Funções vetoriais nos espaços bi e tridimensionais: uma intervenção com o software GeoGebra.

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1 Funções vetoriais nos espaços bi e tridimensionais: uma intervenção com o software GeoGebra. Roberto Seidi Imafuku 1 GD4 Educação Matemática no Ensino Superior Apresenta-se neste artigo um projeto de pesquisa de Doutorado em Educação Matemática, que tem por objetivos verificar e enriquecer as Definições de Conceito e as Imagens de Conceito evocadas de um grupo de estudantes de um Curso de Licenciatura em Matemática, sobre o objeto função vetorial. Colocam-se como questões de pesquisa Qual é a imagem de conceito evocada por estudantes ao realizar atividades envolvendo funções vetoriais? Qual é a definição de conceito de função vetorial desses estudantes? Um conjunto de atividades, num ambiente informático, com o uso do software Geogebra, enriquece a imagem de conceito de função vetorial desse grupo? Escolheu-se como fundamentação teórica as ideias de Tall e Vinner (1981) de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito, que nortearão a elaboração e a análise de dois instrumentos de pesquisa, um conjunto de questões e um conjunto de atividades. O primeiro será aplicado antes e depois da aplicação do segundo, para verificar se foi enriquecida a imagem de conceito de função vetorial, depois que os sujeitos realizarem as atividades do segundo instrumento, em duplas, acompanhadas por um observador neutro e vídeo gravadas, num ambiente informatizado, com o software GeoGebra. Palavras-chave: Ensino de Cálculo. Funções vetoriais. Imagem de Conceito. Definição de Conceito. GeoGebra. O início de nossa trajetória docente, na área de Matemática, deu-se em 1999, ano de ingresso no curso Licenciatura em Matemática da Universidade Guarulhos. Na época, já lecionava Matemática no Ensino Fundamental da Rede Pública do Estado de São Paulo. A partir de 2004, ao final da Especialização em Educação Matemática, passamos a atuar, também, como professor no nível superior, com aulas no Curso Licenciatura em Matemática, que é a formação inicial de professores, na instituição citada. Nesse curso, na disciplina Cálculo Diferencial e Integral VI, cujo conteúdo se iniciava com integrais duplas e prosseguia com integrais triplas, funções vetoriais e integrais de linha, pudemos perceber que os estudantes, assim como nós, enquanto estudante de Graduação, apresentávamos dificuldades para determinar os limites de integração em integrais definidas múltiplas. A partir de então, e nos semestres seguintes, outras turmas da mesma disciplina tiveram dificuldades parecidas. Nas disciplinas que envolvem Cálculo Diferencial e Integral (CDI) e que abordam funções de várias variáveis reais, pudemos notar que muitos alunos, mesmo aqueles que foram bem sucedidos nas funções de uma variável real, apresentam grandes dificuldades quando se 1 Universidade Anhanguera de São Paulo, robertoseidi@yahoo.com.br, orientadora: Vera Helena Giusti de Souza.

2 deparam com uma função que é definida por mais de uma variável, no que diz respeito à interpretação do significado e da representação gráfica. Com uma inquietação muito grande, de 2006 a 2008, cursamos o Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, na PUC-SP, período em que frequentamos o grupo de pesquisa Matemática no ensino superior: Didática do Cálculo e, sob orientação do Professor Doutor Benedito Antônio da Silva, desenvolvemos a pesquisa intitulada Sobre a passagem do estudo de função de uma variável real para o caso de duas variáveis, com o objetivo de verificar quais as dificuldade e saberes manifestados pelos estudantes, relativos à transição do estudo das funções de uma variável para o caso de duas variáveis, no que diz respeito às variáveis e à interdependência entre elas; ao domínio e ao gráfico; à relação entre o gráfico do domínio e o gráfico da função; e também quais manifestações dessas dificuldades são reveladas no estudo das derivadas parciais de primeira ordem. Para atingir o objetivo proposto, recorremos à Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), segundo a qual só se pode acessar um objeto matemático por meio de representações semióticas desse objeto e que são necessários ao menos dois registros para que não se confunda um objeto com suas representações. Após o término dessa pesquisa, mudamos nossa prática como professor de Cálculo e ao iniciar a introdução das funções de duas variáveis reais, passamos a oferecer uma abordagem com os Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), por meio de atividades que permitem a conversão entre os registros e constatamos, na prática, uma melhora na superação das dificuldades, por parte dos estudantes. De 2008 a 2012, assumimos as aulas da disciplina CDI em que se abordam as funções vetoriais 2 e surge uma nova e grande inquietação, agora em relação ao estudo das funções vetoriais. Destacamos essa inquietação pois, em nossa prática, a partir de observações nas aulas, nas avaliações e em conversas com os estudantes, verificamos que muitos apresentam grandes dificuldades, pois não compreendem que ao estudar as funções vetoriais estão tratando de uma função que a cada valor de um intervalo real I associa um vetor do espaço bi ou tri dimensional. E essa situação fica ainda mais complicada na análise da representação gráfica, pois não a interpretam como, por exemplo, a trajetória descrita por uma partícula ao longo do tempo (quando olhamos a variável independente 2 Neste texto, chamamos de funções vetoriais aquelas que têm como variável independente um número real e como variável dependente um vetor bi ou tridimensional.

3 como sendo o tempo), pois fazem confusão com os gráficos de funções de uma e duas variáveis, nos quais o conjunto domínio é representado no mesmo sistema de eixos que a imagem, o que, em geral, não ocorre quando trabalhamos com as funções vetoriais, pois esboçamos a imagem da função no espaço bi ou tri dimensional correspondente. Partimos em busca de pesquisas, em Educação Matemática, que abordassem as funções vetoriais para nos auxiliar, enquanto professor de Cálculo Diferencial e Integral desse tópico, mas não encontramos nenhum trabalho sobre o tema. Decidimos, então, buscar um Programa de Doutorado para desenvolver uma pesquisa sobre o ensino e a aprendizagem de funções vetoriais e optamos pelo curso oferecido pela Universidade Anhanguera de São Paulo, no qual, em 2012, cursamos duas disciplinas na condição de aluno especial e nos identificamos com a linha de pesquisa Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações. Ingressamos no Programa no 1 o semestre de 2014 e esta proposta de pesquisa é resultado desse nosso primeiro ano como aluno regularmente matriculado no Doutorado. Justificativa Como apontamos anteriormente, não encontramos, até hoje, pesquisas na área de Educação Matemática que abordam o ensino ou a aprendizagem de funções vetoriais, mas pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral vêm apontando, ao longo dos anos, que os índices de reprovação e desistência nessa disciplina são altos. Como destacamos em nossa pesquisa de Mestrado (IMAFUKU, 2008), vários pesquisadores já destacavam esses problemas. Barufi (1999, apud IMAFUKU, 2008) aponta que, no ano de 1995, os índices de aprovação nos cursos de Matemática e Estatística, oferecidos pela Universidade de São Paulo, eram baixos, nas áreas de ciências exatas, ciências humanas e ciências biológicas. Também em 1995, em seu boletm informativo nº6, a Sociedade Brasileira de Matemática- SBM, segundo Reis (2001, p. 20), destacou a necessidade de se aprofundar a discussão sobre o ensino do Cálculo. Nessa mesma direção, Dall Anese (2000) destaca os altos índices de reprovação na disciplina e diz que esse fato sinaliza para a existência de problemas no ensino e na aprendizagem. Com relação ao ensino, critica a abordagem do conteúdo por meio de aulas expositivas, em que o professor apresenta as definições, propriedades e exemplos e sugere

4 que os estudantes resolvam listas de exercícios, pensando ter dado conta de cumprir os objetivos. Com vista nos altos índices de reprovação e evasão e na necessidade de aprofundar a discussão sobre o ensino do Cálculo, como exemplificamos nos parágrafos anteriores, muitas pesquisas foram e estão sendo desenvolvidas, visando a melhoria dos processos de ensino e de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, mas em sua grande maioria abordando os conceitos de limite, de derivada e de integral ou o ensino e a aprendizagem do Cálculo de uma forma mais geral, com a abordagem por meio do uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), como exemplificamos no que segue Tall e Vinner (1981) e Cornu (1991) discutem o pensamento matemático avançado e as abordagens no ensino e na aprendizegem de limite Vinner (1983), Dall Anese (2000) e Giraldo (2004) desenvolveram pesquisas tendo como objeto de estudo a derivada Tall (1986) e Vidigal (2007) abordam, em seus trabalhos, aspectos ligados ao Teorema Fundamental do Cálculo Reis (2001) e Escher (2011) apresentam algumas possibilidades de abordagens sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo Vilarreal (1999) e Vieira (2013) destacam o uso das TIC no ensino e na aprendizagem de Cálculo. Não encontramos na literatura trabalhos que abordem o conceito de função vetorial, mas nos deparamos com vários trabalhos que utilizam as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) para o ensino de Matemática, como Richt (2005) e Martins (2009), que destacam a importância da utilização de recursos didáticos que possam motivar os estudantes na busca pelo conhecimento. Martins (2009) salienta que alunos e professores procuram novos recursos e encontram na tecnologia uma ligação entre a Matemática e a vida real no mundo atual. Enquanto professores de Matemática, o nosso contributo pode passar por tentar trazer para a sala de aula elementos motivadores, capazes de quebrar monotonias há muito instaladas e de facilitar as aprendizagens (MARTINS, 2009, p. 2727).3 3 Fizemos a adaptação do texto ao novo acordo ortográfico

5 Em relação às disciplinas que envolvem o Cálculo Diferencial e Integral, pensamos que a utilização do computador pode motivar e favorecer os processos de ensino e de aprendizagem e também que, de acordo com Villareal (1999),... o computador pode ser tanto um reorganizador quanto um suplemento nas atividades dos estudantes para aprender Matemática, dependendo da abordagem que eles desenvolvam nesse ambiente computacional. Do tipo de atividades propostas, das relações que for estabelecida com o computador, da frequência no uso e da familiaridade no uso e da familiaridade que se tenha com ele (VILLAREAL, 1999, p. 362). Com o que concordamos e ainda acrescentamos a opinião de Ponte (1995, p. 2) sobre as TIC, quando diz que elas colocam desafios irrecusáveis à atividade educativa dada a sua possibilidade de proporcionar poder ao pensamento matemático e estender o alcance e a profundidade das aplicações desta ciência. No nosso caso, pretendemos buscar a utilização das TIC, tanto como um reorganizador quanto um suplemento nas atividades que iremos desenvolver, uma vez que, como constatou Araújo (2002, p.161), a imprevisibilidade dos acontecimentos, quando se trabalha em ambientes informatizados, abre possibilidades para que investigações aconteçam. Vemos também que a escolha da TIC que será utilizada deve ser feita com muito cuidado pois, de acordo com Escher (2011), quando nos propomos a introduzir as TIC na educação, faz-se necessário pensarmos cuidadosamente sobre a escolha da tecnologia e, consequentemente, do software a ser utilizado na sala de aula, devendo também esta escolha atender e contemplar os objetivos projetados pelo professor ao mediar o processo educativo. (ESCHER, 2011, p. 30) Tendo em vista que a escolha do software a ser utilizado deve atender e possibilitar os objetivos do processo educativo, e também de nossa pesquisa, optamos pelo software GeoGebra 4, pois de acordo com Amorim e Souza(2012) além de ser livre e de fácil familiarização por parte de alunos e professores, é possível realizar testes sucessivos, o que facilita o poder de investigação pelo dinamismo. De acordo com Paranhos (2009) na aprendizagem e na resolução de problemas de Matemática é fundamental o desenho de esboços, figuras, diagramas e a construção de 4 GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter em 2001/2002 como parte de sua tese de mestrado em educação matemática e ciência da computação na Universidade de Salzburg, na Áustria. Apoiado por uma bolsa de estudos DOC da Academia Austríaca de Ciências, ele foi capaz de continuar o desenvolvimento do software como parte de seu projeto de doutorado em educação matemática (HOHENWARTER e PREINER, 2007).

6 modelos, para que se possa melhor entender conceitos e futuramente discutir os resultados obtidos com seus cálculos. Destacamos também que, no estudo das funções vetoriais, as representações gráficas são necessárias para a compreensão de seu significado e que a utilização do GeoGebra pode facilitar essa representação, pois podemos mostrar que o vetor posição depende de um parâmetro (domínio da função) que é um subconjunto de e não faz parte do sistema de eixos cartesianos onde esboçamos a imagem da função, o que na representação estática apresentada nos livros didáticos é de difícil compreensão. Decidimos desenvolver esse estudo sobre o ensino e a aprendizagem das funções vetoriais, pois além das aplicações dentro da própria Matemática, são utilizadas em outras áreas, como por exemplo: na Física, quando estuda a velocidade e a aceleração de uma partícula ao longo do tempo ou esboça trajetórias de partículas; nas Engenharias, ao estudarem os fenômenos de transporte; na Astronomia, ao analisar as órbitas e as posições dos planetas; na Computação, no desenvolvimento de jogos; mas nosso foco está na Licenciatura em Matemática, que é responsável pela formação inicial de professores de Matemática, que farão parte dos processos de ensino, de aprendizagem e de formação de futuros profissionais das áreas destacadas. Assim, tendo em vista a grande aplicabilidade e a falta de pesquisas sobre o tema funções vetoriais e determinados a utilizar as TIC em nossa abordagem, optamos por realizar, em nossa Tese de Doutorado em Educação Matemática, uma intervenção, junto a um grupo de alunos de Licenciatura em Matemática, com base nas ideias de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito de Tall e Vinner (1981), com os seguintes objetivos. Determinar a definição de conceito de função vetorial do grupo pesquisado. E verificar a existência, ou não, na imagem de conceito desses sujeitos, de que o domínio da função vetorial é um subconjunto de ; o imagem da função é determinada pela extremidade do vetor posição. E ainda se a imagem de uma função vetorial pode representar o movimento descrito por uma partícula, quando a variável independente é o tempo. Com esses objetivos, colocamos nossas questões de pesquisa. Qual é a imagem de conceito evocada por estudantes ao realizar atividades envolvendo funções vetoriais? Qual é a definição de conceito de função vetorial desses estudantes?

7 Um conjunto de atividades, num ambiente informático, com o uso do software Geogebra, enriquece a imagem de conceito de função vetorial desse grupo? No que segue, é importante colocar algumas considerações teóricas sobre as ideias de Definição de Conceito e de Imagem de Conceito de Tall e Vinner (???), que nortearam a elaboração de nossos objetivos e de nossas questões de pesquisa. Considerações Teóricas Escolhemos verificar e enriquecer a Imagem de Conceito e a Definição de Conceito evocada (TALL E VINNER, 1981??) de um grupo de sujeitos pois, a partir dessas análises, julgamos possível elaborar abordagens que possam ser utilizadas no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, para ajudar a superação de dificuldades de estudantes, no caso de funções vetoriais. Imagem de Conceito e Definição de Conceito As ideias de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito foram desenvolvidas por David Tall e Shlomo Vinner, em Segundo eles, devemos distinguir entre os conceitos matemáticos definidos formalmente e os processos cognitivos pelos quais estes são desenvolvidos (TALL; VINNER, 1981), o que significa que a abordagem de um novo conceito não deve se dar apenas por sua definição formal, mas também de forma a possibilitar o reconhecimento desse conceito em situações reais e sua utilização em contextos apropriados. Isso requer um conjunto de ideias sobre esse novo conceito, para que se possa formar o que esses pesquisadores chamam de Imagem de Conceito, que é a estrutura cognitiva total associada a um conceito, que inclui todas as imagens mentais, propriedades e processos associados. Ela é construída ao longo dos anos por meio de experiências de todos os tipos, mudando à medida que o indivíduo encontra novos estímulos e amadurece (TALL e VINNER, 1981, p. 152, tradução nossa)5. Segundo Tall e Vinner (1981), a Imagem de Conceito não precisa ser coerente o tempo todo pois, dependendo do estímulo que é dado, um indivíduo pode ativar diferentes partes da imagem de conceito, desenvolvendo-o de forma não coerente. Quando se trata de função, os alunos podem ter na Imagem de Conceito apenas aquelas que associam um número real do conjunto domínio a um número real do conjunto contra 5 the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and processes. It is built up over the years through experiences of all kinds, changing as the individual meets new stimuli and matures.

8 domínio; quando passam a trabalhar com função vetorial, que associa cada número de um intervalo real a um vetor do espaço, essa Imagem de Conceito não é suficientemente rica, o que pode dificultar a aprendizagem desse tipo de função. Este é um momento em que a Imagem de conceito original precisa ser enriquecida. De acordo com Tall e Vinner (1981), por esta razão, todos atributos mentais associados a um conceito, sejam eles conscientes ou inconscientes, devem ser incluídos na Imagem de Conceito (tradução nossa) 6. Ao nos depararmos com uma situação em que temos que resolver um problema que envolve um conceito matemático, precisamos ativar uma porção de nossa imagem de conceito associada a esse objeto matemático. A essa porção da Imagem de Conceito, Tall e Vinner (1981) chamam de Imagem de Conceito Evocada. Outro conceito importante que vamos utilizar é a Definição de Conceito e, a respeito dela, Tall e Vinner (1981) afirmam A definição de um conceito (se houver uma) é uma questão completamente diferente. Iremos considerar a definição do conceito como um conjunto de palavras usadas para especificar aquele conceito. Ela pode ser aprendida por um indivíduo de uma forma mecânica ou compreendida e relacionada com um maior ou menor grau com o conceito como um todo. (TALL e VINNER, 1981, p.152, tradução nossa) 7 Com base nessas considerações teóricas e a partir de nossos objetivos e nossas questões de pesquisa. Estruturamos nossa intervenção e descrevemos no que segue os procedimentos metodológicos que pretendemos adotar. Procedimentos Metodológicos Em nossa pesquisa de Doutorado, buscaremos: 1. determinar qual é a definição de conceito de função vetorial de um grupo de estudantes do Ensino Superior, que já estudou as funções vetoriais; 2. verificar a existência, ou não, na imagem de conceito desses sujeitos, de que o domínio da função vetorial é um subconjunto de e que a imagem da função é determinada pela extremidade do vetor posição; e se a imagem de uma função vetorial pode representar o movimento descrito por uma partícula ao longo do tempo; 3. enriquecer a Imagem de Conceito de função vetorial de cada sujeito do grupo. 6 For this reason all mental attributes associated with a concept, whether they be conscious or unconscious, should be included in the concept image 7 The definition of a concept (if it has one) is quite a different matter. We shall regard the concept definition to be a form of words used to specify that concept. It may be learnt by an individual in a rote fashion or more meaningfully learnt and related to a greater or lesser degree to the concept as a whole. (TALL; VINNER, 1981, p. 152.)

9 Para responder qual é a Definição de Conceito de funções vetoriais que os estudantes têm e qual é a Imagem de Conceito evocada por estudantes em uma atividade envolvendo tais funções, elaboraremos um conjunto de questões que nos possibilitem verificar a Definição de Conceito de cada sujeito e os construtos que destacamos no item 2 do parágrafo anterior. Após a análise das respostas dadas a esse conjunto de questões, e para enriquecer a Imagem de Conceito de função vetorial desses sujeitos (nossa questão de pesquisa 3), pretendemos elaborar um conjunto de atividades, para serem aplicadas num ambiente informático, com o tablet ou computador pessoal e com o software GeoGebra. A aplicação deverá ser em duplas, cada uma delas acompanhada por um observador neutro e, se autorizado pelos sujeitos da pesquisa, filmada, para que possamos detectar detalhes de expressão, gesto ou fala que os observadores não derem conta de descrever e a fim de minimizar as perdas para a análise dos dados gerados por essa aplicação. A análise dos protocolos, das observações e das imagens obtidas, com a aplicação dessas atividades, com base nas ideias teóricas que escolhemos, deverão dar subsídios para a última etapa de nossa pesquisa, que é procurar resposta para a terceira questão de pesquisa. Para tal, aplicaremos novamente o conjunto de questões iniciais, para verificar se nosso objetivo de enriquecer a Imagem de Conceito de cada um dos sujeitos do grupo de estudantes foi alcançado. Referências AMORIM, F.; SOUZA, G. Experiência de atividade sobre integral utilizando o experiência de atividade sobre integral utilizando o software geogeobra. In: II Congresso Internacional de Educação Cientifica e Tecnológica,2012, Santo Ângelo-RS. Disponível em: exp6.pdf ARAÚJO, J. Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: As Discussões dos Alunos. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, - Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, CORNU, B. Limits. In: TALL, D (Ed.). Advanced Mathematical Thinking, ed. Dordrecht: Kluwer, p DALL ANESE, C. Conceito de derivada: uma proposta para seu ensino e aprendizagem. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2000.

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