MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS COM ALTA REGULARIDADE NA ABORDAGEM DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS

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1 VI CONGRESSO NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA VI NATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING 18 a 1 de agosto de 1 Camia Grade Paraíba - Brasil August 18 1, 1 Camia Grade Paraíba Brazil MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS COM ALTA REGULARIDADE NA ABORDAGEM DE PROBLEMAS DE VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS Oscar Alfredo Garcia, oagsuarez@ucs.br 1 Rodrigo Rossi, rrossi@ufrgs.br Paulo Roberto Lizmaier, rlizma@ucs.br 1 1 Uiversidade de Caxias do Sul, Deartameto de Egeharia Mecâica, Rua Fracisco Getúlio Vargas, 113, Caxias do Sul, RS, Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Deartameto de Egeharia Mecâica, Rua Sarmeto Leite, 45, Porto Alegre, RS, Resumo: Uma das limtações do Método de Elemetos Fiitos é a falta de recisão a determiação de altas freqüêcias. Geralmete os autovetores obtidos elo Método de Elemetos Fiitos reresetam um equeo ercetual do esectro de frequecias do sistema em aálise. Esta limitação se agrava quado são utilizados elemetos de alta ordem a aálise. A falta de recisão se caracteriza elo surgimeto de resultados esúrios ara determiados valores de frequêcia. Este roblema fica evidete os diagramas ormalizados de frequêcia ara roblemas esecíficos, ode os valores esúrios ara a frequêcia deotam os ramos acústicos e óticos do esectro. Neste artigo é roosta uma alterativa baseada o Método de Elemetos Fitios Geeralizado com alta regularidade a abordagem do roblema de autovetores de uma barra egastada as suas extremidades. Os resultados mostram que as fuções de eriquecimeto utilizadas ara costruir o esaço de aroximação são caazes de caturar altas freqüecias. Palavras-chave: freqüecias aturais, regularidade, MEFG, artição da uidade. 1. INTRODUÇÃO Detre as rimeiras roostas ara abordar roblemas de modos e frequêcias aturais, utilizado métodos sem malha, estão os trabalhos de Lu, Belytscho e Tabbara (1994) que utilizaram o Elemet Free Galeri method, EFG, a aroximação do camo de velocidades de uma barra com comortameto elástico e elastolástico. Em (1995), Liu et al, com o Reroduzig Kerel Particle Method, RKPM, mostram uma redução de temo sigificativa, com relação ao MEF, a determiação de freqüêcias aturais de baixa ordem em roblemas ui e bidimesioais elásticos, elastolásticos. Em () Liew et al utilizam Reroducig Kerel Particle Method (RKPM), a forma híbrida, ara abordar roblemas de freqüêcias aturais em cilidros rotativos. Em (3) G. Liu utiliza o Movig Least Square (MLS) ara aroximar roblemas de deflexões e vibrações livres em lacas fias com formas comlexas. Outros trabalhos ão meos relevates são os de Ferreira et al (5), ode os autores utilizam o Multiquadrics Method a aálise de freqüêcias aturais em cascas rasas de dula curvatura. Nos trabalhos suracitados os autores mostram o otecial do método a abordagem deste tio de roblema. Etretato, ão há reocuação em exlorar o efeito da regularidade destes esaços a determiação de modos e freqüêcias elevadas. Algumas das limitações são decorretes da sistemática utilizada ara costruir o esaço de aroximação, que em algus casos, gera matrizes de rigidez e massa ositivas semi-defiidas. É cohecido, etretato, que os roblemas de autovalores utilizado matrizes ositivas semidefiidas se caracterizam or aresetar modos de deslocameto de coro rígido que ão devem surgir, or exemlo, em roblemas de vibrações livres de estruturas estaticamete determiadas. O roblema da obteção de modos e frequêcias aturais elevadas, e com recisão aceitável, aida é um tema de esquisa em aberto ode devem surgir iúmeras roostas ara sua abordagem. No mometo o Método de Elemetos Fiitos (MEF) se cosolida como uma das metodologias comutacioais mais difudidas a resolução de roblemas de multi-física. Etretato, ele se mostra limitado ara abordar este tio de roblema. Uma das limitações do MEF a abordagem de roblemas de vibrações livres ão amortecidos é a erda de recisão à medida que as freqüêcias ficam mais altas. Esta erda de recisão está diretamete relacioada à

2 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a regularidade do esaço de baixa ordem utilizado o MEF e fica mais crítica à medida que aumeta a ordem dos elemetos utilizados. Em roblemas elíticos de autovalores o aumeto do erro os autovetores com o icremeto do autovalor é costatado elos estimadores a riori da versão h do MEF. Os estimadores de erro a riori ara a versão h do MEF, Hughes (1987) e Givoli (8), mostram claramete que o erro aumeta de forma exoecial com o aumeto da ordem oliomial e dimiuem com o aumeto da regularidade do esaço de aroximação. Recetemete, esquisas evolvedo a costrução de esaços de aroximação de alta regularidade baseadas em metodologias de aálise isogeométrica, veja Cottrel el al (7a), mostram uma suerioridade surreedete com relação ao MEF a determiação de modos e freqüêcias elevadas de roblemas de vibrações livres ão amortecidas. O -method, roosto elos autores suracitados utilizam a aálise isogeométrica ara costruir esaços de aroximação de alta ordem e com regularidade desejada. Os resultados obtidos com esta metodologia mostraram valores mais recisos que o MEF a aálise de freqüêcias aturais elevadas quado aalisado o roblema de vibrações livres de uma barra elástica viculadas as extremidades. As curvas ara valores ormalizados de freqüêcia atural são suaves e a recisão aumeta à medida que é aumetada a ordem oliomial do esaço de aroximação, Cottrel el al (7b). Por outro lado, quado é utilizado o MEF com elemetos de alta ordem ocorre uma erda sigificativa de recisão a curva suracitada a qual se maifesta or um salto o diagrama defiido os chamados ramos acústicos e óticos do esectro. Esta metodologia, romissora sem dúvida, mostra seu surreedete otecial a abordagem de roblemas suaves, cotudo, aesar de se ter uma reresetação muito mais recisa da geometria, acredita-se que deva aresetar um custo comutacioal elevado or cota da itegração umérica de fuções ão suaves. Por outro lado ão se tem a versatilidade dos métodos sem malha de iclusão de modos cohecidos da solução em roblemas de localização e em a ossibilidade de eriquecimeto aisotróico da solução, já que o esaço de aroximação do camo é o mesmo que o esaço utilizado ara reresetar a geometria. Por outro lado o Método dos Elemetos Fiitos Geeralizados (MEFG), com os esaços de aroximação costruídos coforme Mele e Babusa (199), Ode et al (199) e Duarte et al (), aresetam algus icoveietes ara abordar o roblema geral autovalores. Estas dificuldades rovém da sistemática utilizada ara costruir as fuções de aroximação que gera modos liearmete deedetes resultado uma matriz de rigidez e de massa ositiva semi-defiida cujas limitações foram suracitadas este texto. Neste artigo os autores utilizam o Método de Elemetos Fiitos Geeralizados (MEFG) com esaços de alta regularidade e alta ordem a abordagem de roblemas de vibrações livres ão amortecidas em barras elásticas viculadas as extremidades. O esaço de aroximação do camo de deslocameto é obtido or eriquecimeto exlícito de artições de uidade com regularidade C ( Σ ), =,,4,...,, obtidas a artir de oliomiais racioais. O escoo do trabalho costa das seguites seções: Itrodução; Costrução do esaço de aroximação segudo o MEFG; Esaços de aroximação com regularidade C ( Σ ), =,,4,... ; Resultados uméricos; Coclusões; Agradecimetos; Referêcias.. ESPAÇO DE APROXIMAÇÃO SEGUNDO O MEFG O Método dos Elemetos Fiitos Geeralizados é derivado das metodologias que costroem o esaço de aroximação or eriquecimeto da artição da uidade. O rocedimeto de eriquecimeto odal cosiste, essecialmete, a multilicação da Partição de Uidade (PU), viculada a uma artição de elemetos, or fuções de aroximação associadas aos ós ativos, isto é, ós seletivamete escolhidos ara serem eriquecidos etre aqueles que comõem a malha. Neste trabalho as fuções de eriquecimeto são defiidas em um domíio aramétrico viculado ao domíio físico or meio de uma fução vetorial de maeameto X ( s), ver Fig. 1, Garcia e Proeça (7). No MEFG o esaço de aroximação global costitui-se de todas as combiações lieares ossíveis de um esaço de dimesão fiita gerado ϕ = elo roduto etre as fuções { } 1 aroximação local ( ) que defiem uma artição da uidade e elas fuções que geram o esaço de Q. A seguir são aresetadas as defiições que serão utilizadas ara mostrar a metodologia de costrução do esaço de aroximação global..1 Partição de uidade (PU) do tio Lischitz Defiição: Seja codição de cobertura: R Σ um cojuto aberto, seja aida { ω } = 1 { } uma cobertura aberta de Σ que satisfaz a seguite M N x Σ card / x ω M (1) Diz-se que { ϕ } é uma PU do tio Lischitz subordiada à cobertura aberta { } = 1 ω = 1 roriedades: se satisfazer as

3 ii. iii. V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a su ϕ ω () i. ( ) ϕ = 1 x Σ (3) = 1 ϕ L R C (4) ( ) iv. C G ϕ L R (5) ( ) diam( ω ) Nas Eqs. (1)-(5), M é o úmero de fuções da PU que cobrem um oto x ω e N é o cojuto dos aturais. As costates C e m { } C ( R ) ϕ =. 1 C G ideedem de ϕ. A artição de uidade { ϕ } = 1 é dita com regularidade m N se ω = Figure 1: a) PU sobre a cobertura aberta { } 1, b) PU defiida sobre o domíio físico do roblema. ω = Na Fig. 1 areseta-se um exemlo de artição da uidade subordiada a cobertura { } 1 ω 1 Σ. A artição de uidade da figura é de regularidade m=, ortato, { } C ( ) ϕ = Σ. de forma que Defiição (Esaço de Aroximação Local, artição da uidade é defiido como, Q ): O esaço de aroximação local de ordem associado à { ρ } = 1 Q = sa () sedo ρ moômios de grau defiidos o sistema de coordeadas com origem o -ésimo ó ativo da malha. Os esaços locais Q são costruídos usado bases oliomiais, devido à boa caacidade de aroximação e a facilidade de alicação a uma amla variedade de roblemas. Defiição (Esaço de Elemetos Fiitos Geeralizados, cobertura aberta { } 1 F ): Seja { } 1 ω =, defie-se o esaço de aroximação global de ordem como sedo, { ϕ } = 1 = sa ω = uma artição da uidade subordiada à F Q (7)

4 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a Figura : a) PU liear; b ) ψ = ϕ.s ; c) ψ 3 = ϕ.s ; d) Maeameto da fução ψ o domíio físico; e) Maeameto da fução ψ 3 o domíio físico. Na Fig. areseta-se um exemlo de esaço local gerado a artir de uma artição da uidade formada or fuções lieares. Para este exemlo, toma-se ρ { = 1, s, s } com esaço de aroximação local dado or Q sa { 1, s, s = }. As Fig. b e c mostram as fuções ψ e ψ 3 que geram o esaço do MEFG dado or, { ψ 1, ψ, ψ 3 } { ϕ 1, ϕ, ϕ } F = sa = sa s s (8) As Fig. d e e reresetam o maeameto X : Σ Ω do esaço de elemetos fiitos geeralizados do domíio arametrizado ara o domíio real, Garcia e Proeça (7). 3. PARTIÇÕES DE UNIDADE COM REGULARIDADE C ( ) As características do esaço F são: dim( ) F < ; coforme demostrado em Duarte et al (); Σ, =,,4,..., a regularidade de uma fução ψ F com ψ = ϕρ é igual à meor regularidade das fuções ϕ ou ρ coforme Duarte e Ode (199). Duarte et al () mostram que os esaços de elemetos fiitos geeralizados costruídos a artir de PU lieares, fução teda, ossuem regularidade C ( Σ ) e a matriz de rigidez é sigular. No resete trabalho é aresetada uma alterativa ara costruir o esaço de aroximação uidimesioal sem roblemas graves de codicioameto da matriz de rigidez e com regularidade desejada PU defiida a artir de oliômios racioais As fuções da artição de uidade, aresetadas este trabalho, são fuções de Sheard Eq. (14), costruídas a C Σ, =,,.4,...,. Estas fuções são artir de fuções eso obtidas or oliomiais racioais com regularidade ( ) defiidas em R, como segue: Seja W : R R tal que ( ) W C Σ, =,,4,...,, com as seguites roriedades: i. W ( s), s Σ (9) W s = W s s, W s C, =,,4,..., (1) ii. ( ) ( ) ( ) iii. { / } s Σ card s ω M N (11)

5 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a Para o caso esecífico desta roosta as fuções eso são ( ) 1 W ξ e W ( ) ξ são defiidas o domíio aramétrico do elemeto. Neste caso M=, ou seja, tem o máximo duas fuções eso que cobrem qualquer oto o domíio do elemeto, ver Figura 3a e 3b. Para as fuções eso roostas às roriedades gerais odem ser resumidas em: W ξ β C Ω e (1) i. ( ) ( ) ii. ( ), e W β ξ ξ Ω (13) As fuções de Sheard este caso são resumidas ela exressão: ( ) W ( ) W ( ) β β γ γ = 1 ϕ ξ = ξ ξ. (14) A artir da Eq. (14) as fuções da artição de uidade associadas aos os do elemeto de coordeadas aramétricas ξ = 1 e ξ = 1 ; são defiidas or: ( ) W ( ) ( W ( ) W ( )) 1 ( ) W ( ) / ( W ( ) W ( )) ϕ ξ = ξ ξ + ξ (15) ϕ ξ = ξ ξ + ξ (1) 1 A forma geral da fução eso idicada em (1) e (13) é dada or: ( ) ( ) Wβ ξ 1 1 ξ = / h ±, N, β = 1, (17) As fuções defiidas a Eq. (17) ossuem regularidade C 1 ( Ω e ) e C ( Σ) se for ar e C ( ) N. Para o caso em que a artição de uidade tem regularidade C ( Σ ) as fuções W ( ξ ) e W ( ) sedo defiidas ela Eq.(18) e Eq.(19) a seguir ( ) ( ξ ) 1 Σ se for ímar W1 ξ = / 4 (18) ( ) ( ) W ξ = 1 1 ξ / 4. (19) Equato que ara as fuções de artições de uidade com regularidade C ( ) ( ) = ( + ξ ) W1 ξ 1 1 / 4 ( ) = ( ) Σ se tem, W ξ 1 1 ξ / 4. (1) ξ são Nas Fig. 3a e 3b são aresetados os gráficos das fuções defiidas as Eqs. (18), (19) e Eqs. (), (1) C Σ resectivamete. Já as Figures 4a e 4b são aresetados os gráficos das PU s com regularidade C ( Σ ) e ( ) defiidas elas Eq. (15) e Eq.(1). Na Fig. 4a, ota-se a reseça de cúsides das artições de uidade com C Σ, idicado que a rimeira derivada da fução ão existe as froteiras etre elemetos coforme regularidade ( ) idicado a Fig. 5a. Por outro lado às fuções com regularidade C ( ) () Σ, com extremidades achatadas, observadas a Fig. 5b idicam que a rimeira derivada é cotiua e ula as froteiras etre elemetos como ode ser observado a Fig. 5b.

6 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a Figura 3 - a) Gráficos das fuções W 1 e W com regularidade ( ) regularidade C ( Σ ). C Σ ; b) Gráficos das fuções W 1 e W com Figura 4 - a) PU s com regularidade C ( Σ ) ; b) PU s com regularidade ( ) C Σ. Figura 5 - a) Derivadas da PU, regularidade C ( Σ ) ; b) derivada da PU, regularidade ( ) C Σ.

7 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a 4. RESULTADOS NUMÉRICOS Nesta seção é aresetado um estudo de caso costituído de uma haste vicula as duas extremidades ode é aalisada a caacidade dos esaços de aroximação de alta regularidade determiar com recisão freqüêcias elevadas do sistema. Figura : Barra viculada as extremidades. 5 A barra tem módulo de elasticidade E =,1 1 MPa, massa esecífica ρ = 7, g / mm 3 e roriedades geométricas idicas a Figura. O resultado obtido ara a barra rovém de um roblema elítico de autovalores defiido elas Eqs ()-(4). d u ( x) ρ + w u ( x) = () dx E u x = x = (3) ( ), u ( x) =, x = L (4) As Eqs. (), (3) e (4) descrevem a formulação forte ara um roblema de vibrações livres ão amortecidas da barra ode u ( x), corresode ao modo de vibração a direção x e w a freqüêcia atural associada a este modo. A solução aalítica do roblema ara as freqüêcias aturais e os modos é dada elas Eqs.(5) e (), π w = (5) ρ L E ρ ρ u ( x) = Acos w x + Bse w x () E E Em () as costates A e B são determiadas a artir das codições de cotoro do roblema. A equação discretizada ara o roblema, obtida a artir do método dos resíduos oderados (Galeri), é defiida ela Eq. (7). l l T T B EBdx w ρ N Ndx = (7) ode, N = ψ1 ψ ψ 3 ψ i ψ ; =1,..., ; i = 1,..., (8) e B = ψ1, x ψ, x ψ 3, x ψ i, x ψ, x ; =1,..., ; i = 1,...,. (9) Em (8) e (9), ψ é a fução de aroximação i corresodete ao ó. i A rimeira aálise corresode aos valores relativos de freqüêcia atural obtidos a artir dos resultados uméricos e da solução aalítica da Eq. (5). Os resultados uméricos foram obtidos utilizado fuções de aroximação liear tato ara o MEF quato ara o MEFG sedo que em todos os casos forma utilizados duzetos graus de liberdade ara modelar o roblema. Os resultados idicados a Figura 7, corresodem aos seguites esaços de aroximação:

8 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a i. PU oliomial racioal com regularidade C ( ) ii. PU oliomial racioal com regularidade C ( ) iii. 4 PU oliomial racioal com regularidade C ( ) iv. MEF, liear. Σ com eriquecimeto com base oliomial =1; Σ com eriquecimeto com base oliomial =1; Σ com eriquecimeto com base oliomial =1; Figura 7: Valores ormalizados de freqüêcias aturais da barra. Os resultados idicam um desemeho satisfatório embora ouco reciso do MEF. Neste caso os resultados mostram um comortameto suave e cotíuo, cotudo os valores com recisão aceitável ão vão além de vite or ceto do úmero total de modos obtidos elo modelo. Para o caso dos esaços obtidos segudo o MEFG fica evidete a C Σ, ota-se um ifluêcia da regularidade as resostas. Para o esaço costruído com regularidade do tio ( ) resultado muito obre com recisão que ão vai alem de dez or ceto do úmero total de modos aroximados elo modelo, além disto, ota-se o surgimeto de valores esúrios de freqüêcia que fica claro com o salto o diagrama ara C Σ, se observa um gaho sigificativo em recisão aresetado um /N =,5. Para os esaços com regularidade ( ) 4 comortameto suave da curva. Fialmete ara esaços com regularidade C ( ) Σ, os resultados mostram um comortameto suave da curva, etretato, ouco reciso ara eriquecimetos obtidos com baixa ordem oliomial. Figura 8: a) freqüêcia ormalizada =1; b) freqüêcia ormalizada = ;c) freqüêcia ormalizada =3 d) freqüêcia ormalizada =4; e) freqüêcia ormalizada =5; f) freqüêcia ormalizada =. A aálise a seguir mostra a ifluêcia da regularidade do esaço de aroximação costruído segudo a versão do MEFG a catura de valores elevados do esectro de freqüêcias aturais do roblema em questão. Os resultados

9 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a ara esta aálise são obtidos a artir de um eriquecimeto das PU s com regularidades idicadas os ites i,ii e iii do = 1,,3,4,5,. modelo aterior, com bases oliomiais com ordem { } A geometria do roblema foi reresetada com dez elemetos uidimesioais lieares, etretato, ara aroximar o camo de deslocameto foi utilizado um úmero máximo de seteta e cico graus de liberdade corresodete ao esaço de aroximação gerado com oliômio de sexta ordem. Os resultados mostrados as Figuras 8a-f mostram a ifluêcia da regularidade do esaço de aroximação a versão do método. A aálise das figuras mostra claramete uma melhora sigificativa a covergêcia dos valores C Σ. Por outro lado ara os ormalizados da freqüêcia com o refio ara o esaço costruído com regularidade ( ) esaços costruídos com regularidade C ( ) Σ houve uma melhora a covergêcia de valores ormalizados ara freqüêcias iferiores a ciqüeta or ceto do total dos modos aroximados elo modelo, sedo que acima deste valor, 4 C Σ o refio melhora sesivelmete a ota-se uma ítida erda de recisão. Para o esaço com regularidade ( ) covergêcia atigido valores recisos até aroximadamete oiteta or ceto do esectro de freqüêcias. 5. CONCLUSÕES De forma geral costatou-se um bom desemeho dos esaços de alta regularidade a abordagem de roblemas elíticos de autovalores. A utilização de artições de uidade costruídas a artir de oliomiais racioais ermite obter matrizes de massa e rigidez simétricas e ositivas defiidas excluido, desta forma, os modos de deslocameto de coro rígido do roblema de autovalores. A ifluêcia de esaços de aroximação de alta regularidade corrobora a rescrição dos estimadores a riori ara roblemas elíticos de autovalores, modelados segudo a versão h do MEF. Neste caso o aumeto da regularidade do esaço de aroximação roduz uma redução sesível do erro eserado as freqüêcias e os modos com o aumeto dos autovalores. Por outro lado, ao cotrário que o MEF, ode a utilização de elemetos de alta ordem roduz uma erda sigificativa de recisão dos valores obtidos ara as freqüêcias aturais do roblema, Cottrell (7), os resultados das Figuras 8a-f mostram um bom desemeho da versão do MEFG ricialmete C Σ. Os resultados obtidos este trabalho mostram um desemeho ara esaços de baixa regularidade ( ) surreedete ara os esaços de alta regularidade costruídos a artir de oliomiais racioais a abordagem de roblemas de modos e freqüêcias elevados em barras com comortameto elástico. Embora o estudo de caso teha sido feito sobre uma comoete estrutural simles, como é caso da barra, resultados igualmete romissores estão sedo obtidos, elos autores deste artigo, em roblema axissimétricos de lacas e cascas que or brevidade ão odem ser citados este artigo.. AGRADECIMENTOS Gostaríamos de agradecer o suorte do Coselho Nacioal de Pesquisa elo aoio a este rojeto. Processos úmeros /8-8 e REFERÊNCIAS Babusa I, Mele J.M., 199, Partitio of Uitiy Fiite Elemet Method (PUFEM): Basic theory ad alicatios, Comuter methods i alied mechaics ad egieerig, Vol. 139, Cottrell J. A., Hughes T. J. R., Reali A., Sagalli G., 7a, Isogeometric discretizatios i structural dyamics ad wave roagatio, ECOMAS Thematic Coferece o Comutatioal Methods i Structural Dyamics ad Earthquae Egieerig, Crete, Greece, 13-1 Jue 7. Cottrell J. A., Hughes T. J. R., Reali A., 7b, Studies of refiemet ad cotiuity i isogeometric structural aalysis, Comuter methods i alied mechaics ad egieerig, Vol. 19, Duarte C. A., Ode J. T., 199, A h- adatative method usig clouds, Comuter methods i alied mechaics ad egieerig, Vol. 139, 37-. Duarte C.A, Babusa I, Ode J. T.,, Geeralized fiite elemet method for three-dimesioal structures mechaics roblems, Comuter ad Structures, Vol. 77, Ferreira A. J. M., Roque C.M.C., Jorge R.M.N, 5, Natural frequecies of FSDT cross-ly comosite shell by mutiquadrics, Comosite Structures, G. Liu, 3; A mesh-free method for static ad free vibratio aalyses of thi lates of comlicated shae. Joural of Soud ad Vibratio, Vol. 41, No. 5, Garcia O. A, Proeça S.P.B., 7, Liear aalysis of axis-simmetric lates ad shells by Geeralized Fiite Elemet Method, Lati America Joural of Solid ad Structures, Vol. 4,

10 V I C o gr es s o N a ci o al d e E g e har i a M e c â i c a, 18 a 1 de A g o s t o 1, C am i a G r a d e - P ar a í b a Givoli D., 7, O the umber of reliable fiite-elemet eigemodes, Commuicatios i Numerical Methods i Egieerig, Vol. 4, Hughes, T.J.R., 1987, The Fiite Elemet Method Liear Static ad Dyamic Fiite Elemet Aalysis, Dover Publicatios. Liew K. M., T. Y. Ng, X. Zhao, J. N. Reddy,, Harmoic Reroduzig Kerel Particle Method for free vibratio aalysis of rotatig cylidrical shell, Comuter Method ad Alied Mechaics i Egieerig, Vol 19, Liu W. K., Ju S., Li S., J. Adee, Belytscho T., 1995, Reroduzig Kerel Particle Method for structural dyamics, Iteratioal Joural for Numerical Method i Egieerig, Vol. 38, No. 1, Lu Y. Y., Belytscho T., Tabbara M., 1995, Elemet-Free Galeri method for wave roagatio ad dyamic fracture, Comuter methods i alied mechaics ad egieerig, Vol. 1, Ode J. T., Duarte C. A, Zieiewicz O.C., 199, A ew cloud-based h fiite elemet method, Tec. Re. TICAM Reort 9-55, The Uiversity of Texas, Austi, Texas, USA. 8. DIREITOS AUTORAIS Os autores são os úicos resosáveis elo coteúdo do material imresso icluído o seu trabalho. HIGH REGULARITY GENERALIZED FINITE ELEMENT METHOD IN THE ANALISYS OF THE FREE VIBRATION PROBLEM Oscar Alfredo Garcia, oagsuarez@ucs.br 1 Rodrigo Rossi, rrossi@ufrgs.br Paulo Roberto Lizmaier, rlizma@ucs.br 1 1 Uiversidade de Caxias do Sul, Deartameto de Egeharia Mecâica, Rua Fracisco Getúlio Vargas, 113, Caxias do Sul, RS, Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Deartameto de Egeharia Mecâica, Rua Sarmeto Leite, 45, Porto Alegre, RS, SUMMARY: Oe of the limitatios of the Fiite Elemet Method is the lac of recisio i the estimatio of the high frequecies. I geeral the eigemodes obtaied by the Fiite Elemet Method rereset a small ercetage of the total modes. This limitatio gets worse whe high order fiite elemets are emloyed ito the aalysis. The lac of accuracy is characterized by the aearace of surious results which starts from a articular value of frequecy. This roblem becomes evidet whe ormalized diagrams for a articular roblem are costructed ad are deoted as acoustic ad otical braches. I this article a alterative method based o the erichmet of the artitio of uity, sometimes called Geeralized Fiite Elemet Method, is derived ad alied to solve the simle roblem of eigemodes of a rod clamed at both eds. Results show that the eriched shae fuctios, aroximatio sace, are able to cature high order frequecies. Keywords: atural frequecies, regularity, MEFG, artição da uidade. 9. AUTHOR RIGHTS The authors state that they are the solely resosible for the rit cotet reseted i this wor.