COMPARAÇÃO ENTRE DUAS ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESEDE IGUALDADE DE COEFICIENTES DE REGRESSÃO 1

Transcrição

1 COMPARAÇÃO ENTRE DUAS ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESEDE IGUALDADE DE COEFICIENTES DE REGRESSÃO JOSÉ RUY PORTO DE CARVALHO RESUMO - Nst trabalho, é aprsntado o Tst da Razão d Máxima Vrossimilhança para tstar a hipóts d igualdad d coficints d rgrssão. El é comparado mdiant simulação dados xprimntais, com a statística t, usualmnt sugrida na litratura. A comparação ntr os podrs d ambos os tsts indica qu o Tst da Razão d Máxima Vrossimilhança pod sr usado como um procdimnto gral para st tipo d tst, pois aprsntou maior podr nas divrsas situaçõs xprimntais. Trmos para indxação: Tst da razão d máxima vrossimilhança, anális bivariada, parclas subdivididas, coficint d rgrssão, podr obsrvado, statística t. COMPARISON BETWEEN TWO STATISTICS TO TEST THE HYPOTHESISOF EQUALITY OF REGRESSION COEFFICIENTS ABSTRACT - In this papr, th Liklihood Ratio Tst is prsntd to tst th hypothsis of quality of rgrssion cofficints. It is compard through simulatd and xprimntal rsults with th larglly rcommndd t statistics. Thir comparison shows that th Liklihood Ratio Tst may b usd as a gnral procdur to tst this typ of hypothsis. It showd a grat obsrvd powr in th diffrnt xprimntal situations usd. Indx trms: Liklihood ratio tst, bivariat analysis, split-plot xprimnts, rgrssion cofficints, obsrvd powr, t statistics. Acito para publicação m 7 d outubro d 997. Estatístico, Ph.D., Embrapa-Cntro Nacional d Psquisa Tcnológica m Informática para a Agricultura (CNPTIA), Caixa Postal 604, Barão Graldo, CEP Campinas, SP. jruy@cnptia.mbrapa.br INTRODUÇÃO A idéia d usar culturas consorciadas data d muitos anos. Sgundo Pinchinat t al. (976), la iniciou-s com os Maias na América Cntral com os Incas na América do Sul quando ls plantaram na msma ára fijão milho. Somnt nas últimas duas décadas, dvido à importância da agricultura tropical, sta prática cultural tv sua atnção voltada do stádio ond a psquisa ra principalmnt dscritiva não muito conclusiva, para o stádio ond há uma prolifração da psquisa cintífica nvolvndo os aspctos agronômicos dst sistma as bass biológicas d sua vantagm m rlação ao sistma tradicional. Existm difrnts tipos possívis d xprimntos consorciados com duas ou mais culturas. É mais usual a utilização d duas culturas, por isso, o dsnvolvimnto s mantrá nst âmbito. Como stas duas culturas crscm juntas na msma ára, suas produçõs são, provavlmnt, corrlacionadas. Exist, na litratura, um grand númro d índics (Carvalho, 988, 996) qu tntam rduzir um problma ssncialmnt multivariado a um univariado, rduzindo, dsta manira, as informaçõs contidas nos dados originais. Assim torna-s important qu a anális statística scolhida xamin a rlação ntr as variávis mdidas nas duas culturas. Portanto, a anális bivariada (Carvalho & Mad, 990, 99a, 99b) pod sr considrada como um procdimnto comum para a anális d dados consorciados, visto qu la xamina as variaçõs d ambas as culturas ao msmo tmpo. Um dos problmas mrgnts m xprimntos dlinados m parclas subdivididas rfr-s ao fato d qu os dois nívis d variação atribuívl ao rro xprimntal gram dois difrnts coficints d rgrssão:

2 β, para as parclas, β, para as subparclas. S uma das duas variávis é considrada como variávl concomitant ou covariávl, s os dois coficints d rgrssão são dsiguais, as médias ajustadas para o fito da covariávl são calculadas usando o coficint d rgrssão das parclas para as médias dos fators dispostos nas parclas usando o coficint d rgrssão das subparclas para as médias dos fators dispostos nas subparclas. Ests ajustamntos têm sido sugridos por difrnts autors, tais como Fdrr (955) Kmpthorn (975). Quando os coficints d rgrssão são aproximadamnt iguais, somnt o coficint das subparclas é usado (Bartltt, 937; Cochran, 946; Fdrr, 955). O uso do coficint das subparclas dv-s ao fato d qu a variância dos tratamntos aplicados às parclas principais é gralmnt maior. Entrtanto, st ajustamnto duplo rsulta m dificuldads ao tabular as médias ajustadas. Difrnts tablas d médias ajustadas têm d sr construídas, para dmonstrar as comparaçõs ntr as parclas as subparclas. Isto porqu a tabla d intração das médias ajustadas aprsnta difrnts médias marginais das tablas individuais das parclas subparclas (médias ajustadas por difrnts coficints d rgrssão). S os coficints d rgrssão β β são homogênos nas parclas subparclas, cada part da anális é rsponsávl por uma part m β, o coficint d rgrssão populacional. Dsta forma, s houvss a possibilidad d combinar ambas as parts para obtr um único stimador d β, m vz d s usar o coficint d rgrssão das subparclas m toda anális, as médias ajustadas sriam stimadas com maior prcisão. O dsnvolvimnto d um único stimador do coficint d rgrssão também foi rcomndado por Cochran (946), Truitt & Smith (956) Dar & Mad (984). Carvalho (988) dsnvolvu, mdiant o Método da Máxima Vrossimilhança, o stimador do coficint d rgrssão populacional β, β 3 [gl (b b ) gl (b b )] β / gl ) [gl s (s b b s ) gl s (s b b s )] β /[s s gl ) [gl s s b gl s s b ] /[s s gl )] = 0 ond: β é obtido com a solução da quação cúbica acima; b b são os coficints d rgrssão amostrais nas parclas subparclas; são as variâncias rsiduais das duas variávis nas parclas; são as variâncias rsiduais das duas variávis nas subparclas; gl gl são os graus d librdads associados aos rros da parcla subparcla. Naqul msmo trabalho, foi dsnvolvido o tst da Razão d Máxima Vrossimilhança, para tstar a hipóts d igualdad dos coficints d rgrssão β β, ou sja: /(s β λ = {[(s b s s ( β ) /(s b β s ( β / ) )] } b / ) ))] }x{[(s b s ) / O propósito dst trabalho é comparar, por mio d dados simulados dados xprimntais, a fi-ciência da statística λ com a usualmnt sugrida pla litratura (Winr, 97; John & Qunouill, 977)., t = (b / b ) /[(s / Dxx ) (s / Exx )] para tstar a hipóts d igualdad dos coficints d rgrssão, ond D xx é a soma dos quadrados rsiduais da covariávl nas parclas E xx nas subparclas.

3 MATERIAIS E MÉTODOS Como o intrvalo d variação da razão d máxima vrossimilhança λ é d 0 a quando o tamanho da amostra crsc, a distribuição d - ln(λ), sob H 0, tnd para a distribuição d, com c graus d librdad rfrnt ao númro d parâmtros dtrminado pla hipóts d nulidad, rsultado dvido a Wilks (938) provado por Roy (957). Como pqunos valors d λ corrspondm a altos valors d - ln(λ), a rgião crítica dos tsts basados m - ln(λ) vai consistir d altos valors dsta variávl. Por isso, a rgião crítica d λ pod sr dfinida como sndo Pr [χ > - ln(λ)] = α. Assim, s o tamanho da amostra é grand qurmos tstar a hipóts H 0 = β = β = β com probabilidad do rro tipo I α = 0,05, por xmplo, somnt é ncssário calcular - ln(λ) comparar st valor calculado com χ com um grau d ;5% librdad, já qu somnt uma rstrição no spaço dos parâmtros stá prsnt. S - ln(λ) é maior do qu o nívl spcificado da distribuição d χ, a hipóts H 0 é rjitada; d outra forma, não. Foi vrificada, por mio do studo d simulação, a prcisão da distribuição d χ para a statística - ln(λ). Para tanto, foram fixadas, mdiant um programa d computador dsnvolvido m SAS Institut (988) usando o procdimnto IML (Intractiv Matrix Languag), duas matrizs d variância covariância d populaçõs bivariadas indpndnts. Estas matrizs rprsntariam as struturas d variância covariância d parclas subparclas, com valors spcíficos dos parâmtros populacionais qu são as variâncias covariância populacio-nais das parclas σσ, β das subparclas. S X= X X... Xp ond X i ~ N(0,) i=,,...,p (p sndo o númro d variávis), ntão X tm distribuição Normal Multivariada Padronizada NM(0,I p ), ond I p é a matriz d idntidad para p variávis. S A é uma matriz p x p d posto p, µ é um vtor com p linhas, ntão Y = µ AX tm distribuição Normal Multivariada NM(0,I p ) com vtor d médias µ matriz d covariância Σ = A A, ond A é uma matriz triangular infrior é obtida plo procsso d dcomposição matricial d Cholsky da matriz Σ. S considrarmos µ = 0, logo Y = AX ~NM(0, Σ). Para obtr matrizs d covariâncias amostrais indpndnts para as parclas subparclas com alguma strutura corrlacional dfinida, prcisamos grar duas variávis Normais Padronizadas indpndnts idênticas para cada amostra calcular a corrspondnt matriz d obsrvaçõs Y = AX. As matrizs amostrais x y têm distribuiçõs Bivariada Normal, isto é, x ~ BN(0,I) y ~ BN(0, Σ). Assim s = y y/gl é a stimativa amostral bivariada da matriz d covariância populacional Σ; gl são os rspctivos graus d librdad. Fixando as matrizs d covariância populacionais: MP= σ = 5 β σ β σ SP= σ = 4 σ = 5 β σ β σ σ = () ond β β variam d -0,5 até 0,5 com intrvalos d 0,. Três conjuntos d valors para os númros d graus d librdad gl = gl = 3, gl = 3 gl = 6 gl = gl = 75 foram dfinidos. Logo,.000 casos foram grados para cada situação xprimntal corrspondndo a todas as combinaçõs dos coficints d rgrssão populacionais, rfrnts a cada gl. Estas três combinaçõs d graus d librdad stas variâncias foram fixadas d tal forma a obtr uma boa rprsntatividad do qu pod ocorrr na prática. A primira combinação corrspond, m situaçõs práticas, a um xprimnto raro, com duas rptiçõs ond o fator nas parclas tm três nívis dispostos compltamnt ao acaso, o das subparclas tm dois. A sgunda combinação corrspond à situação xprimntal ond tmos dois blocos, quatro nívis do fator nas parclas, cinco nívis do fator nas subparclas. A trcira combinação corrspond a um caso com quatro blocos, cinco nívis do fator nas parclas 6 nívis nas subparclas. As variâncias foram scolhidas d forma qu xista uma rlação 3: na primira variávl, : na sgunda. A scolha d 000 casos nos prmit tr um rro padrão do stimador mnor do qu %. Foi studada a hipóts d qu assintoticamnt a distribuição d - ln(λ) sgu, sob H 0, a distribuição d χ, xaminando-s m cada situação xprimntal, os 000 valors d - ln(λ), calculados divididos m 5 classs, com intrvalos iguais. As frqüências spradas foram obtidas calculando-s as probabilidads d s obtr uma distribuição d χ nos limits d cada class multiplicando as difrnças ntr as probabilidads por 000. A statística

4 5 χ = [(obsrvado - sprado) / sprado] é calculada comparada com o valor crítico da distribuição χ com 4 gl a 5% d probabilidad ( χ 4;5% = 3,7). Est msmo procdimnto foi usado na statística t. Calculou-s o podr obsrvado dos dois tsts. O podr é dfinido como a probabilidad d rjitar H ( χ ;5 % ). 0 quandola é falsa. Isto é, o númro d casos m qu- ln(λ) > 3,84 Usando o msmo procdimnto, foi obtido o podr d t. Comparando os podrs d ambos os tsts, aqul tst qu rjitar a hipóts d nulidad m maior númro d vzs com maior podr, srá o tst scolhido. Os rsultados obtidos na comparação d - ln(λ) com t usando dados simulados foram comparados com os rsultados obtidos usando dados xprimntais, para vrificar s, usando dados d mnor prcisão, os msmos rsultados s confirmariam. Para tanto, sis conjuntos d dados provnints d xprimntos d blocos ao acaso dispostos m parclas subdivididas foram obtidos m difrnts instituiçõs d psquisa (Carvalho, 988). Dsd qu as populaçõs bivariadas d ond duas amostras bivariadas são xtraídas os coficints d rgrssão não são tão controlados como nos dados simulados, são spradas informaçõs adicionais rfrnts ao critério usado, para tstar a homognidad dos coficints d rgrssão. RESULTADOS E DISCUSSÃO A Tabla mostra os rsultados do tst d ajustamnto χ rlativos às combinaçõs d coficints d rgrssão iguais nos intrvalos dfinidos aos três conjuntos d graus d librdad acima dfinidos. Examinando-s a Tabla, somnt duas combinaçõs d coficints d rgrssão aprsntaram valors maiors do qu o valor crítico da distribuição d ( χ 4 ;5% = 3,7). Para stas combinaçõs, a afirmação d qu a distribuição d - ln(λ) sgu assintoticamnt a distribuição d foi rjitada para gl = gl = 3. Em adição a st primiro rsultado, podmos concluir pla propridad aditiva da distribuição d χ, qu a soma dos 33 valors da Tabla, cada um corrspondnt à ralização d uma variávl alatória com χ distribuição indpndnt, é uma variávl alatória com distribuição 46. Como χ = 443,55 é mnor χ do qu o valor crítico 46;5% = 5,96, pod-s concluir qu todas as hipótss d nulidad stão corrtas. Dsta forma, a hipóts d nulidad não é rjitada, isto é, não tmos razõs para suspitar qu a statística - ln(λ) não sja distribuída, sobr H 0, como com 5% d probabilidad. TABELA.Tst χ d ajustamnto para tstar a hipóts d nulidad H 0 = β = β = β com difrnts conjuntos d graus d librdad. β β χ gl = gl =3 gl = 3, gl = 6 gl =, gl =75-0,5-0,5 53,3 4,4 6,73-0,4-0,4 3,07 7,9 5,77-0,3-0,3 7,64 6,08, -0, -0, 3,0,09 6,50-0, -0, 4,43 0,75 9,64 0,0 0,0 4,83 6,7 7, 0, 0, 3,57 0,6,96 0, 0, 6,38 6,39 5,4 0,3 0,3 4,58 8,57 8,56 0,4 0,4,0 5,95 4,7 0,5 0,5 6,58 9,96 9,0 O podr obsrvado dos tsts foi calculado com rfrência a cada combinação d coficints d rgrssão, com variâncias populacionais fixadas como m () para cada conjunto d graus d librdad. Os podrs obsrvados dos tsts da Razão d Máxima Vrossimilhança t são os númros d casos m qu as {( s s ) /[(s4 /gl ) (s4 /gl)]}

5 statísticas - ln(λ) t, são, rspctivamnt, maiors do qu = 3,84 a distribuição t-studnt com graus d librdads, rspctivamnt. Ests rsultados são aprsntados nas Figs.,, 3, 4 5. A statística t rsultou, quando gl = gl = 3, m valors mnors do qu os valors críticos da distribuição t-studnt, assim não prmitiu a obtnção d sus podrs. Isto mostra a inficiência d t para pqunas amostras. A comparação visual ntr o podr obtido para o tst t nas Figs. 3 5 com o podr obtido para o tst - ln(λ) nas Figs. 4 mostra a prda d podr d t para dtctar variaçõs do coficint d rgrssão. Em ambos os tsts, quando os coficints são iguais, o podr obsrvado é a part da variação binomial, igual ao tamanho do tst, ou sja, podr = 0,05. Quando a difrnça ntr β β aumnta, o podr idal é frqüntmnt ncontrado com o tamanho da amostra. Est podr idal é obtido para - ln(λ) quando gl = 3,gl = 6, nquanto qu para t, somnt na última combinação d graus d librdad. Os podrs são similars nas rgiõs próximas à hipóts d nulidad ou quando a hipóts altrnativa é xtrma. A comparação ntr os podrs visualizou claramnt qu a statística - ln(λ) aprsnta uma probabilidad d não rjitar H 0, quando la é falsa, maior do qu t. Ests rsultados indicam qu o tst da Razão d Máxima Vrossimilhança pod sr usado como um procdimnto gral para tstar a hipóts d igualdad d coficints d rgrssão. El dmonstrou grand podr, plo mnos nas situaçõs xprimntais considradas nst studo. A Tabla aprsnta os rsultados para as statísticas - ln(λ) t para tstar s duas populaçõs bivariadas têm o msmo coficint d rgrssão para os sis conjuntos d dados scolhidos. Vrifica-s qu, para gl = gl =5, o Tst da Razão d Máxima Vrossimilhança não foi significativo quando comparado com 3,84, qu é o valor crítico para χ. Para sta situação xprimntal, não tmos razõs para rjitar a hipóts d nulidad sobr a igualdad dos coficints d rgrssão. Quanto a todas as outras situaçõs xprimntais, a hipóts d nulidad foi smpr rjitada a 5% d probabilidad, o qu dmonstra, dsta forma, o valor da statística - ln(λ) quando comparada com t. Esta não rjita a hipóts d nulidad m quatro das sis situaçõs studadas. Ests rsultados, cujos dados provnints d xprimntos são usados para comparar as statísticas - ln(λ) t, concordam com os rsultados obtidos m studo d simulação. Consqüntmnt, o Tst da Razão d Máxima Vrossimilhança pod sr usado como o mlhor critério para tstar a hipóts d nulidad sobr a igualdad d coficints d rgrssão, visto qu rsultados smlhants foram obtidos com dados xprimntais, qu são mnos controlados do qu os dados simulados. FIG..Podr obsrvado do Tst da Razão d Máxima Vrossimilhança com gl =3, gl =3.

6 TABELA.Tsts da Razão d Máxima Vrossimilhança t para tstar a hipóts d nulidad H 0 = β = β = β usando difrnts conjuntos d dados xprimntais. gl gl b b - ln(λ) t gl ,7-0,7 4,0 0, ,4 0,39 4,36, ,44 0,5 5,3, ,69-0,5 4,03, ,33-0,0,55, ,0-0,0 4,3,99 33 AGRADECIMENTOS Ao Conslho Nacional d Dsnvolvimnto Cintífico Tcnológico (CNPq), plo auxílio financiro prstado para o dsnvolvimnto dst trabalho. REFERÊNCIAS BARTLETT, M.S. Som xampls of statistical mthods of rsarch in agricultur and applid biology. Journal of th Royal Statistical Socity. v.4, p.37-69, 937. Supplmnt. CARVALHO, J.R.P. d. Bivariat analysis in intrcropping with two lvls of rror variation. Rading: Univ. of Rading, p. Ph.D. Thsis. CARVALHO, J.R.P. d. Consorciação d culturas - rvisão métodos d anális. In: SILVA, E.C. da (Ed.). Métodos quantitativos qualidad na Embrapa: com nfoqu nos pricípios da qualidad total. Brasília: Embrapa- DPD/SPI, 996. v., p CARVALHO, J.R.P. d; MEAD, R. Comparison among thr critria to tst th quality of corrlation coficints. Psquisa Agropcuária Brasilira, Brasília, v.7, n.6, p , jun. 99a. CARVALHO, J.R.P. d; MEAD, R. Estimation of th population covarianc cofficint for split-plot xprimnts. Psquisa Agropcuária Brasilira, Brasília, v.7, n.6, p , jun.99b. CARVALHO, J.R.P. d; MEAD, R. Rprsntação gráfica d dados d xprimntos d consorciação com dois nívis d variação do rro. Psquisa Agropcuária Brasilira, Brasília, v.5, n.0, p , out. 990.

7 COCHRAN, W.G. Analysis of covarianc. Raligh: Univ. of North Carolin, 946. p. (Institut of Statistics Mimographd Sris, 6). DEAR, K.B.G.; MEAD, R. Tsting assumptions and othr topics in bivariat analysis: statistics in intrcropping. Rading: Rading Univ.-Dpartmnt of Applid Statistics, p. (Tchnical Rport, ). FEDERER, W.J. Exprimntal dsign. Nw York: MacMillan, p. JOHN, J.A.; QUENOUILLE, M.H. Exprimnts: dsign and analysis. London: Charls Griffin, p. KEMPTHORNE, O. Th dsign and analysis of xprimnts. Nw York: Robrt R. Krigr Pub., p. PINCHINAT, A.M.; SORIA, J.; BAZAN, R. Multipl cropping in tropical Amrica. Journal of th Amrican Socity of Agronomy. v.7, p.5-6, 976. Spcial Publication. ROY, K.P. A Not on th asymptotic distribution of liklihood ratio. Bulltin of Calcutta Statistical Association, v.7, p.73-77, 957. SAS INSTITUTE INC. (Cary, NC). SAS/IML:usr s guid, rlas 6.03 dition. Cary, NC, p. TRUITT, J.T.; SMITH, H.F. Adjustmnt by covarianc and consqunt tsts of significanc in split-plot xprimnts. Biomtrics, v., n., p.3-39, 956. WILKS, S.S. Th larg-sampl distribution of th liklihood ratio for tsting composit hypothss. Annals of Mathmatical Statistics, v.9, p.60-6, 938. WINER, B.J. Statistical principls in xprimntal dsigns..d. Nw York: McGraw-Hill, p.