Fluxos de Caixa Contínuos e Discretos na Avaliação de Investimentos

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1 Fluxos de Caixa Conínuos e Discreos na Avaliação de Invesimenos Auoria: Luiz Ricardo Maos eixeira Cavalcane Resumo Invesimenos são freqüenemene avaliados com base na premissa de que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea a cada período. Os resulados obidos com base nessa premissa divergem daqueles que resulam da premissa de que os fluxos disribuem-se de forma conínua ao longo do inervalo considerado. Nese ensaio eórico, discue-se a meodologia de cálculo do valor presene de fluxos de caixa conínuos e confronam-se os resulados com aqueles obidos assumindo que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea. O valor presene dos fluxos de caixa conínuos é calculado considerando sua disribuição consane, linear e sazonal. Argumena-se que (i) os desvios observados decorrem do formao da função que descreve o comporameno dos fluxos ao longo do empo e do cuso de capial empregado para desconar os valores; (ii) não se pode, a priori, considerar um méodo superior ao ouro, uma vez que por razões operacionais, fiscais e conábeis, há circunsâncias em que o pressuposo de fluxos discreos em mais aderência à realidade do que o pressuposo de fluxos de caixa conínuos. Inrodução Decisões de invesimeno são omadas confronando-se as os fluxos de caixa incremenais associados ao projeo considerando sua magniude, disribuição emporal e risco (ROSS e al., 995). No conjuno de criérios empregados para dar supore a esse ipo de decisão, desaca-se o Valor Presene Líquido (VPL), que corresponde ao somaório dos fluxos de caixa associados ao projeo desconados a uma axa que reflee seu cuso médio ponderado de capial e que, porano, leva em cona a remuneração pela renúncia à liquidez (a axa livre de risco) e pela exposição ao risco não-diversificável. Em que pesem as conrovérsias associadas a sua rigidez (colocadas no âmbio da eoria da opções reais) e à deerminação do cuso de capial a ser uilizado para desconar os fluxos de caixa fuuros associados ao projeo, o VPL é, indiscuivelmene, o criério de omada de decisão de invesimeno reconhecidamene mais robuso. A aplicação do criério do VPL apóia-se, na grande maioria dos casos, na premissa de que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea a cada período. Com efeio, os livros-exo de finanças corporaivas (ROSS e al., 995; BRIGHAM; HOUSON, ; DAMODARAN, 998; GIMAN, 997) praicamene não consideram a premissa de que os fluxos podem disribuir-se de forma conínua ao longo do inervalo considerado. Nese ensaio eórico, discue-se a meodologia de cálculo do valor presene de fluxos de caixa conínuos e confronam-se os resulados com aqueles obidos assumindo que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea. O rabalho esá esruurado em mais quaro seções além desa inrodução. Na Seção, apresena-se uma breve revisão dos rabalhos precedenes que lidaram com a disribuição conínua dos fluxos de caixa. Em seguida, na erceira seção, apresena-se a modelagem empregada nese rabalho considerando sua disribuição consane, linear e sazonal dos fluxos de caixa. Os resulados obidos são enão confronados com aqueles obidos

2 assumindo que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea na Seção. Finalmene, na Seção 5, apresenam-se as considerações finais do ensaio. Revisão bibliográfica Há relaivamene poucos rabalhos que buscam avaliar invesimenos assumindo uma disribuição conínua de fluxos de caixa ao longo do empo. Com efeio, os livros-exo de finanças corporaivas (como aqueles ciados na inrodução dese rabalho), seja por uma quesão puramene didáica (a compreensão do méodo para fluxos discreos é seguramene mais simples), seja em virude de um pressuposo de que a premissa de fluxos de caixa concenrados no final de cada período levaria a resulados mais conservadores, considera, sisemaicamene, que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea a cada período. Por ouro lado, discussões mais específicas (como, por exemplo, aquelas sobre opções reais) endem a adoar a premissa da disribuição conínua dos fluxos de caixa, embora não discuam as implicações dessa opção em relação àquela mais freqüenemene adoada (DIXI; PINDYCK, 99; RIGEORGIS, 996). Discussões específicas sobre as implicações do uso das diferenes premissas são relaivamene escassas. Ismail (99, apud ISMAIL; CLINE, 5) propõe um refinameno das écnicas de fluxo de caixa desconado. De acordo com Ismail e Cline (5, p. ), o rabalho simplifies he calculaion of N/IRR models based on coninuous discouning facors by deriving a formula based on implici differeniaion. raa-se, na verdade, de uma exensa revisão de rabalhos aneriores que empregaram a hipóese de fluxos de caixa conínuos. Uma sínese dessa revisão é apresenada por Ismail e Cline (5, p. ). Pogue (), desprezando rabalhos precedenes sobre o ema, argumena incisivamene em favor da superioridade do pressuposo de fluxos de caixa conínuos e propõe-se a superar a fraqueza dos méodos indicados nos livros-exo de finanças propondo uma fórmula geral e uma abela para faores de descono conínuos e discreos. Esse auor foi duramene criicado por Ismail e Cline (5), que argumenam que o méodo proposo por Pogue () não apenas não é inédio como ambém é apenas um caso específico de um conjuno de possibilidades de cálculo de valores presenes de caixa com base na premissa de fluxos de caixa conínuos. Além disso, Ismail e Cline (5) não julgam que um méodo seria, necessariamene, superior ao ouro, mas sugerem que decisões incorreas podem resular do uso inadequado dos méodos de descono. Embora denso e abrangene, o rabalho de Ismail e Cline (5) usa apenas uma forma funcional para a disribuição dos fluxos de caixa ao longo do empo (fluxos consanes) e não discue as circunsâncias em que o uso de um méodo seria preferível ao de ouro. Quesões dessa naureza permeiam as seções seguines dese rabalho. Modelagem e cálculos De uma forma geral, invesimenos são freqüenemene avaliados com base na premissa de que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea a cada período. A hipóese subjacene a essa premissa é que os fluxos de caixa associados a cada período discreo esariam concenrados em um momeno único correspondene ao final do período. Usualmene, assume-se que o fluxo de caixa ao final do período resularia da soma algébrica de odos os fluxos de caixa que ocorressem durane o período (iso é, no inervalo enre e ). Nesse caso,

3 CF CF i i () Essa hipóese pode ser relaxada assumindo-se que os fluxos de caixa CF() disribuem-se de forma conínua ao longo da duração do invesimeno. A função descreve, a cada insane, o fluxo de caixa insanâneo que seria observado ao longo de um período compleo (o fluxo anualizado, se a segmenação dos períodos for anual, por exemplo). Isso quer dizer que o fluxo acumulado ao final de um período corresponde ao valor médio de CF() no inervalo. Assumindo que os fluxos são desconados a uma axa r() capializada coninuamene no empo, o valor presene dos fluxos é dado pela inegral definida indicada abaixo: CF( ) [ + r( )] () Se, adicionalmene, admie-se que a axa r() é uma consane r, a Equação pode ser reescria da seguine forma: ( + r) ln( + r) CF ( ) ( + r) e ( + r) ln e e k ln( + r) e CF ( ) () onde k ln( + r) () O resulado da inegral definida indicada na Equação dependerá, evidenemene, do formao assumido pela função CF(). No presene ensaio eórico, selecionaram-se os seguines formaos: a) CF() a, onde a é consane. Nesse caso assume-se simplesmene que os fluxos de caixa são consanes no empo; b) CF() a + a, onde a e a são consanes. CF() é, porano, uma função linear de. raa-se de uma exensão do primeiro formao, uma vez que se a, CF() é consane no empo; e c) CF() a + a sin[a ( + a )], onde a, a, a e a são consanes. Esse formao reflee um padrão sazonal de disribuição de fluxos de caixa.

4 Graficamene, os formaos que podem ser assumidos por CF() esão indicados na Figura. CF() a CF() Sazonal (seno) Sazonal (co-seno) a a a consane a a Figura : Formaos da função CF() Convém observar que os coeficienes êm, em cada caso, um significado práico: no caso de fluxos consanes, a é a geração de caixa por período; para fluxos de caixa lineares, a e a são os coeficienes linear e angular da função. Nauralmene, se a >, os fluxos são ascendenes, se a < os fluxos são descendenes e se a os fluxos são consanes. Finalmene, no caso dos fluxos sazonais, a é o paamar em orno do qual oscilam os valores, a é a ampliude da oscilação, a convere os valores em radianos e a é a defasagem a conar do pono inicial de uma função seno; se a, por exemplo, raa-se de uma função cujo valor é a em ; se a,5, a curva é deslocada em meio período, passando a assemelhar-se a uma função co-seno. Nas subseções seguines, a inegral indicada na Equação é resolvida algebricamene para os rês formaos indicados.. Fluxos de caixa consanes Assumindo que CF() a, onde a é consane, a Equação assume o seguine formao: e a (5) O resulado dessa inegral é dado pela Equação 6 abaixo (ver SPIEGEL, 97, p. 85, eq..59) : a e (6) a e. Fluxos de caixa lineares Assumindo, agora, que os fluxos de caixa apresenam uma endência de crescimeno linear no período, iso é, que CF() a + a, onde a e a são consanes, o valor de pode ser obido aravés da seguine expressão:

5 e ( a + a (7) ) A inegral indicada na Equação 9 pode ser segmenada em duas parcelas: e a + + e a (8) A parcela à esquerda ( ) pode ser obida conforme os procedimenos adoados na Subseção.. Assim, a e a e (9) Já a parcela à direia ( ) é dada por: e a a e () O resulado dessa inegral é dado pela Equação abaixo (ver SPIEGEL, 97, p. 85, eq..5): () a e ae Subsiuindo agora as Equações 9 e na Equação 8, obém-se a e a e () a e ae k k. Fluxos sazonais Nesse caso, assume-se que CF() a + a sin[a ( + a )], onde a, a, a e a são consanes. Assim, { a + a a ( a } + e sin[ )] () A inegral indicada na Equação pode ser segmenada em duas parcelas: 5

6 e + a a( + + a sin[ a)] e () Novamene, pode ser obido conforme os procedimenos adoados na Subseção., correspondendo ao indicado pela Equação 9. Já a inegração para ober requer o raameno algébrico indicado a seguir: a sin[ a ( + a cos( a a ) ce d sin( a a ) ce d sin[ a ( + a sin[ a ( + a a sin n[ a( + a)] e a d sin( a) e a d sin( a ) e + a d cos( a ) e )] sin( a + a a )] d )] e sin( a ) + d ) sin( a )cos( a a cos( a ) ) + cos( a )sin( a a ) + a d cos( a ) e (5) Os resulados da inegração das duas parcelas do lado direio da Equação 5 são indicados na Equação 6 abaixo (ver SPIEGEL, 97, p. 85, eq..58 e.59): ad sin( a) e + ad cos( a) e ad [ k sin( a ) a cos( a)] + a d k + a [ k cos( a) a k + a sin( a )] (6) Subsiuindo agora as Equações 9 e 6 e as definições de d e d na Equação, vem: 6

7 ae ae + + a cos( a a a sin( a a + a sin( a a a cos( a a ) ) ) ) Implicações [ k sin( a) a k + a [ k cos( a) a k + a [ k sin( a) a k + a [ k cos( a) a k + a cos( a)] + sin( a)] cos( a)] + sin( a)] (7) Os resulados obidos acima, embora aparenemene áridos, êm um conjuno de implicações práicas para a análise de projeos de invesimenos. A primeira observação é que a premissa de que fluxos de caixa uniformemene disribuídos de forma conínua êm um valor presene cons maior do que aquele que seria obido ao se assumir sua disribuição discrea disc. Por exemplo, assumindo CF() $, e r %, o valor presene obido no inervalo enre e é dado por cons : cons cons ae e,, x ae, e, x 95, 8 Esse valor siua-se enre o fluxo acumulado ao final do primeiro período ($,) e o valor desconado se se considerasse a disribuição discrea dos fluxos disc, que corresponde a $9,9 (ou $/,). Esses resulados, assim como os demais mencionados nesa seção, esão indicados na abela adiane. A diferença (da ordem de 5%) é ascendene com as axas de descono. Com efeio, para r % a diferença percenual enre os dois valores chega a quase 9%. Nesse caso, é evidene que assumir que os fluxos concenram-se no final do período pode levar um projeo viável (iso é, com VPL > ) a ser rejeiado. Uma solução parcial para a disorção provocada em decorrência do uso de fluxos discreos poderia envolver a consideração dos fluxos no prazo médio do período, no lugar da sua usual 7

8 represenação ao final do período. Para o exemplo anerior, o valor presene discreo do fluxo represenado no meio do período corresponde a $95,5 (ou $/,,5 ), o que resula em valor muio próximo àquele obido mediane a consideração de fluxos conínuos ($95,8). No caso de fluxos de caixa lineares, a magniude dos desvios enre cons e disc depende da rajeória ascendene ou descendene dos fluxos no empo. Assim, assumindo que os fluxos anualizados enre e passam de $5, para $5, (o que indica que os fluxos acumulados no final do período alcançariam $,), o desvio enre cons e disc seria um pouco menor do que %. Conudo, o mesmo fluxo oal de $, resulane de uma rajeória descendene dos fluxos anualizados (passando de $ 5, para $5,, por exemplo ) levaria a um desvio superior a 5%. A conclusão é convergene com o bom senso: no primeiro caso, os maiores fluxos esão mais próximos do final do período, e o erro comeido ao se assumir que odos eles ocorrem nesse momeno é menor do que aquele que se observa quando os fluxos maiores esão mais próximos do início do período. Mais uma vez, o cuso de capial influencia foremene os resulados: ao se considerar r %, os erros, nos dois casos indicados, passam para cerca de 7% e %, respecivamene (abela ). Finalmene, no caso de fluxos sazonais, persise a consaação de que se os fluxos maiores esão mais próximos do final do período, os desvios enre cons e disc são menores do que aqueles observados quando os fluxos esão mais próximos do início do período. Numericamene, pode-se assumir, por exemplo, fluxos anualizados oscilando em orno de $, e com ampliude de $5, (iso é, que variam enre $5, e $5, ao longo do período). Se enre e a função assemelha-se a uma função seno (iso é, o pico dos fluxos ocorre no início do período), o erro comeido é da ordem de 5%; se, alernaivamene, a função em uma defasagem de meio período (assemelhando-se, porano, a uma função co-seno indicada na Figura ), o desvio cai para menos de % (abela ). abela : Desvios enre cons e disc r % r % Consane Linear Linear Sazonal (coseno) Sazonal (seno) ascendene descendene cons 95,8 9,6 96, 96, 9,66 disc 9,9 9,9 9,9 9,9 9,9 Desvio,69%,9% 5,% 5,%,96% cons 9, 9, 9,8 9,7 9,9 disc 8, 8, 8, 8, 8, Desvio 8,8% 7,%,%,% 7,5% 5 Considerações finais Duas conclusões se ornam evidenes a parir da análise dos desvios obidos na seção anerior: a) Pode haver diferenças significaivas enre os resulados obidos com base na premissa de que os fluxos de caixa ocorrem de forma discrea a cada período e aqueles obidos com base na premissa de que os fluxos disribuem-se de forma conínua ao longo do inervalo considerado. Os desvios observados podem facilmene superar 5%; 8

9 b) Os desvios são ascendenes com as axas de descono uilizadas, sugerindo que projeos com maiores níveis de risco são paricularmene sensíveis à escolha do méodo adequado de descono de seus fluxos de caixa. À pare as discussões sobre a aderência dos modelos à realidade de projeos específicos, não se deve perder de visa, ainda, que os modelos obidos na Seção e ouros que possam de resular de formaos alernaivos para CF() são analíicos, conínuos e deriváveis (oposamene aos modelos que pressupõem fluxos de caixa discreos), sendo mais adequados para aplicações com opções reais e modelos eóricos. Na verdade, nesses casos, a adoção da premissa de fluxos conínuos pode represenar uma simplificação dos procedimenos maemáicos, uma vez que funções desconínuas por não serem sempre deriváveis razem dificuldades adicionais para a modelagem maemáica de deerminados sisemas. Essa é uma das razões pelas quais auores como Dixi e Pindyck (99) e rigeorgis (996) freqüenemene apóiam-se na premissa de que os fluxos de caixa disribuem-se de forma conínua ao longo do empo. Diane dessas conclusões, resa discuir as razões que moivam a práica disseminada de desconar os fluxos de caixa assumindo que sua ocorrência concenra-se no final de cada período. É claro que uma possível razão é de naureza didáica e decorre da facilidade de cálculo dos fluxos discreos em oposição aos modelos mais complexos para fluxos conínuos. Isso, enreano, não parece jusificar o uso dos procedimenos simplificados, especialmene se se leva em cona que não há impedimenos para o uso de sofwares para os cálculos mais complexos. Oura possível explicação seria o fao de que a premissa de fluxos concenrados no final de período seria mais conservadora, iso é, enderia a reduzir o valor presene dos fluxos fuuros a serem confronados com o invesimeno inicial, ornando mais parcimonioso o processo de decisão de invesimeno. Essa explicação singela, enreano, não enconra amparo quando se em em mene os esforços que vêm sendo feios para ornar mais precisos e aderenes à realidade os modelos de omada de decisão de invesimeno. Esforços para a deerminação mais precisa do cuso de capial, por exemplo, poderiam ser irrelevanes diane de erros deliberadamene comeidos ao se desconarem os fluxos de caixa. Conudo, não se deve perder de visa que a premissa de que os fluxos de caixa concenram-se no final de cada período pode ser mais aderene à realidade do que aquela que pressupõem sua disribuição conínua no empo. Com efeio, é razoável supor que empresas cuja produção ou consumo se dá evidenemene em unidades discreas (como esaleiros e fabricanes de aviões, por exemplo) enham disribuição de fluxos de caixa decorrenes de conraos que pressupõem pagamenos em momenos deerminados e desconínuos. Além disso, aspecos de naureza fiscal e conábil a apuração de lucros e o pagameno de imposos, por exemplo causam inflexões nos fluxos de caixa. Dessa forma, por razões operacionais, fiscais e conábeis, há circunsâncias em que o pressuposo de fluxos discreos em mais aderência à realidade do que o pressuposo de fluxos de caixa conínuos, sendo preciso, porano, dedicar uma especial aenção a seu padrão de disribuição de modo a eviar que decisões incorreas decorram do uso inadequado do méodo de descono. 9

10 Referências BRIGHAM, Eugene F.; HOUSON, Joel F. Fundamenals of financial managemen. h ed. Mason (OH): homson Souh-Wesern,. DAMODARAN, Aswah. Applied corporae finance: a user manual. New York: John Wiley & Sons, 998. DIXI, A. K.; PINDYCK, R.S. Invesmens under uncerainy. New Jersey: Princeon Universiy Press, 99. GIMAN, Lawrence J. Princípios de adminisração financeira. São Paulo: Harbra, 7º ed., 997. ISMAIL, ariq; CLINE, Melinda. Invesmen appraisal under condiions of coninuous and discree cash flow and discouning. Managerial Audiing Journal, v., n., p. -5, 5. POGUE, Michael. Invesmen appraisal: a new approach. Managerial Audiing Journal, v. 9, n., p ,. ROSS, Sephen A.; WESERFIELD, Randolph W.; JAFFE, Jeffrey F. Adminisração financeira. São Paulo: Alas, º ed., 995. SPIEGEL, Murray R. Manual de formulas e abelas maemáicas. São Paulo: McGraw-Hill, 97. RIGEORGIS, Lenos. Real Opions: managerial flexibiliy and sraegy in resource allocaion. Cambridge: he MI Press, 996. Opou-se aqui por maner o resulado da inegral indefinida conforme indicado na Equação 6. Enreano, rearranjando-se os ermos da Equação 6 e subsiuindo k por ln( + r), obém-se: e a k k k e e a a k ln( + r) a ' ln( + b) ( + b) ln(+ r) Verifica-se, enão, que no caso de fluxos de caixa lineares no empo os valores presenes que seriam obidos ao se assumir a premissa de fluxos de caixa discreos a são inferiores àqueles obidos assumindo fluxos de caixa ( + b) uniformemene disribuídos ao longo do período, uma vez que o faor é sempre um número posiivo para ln( + b) r >. Nesse caso, há, porano, convergência enre o resulado obido e a percepção de que a premissa de fluxos de

11 caixa discreos seria mais conservaiva (iso é, enderia a minimizar os valores presenes dos fluxos fuuros), uma vez que fluxos mais próximos da daa presene esariam sendo desconados como se ocorressem apenas ao final de cada período. A esse respeio ver Ismail e Cline (5). Nesses casos, as funções seriam CF() 5, +, e CF() 5,,, respecivamene. Cabe regisrar que o desenvolvimeno de um modelo eórico para a análise de viabilidade de invesimenos em confiabilidade foi a moivação original para o presene ensaio eórico.