Figuras, Triângulos e Problemas Semelhantes

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1 Reforço escolar M ate mática Figuras, Triângulos e Problemas Semelhantes Dinâmica 8 1ª Série 3º Bimestre Professor DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática Ensino Médio 1ª Geométrico Razões trigonométricas no triângulo retângulo DINÂMICA Figuras, Triângulos e Problemas Semelhantes. HABILIDADE Básica H06 - Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais, pelo número de lados e/ou pelos tipos de ângulos. HABILIDADE Principal H12 - Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo. CURRÍCULO MÍNIMO Compreender o conceito de razão trigonométrica a partir da semelhança de triângulos. Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos. 1

2 ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZAÇÃO REGISTRO 1 Compartilhar Ideias Ampliações e Reduções no dia a dia 15 a 20 min Grupos de 3 ou 4 alunos com discussão coletiva. Individual 2 Um novo olhar... Semelhança entre Triângulos 15 a 20 min Grupos de 3 ou 4 alunos com discussão coletiva. Individual 3 Fique por dentro! Problemas Semelhantes 25 a 35 min Grupos de 3 ou 4 alunos com discussão coletiva. Individual 4 Quiz Quiz 10 min Individual Individual Professor 5 Flex Análise das respostas ao Quiz Para Saber + Agora, é com você! Análise das respostas ao Quiz 15 min Coletiva Individual Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica. O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler antes da aula. Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor se tiver dúvidas. Apresentação Esta dinâmica busca compreender o conceito de razão trigonométrica a partir da semelhança de triângulos. Desta forma, na primeira etapa, pretende-se que os alunos reconheçam as relações entre figuras semelhantes e que construam ampliações e reduções de figura. Já na segunda etapa, vamos explorar a semelhança entre triângulos. Finalmente, na terceira etapa vamos verificar as razões trigonométricas em duas situações distintas, sendo que ambas apresentam triângulos semelhantes. Como sempre, você terá a possibilidade de fazer algumas escolhas, entre usar mais ou menos tempo nas atividades aqui propostas ou enfatizar algum ponto que considere mais crucial para os seus alunos. Bom trabalho! 2

3 Primeira Etapa Compartilhar idéias Atividade Ampliações e Reduções no dia a dia Objetivo Reconhecer as relações entre figuras semelhantes. Descrição da atividade Em geometria, duas figuras dizem-se semelhantes se uma se pode obter a partir da outra através de isometrias e homotetias. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões da figura original. Já a homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo. Duas figuras homotéticas possuem a mesma forma e seus lados correspondentes (homólogos) são proporcionais. Como tanto as isometrias como as homotetias preservam os ângulos, duas figuras semelhantes têm a mesma forma, diferindo apenas pela sua posição e tamanho. De forma prática, dizemos que duas figuras são semelhantes quando uma pode ser considerada uma redução ou ampliação da outra. Por exemplo, estas duas figuras são semelhantes: Matemática 3

4 Mas as figuras seguintes são parecidas e não são semelhantes. Professor Estes dois polígonos também são parecidos e não são semelhantes. Repare nas medidas dos lados dos retângulos A e B. Já os retângulos da figura seguinte são semelhantes. 4

5 C é uma redução do retângulo D e D é uma ampliação do retângulo C. Repare na medida dos lados dos retângulos C e D. Você consegue explicar por que não são semelhantes os retângulos B e A? Matemática Apesar de ambas as figuras apresentarem ângulos iguais, os lados dos retângulos A e B não são proporcionais. Uma não pode ser considerada ampliação (ou redução) da outra. E por que podemos dizer que os retângulos C e D são semelhantes? Os lados dos retângulos C e D apresentam proporcionalidade. C é um retângulo 2 x 5, enquanto D é um retângulo 4 x 10. D pode ser considerado uma ampliação, de razão 2, do retângulo C. Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Uma ideia bem simples de se fazer isto é dividir em partes iguais (quadriculadas) o papel em que a figura a ser ampliada ou reduzida se encontra, e dividir, da mesma forma (porém considerar a unidade como um quadriculado maior ou menor),o papel no qual se fará a cópia. Assim, copia-se a figura,correspondendo-se cada traço do original na cópia. Veja a figura. 5

6 Fig(a) Fig (b) Utilizamos o fator 2 (dobro) para encontrar a figura ampliada (b) cada lado desta figura (b) tem o dobro de lados de quadradinho da figura (a). Assim, o contorno da figura (b) é de 20 lados de quadradinhos inteiros e mais 6,5 de cada lado do telhado, dando um total de aproximadamente x 6,5 = 33 lados de quadradinho. Lembre-se de que, nesta atividade, estamos trabalhando com aproximações e estimativas. Professor Situação 1 Considere a Figura 1. Figura 1 Utilize o quadriculado a seguir (Figura 2) para fazer uma ampliação da Figura 1, de razão 2. 6

7 Matemática Figura 2 Figura 2 7

8 Situação 2 Considere o quadrilátero ABDC : Use o quadriculado a seguir para fazer uma ampliação, de razão 3, do quadrilátero ABCD e uma redução, de razão 1/2. Professor 8

9 Matemática Nas figuras a seguir, cada quadrilátero [ABCD] foi transformado proporcionalmente num quadrilátero semelhante [A B C D ], por redução ou por ampliação. Identifique as ampliações e as reduções, bem como as respectivas razões de ampliação ou redução, ligando a coluna da esquerda com a coluna da direita. 9

10 Recursos Necessários Professor Encarte do aluno. Procedi mentos Operacionais A atividade poderá ser feita em dupla de alunos e o registro individual. Intervenção Pedagógica Professor, nesta etapa, pretende-se que os alunos reconheçam as relações entre figuras semelhantes e que construam ampliações e reduções de figura. Neste sentido, deve-se reforçar que, em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes, cada uma constitui uma cópia da outra com outra escala. Mais precisamente, se uma figura F é semelhante a uma figura F, então F é uma ampliação de F, ou F é uma redução de F. 10

11 Matemática F é uma redução de F, sendo 1/3 a razão de semelhança de F para F. F é uma ampliação de F, sendo 3 a razão de semelhança de F para F. Como F é uma cópia de F, F e F dizem-se congruentes. Reforçar a ideia de que o fator de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança (ver figuras: estrela 1 e 2). Se k é a razão de semelhança de F para F, então 1/k é a razão de semelhança de F para F. Duas figuras com a mesma forma e o mesmo tamanho, isto é, com razão de semelhança igual a 1, dizem-se congruentes. Figura: Estrela 1 (Figuras semelhantes Ampliação) 11

12 Figura: Estrela 2 (Figuras semelhantes Redução) Professor Segunda Etapa Um novo olhar... Atividade Semelhança entre Triângulos. Objetivo Descobrir as condições de semelhança de triângulos Descrição da atividade Ao realizar as tarefas a seguir você irá encontrar um resultado interessante e fundamental sobre a semelhança de triângulos que lhe será útil na resolução de muitas situações problema. Situação 1: Considere três triângulos ABC, EFG e MNP cujos lados, em centímetros, meçam respectivamente: Triângulo 1: ABC AB = 4 BC = 3 AC = 2 Triângulo 2: EFG EF = 8 FG = 6 EG = 4 Triângulo 3: MNP MN= 12 NP = 9 MP = 6 Observe que esses triângulos têm a mesma forma, mas os tamanhos são diferentes. Verifique que: 12 As medidas dos lados do triângulo ABC são proporcionais às medidas dos la-

13 dos correspondentes do triângulo EFG. (Você se lembra? Basta verificar se os quocientes AB BC AC,, EF FG FG Registre: AB EF = 4/8 = ½ são todos iguais). BC AC = 3/6 = 1/2 FG = 2/4 = 1/2 FG Matemática Os lados do triângulo ABC são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo MNP. Registre: AB BC = 4/12 = 1/3 MN AC = 3/9 = 1/3 NP = 2/6 = 1/3 MP Os lados do triângulo EFG são proporcionais aos lados correspondentes do triângulo MNP. Registre: EF FG = 8/12 = 2/3 MN EG = 6/9 = 2/3 NP = 4/6 = 2/3 MP 13

14 Pela definição de semelhança o que está faltando para que se possa concluir que esses três triângulos sejam semelhantes entre si? É preciso verificar os ângulos. Compare os dois triângulos menores e, por superposição, verifique quais são os ângulos correspondentes que têm a mesma medida; escreva os resultados dessa verificação. Depois disso, você pode concluir que os três triângulos são semelhantes? Por quê? Professor Sim. A=Ê=M ˆ ˆ, B=F=N ˆ ˆ ˆ, C=G=P ˆ ˆ ˆ.Os triângulos apresentam lados correspondentes proporcionais e ângulos congruentes, logo podemos dizer que são semelhantes. Situação 2: Observe os triângulos ABC e DEF da figura a seguir. Os pontos que você vê sobre os lados desses triângulos dividem esses lados em segmentos, todos de mesma medida. (É como se eles fossem construídos usando palitos de fósforo, todos de mesmo comprimento). Você acha que eles são semelhantes? Justifique por escrito a sua resposta., 14

15 Os triângulos são semelhantes. pessoal Recursos Necessários Encarte do aluno. Triângulos disponíveis para recorte no encarte do professor Matemática Procedimentos Operacionais A atividade poderá ser feita por dupla de alunos e o registro individual. Os triângulos devem ser recortados com antecedência. Intervenção Pedagógica Professor, para a realização desta etapa, é necessário relembrar a definição de semelhança de triângulos. Dar instruções claras para a realização das tarefas contidas no texto. Acompanhar o trabalho das duplas na realização dos exercícios, orientando-as no que se fizer necessário. Professor, considera-se importante que esta segunda etapa seja encerrada com uma discussão dirigida tendo como objetivo organizar, sistematizar e resumir os resultados, visando à 3ª etapa que abordará as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Nessa sistematização, o professor deve dar ênfase à: definição de semelhança de triângulos com as suas seis condições: três pares de ângulos de mesma medida e três pares de lados correspondentes proporcionais; identificação ângulos correspondentes e de lados homólogos ou correspondentes; notação usual de semelhança e da importância da ordem nessa notação; economia de trabalho ao se usar o critério AA de semelhança, já que 15

16 dele decorre a igualdade das medidas do terceiro ângulo e a proporcionalidade dos lados correspondentes e, portanto, dispensa a verificação das outras quatro condições necessárias de semelhança; explicitar e definir o que é razão de semelhança. Terceira Etapa Fique por dentro! Atividade Problemas Semelhantes Objetivo Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Professor Descrição da atividade Existem muitos problemas ou situações do nosso cotidiano que podem ser representados por triângulos semelhantes. Como é o caso da decolagem de aviões, da altura de uma escada ou de um poste, do cálculo da largura de um rio e de muitas outras. A seguir, são apresentados dois exemplos de situações como estas. Situação 1 Fonte: 16 Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo x com a pista (horizontal). Para estar a 100m de altura em relação ao solo, a partir da decolagem, um avião percorre em linha reta 200m. E a distância, em relação ao solo, do momento da decolagem até o ponto em que o avião atinge essa altura é de A partir das informações obtidas, construa um triângulo que representa a Situação 1 e determine as razões trigonométricas para o ângulo x.

17 100 sen x = sen x = cos x = cos x = 2 tg x = tg x = 3 tg x = 3 3 Matemática Situação 2 Uma escada está apoiada numa parede, formando um ângulo x com o solo. O comprimento da escada é de 8 m, sabendo-se que ela se apoia na parede a uma distância de 4 3 m do solo e a altura da escada em relação ao solo é de 4m. A partir das informações obtidas, construa um triângulo que representa a Situação 2 e determine as razões trigonométricas para o ângulo x. 4 sen x = 8 1 sen x = cos x = 8 3 cos x = 2 tg x = tg x = 3 tg x =

18 Considerando as Situações 1 e 2. Responda: a. O que se pode concluir sobre o ângulo x? Quanto mede esse ângulo? : O ângulo x da situação 1 é igual ao ângulo x da situação 2, pois apresentam o mesmo valor de seno, cosseno e tangente. Esse ângulo mede b. O que se pode dizer em relação ao triângulos obtidos nas situações 1 e 2. São triângulos semelhantes. Professor Recursos Necessários Encarte do aluno. Procedimentos Operacionais A atividade poderá ser feita por dupla de alunos e o registro individual. Intervenção Pedagógica Professor, como o principal objetivo desta 3 a atividade é utilizar as razões trigonométricas no triângulo retângulo, seria importante construir com os alunos a dedução das razões trigonométricas, a partir da semelhança de triângulo. 18 Tomando um ângulo com uma determinada medida, a partir de pontos marcados em um de seus lados, traçando retas perpendiculares em relação ao outro lado, construindo triângulos retângulos semelhantes (que têm ângulos congruentes e lados correspondentes

19 proporcionais), determinam-se relações (razões) entre os lados, definindo as razões (constantes) que permitem calcular as distâncias inacessíveis. Tais razões são definidas como seno, cosseno e tangente do referido ângulo. Matemática Então, questionar os alunos: O que se pode afirmar a respeito dos triângulos OCD, OEF, OGH? Solicitar que justifiquem as respostas. Considerando com os alunos, a partir de suas respostas, que os triângulos construídos são semelhantes, solicitar que eles escrevam as seguintes proporções: a. entre os catetos opostos e as hipotenusas: CD EF GH = = =... (constante) OC OE OG b. entre os catetos adjacentes a as hipotenusas: OD OF OH = = =... OC OE OG (constante) c. entre os catetos opostos e os adjacentes: CD EF GH = = =... OD OF OH (constante) Ao analisar as proporções definidas pelos alunos, observar que são constantes, que se referem ao ângulo de medida θ e que dependem da sua medida. Ao final, concluir para os alunos que: CD sen Φ= = OC medida do cateto oposto ao ângulo medida da hipotenusa OD cos Φ= = OC medida do cateto adjacente ao ângulo medida da hipotenusa 19

20 CD tg Φ= = OD medida do cateto oposto ao ângulo medida da cateto adjacente ao ângulo As razões são chamadas razões trigonométricas. Professor, seria interessante, após esta atividade, falar da existência de tabelas trigonométricas com os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos. Construir a tabela dos principais ângulos agudos com a classe e pedir aos alunos que comparem os valores da tabela com aqueles que eles encontraram. Professor Quarta Etapa Quiz Questão: (Questão 15 da Avaliação Diagnóstica C0905 2º bimestre SAERJINHO 2012). Observe os desenhos dos triângulos abaixo. Qual é o par de triângulos semelhantes? a. P e T. b. Q e S. c. R e S. 20 d. S e T.

21 Quinta Etapa Análise das s ao Quiz B) Q e S. Distratores O aluno que optou pela alternativa A) P e T, provavelmente, apenas marcou os dois triângulos que tinham lados iguais a 4m e 5 cm. O aluno que escolheu a opção C) R e S, provavelmente, apenas marcou os dois triângulos que tinham lados iguais a 5m e 6 cm. O aluno que optou pela alternativa D) S e T, provavelmente, apenas marcou os dois triângulos que tinham lado igual a 5 cm e ângulo igual a 45º, sem levar em consideração que, se em dois quaisquer triângulos, ângulos iguais subentenderem lados proporcionais, então esses triângulos são semelhantes. Matemática Etapa Flex Para saber + Semelhança de Figuras Geométricas Nesta seção desta aula, você verá que figuras geométricas são semelhantes se possuem exatamente a mesma forma, independentemente de seu tamanho. Por isso, podemos dizer que um quadrado é semelhante a todos os outros quadrados. Do mesmo modo, dois círculos, quaisquer que sejam, serão sempre semelhantes. Estas afirmações, contudo, não podem ser feitas para quaisquer triângulos. Quando é que dois triângulos são semelhantes; isto é, quando é que possuem a mesma forma? É o que estudaremos nestes três vídeos. Vídeo (Parte 1) Disponível em: r_embedded&v=-ks2teghsho Vídeo (Parte 2) Disponível em: er_embedded&v=yffnwcajgzo 21

22 Vídeo (Parte 3)Disponível em: Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo Agora,você verá que as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente. É o que estudaremos nestes dois vídeos. Vídeo (Parte 1) Disponível em: Vídeo (Parte 2) Disponível em: Professor Agora, é com você! 1. Os triângulos MNO e M N O seguintes são semelhantes. Se a razão entre seus perímetros é de 1 para 2, calcule as medidas de v, x, y. 6/v = 2 Þ v = 6/2 = 3 x/4 = 2 Þ x = 2(4) = 8 y/5 = 2 Þ y = 2(5) = 10 22

23 2. Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y 24/x = 15/20 x=32 y/26 = 15/20 y=19,5 Matemática 3. Uma escada encostada a uma parede tem seus pés afastados dela, em 6m, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de Qual o comprimento da escada e da distância de sua extremidade superior ao chão? y tg 60 = 6 y 3 = 6 y = sen 60 = x = 2 x 3x = 12 3 x = 12 ou 6 cos 60 = x 1 6 O comprimento da es- = 2 x x = 12 cada é de 12m e a distância de sua extremidade ao chão é

24 4. Um motociclista percorre, a partir de um ponto A, 300m de estrada, inclinada 30 0 em relação ao plano horizontal, em aclive. Qual a altura do ponto atingido, em relação ao plano horizontal que passa por A? A altura é de 150m. Professor 24

25 Anexo I

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