CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS VARIÁVEIS NO TEMPO

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1 EETROMAGNETIMO II CAMPO EETROMAGNÉTICO VARIÁVEI NO TEMPO Neste capítulo estuaremos a lei a inução eletromagnética e Faraay. Ela é uma as primeiras leis o eletromagnetismo e o efeito que ela escree é e funamental importância. As máquinas elétricas e os transformaores, por exemplo, tem o seu funcionamento baseao inteiramente no princípio a inução eletromagnética. A ela eemos toa energia elétrica que consumimos em nossas resiências, instalações inustriais e comerciais, pois o funcionamento e geraores síncronos em usinas geraoras e energia elétrica é baseao nesse princípio. Também eemos a esse fenômeno a capaciae e nos comunicarmos com too o muno. Até em sonas interplanetárias as onas eletromagnéticas, geraas nas estações ou equipamentos transmissores, iajam pelo espaço (sem fio) e são captaas por equipamentos receptores, one tensões ariáeis serão inuzias em seus circuitos, para posterior ecoificação e interpretação Inução eletromagnética Consieremos a espira circular a figura 18.1a, one um ímã permanente moe-se em ireção ao encontro a espira. Este moimento contribui para que mais linhas e campo magnético atraessem a espira, aumentano assim o fluxo magnético concatenao com a espira. Uma corrente será inuzia na espira e moo que o fluxo prouzio por ela se oponha à ariação (aumento) o fluxo externo, prouzio pelo ímã permanente. Em outra situação, na figura 18.1b, o ímã se afasta a espira e o fluxo que a atraessa estará iminuino. Noamente ter-se-á uma inução e corrente na espira, prouzino um fluxo que se oponha à ariação (iminuição) o fluxo magnético prouzio, procurano esta ez aumentar o fluxo resultante que cruza a espira. Assim, o sentio a corrente inuzia pela espira na figura 18.1b será no sentio contrário ao a corrente mostraa na figura 18.1a. e o ímã se moer alternaamente para cima e para baixo, uma corrente alternaa (CA) fluirá na espira. Este arranjo se constitui no exemplo mais simples e um geraor e corrente alternaa. Gigantescos geraores síncronos, com capaciae para prouzir centenas e megawatts e potência numa única uniae, também funcionam baseaos no mesmo princípio eletromagnético aqui apresentao. i i N N a) b) Figura 18.1 a: fluxo inuzio iminuino o fluxo magnético na espira que está aumentano. Figura 18.1 b: fluxo inuzio aumentano o fluxo magnético na espira que está iminuino. Para que a energia seja conseraa, a corrente inuzia pela espira se opõe ao efeito a ariação o fluxo externamente proocao. Em outras palaras, se o fluxo magnético que atraessa a espira está aumentano, a corrente inuzia o fará iminuir e se o fluxo magnético na espira estier iminuino UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

2 EETROMAGNETIMO II 170 esta corrente inuzia o fará aumentar. O fato a corrente inuzia na espira estar em oposição à ariação o fluxo prouzio pelo ímã permanente é justificao matematicamente pela lei e enz. e a espira é seccionaa em um ponto qualquer, como na figura 16., o moimento alternao o ímã em relação à espira fará agora com que uma força eletromotriz (fem) ariáel no tempo apareça entre os pontos e abertura ou terminais. Essa fem inuzia será então igual à taxa e ariação oposta o fluxo magnético concatenao com a espira em relação ao tempo, expressa por: e m (18.1) t One no istema Internacional e Uniaes: e = força eletromotriz inuzia em olts (V); m = fluxo magnético em weber (Wb); t = tempo em segunos (s). e N Figura 18.: força eletromotriz inuzia e numa espira em circuito aberto. A equação 18.1 é uma maneira e apresentar matematicamente a lei e Faraay e expressa a fem inuzia em um circuito eio à ariação temporal o fluxo concatenao com ele. Analisano esta equação em maiores etalhes, poemos er que esta ariação e fluxo concatenao poe ocorrer atraés e: - ariação no tempo a intensiae e fluxo magnético; - moimento relatio entre um campo magnético e o circuito ou algum e seus trechos; - combinação e ambos. abe-se que o fluxo magnético m efine o número e linhas e inução que atraessam uma eterminaa superfície. Assim, o fluxo concatenao com a espira é igual à integral a componente normal o etor inução magnética sobre a superfície aberta elimitaa pelo contorno a espira, ou seja: one: m (18.) s = etor inução magnética, em weber/m (Wb/m ). = etor elemento iferencial e área, em m orientao pela Regra a Mão Direita (RMD) em função o sentio a corrente que gera o fluxo magnético na espira. UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

3 EETROMAGNETIMO II 171 A fem e em um circuito é igual à integral e linha o etor intensiae e campo elétrico E, associao à corrente inuzia ao longo o comprimento a espira, consierano a separação entre os terminais como seno esprezíel. Assim: e E l l (18.3) ubstituino a equação (18.) em (18.1), teremos para a fem inuzia: e t s (18.4) Fisicamente esta fem encontra-se istribuía ao longo o circuito na espira em fontes iferenciais, não seno possíel saber a priori one ela se concentra. Vamos a seguir analisar caa possibiliae em que a ariação temporal o fluxo resulta em fem ou tensão inuzia em um circuito Tensão inuzia por efeito ariacional Neste caso a ariação o fluxo magnético concatenao com um circuito é eia apenas à ariação o etor (inução magnética) em relação ao tempo e se restringe à eriaa parcial o campo geraor o fluxo magnético em relação ao tempo. Consierano a espira ou circuito fechao estacionário ou manteno sua forma fixa poemos reescreer a equação (18.4) a seguinte forma: e s t (18.5) Em outras palaras, esta forma a lei e Faraay-enz expressa a fem inuzia eio especificamente à ariação o etor ensiae e fluxo magnético ou inução magnética em relação ao tempo para uma espira ou circuito fechao consierao estacionário em relação ao obseraor. Ela também é chamaa e tensão e transformaor, seno ela a base para a relação e transformação entre as tensões primária e secunária, one o circuito não apresenta nenhum moimento relatio ou ariação na sua forma geométrica. Combinano as equações (18.3) e (18.5 ) poemos escreer: E l t (18.6) Esta é uma as equações e Maxwell, na forma integral, aina a lei e Faraay, já conhecia para campos magnetostáticos one a integral e linha o campo elétrico resulta nula por um caminho fechao. Mais aiante eremos que ela também poe ser expressa na forma iferencial. Exemplo 18.1 Calcular a força eletromotriz inuzia na espira retangular a figura 18.3, sabeno-se que ela está na presença e um campo magnético ariáel no tempo prouzio por uma corrente alternaa senoial que flui em um fio retilíneo e comprimento infinito. olução: z i a Figura 18.3 espira retangular na presença e um campo magnético ariáel 0 b c r UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

4 EETROMAGNETIMO II 17 A espira está em repouso e sua forma geométrica não aria. Da lei e Faraay em que: one e t 0i aˆ r e 0 I r m sen t t aˆ rz aˆ a c 0 m t e I cos 0 b r 0 Im cos t e a cr 0 b r 0 Im a cos t e r z z c ln b O sinal negatio na expressão a tensão justifica a aplicação a lei e enz, one uma fem e, istribuía ao longo a espira, inuz um fluxo magnético que se opõe ao comportamento o fluxo magnético prouzio pela corrente i o conutor retilíneo. A título e exemplo, se o fluxo prouzio estier aumentano, uma fem surge na espira e inuz um fluxo magnético no intuito e iminuir o crescimento o fluxo criao pela corrente i o conutor retilíneo Tensão inuzia por efeito mocional Vimos pela equação (18.1) que a fem inuzia que aparece em um contorno ou circuito fechao é aa pela taxa e ariação o fluxo magnético que o atraessa em relação ao tempo. Imaginemos agora uma situação one o campo magnético é mantio constante e o circuito elétrico, e alguma maneira, tem a sua forma alteraa, contribuino com a ariação o fluxo magnético concatenao com o circuito, conforme poe ser ilustrao na figura O circuito abaixo sofre uma moificação na sua forma eio ao conutor em estaque que se moe, leano a uma ariação no fluxo no ecorrer o tempo. x e E m Figura 18.4 Conutor eslizano sobre conutores fixos. Quano uma carga elétrica Q se moe na presença e um campo magnético, ela está sujeita à ação a força e orentz, perpenicular à sua elociae e à inução magnética presente, na ireção orientaa pela regra a mão ireita, one: F Q ( ) (18.7) Essa força agirá sobre os elétrons lires o conutor em moimento, eslocano-os na ireção oposta à a força F, buscano a separação as cargas positias as negatias, ano origem a um campo elétrico E m presente. O equilíbrio se á quano a resultante a força magnética e orentz com a força elétrica se anula em caa extremiae o conutor em moimento, e moo que: QE m Q (18.8) UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

5 EETROMAGNETIMO II 173 O prouto etorial aponta a localização as cargas positias no conutor em moimento enquanto que a separação entre as cargas positias e negatias á origem a um campo elétrico: E m (18.9) Pela figura acima poemos er que o trabalho por uniae e carga contra o campo elétrico E m origem a uma iferença e potencial e entre as extremiaes o conutor em moimento one á acima acima e Em (18.10) abaixo abaixo Esta iferença e potencial ou tensão elétrica é inuzia no circuito quano um conutor se moimenta ou tem a sua forma moificaa em relação a um campo magnético, seja ele estacionário ou não. Esse campo elétrico á origem a uma fem no contorno ou circuito expressa por: e E ( ) (18.11) C m Exemplo 18. Calcular a força eletromotriz inuzia entre os pontos a e b a figura O conutor entre c e, em estaque, esliza sobre outros ois conutores paralelos a uma elociae uniforme, na presença e um campo magnético também uniforme (inariante no tempo) cuja inução ale orientaa para entro o plano o papel, conforme mostra figura a b E m Figura 18.5 olução: O campo magnético constante irá inuzir uma fem e efeito apenas mocional, one e O etor intensiae e campo elétrico, resulta o prouto etorial oposto entre a elociae o conutor e o etor inução magnética, na ireção e para c aleno c Em aˆ x aˆ z aˆ y A integral e linha contra o campo ao longo o conutor móel e comprimento e c para resulta: e aˆ y yaˆ y c Esta é a expressão a fem inuzia apenas pelo efeito mocional Caso Geral e Inução A equação (18.4) explica a ei e Faraay na sua forma geral, ou seja, justifica que a fem inuzia ocorre pela ariação o fluxo magnético no tempo, motiao pela ariação o campo magnético e/ou pela ariação na geometria o circuito. A combinação os ois casos, ou seja, o moimento o UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

6 EETROMAGNETIMO II 174 conutor em relação ao campo magnético e este ariano em relação ao tempo constituem no caso geral e inução. A superposição os efeitos resulta para a fem inuzia e t (18.1) O sinal negatio no lao ireito a expressão acima apenas inica a polariae a fonte inuzia ou as fontes inuzias por efeito mocional e ariacional as fems, seguno a lei e enz. Exemplo 18.3 Resoler o exemplo anterior, porém com ariante no tempo seguno cos t a posição. olução: Consierano a ariação o campo magnético no tempo além a ariação na geometria o circuito em relação ao tempo a fem inuzia é aa por: e t O moimento a haste ertical com elociae inuz uma fem mocional aa por: emoc cos c 0 0 ty cost Por outro lao, a ariação temporal a inução magnética implica numa fem inuzia e efeito ariacional expressa por: x ear 0sen t c 0 e ar 0 x sen t A superposição os efeitos resulta em taˆ z xy aˆ z e cos 0 0, inepenente t x sen t 0 t x sen t e 0 cos Multiplicano e iiino o seguno lao a x expressão acima por tem-se: e 0 x cos t x Fazeno sen Teremos e cos x x x x x sen t x sen cos t cossen t e 0 ogo a fem inuzia será também ariante no tempo e aa por e0 x sent 18.5 ei a inução eletromagnética e Faraay na forma iferencial A aplicação o teorema e tokes à primeira integral a equação 18.6 resulta em: E E (18.13) Assim: E t (18.14) UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

7 EETROMAGNETIMO II 175 Como as uas integrais e superfície são calculaas sobre o mesmo omínio e integração, ou seja, sobre a mesma superfície, poemos igualar os integranos e moo que: E t (18.15) Esta é uma as quatro equações e Maxwell, euzia a equação a inução eletromagnética e Faraay na forma iferencial. Exemplo 18.4 uponha uma ensiae e fluxo magnético 0senta z ˆ. Uma espira circular e raio r é posta na presença este campo magnético, no plano z = 0. Determinar a expressão para o etor intensiae e campo elétrico, utilizano a formulação a lei a Faraay na forma integral e na forma iferencial. olução: No caso, o circuito ou contorno elétrico mantém sua forma ispensano a fem inuzia na forma mocional. Assim, utilizano a forma integral, poemos escreer: E s t O comportamento a inução magnética é uniforme em relação ao plano z e a integral e linha o campo elétrico acompanha o formato a espira, ao longo o percurso escolhio. Assim, teremos ou: t E. r 0 cos. r 0r E cos t. aˆ Utilizano agora a forma iferencial teremos: t E t 0cos t.ˆ az Por outro lao, o etor intensiae e campo elétrico só possui a componente na ireção â e sua magnitue só aria na ireção raial. Portanto em coorenaas cilínricas: Neste caso: 1 r E E r r 1 r E r r â z 0 cos t Multiplicano ambos os membros pelo raio r, separano as ariáeis, e integrano: ou: r r E r0 cos t r E como esperáamos. 0 0 cos r t 0 r E cos t â r Comentários complementares Vimos em estuos anteriores que uma istribuição estática (inariante no tempo) e cargas prouz um campo elétrico conseratio, one a integral e linha este campo sobre um contorno C (caminho fechao) resulta nula. Desta forma: C E 0 (18.16) UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

8 EETROMAGNETIMO II 176 eno este campo elétrico estático conseratio, imos também que suas linhas e força são abertas e começam nas cargas positias, terminano nas cargas negatias, e moo que a integral e superfície o etor ensiae e fluxo sobre uma superfície fechaa trauz a carga líquia enolia por ela, em acoro com a lei e Gauss. Assim, D Q enolia (18.17) Quano as cargas elétricas apresentam ariação no tempo, a lei e Faraay justifica a consistência no tocante à conseração a energia, prouzino uma fem inuzia que se opõe à ariação o fluxo magnético que lhe eu origem, ou seja, m fem E t C t (18.18) one a superfície aberta poe ser ista como a e um balão (infláel) cuja boca é efinia pelo percurso C fechao. Como a superfície é aberta eemos especificar a ireção o fluxo e atraés ela, inculanoa com o sentio o contorno fechao C pela regra a mão ireita. Colocano os eos esta mão com exceção o polegar percorreno o sentio o contorno C, o polegar irá apontar a ireção etorial e, inicano o sentio positio o fluxo atraés a superfície. Assim, a lei e Faraay estabelece que qualquer fluxo magnético ariante no tempo que atraessa uma superfície limitaa por um contorno C irá prouzir uma fem naquele contorno, muito similar à e uma fonte e tensão. O sinal negatio na expressão para a tensão inuzia (lei e enz) estabelece que essa fem tem o objetio e fazer circular uma corrente no contorno C cujo campo magnético irá se opor à ariação o campo original, manteno a energia conseraa. Essa fem inuzia poe ser inseria no contorno como uma fonte e tensão, não seno possíel efinir sua exata localização no circuito. A chae para se fazer cumprir apropriaamente a lei e Faraay está no fato e termos o alor e a polariae corretos na fonte inseria, o que será mais bem esclarecio com a resolução os exercícios propostos. UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

9 EETROMAGNETIMO II 177 EXERCÍCIO 1) Uma bobina estacionária, quaraa, e oito espiras, tem értices em (0,0,0), (,0,0), (0,,0), (,,0) em metros. e um campo magnético normal à espira aria em função a posição, seguno a lei = 1 sen(x/) seny/), encontre a força eletromotriz inuzia (fem) em alor eficaz (rms) na espira, posto que aria também harmonicamente no tempo em 800 Hz. ) Um pênulo e chumbo está se moimentano com a sua extremiae escreeno um circulo e 150 mm e raio sobre uma película e mercúrio, no sentio anti-horário, com uma ponta em contato com o liquio (conforme a figura 18.6). O comprimento a parte o fio que está se moimentano é e 1 m e lea 6 s para uma olta completa. O gancho que suporta o pênulo também suporta um fio rígio e estático ertical, ao longo o eixo o cone escrito pelo pênulo. Este fio faz contato com o mercúrio no centro o circulo, completano assim o circuito elétrico. e existe um campo magnético horizontal e 60 T, encontre a f.e.m inuzia no circuito. R Figura 18.6 figura para o problema 3 Um fio conutor oscila como um pênulo, na presença e um campo magnético uniforme e inução = 1 mt, conforme a figura A elociae e um ponto sobre o fio, istante r m o ponto P e articulação é aa por = (r/r) cos(t), one é o eslocamento máximo horizontal, ou amplitue. e o comprimento R o pênulo é 3 m, seu períoo T é ao por T R / 9.8 s, e = 150 mm, etermine a fem inuzia no circuito. P e r R Figura 18.7 figura para o problema 3 4) Um campo magnético e inução uniforme = 00 mt estene-se sobre uma área e100 mm e lao, como na figura 18.8, seno que fora esta área o campo magnético é nulo. Uma espira retangular e 40 mm por 80 mm moe-se atraés o campo com uma elociae uniforme. a) e uma tensão e V é inuzia na espira, encontre a elociae. b) Determine os alores e x para os quais haerá tensão inuzia. UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino

10 EETROMAGNETIMO II 178 x R 100 mm r 100 mm Figura 18.8 figura para o problema 4 Figura 18.9 figura para o problema 5 5) Encontre a máxima taxa e ariação a fem inuzia em um conutor retilíneo que se moe com elociae constante, perpenicularmente a um campo magnético uniforme e inução, prouzio pelas faces circulares e um eletromagneto, como na figura O campo magnético é confinao ao limite e raio R. Em qual alor e r a máxima fem ee ocorrer? 6) Uma espira conutora é "pintaa" em torno a linha equatorial e um balão esférico e flexíel. Um campo magnético e inução = 0, cos (4t) T é aplicao perpenicularmente ao plano o equaor. O balão está se contraino com uma elociae raial. e quano o raio o balão é 0,5 m, o alor eficaz a tensão inuzia é 5 V, encontre a elociae neste instante. 7) A figura mostra uma barra metálica poeno moer-se para a ireita com elociae ao longo e ois trilhos conutores e paralelos separaos pela largura w. Um campo magnético e inução é aplicao perpenicular ao contorno formao pelos trilhos e pela barra. Determine a tensão inuzia V ba para os seguintes casos: (a) = t Wb/m e = 0, (b) = Wb/m e = 5 m/s, (c) = t Wb/m e = 5 m/s e () = t Wb/m e = 5 t m/s. V ba b w a Figura figura para o problema 7. UNEP/auru Naasson Pereira e Alcantara Jr. Clauio Vara e Aquino