ESTUDO DE MÉTODOS ITERATIVOS NÃO-ESTACIONÁRIOS DE RESOLUÇÃO DE GRANDES SISTEMAS LINEARES ESPARSOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA ESTUDO DE MÉTODOS ITERATIVOS NÃO-ESTACIONÁRIOS DE RESOLUÇÃO DE GRANDES SISTEMAS LINEARES ESPARSOS AUTOR: LUIZ FERNANDO SPILLERE DE SOUZA 00- Estudo de Métodos Iteativos Não-Estacionáios de Resolução de Gandes Sistemas Lineaes Espasos UFSC

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA E ESTATÍSTICA CURSO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO TÍTULO: ESTUDO DE MÉTODOS ITERATIVOS NÃO-ESTACIONÁRIOS DE RESOLUÇÃO DE GRANDES SISTEMAS LINEARES ESPARSOS AUTOR: LUIZ FERNANDO SPILLERE DE SOUZA ORIENTADOR: PROF. JAÚBER C. DE OLIVEIRA BANCA EXAMINADORA: PROF. DANIEL SANTANA DE FREITAS PROF. JÚLIO FELIPE SZEREMETA Floianópolis, 0 de maio de 00

3 RESUMO Este tabalho tem po objetivo compaa váios pecondicionadoes paa os sistemas lineaes espasos esultantes da aplicação do método dos elementos espectais a equações difeenciais paciais. Após intoduzi os métodos iteativos estacionáios, eploamos os métodos iteativos não estacionáios, com ênfase nos gadientes conjugados. ABSTRACT We pesent compaisons among seveal peconditioning techniques fo conjugate gadients used fo solving spase linea systems obtained fom spectal element PDE solves. Afte intoducing the stationay iteative methods, we eploe the nonstationay iteative methods, with emphasis in the conjugate gadients.

4 SUMÁRIO Resumo Abstact Sumáio 3 Objetivos Geais 4. Resolução de Sistemas Lineaes po Métodos Dietos 5.. Método de Eliminação de Gauss 5.. Método de Eliminação de Gauss-Jodan 6.3. Método de Gauss-Jodan na Invesão de Matizes 7.4. Método de Cout 7.5. Consideações sobe Métodos Dietos 8. Resolução de Sistemas Lineaes po Métodos Iteativos 9.. Intodução aos Métodos Iteativos 9... Definições... Decomposição da Matiz A.. Método de Jacobi 3.3. Método de Gauss-Seidel 4.4. Métodos de Relaação Método de Jacobi com Relaação Método de Gauss-Seidel com Relaação Deteminação do Fato de Relaação 9.5. Métodos Descendentes Método da Descendente mais Inclinada.5.. Método dos Gadientes Conjugados Método dos Gadientes Biconjugados 6.6. Amazenamento de Matizes Amazenamento Mose 9.7. Pecondicionamento de Matizes Pecondicionamento pela Diagonal Pincipal de A Pecondicionamento pelo Método S.S.O.R Pecondicionamento pelo Método da Decomposição LU Incompleta Pecondicionamento pela minimização de I - AW na noma de Fobenius Consideações sobe Métodos Iteativos 4 3. Aplicação Pática de Métodos Iteativos Teste de Funcionamento Aplicação dos Métodos Iteativos na Resolução de Equações Difeenciais Aplicação dos Métodos Iteativos na esolução de matizes geadas po Métodos Espectais 53 Conclusões 56 Aneos 57 Implementação do Método de Jacobi 57 Implementação do Método de Gauss-Seidel 57 3 Implementação do Método de Jacobi com Relaação 58 4 Implementação do Método de Gauss-Seidel com Relaação 58 5 Implementação dos Métodos Iteativos Estacionáios 59 6 Implementação do Método de Gadientes Conjugados 65 7 Implementação do Método de Gadientes Biconjugados 66 8 Implementação dos Pecondicionadoes 67 9 Implementação dos Métodos Iteativos Estacionáios 7 Refeências Bibliogáficas 83 3

5 OBJETIVOS GERAIS O objetivo deste tabalho é estuda os métodos numéicos que contemplem fundamentalmente a esolução de sistemas lineaes, focalizando no aspecto da implementação computacional. Paa isso, após uma beve apesentação dos métodos dietos, petendemos inicialmente estuda os métodos iteativos clássicos, com a finalidade de familiaiza-nos com a aplicação de métodos iteativos paa a esolução de sistemas lineaes espasos. Após este estudo inicial, petendemos estuda os denominados métodos não-estacionáios a fim de investiga as difeentes altenativas dos métodos baseados em gadientes visando esolve eficientemente gandes sistemas lineaes espasos que esultam da solução numéica de equações difeenciais. Nesse conteto, devemos também nos peocupa com as fomas de amazenamento de matizes e o pé-condicionamento das mesmas, paa que possamos aplica estes métodos com a gaantia de sua convegência. 4

6 . RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR MÉTODOS DIRETOS Nos métodos dietos, a solução é obtida po uma seqüência finita de opeações, que poduziia a solução eata se não houvesse os eos de aedondamento decoentes da aitmética de ponto flutuante. A eigência de obtemos uma solução coeta taz à luz a questão dos eos de epesentação finita dos númeos eais e de como estes se popagam atavés dos cálculos. A minimização do númeo de opeações é desejável tanto a nível de eduzi o tempo computacional necessáio paa obte-se a solução do sistema, quanto no sentido de evita maioes popagações de eos de epesentação. Neste aspecto, tia vantagem da estutua da matiz é o ponto cental no desenvolvimento dos algoitmos. Vamos então, apesenta apidamente os mais usuais métodos dietos paa solução numéica de sistemas lineaes. Esses métodos são conhecidos como métodos de eliminação e métodos de fatoação... Método de Eliminação de Gauss Dado um sistema linea qualque da foma: a a a M n a a a M n L L L a a a n n M nn n n n = = = b b b n o método de Gauss consiste em faze opeações ente linhas deste sistema até chegamos a um novo sistema que teá a mesma solução que o inicial com a foma tiangula: a' a' a' L L a' a' a' n n M nn n n n = = = b' b' b' n 5

7 Clao que a deteminação da solução do sistema linea tiangula é óbvia e dieta: o valo de n já está deteminado na última equação. O valo de n seá deteminado na penúltima, substituindo-se o valo de n ; o valo de n seá obtido na penúltima linha com os valoes já deteminados de n e n, e assim po diante até deteminamos. Então, desde que se consiga leva o sistema linea inicial na foma tiangula sem altea suas soluções, o nosso poblema está esolvido... Método de Eliminação de Gauss-Jodan Este método é uma complementação ao método de Gauss. Ele tansfoma o sistema dado em um outo diagonal, isto é, onde todos os elementos foa da diagonal são nulos. O método de Gauss eigia apenas que se chegasse à foma tiangula. Sabemos que o um sistema linea pode se escito na foma de uma matiz aumentada: a a a n a a a n L a La La n n nn M M M b b b n Então pocuaemos chega a outa matiz, com os passos do método de eliminação de Gauss, com a foma diagonal: a 0 0 a 0L0 L0 0La que seá associada a um sistema na foma: n M M M β β, β n β β = = α α β 3 = α 3 6

8 Isto que dize que se conseguimos chega da matiz aumentada paa a foma diagonal, a solução do sistema é imediata. Podemos, ainda, dividindo cada linha pelo elemento da diagonal, chega à matiz identidade..3. Método de Gauss-Jodan na Invesão de Matizes Uma análise ápida do método de eliminação de Gauss nos mosta que, ao invés de esolvemos um sistema linea completo, esolvemos, na ealidade, um sistema tiangula. Isso que dize que, a pati do sistema linea dado, geamos outo, que conseva suas soluções oiginais. geal De um modo mais fomal, podemos dize que saímos de um sistema A = b e chegamos a outo sistema: A ' = b' cuja matiz A' é tiangula, mas as soluções são as mesmas que do sistema linea inicial. Natualmente a passagem de uma foma à outa não pode se abitáia. Paa temos a gaantia de que as aízes são pesevadas só pemitimos opeações elementaes sobe as linhas do sistema. Cada uma dessas opeações, equivale à multiplicação da matiz do sistema po uma matiz elementa..4. Método de Cout Obsevamos que no caso do método de Gauss, podemos tansfoma uma dada matiz A em outa A', tiangula supeio. Vamos agoa, eplicita o que acontece com as matizes definidas anteiomente, paa obte um novo método dieto, chamado método compacto de Banachievicz ou Doolittle. Ele epesenta a fatoação da matiz A no poduto L.U onde L é tiangula infeio e U tiangula supeio, isto é: 7

9 Da mesma foma que fatoamos A em um poduto L.U,, podemos esceve A = L.U onde, agoa fiamos os elementos u =, fazendo com sejam calculados no pocesso. Essa fatoação ecebe o nome de método de Cout. ii.5. Consideações sobe Métodos Dietos Apesentamos os métodos dietos, e estes, após um ceto númeo de opeações fonecem a solução eata de um sistema, pelo menos teoicamente. Isto poque, quando fazemos muitas divisões e multiplicações, intoduzimos eos de aedondamento poduzidos pelo computado. Po isso, os métodos dietos só são indicados paa o caso em que temos um sistema pequeno, de modo que, em sua solução tenhamos de faze um númeo eduzido de opeações; senão a solução que vamos obte muitas vezes se afasta da solução eal. Paa os sistemas maioes, esse efeito diminui com outos métodos que gaantem em cetos casos, qualque pecisão desejada. Estes métodos são chamados métodos iteativos, onde usamos uma apoimação inicial da solução e a melhoamos quantas vezes sejam necessáias paa chegamos a uma pecisão satisfatóia. 8

10 . RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR MÉTODOS ITERATIVOS Um método é iteativo quando fonece uma seqüência de apoimantes da solução, onde cada um dos quais é obtido dos anteioes pela epetição do mesmo tipo de pocesso. Um método iteativo é estacionáio se cada apoimante é obtido do anteio sempe pelo mesmo pocesso. Quando os pocessos vaiam de passo paa passo mas se epetem ciclicamente de n em n passos dizemos que o pocesso é n-cíclico. Agupando-se os s passos de cada ciclo num único passo composto, obtemos um método estacionáio. No caso de métodos iteativos pecisamos sempe sabe se a seqüência que estamos obtendo está convegindo ou não paa a solução desejada. Além disso, pecisamos sempe te em mente o significado de convegência, como seá visto posteiomente. Os métodos iteativos devem se aplicados quando a matiz dos coeficientes é espasa. Matizes espasas são aquelas que possuem muitos elementos iguais a zeo. Podem se usados também paa eduzi os eos de aedondamento na solução obtida po métodos eatos e também podem se aplicados paa esolve equações difeenciais... Intodução aos Métodos Iteativos Vamos estuda métodos iteativos paa a solução de sistemas de equações lineaes do tipo: A = b, onde A é uma matiz quadada sendo que A n n R e b são vetoes sendo que b n R : a a a M n a a a M n L L L a a a n n M nn n n n = = = b b b n 9

11 Um método iteativo necessita de um númeo infinito de opeações paa fonece a solução de um sistema. Assim, a pati de uma estimativa inicial 0 são geadas sucessivos vetoes,, K, onde: lim = Como na ealidade não é possível efetua um númeo infinito de opeações, os métodos iteativos são inteompidos, o que implica em temos uma solução apoimada do sistema, poém, pefeitamente boa paa a finalidade petendida. As pincipal vantagem dos métodos iteativos esta no fatos destes poduziem boas apoimações com elativamente poucas iteações e a matiz. Outa vantagem que temos é que a matiz A nunca é alteada no decoe do pocesso iteativo, pemitindo economia de memóia e tempo de cálculo. Esta caacteística pemite que estes sejam paticulamente adaptados paa esolve sistemas de gandes dimensões com matizes espasas. De foma geal, os métodos iteativos podem se escitos como: = G c, = 0,,..., 3 onde G é uma matiz conhecida matiz de iteação e c é um veto. A equação 3 também pode se vista como: = G c = G I c = h, 4 onde h G I = c. 0

12 ... Definições Definição: Um método iteativo é dito linea se depende de j, onde 0 j. Já um método iteativo é dito não linea se independe de j, onde 0 j. Definição: Um método iteativo é dito estacionáio se de. Já um método iteativo é dito não estacionáio se G e c dependem G e c independem de. A epessão geal dos métodos estacionáios é dada po: = G c, = 0,,..., 5 consideando assim que G e c dependem do contado de iteações. Já a epessão gal dos métodos não-estacionáios é dada po: = G c = 0,,..., 6 consideando assim que G e c independem do contado de iteações. sucessão Definição: Um método iteativo é convegente se convegi paa um limite, independente de 0. b e qualque 0, a Definição: Um método iteativo é consistente se = G c e o sistema: = G c 7 tenham a mesma solução. A consistência obiga que os sistemas e 7 tenham a mesma solução. Como A = b podemos esceve: = Temos também de A b = G c que:

13 G = c I G = c c = I G A b... Decomposição da Matiz A Vamos agoa nos peocupa em obte a matiz G. Uma foma usual de constui esta matiz é pati de uma decomposição aditiva da matiz A em duas matizes M e N tais que: A = M - N 8 Como A = b, temos: M N = b M = b N 9 Então, o método iteativo sugeido é: M = b N 0 Este sistema eqüivale a: = M N M b, que compaado ao sistema 5, podemos faze a seguinte identificação: G = M N e c = M b Fazendo algumas modificações em G, veemos que: N = M A G = M G = M M A M M A,I = M M e finalmente: G = I M A e c = M b

14 .. Método de Jacobi Definimos as matizes L, D e U onde L é fomada pela pate tiangula infeio, D é fomada pela diagonal e U é fomada pela pate tiangula supeio da matiz A, isto é: Podemos então esceve: A = D L U O método de Jacobi consiste em escolhe paa matiz M a diagonal de A: M = D = diag A Assim, de 8 podemos veifica que: N = -L U A matiz de iteação do método de Jacobi é dada po: G G J J = M = D.N. L U G J = D. L U 3 O pocesso iteativo do método de Jacobi é definido po: = D L U D b, 4 Da epessão geal dos métodos estacionáios 5 podemos esceve: 3

15 i = i b i n j= a ij j a ii 5 Com base em 5, teemos então o algoitmo do método de Jacobi: Escolha do valo inicial 0 paa a solução ; paa =,,3... paa i =,,...,n σ = 0 paa j =,,..., n fim se i j então fim paa σ = bi σ / a i,i fim paa = σ calcula eo; σ = σ a i, j j Este algoitmo foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo..3. Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma modificação do método de Jacobi, que utiliza paa o cálculo de uma componente de i o valo mais ecente de i. Então, a matiz M é o tiângulo infeio da matiz A, justamente paa apoveita os valoes mais ecentes e já calculados de i : M = L D Assim, de 8 podemos veifica que: N = -U A matiz de iteação do método de Gauss-Seidel é dada po: G GS = I M.A 4

16 = I L D.A 6 G GS O pocesso iteativo do método de Gauss-Seidel definido po: = L D R L D b 7 Da epessão geal dos métodos estacionáios 5 podemos esceve: i = i b i i j= a ij j n j= i a ij j a ii 8 Seidel: Com base em 8, teemos então o algoitmo do método de Gauss- Escolha do valo inicial 0 paa a solução ; paa =,,3... paa i =,,...,n σ = 0 paa j =,,..., n fim se j < i então se j > i então fim paa i = bi σ / ai,i fim paa calcula eo; σ = σ σ = σ a i, j a i, j j j Este algoitmo foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo..4. Métodos de Relaação Aplicando os métodos até aqui estudados, descobiu-se que ea possível acelea ou etada a convegência de um método, somando aos valoes de um ceto fato de coeção, ao qual chamamos de w. Modificando conveniente esta 5

17 coeção, podemos então antecipa ou etada a evolução das iteações, modificando com isto a convegência do método..4.. Método de Jacobi com Relaação Se afetamos a coeção aplicada a i de um fato w, teemos: M w = D e N = D L U 9 w w Modificando então o paâmeto de elaação w, teemos: w < : Sub elaação w > : Sobe elaação A Matiz de iteação de Jacobi com elaação é dada po: G G G J w J w J w = I M = I.D w = I wd.a.a.a Como: G D J = I D.A.A = I G J, então podemos dize que: G G J w J w = I w I G = I wi wg J J G = w I wg 0 J w J Aplicando a coeção ao método de Jacobi, teemos então a epessão: i = i w b i n j= a ij j a ii 6

18 Mostaemos então o algoitmo do método de Jacobi com elaação: Escolha do valo inicial 0 paa a solução ; Escolha o valo da elaação w; paa =,,3... paa i =,,...,n σ = 0 paa j =,,..., n fim se i j então fim paa σ = bi σ / a i,i fim paa = w σ calcula eo; σ = σ a i, j j Este algoitmo foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo..4.. Método de Gauss-Seidel com Relaação Aplicando a mesma idéia ao método de Gauss-Seidel, teemos: M = w D L e N = D U w w Modificando então o paâmeto de elaação w, teemos: w < : Sub elaação w > : Sobe elaação A Matiz de iteação de Gauss-Seidel com elaação é dada po: 7

19 G G G G GS w GS w GS w GS w = M w =.D L..D U w w w.d U = w,que multiplicados.d L w =.N w I UwD I LwD po w D : G GS w I wd L. w I wd U = 3 epessão: Aplicando a coeção ao método de Gauss-Seidel, teemos então a i = i w b i i j= a ij j n j= i a ij j a ii 4 elaação: Mostaemos então o algoitmo do método de Gauss-Seidel com Escolha do valo inicial 0 paa a solução ; Escolha o valo da elaação w; paa =,,3... paa i =,,...,n σ = 0 paa j =,,..., n fim se j < i então se j > i então fim paa σ = bi σ / a i,i = w σ fim paa calcula eo; σ = σ σ = σ a i, j a i, j j j Este algoitmo foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo. 8

20 .4.3.Deteminação do Fato de Relaação A apidez da convegência dos métodos iteativos depende agoa do fato de elaação w, de foma que o valo deste paâmeto tone G mínima. Este seia então, um valo de w ótimo. Contudo, este pocesso evela-se, na maioia dos casos, muito difícil ou até mesmo impossível. Emboa eistam estudos teóicos que pemitem obte valoes ótimos de elaação, paa cetas classes de matizes, somos obigados a detemina estes valoes de uma maneia um pouco mais epeimental, paa semos assim mais abangentes. Uma maneia possível de se faze isto é detemina o fato de elaação ótimo po epeimentação numéica. Neste pocesso, detemina-se o númeo de iteações necessáios à obtenção de uma dada pecisão, paa váios valoes de w. Então, calcula-se apoimadamente o valo deste paâmeto w que poduz o meno númeo de iteações. O custo da otimização efetuada pode assim, se diminuído paa a solução de muitos sistemas. A figua a segui esclaece melho esta idéia:.5. Métodos Descendentes Os métodos descendentes baseiam-se em acata uma solução de um sistema do tipo A = b, pela popiedade da minimização de uma noma apopiada do eo. 9

21 Po isso, são chamados de métodos de descendente, pois a pati de uma solução inicial 0, estes pocuam a solução coeta pela diminuição do eo. Seja a noma vetoial dada po: S =,S, onde: S R e nn e é o eo. é uma matiz simética positivo definida, é uma solução apoimada As nomas vetoiais são utilizadas paa se medi compimentos de vetoes. Estamos acostumados a utiliza esta noção ao fazemos uso do valo absoluto, estando num domínio unidimensional. No caso de métodos iteativos de sistemas lineaes, a nossa peocupação consiste em obte uma estimativa da poimidade de um ponto situado num espaço vetoial multidimensional. Podemos estende a noção de poimidade atavés de nomas vetoiais que medem compimentos em espaços multidimensionais. É possível estende este conceito paa matizes. A noma- definida po: = n i= i A noma- ou noma euclidiana no copo dos eais definida po: n = i i= veificada quando Sabemos, evidentemente que e 0, e sendo que essa igualdade é e = 0, ou seja, quando Po outo lado, podemos te que: S =. Ae =, 5 onde é chamado de esíduo, podemos deduzi que: 0

22 e S = e,se =,R em que pusemos: R T = A SA 6 Isto significa que fazendo a minimização do eo medido na noma, S é equivalente a minimização do esíduo medido na noma. R Nos métodos descendentes pate-se de uma estimativa inicial 0 da solução e gea-se uma sucessão de vetoes,...,,..., caminhando sucessivamente ao longo da diminuição do eo e, de modo que essa sucessão convija paa. S um valo Paa mosta o que acabamos de dize, suponhamos que tenha-se obtido e que petendamos avança paa um valo seguinte, caminhando numa dieção de pesquisa, na qual chamaemos de p, já conhecida. A equação paamética da eta que passa po e tem a dieção de p é: y α = p 7 onde a iteação seguinte e o espectivo eo são dados po: = α p 8 e = e α p 9 Também é fácil conclui que o esíduo evolui ao longo das iteações de acodo com a equação: = b A = = b A α p b A α Ap = α Ap 30 Po conseguinte, as iteações são calculadas atavés de:

23 = α p, = 0,,... 3 em que o valo de α é dado po:,rap T p, A RA p α = Método da Descendente mais Inclinada Uma das fomas de se acha a melho dieção de pesquisa seia escolhe que em cada ponto, a dieção de p que desce mais, aquela que esta alinhada com a dieção do gadiente da função e S, mas no seu sentido oposto. Po isso estes métodos são chamados da descencente mais inclinada, ou simplesmente, métodos de gadiente. Desta foma, a epessão iteativa dos métodos de gadiente é dada po: = G c 33 em que: G = I α S c = α SA b

24 veificando assim, que estes são métodos não-estacionáios, isto é, de. Apesentaemos agoa o algoitmo do método de Gadientes: Inicializa: Estima 0 ; Fia uma toleância γ 0 0 = b A enquanto b : paa = 0,,,... faça α, /,A fim = fim paa = = α α G e c independem.5.. Método dos Gadientes Conjugados O método dos gadientes conjugados é um método iteativo descendente, aplicado aos casos onde a matiz de iteação A é simética positivo definida. Este método pevê uma escolha mais citeiosa das dieções de pesquisa p. Paa eemplifica, tomemos um poblema bidimensional n=. As linhas e = = constante, são elipses concênticas com cento em. A A 3

25 Suponhamos que dispomos de uma estimativa inicial 0 e que de acodo com o método da descida mais inclinada, patiíamos deste ponto e pesquisaíamos o mínimo de e A, ao longo da dieção 0, chegando a. Obsevando a figua acima, veificamos que a melho pogessão de não seia a dieção mais inclinada, mas sim uma dieção p que apontasse paa o cento da elipse. De fato, o novo ponto minimizado coincidiia com a solução eata de, e assim o pocesso iteativo teminaia com apenas duas iteações. Podemos, então, desta foma, escolhe a posição ρ como: p = 34 Como se pode ve, atendendo a otogonalidade dos esíduos sucessivos veificados anteiomente, temos: 0 = =,, p 0 0 = b A = A, p 0, p 0 de tal foma que: p,ap 0 = 0 35 As dieções de busca são dadas po: p = β p 36 onde β é dado po:,, β = 37 As iteações do método dos gadientes conjugados satisfazem a seguinte estimativa de eo: 4

26 e A cond A 0 e A cond A 38 Com isso, podemos ve que o método dos gadientes conjugados calcula a solução eata em n iteações. Sendo assim, po que então considea este método como iteativo e não como dieto? A esposta a esta questão está no fato que a utilização deste método em aitmética de pecisão finita, intoduz eos de aedondamento que destoem a eata conjugacidade das dieções. p e a eata otogonalidade dos esíduos Nestas cicunstâncias, não é ceto que se obtenha a solução eata em um númeo finito de iteações. Neste caso, é ecomendável efetua-se as iteações necessáias que satisfaçam a citéios de convegência adequados. Desta foma, este método que é, em pincipio dieto, adquie uma foma tipicamente iteativa. Conjugados: Apesentaemos agoa o algoitmo do método de Gadientes Le A, b Estima 0 ; Fia uma toleância γ = = b A 0 0 p = enquanto < γ b faça: = α = p, / p, Ap β = = = p = fim enquanto α p α Ap β p Este algoitmo foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo. 5

27 .5.3. Método dos Gadientes Biconjugados O método dos Gadientes Biconjugados é uma etensão do método dos gadientes conjugados, que é capaz de esolve poblemas onde as matizes A não tem que se necessaiamente siméticas positivo definidas. Emboa a teoia desenvolvida paa esta classe de métodos esteja ainda em fase de constução, podemos simplificadamente mosta como o método funciona. Como o pópio nome indica, este método vai possui duas dieções de pesquisa, sendo aqui denotadas po espectivamente como: p e ~ p, que podem se calculadas p = β p 39 ~ ~ ~ p p = β 40 Também teemos dois esíduos, que seão calculados como: = α Ap 4 ~ = ~ α A T ~ p 4 sendo que os coeficientes α e β, podem se obtidos: ~, α = 43 ~ p,ap ~, β = 44 ~, 6

28 7 Notemos que, se a matiz A é simética e positivo definida, então ~ p p = e ~ =, e o método dos gadiente biconjugados se tona igual ao método dos gadientes conjugados. Apesentaemos agoa o algoitmo do método de Gadientes Biconjugados: Le A, b Estima 0 ; Fia uma toleância γ = 0 b p = = b p ~ ~ = = ~ T = ρ enquanto b < γ faça: = ~T Ap p = σ / σ ρ α = Ap α = p α = ~ T ~ ~ p A α = ~T = ρ ρ ρ β = p p = β ~ ~ ~ p p = β fim enquanto Este algoitmo foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo.

29 .6. Amazenamento de Matizes Os métodos de esolução de sistemas lineaes vistos até o pesente momento foam desenvolvidos num conteto de matizes cheias, onde a questão da eventual espasidade da matiz não foi eploada. Neste tópico vamos desenvolve uma metodologia que pemita adapta algoitmos escitos paa matizes cheias a matizes espasas, que são potencialmente as que encontamos nos poblemas de inteesse. As matizes podem se catalogadas pela foma que seus coeficientes nãonulos se distibuem. Dividiemos as matizes quanto à foma em tês classes que cobem todas as fomas que foam mencionadas e que estaão elacionadas dietamente com o tipo de método utilizado na esolução do sistema linea associado. São elas: a matizes tipo banda vaiável monótona: usadas no conteto de métodos dietos de esolução pois amazenam todos os coeficientes situados no inteio da banda o que já pevê a tansfomação de coeficientes inicialmente nulos po valoes não-nulos duante o pocesso de eliminação/fatoação. São utilizadas também no conteto de métodos iteativos, especialmente quando associados ao método do Gadiente Conjugado Pé-condicionado; b matizes tipo mose: usadas no conteto de métodos iteativos que, como veemos, não alteam os coeficientes oiginais da matiz duante o pocesso de esolução. Amazenam apenas os coeficientes não-nulos mas devem também amazena a sua localização individualmente; c matizes tipo bloco: usadas no conteto tanto de métodos dietos quanto de iteativos e eploam a divisão da matiz em submatizes; Todas essas fomas de amazenamento são difeentes maneias de aloca os coeficientes da matiz de modo mais eficiente, eploando as suas caacteísticas pópias de espasidade. O esultado desta opeação constitui-se paa os algoitmos de esolução em duas vantagens: a de eduzi a memóia necessáia, eliminando os coeficientes nulos que foem inetes paa o pocesso de esolução e po conseguinte, a de eduzi o númeo de opeações necessáias paa obte a solução do sistema. Paa alcança um geenciamento da alocação dos coeficientes ativos da matiz sem entetanto 8

30 descaacteiza o algoitmo de esolução, a idéia fundamental consiste em estabelece paa cada foma de amazenamento um mapeamento do tipo: A va i, j i, j onde A i, j epesenta a matiz A sob a foma de estutua de matiz computacional e aloca po conseguinte todos os coeficientes ativos ou inetes sem distinção enquanto que vai, j epesenta a matiz e sua espasidade sob a foma de estutua de veto computacional alocando apenas os coeficientes ativos. Nos temas subseqüentes iemos detalha o mapeamento matizes tipo mose, pelo fato de estamos estudando no conteto de métodos iteativos, com a finalidade de amazenam apenas os coeficientes não-nulos, que é nossa finalidade pincipal, na esolução de equações difeenciais..6.. Amazenamento Mose Eistem situações, onde considea que todos os coeficientes da matiz sejam amazenados leva a um despedício de memóia. Veemos que nos métodos iteativos, não ocoe o pocesso de peenchimento total da matiz e os seus coeficientes. Desta foma, apenas os valoes não-nulos pecisaiam se de fato amazenados. O amazenamento mose descito nesta seção atinge eatamente este objetivo. No método de amazenamento mose, considea-se que podem eisti vazios coeficientes nulos e só seiam amazenados coeficientes não nulos. Em cada linha i, vão eisti gupos de coeficientes não-nulos intecalados po vazios. Os limites de cada gupo g seão indicados po min[g] e ma[g]. Um veto auilia loc[g] acumula os coeficientes amazenados até o gupo g, fazendo o papel do veto loc[i] do amazenamento paa a linha i. Paa pode localiza os gupos ativos em cada linha i, usaemos o veto gp que acumula os gupos ativos em cada linha. O eemplo abaio ajuda a compeende as estutuas utilizadas paa o amazenamento mose. 9

31 A localização de um elemento ij da matiz A no veto va pode se obtido pela afimação: "Elementos acumulados até o gupo anteio ao atual aquele que contém a coluna j na linha i Elementos acumulados no gupo atual até a coluna j" e epesso pela elação: [ Gupo i, j ] j ij = loc Paa deteminamos Gupoi,j, pode-se usa o algoitmo: funcao gupoi,j paa g de gp[i-] até gp[i] se j meno_igual ma[g] então etone g fim_paa fim_funcao Obs: Define-se gp[0]=0; O veto loc pode se obtido de uma vez po todas, conhecidos os vetoes gp, min e ma; Eemplo: na matiz eemplificada acima A[5,0] = va[loc[]0] = va[70] = va[7]. 30

32 .7. Pecondicionamento de Matizes Uma foma de tona um método iteativo mais ápido consiste em tansfoma o sistema A = b num sistema equivalente, onde a matiz tenha um númeo de condição mais favoável. Paa ilusta o que acabamos de dize, podemos utiliza o método dos gadientes conjugados, que de acodo com a epessão 38, as iteações satisfazem a seguinte estimativa de eo: e A cond A 0 e A cond A Logo, se pudemos diminui cond A consequentemente o eo também iá diminui, popocionando uma ápida convegência. e 0 A Esta tansfomação é conseguida pemultiplicando e posmultiplicando a matiz A po duas matizes P e Q invesíveis do seguinte modo: PAQ Q - = P b 45 O sistema tansfomado coesponde, potanto a : A = b com A = PAQ, = Q, b = Pb As matizes P e Q devem se escolhidas de modo a popociona à matiz A melhoes popiedades de convegência em elação a matiz oiginal A. Este pocedimento é conhecido como pecondicionamento de sistema de equações oiginal, sendo P e Q conhecidas pelo nome de matizes de pecondicionamento. No caso onde Q = I, chamamos de pecondicionamento esquedo, já se P = I, chamamos de pecondicionamento dieito. 3

33 Po azões de economia computacional, é conveniente que o algoitmo de pecondicionamento deve evita a fomação eplícita de A, e tabalha apenas com a matiz oiginal A. Consideando que no método dos gadientes conjugados, a matiz tansfomada tem de continua a se simética e positivo definida, o pecondicionamento também deveá peseva esta popiedade. De fato, podemos obte isso, fazendo com que: P = S Q = P T = S T e desta foma, podemos chega a: A = b com A = SAS T, = S T, b = Sb Tendo em vista que A cond A cond <<, é fácil veifica que: p 0 = 0 = b A 0 = S 0 Po outo lado, se escolhemos p 0 = S T p 0 = S T 0 = S T S 0 o que é sempe possível, temos que: em que pusemos Também é válida a elação p,ap = p,ap , =, W T S 0 0 = com W = S 3

34 33 A pati daí, podemos obte sem dificuldade,ap p, = α p α = Ap α =,, = β p p 0 0 β = mantendo estas epessões paa as iteações seguintes. Mostaemos então, o método dos gadientes conjugados pecondicionado: Le A, b Estima 0 ; Fia uma toleância γ = 0 A b 0 0 = Resolve ~ W 0 0 = ~ p 0 0 = enquanto b < γ faça: = ~ Ap, p /, = α p α = Ap α = Resolve ~ W = = ~ ~,, β ~ p p β = fim enquanto

35 auilia: Nota-se que em cada iteação, é necessáio esolvemos um sistema ~ W = sendo po isso desejável que seja sistema 'fácil' de se esolvido. As situações etemas coespondem a: W = I : ecupeamos o método dos gadientes conjugados W = A : obtemos a solução em uma única iteação, poém com o custo de te que invete a matiz A, o que não nos inteessa. O objetivo é fica ente este dois etemos, sem ecoe a custos computacionais elevados. Convém epaa que A T T T = SAS = S W A S 46 e, potanto A = W Logo, podemos conclui que: cond A W A A = cond 47 Apesentaemos a segui, algumas fomas de escolhemos esta matiz W, de modo a tona cond W A computacionais demasiadamente elevados. tão pequeno quanto possível, sem ecoe a custos.7.. Pecondicionamento pela Diagonal Pincipal de A Pode-se dize que este é o mais simples dos pecondicionadoes, onde a matiz de pecondicionamento W escolhida, é a diagonal pincipal de A, ou como também chamada, matiz D. 34

36 Este tipo de pecondicionamento é indicado paa esolve sistemas onde a matiz a possui um númeo de condição baio, poém não sendo ideal paa se calculado apenas pelo método dos gadientes conjugados. Nestes casos, podemos usa como pecondicionado, a matiz diagonal pincipal de A. Assim, a invesa apoimada de A, denotada po W -, é calculada pela simples invesão da matiz diagonal D. Paa implementa este pecondicionado, devemos esolve o sistema ~ auilia W = com a sub-otina mostada a segui: ~ sub-otina Resolve W = se i=j então D = A ij ; W = D; ~ = W ; fim da sub-otina; ; Este algoitmo de pecondicionamento foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo..7.. Pecondicionamento pelo Método S.S.O.R. Vamos considea agoa o método S.S.O.R. Simetic Sucessive Ove Relaation que aplica os conceitos de sobe-elaação paa matizes siméticas. Paa este caso, vamos considea que a matiz A pode se escita como: A = D L U onde: D = é a matiz diagonal L = é a matiz tiangula infeio U = é a matiz tiangula supeio Quando esolvemos sistemas onde a matiz A é simética, temos que L = U, logo, podemos esceve: 35

37 A = D L L T No pecondicionamento po S.S.O.R., a invesa apoimada de A, denotada po W -, é: W - = M - D M T, onde: M = D - w L. w - w -/ em que w é o coeficiente de elaação. etapas: Paa simplifica os cálculos de ~ W =, vamos dividi-lo em tês Resolve-se D - w L * = w Calcula-se ** = D * 3 Resolve-se D - w L T ~ = w - w ** ;paa obte ~. segui: A sub-otina do método de pecondicionamento S.S.O.R. seá mostada a sub-otina Resolve ~ W = ; estabelece w; * =D - w L -.w. ; {subst. dieta} ** = D.*; ~ =D-wL T -.w.-w.**; {subst. invesa} fim da sub-otina; Este algoitmo de pecondicionamento foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo. 36

38 .7.3. Pecondicionamento pelo Método da Decomposição LU Incompleta. No pecondicionamento pela decomposição LU incompleta, a invesa apoimada de A, denotada po W -, é uma decomposição LU de Cholesi, não da matiz A, mas sim, de uma matiz ligeiamente difeente de A. Esta matiz é obtida pesevando-se a espasidade da matiz A, ou seja, não modificando seus elementos nulos. Como estamos tabalhando com uma matiz A simética, a decomposição LU pode se escita como sendo uma decomposição LL T.Paa este caso, vamos considea que a matiz A pode se escita como: A = L L T E em que E epesenta a difeença ente a matiz oiginal A. A matiz W é escolhida como sendo: W = L L T A espasidade deve se espeitada, os coeficientes nulos da matiz A são mantidos e a matiz W é chamada de decomposição LU incompleta: ~ Desta foma, esolvemos W = L z = ;paa obte z em duas etapas: L T ~ = z ;paa obte ~ A sub-otina do método de pecondicionamento pela decomposição LU incompleta seá mostada a segui: sub-otina Resolve W = ; faze a decomposição LL T incompleta; z =L -. ; {subst. dieta} ~ ~ =L - T.z ; {subst. invesa} fim da sub-otina; 37

39 Este algoitmo de pecondicionamento foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo Pecondicionamento pela minimização de I - AW na noma de Fobenius. Um outo pecondicionamento é obtido pela minimização de I - AW pela noma de Fobenuis. O objetivo é enconta uma matiz W em que o esíduo I - AW calculado seja pequeno: FM = I - A W F Uma foma de minimiza esta noma de Fobenius é pelo algoitmo dos esíduos mínimos. Neste caso, escolhemos abitaiamente uma matiz inicial W e calculamos o esíduo G da seguinte maneia: G = I - A W matiz W: Em seguida, calculamos o coeficiente α, que auilia a enconta a nova α = G T AW..A.G F A nova matiz W é dada po: W = W α.g A sub-otina do método de pecondicionamento pela minimização de I - AW pela noma de Fobenuis, utilizando o método dos esíduos mínimos é mostada a segui: sub-otina Resolve ~ W = escolha de W inicial; escolha de γ ; enquanto G > γ faça F C = A. W; G = I - C ; ; 38

40 T α = G.A.G C ; F W = W α.g; fim enquanto; ~ = W ; fim da sub-otina; Este algoitmo de pecondicionamento foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo. Outa segunda foma de minimiza esta noma de Fobenius é pelo algoitmo da descida mais íngeme. Também escolhemos uma matiz inicial W e calculamos o esíduo G da seguinte maneia: G = A T. I - A W matiz W: Em seguida, calculamos o coeficiente α, que auilia a enconta a nova α = G A.G F F A nova matiz W é dada po: W = W α.g A sub-otina do método de pecondicionamento pela minimização de I - AW pela noma de Fobenuis, utilizando o método da descida mais íngeme é mostada a segui: sub-otina Resolve ~ W = escolha de W inicial; escolha de γ ; enquanto G > γ faça F C = A. W; R = I - C; G = A T. R ; F F α = G AG ; ; 39

41 W = W α.g; fim enquanto; ~ = W ; fim da sub-otina; Este algoitmo de pecondicionamento foi implementado e testado em Pascal, e seu código seá mostado em aneo. 40

42 .8. Consideações sobe Métodos Iteativos Quando compaamos métodos dietos com iteativos, não se pode gaanti que método é o mais eficiente. É necessáio o estabelecimento de cetos citéios. Usando citéios bem geais, pode-se afima que os métodos dietos se pestam aos sistemas de pequeno pote com matizes de coeficientes densas; também esolvem satisfatoiamente sistemas lineaes com a mesma matiz de coeficientes. Já os métodos iteativos, quando há convegência gaantida, são bastante vantajosos na esolução de sistemas de gande pote, com a matiz de coeficientes do tipo 'espaso' gande númeo de zeos ente seus elementos. Os sistemas oiundos da discetização de equações difeenciais paciais são um caso típico. Neles, os zeos da matiz oiginal são pesevados e as iteações são conduzidas com a pesevação da matiz oiginal, tonando os cálculos autocoigíveis, o que tende a minimiza os eos de aedondamento e tona-los muito mais ápidos e eficientes. 4

43 3. APLICAÇÃO PRÁTICA DE MÉTODOS ITERATIVOS Os testes páticos dos métodos iteativos seão divididos em tês pates. A pimeia pate consiste em um simples teste de funcionamento dos algoitmos implementados, onde foam usadas apenas matizes muito pequenas, com a finalidade de veifica se o pogama estava eecutando sem poblemas. Na segunda pate, utilizamos os métodos iteativos implementados paa esolve equações difeenciais, pelo método das difeenças finitas de segunda odem. Neste caso, a odem das matizes utilizadas eam de no máimo 60. Finalmente, na teceia pate, utilizamos os métodos iteativos não estacionáios paa esolve gandes sistemas lineaes espasos. A matiz usada neste teste é "uma matiz epesentativa" de matizes esultantes da aplicação do método dos elementos espectais a equações difeenciais paciais EDPs. 3.. Teste de Funcionamento Pimeiamente, testamos os métodos iteativos estacionáios: Jacobi, Jacobi com elaação, Gauss-Seidel e Gauss-Seidel com elaação. Paa os métodos de elaação, foam testados coeficientes compeendidos ente 0, e,. A solução inicial 0 encolhida paa os métodos foi 0. Estes métodos foam implementados na linguagem Pascal estutuada, utilizando o compilado Tubo Pascal 7.0. Paa facilita a eecução dos algoitmos, estes foam juntos em quato pogamas, distintos po sua odem: A:\TuboPascal\Estacionáios\Iteativos_Estacionáios_Odem.ee A:\TuboPascal\Estacionáios\Iteativos_Estacionáios_Odem3.ee A:\TuboPascal\Estacionáios\Iteativos_Estacionáios_Odem4.ee A:\TuboPascal\Estacionáios\Iteativos_Estacionáios_Odem5.ee 4

44 Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.pas: A:\TuboPascal\Estacionáios\Iteativos_Estacionáios.pas Nos testes, foam utilizadas matizes A e coeficientes b paa esolução do sistema A = b, sendo que estes estão amazenados em foma de um aquivo de teto, que é solicitado pelo pogama quando eecutado. As matizes A e vetoes b utilizados foam: A:\TuboPascal\Estacionáios\ma.tt A = b = A:\TuboPascal\Estacionáios\mb.tt A = 5 4 b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m3a.tt A = 4 3 b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m3b.tt A = 9 3 b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m4a.tt A = - - b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m4b.tt 43

45 A = 4-3 b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m5a.tt A = b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m5b.tt A = b = O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela a segui: Metodo Jacobi Gauss_S Jacobi_W Gauss_S_W Sistema 0, 0,4 0,6 0,8, 0, 0,4 0,6 0,8, ma.tt mb.tt m3a.tt m3b.tt m4a.tt m4b.tt m5a.tt m5b.tt

46 Agoa, testamos os métodos iteativos não estacionáios: Gadientes Conjugados, gadientes Conjugados Pecondicionados Diagonal Pincipal de A, SSOR, Decomposição LU incompleta, minimização de Fobenius pelos Resíduos mínimos e pela descida mais inclinada e Gadientes Biconjugados. Paa os método SSOR, utilizamos o coeficiente de elaação sendo,3. Nos métodos de Fobenius, a matiz W inicial escolhida foi a diagonal pincipal de A modificada foi utilizado no luga de coeficientes nulos. A solução inicial 0 encolhida paa os métodos foi 0. Estes métodos foam implementados na linguagem Pascal estutuada, utilizando o compilado Tubo Pascal 7.0. Paa facilita a eecução dos algoitmos, estes foam juntos em quato pogamas, distintos po sua odem: A:\TuboPascal\NãoEstacionáios\Iteativos_Nao_Estacionáios_Odem.ee A:\TuboPascal\NãoEstacionáios\Iteativos_Nao_Estacionáios_Odem3.ee A:\TuboPascal\NãoEstacionáios\Iteativos_Nao_Estacionáios_Odem4.ee A:\TuboPascal\NãoEstacionáios\Iteativos_Nao_Estacionáios_Odem5.ee Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.pas: A:\TuboPascal\NãoEstacionáios\Iteativos_Nao_Estacionáios.pas Nos testes, foam utilizadas matizes A e coeficientes b paa esolução do sistema A = b, sendo que estes estão amazenados em foma de um aquivo de teto, que é solicitado pelo pogama quando eecutado. As matizes A e vetoes b utilizados foam: A:\TuboPascal\Estacionáios\mc.tt A = -3 b = A:\TuboPascal\Estacionáios\md.tt A = -5 4 b =

47 A:\TuboPascal\Estacionáios\m3c.tt A = 5 - b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m3d.tt A = - 3 b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m4c.tt A = - b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m4d.tt A = b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m5c.tt A = b = A:\TuboPascal\Estacionáios\m5d.tt A = b =

48 O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela a segui: Metodo Gadiente Gadiente Conjugado Pecondicionado Gadiente Sistema Conjug. diag_a SSOR LU_incom FRB_m FRB_di Biconjug. p. mc.tt 3 md.tt 3 m3c.tt oveflow 3 4 m3d.tt oveflow 3 3 m4c.tt eo oveflow 4 5 m4d.tt oveflow 4 5 m5c.tt eo oveflow 5 6 m5d.tt oveflow Aplicação dos Métodos Iteativos na Resolução de Equações Difeenciais O objetivo destes testes é aplica os métodos iteativos na esolução de equações difeenciais, pelo método das difeenças finitas de segunda odem. Neste método, é geado um sistema linea, no qual pode se esolvido po métodos iteativos. Paa isto, foam escolhidas duas equações difeenciais, e vaiamos o intevalo de pontos aos quais seão calculados seus coeficientes. Esse númeo de intevalos é seá a odem da matiz. As equações utilizadas foam: - u - u u - = 0 - < < u - = u = 0 47

49 - u cos - sen = 0 0 < < u 0 = 0, u = sen Pimeiamente, compaamos os métodos estacionáios com os métodos de gadientes Conjugado e Biconjugado. Paa o isto, utilizamos matizes de odem 0 até 60, com passos de 0. Este pogama foi implementado na linguagem Pascal estutuada, utilizando o compilado Tubo Pascal 7.0. Os aquivos que contem os algoitmos que esolvem a equação difeencial estão em: A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem0.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem0.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem30.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem40.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem50.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem60.ee Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.pas: A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif_.pas O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela e gáfico a segui: MÉTODO / ORDEM Jacobi Gauss Seidel Jacobi com w = 0,

50 Gauss Seidel com w = 0, Gadientes Conjugados Gadientes Biconjugados NIT Equação ORDEM 0 Jacobi Gauss Seidel Jacobi com w Gauss Seidel com w Gadientes Conjugados Gadientes Biconjugados Os aquivos que contem os algoitmos que esolvem a equação difeencial estão em: A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem0.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem0.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem30.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem40.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem50.ee A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif odem60.ee Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.pas: A:\TuboPascal\EqDifeenciais\Eqdif_.pas 49

51 O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela e gáfico a segui: MÉTODO / ORDEM Jacobi Gauss Seidel Jacobi com w Gauss Seidel com w Gadientes Conjugados Gadientes Biconjugados NIT Equação ORDEM 0 Jacobi Gauss Seidel Jacobi com w Gauss Seidel com w Gadientes Conjugados Gadientes Biconjugados Após estes testes iniciais, compaamos então os métodos não estacionáios dos gadientes Conjugado com e sem pecondicionadoes e gadiente Biconjugado. Paa o isto, utilizamos matizes um pouco maioes, de odem 00 até 300, com passos de 00. Este pogama foi implementado na linguagem Pascal estutuada, utilizando o compilado Delphi 3.0, devido a limitações no tamanho da matiz encontadas no Tubo Pascal. 50

52 Os aquivos que contem os algoitmos que esolvem a equação difeencial estão em: A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif Odem00.ee A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif Odem00.ee A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif Odem300.ee Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.dp e.pas: A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif_.dp A:\Delphi\Eqdif\UpEqdif_.pas O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela e gáfico a segui: MÉTODO / ORDEM Gadiente Conjugado Pec. Diag Pinc. De A Pec.SSOR 83 5 Pec LU incompl. Pec Fobenius RM Pec Fobenius DI Gadientes Biconjugados

53 NIT 0 Equação 3 ORDEM 0 Gadiente Conjugado Pec. Diag Pinc. De A Pec.SSOR Pec LU incompl. Pec Fobenius RM Gadientes Biconjugados Os aquivos que contem os algoitmos que esolvem a equação difeencial estão em: A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif Odem00.ee A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif Odem00.ee A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif Odem300.ee Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.dp e.pas: A:\Delphi\Eqdif\PogEqdif_.dp A:\Delphi\Eqdif\UpEqdif_.pas O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela e gáfico a segui: 5

54 MÉTODO / ORDEM Gadiente Conjugado 83 5 Pec. Diag Pinc. De A Pec.SSOR Pec LU incompl. Pec Fobenius RM Pec Fobenius DI Gadientes Biconjugados NIT 0 Equação 3 ORDEM 0 Gadiente Conjugado Pec. Diag Pinc. De A Pec.SSOR Pec LU incompl. Pec Fobenius RM Gadientes Biconjugados 3.3. Aplicação dos Métodos Iteativos na esolução de matizes geadas po Métodos Espectais Vamos agoa, esolve uma matiz gande, geada pela aplicação de métodos espectais. A matiz gande usada nos testes é "uma matiz epesentativa" de matizes esultantes da aplicação do método dos elementos espectais a equações difeenciais paciais EDPs. Os métodos dos elementos espectais é uma combinação 53

55 dos métodos espectais com o método dos elementos finitos. Esta combinação via apoveita a fleibilidade dos elementos finitos e uni-la a elevada acuacia dos métodos espectais. Paa isto, é necessáio fonece ao pogama esta matiz A etena, juntamente com os seus coeficientes b. Em nosso teste, utilizamos uma matiz de odem 9696, amazenada em um aquivo chamado mat_a.log e os vetoes em outo aquivo chamado vet_b.log. No pogama, temos uma otina que abe automaticamente estes aquivos e os lê. Po azão de seu tamanho se muito gande, este aquivo seá compactado e amazenado em: A:\Delphi\IteativosNEstac\dados.zip O pogama foi implementado na linguagem Pascal estutuada, utilizando o compilado Delphi 3.0. Os aquivos que contem os algoitmos que esolvem a matiz A esultante da aplicação de métodos espectais, estão em: A:\Delphi\IteativosNEstac\PogIteativosNEst.ee Neste mesmo dietóio encontam seu código com a etensão.dp e.pas: A:\Delphi\IteativosNEstac\PogIteativosNEst.dp A:\Delphi\IteativosNEstac\UpIteativosNEst.pas O númeo de iteações que cada método apesentou com os testes, foam oganizados na tabela e gáfico a segui: 54

56 veto b = vet_b.log veto b = MÉTODO / ORDEM Gadiente Conjugado Pec. Diag Pinc. De A 9 65 Pec.SSOR 56 4 Pec LU incompl Pec Fobenius RM Pec Fobenius DI Gadientes Biconjugados ORDEM 96 3 Gadientes Biconjugados Pec Fobenius RM Pec LU incompl. Pec.SSOR NIT Pec. Diag Pinc. De A Gadiente Conjugado 55

57 CONCLUSÕES Neste tabalho, adquiimos uma gande epeiência com o estudo dos métodos iteativos. Pudemos coloca em pática váios conhecimentos teóicos adquiidos, tanto na pate de análise e cálculo numéico, como também pogamação. Com base nos testes ealizados, vimos com claeza a supeioidade dos métodos não estacionáios na esolução de sistemas lineaes gandes e espasos, em elação aos métodos estacionáios. Quanto aos pecondicionadoes implementados, que eam o objetivo cental de nosso tabalho, podemos faze algumas consideações baseados nos testes ealizados: a O método da diagonal pincipal de A apesentou eficiência paa sistemas onde a matiz A apesentava um númeo de condição não muito elevado; testes; b O método SSOR apesentou esultados muito bons, paa todos os c O método da decomposição LU incompleta compotou-se como um método dieto nas equações difeenciais, esolvendo os poblemas em uma única iteação. Teve também um bom desempenho na esolução do sistema de gande pote; d O método de minimização de Fobenuis po esíduos mínimos possui uma desvantagem: é mais lento que os outos e as vezes gea oveflow, quando a matiz é cheia; e O método da minimização de Fobenius pela descida mais inclinada não apesenta o poblema do oveflow, poém, também é lento. Pode-se dize que todos os objetivos fomam alcançados, pois pudemos veifica os pontos positivos e negativos de cada método iteativo. 56