MODELO DE DOIS FLUIDOS DE ALTA ORDEM PARA PREVER A FORMAÇÃO DE GOLFADAS

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1 Dpartamnto d Mcânica MODELO DE DOIS LIDOS DE LT ORDEM R REVER ORMÇÃO DE OLDS luno: abricio Ciotti Chamma Orintadora: ngla Ourivio Nickl Introdução O transport d um ou mais fluidos nvolvndo difrnts fass m tubos stá prsnt m divrsas áras da ngnharia m spcial na indústria ptrolífra igura 1. complxidad do tma stá associada à xistência d difrnts arranjos das fass prsnts causando a ncssidad d modlagns difrnciadas para os fnômnos d transfrência intrfacial dpndndo do padrão d scoamnto [1]. ara a comprnsão dos fnômnos nvolvidos assim como nas tapas d projto d opração dos quipamntos é fundamntal a prvisão acurada do scoamnto. igura 1: Sistma d produção d ptrólo m águas profundas. ont: trobras igura 2 aprsnta os principais tipos d padrõs para scoamntos gás-líquido para tubulaçõs na horizontal vrtical: bolhas disprsas stratificado bolhas alongadas golfada anular. Escoamntos horizontais aprsntam adicionalmnt o padrão stratificado. transição d um padrão para o outro é um tma ainda m discussão tórica xprimntal. Divrsos fators podm influnciar os padrõs como: a inclinação da tubulação o diâmtro as vlocidads das fass suas fraçõs mássicas. 1

2 Dpartamnto d Mcânica igura 2: Dsnho squmático d alguns dos principais padrõs d scoamnto gás-líquido na configuração horizontal vrtical [2]. Dntr os divrsos rgims d scoamnto bifásico o padrão d golfadas s dstaca ntr os padrõs obsrvados por sua frquência nas indústrias principalmnt a ptrolífra ig. 3. Est padrão é o qu rqur maior sforço m sua caractrização modlagm dvido às caractrísticas marcants da distribuição spacial ntr fass qu gra intrmitência ao scoamnto. Est scoamnto ocorr m larga faixa d vazõs d gás líquido m tubulaçõs d diâmtro médio pquno com variação priódica da dnsidad fração d vazio prssõs na sção transvrsal da tubulação. igura 3: adrão d scoamnto d golfada m uma linha submarina corrta prvisão dst tipo d scoamnto é fundamntal para o projto adquado d tubulaçõs dos rsrvatórios d sparação das fass. O dsnvolvimnto d uma frramnta numérica também é muito útil para auxiliar na opração d dutos. Est projto s insr na linha d psquisa m Escoamntos no adrão d olfadas qu vm sndo dsnvolvida plo rupo d Dinâmica dos luidos Computacional. 2

3 Dpartamnto d Mcânica Objtivos O prsnt projto consist m implmntar um algoritmo d discrtização tmporal d sgunda ordm para prvr numricamnt o scoamnto bifásico tanto no padrão stratificado como m golfadas utilizando o Modlo d Dois luidos [3]. É fita uma comparação ntr o dsmpnho da intgração d primira ordm Eulr implícito d sgunda ordm Crank- Nicholson [4]. Os rsultados das simulaçõs srão comparados com dados xprimntais disponívis na litratura com dados obtidos no Dpartamnto d Engnharia Mcânica da C-Rio. Mtodologia ara dtrminar os scoamntos no padrão stratificado no padrão d golfadas utilizou-s o Modlo d Dois luidos [3]. oi ralizada a simulação numérica d difrnts casos d scoamnto água-ar. No primiro introduziu-s uma prturbação controlada na ntrada invstigou-s o fito do passo d tmpo na taxa d amplificação das prturbaçõs. No sgundo tipo invstigou-s o scoamnto no padrão d golfadas. Nst caso após a obtnção do rgim statisticamnt prmannt as grandzas caractrísticas das golfadas são dtrminadas. Em ambos os casos utilizou-s água ar. Modlo Matmático O Modlo d Dois luidos [3] consist na solução d um conjunto d quaçõs d consrvação d massa d quantidad d movimnto linar para cada uma das fass nvolvidas assim como quaçõs d transport através das intrfacs. Considrou-s o scoamnto unidimnsional isotérmico líquido incomprssívl gás idal ao longo d uma tubulação inclinada d β com a horizontal conform ilustrado na ig. 4. igura 4: Escoamnto stratificado s quaçõs d consrvação para o Modlo d Dois luidos são obtidas através d uma média nas fass. dicionalmnt na formulação unidimnsional médias na sção transvrsal prcisam sr obtidas. Na prsnt modlagm basada nos trabalhos [1 4] as quaçõs d consrvação são obtidas considrando o scoamnto bas como stratificado ig.4. Consrvação d Massa para o ás Líquido 1 2 3

4 Dpartamnto d Mcânica Consrvação d Quantidad d Movimnto Linar para o ás Líquido: 3 4 ond L i rfrm-s à fas líquida gasosa intrfac. rprsnta a vlocidad média na sção transvrsal a fração volumétrica é a massa spcífica. rprsnta a prssão é a ára da sção transvrsal do duto = πd 2 /4 ond D é o diâmtro da tubulação é a inclinação do msmo corrspondm às coordnadas axial tmporal rspctivamnt. rprsnta a tnsão d cisalhamnto com a pard a tnsão d cisalhamnto da intrfac gás-líquido. é o prímtro molhado da fas k é o prímtro da intrfac gáslíquido h L é o nívl d líquido na sção transvrsal. aclração da gravidad é rprsntada por. Tal modlo matmático ncssita d corrlaçõs mpíricas para avaliar a transfrência d quantidad d movimnto linar τ i através das intrfacs. Como o modlo utilizado aqui é uni-dimnsional ncssita também d corrlaçõs mpíricas para avaliar as tnsõs cisalhants τ k d cada fas com a pard da tubulação. s tnsõs são avaliadas assumindo scoamnto localmnt dsnvolvido m função do fator d atrito o qual dpnd do númro d Rynolds rgim d scoamnto. ; 5 Exist uma séri d corrlaçõs xistnts na litratura para a dtrminação do fator d atrito. Como xmplo pod-s citar: Taitl Duklr 1976 Issa Kmpf 23 Issa Bonizzi 23. s corrlaçõs aprsntadas na Tabla 1 s mostraram adquadas por Nickl t al 213. Tabla 1 órmulas para o cálculo do fator d atrito. f L f f i R R L R i 21 Laminar 24 R sl Hand R Hagn oisuill 16 R Hagn oisuill R R L R i > 21 Turbulnto 262 l R sl 139 Spdding Hand R 25 Taitl Duklr R 25 i Taitl Duklr

5 Dpartamnto d Mcânica Nas quaçõs aprsntadas na Tabla 1 os númros d Rynolds dfinidos d acordo com Taitl Duklr 1976 como: R sl R R i são R sl L sl D L 6 R R i 4 S S i i 4 L S S 7 8 s dfiniçõs aprsntadas são basadas na hipóts d qu o gás scoa num canal fchado uma vz qu viaja a uma vlocidad muito maior qu a do líquido o qual por sua vz scoa como s stivss num canal abrto. Os númros d Rynolds do gás da intrfac são basados no diâmtro hidráulico do gás calculado através d sua ára d scoamnto prímtro molhado S. lém disso é a viscosidad dinâmica da fas D é o diâmtro da tubulação sl é a vlocidad suprficial do líquido dfinida como: sl L L 9 s fraçõs volumétricas d líquido gás possum a sguint rlação: 1 prssão na intrfac do líquido é rlacionada com a prssão na intrfac do lado do gás pla tnsai suprficial s raio d curvatura o qual pod sr aproximado por = 11 O líquido é incomprssívl o gás sgu a li dos gass idais 12 ond R é a constant do gás T rf é a tmpratura d rfrência. prssão do gás na intrfac é considra como constant m toda scao transvrsal logo =. Os parâmtros gométricos ncssários para o modlo são obtidos considrando o scoamnto stratificado pois é a partir dst qu o padrão d golfadas volui. sção transvrsal d um scoamnto stratificado é rprsntado na ig. 5 qu ilustra os parâmtros gométricos associados a cada fas prímtros áras da sção transvrsal d cada fas. s rlaçõs gométricas das ig. 5 são aprsntadas a sguir: [ ] 13 ; ; 14 5

6 Dpartamnto d Mcânica [ ] ; 15 ; 16 S S i γ h L L S L D igura 5: omtria para scoamntos stratificados. Método Numérico s quaçõs d consrvação 1 a 4 são discrtizadas plo método dos Volums initos [5]. Est método tm como bas a divisão do domínio computacional m volums d control m cada um dsss volums são aplicadas as lis d consrvação as quais são intgradas no spaço no tmpo garantindo assim a consrvação global d todas as grandzas qu stão sndo avaliadas. O volum d control principal é ond todas as grandzas scalars são armaznadas ig. 6a. Os pontos nodais são rprsntados por ltras maiúsculas sndo o nó principal E o vizinho lst W o vizinho ost. s facs são rprsntadas por ltras minúsculas sndo a fac lst a fac ost. Sguindo a rcomndação d atankar [5] as vlocidads são armaznadas m volums d control dslocados m rlação ao volum d control principal ig. 6b d forma qu soluçõs oscilatórias irralistas sjam vitadas. igura 6a Volum d control principal ; igura 6b Volum d control das vlocidads ma vz qu as quaçõs d consrvação não aprsntam trmos difusivos aplica-s a aproximação upind d primira ordm [5] nos fluxos obtidos após a intgração spacial. ara ralizar a intgração tmporal d uma variávl gnérica é prciso supor a variação d no intrvalo d tmpo. igura 7 ilustra os três caminhos mais usuais: Eulr 6

7 Dpartamnto d Mcânica xplícito Eulr implícito Crank-Nicholson. intgração d uma grandza gnérica tmpo pod sr rprsntada por no 17 ond o sobrscrito o indica o valor conhcido no instant d tmpo antrior. igura 7 - Caminho d intgração no Tmpo Os squmas d Eulr implícito xplícito considram uma variação m dgrau são squmas d primira ordm nquanto qu o método d Crank-Nicholson considra um prfil linar sndo d sgunda ordm d prcisão. Tabla 2 ilustra o coficint f corrspondnt a cada método. Tabla 2 Esqumas d Intgração Tmporal Esquma: f = Totalmnt Implícito 1 Crank-Nicholson 5 Totalmnt Explícito ara ilustrar os coficints das quaçõs d discrtização a intgração da quação d consrvação d massa do gás Eq. 1 é aprsntada. Intgrando a Eq.1 no volum d control scalar d volum d x ao longo do intrvalo d tmpo t d modo qu: t t t t dtdx t x t t dxdt 18 intgração da drivada tmporal s dá primiramnt no tmpo dpois no spaço; considrando qu as variávis armaznadas no ponto nodal do volum d control scalar prvalcm m todo domínio d intgração. O trmo da drivada spacial é intgrado primiro no spaço dpois no tmpo. m squma upind d intrpolação é utilizado para avaliar o valor da fração volumétrica nas facs do volum d control. Eq. 11 é aplicada para avaliar a intgração tmporal. ssim a quação discrtizada assum a forma: 7

8 Dpartamnto d Mcânica 8 1 o o f f x t 19 ond o subscrito o indica qu as variávis são rfrnts ao instant d tmpo antrior. fração volumétrica d gás avaliada nas facs do volum d control d acordo com o squma upind é dada por: E 2 W 21 Nas Eqs o símbolo b a dnota o máximo valor ntr a b. ara avaliar o valor da massa spcífica do gás nas facs do volum d control um squma upind também foi utilizado forncndo: E 22 W 23 od-s dfinir os psudo fluxos convctivos como: ; 24 Com as dfiniçõs acima a Eq. 13 é rscrita da sguint manira: 1 1 o W o E W E o f f f f x t 25 ssim o sistma d quaçõs algébricas rsultant para a fração volumétrica d gás possui a sguint forma: b a a a W W E E 26 ond os coficints são dados plas sguints xprssõs:

9 Dpartamnto d Mcânica ae a o E f ; aw f ; 27 o o 1 f ; ao 1 f ; 28 W a o o x o o o o ae aw 1 f 29 t a x aw ae f 3 t b ao o o o o o ae E aw W 31 ig. 7 mostra as dpndências dos vizinhos ao ponto nodal principal para cada um dos métodos. Os métodos d Eulr Explícito é mais barato porém pod aprsntar instabilidad numérica s o passo d tmpo não for pquno o suficint. O método d Eulr Implícito é smpr stávl ncssita da solução do sistma algébrico para dtrminar as variávis d intrss. O método d Crack-Nicholson é d sgunda ordm nvolv mais vizinhos na intgração. Também rqur solução do sistma d quaçõs. É considrado um método stávl plo ponto d vista matmático implicando qu vntuais oscilaçõs numéricas provindas d passos d tmpo não pqunos o suficint dcairão com o tmpo. a Implícito b Cranck-Nicholson c - Explícito igura 8 Dpndência dos vizinhos O código dsnvolvido por [26] utiliza o método d Eulr implícito d primira ordm contudo tndo m vista obtr uma maior prcisão nos rsultados bm como uma diminuição no tmpo d simulação computacional foi implmntado o método d Crank-Nicholson corrspondnt à intgração d sgunda ordm. cada passo d tmpo simulado o acoplamnto vlocidad-prssão é rsolvido através d um algoritmo basado no método d RIME [6]. fração d vazio é obtida da quação d consrvação d massa d gás nquanto a d vlocidad do gás do líquido são obtidas a partir da solução das rspctivas quaçõs d quantidad d movimnto. prssão é obtida indirtamnt a partir da solução da quação d consrvação d massa da mistura soma das quaçõs d consrvação d massa d cada fas. O sistma algébrico rsultant é rsolvido plo algoritmo TDM [5]. O modlo computacional utilizado consist d um programa m linguagm ortran foi 9

10 Dpartamnto d Mcânica dsnvolvido plo núclo d Dinâmica dos luidos Computacional do Dpartamnto d Engnharia Mcânica da C-Rio. oi utilizado também um programa d pós procssamnto m MTLB qu caractriza as taxas d amplificação as golfadas d acordo com difrnts parâmtros já citados. Rsultados Dois tipos d scoamnto foram avaliados. No primiro stratificado introduziu-s uma prturbação controlada na ntrada invstigou-s o fito do passo d tmpo na taxa d amplificação das prturbaçõs. No sgundo tipo invstigou-s o scoamnto no padrão d golfadas. Nst caso após a obtnção do rgim statisticamnt prmannt as grandzas caractrísticas das golfadas são dtrminadas. Em ambos os casos utilizou-s água ar. prssão atmosférica foi imposta na saída para todos os casos um par d vlocidads suprficiais sk =Q k / Q=vazão volumétrica =ára transvrsal da tubulação foi prscrito na ntrada juntamnt com a fração volumétrica do gás α g. tmpratura d rfrência do caso stratificado foi igual a K do scoamnto no padrão d golfadas foi 2818 K. Tabla 3 aprsnta os parâmtros gométricos do caso stratificado d golfada. Tabla 3 Configuraçõs da Tubulação arâmtros da tubulação Estratificado olfada Diâmtro 58 mm 24 mm Comprimnto 5 m 1 m O caso d scoamnto stratificado foi analisado para o sguint par d vlocidads suprficiais.: sl =2m/s s =1 m/s. fração d gás d quilíbrio = foi imposta na ntrada. ara dtrminar a fração d gás d quilíbrio considra-s qu as variaçõs tmporais axial do nívl d líquido são nulas. s Eq. 3 4 s simplificam para pi S isi gsn 32 x p i S S gsn β L L i i L LL 33 x Combinando as Eqs liminando o gradint d prssão obtém-s a sguint xprssão: 1 1 sn LSL S is i L L g 34 L L 1

11 Taxa d mplificação Dpartamnto d Mcânica Os valors do hold-up d quilíbrio podm sr obtidos através da Eq. 28 dados os valors para as vlocidads suprficiais d líquido gás por mio d um método itrativo qualqur uma vz qu s trata d uma quação não-linar. Invstigou-s a taxa d amplificação d prturbaçõs introduzidas na ntrada da tubulação a qual foi dfinida hl q hl 1 sin t 35 ond é a amplitud da prturbação é a frquência. amplitud imposta foi d 1% a frquência igual a =2 Hz. igura 1 ilustra a taxa d amplificação para o Caso 1 utilizando os squmas d primira sgunda ordm. Em ambos os casos utilizou-s Δx/D =5 O passao d tmpo stá rprsntado m função do adimntsional númro d Courant Co= max Δt/Δx 36 ond max é a vlocidad máxima Δx é o spaçamnto da malha. Not qu o squma d 2ª ordm praticamnt não aprsnta dpndência com o passo d tmpo qu só com um passo d tmpo 1 vzs mnor foi possívl obtr a msma solução com o método d 1ª ordm SL =2m/s ; S =1 m/s ; Δx/D=5 ; rq=2 Hz rimira Ordm Sgunda Ordm Courant igura 9 Caso 1 Estratificado O caso do scoamnto no rgim d golfada foi obtido considrando dois casos ilustrado na Tabla 4. tilizou-s uma malha com spaçamnto x/d=1 númro d Courant Co=5. fração d gás d quilíbrio foi prscrita na ntrada mas st valor não é rlvant para o scoamnto statisticamnt prmannt. Est casos foram mdidos xprimntalmnt por onsca [6]. Os rsultados para as grandzas statisticamnt prmannt da golfada corrspondnts ao comprimnto da bolha d Taylor L b vlocidad d translação da golfada s frquência obtidos para o Caso 2 scoamnto no padrão d golfadas são aprsntados na Tabla 5 Na msma tabla os dados xprimntais d onsca [6]. Obsrva-s qu mlhor concordância com os dados xprimntais foi obtida com o squma d 2a. ordm 11

12 Dpartamnto d Mcânica Tabla 4 Vlocidads suprficiais. Caso d olfadas Casos d olfada Casos s m/s sl m/s Tabla 5 Caso 2 olfadas Caso 2.1 Caso 2.2 1a Ordm 2a ordm Exprimntal 1a Ordm 2a ordm Exprimntal L B /D s Conclusão Os rsultados obtidos mostraram um mlhora significativa no mprgo do squma d intgração d sgunda ordm. Mostraram ainda qu é possívl utilizar um passo d tmpo maior d forma a obtr a solução m um tmpo mnor. Como as comparaçõs com os dados xprimntais com as corrlaçõs mpíricas forncram rsultados satisfatórios conclui-s qu o Modlo d Dois luidos é um boa frramnta para a prvisão do padrão d golfadas. Rfrências 1. Nickl.O. Carniro Chucuya R.C. zvdo J.H Initiation and Statistical volution of horizontal slug flo ith a To-luid Modl; SME J. luids Enginring. Vol. 135 pp Carniro J.N.E. 26. Simulação Numérica d Escoamntos Bifásicos no Rgim d olfadas m Tubulaçõs Horizontais Lvmnt Inclinadas. Dissrtação d Mstrado Dpt. Engnharia Mcânica C-RJ. 3. Ishii M. Hibiki T. Thrmo-fluid Dynamics of To-hs lo Springr Issa R.I.; Kmpf M.H.W. Simulation of slug flo in horizontal and narly horizontal pips ith th to-fluid modl. Intrnational Journal of Multiphas lo Volum 29 Issu Taitl Y.; Duklr. E. modl for prdiction of flo rgim transition in horizontal and nar horizontal gas-liquid flo. ich Journal Issa R.I.; Bonizzi M. On th simulation of thr-phas slug flo in narly horizontal pips using th multi-fluid modl. Intrnational Journal of Multiphas lo Volum 29 Issu 11 Novmbr atankar S.V. Numrical Hat Transfr and luid lo. Taylon & rancis Ortga. J. ; Nickl. O. Simulation of Horizontal To-has Slug los sing th To-luid Modl ith a Consrvativ and Non-Consrvativ ormulation. rocdings of Congrsso Brasiliro d Engnharia Mcânica. Ouro rto M onsca Jr R. Mdição do Campo Instantâno d Vlocidad do Líquido no Escoamnto Bifásico Intrmitnt m Tubos Horizontais Inclinados; Dissrtação d Mstrado Dpt. Eng. Mcânica