. Disponível em: < o_em_es_publics-996.pdf>. Acesso em: mi.. CAVALCANTE, F.P.L; EMBRUÇU, M.S. Aprendizdo com bse em problems: como entusismr os lunos e reduzir evsão nos cursos de grdução em Engenhri. Anis: XL - Congresso Brsileiro de Ensino de Engenhri. Grmdo: UFRGS,. COUTO, R.G.M. et l. Avlição do impcto do Cálculo Zero no desempenho de lunos ingressntes de cursos de Engenhri. Anis: XL - Congresso Brsileiro de Ensino de Engenhri. Grmdo: UFRGS,. DANTE, Luiz Roberto. Mtemátic: Conteto e Aplicções. Vol único, ed. São Pulo: Átic,. 76p, il. LAMN, Mri Regin Nunes; UNVERSDADE FEDERAL DE SANTA CATARNA, Resolução de Problems Modeldos com Sistem de Equções Lineres,. 9p, il. Monogrfi (Grdução). PAVA, Mnoel. Mtemátic. Vol único, ed. São Pulo: Modern, p, il. PEDROSO, C. M.; KRUPECHACKE, J. E. Análise de lterntivs pr recuperção de fundmentos de mtemátic no ensino de Cálculo em cursos de Engenhri. Anis: XXXV Congresso Brsileiro de Ensino de Engenhri. Recife. 9. PERALTA, V.A; BRESSAN, G.M.; VCENTE, J.P. Articulção entre teori mtemátic e teori de sinis pr motivs lunos do ensino técnico ingressrem n Engenhri. Anis: XL - Congresso Brsileiro de Ensino de Engenhri. Grmdo: UFRGS,. RAMOS, M.O. et l. A reprovção por frequênci nos cursos de engenhri d Universidde Federl do Vle do São Frncisco: um olhr dos docentes e discentes. Anis: XXXV - Congresso Brsileiro de Ensino de Engenhri. São Pulo: Escol Politécnic d USP, 8. REHFELDT, M.J.H. et l. nvestigndo os conhecimentos prévios dos lunos de Cálculo do Centro Universitário Univtes. Revist de Ensino de Engenhri, v., n., p. -,. RUGGERO, Márci A. Gomes; LOPES, Ver L. d Roch. Cálculo Numérico: spectos teóricos e computcionis. ed. São Pulo: Mron Boos, 9. 95p, il. STENBRUCH, Alfredo. WNTERLE, Pulo. Álgebr Liner.. ed. São Pulo: Mron Boos,. 58p, il. DDACTC ALGORTHM FOR GAUSS METHOD Abstrct: Severl ppers in the res of eduction nd engineering, long the high filure rtes in core subjects involving mthemtics nd physics, show the lrge gp in lerning

10 mthemticl concepts of freshmen in university courses. This is deficiency in the understnding of mthemticl theory, culminting in the difficulty of solving problems. n this contet, this wor ims to show didctic lgorithm bsed on Guss method for solving systems of liner equtions. After ll, the eductionl prctice needs constnt renovtion to include simple nd efficient wy the process of teching nd lerning in diverse res of nowledge. Key-words: Systems of liner equtions, Guss method, Didctic Algorithm.