PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (SI)

Transcrição

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Prof. Hélio Radke Bittencourt PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (SI) 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 1.1 Conjuntos de dados. População e Amostra 1.2 Tipos de variáveis 1.3 Escalas de mensuração 1.4 Estatística descritiva e inferencial 2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas 2.2 Análise gráfica 2.3 Medidas de Tendência Central 2.4 Separatrizes 2.5 Medidas de Variabilidade 3. PROBABILIDADE 3.1 Conceitos básicos e a Distribuição Normal 4. AMOSTRAGEM 4.1 Conceitos básicos 4.2 Principais técnicas de amostragem probabilística 5. DISTRIBUIÇOES AMOSTRAIS E ESTIMAÇÃO 5.1 Parâmetros e Estimadores 5.2 Distribuição amostral da média 5.3 Estimação por ponto 5.4 Estimação por intervalos de confiança 6. TESTES DE HIPÓTESES 6.1 Teste t de Student para uma média 6.2 Testes t de Student - duas amostras independentes 6.3 Análise de Variância (ANOVA) 7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 7.1 Coeficiente de correlação de Pearson 7.2 Regressão Linear Simples

2 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 2 Cap. 1. CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 1.1 Conjunto de dados. População e amostra A Estatística pode ser definida como o conjunto de ferramentas para coleta, organização, análise e interpretação de dados experimentais. O objeto de estudo em Estatística é um conjunto de dados que pode constituir uma população ou uma amostra. População é um conjunto finito ou infinito de elementos. Amostra é um subconjunto da população. Geralmente buscamos amostras representativas. Uma amostra representativa é aquela que mantém as características da população. 1.2 Tipos de Variáveis Em estatística não trabalhamos diretamente com os elementos que formam o conjunto de dados, mas sim com suas características. Variáveis são características dos elementos que formam o conjunto de dados. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas: as variáveis qualitativas expressam uma classificação em categorias e, por isso, também são chamadas de categóricas. As variáveis quantitativas expressam quantidades numéricas e se dividem em discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas determinados valores num dado conjunto enumerável, enquanto as variáveis contínuas podem assumir, ao menos teoricamente, qualquer valor num dado intervalo numérico. Exemplo Listar variáveis qualitativas e quantitativas para um automóvel Na prática todas as variáveis são discretas, devido à limitação dos instrumentos de mensuração.

3 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Escalas de Mensuração As variáveis ainda podem ser classificadas de acordo com o nível ou escala de mensuração: Nominal, Ordinal ou Intervalar/Razão. O nível nominal de mensuração é caracterizado por números que apenas diferenciam ou rotulam as categorias. Exemplos: Sexo (1-M, 2-F), Estado Civil, Naturalidade, Curso. O nível ordinal de mensuração envolve números que, além de diferenciar, hierarquizam as categorias. Também são chamadas de escalas Likert em homenagem ao americano Rensis Likert que publicou o artigo "A Technique for the measurement of attitudes" em 1932, onde sugeriu escalas de 5 pontos com uma categoria neutra ao centro. Exemplos: Nível de satisfação, Nível de concordância, Escala de Avaliação, Níveis de solubilidade. O nível intervalar ou de razão apresenta números que expressam diretamente uma quantidade seguindo uma métrica. Podemos tranqüilamente realizar operações matemáticas com variáveis deste tipo. Exemplos: Temperatura, tamanho de objetos, pesos, contagens. Figura Resumo dos tipos de variáveis e escalas de mensuração

4 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Estatística Descritiva e Inferencial A estatística é um conjunto de ferramentas utilizadas para a coleta, tabulação, análise e interpretação de um conjunto de dados experimentais. A Estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: Descritiva e Inferencial. A estatística descritiva é aquela que costumamos encontrar com maior freqüência em jornais, revistas, relatórios, etc. Essa parte da estatística utiliza números para descrever fatos. Seu foco é a representação gráfica e o resumo e organização de um conjunto de dados, com a finalidade de simplificar informações. Nessa categoria se enquadram as médias salariais, taxas de inflação, índice de desemprego, etc. A estatística inferencial consiste na obtenção de resultados que possam ser projetados para toda população a partir de uma amostra da mesma. Ela fundamenta-se na teoria da amostragem e no cálculo de Probabilidades. Essa é a área mais importante da Estatística. Figura - Esquema geral de um curso de Estatística Estatística Descritiva Inferencial Probabilidade Amostragem

5 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 5 Cap. 2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 2.1 Tabelas de freqüência simples e cruzadas Vamos introduzir o tema de tabelas de freqüência simples construindo tabelas para o banco de dados a seguir: Exemplo 1 Banco de dados coletado em sala de aula sobre INTERNET Tipo de acesso Qualidade acesso 1 discada Número de Tempo diário Internet 2 ADSL, telefone contas de (frente do computador 1- Péssimo; 2- Ruim; 3 Regular; 3 ADSL, tv cabo ativas conectado) 4 Muito Bom; 5 - Ótimo. 4 Rádio 5 Outro Criar uma tabela de freqüências para cada uma das variáveis. Tabelas de freqüência são encontradas em jornais informativos (Zero Hora, Correio do Povo, etc.), relatórios técnicos, monografias, dissertações, teses e revistas científicas. As tabelas de freqüência simples apresentam de forma concisa o número de ocorrências (absoluta e relativa) dos valores de uma variável. Uma tabela de freqüência genérica tem a seguinte configuração: Tabela 1 Tabela de freqüências genérica i x i f i fr i 1 x 1 f 1 fr 1 2 x 2 f 2 fr 2 M M M M k x k f k fr k Σ n 100,0%

6 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 6 A notação utilizada é a seguinte: X é uma variável qualquer x é um particular valor da variável X i é um índice útil para enunciar as expressões matemáticas k é o número de linhas da tabela Os componentes da tabela de freqüências são: Freqüência absoluta (f i ): número de ocorrências do valor x i. Freqüência relativa (fr i ): percentual de ocorrências do valor x i Freqüência absoluta acumulada (F i ): número de ocorrências até o valor x i. Freqüência relativa acumulada (Fr i ): percentual de ocorrências até o valor x i As Tabelas cruzadas apresentam a distribuição de freqüências de duas variáveis simultaneamente. As tabelas cruzadas são abundantes em jornais e revistas especializadas. Exemplo 2 Curso Tabela Cruzada 2X2 Preencher a tabela abaixo com os dados da turma. Calcule os percentuais em relação aos totais das linhas. Tabela 2 Distribuição da turma por gênero e Gênero Masculino Totais Feminino Totais

7 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Análise Gráfica O tipo de gráfico adequado para cada variável depende do tipo de variável. Segue uma relação de exemplos de variáveis e tipos de gráficos adequados. Variável Qualitativa Nominal (com poucas categorias) GRÁFICO DE SETORES (Pizza ou Torta) Figura Distribuição da turma por sexo Masculino 40% Feminino 60% Base: 50 alunos de uma turma Fonte: dados coletados em aula (numa turma, obviamente, não de SI) Variável Qualitativa Nominal (com muitas categorias): GRÁFICO DE BARRAS Figura Principais causas de morte - EUA Cigarro Obesidade 28,3% 37,7% Ãlcool Doenças infecciosas Armas de fogo Doenças venéreas Acidente de carro Drogas Outras 9,4% 8,5% 3,3% 2,8% 2,4% 1,9% 5,7% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Base:??? Fonte: TE Estatísticas, ano não declarado

8 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 8 Variável Qualitativa Ordinal: GRÁFICO DE BARRAS Figura Avaliação do atendimento da equipe de um call-center Ótimo 25% Muito Bom 35% Avaliação Bom Regular 8% 20% Ruim 5% Péssimo 2% 0% 10% 20% 30% 40% % Base: 100 usuários Fonte: Dados fictícios. Variável Quantitativa Discreta GRÁFICO DE COLUNAS Figura Número de pessoas por domicílio 100,0% 80,0% 60,0% 40,0% 20,0% 0,0% 7,5% 20,0% 35,0% 25,0% 12,5% Número de pessoas por domicílio Base: 40 domicílios Fonte: Dados coletados numa turma de Estatística

9 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 9 Variável Quantitativa Contínua HISTOGRAMA Figura Distribuição de uma turma por altura Freqüência ,0 160,0 170,0 180,0 190,0 200,0 Altura (cm) Base: 20 observações Fonte: Alunos de uma turma de Estatística I. Gráfico construído no software SPSS.

10 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Medidas de Tendência Central São valores que trazem informação sobre a região em torno da qual os dados estão posicionados. As medidas de tendência central mais utilizadas são: Média, Mediana e Moda Média Aritmética (µ, X ) A média aritmética é definida como a soma de todas observações da variável X, dividida pelo número de elementos do conjunto de dados. Freqüentemente a média aritmética é o valor que melhor representa um conjunto de dados. Quando os dados não estão organizados na forma de uma tabela de freqüências e, portanto, estão na forma isolada, as expressões genéricas para encontrar a média são: População µ N i= = 1 N x i X Amostra n i= = 1 n x i Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências deve-se ponderar os diferentes valores x i pelas respectivas freqüências f i. Procedendo desta forma o cálculo da média aritmética torna-se mais simples e rápido. População Amostra µ k i= = 1 x i N f i X k i= = 1 x i n f i Exemplo 3 Número de contas de ativas Encontrar a média para o número de contas de por aluno na turma.

11 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Mediana (Md) A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenado em duas partes com igual número de observações. Para calcular a mediana iremos utilizar uma nova notação. Seja x[ 1], x[2], K, x[ n] um conjunto de dados ordenado (ordem crescente), onde o valor entre colchetes representa a posição no conjunto ordenado. Deduzindo a posição mediana: n ímpar n par n Fila Md n Fila Md As expressões genéricas para encontrar a média são: n ímpar n par Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências pode-se encontrar a posição mediana na coluna acumulada F i. Exemplo 4 Número de contas de ativas Encontrar a mediana para o número de contas de por aluno na turma.

12 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Moda (Mo) A moda é definida como o valor mais freqüente de um conjunto de dados. É possível que o conjunto seja bimodal (duas modas) ou até mesmo multimodal (três os mais modas). Mo = { x i } com maior f i Exemplo 5 Número de contas de ativas Encontrar a moda para o número de contas de por aluno na turma. Considerações IMPORTANTES sobre as MTC 1. A média é a MTC mais influenciada por valores extremos, entretanto é a medida mais rica, porque considera todos valores do conjunto de dados. 2. A mediana não é afetada por valores extremos. 3. A moda é a MTC mais pobre, porque considera apenas os valores mais freqüentes. 4. Existem outros tipos de média usadas em ocasiões especiais. A média harmônica é muito utilizada em concursos públicos e a geométrica pode ser usada em situações de alta variabilidade, visto que ela é mais estável. Discutiremos isto em aula. Média harmônica Média geométrica X h = n i= 1 n 1 x i X = x x K n G 1 2 x n Pode-se estabelecer a seguinte relação entre as médias: X h X G X

13 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 13 Exemplo Desempenho no Vestibular Veja os quatro candidatos a seguir e seus respectivos desempenhos no vestibular. Comente sobre a ação das médias. Tabela Desempenho de quatro alunos no vestibular Aluno A Aluno B Aluno C Aluno D Química Física Matemática Geografia História Português Média Aritmética 500,0 500,0 500,0 500,0 Média Harmônica 500,0 499,8 460,5 322,2 Média Geométrica 500,0 499,9 476,7 432,7 a) Calcular as médias Aritmética e Harmônica e conferi-las no quadro acima.

14 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Separatrizes São valores que separam o conjunto de dados ordenado em partes com igual número de observações. A Mediana é, portanto, uma separatriz porque divide o conjunto de dados em duas partes iguais. Min Máx Md Os Quartis (Q i ) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. Min Máx Os Percentis (P i ) dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais. Min Máx Exemplo 6 Boletim de Desempenho do Provão do MEC Exemplo 7 Distribuição de Renda no Rio Grande do Sul A régua de percentis a seguir apresenta a distribuição de salários para a população urbana em idade economicamente ativa no ano de R$ 238,00 R$ 400,00 R$800,00 R$ 1500, P25 P50 P75 P90

15 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Medidas de Variabilidade São medidas que complementam as MTC trazendo informação sobre a dispersão existente no conjunto de dados. Para introduzi-las vamos recorrer a um exemplo onde temos três diferentes processadores e o tempo necessário por eles para realizar uma tarefa. Exemplo 8 Entendendo as Medidas de Variabilidade Tabela Tempos de processamento (ms) Processador Processador Processador Alfa Beta Gama Média ( X ) Moda (Mo) Mediana (Md) Questões 1 O que aconteceu com as MTC na tabela acima? 2 Os três processadores são iguais em relação a distribuição das PA Sistólica? 3 O que diferencia um paciente do outro? A partir de agora aprenderemos a calcular medidas capazes de quantificar a variabilidade existente num conjunto de dados

16 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Amplitude (R, do termo Range) É a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. R = máx { x } mín{ } i x i Calcular R nos três processadores do Exemplo Variância (σ 2, s 2 ) A variância é uma medida da variação em torno da média. Por definição, variância é a média dos quadrados dos desvios em torno da média. σ População N 2 i= = 1 ( xi µ ) N 2 s 2 = Amostra n ( xi X ) i= 1 n 1 2 A variância, ao contrário da Amplitude, considera todos elementos do conjunto de dados no seu cálculo. Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de dados, maior será a variância. Quando os dados estão organizados na forma de uma tabela de freqüências, devese ponderar os quadrados dos desvios pela freqüência. Esse procedimento facilita o cálculo. 2 σ = População k ( x µ ) i=1 2 i N f i s 2 = Amostra k ( xi X ) i= 1 n 1 2 f i Calcular s 2 nos três processadores do Exemplo 8.

17 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Desvio-padrão (σ, s) O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. Essa medida corrige o problema de unidade que surge na variância. O desvio-padrão também é uma medida da variação em torno da média. σ = População 2 σ s = 2 s Amostra O desvio-padrão expressa a variação média do conjunto de dados em torno da média, para mais ou para menos. Calcular s nos três processadores do Exemplo Coeficiente de Variação (CV) O CV é a razão entre o desvio-padrão e a média de um conjunto de dados. Ele expressa a variação relativa (%) presente no conjunto de dados em relação à média. População Amostra σ CV = 100% µ s CV = 100% X Quanto maior o CV, mais heterogêneos serão os dados. Calcular o CV nos três processadores do Exemplo 8.

18 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 18 Considerações sobre as Medidas de Variabilidade (MV) 1. A Amplitude á a MV mais pobre, porque considera apenas os dois valores extremos do conjunto de dados. 2. A Variância não é interpretada na prática devido ao problema da unidade, que está ao quadrado. 3. O Desvio-padrão é a MV mais conhecida, sendo amplamente utilizada. 4. Dentre as MV estudadas, sugere-se que o CV seja utilizado para comparação da variabilidade entre diferentes conjuntos de dados. Por não ter unidade, o CV pode ser utilizado até mesmo para comparar a variabilidade entre variáveis expressas em diferentes unidades. Exemplo 9 Número de pixels corretamente classificados Suponha que numa amostra de 30 imagens de satélite de uma mesma região submetidas ao mesmo classificador, os números de pixels classificados de forma errada foram: a) Construir uma tabela de freqüências para a variável X. b) Encontrar e interpretar as MTC. c) Calcular as Medidas de Variabilidade.

19 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 19 Cap. 3 Probabilidade 3.1 Principais conceitos Probabilidade é o ramo da matemática que trata de fenômenos aleatórios. A observação de um fenômeno aleatório por parte do homem é chamada de experimento aleatório. Características de um experimento aleatório: 1ª) Não se conhece um particular valor do experimento antes dele ser executado, porém podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades; 2ª) Quando o experimento é repetido algumas vezes, os resultados ocorrem de uma forma aparentemente acidental. Mas quando o número de repetições aumenta, uma regularidade aparecerá. E esta regularidade que torna possível construir um modelo matemático útil para análise do experimento. Exemplos de fenômenos aleatórios: 1) Condições meteorológicas 2) Produção de arroz anual numa cidade 3) Resultado de uma cirurgia 4) Lançamento de uma moeda 5) Resultados de loterias Exemplos de experimentos aleatórios: E1: Jogue um dado e observe o n.º na face de cima. E2: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o número de caras obtido. E3: Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de caras e coroas obtida. E4: Uma mulher está grávida de gêmeos. O sexo dos bebês será verificado. E5: Numa propriedade com 100 árvores da espécie araucária angustifólia o número de árvores que apresentam um determinado parasita é verificado. E6: A temperatura de um paciente é verificada pela enfermeira. Nos seis exemplos anteriores não somos capazes de precisar o resultado, entretanto conseguimos listar os possíveis resultados. Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. É denotado por S ou Ω.

20 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 20 Exemplos de espaços amostrais relacionados aos experimentos anteriores. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 = S 5 = S 6 = Um evento é um subconjunto de S. Em particular, S e (conjunto vazio) são eventos; S é dito o evento certo e o evento impossível. Exemplo de eventos no lançamento de um dado S = {1,2,3,4,5,6} A: ocorre um n.º par A = {2,4,6} B: ocorre a face 6 B = {6} C: ocorre um n.º maior que 6 C = D: ocorre nº 6 ou nº par D = {2,4,6} E: ocorre nº par ou nº ímpar E = {1,2,3,4,5,6} = S É possível realizar operações com eventos que nada são do que operações com conjuntos já estudadas no Ensino Fundamental. Operações com eventos Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. 1) União: A B A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem 2) Interseção: A B A ocorre e B ocorre 3) Complementar: A c ou A não ocorre A

21 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 21 Duas definições importantes: 1) Dois eventos A e B são excludentes ou mutuamente exclusivos se a ocorrência de um impedir a ocorrência de outro. Em outras palavras, não podem ocorrer simultaneamente. 2) Eventos ou resultados equiprováveis têm a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplo Lançamento de um dado e uma moeda, ambos honestos Escreva o espaço amostral. Os resultados são todos equiprováveis? Qual a probabilidade de um particular par (x,y) ser selecionado. Assinale os seguintes eventos: Conceitos de probabilidade Conceito Axiomático Seja A um evento de S. A probabilidade de ocorrência de A, denotada por P(A), deverá satisfazer os seguintes axiomas (propriedades fundamentais): Axioma 1: 0 P(A) 1 Axioma 2: P(S) = 1 Conceito clássico Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: n( A) P ( A) = n(a) é o número de resultados favoráveis ao evento A Total( S) Total (s) é o número total de resultados em S Exemplos Conceito clássico 1) Mega-sena, Lançamento de moedas e dados honestos.

22 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 22 Conceito freqüentista Esse conceito só é válido se todos resultados de S forem equiprováveis. Para casos assim a probabilidade de ocorrência do evento A é obtida por: 1º) O experimento é repetido n vezes. 2º) Observa-se a freqüência relativa de ocorrência de um certo resultado A: n( A) f r (A) =, onde n(a) é o nº de vezes em que ocorre o resultado A em n realizações n do experimento. 3º) Probabilidade como limite. A medida que n aumenta, a fr(a) converge para a real probabilidade P(A). Exemplos Conceito freqüentista 1) Verificando se um dado é honesto. 2) Encontrando a probabilidade de ocorrência de um acidente aéreo. 3) Qual a probabilidade de uma criança nascer com Síndrome de Down? Probabilidade Condicional A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Considere que A e B são eventos de um mesmo espaço amostral S. Chamaremos de P(A B) a probabilidade de ocorrência do evento A dado que o evento B já ocorreu. Graficamente: Olhando para o desenho podemos estabelecer as seguintes relações: P(A B) = P(B A) =

23 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 23 Exemplo Escolhendo alguém na sala de aula Suponha que um aluno da turma será sorteado. Após saber o resultado o professor faz algumas perguntas utilizando probabilidade condicional. Exemplo Técnica empregada e Resultado Resultado Técnica Sucesso Fracasso Total A B C Total Resolver as seguintes probabilidades: Independência Dois eventos A e B são considerados independentes se a ocorrência de um não interfere na probabilidade de ocorrência do outro: P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B) Isolando a intersecção na expressão de probabilidade condicional obtemos: P(A B) = P(A) x P(B) Esse conceito é fundamental para aplicações em Estatística. Exemplo A probabilidade de perder dados armazenados em um pen-drive é de 5%. Se você tem 3 pen-drives

24 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 24 Exemplo Tendo certeza de uma gravidez Uma jovem suspeita que está grávida e decide comprar três diferentes testes de gravidez em farmácias. As marcas escolhidas foram A, B e C. As probabilidades dos exames indicarem falso-positivo são de 3%, 5% e 6%, respectivamente, enquanto as probabilidades de falso-negativo são de 1%, 2% e 4%, respectivamente. a) Se a jovem realmente está grávida, qual a probabilidade dos três exames confirmarem a gravidez? b) Se a jovem não estiver grávida, qual a probabilidade dela levar um susto com pelo menos um dos exame resultando positivo. Exemplo Não perder a hora O seu despertador do tipo rádio-relógio costuma deixá-lo na mão 10% das vezes por diversos motivos, entre eles a falta de luz. Para garantir, você também programa o telefone celular para despertá-lo. Sabendo que o celular pode não funcionar corretamente em 15% das vezes. a) Escreva o espaço amostral com todas possibilidades; b) Calcule a probabilidade de cada uma delas. Variáveis aleatórias discretas Distribuição Binomial O exercício acima pode ser resolvido pela Distribuição Binomial. Sempre que um experimento que assume apenas dois possíveis resultados em cada repetição for repetido n vezes e que a probabilidade de sucesso é constante em cada repetição podemos modelar o número de sucessos pela distribuição Binomial. X = número de sucessos, variando de 1 até n p = probabilidade de sucesso em cada repetição 1-p = probabilidade de fracasso em cada repetição n = número de repetições Expressão genérica da Binomial P( X x n x = x) = p (1 p) x! n! ( n x)! Exemplo - Imagine uma prova de múltipla resposta com 3 questões e 5 alternativas cada.

25 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 25 O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente encontrado. Intuitivamente, responda as perguntas a seguir: 1) Se lançarmos uma moeda honesta 100 vezes, qual o número esperado de caras? 2) Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces 5. 3) No exemplo da prole de 6 filhos, qual o número esperado de meninos? E ( X) = n p 3.3 Variáveis aleatórias contínuas Conceitos As variáveis contínuas podem, ao menos teoricamente, assumir qualquer valor num intervalo numérico. Sendo assim fica impossível representarmos variáveis contínuas da mesma forma que as variáveis discretas. Importante As variáveis contínuas são representadas por curvas, chamadas de função densidade de probabilidade, e a área sob essa função representa a probabilidade de ocorrência. Nas variáveis contínuas não existe a probabilidade de ocorrência de um valor exato, mas sim de intervalos. A função densidade de probabilidade, denotada por f x (x), é a função que indica o comportamento probabilístico da variável aleatória contínua X. A função densidade de probabilidade deverá satisfazer as seguintes condições: a) f(x) 0, para todo x R. b) Área total sob a curva deve ser igual a 1. A área sob a curva f x (x) nos informa a probabilidade de ocorrência de valores da variável X.

26 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 26 Supondo que o gráfico acima represente a função de probabilidade de uma variável aleatória X. Como sabermos a probabilidade de ocorrência de valores entre a e b? Exemplo Gerador de números pseudo-aleatórios do Excel (Distribuição Uniforme) Praticamente todas linguagens de programação contam com um gerador de números pseudo aleatórios baseados na distribuição Uniforme no Intervalo 0 até 1. a) Esboce graficamente a função densidade de probabilidade para X = número pseudoaleatório. b) Calcular a probabilidade de um número aleatório ser superior a 0,6.

27 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 27 A Distribuição Normal ou Curva de Gauss A distribuição Normal ou Gaussiana é, sem dúvida, o modelo probabilístico mais conhecido. Várias técnicas estatísticas necessitam da suposição de que os dados se distribuam normalmente para serem utilizadas. Na natureza uma grande quantidade de variáveis apresentam tal distribuição. Uma v.a.c. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ se sua função densidade de probabilidade é dada por: ( x) 2σ f = e, x R, σ 2π onde µ eσ são parâmetros, - < µ < + 2 ( x µ ) 1 2 ; σ > 0 Notação X N(µ,σ) X tem distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ. Os parâmetros da Normal são a média e o desvio-padrão, que permitem infinitas curvas normais com diferentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da f X é apresentado a seguir:

28 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 28 A distribuição Normal, independentemente dos valores dos parâmetros, apresenta sempre a seguinte relação: Entendendo os parâmetros da Normal: A média µ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação. O desvio-padrão σ informa o formato da curva. f(x) f(x) f(x) Valores de X Valores de X Valores de X Os cálculos integrais envolvendo a distribuição Normal são bastante complicados. Felizmente, veremos a seguir uma relação que facilita muito nossa vida.

29 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 29 Exemplo Aplicação prática A altura de mulheres adultas no RS segue uma distribuição Normal com média de 165cm e desvio-padrão de 6cm. a) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 159 e 171cm? b) Qual a probabilidade de uma mulher ter entre 153 e 177cm? c) Qual a probabilidade de uma mulher ter mais de 177cm? d) Qual a probabilidade de uma mulher ter menos de 180cm? Distribuição Normal-padrão ou Normal reduzida Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média µ e desvio-padrão σ. Se realizarmos a seguinte transformação obteremos uma nova variável Z com média 0 e desvio-padrão 1: X N(µ,σ) µ = X σ Z Z (0,1) Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padronizada para a Normal. A distribuição Normal padronizada (Z) é tabelada. O valor de Z indica quantos desvios acima ou abaixo nós estamos em relação à média. Exemplo Aprendendo a usar a tabela 1) Calcule: a) P(Z < 1,24) = b) P(Z < 1,67) = c) P (Z > 2,12) = d) P( -1,96 < Z < 1,96) =

30 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 30 Cap Amostragem 4.1 Conceitos Básicos Amostragem é o nome dado ao conjunto de procedimentos e técnicas para extração de elementos da população para compor a amostra. O objetivo da amostragem é obter amostras representativas das populações em estudo. Um Censo seria a investigação da população completa. Por que trabalhar por amostragem? A fração de amostragem é a razão entre o tamanho amostral e o tamanho populacional. Não existem regras fixas para tamanho de amostra, ou seja cada caso merece um cuidado especial. Frases como 20% da população é ideal, quase sempre não são verdadeiras. As técnicas de amostragem se dividem em: probabilísticas e não-probabilísticas. As técnicas probabilísticas são aquelas onde todos elementos da população têm uma probabilidade não nula de seleção. Nas técnicas não-probabilísticas não podemos garantir que todos elementos têm probabilidade de serem selecionados para a amostra. 4.2 Principais técnicas de amostragem probabilística Geralmente as técnicas probabilísticas produzem melhores resultados do que as não probabilísticas. A seleção dos elementos envolve obrigatoriamente a utilização de algum dispositivo aleatório para seleção das unidades amostrais. Exemplo de dispositivos aleatórios:

31 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Amostragem Aleatória Simples (AAS) Apesar de ser uma forma extremamente simples de seleção de elementos da população, é considerada uma das melhores técnicas de amostragem. Na AAS cada elemento da população tem igual probabilidade de seleção e o pesquisador não introduz nenhum vício no processo. Etapas: 1) Enumerar a população de 1 até N. 2) Sortear n números no intervalo de 1 até N. Caso haja números repetidos, sortear novamente mais alguns valores. Probabilidade de seleção de um elemento na AAS: Número de amostras possíveis SEM reposição: Número de amostras possíveis COM reposição: Exemplo 23 Amostra n=2 da população N=5 Verificar quantas amostras são possíveis COM e SEM reposição da população de tamanho 5 verificando também as probabilidades de seleção de cada unidade. A B C D E

32 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Amostragem Estratificada Na Amostragem estratificada a população é dividida em subpopulações ou estratos de forma que N 1 + N N K = N. Um tamanho amostral n é repartido proporcionalmente entre os estratos, respeitando as frações N i / N. Depois de estabelecidos o valor de n i, procede-se uma seleção aleatória dentro de cada estrato. Exemplo 24 Amostra estratificada na região sul Dividir proporcionalmente uma amostra de 1300 pessoas em três estratos, correspondentes aos três estados da região sul. i Estado Pop. % Amostra 1 Rio Grande do Sul Santa Catarina Paraná Total Amostragem Sistemática A amostragem sistemática inicia com o cálculo do intervalo de amostragem f=n/n. Depois, selecionamos um número entre 1 e f e vamos indo sistematicamente de f em f elementos, até o final. A amostragem sistemática é útil quando temos cadastros impressos que estão ordenados segundo algum critério que nada tem a ver com os interesses da pesquisa. Exemplo 25 Escolhendo 8 alunos de um total de 40 Planta da sala de aula

33 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 33 Cap Distribuições Amostrais e Estimação 5.1 Parâmetros e Estimadores O que é inferência estatística? Inferir consiste na retirada de informações para TODA população baseando-se numa amostra da mesma. Chamamos de parâmetros as quantidades populacionais e de estimadores as funções de dados amostrais que irão gerar as estimativas para os parâmetros populacionais. Tabela - Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores Parâmetros Média populacional µ Desvio-padrão populacional σ Proporção populacional p Estimadores Média amostral X Desvio-padrão amostral s Proporção amostral pˆ Há dois tipos de estimação de parâmetros: a estimação por ponto e por intervalo. Também existe uma outra forma de inferência estatística muito utilizada em situações práticas: os testes de hipóteses. 5.2 Distribuição Amostral da Média A base da estatística inferencial é o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. O teorema diz que se extrairmos TODAS as possíveis amostras de tamanho n de uma população de tamanho N a distribuição das médias amostrais X tende a se distribuir como uma curva Normal com média igual ao parâmetro µ e desvio-padrão σ n. Exemplo População de tamanho N = 5 Considere a seguinte população de cinco elementos e X = Idade (anos) A B C D E F a) Quais são os parâmetros populacionais? b) Quantas amostras diferentes de tamanho n=2 podemos extrair da população?

34 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 34 Exemplo Selecionando uma amostra na sala de aula Suponha que seja necessário selecionar uma amostra de n=5 alunos da turma para representar a nossa turma numa reunião na reitoria. Qual o número de amostras possíveis de serem selecionadas? Exemplo População com média 0,5 Considere uma população infinitamente grande com média µ = 0, 5. Vamos avaliar as distribuições amostrais da média amostral X com n = 30 e ,0 3,5 1,5 3,0 2,5 1,0 2,0 1,5 0,5-0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Médias amostrais 1,0 0,5-0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Médias amostrais n = 30 n = 300 Percebemos claramente que com o aumento do tamanho amostral a distribuição de X fica cada vez mais concentrada em torno do parâmetro µ. Isso quer dizer que, quanto maior amostra maior a possibilidade de acerto. RESULTADO X tem distribuição Normal com Média = µ e Desvio-padrão = n σ

35 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Estimação por ponto Visa estimar o valor do parâmetro através de estimativas pontuais (únicas). A vantagem é ser de fácil interpretação e rápida, mas a probabilidade de acerto na mosca é praticamente nula, pois os estimadores podem ser encarados como variáveis aleatórias contínuas. Exemplo World Trade Center Um mês após o ataque ao WTC de NY perguntamos a 1000 americanos, escolhidos de maneira aleatória, se estão com medo de viajar em vôos domésticos em território americano. Se 852 pessoas da amostra afirmam estar com medo, podemos estimar que 85,2% dos americanos estão com medo de viajar de avião após os ataques terroristas de 11/Set/ Estimação por intervalo de confiança Consiste em cercar o valor da estimativa pontual por uma região cuja probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro seja conhecida. NOTAÇÕES que serão utilizadas a partir de agora α (alfa) = nível de significância 1 - α = nível de confiança t = valor da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade e área 2 α à n 1; α 2 direita. α z α = valor da distribuição normal padrão com área à direita o ) Intervalo de Confiança para µ (teórico) Conhecendo o teorema do limite central podemos construir intervalos de confiança para a média populacional. Para isso basta cercarmos a estimativa pontual X por um intervalo cuja probabilidade de conter o parâmetro seja conhecida. I.C. para µ com 1-α de confiança = σ N n X ± z α N 1 2 n

36 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 36 Na fórmula de IC acima percebemos a presença de um parâmetro (σ). Se estamos procurando um intervalo de confiança para µ é porque NÃO conhecemos µ. É praticamente impossível conhecermos σ e não conhecermos µ. Por isso esse resultado acaba sendo INÚTIL na prática. 2 o ) Intervalo de Confiança para µ (prático) Ao substituirmos o parâmetro σ por seu estimador s, a distribuição amostral de X deixa de ter uma distribuição Normal e passa a ter uma distribuição t de Student. Desta forma os Intervalos de confiança podem ser utilizados em situações práticas. I.C. para µ com 1-α de confiança = X t s n N n ± α n 1, N 1 2 N n Obs: O fator de correção é omitido em caso de populações infinitas. O EXCEL N 1 simplesmente ignora esse fator de correção. Exemplo: Numa amostra de 121 ligações, o tempo médio foi de Construir um IC 95% para o verdadeiro tempo médio de uma ligação. I.C. 95% para µ = X ± t n 1, α 2 s n

37 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 37 O EXCEL constrói Intervalos de Confiança sem o fator de correção com o comando Estatísticas Descritivas que fica dentro da opção Análise de Dados no Menu Ferramentas. Para incluir essa opção deve-se ir até Ferramentas Suplementos e assinalar a opção Ferramentas de Análise. ATENÇÃO: é necessário ter o banco de dados digitado em EXCEL para fazer isso. Figura Tela do Excel: Ferramentas > Análise de dados > Estatística Descritiva Tabela - Saída do EXCEL: Tempo Média 13,041 Erro padrão 0,264 Mediana 13 Modo 13 Desvio padrão 2,908 Variância da amostra 8,457 Curtose -1,209 Assimetria 0,041 Intervalo 10 Mínimo 8 Máximo 18 Soma 1578 Contagem 121 Nível de confiança(95,0%) 0,523

38 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág o ) Intervalo de Confiança para uma proporção populacional p A estimativa pontual para uma proporção é dada diretamente pela proporção amostral. É muito útil construirmos um intervalo em torno da estimativa pontual que possua uma probabilidade conhecida de conter a verdadeira proporção populacional. I.C. para p com 1-α de confiança = ) pˆ ( 1 pˆ ) N n p ± z α n N 1 2 onde z 0, 05=1,645 (90%) z 1 96 (95%) 0, 025 =, 0, 005 =, z (99%) Obs: O fator de correção N n N 1 é omitido em caso de populações infinitas. O EXCEL NÃO faz intervalos de confiança para proporções. Exemplo Proporção de canhotos da PUCRS Numa amostra de n= alunos de uma população de N= de toda PUCRS, verificamos que são canhotos. a) Qual a estimativa pontual de canhotos? b) Construa intervalos de confiança 95% e 99% para a proporção de canhotos. Agora use o fator de correção.

39 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 39 Cap. 6 Testes de Hipóteses Os testes de hipótese constituem outra forma de inferência estatística. Hipóteses são afirmações sobre parâmetros populacionais. Agora iremos testar se essas hipóteses podem ser consideradas verdadeiras ou não. Os testes de hipótese são muito objetivos, pois o resultado final é a ACEITAÇÃO ou REJEIÇÃO da hipótese formulada. Etapas de um teste de hipóteses: 1.Formular as hipóteses 2.Definir qual o nível de significância será utilizado (alfa) 3.Verificar qual o teste adequado e calcular a estatística de teste 4.Decidir pela aceitação ou rejeição da hipótese de nulidade com base no p-value. 5.Conclusão experimental A hipótese nula (Ho) é a hipótese sob a qual a teste é realizado. Essa hipótese será ACEITA ou REJEITADA. Se os dados amostrais estiverem de acordo com a hipótese nula formulada, a estatística de teste nos levará a uma aceitação. Por outro lado, se os dados amostrais não estiverem em sintonia com a hipótese formulada, o teste nos levará a uma rejeição da hipótese nula. A hipótese alternativa (H1 ou Ha) é uma hipótese complementar a Ho. Por isso se rejeitamos Ho, conseqüentemente aceitamos H1. O nível de significância do teste (α) é definido pelo pesquisador. Ele significa a probabilidade de cometermos erro tipo I, ou seja, rejeitarmos Ho sendo a mesma verdadeira. A decisão estatística é a REJEIÇÃO ou ACEITAÇÃO de Ho. Essa decisão está sujeita aos seguintes erros: Tabela Tipos de Erros Realidade Decisão Ho Verdadeira Ho Falsa Aceito Ho OK Erro tipo II β Rejeito Ho Erro tipo I α OK O erro do tipo I ou nível de significância (α) é controlado pelo pesquisador. O erro do tipo II (β) é geralmente esquecido. Por esse motivo vamos sempre preferir uma REJEIÇÃO do que uma ACEITAÇÃO. No caso de uma REJEIÇÃO ou tomamos a decisão correta ou cometemos o erro com probabilidade α. Os valores de α mais utilizados são 5%, 1% e eventualmente 10%.

40 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 40 A conclusão experimental consiste em explicar com palavras simples o resultado de um teste de hipóteses. Os testes que iremos estudar são os mais famosos e encontrados em praticamente todos os livros de Estatística. Teste t de Student para uma média Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras independentes) Teste t de Student para comparação de duas médias (amostras emparelhadas) Teste Qui-Quadrado (para variáveis organizadas na forma de uma tabela cruzada) Teste t de Student para uma média É uma técnica que permite testarmos a hipótese de que a média populacional pode ser considerada igual a um valor de referência, digamos µ o. Apresentação das hipóteses: Ho : µ = µ Ha : µ µ o o Ho : µ = µ Ha : µ > µ o o Ho : µ = µ Ha : µ < µ o o Iremos estudar apenas os testes bilaterais, ou seja, onde as hipóteses não são direcionadas para um único sentido. As regiões de rejeição ficam nos dois lados da curva. A estatística de teste é dada por: x - µ o t = s/ n Apesar de ser um procedimento simples, o EXCEL não realiza esse tipo de teste. Já, o programa estatístico SPSS, por exemplo, faz. As regiões de rejeição e aceitação do teste t são estabelecidas pelos valores de t, conforme mostra o desenho a seguir de uma curva t com n-1 graus de liberade.

41 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 41 Os valores de t são encontrados na tabela t entregue em sala de aula. Comparando o valor da estatística de teste t calculado com os valores de t obtidos na tabela chegamos a decisão estatística e podemos enunciar a conclusão experimental. Apesar do EXCEL não fazer isso podemos utiliza-lo para calcular a média amostral e o desvio-padrão. Exercício: O INMETRO está investigando se a quantidade de Paracetamol num dado comprimido está de acordo com o valor nominal estampado no rótulo do medicamento (750mg). Numa amostra de 20 comprimidos a média encontrada foi de 738mg com um desviopadrão de 11,85mg. Teste a hipótese de que a quantidade média de paracetamol é igual ao valor nominal informado pelo fabricante.

42 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 42 Plus! Sobre o p-value O p-value, valor de p ou significância da estatística é o valor informado na saída dos softwares estatísticos. Esse número é, portanto, uma probabilidade que deve ser comparada ao nível de significância adotado. Se p-value > nível de significância adotado, então ACEITAMOS Ho. Se p-value < nível de significância adotado, então REJEITAMOS Ho. Exemplo Saída do SPSS para o exercício do Paracetamol One-Sample Statistics Paracetamol (mg) N Std. Std. Error Mean Deviation Mean , ,8544 2,6507 One-Sample Test Paracetamol (mg) Test Value = % Confidence Interval of the Sig. Mean Difference t df (2-tailed) Difference Lower Upper -4,527 19,000-12, ,5480-6,4520 Exemplo Regulando a máquina e re-inspecionando Suponha que o fabricante tenha regulado a máquina e que a média agora seja de 749mg com o mesmo desvio. One-Sample Statistics PARECT N Std. Std. Error Mean Deviation Mean , ,8544 2,6507 One-Sample Test PARECT Test Value = % Confidence Interval of the Sig. Mean Difference t df (2-tailed) Difference Lower Upper -,377 19,710-1,0000-6,5480 4,5480

43 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Teste t de Student - duas amostras independentes É uma técnica estatística que permite testarmos a hipótese de que duas médias populacionais são idênticas. É extremamente utilizada para comparação de dois grupos independentes. Apresentação das hipóteses (caso bilateral): Ho : µ Ha : µ 1 1 = µ µ 2 2 A estatística de teste tem uma forma um tanto amigável : t = s 2 1 (n 1-1) + s ( x - x ) (n 2 2 1) 1 ( n ) 1 + n2 2 n1 n2 + 1 que deve ser comparado com uma distribuição t de Student com (n1+n2-2) graus de liberdade As regiões de rejeição e aceitação seguem a mesma lógica do teste anterior. No EXCEL: Ferramentas Análise de Dados Teste t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes ATENÇÃO: Esse teste só pode ser utilizado se a variância (ou desvios-padrão) das duas populações em questão não forem muito diferentes. Exercício: Solos brasileiros são deficientes em fósforo. Numa comparação entre amostras de solo da serra gaúcha e do Valle Central do Chile, os resultados encontrados (mg/kg) foram: Resultados (xi) Média Desvio G1-Serra Gaúcha 0,6 1 0,7 1,2 1,1 1,4 1,1 1 0,9 1,00 0,24 G2-Valle Central 1,2 1,4 1,5 1,6 1,2 1,7 1,5 1,2 1,3 1,40 0,19 a) Realizar um teste t de Student para comparação entre RS e Chile ao nível de 5%.

44 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 44 Exemplo Tela e saída do EXCEL para o exemplo da Ansiedade Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes Variável 1 Variável 2 Média 1,00 1,40 Variância 0,06 0,04 Observações 9,00 9,00 Variância agrupada 0,05 Hipótese da diferença de média - gl 16,00 Stat t -3,89 P(T<=t) uni-caudal 0,001 t crítico uni-caudal 1,75 P(T<=t) bi-caudal 0,001 t crítico bi-caudal 2,12

45 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Análise de Variância (ANOVA) A Análise de Variância (ANOVA, Analysis of Variance) pode ser encarada como uma extensão do teste t de Student para comparação de três ou mais médias a partir de amostras independentes. As hipóteses da ANOVA são: Ho : µ 1 = µ 2 =... = µ p Ha : µ i µ j para algum i j Exemplo Eficiência de 3 antivirus A B C Média Desvio 3,03 3,22 2,19 a) Realizando uma Análise de Variância

46 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 46 Tela do EXCEL ANOVA Resultado da ANOVA no EXCEL Anova: fator único RESUMO Grupo Contagem Soma Média Variância A ,2 B ,4 C ,8 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valor-p F crítico Entre grupos , , , Dentro dos grupos , Total Atenção: A ANOVA não pode ser utilizada para comparar médias de grupos onde a variância é muito diferente. Existem testes de complementação para sabermos quais grupos diferem entre si. Os mais famosos são Tukey, Duncan e Scheffé.

47 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 47 Cap. 7. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 7.1 O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON O coeficiente de correlação de Peason ( R ) é uma medida que varia no intervalo de 1 até +1 que visa quantificar o grau de relacionamento linear entre variáveis quantitativas. Valores próximos de +1 indicam forte correlação direta entre as variáveis enquanto que valores próximos de 1 indicam forte correlação inversa. Valores em torno de zero indicam ausência de correlação. Não vamos nos deter no cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, mas sim no seu funcionamento. Vejamos na forma de gráficos de dispersão os possíveis tipos de correlação entre as variáveis: Vamos verificar a correlação existente entre as variáveis no arquivo exemplo a seguir: Medida padrão-ouro (X) Medida alternativa (Y) Indivíduo Média Desvio 15,81 14,35 No EXCEL podemos utilizar o comando CORREL.

48 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 48 Exemplo Correlação usando o EXCEL Exemplo Outra forma de fazer correlação usando o EXCEL Análise de dados > Correlação

49 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág Regressão Linear Simples A técnica de Regressão Linear Simples estabelece uma relação de dependência entre uma variável dependente Y e uma única variável independente X, supondo que o relacionamento seja da forma linear: Y = b o + b 1 X (clássica equação da reta) Os termos b o e b 1 são os parâmetros do modelo. Eles são estimados de forma a maximizar a habilidade preditiva do modelo, conforme será mostrado no exemplo a seguir. Exemplo Peso X Altura de indivíduos adultos

50 Probabilidade e Estatística Prof. Hélio Radke Bittencourt Pág. 50 TABELA Z Tabela: Probabilidades acumuladas associadas aos valores críticos (z) da distribuição normal reduzida z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998