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1 OS NÚMEROS INTEIROS E O JOGO DO VAI-VEM GT 01 Educação matemática no ensino fundamental: anos iniciais e anos finais. Sabrina Bobsin Salazar, Eduardo da Silva Schneider, Resumo Este minicurso tem origem em uma atividade docente proposta em uma turma de Educação de Jovens e Adultos (EJA) do ensino fundamental em uma escola da rede municipal de Porto Alegre, RS, relatada em (SALAZAR, 2010) e é destinado a professores de matemática dos anos finais do ensino fundamental. Nesta atividade foi proposta uma maneira de construção dos números inteiros de uma forma prazeroza e significativa, que buscava não só a apresentação e atribuição de significado aos números negativos, mas sim o entendimento de um conjunto de números, positivos e negativos, construídos de uma mesma forma. Esse entendimento dos números inteiros como um conjunto de números com uma mesma característica fica bem expresso na sua definição matemática por classes de equivalência e é bastante importante para a atribuição de significados a esses números. No entanto, nas salas de aula do ensino fundamental é bastante comum a ênfase apenas nos números negativos, o que também ocorre em livros didáticos deste nível, como (SPINELLI e SOUZA, 2002) e (MORI e ONAGA, 2007). Conforme descrito em (SALAZAR, 2010), a utilização do jogo do Vai-Vem despertou o interesse dos alunos e proporcionou uma aprendizagem significativa, e precisa matematicamente, dos números inteiros. A fim de compartilhar esta atividade com outros colegas professores elaboramos este minicurso, que inicia com uma breve revisão da definição matemática, por classes de equivalência, dos números inteiros e, após, explora o jogo do Vai-Vem, discutindo a construção de tal definição matemática a partir de um material concreto.

2 É importante salientar que se pode escrever de diversas formas a mesma definição dos números inteiros por classes de equivalência. Neste minicurso adotaremos a seguinte forma, que é proposta por (FLUCH, 2007). Definição 1.1: Seja A um conjunto. Uma relação ~ no conjunto A é dita relação de equivalência se é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja: (i) x ~ x, x A (ii) x ~ y y ~ x, x, y A (iii) x ~ y, y ~ z x ~ z, x, y, z A Vamos definir a relação ~ no conjunto N N por ( m,n) ~ ( m',n' ) m + n' = m' + n. Teorema 1.2: A relação ~ definida acima é uma relação de equivalência em N N. A demonstração deste teorema é bastante trivial e requer apenas a utilização das propriedades da adição para números naturais. equivalência Definição 1.3: O conjunto dos números inteiros é o conjunto das classes de ( N N) ~ Z =. Como exemplos de classes de equivalência em Z temos: ( 0,0) = {( m, m );m N} = 0 ( 1,0) = {( m + 1, m );m N} = 1 ( 0,1) = {( m, m + 1 );m N} = 1 Os elementos de Z serão chamados de números inteiros. Tendo em vista tal definição, partimos para a exploração do jogo do Vai-Vem. O Jogo do Vai-Vem é composto de um tabuleiro, dois dados de cores diferentes, digamos branco e vermelho e pinos, que representam os jogadores. O tabuleiro consiste em uma sequência de 25 casas. A casa central é chamada Início e possui a cor amarela. As 12 casas mais próximas a casa central, 6 para cada lado, possuem a cor laranja. As 12 casas restantes, 6 em cada extremo do tabuleiro, possuem cores verde, em um extremo, ou azul, no outro extremo. As regras do jogo são as seguintes: O número mínimo de jogadores é dois. Todos os jogadores iniciam colocando seu pino na casa Início.

3 Cada jogador, na sua vez, deve lançar os dois dados simultaneamente, o dado branco representa quantas casas em direção ao extremo verde o jogador deve movimentar seu pino e o dado vermelho representa quantas casas em direção ao extremo azul o jogador deve movimentar seu pino. Para facilitar, convenciona-se que o movimento em direção ao extremo verde é para frente e que o movimento em direção ao extremo azul é para trás. O jogador que parar em qualquer casa verde ganha o jogo e o jogo termina. O jogador que parar qualquer casa azul sai do jogo. Se sobrar apenas um jogador no tabuleiro, este ganha o jogo e o jogo termina. A vez de cada jogador só termina após executar o movimento advindo dos dois dados, mesmo que durante a movimentação alcance um dos extremos do tabuleiro. Então, por exemplo, se o jogador está a uma casa do extremo verde e tira dois no dado branco e três no dado vermelho, ele pára a duas casas do extremo verde e não ganha. Neste minicurso, pretende-se enfatizar a relação entre o Jogo do Vai-vem com as classes de equivalência que definem os números inteiros, mas após jogar algumas rodadas isso fica bastante claro: o número do dado branco corresponde à primeira posição do par ordenado e o número do dado vermelho corresponde à segunda. O número inteiro definido por esse representante da classe de equivalência aparece no movimento final do jogador através das noções de para frente, para trás. Neste ponto, é preciso discutir como partir dessas noções concretas, para podermos chegar no conceito matemático abstrato. Para isso pretendemos completar as tabelas 2.1 e 2.2 com os participantes. Veja que para preencher a terceira linha da tabela 2.1 é preciso pensar em mais uma noção presente no jogo, a noção de não sai do lugar. Tabela 2.1 Dado branco (para frente) Dado vermelho (para trás) Movimento Final Tabela Dado branco (para frente) Dado vermelho (para trás) Movimento Final

4 para trás 5 não sai do lugar Ainda neste momento, os números inteiros ainda não tem a forma com a qual estamos habituados, falta-lhes uma simbologia própria. Pretendemos enfatizar, neste minicurso, que a introdução de símbolos específicos para representar os números inteiros pode ser feita de forma bastante natural quando se trabalha com o jogo do Vai-Vem, usando o sinal + para representar o movimento para frente, o sinal para o movimento para trás e o símbolo 0 para não sai do lugar. Isso também deverá ser feito completando tabelas com os participantes, neste caso as tabelas 2.3 e 2.4. Tabela 2.3 Dado branco (+) Dado vermelho ( ) Movimento Final Tabela 2.4 Dado branco (+) Dado vermelho ( ) Movimento Final Nesta etapa do minicurso, apenas uma observação deve ser feita: para que o conjunto dos números inteiros fique completamente construído, basta estender o conceito formado através do jogo do Vai-Vem para todos os números naturais, pois o jogo apenas trata dos números relacionados ao número de faces dos dados. Espera-se, com a conclusão do minicurso, que os participantes conheçam o jogo do Vai-Vem e sua aplicabilidade no ensino-aprendizagem dos números inteiros, podendo utilizá-lo em suas salas de aula. Referências

5 FLUCH, M. Construction of real numbers from the natural numbers. Disponível em: < Acesso em 17/01/2011. Saraiva, MORI, I. e ONAGA, D. S. Matemática: Idéias e Desafios, 6ª. série. São Paulo: SALAZAR, S. B. A construção dos números inteiros por classes de equivalência em uma turma de EJA usando o jogo do Vai-Vem. X Encontro Nacional de Educação Matemática. Salvador, BA, SPINELLI,W. e SOUZA, M. H. Matemática, 6ª. série. São Paulo: Ática, 2002.

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