Universidade do Algarve
|
|
- Manoela Veiga Barreto
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Universidade do Algarve Campeonato de Matemática SUB /2006 Problema 4 Os sacos de batatas Temos 4 sacos de batatas e pesamos todos os pares possíveis que se podem formar com esses sacos. Depois de registarmos os pesos dos pares de sacos, ficámos com os seguintes valores (em kg): 14, 15, 17, 18, 20, 21. Sabe-se que o peso de cada saco é um número inteiro. Quanto pesa cada um dos 4 sacos de batatas?
2 RESOLUÇÃO Conhecemos o peso de cada um dos pares que se podem formar com 4 sacos de batatas: 14, 15, 17, 18, 20, 21. Sabemos ainda que o peso de qualquer um dos sacos é um número inteiro. Para encontrarmos o peso de cada um dos sacos, podemos ir fazendo experiências com números inteiros, isto é, podemos usar o método de tentativa e erro, como fizeram vários dos alunos que chegaram à solução correcta. Mas pode não ser muito prático e dar algum trabalho como revela o Maurício Ornelas da EB 2,3 Dr. Horácio Bento Gouveia (Funchal), ao afirmar que encontrou os números pretendidos, depois de várias tentativas e de vários erros! Antes de iniciarmos a pesquisa dos 4 números pedidos, interessa reflectir um pouco sobre os dados e sobre a situação descrita no problema. Por exemplo, se analisarmos os pesos dos 6 pares de sacos, verificamos que são todos diferentes. Isto leva-nos a concluir que não há sacos com pesos iguais. Porquê? Se dois sacos tivessem o mesmo peso, quando juntássemos cada um destes a um terceiro saco, teríamos dois pares com pesos iguais, o que não acontece. A partir da análise dos valores dados para os pesos dos 6 pares de sacos, podem surgir diferentes processos de chegar à solução. 1. Ordenar os pesos dos 4 sacos Vários alunos, como o Roque Rocha da EB 2,3 Dr. Francisco Cabrita (Albufeira), a Andreia de Oliveira e a Mécia Miguel, da EB 2,3 João de Deus (São Bartolomeu de Messines) e o Francisco Chaves, da EB 2,3 Dr. António Francisco Colaço (Castro Verde), pensaram que os pesos dos 4 sacos poderiam ser colocados por ordem crescente. Seguindo esse raciocínio, vamos supor que os pesos dos 4 sacos são designados por A, B, C, D e que os pesos estão ordenados por ordem crescente, ou seja: A < B < C < D Uma primeira conclusão a tirar é a de que os dois sacos mais leves (A e B) correspondem ao par mais leve: A+B=14. De modo análogo, os dois sacos mais pesados (C e D) correspondem ao par mais pesado: C+D=21. Mas, além destes dois pares, podemos ainda identificar outros. O par com o peso imediatamente superior ao do par mais leve é o que inclui o saco A (o mais leve) e o saco C (o mais leve depois de B). Portanto A+C=15. Da mesma maneira, podemos identificar o par com peso imediatamente inferior ao do par mais pesado. Só pode ser o par que inclui o saco D (o mais pesado) e o saco B (o mais pesado antes de C). Portanto, B+D=20.
3 Com estes pares encontrados, ficamos na posse de novas informações. Comparando o par A,B com o par A,C, ficamos a saber que C pesa mais 1 kg do que B. Comparando o par A,B com o par B,D, ficamos a saber que D pesa mais 6 kg do que A. Deste modo, podemos considerar os 4 sacos da seguinte forma: C D A B B+1 A+6 Resta-nos, nesta altura, identificar os pares que pesam 17 e 18 kg. Temos dois pares para estes valores: o par B,C e o par A,D. Se for B+(B+1) = 17, teremos B = 8. Então, fazendo A+(A+6) = 18, obtemos A = 6. Estes valores estão de acordo com a nossa conclusão acerca do par A,B que pesa 14 kg. Facilmente concluímos, depois, que C = 9 e D = 12. Se tivéssemos experimentado fazer B+(B+1) = 18, chegaríamos a um resultado impossível, pois B não seria um número inteiro e falharia uma das condições do problema. 2. Os pares e os ímpares Outro método para resolver o problema baseia-se na observação da paridade dos valores dados (os números pares e os números ímpares). Foi com base nas propriedades da adição dos pares e dos ímpares que alguns dos "atletas" chegaram à solução. Reparemos no que disse o Rodrigo Teixeira da EB 2,3 de Sto. António (Faro), a propósito das regras para a soma de números inteiros: par + par = par ímpar + ímpar = par par + ímpar = ímpar ímpar + par = ímpar (equivalente à anterior porque a adição é comutativa) Estas propriedades são muito úteis quando pensamos nos pesos dos pares de sacos: 14, 15, 17, 18, 20, 21. Neste conjunto de números há três pares e três ímpares. Ora, isto significa que os pesos dos 4 sacos não podem ser todos pares nem podem ser todos ímpares. Só há duas situações possíveis:
4 (a) 1 PAR e 3 ÍMPARES (b) 1 ÍMPAR e 3 PARES Se considerarmos o caso (a), o único peso que seria um número par estaria emparelhado com os 3 pesos ímpares para dar os resultados ímpares: 15, 17, 21. Se considerarmos o caso (b), o único peso que seria um número ímpar estaria emparelhado com os 3 pesos pares para dar os resultados ímpares: 15, 17, 21. Qualquer que seja o caso, podemos decidir que é o saco A que se repete nas três pesagens. Poderemos dizer que: A+B = 15 A+C=17 A+D=21 Também sabemos que a soma dos pesos dos 4 sacos é 35. Basta perceber que os dois mais leves pesam 14 kg e que os dois mais pesados pesam 21 kg. Portanto, A+B+C+D = 35 Conjugando estas informações, podemos determinar o peso de qualquer um dos sacos. Sendo A+B = 15, podemos substituir na equação anterior: 15 + C+D = 35, ou seja, C+D = 20. Se compararmos as igualdades A+C = 17 e A+D = 21, notamos que D é igual a C + 4. Finalmente, podemos escrever: C + (C+4) = 20. Encontramos, deste modo, C = 8. Imediatamente, concluímos que D = 8+4 =12. Sendo A+C = 17, ficamos a saber que A = 9. Sendo A+B = 15, ficamos a saber que B = 6. Os pesos encontrados têm os valores 6, 8, 9, 12. Trata-se, afinal, de um ímpar e de três pares. Também o Gonçalo Palma da EB 2,3 D. Jorge de Lencastre (Grândola) teve um bom palpite ou uma intuição que o guiou na procura dos pesos dos sacos. A sua suposição foi a de que seriam 3 números pares e um número ímpar. Isto orientou-o na procura, por tentativas, dos pesos. Vejamos como respondeu ao problema: "Então vamos lá... eu comecei por arranjar 3 números pares para fazer todas as combinações possíveis dos números pares e vi que o 6, o 12 e o 8 davam (6+12=8, 12+8=20, 8+6=14) e depois arranjei o número 9 que acabava as contas, 9+12=21, 9+8=17 e 9+6=15; para arranjar estes números, tive que fazer algumas tentativas".
5 3. Por meio de um esquema Houve quem recorresse a um esquema para representar o problema. Uma das ideias propostas foi a de imaginar que os 4 pesos a descobrir seriam colocados nos vértices de um rectângulo. A partir daí, os lados do rectângulo e as suas diagonais terão de corresponder às somas dos valores que ficam unidos. Trata-se de transformar o problema e de criar um problema equivalente, que em Matemática também se diz isomorfo ao primeiro Por vezes, esta estratégia é muito eficaz. Revela uma boa compreensão do problema e, normalmente, leva a pessoa que está a resolver o problema a sentir que este fica mais fácil de manejar. A partir de esquemas, surgiram-nos resoluções como a do Pedro Marques, da EB 2,3 nº 2 de Quarteira, a do Miguel Rodrigues, da ES/3 Antero de Quental (Ponta Delgada) e a do grupo formado pelas alunas Cristiana Nóbrega, Nídia Teles e Eva Mendonça da EB/S Gonçalves Zarco (Funchal). Eis o esquema que este grupo apresentou:
SUB14 Campeonato de Resolução de Problemas de Matemática Edição 2009/2010
SUB14 Campeonato de Resolução de Problemas de Matemática Edição 2009/2010 Problema 1 Promoção de Ano Novo Uma empresa distribuidora de computadores portáteis lançou um novo modelo para a sua campanha de
Leia maisMESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 016. Gabarito Questão 01 [ 1,00 ] A secretaria de educação de um município recebeu uma certa quantidade de livros para distribuir entre as escolas
Leia maisSabemos que se A, B são dois pontos num eixo com coordenadas x e y, respectivamente,
34 15. Pontos Médios Sabemos que se A, B são dois pontos num eixo com coordenadas x e y, respectivamente, então o ponto médio M do segmento [AB] temcoordenadam = x+y. 2 No caso de pontos do plano temos:
Leia maisNome: N.º: Turma: Classificação: Professor: Enc. Educação:
Escola EB,3 de Ribeirão (Sede) ANO LECTIVO 010/011 Março 011 Nome: N.º: Turma: Classificação: Professor: Enc. Educação: Ficha de Avaliação de Matemática (Tipo Teste Intermédio) Duração do Teste: 90 minutos
Leia mais134 = 8 x =
Questão 1 Sabemos que a pontuação máxima por rodada é de 3x5=15 pontos. Podemos descobrir quantas rodadas é possível obter com pontuações máximas sem ultrapassar 134 pontos fazendo a divisão de 134 por
Leia maisNÚCLEO EDUCAFRO KALUNGA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA PROFESSOR DEREK PAIVA
NÚCLEO EDUCAFRO KALUNGA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA PROFESSOR DEREK PAIVA NOTAS DE AULA: REPRESENTAÇÕES DECIMAIS A representação decimal é a forma como escrevemos um número em uma única base, e como essa
Leia mais10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I 2º Teste de avaliação Proposta de resolução. Grupo I
10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I 8 1. (B) Os pontos A 3,7 e B 5,7 são simétricos em A B relação à recta de equação 1 6 4. (D)
Leia maisSUB12 - Problema 2 Mais flor, menos flor
SUB12 - Problema 2 Mais flor, menos flor Cada uma das quatro flores (amarela, laranja, rosa e azul) representa um número que aparece em todas as expressões. RESOLUÇÕES DE PARTICIPANTES O Sub12 reserva-se
Leia maisSUB14 Campeonato de Resolução de Problemas de Matemática Edição 2009/2010
SUB14 Campeonato de Resolução de Problemas de Matemática Edição 2009/2010 Problema 3 Canteiros no Jardim Municipal Um jardineiro foi encarregado de fazer a plantação de 200 canteiros de flores no jardim
Leia mais1 Conjuntos, Números e Demonstrações
1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para
Leia maisTeorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras Luan Arjuna 1 Introdução Uma das maiores preocupações dos matemáticos da antiguidade era a determinação de comprimentos: desde a altura de um edifício até a distância entre duas cidades,
Leia maisProg A B C A e B A e C B e C A,B e C Nenhum Pref
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 2 Lógica II Quando lemos um problema de matemática imediatamente podemos ver que ele está dividido em duas partes:
Leia mais36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
36ª Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 2 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação
Leia maisResoluções. Aula 1 NÍVEL 2. Classe
www.cursoanglo.com.br Treinamento para Olimpíadas de Matemática NÍVEL 2 Resoluções Aula 1 Classe 1. Observe que: 14 1 = 14 14 2 = 196 14 par termina em 6 e 14 ímpar termina em 4 14 3 = 2.744 14 4 = 38.416...
Leia mais( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
XXX Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Parte A PARTE A Na parte A serão atribuídos pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa parte
Leia maisLista 2 - Resolução. 1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os.
GAN00140 Álgebra Linear 018.1 Prof a. Ana Maria Luz F. do Amaral Lista - Resolução 1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os. 1 a) b) 1 3 0 0 1 /. 1 1/ 1
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 10 GABARITO COMENTADO 1) Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso
Leia maisLista 1 com respostas
Lista 1 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105/MAT0112-1 semestre de 2015 Exercício 1. Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta: (a) (A, B) (C, D) AB
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A. 5º Teste de avaliação versão2. Grupo I
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas,
Leia mais5º Teste de avaliação versão1. Grupo I
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A 5º Teste de avaliação versão1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas,
Leia maisLista 1 com respostas
Lista 1 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105-1 semestre de 2019 Exercício 1. Verique se é verdadeira ou falsa cada armação e justique sua resposta: (a) (A, B) (C, D) AB = CD (b) AB =
Leia maisSOLUÇÕES OBMEP 2ª. FASE 2016
SOLUÇÕES OBMEP 2ª. FASE 2016 N1Q1 Solução Carolina escreveu os números 132 e 231. Esses são os únicos números que cumprem as exigências do enunciado e que possuem o algarismo 3 na posição central. Para
Leia mais1. Descubra quantos e quais são os triângulos equiláteros que podem. ser construídos com os vértices nos pontos da rede isométrica limitada
Problemas Curiosos 1. Descubra quantos e quais são os triângulos equiláteros que podem ser construídos com os vértices nos pontos da rede isométrica limitada dada a seguir: 2. Quantos e quais são os triângulos
Leia maisElementos de Matemática Finita
Elementos de Matemática Finita Exercícios Resolvidos - Princípio de Indução; Algoritmo de Euclides 1. Seja ( n) k n! k!(n k)! o coeficiente binomial, para n k 0. Por convenção, assumimos que, para outros
Leia maisPropostas de resolução. Capítulo 1 Números racionais Avalia o que sabes
Capítulo Números racionais 0 + 0 Avalia o que sabes Pág. 8. Analisemos cada uma das seguintes opções: Opção A: Se a é múltiplo de b, então existe um número natural n tal que a n b. Logo, a b. Exclui-se
Leia mais2) Se a, b e c forem três números dois a dois distintos, justifique por qual motivo a expressão
1) Qual é o maior, 10 + 13 ou 11 + 12? Justifique! Solução: Sendo x = 10+ 13 e y = 11+ 12, temos x 2 = 10+2 10 13+ 13 e y 2 = 11 + 2 11 12 + 12, ou seja, x 2 = 23 + 2 130 e y 2 = 23 + 2 132. Como x e y
Leia maisGAAL: Exercícios 1, umas soluções
GAAL: Exercícios 1, umas soluções 1. Determine o ponto C tal que AC = 2 AB, sendo A = (0, 2), B = (1, 0). R: Queremos C tal que AC = 2 AB. Temos AB = (1 0, 0 ( 2)) = (1, 2), logo 2 AB = (2, 4). Então queremos
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 3.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisCanguru Matemático sem Fronteiras 2009
Destinatários: alunos dos 7 e 8 anos de Escolaridade Nome: Turma: Duração: 1h30min Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. As questões estão agrupadas em três níveis:
Leia maisXXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO
XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL ) D 6) C ) D 6) C ) B ) A 7) B ) B 7) B ) C ) D 8) C ) E 8) B ) B 4) D 9) E 4) D 9) C 4) D ) D 0) A ou
Leia mais1).- Significado de congruência e de congruência numérica
5. CONGRUÊNCIAS NUMÉRICAS 1). Significado de congruência e de congruência numérica 2). Exemplos exploratórios e a notação mod q 3). Definição geral de congruência numérica 4). Regras: somando e multiplicando
Leia maisMESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2017.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ] Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação y = x 2 2x + 4 que passam pelo ponto (2,
Leia maisTENTA ESTIMA TENTA Ana Caseiro Escola Superior de Educação de Lisboa
Resumo TENTA ESTIMA TENTA Ana Caseiro Escola Superior de Educação de Lisboa anac@eselx.ipl.pt Tenta estima tenta é uma tarefa de investigação que tanto pode ser explorada por alunos do 1º ciclo, no contexto
Leia maisGABARITO Prova Verde. GABARITO Prova Rosa
Sistema ELITE de Ensino COLÉGIO NAVAL 011/01 GABARITO Prova Verde MATEMÁTICA 01 E 11 D 0 D 1 A 03 E 13 ANULADA 0 E 1 ANULADA 05 D 15 B 06 D 16 C 07 B 17 C 08 E 18 B 09 A 19 A 10 C-Passível de anulação
Leia maisSUB12 - Problema 1 Guimarães, capital europeia da cultura
SUB12 - Problema 1 Guimarães, capital europeia da cultura RESOLUÇÕES DE PARTICIPANTES Os 160 alunos do Colégio da Quinta dos Malmequeres estão a preparar uma viagem de estudo a Guimarães, capital europeia
Leia mais(b) Em quantos destes anagramas as letras CI aparecem juntas e nesta ordem? (c) Em quantos anagramas a letra A aparece antes (a esquerda) da letra E?
Exercício 1. (a) Quantos são os anagramas da palavra CINEMA. (b) Em quantos destes anagramas as letras CI aparecem juntas e nesta ordem? (c) Em quantos anagramas a letra A aparece antes (a esquerda) da
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II Ficha de trabalho nº 4 1 Resolva o exercício 11 da página 80 do seu manual Considere
Leia maisSUB14 - Problema 5 Descobre a medida!
SUB14 - Problema 5 Descobre a medida! A E B F H D G Na figura dada, ABCD é um quadrado com 10 cm de lado. Sabe-se que AE = BF = GC = HD e que a região pintada de azul tem uma área de 32 cm 2, sendo formada
Leia maisExame Nacional ª Chamada
Matemática Exame Nacional 007.ª Chamada Nome completo: Bilhete de identidade n.º: Assinatura do Estudante: Prova.ª Chamada Emitido em (Localidade): Duração da prova: 90 minutos Não escrevas o teu nome
Leia maisdeve ter a forma 2 3 5, com a, b e c inteiros, 0 a 8, é dessa forma. Cada um dos outros números possui um fator primo diferente de 2, 3 e 5.
XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 1) E 6) C 11) E 16) D 1) E ) B 7) B 1) C 17) E ) C ) E 8) D 1) D 18) A ) B 4) E 9) D 14) A 19) C 4) E
Leia maisSoluções. Nível 2 7 a e 8 a séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental
1. (alternativa A) No diagrama ao lado cada quadradinho tem 1 km de lado e o ponto C indica a casa de Carlos. Representando o trajeto descrito no enunciado pelas flechas em traço fino, vemos que a escola
Leia mais2.1 Considera M o ponto médio de [PQ] e une M ao ponto R. Prova que os triângulos [PMR] e [QMR] são iguais.
METAS CURRICULARES DO ENSINO BÁSICO EXEMPLOS DO CADERNO DE APOIO 2.º CICLO António Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Maria Clementina Timóteo 5.º ano Parte 2, pág. 20 1. Considera um triângulo [ABC]
Leia maisNúmeros Inteiros Axiomas e Resultados Simples
Números Inteiros Axiomas e Resultados Simples Apresentamos aqui diversas propriedades gerais dos números inteiros que não precisarão ser provadas quando você, aluno, for demonstrar teoremas nesta disciplina.
Leia maisXX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treinamento 6 Nível 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treinamento
Leia maisMatemática E Intensivo V. 1
GABARITO Matemática E Intensivo V. Exercícios 0) 5 0) 5 Seja o termo geral = 3n, então: Par =, temos: a = 3. = 3 = Par =, temos: a = 3. = 6 = 5 Par = 3, temos: a 3 = 3. 3 = 9 = 8 Então a + a + a 3 = +
Leia maisA conta do = = 8 Logo, = 385 Como você poderia estabelecer o produto de um número de três algarismos abc por 11.
Aula n ọ 05 A conta do 11 Para multiplicar um número de dois algarismos por 11, podemos fazê-lo assim: conservamos a unidade na unidade do resultado; a dezena na centena do resultado; e a dezena do resultado
Leia maisDESAFIO FINAL GABARITO ALL
DESAFIO FINAL GABARITO ALL 01. a) Queremos que apareça na tela o número 7 10 2 10 7 = 7 10 9. Uma maneira de fazer tal conversão, começando com 7 10 2, é apertar quatro vezes a tecla com a operação de
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando,
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. TPC nº 7 entregar no dia
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 7 entregar no dia 4 0 013 1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados
Leia maisUniversidade do Algarve
Universidade do Algarve Campeonato de Matemática SUB14 2006/2007 Problema 4: De peso em peso Uma garrafa e um copo pesam tanto quanto um jarro. Uma garrafa pesa tanto quanto um copo e um prato. Um jarro
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando,
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,
Leia maisProva: DESAFIO. a) 117 b) 84 c) 84 d) 117 e) 201
Colégio Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: E-mail: Disciplina: MATEMÁTICA Prova: DESAFIO PARA QUEM CURSA O 8 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 209 QUESTÃO 6 Os alunos do 8 ọ ano construíram um tabuleiro
Leia maisGeometria Analítica I
Geom. Analítica I Respostas do Módulo I - Aula 3 1 Geometria Analítica I 14/0/011 Respostas dos Exercícios do Módulo I - Aula 3 Aula 3 1. Procedendo como na definição da equação paramétrica da reta (página
Leia maisXXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Cada questão vale pontos se, e somente se, para cada uma o resultado escrito
Leia maisRACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
AULA DEMONSTRATIVA RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Professor Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br Aula 00 Aula Demonstrativa www.pontodosconcursos.com.br Professor Guilherme Neves 1 Aula Conteúdo
Leia maisMONÔMIOS E POLINÔMIOS
MONÔMIOS E POLINÔMIOS Problema: Observa as figuras. 6-9 6 4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do retângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma
Leia maisb) Qual é o enxadrista de ranking mais baixo que pode chegar à final de um torneio cujo sorteio ainda será realizado? Justifique.
Nível - Resolução e comentários Problema. Um torneio de xadrez é realizado entre dezesseis competidores, ranqueados de a de acordo com suas habilidades: o enxadrista número é o melhor entre todos eles,
Leia mais1 Números Complexos. Seja R o conjunto dos Reais. Consideremos o produto cartesiano R R = R 2 tal que:
Números Complexos e Polinômios Prof. Gustavo Sarturi [!] Esse documento está sob constantes atualizações, qualquer erro de ortografia, cálculo, favor comunicar. Última atualização: 01/11/2018. 1 Números
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,
Leia maisENQ Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. Questão 01 [ 1,25 ]
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 017 Gabarito Questão 01 [ 1,5 ] Encontre as medidas dos lados e ângulos de dois triângulos ABC diferentes tais que AC = 1, BC = e A BC = 0 Considere
Leia maisSolução da prova da 1 a fase OBMEP 2009 Nível 2
1 QUESTÃO 1 Na imagem que aparece no espelho do Benjamim, o ponteiro dos minutos aponta para o número, enquanto que o ponteiro das horas está entre o algarismo 6 e o traço correspondente ao algarismo 5,
Leia maisSistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios
Sistemas de equações do 1 grau com duas incógnitas Explicação e Exercícios Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas incógnitas.
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 5
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 3.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 5 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisIntegração por frações parciais - Parte 1
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Integração por frações parciais - Parte Neste pequeno texto vamos desenvolver algumas ideias para integrar funções racionais, isto é, funções
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 6
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 10.º Ano de escolaridade Versão 6 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 01/0/017 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisEXERCÍCIOS RESOLVIDOS Prova de 23/07/2009 Todas as questões se referem a um sistema ortogonal de coordenadas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 SINUÊ DAYAN BARBERO LODOVICI Resumo Exercícios Resolvidos - Geometria Analítica BC 0404 1 Prova de 23/07/2009 Todas as questões se referem a um sistema ortogonal de coordenadas
Leia maisXXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Segunda Fase Nível 2 (7 a. ou 8 a. séries)
PROBLEMA No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 30 cm e o quadrado FHIJ tem área de 0 cm. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.
Leia maisCálculo Combinatório
Cálculo Combinatório Introdução Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática
Leia mais38ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO
38ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO GABARITO NÍVEL 1 1) E 6) E 11) C 16) E ) D 7) D 1) A 17) A 3) D 8) A 13) E 18) B 4) C 9) C 14)
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,
Leia maisERRATAS Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1 ERRATA
ERRATAS Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1 ERRATA Data da atualização: 0/07/2010 Nota do Autor: O livro Matemática em Nível IME/ITA Vol 1 é o resultado da minha primeira tentativa em escrever livros didáticos.
Leia maisMatemática & Raciocínio Lógico
Matemática & Raciocínio Lógico para concursos Prof. Me. Jamur Silveira www.professorjamur.com.br facebook: Professor Jamur EQUAÇÕES EQUAÇÕES DE 1º GRAU (COM UMA VARIÁVEL) Equação é toda sentença matemática
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. 2º Teste de avaliação.
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma
Leia maisOBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 2. Questão 1
Questão a) Para saber o número que deve dizer ao matemágico, Joãozinho deve fazer quatro contas: ª conta: multiplicar o número no cartão escolhido por 2; 2ª conta: somar 3 ao resultado da primeira conta;
Leia maisRaciocínio Lógico I. Solução. Primeiramente vamos listar todos os números de dois algarismos que são múltiplos de 7 ou 13.
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 1 Prof. Bruno Holanda Aula 3 Raciocínio Lógico I O estudo da Lógica é essencial para os alunos que desejam participar de olimpíadas de matemática.
Leia mais( 1 a,a 2, 5 ), sendo a um número real. Qual é o conjunto de valores de a para os quais P
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 1 GRUPO I 1. Considere num referencial ortogonal
Leia maisSUB14 - Problema 7 Almoço de colegas
SUB14 - Problema 7 Almoço de colegas RESOLUÇÕES DE PARTICIPANTES Doze colegas combinaram ir almoçar juntos num restaurante que serve refeições rápidas próximo do emprego. Oito dos colegas pediram sopa.
Leia maisGABARITO - ANO 2018 OBSERVAÇÃO:
GABARITO - ANO 018 OBSERVAÇÃO: Embora as soluções neste gabarito se apresentem sob a forma de um texto explicativo, gostaríamos de salientar que para efeito de contagem dos pontos adquiridos, na avaliação
Leia maisGRADE DE CORREÇÃO NOME: LOCAL: DATA: 18/11/2018. Assinatura do Candidato:
NOME: IDENTIDADE: LOCAL: DATA: 18/11/018 SALA: INSCRIÇÃO: ORDEM: Assinatura do Candidato: QUESTÃO 1 Em um saco, há 16 bolas numeradas de 1 a 16: umas pretas e outras brancas, todas de mesmo tamanho, mas
Leia maisMESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2018.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ] Isótopos radioativos de um elemento químico estão sujeitos a um processo de decaimento
Leia mais(2008/2009) Espaços vectoriais. Matemática 1º Ano - 1º Semestre 2008/2009. Mafalda Johannsen
Espaços vectoriais Matemática 1º Ano 1º Semestre 2008/2009 Capítulos Características de um Espaço Vectorial Dimensão do Espaço Subespaço Vectorial Combinação Linear de Vectores Representação de Vectores
Leia maisGabarito Prova da Primeira Fase - Nível Alfa
. Gabarito Prova da Primeira Fase - Nível Alfa Questão 1 (0 pontos) A corrida de São Silvestre tem 15 km de percurso, sendo km de subida, 8 km de descida e 5 km de terreno plano. O ganhador da corrida
Leia maisProva Final de Matemática
PROVA FINAL DO 3.º CICLO do Ensino BÁSICO Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho Prova Final de Matemática 3.º Ciclo do Ensino Básico Prova 92/1.ª Chamada Braille, Entrelinha 1,5, sem figuras nem imagens,
Leia maisFormação Continuada Nova Eja. Plano de Ação II INTRODUÇÃO
Nome: Armando dos Anjos Fernandes Formação Continuada Nova Eja Plano de Ação II Regional: Metro VI Tutor: Deivis de Oliveira Alves Este plano de ação contemplará as unidades 29 e 30. Unidade 29 I - Matrizes
Leia maisOPEMAT. Olimpíada Pernambucana de Matemática
OPEMAT Olimpíada Pernambucana de Matemática - 206 Nível. O ano de 206 está acabando, vamos ver se você conhece bem esse número. Para isso, julgue os itens a seguir: (V) (F) A maior potência de 2 que divide
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros
Leia maisSolução. Este problema pode ser resolvido de modo análogo ao problema anterior.
page 11 1.2 Sistema posicional de numeração 11 Solução. Este problema pode ser resolvido de modo análogo ao problema anterior. Exercício 15: Em um conjunto de 101 moedas, há 50 falsas e as demais são verdadeiras.
Leia maisCanguru sem fronteiras 2006
Canguru sem fronteiras 006 Duração: 1h15 Destinatários: alunos dos 10º e 11º anos de Escolaridade Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. Inicialmente tens 30 pontos.
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 1
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 3.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisElementos de Matemática Finita
Elementos de Matemática Finita Exercícios Resolvidos 1 - Algoritmo de Euclides; Indução Matemática; Teorema Fundamental da Aritmética 1. Considere os inteiros a 406 e b 654. (a) Encontre d mdc(a,b), o
Leia maisXXXI Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
XXXI Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 3 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 4 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. 2possui mais de uma solução real. RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO DO SIMULADO DE MATEMÁTICA _7 _ APLICADO NO COLÉGIO ANCHIETA BA, NAS TURMAS DA A SÉRIE DO ENSINO MÉDIO. Sobre números reais é verdade que: ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. PROFA. MARIA ANTÔNIA
Leia maisDesigualdades - Parte I. n a 1 a 2...a n,
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível Prof. Marcelo Mendes Aula 8 Desigualdades - Parte I Fatos Elementares i) Nenhum quadrado de número real é negativo. ii) Desigualdade de Cauchy (Médias
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 13 GRUPO I 1. Na figura está representado, num
Leia maisReticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas
Reticulados, Álgebra Booleana e Formas Quadráticas Abstratas Clotilzio Moreira dos Santos Resumo O objetivo deste trabalho é introduzir formas quadráticas sobre reticulados. Demonstramos que a definição
Leia maisa) Falsa. Por exemplo, para n = 2, temos 3n = 3 2 = 6, ou seja, um número par.
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 01 a) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n = 3 = 6, ou seja, um número par. b) Verdadeira. Por exemplo, para n = 1, temos n = 1 =, ou seja, um
Leia mais