Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação

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1 Unversdade Federal do Ro Grande do Norte Centro de Tecnologa Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca e de Computação IDENTIFICAÇÃO NÃO LINEAR USANDO UMA REDE FUZZY WAVELET NEURAL NETWORK MODIFICADA José Mederos de Araújo Júnor Orentador: Fábo Meneghett Ugulno de Araújo Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sstemas) como parte dos requstos para obtenção do título de Doutor em Cêncas. Natal-RN, Março, 2014

2 UFRN / Bbloteca Central Zla Mamede. Catalogação da Publcação na Fonte. Araújo Júnor, José Mederos de. Identfcação não lnear usando uma rede fuzzy wavelet neural network modfcada. / José Mederos de Araújo Júnor. Natal, RN, f.: l. Orentador: Fábo Meneghett Ugulno de Araújo. Tese (Doutorado) Unversdade Federal do Ro Grande do Norte. Centro de Tecnologa. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca. 1. Identfcação de Sstemas Tese. 2. Inferênca Tese. 3. Redes Neuras Artfcas Tese. 4. Teora Wavelet Tese. 5. Redes Wavelet Neural Network Tese. 6. Redes Fuzzy Wavelet Neural Network Tese. I. Araújo, Meneghett Ugulno de. II. Unversdade Federal do Ro Grande do Norte. III. Título. RN/UF/BCZM CDU

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4 Aos meus pas, José Mederos e Francsca Alves, a mnha esposa, Uara, e aos meus rmãos, Marson, Patríca e Kêna.

5 Agradecmentos Agradeço prmeramente a Deus pela vda e por me dar a oportundade de conclur este trabalho. Agradeço a mnha famíla, em especal aos meus pas, Francsca Alves Machado de Mederos e José Mederos de Araújo, pelo apoo dado em todos esses anos de estudo, pelo ncentvo, pelo exemplo de honestdade, humldade e dedcação. Aos meus rmãos, Marson Rcardo Machado de Mederos, Patríca Regna Machado de Mederos e Kêna Machado de Mederos, por terem me auxlado em toda mnha vda. A mnha esposa Uara Olvera Costa, pela compreensão, companha, sugestões e apoo, que foram decsvos para a conclusão deste trabalho. Ao meu orentador, Professor Fábo Meneghett Ugulno de Araújo, pela confança e entusasmo, sempre me orentando de forma valosa ao longo da elaboração deste trabalho e ncentvando-me à pesqusa. Aos professores Otacílo da Mota Almeda, Takash Yoneyama, André Laurndo Matell e Danelle Smone Casllo, pelas sugestões e contrbuções. Ao colega e amgo Leandro Luttane da Slva Lnhares, pelo apoo na elaboração deste trabalho, sempre dsposto a colaborar de forma decsva nas stuações mas dfíces. Agradeço também aos colegas Carlos André Guerra Fonseca, Marcon Câmara Rodrgues, Marcelo Guerra, Danel Guerra, José Soares, Lucano Júnor, Marcílo Onofre Flho, e tantos outros que contrbuíram para o desenvolvmento deste trabalho. Aos professores, demas colegas e funconáros da pós-graduação, pelos conhecmentos dsponblzados e pelo apoo. Aos colegas do Curso de Engenhara Elétrca da Unversdade Federal do Pauí, pelo apoo e compreensão. Ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq), pelo apoo fnancero. A todos aqueles, enfm, que contrbuíram e aprmoraram o conteúdo deste trabalho. v

6 Resumo Nas últmas décadas, as redes neuras têm se estabelecdo como uma das prncpas ferramentas para a dentfcação de sstemas não lneares. Entre os dversos tpos de redes utlzadas em dentfcação, uma que se pode destacar é a rede neural wavelet (ou Wavelet Neural Network - WNN). Esta rede combna as característcas de multrresolução da teora wavelet com a capacdade de aprendzado e generalzação das redes neuras, podendo fornecer modelos mas exatos do que os obtdos pelas redes tradconas. Uma evolução das redes WNN consste em combnar a estrutura neuro-fuzzy ANFIS (Adaptve Network Based Fuzzy Inference System) com estas redes, gerando-se a estrutura Fuzzy Wavelet Neural Network - FWNN. Essa rede é muto smlar às redes ANFIS, com a dferença de que os tradconas polnômos presentes nos consequentes desta rede são substtuídos por redes WNN. O presente trabalho propõe uma rede FWNN modfcada para a dentfcação de sstemas dnâmcos não lneares. Nessa estrutura, somente funções wavelets são utlzadas nos consequentes. Desta forma, é possível obter uma smplfcação da estrutura com relação a outras estruturas descrtas na lteratura, dmnundo o número de parâmetros ajustáves da rede. Para avalar o desempenho da rede FWNN com essa modfcação, é realzada uma análse das característcas da rede, verfcando-se as vantagens, desvantagens e o custo-benefíco quando comparada com outras estruturas FWNNs. As avalações são realzadas a partr da dentfcação de dos sstemas smulados tradconalmente encontrados na lteratura e um sstema real não lnear, consstndo de um tanque de multsseções e não lnear. Por fm, a rede fo utlzada para nferr valores de temperatura e umdade no nteror de uma ncubadora neonatal. A execução dessa análse basea-se em város crtéros, tas como: erro médo quadrátco, número de épocas de trenamento, número de parâmetros ajustáves, varânca do erro médo quadrátco, entre outros. Os resultados encontrados evdencam a capacdade de generalzação da estrutura modfcada, apesar da smplfcação realzada. Palavras-chave: Identfcação de Sstemas, Inferênca, Redes Neuras Artfcas, Teora Wavelet, Redes Wavelet Neural Network, Redes Fuzzy Wavelet Neural Network. v

7 Abstract In last decades, neural networks have been establshed as a major tool for the dentfcaton of nonlnear systems. Among the varous types of networks used n dentfcaton, one that can be hghlghted s the wavelet neural network (WNN). Ths network combnes the characterstcs of wavelet multresoluton theory wth learnng ablty and generalzaton of neural networks usually, provdng more accurate models than those ones obtaned by tradtonal networks. An extenson of WNN networks s to combne the neuro-fuzzy ANFIS (Adaptve Network Based Fuzzy Inference System) structure wth wavelets, leadng to generate the Fuzzy Wavelet Neural Network - FWNN structure. Ths network s very smlar to ANFIS networks, wth the dfference that tradtonal polynomals present n consequent of ths network are replaced by WNN networks. Ths paper proposes the dentfcaton of nonlnear dynamcal systems from a network FWNN modfed. In the proposed structure, functons only wavelets are used n the consequent. Thus, t s possble to obtan a smplfcaton of the structure, reducng the number of adjustable parameters of the network. To evaluate the performance of network FWNN wth ths modfcaton, an analyss of network performance s made, verfyng advantages, dsadvantages and cost effectveness when compared to other exstng FWNN structures n lterature. The evaluatons are carred out va the dentfcaton of two smulated systems tradtonally found n the lterature and a real nonlnear system, consstng of a nonlnear mult secton tank. Fnally, the network s used to nfer values of temperature and humdty nsde of a neonatal ncubator. The executon of such analyzes s based on varous crtera, lke: mean squared error, number of tranng epochs, number of adjustable parameters, the varaton of the mean square error, among others. The results found show the generalzaton ablty of the modfed structure, despte the smplfcaton performed. Keywords: System Identfcaton, Inference, Artfcal Neural Networks, Wavelets, Wavelet Neural Network, Fuzzy Wavelet Neural Network. v

8 Sumáro Sumáro v Lsta de Fguras v Lsta de Tabelas x Lsta de Símbolos e Abrevaturas x 1. Introdução 1 2. Fundamentação Teórca Redes Neuras Funções Wavelets Wavelet Neural Network Fuzzy Wavelet Neural Network Conclusões Sstema de Identfcação Proposto Fuzzy Wavelet Neural Network Modfcada Conclusões Identfcação Não Lnear Concetos Geras Estruturas de Modelagem Conclusões Metodologa e Estudos de Caso Sstema Dnâmco Smulado Sstema Dnâmco Smulado Sstema Dnâmco Real 1 - Tanque Multsseções Sstema Dnâmco Real 2 - Incubadora Neonatal Conclusão e Perspectvas 84 Referêncas Bblográfcas 87 v

9 Lsta de Fguras Fgura 2.1: Rede MLP totalmente conectada de três camadas 15 Fgura 2.2: Estrutura básca de uma rede wavelet 20 Fgura 2.3: Wavelet da famíla Mexcan Hat 22 Fgura 2.4: Wavelets da famíla Mexcan Hat deslocadas 22 Fgura 2.5: Wavelets da famíla Mexcan Hat dlatadas 23 Fgura 2.6: Estrutura da rede Fuzzy Wavelet Neural Network 26 Fgura 3.1: Estrutura da rede Fuzzy Wavelet Neural Network proposta 30 Fgura 3.2: Estrutura de um neurôno presente na camada consequente 33 Fgura 4.1: Esquema de dentfcação de sstemas dnâmcos Sére-Paralelo 39 Fgura 4.2: Procedmento básco de dentfcação 40 Fgura 4.3: Estrutura do modelo NNARX 44 Fgura 4.4: Estrutura do modelo NNFIR 45 Fgura 5.1: Resultado da valdação com a FWNN proposta para o sstema dnâmco 51 smulado 1 Fgura 5.2: Valor do RMSE obtdo durante o trenamento e valdação do sstema 51 dnâmco smulado 1 Fgura 5.3: Resultado da valdação com a FWNN proposta para o sstema dnâmco 54 smulado 2 Fgura 5.4: Valor do RMSE obtdo durante o trenamento e valdação do sstema 55 dnâmco smulado 2 Fgura 5.5: Desenho esquemátco do sstema de tanque multsseções 56 Fgura 5.6: Vsão geral do tanque multsseções. 57 Fgura 5.7: Snal PRS aplcado na bomba de água do tanque 58 Fgura 5.8: Estrutura do modelo NNARX usando a rede FWNN 59 Fgura 5.9: Hstograma dos MSEs para: (a) FWNN Proposta, (b) FWNN Ylmaz & 62 Oysal (2010). Fgura 5.10: Erro Médo Quadrátco da rede FWNN proposta 63 Fgura 5.11: Resposta da rede FWNN proposta 63 Fgura 5.12: Resposta da rede FWNN proposta por Lu (2011) 64 v

10 Fgura 5.13: Resposta da rede FWNN proposta por Abyev & Kaynak (2008b) 64 Fgura 5.14: Resposta da rede FWNN proposta por Ylmaz & Oysal (2012) 65 Fgura 5.15: Incubadora neonatal do GPAR utlzada para valdação dos algortmos 68 Fgura 5.16: Vsão geral do modo de operação da ncubadora neonatal 68 Fgura 5.17: (a) Esquema da base do sstema de aqusção de dados, (b) Desenho da base 69 do sstema de aqusção de dados Fgura 5.18: Estrutura da FWNN aplcada na nferênca 71 Fgura 5.19: Estrutura de trenamento das redes: (a) umdade, e (b) temperaturas 73 Fgura 5.20: Snas utlzados como entradas da rede: (a) Umdade no ponto de saída da 73 ncubadora - US, (b) Temperatura no ponto de saída da rede - PS Fgura 5.21: Erro médo quadrátco de trenamento da rede FWNN proposta 74 Fgura 5.22: Hstograma dos MSEs obtdos na nferênca da umdade e temperatura no ponto A, para as redes (a) e (c) FWNN Proposta, (b) e (d) FWNN Ylmaz & Oysal (2010). Fgura 5.23: Resposta do melhor modelo obtdo pela FWNN Proposta: (a) umdade no ponto A, (b) temperatura no ponto A, (c) temperatura no ponto B, (d) temperatura no ponto C, (e) temperatura no ponto D e (f) temperatura no ponto E Fgura 5.24: Resposta do melhor modelo obtdo pela FWNN presente em Lu (2011): (a) umdade no ponto A, (b) temperatura no ponto A, (c) temperatura no ponto B, (d) temperatura no ponto C, (e) temperatura no ponto D e (f) temperatura no ponto E Fgura 5.25: Resposta do melhor modelo obtdo pela FWNN presente em Abyev & Kaynak (2008b): (a) umdade no ponto A, (b) temperatura no ponto A, (c) temperatura no ponto B, (d) temperatura no ponto C, (e) temperatura no ponto D e (f) temperatura no ponto E Fgura 5.26: Resposta do melhor modelo obtdo pela FWNN presente em Ylmaz & Oysal (2010): (a) umdade no ponto A, (b) temperatura no ponto A, (c) temperatura no ponto B, (d) temperatura no ponto C, (e) temperatura no ponto D e (f) temperatura no ponto E x

11 Lsta de Tabelas Tabela 5.1: Comparação do resultado da FWNN proposta com outras redes para o 52 sstema dnâmco smulado 1 Tabela 5.2: Comparação do resultado da FWNN proposta com outras redes para o 54 sstema dnâmco smulado 2 Tabela 5.3: Comparação entre a FWNN proposta e outras redes para tanque de nível 61 multsseções Tabela 5.4: Varáves prmáras da ncubadora neonatal 72 Tabela 5.5: Resultados da análse das estruturas aplcadas na nferênca 75 Tabela 5.6: Resultados da análse das estruturas aplcadas na nferênca 76 x

12 Lsta de Abrevaturas e Símbolos ANFIS AG ARMAX ARX BIBO BFGS CMOS EMQ ERNN FIR FWNN FWNNARX FWNNFIR FWNNPC HRNFN IID MLP MRA MSE NARMAX NNARMAX NNARX Adaptve Network Based Fuzzy Inference System Algortmo Genétco AutoRegressve, Movng Average, exogenous nput AutoRegressve, exogenous nput Bounded Input-Bounded Output Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno Complementary Metal Oxde Semconductor Erro Médo Quadrátco Feedforward Neural Fuzzy System Fnte Impulse Response Fuzzy Wavelet Neural Network Fuzzy Wavelet Neural Network ARX Fuzzy Wavelet Neural Network FIR Fuzzy Wavelet Neural Network Predctve Control Herarchcal Recurrent Neural Fuzzy Networks Independente e Identcamente Dstrbuídos Multlayer Perceptron Multresoluton Analyss Mean Squared Error Non-lnear Auto-Regressve, Movng-Average wth exogenous nput model Neural Network ARMAX Neural Network ARX x

13 NNFIR NNOE NNSSIF OE PRBS PRS PSO PSS RLS RMSE RFNN RNA RSONFIN SSIF SVM TRFN-S UTIN WNN z x fa fa j W j Neural Network FIR Neural Network OE Neural Network SSIF Output Error Pseudo Random Bnary Sgnal Pseudo Random Sgnal Partcle Swarm Optmzaton Power System Stablzers Recursve Least Squares Root Mean Square Error Recurrent Fuzzy Neural Network Rede Neural Artfcal Recurrent Self-Organzng Neural Fuzzy Inference Network State Space Innovatons Form Support Vector Machne Trapezodal Fuzzy Numbers Undade de Terapa Intensva Neonatal Wavelet Neural Network -ésma saída da rede neural Entradas da rede neural Vetor de parâmetros ajustáves da rede Função de atvação dos neurônos da -ésma camada de saída Função de atvação do j-ésmo neurôno da camada escondda Peso snáptco lgando o j-ésmo neurôno da camada escondda a -ésma saída da rede neural x

14 w jl Peso snáptco lgando l-ésma entrada ao j-ésmo neurôno da camada escondda (t) Função wavelet no domíno do tempo ˆ ( f ) Transformada de Fourer da wavelet (t) C t d E J Aqr aqr bqr cqr m _ g ŷ j Condção de Admssbldade Parâmetro de translação de cada wavelet Parâmetro de abertura de cada wavelet Erro entre a saída estmada da rede e a saída desejada Coefcente de aprendzagem Valor da função custo r-ésma função de pertnênca relatva ao q-ésmo snal de entrada Abertura da função de pertnênca Inclnação da função de pertnênca Centro da função de pertnênca Valor da m-ésma regra fuzzy -ésma regra normalzada Saída do j-ésmo neurôno da camada consequente Saída estmada do modelo E Méda da energa do erro entre as saídas desejada e real av N u(k) Número total de dados de trenamento da rede Snal de exctação no k-ésmo nstante de tempo e(k) Erro entre valor desejado para a saída da rede e o valor real no k- ésmo nstante de tempo (t) Vetor contendo os valores de y(k) e u(k), e seus regressores ' D Vetor que contêm os parâmetros que realzam a ponderação dos snas y(k) e u(k), e seus regressores Atraso de transporte x

15 F[x] N M TS US UA TA TB TC TD TE Uˆ A Tˆ NP Nn Nfp Npfp Nr Npw Ordem da saída da rede neural Ordem da entrada da rede neural Função matemátca de x Número de entradas da rede neural Número de regras fuzzy Valor da temperatura da ncubadora fornecda pelo sensor SHT11 Valor da umdade da ncubadora fornecda pelo sensor SHT11 Umdade da ncubadora no ponto A Temperatura da ncubadora no ponto A Temperatura da ncubadora no ponto B Temperatura da ncubadora no ponto C Temperatura da ncubadora no ponto D Temperatura da ncubadora no ponto E Estmatva da umdade no ponto A Estmatvas das temperaturas no pontos A, B, C, D e E Número total de parâmetros ajustados na FWNN proposta Número de entradas da rede Número de funções de pertnênca por entrada Número de parâmetros presentes em cada função de pertnênca Número de regras fuzzy Quantdade de parâmetros de cada wavelet xv

16 Capítulo 1 Introdução Um dos grandes desafos na hstóra da cênca tem sdo obter sstemas análogos aos processos e fenômenos observados no unverso. Por sstema análogo entende-se um sstema capaz de reproduzr algumas característcas de um fenômeno observado, assm como uma maquete reproduz as escalas, proporções, cores, etc. de uma construção real. Esses sstemas análogos são denomnados de modelos, e podem ser obtdos pelo uso de técncas de dentfcação (Agurre et al., 1998). Com a crescente evolução e dsponbldade de computadores, o uso de modelos computaconas tem aumentado em pratcamente todas as áreas do conhecmento humano, de modo que nos das atuas o processo de modelagem de sstemas reas é de grande mportânca em quase todas as áreas da cênca. Na Engenhara, por exemplo, os modelos matemátcos são aplcados na análse de processos exstentes, assm como no desenvolvmento de projetos de novos processos. Normalmente, técncas avançadas de projeto de controladores, otmzação e supervsão de sstemas são baseadas em modelos dos processos. A qualdade do modelo tpcamente determna a qualdade da solução fnal de um determnado problema, dando assm à modelagem uma relevante mportânca no desenvolvmento do projeto. Como consequênca, surge uma demanda por técncas mas sofstcadas de modelagem (Nelles, 2001). Na últma década, tem-se verfcado uma tendênca geral que tornará o uso de técncas de modelagem de sstemas desejável e até mesmo necessára em pratcamente todas as áreas do conhecmento humano. Essa tendênca se deve à negável capacdade que hoje se tem de coletar 1

17 dados com nformação sobre a dnâmca do sstema que está sendo observado (Guraud & Pognet, 2009; Brockett & Glaser, 2001). De forma geral, é possível agrupar as técncas de modelagem em duas grandes categoras. A prmera categora é baseada na modelagem pela físca do processo, também denomnada de relações fenomenológcas. Já a segunda é baseada na dentfcação a partr de dados. Esta categora é normalmente conhecda por métodos de dentfcação de sstemas (Ljung, 1987). As dferenças entre as duas abordagens são mutas, bem como as dferenças no tpo de modelos obtdos em cada caso. Entretanto, o que provavelmente mas dferenca essas duas abordagens é a quantdade de conhecmento sobre o processo real utlzado na obtenção dos modelos. Na modelagem baseada nas les físcas do processo, o modelo é desenvolvdo a partr de toda nformação dsponível sobre o processo. Essa forma de dentfcação é chamada de dentfcação caxa-branca. Por outro lado, métodos de dentfcação de sstemas baseados em dados normalmente pressupõem pouco ou nenhum conhecmento prévo do sstema, justfcando o nome "dentfcação caxa-preta" (Sjöberg et al., 1996). A motvação para o estudo de técncas de dentfcação de sstemas surge do fato de que frequentemente as equações envolvdas no funconamento de um determnado sstema não são conhecdas ou elas são conhecdas, mas sera mpratcável, por lmtações de tempo e de recursos, levantar tas equações e estmar seus respectvos parâmetros. Ultmamente, tem havdo algum nteresse em desenvolver métodos que permtam ncorporar alguma nformação que se tenha sobre o sstema durante a sua dentfcação (Lndskog & Ljung, 1994). Procedmentos com esta característca são denomnados métodos de "dentfcação caxa-cnza" e são especalmente nteressantes porque não exgem do usuáro um profundo conhecmento "a pror" do processo, mas permtem a utlzação de conhecmento prévo. Isso normalmente resulta na obtenção de melhores modelos. Do ponto de vsta de mplementação, o problema de dentfcação de sstemas pode ser dvddo em quatro etapas prncpas: () obtenção de dados de expermentação do sstema que se deseja modelar; () escolha da estrutura do modelo que será utlzada para representar o sstema; () estmação dos parâmetros do modelo; (v) valdação do modelo obtdo (Ljung, 1987; Pnto, 2003). No processo de dentfcação, deve-se levar em conta se o modelo a ser dentfcado é lnear ou não lnear. Nos sstemas lneares, um dos métodos mas utlzados é o método dos 2

18 mínmos quadrados. Exste o método de mínmos quadrados clássco, em que a dentfcação é feta em batelada, e o recursvo, em que a dentfcação é feta recursvamente, podendo ser utlzado on lne (Coelho & Coelho, 2004). A dentfcação de sstemas lneares é uma área da cênca muto mportante uma vez que mutos dos sstemas podem ser descrtos de forma aproxmada por modelos lneares em um dado ponto de operação. Porém, pode-se observar que com o crescente nteresse pela utlzação de representações não lneares para caracterzar sstemas e fenômenos reas, tem ocorrdo uma mudança no tpo de modelos utlzados. Na medda em que as representações lneares são substtuídas em algumas aplcações por seus correspondentes não lneares mas acurados, tornase possível analsar e reproduzr certos fenômenos e comportamentos dnâmcos mas complexos (Agurre et al., 1998). Este crescente nteresse pela utlzação de representações não lneares se deve ao fato de que os sstemas dnâmcos encontrados na prátca são, em últma análse, não lneares. É bem verdade que em alguns casos aproxmações lneares são sufcentes para aplcações prátcas. Entretanto, em uma sére de exemplos, modelos lneares não serão satsfatóros e representações não lneares deverão ser usadas. Isso se deve ao fato de que uma grande quantdade dos sstemas reas são complexos e precsam ter suas não lneardades consderadas para que o modelo dentfcado seja mas exato para amplas faxas de operações. Dessa forma, a dentfcação de sstemas não lneares por meo de estruturas não lneares é uma área de pesqusa que vem cada vez mas ganhando mportânca (Ylmaz & Oysal, 2010; Banakar & Azeem, 2006; Kara & Eker, 2003). Em face à escolha de que tpo de modelo utlzar, se lnear ou não lnear, é mportante consderar: ao contráro do que possa parecer, melhorar a exatdão dos modelos não é a prncpal motvação para se usar modelos não lneares. De fato, há razões mas fortes para, em uma dada aplcação, optar por modelos não lneares como, por exemplo, o fato destes produzrem certos regmes dnâmcos que os modelos lneares não conseguem representar (Agurre, 2007). Há uma grande varedade de representações não lneares que, em prncpo, podem ser utlzadas na dentfcação de sstemas, tas como: sére de Volterra, modelos de Hammersten e de Wener, modelos polnomas contínuos, funções radas de base, redes neuras artfcas, sstemas fuzzy, sstemas híbrdos neuro-fuzzy, etc (Nelles, 2001; Efe, 2009; Narendra & Parthasarathy, 1990). 3

19 No caso das redes neuras artfcas (RNAs), as característcas que contrbuem para que estas sejam uma das representações mas atratvas para essa aplcação é o fato de serem estruturas com capacdade de generalzação e aprendzado (Jahangr, 2010). Ao longo do tempo, as redes neuras artfcas vêm se consoldando como uma poderosa ferramenta a ser utlzada no processo de dentfcação de sstemas dnâmcos. De acordo com Haykn (2001), as RNAs são estruturas paralelas, macçamente dstrbuídas, consttuídas por undades smples de processamento, conhecdas como neurônos, que possuem a propensão natural para armazenar conhecmento expermental e torná-lo dsponível para uso. As redes do tpo Multlayer Perceptron (MLP) é uma das arquteturas mas clásscas de redes neuras. Entre as propredades ctadas por Haykn (2001) que justfcam a utlzação de tas estruturas, destacam-se a sua característca ntrínseca de não lneardade, as capacdades de generalzação e adaptabldade, a tolerânca a falhas e a sua capacdade de aproxmação unversal, ou seja, uma rede pode aproxmar qualquer função contínua para qualquer precsão desejada (Cybenko, 1989; Hornk, 1991; Hornk et al., 1989). As redes neuras artfcas, através dessas característcas, conseguem obter representações dnâmcas adequadas dos sstemas a serem dentfcados com relatva smplcdade (Lnhares, 2010). A rede MLP é um tpo de rede neural feedforward (em que cada neurôno de uma camada recebe como entrada apenas as saídas de neurônos da camada medatamente anteror) que possu a habldade de aproxmação unversal (Haykn, 2001). Esta rede é nsprada em neurônos que possuem funções de atvação localmente sntonzadas ou neurônos seletvos, que respondem para determnadas faxas de snas de entrada. Em prncípo, as redes MLP podem ter multcamadas e terem funções de atvação na saída não lneares. Contudo, em problemas de dentfcação, essas redes têm tradconalmente sdo utlzadas com apenas três camadas (uma camada de nós de entrada e duas camadas de neurônos, uma ntermedára e uma de saída). Em termos de dentfcação, dversos trabalhos fazem o uso de redes MLP. Gorj & Menhaj (2008) utlzam uma rede MLP para modelar um sstema dscreto não lnear em espaço de estados. Efe (2009) realza uma comparação entre três estruturas de dentfcação: ANFIS (Adaptve Network Based Fuzzy Inference System), MLP e SVM (Support Vector Machne). Esta tarefa fo realzada tendo como base a modelagem caxa-preta de um borreator. Através dos resultados apresentados por este trabalho pode-se notar que as três estruturas apresentaram resultados satsfatóros. Entretanto, apesar do melhor desempenho obtdo pela estrutura ANFIS, o 4

20 própro autor reconhece que a MLP é uma estrutura de maor smplcdade e pratcdade, apresentando também menor complexdade computaconal. Como pode ser vsto, a modelagem de sstemas dnâmcos utlzando redes neuras MLP têm sdo largamente estudada, gerando na lteratura uma grande varedade de abordagens e estruturas dervadas aplcadas em váras áreas. Da mesma forma, a teora wavelet (Chu, 1992; Meyer, 1993) tem sdo extensvamente estudada e aplcada em dversas áreas da cênca e engenhara. Uma estrutura, nsprada pelas redes neuras e a teora wavelet, doravante denomnada de redes Wavelets Neural Network (WNN), tem-se apresentado como uma alternatva promssora às redes neuras tradconas na modelagem de sstemas não lneares, classfcação, predção e controle (Zhang & Benvenste, 1992; Bllngs & We, 2005; Ln et al., 2005). Este tpo de rede fo proposta ncalmente por (Zhang & Benvenste, 1992), podendo apresentar uma estrutura smlar à rede MLP, com a dferença de apenas substtur as funções de atvação da camada escondda por funções wavelets. A ntegração das propredades de localzação das wavelets e as habldades de aprendzado e generalzação das redes neuras resultam em uma estrutura mas aproprada para ser utlzada na dentfcação de sstemas dnâmcos complexos do que as redes neuras tradconas (Abyev & Kaynak, 2008a). Apesar de consderar que as WNNs foram popularzadas pelos trabalhos de Szu et al. (1992) e Zhang & Benvenste (1992), Bllngs & We (2005) afrmam que a orgem das WNNs vem do trabalho de Daugman (1988), no qual wavelets são utlzadas na classfcação e compressão de magens. Song & Lu (2011) afrmam que essas redes são usadas prncpalmente na classfcação de snas. Entretanto, os pesqusadores têm aplcado as redes WNN com sucesso em dversas outras aplcações, tas como: aproxmação de funções (Lng et al., 2007), robótca (Yoo et al., 2006), sstemas de energa (Huand & Huang, 2002), estmação não paramétrca (Zhang, 1997), dentfcação de sstemas não lneares (Bllngs & We, 2005), predção de séres temporas (Iyengar et al., 2002), processamento de snas (Erdol & Basbug, 1996), entre outras. Esse sucesso da utlzação de wavelets como funções de atvação em redes neuras pode ser comprovado pelo trabalho de Daubeches (1992), onde o autor mostra que as famílas de funções wavelets são aproxmadores unversas, o que fornece a base teórca para que estas venham a ser utlzadas no campo da aproxmação de funções e de modelagem de processos. Para as funções wavelets, esta propredade pode ser expressa da segunte manera: qualquer função 5

21 pode ser aproxmada em qualquer nível desejado de exatdão por uma soma fnta de wavelets (Oussar & Dreyfus, 2000). Na análse de um snal através de funções wavelets, o snal orgnal é representado por um conjunto de versões deslocadas e escalonadas de uma função wavelet mãe (mother wavelet) através da transformada wavelet. O termo escalonadas sgnfca que a wavelet pode ser alongada ou comprmda através de seu parâmetro de dlatação, enquanto que o termo deslocadas sgnfca que pode ser acrescentado um retardo a esta função por meo de seu parâmetro de translação. Esta flexbldade permte que a análse do snal possa ser realzada em frequêncas e resoluções dferentes (Rocha, 2008), utlzando o conceto de multresolução. Pode-se afrmar, portanto, que a déa fundamental na analse de um snal por meo dessas funções é que elas realzam essa analse de forma pontual e proporconal à escala do snal, analsando cada ponto do snal. Para sso, as wavelets utlzam funções de base curta, em altas frequêncas, e base longa, em baxas frequêncas. Isto permte, por exemplo, que uma descontnudade no snal possa ser solada e analsada por funções de base muto curtas. Ao mesmo tempo, é possível obter-se uma análse frequencal detalhada através de funções de base muto longas (Lra, 2004). Desta forma, a metodologa de análse por wavelets é capaz de fornecer smultaneamente a representação de um snal nos domínos do tempo e frequênca. A análse de um snal por meo de funções wavelets consttu uma ferramenta que pode ser utlzada em um grande número de aplcações, como na análse e processamento de snas, análse de magens, vsão computaconal, etc (Araújo Júnor et al, 2013a). Ela fo desenvolvda como uma alternatva à análse de Fourer para soluconar o problema da resolução, pos esta últma apresenta dfculdades em analsar detalhes locas, acarretando erros em snas que contêm descontnudades e varações bruscas (Lra, 2004). Devdo às propredades das wavelets e das redes neuras, a dea de combnar estas duas técncas se apresenta quase que naturalmente (Tan et al., 2000). Segundo Song & Lu (2011), a rede WNN é a prova de que a teora de análse wavelet combna perfetamente com a teora de redes neuras artfcas. As WNNs herdam as vantagens fornecdas por estas duas estruturas, nclundo as característcas de análse de snas em dferentes frequêncas e resoluções fornecdas pelas wavelets e as característcas de adaptação, robustez, tolerânca a falhas e generalzação das redes neuras. Uma vez que as wavelets apresentam excelente desempenho na análse de snas não estaconáros e na modelagem de funções não lneares, as redes neuras aplcadas em 6

22 conjunto com funções wavelets oferecem taxas de convergênca e desempenho melhores do que as tradconas redes neuras (Jan et al., 2010). Outra característca mportante é a de como são tratados os parâmetros nternos dos neurônos onde estão presentes as wavelets, ou seja, como são ajustados os parâmetros de dlatação e de translação das funções de atvação wavelets destes neurônos. Segundo Bllngs & We (2005), de acordo com o ajuste destes parâmetros, as redes WNN podem ser classfcadas em WNNs de grade fxa e WNNs adaptatvas. Nas redes WNNs de grade fxa, os parâmetros que descrevem as funções de atvação são fxos (pré-determnados) e apenas os pesos snáptcos precsam ser ajustados durante o trenamento da rede. Nas redes WNN adaptatvas, os parâmetros de dlatação e translação também são parâmetros desconhecdos da rede, ou seja, precsam ser ajustados durante o processo de trenamento da rede. Com relação à utlzação das redes WNN, podem-se encontrar dversos trabalhos na lteratura, voltados tanto para aplcações, como também para dferentes formas de trenamento dessas redes. Hassouneh et al. (2008) utlzam as redes neuras wavelets para dentfcar um servomecansmo não lnear. Gao et al. (2007) projetam um sensor vrtual aplcado em um processo de tratamento de esgoto. Para atngr este objetvo, é dentfcado um modelo não lnear obtdo a partr de uma WNN trenada pelo algortmo do gradente descendente. Oussar et al. (1998) propõem algortmos alternatvos para o trenamento de redes WNN utlzadas na dentfcação de sstemas dnâmcos não lneares. Além dsso, o autor apresenta um mecansmo de ncalzação dos parâmetros das wavelets que leva em conta a localzação destas funções. Para a obtenção de resultados, são dentfcados alguns modelos smulados e um atuador hdráulco de um braço robótco real. Moura (2003) utlza as redes WNN para modelar uma coluna de destlação responsável por separar hdrocarbonetos em um processo contínuo. Cordova & Yu (2012) aplcam as redes neuras wavelets na dentfcação de sstemas dscretos não lneares na forma de modelos NARMAX (Non-lnear Auto-Regressve, Movng-Average wth exogenous nput model). Os autores propõem um método para determnar a estrutura das redes wavelets e dferentes algortmos para defnr os valores dos parâmetros dessas funções. Da mesma forma que nas tradconas redes neuras, para se trenar uma rede WNN, do tpo adaptatva, um dos algortmos mas utlzados é o algortmo backpropagaton (Hong-yan et al., 2011; L et al., 2010; Yang & Deb., 2009). Assm, para trenar uma rede WNN utlzando este 7

23 algortmo, os gradentes com respeto a todos os parâmetros desconhecdos devem ser expressos explctamente. Entretanto, o cálculo destes gradentes pode ser não trval em alguns casos, especalmente quando se deseja dentfcar modelos de altas dmensões. Além dsto, mutos dos algortmos baseados em gradente são bastante sensíves às condções ncas. Ou seja, a ncalzação dos parâmetros da rede neural wavelet é extremamente mportante para se obter bons resultados e uma rápda convergênca (Oussar & Dreyfus, 2000; Bllngs & We, 2005). Uma evolução das redes WNN consste em combnar a estrutura neuro-fuzzy ANFIS (Adaptve Network Based Fuzzy Inference System) com wavelets, gerando-se a estrutura Fuzzy Wavelet Neural Network- FWNN (Yılmaz & Oysal, 2009). Esta estrutura é análoga à tradconal estrutura ANFIS (Jang, 1993), com a dferença de que os consequentes das regras fuzzy passam a ser redes WNN. Neste caso, em vez das tradconas funções Takag-Sugeno de saída, são as redes WNN que serão nterpoladas pelas regras fuzzy. Assm, cada nó presente na camada consequente consste de uma rede WNN. E a soma de todos esses nós resultam na saída da rede FWNN. Apesar dessa forma de combnar essas estruturas ser a mas tradconal, podem-se encontrar trabalhos em que a estrutura FWNN utlza as wavelets como funções de pertnênca, e mantém os tradconas polnômos na camada consequente. Independente das duas possíves formas de combnação, dversos pesqusadores têm feto o uso das redes FWNN para desenvolver um sstema com capacdade de aprendzado rápdo que possa descrever sstemas não lneares que são caracterzados por ncertezas. Essas redes são utlzadas, de forma geral, nas mesmas áreas de aplcação das redes WNN, como por exemplo, prevsão de séres temporas e dentfcação de sstemas dnâmcos não lneares (Abyev, 2006; Amna & Kodoganns, 2011; Araújo Júnor & Araújo, 2011). O que dferenca as pesqusas utlzando essa estrutura, em geral, é a sua aplcabldade e a forma como essas técncas são combnadas e estruturadas. A estrutura FWNN apresentada por Zhang et al. (2010), utlza wavelets como funções de pertnênca cujas saídas formam um conjunto de regras que nterpolam modelos locas representados por funções Takag-Sugeno de saída. Da mesma forma, o trabalho apresentado em Song & Sh (2011), utlza funções wavelet como funções de pertnênca de uma rede FWNN. No entanto, a fm de melhorar a capacdade de generalzação do modelo, os parâmetros presentes nas partes premssa e consequente são ajustados separadamente, utlzando, respectvamente, o 8

24 algortmo Levenberg-Marquardt e o método dos mínmos quadrados recursvos (Recursve Least Squares - RLS). Anda utlzando wavelets como funções de pertnênca, tem-se o trabalho de Guo et al. (2005a), em que os autores propõem uma FWNN para o dagnóstco de falhas em maqunas elétrcas. As wavelets, do tpo Morlet, têm suas formas ajustadas por um algortmo on-lne, de manera que o sstema adqura uma melhor capacdade de aprendzagem. Além dsso, esse algortmo é aplcado para construr automatcamente o sstema, ou seja, determnar o número de regras, número de funções de pertnênca, etc. A vantagem desse algortmo é que ele converge mas rapdamente e as regras fuzzy são obtdas com maor precsão. Os resultados apresentados comprovam que esse sstema possu rápda aprendzagem e um boa capacdade de dagnóstco de falhas. Os mesmos autores do trabalho ctado acma (Guo et al., 2005b) propuseram um outro trabalho aplcando FWNN no dagnostco de falhas. Nele, eles ctam a rede FWNN como sendo uma nova dreção de pesqusa de montoramento ntelgente para dagnóstco de falhas. As wavelets têm suas formas ajustadas também on-lne, de tal modo que a rede tem melhor capacdade de trenamento e de adaptação. Os resultados das smulações mostram que a FWNN tem como vantagens uma capacdade de rápda aprendzagem e alta precsão no dagnóstco. O algortmo de trenamento é baseado no gradente descendente, com a taxa de aprendzagem adaptatva, de modo a garantr a rapdez no processo de aprendzagem. No entanto, a maora das estruturas FWNN encontradas na lteratura utlza funções wavelets na parte consequente das regras fuzzy. Entre os város trabalhos, alguns deles podem ser descrtos em detalhe como se segue. A FWNN proposta em Abyev & Kaynak (2008b), utlza um somatóro de versões dlatadas e deslocadas de funções wavelets presentes nas redes WNN, stuadas na parte consequente das regras fuzzy, para dentfcação e controle de um sstema dnâmco. A FWNN apresentada em Lu (2011) é bastante semelhante, mas a normalzação das regras fuzzy é realzada antes da camada consequente, e não no fnal da rede. A FWNN, com base na análse multresolução (Multresoluton Analyss - MRA) da transformada wavelet e nos concetos fuzzy, é utlzada para aproxmar funções não lneares em Ho et al. (2001). Nesta estrutura, cada consequente é representado por uma sub-wnn. Assm, a rede FWNN pode ser vsta como um processo de combnação de váras redes WNN, nterpoladas por um conjunto de regras fuzzy. 9

25 Uma FWNN para o controle de sstemas não lneares fo desenvolvdo em Zekr et al. (2008). Consderando-se as vantagens apresentadas por essa rede, um modelo FWNN fo escolhdo para representar a dnâmca de um sstema controlado por uma outra rede FWNN, projetada com base em um controlador predtvo (FWNNPC). Um algortmo de aprendzado híbrdo aplcado no trenamento de redes FWNN é apresentado em Davanpoor et al. (2012). O algortmo fornece os parâmetros ncas pela técnca de agrupamento K-Means e, em seguda, atualza-os por meo de uma combnação do backpropagaton com o método dos mínmos quadrados recursvos. Os parâmetros são atualzados na dreção da descda mas íngreme do gradente do erro, com uma taxa de aprendzagem adaptatva que é dferente para cada época de trenamento e apenas depende do snal de erro do gradente. Alguns resultados de smulação demonstram que a velocdade de convergênca é superor à conseguda com outros métodos de trenamento utlzados em redes FWNN. Um novo método para projetar Sstemas Establzadores de Potênca (Power System Stablzers - PSS) usando FWNN é apresentado em Ganjefar & Tofgh (2013). No método proposto, um Algortmo Genétco (AG) é utlzado para ajustar adequadamente todos os parâmetros de uma FWNN. Os resultados apresentados demonstram as capacdades da FWNN proposta, establzando o amortecmento das osclações da energa de um sstema elétrco. O algortmo Partcle Swarm Optmzaton (PSO) é utlzado em Esmal et al. (2013), para ajustar os parâmetros de dlatação, de translação, pesos snáptcos e os parâmetros das funções de pertnênca, a fm de melhorar a capacdade e a precsão do modelo dentfcado por uma rede FWNN. Nos dos casos de dentfcação de sstemas dnâmcos smulados, utlzados como estudos de caso, o desempenho da rede ajustada pelo PSO é superor aos métodos de trenamento exstentes, tas como AG e o algortmo Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS). No presente trabalho, é proposta uma estrutura FWNN modfcada que é semelhante as apresentadas por Abyev & Kaynak (2008b), Lu (2011), e, prncpalmente, Ylmaz & Oysal (2010). A prncpal dferença entre as redes apresentadas em Ylmaz & Oysal (2010) e Abyev & Kaynak (2008b) está relaconada com a geração das regras fuzzy. O número de regras em Abyev & Kaynak (2008b) é defndo de acordo com o número de funções de pertnênca atrbuídos às entradas da FWNN, enquanto que em Ylmaz & Oysal (2010), cada combnação possível das funções de pertnênca representa uma regra. Além dsso, em Ylmaz & Oysal (2010) as saídas 10

26 dos neurônos da camada consequente são calculadas de uma forma dferente, uma vez que cada função wavelet presente em cada um desses neurônos é multplcada por um peso snáptco, enquanto que em Abyev & Kaynak (2008b), a saída de cada neurôno é que é multplcada por um peso. A estrutura apresentada em Lu (2011) é muto semelhante à usada em Abyev & Kaynak (2008b). No entanto, em Lu (2011) a etapa de normalzação responsável pelo cálculo da contrbução de cada regra na nterpolação dos modelos presentes na parte consequente é realzado antes desta camada. Ambos os passos de normalzação e formação das regras fuzzy da FWNN proposta neste trabalho são realzados da mesma forma como em Ylmaz & Oysal (2010). O que dferenca a FWNN proposta das estruturas Ylmaz & Oysal (2010), Abyev & Kaynak (2008b) e Lu (2011) está relaconado mas especfcamente em como os consequentes são ponderados. Como pode ser vsto, apesar da dferença na forma de gerar as regras, todas as redes FWNN ctadas têm a característca de possur como consequente redes do tpo WNN. Dessa forma, este trabalho propõe uma rede FWNN alternatva, em que os consequentes são formados apenas por funções wavelets. Essas funções serão ponderadas apenas pelos pesos de atvação das regras fuzzy, de modo que os modelos locas da estrutura proposta são uncamente representados por um conjunto dessas funções. O presente trabalho rá nvestgar os possíves ganhos com essa modfcação, tas como a possbldade de uma dmnução no número de parâmetros a serem ajustados no trenamento da rede, reduzndo a complexdade de cálculo e do algortmo, com a expectatva de que não exsta perda de desempenho sgnfcatva da nova rede FWNN quando utlzada na dentfcação de sstemas dnâmcos não lneares. O algortmo utlzado para realzar o trenamento da rede, a prncpo, será o backpropagaton. O trenamento fará o ajuste de todos os parâmetros das funções de pertnênca e das wavelets. O tpo de wavelet a ser utlzado será a Mexcan Hat, pelo fato de ser o tpo de função wavelet mas encontrada nos prncpas trabalhos a respeto de FWNN, e pelo fato de essa função ser contnuamente dferencável, possbltando o uso do algortmo de trenamento ctado. A FWNN proposta terá seu desempenho avalado na dentfcação da dnâmca de quatro estudos de caso. Em todos eles, uma comparação com outras redes FWNN presentes na lteratura será realzada. Também serão utlzadas nessa comparação, redes clásscas, como as redes ANFIS, WNN e MLP. Portanto, os resultados obtdos na dentfcação de sstemas dnâmcos 11

27 complementam a fundamentação teórca que descreve a evolução da rede FWNN, desde a estrutura mas tradconal, que é a rede MLP, até a nova rede FWNN proposta. Os dos prmeros estudos de caso consstem em duas plantas smuladas, tradconalmente encontradas na lteratura em estudos envolvendo redes FWNN, pelo fato de serem não lneares e também, por servrem como Benchmarks. Os dos últmos estudos de caso consstem em sstemas não lneares e reas, que são um sstema de tanque de multsseções e uma ncubadora neonatal. O tanque se caracterza por possur múltplas seções e ser um sstema não lnear com ampla faxa de operação. Esse sstema ddátco tem como objetvo prncpal o estudo de sstemas de dentfcação e controle (Fonseca, 2012), através da manpulação do nível de seu tanque. Portanto, a rede FWNN realzará a dentfcação de sua dnâmca, e a mesma será avalada a partr de dferentes confgurações, alterando-se o número de funções de pertnênca e o número de regras. Por fm, o últmo estudo de caso consste em uma ncubadora neonatal. A motvação para o uso desse equpamento como estudo de caso se deve ao fato de que ele é um sstema não lnear, também com ampla faxa de operação, e, além dsso, tem-se a possbldade de uma aplcação prátca não acadêmca da rede proposta. Isso ocorre pelo fato de que esse equpamento deve prover um ambente seguro para recém nascdos, e por sso, deve apresentar valores de temperatura e umdade em seu nteror de acordo com valores especfcados em uma norma de segurança. Para verfcar se a temperatura e a umdade em seu nteror estão dentro de uma faxa adequada, a rede FWNN será utlzada para nferr os valores dessas grandezas. Organzação do trabalho No próxmo capítulo, são resumdamente apresentados alguns concetos teórcos que dão base às redes FWNN. Incalmente, é feta uma breve descrção das redes neuras MLP. Em seguda, é feto um breve resumo a respeto da teora wavelet, mostrando suas prncpas característcas, de modo a ajudar no entendmento da unão dessas duas técncas. Por fm, são mostrados os prncpas concetos das redes neuro-fuzzy ANFIS, e como se dá a sua combnação 12

28 com a rede WNN, gerando-se a rede FWNN, a qual também tem seus prncpas concetos explcados. No Capítulo 3, é apresentado de forma detalhada a estrutura da rede FWNN proposta, procurando-se evdencar as prncpas dferenças em relação as redes FWNN já presentes na lteratura, e mostrando as vantagens da modfcação realzada. Todos os aspectos do processo de trenamento da rede também foram apresentados, nclundo, por exemplo, o tpo de função de atvação e de wavelet utlzados neste trabalho. Como a rede proposta será avalada na dentfcação de sstemas dnâmcos, no capítulo 4 são lstados alguns concetos desta área do conhecmento, apresentando algumas da estruturas neuras de dentfcação propostas por Nørgaard et al. (2001). Por fm, no Capítulo 5, são apresentados os estudos de caso utlzados, de forma detalhada, e os resultados obtdos. Incalmente a rede fo avalada em dos estudos de caso smulados, e em seguda, para melhor consoldação dessa avalação, a rede fo utlzada em dos estudos de caso reas. Fnalmente, no Capítulo 6, são lstadas as conclusões obtdas e as perspectvas para trabalhos futuros. 13

29 Capítulo 2 Fundamentação Teórca Em alguns casos, quando o sstema é não lnear, complexo e a aplcação a ser desenvolvda exge um modelo que represente com fdeldade o comportamento deste sstema, as suas característcas não lneares devem ser consderadas neste modelo. Devdo a este fato, o nteresse centífco e prátco pela utlzação de estruturas não lneares no processo de dentfcação de sstemas dnâmcos não lneares vem ganhando cada vez mas espaço. Além das estruturas tradconas já ctadas na ntrodução deste trabalho, ultmamente têm surgdo novas estruturas na área de dentfcação, tas como as redes Wavelet Neural Network, Adaptve Network Based Fuzzy Inference System e Fuzzy Wavelet Neural Network (Zhang & Benvenste, 1992; Jang, 1993; Yılmaz & Oysal, 2009). Baseado na teora das Redes Neuras Artfcas (RNAs) e na teora wavelet, a rede WNN vem sendo bastante utlzada em dversos tpos de aplcações (Cordova & Yu, 2012; Hassouneh et al., 2008). De modo geral, esta rede apresenta uma estrutura smlar à apresentada, por exemplo, pelas redes MLP, dferencando apenas pelo fato de que as funções de atvação normalmente utlzadas (gaussana, sgmode, tangente hperbólca) são substtuídas por funções wavelets. Assm, a ntegração das propredades de localzação das wavelets e as habldades de aprendzado e generalzação das redes neuras resultam em uma estrutura mas aproprada para ser utlzada na dentfcação de sstemas dnâmcos complexos do que as redes neuras tradconas (Jahangr, 2010). Uma evolução das redes WNN são as redes Fuzzy Wavelet Neural Network (Yılmaz & Oysal, 2009). Essa estrutura é análoga à tradconal estrutura ANFIS (Jang, 1993), com a dferença de que os consequentes das regras fuzzy passam a ser redes WNN. Neste caso, em vez 14

30 dos tradconas modelos polnomas, um conjunto dessas redes é que será nterpolado pelas regras fuzzy. 2.1 Redes Neuras As RNAs são utlzadas em dversos tpos de aplcações (Nørgaard et al., 2001; Lnhares, 2013), como por exemplo, a classfcação de padrões, fltragem de snas, análse de magens, controle e dentfcação de sstemas dnâmcos (Lnhares, 2010), sendo esta últma a aplcação alvo deste trabalho. A justfcatva se dá pelo fato de que mutos dos sstemas físcos reas são complexos, o que nvablza a utlzação de modelos fenomenológcos. Exstem váras arquteturas de redes neuras, tas como redes MLP, funções de base radal, redes de Kohonen, etc. Um dos prncpas tpos são as redes MLP (Fgura 2.1). A arqutetura básca dessa rede possu os seus neurônos dspostos em camadas, em que cada neurôno de uma camada recebe como entrada apenas as saídas dos neurônos da camada medatamente anteror ou das entradas da rede (Nørgaard et al., 2001). Fgura 2.1: Rede MLP totalmente conectada de três camadas. Uma rede neural tem, pelo menos, uma camada de nós de entrada e uma camada composta pelos neurônos de saída. No entanto, para a rede aprender problemas de complexdade mínma, ela deve ter pelo menos uma camada nterméda de neurônos, denomnada camada escondda. Cybenko (1989) demonstrou que qualquer função contínua pode ser aproxmada por 15

31 uma RNA com uma únca camada de neurônos ocultos formados por funções de atvação sgmóde e uma camada de saída formada por neurônos lneares. Portanto, conclu-se que não há necessdade de utlzar mas do que uma camada oculta. No entanto, a utlzação de arquteturas mas sofstcadas pode ser mas aproprada em casos de mapeamento de maor complexdade, como por exemplo, em problemas de classfcação de padrões (Parekh et al., 2000). No caso da rede MLP mostrada na Fgura 2.1, pode-se perceber que a mesma é totalmente conectada, possundo três camadas (camada de entrada, uma únca camada ntermedára de neurônos não lneares e uma camada de neurônos lneares de saída). A últma camada é conhecda como camada de saída, pos fornece as saídas da rede neural. A segunda camada é conhecda como camada oculta, ntermedára ou escondda, por estar, de certa forma, escondda entre as entradas externas da rede (x1, x2, x3) e a camada de saída. Além dsso, todos os nós, em todas as camadas estão lgados a todos os nós das camadas vznhas através de conexões que têm os parâmetros ajustáves, pesos snáptcos, que são responsáves pela capacdade de armazenamento de nformação de uma RNA. As conexões de pesos snáptcos entre as camadas da MLP são ajustadas através do processo chamado de aprendzagem ou trenamento, que normalmente é feto de modo supervsonado. Neste processo, os pesos snáptcos, que são parâmetros lvres, devem ser adaptados com base em um conjunto de observações de pares de entrada-saída e uma função custo. Dessa forma, é dado um conjunto de exemplos de entrada e saída, e o objetvo é o de mnmzar o valor da função custo, tal que a saída da rede se aproxme o máxmo possível da saída desejada (Haykn, 2001). A Equação 2.1 expressa matematcamente o funconamento de uma rede neural MLP de três camadas, onde z é a -ésma saída da rede (Nørgaard et al., 2001). Faclmente, a déa contda nesta equação pode ser expandda para redes MLPs com maores números de camadas. n 2 n1 z ( x, ) fa Wj fa j w jl xl w j0 W 0 (2.1) j 1 l 1 O vetor de parâmetros contém todos os parâmetros ajustáves da rede: pesos snáptcos e bas (wj,l,w,j). Neste caso, o bas pode ser nterpretado como um peso sendo aplcado a uma entrada fxa de valor untáro. O número de neurônos da camada escondda e o número de 16