GEOMETRIA DESCRITIVA EBER NUNES FERREIRA

Transcrição

1 EER NUNES FERREIR

2 INTRODUÇÃO SISTEMS DE PROJEÇÃO ESTUDO DO PONTO - COORDENDS - SINIS C- REPRESENTÇÃO EM ÉPUR D- TERCEIR PROJEÇÃO (IST DE PERFIL) ESTUDO D RET - DETERMINÇÃO DE RETS - POSIÇÕES RELTIS ENTRE RETS E PLNOS C- CLSSIFICÇÃO DS RETS D- PRTICULRIDDES E- PERTINÊNCI DE PONTO RET F- PONTOS NOTÁEIS D RET G- POSIÇÕES RELTIS ENTRE DUS RETS - POSIÇÕES RELTIS ENTRE DUS RETS DE PERFIL ESTUDO DO PLNO - DETERMINÇÃO DE PLNOS - POSIÇÕES RELTIS ENTRE DOIS PLNOS C- CLSSIFICÇÃO DOS PLNOS D- RETS DOS PLNOS E- PERTINÊNCI DE RET PLNO EM ÉPUR F- QUDRO SÍNTESE DE PERTINÊNCI DE RET PLNO G- RETS DE MÁXIMO DECLIE E MÁXIM INCLINÇÃO - QUDRO SÍNTESE DE RETS DE MÁXIMO DECLIE E MÁXIM INCLINÇÃO

3 INTRODUÇÃO ive-e em um mundo tridimenional, onde o objeto ão decrito equematicamente, fazendo-e referência à altura,largura e profundidade. Durante muito éculo, dede quando o homem pré-hitórico eboçava ua caça na parede da caverna procurou-e a forma de como repreentar objeto de um univero tridimenional em uperfície bidimenionai. Ete quetionamento e dá, inicialmente, ao nível da repreentação do objeto já exitente, ma em e tratando de elemento que ainda etão na mente do eu criador, o fato e agrava, e ainda mai quando um é o que concebe e outro é o que materializa. Nee cao, torna-e imprecindível uma maneira de tranmitir a idéia do projetita ao eu realizador. Com o advento da Revolução Indutrial, eta neceidade tornou-e ainda mai imperativa, poi o itema produtivo até então, utilizava-e de mão-deobra arteanal, onde a "comunicação técnica" ainda não requeria um maior grau de complexidade. partir do momento em que objeto paam a er produzido em quantidade coniderável, fez-e neceário o uo da de uma repreentação projetiva baeada não mai no "olhar humano" que abidamente vê e interpreta o objeto deformando ua medida, ângulo e forma, ma, uma repreentação que contemplae a reai medida do objeto, para que ua confecção foe precia e confiável. Em ua genealidade, Gapar Monge, com uma idéia "ecandaloamente imple", revoluciona a repreentação de objeto tridimenionai, imprimindolhe um caráter técnico e de precião. Nacido no ano de 1746, com 16 ano já revelava a diveridade de ua aptidõe técnica e intelectuai, motrando ua habilidade como deenhita e inventor. Era pouidor de "dedo capaze de traduzir com fidelidade geométrica eu penamento". 3

4 SISTEMS DE PROJEÇÃO o olharmo ao noo redor, podemo perceber que etamo envolvido por diferente itema projetivo. Uma eão de cinema,ou a imple ombra de um objeto que varia em função da direção do raio luminoo, ão uficiente para fazermo uma analogia com o diferente itema projetivo. divera ombra ou imagen formada e devem, entre outro fatore, a relação de ditância com a uperfície onde a ombra é projetada, à direção do raio, e ao tipo de fonte luminoa, quer eja olar ou artificial. Em função da grandeza do Sol, quando comparada a Terra, e de ua ditância para com a mema, podemo coniderar eu raio paralelo entre i. Já a iluminação artificial é coniderada puntiforme e ua emião de raio luminoo e dá de forma radial. Tudo ito, determina diferente reultado. Conideremo um ponto qualquer no epaço, poicionado no finito ou no infinito, como endo o olho de um obervador. Se foe poível interceptarmo com um plano,o raio viuai que chegam ao olho obervador, teríamo uma imagem correpondente ao objeto obervado. Eta imagem recebe o nome técnico de projeção. 4

5 Também, ao colocarmo uma tela móvel diante do raio luminoo de um projetor de cinema, obteremo ditinta projeçõe (imagen) de acordo com a poição e o tipo de uperfíce da tela. naliando o exemplo anteriore, podemo fazer uma analogia com o elemento de um itema de projeção. Um itema de projeção é contituído por cinco elemento báico. São ele: Centro de Projeção; Linha Projetante; Objeto; Projeção e o Plano de Projeção. Do centro de projeção (O) parte uma linha projetante (r) que, cortada pelo plano (a), determina a projeção P, do ponto (P). ângulo de incidência da linha projetante im podemo etabelecer a eguinte relação (O) - Centro de Projeção... Fonte de Luz / Olho do obervador (r ) - Linha Projetante... Raio Luminoo / Raio iual (P) - Ponto Objetivo (Objeto)...Objeto P - Projeção do Ponto (P)...Sombra / Imagem (α) - Plano de Projeção... Superfície / Tela / nteparo O centro de Projeção (P) é o ponto ou local de onde partem a linha projetante, podendo localizar-e no Finito ou Infinito, denominando-e centro Próprio ou Impróprio, repectivamente. - Quando conideramo o centro de projeção PRÓPRIO, a linha projetante partem divergente em direção ao plano de projeção,,correpondendo aim ao raio de uma lâmpada incandecente. Deta forma, temo o Sitema Cônico de Projeção. 5

6 - Quando conideramo o centro de projeção IMPRÓPRIO, a linha projetante partem paralela em direção ao plano de projeção, correpondendo aim ao raio do ol. Deta forma, temo o Sitema Cilíndrico de Projeção, que e ubdivide em oblíquo e ortogonal. Oberve que no itema Cilíndrico o ângulo de incidência de toda a linha projetante ão iguai para uma mema direção, e o centro deprojeção não é percebido por e encontrar no infinito. Etudaremo agora cada um do itema, percebendo ua caracterítica e particularidade. tenção: Inicialmente, conideraremo o objeto (bidimenional) em uma poição fixa no epaço equiditante (paralelo) ao plano de projeção. No Sitema Cônico a projeção não regitra a reai dimenõe do objeto, ou eja, ele NÃO É repreentado em ua verdadeira grandeza (). Oberve que no exemplo da figura ao lado ocorre uma ampliação do objeto projetado. Nete itema, o centro de projeção pode ocupar vária poiçõe, o que interferirá no reultado da projeção. No Sitema Cilíndrico Oblíquo o objeto é repreentado em ERDDEIR GRNDEZ, ma devido ao diferente valore que o ângulo de incidência pode aumir (em função da direção da linha projetante) teremo vária opçõe para a localização da projeção obre o plano. Já no Sitema Cilíndrico Ortogonal, o objeto etá expreo em ua.g., ma, ao contrário do itema anteriore, exite uma única projeção que o repreenta, poi a direção também é única. 6

7 No itema cônico, quando o objeto (bidimenional) não etá paralelo ao plano, a projeção deixa de etar emelhante ao objeto no epaço. Já no itema cilíndrico a projeção deixa de etar congruente ao objeto. Conhecendo melhor o Sitema Cilíndrico Ortogonal claificação oblíquo e ortogonal dentro do itema cilíndrico não etá em função do ângulo que a linha projetante forma com o objeto, e im com o plano de projeção. Eta obervação e faz neceária,poi até agora temo coniderado o objeto paralelo ao plano, onde o ângulo que a linha projetante forma com o objeto e com o plano de projeção ão iguai, no entanto erão diferente quando não houver tal paralelimo. Na figura ao lado,o itema de projeção é o cilíndrico oblíquo; cilíndrico porque a linha projetante ão paralela entre i, e oblíquo porque o ângulo de incidência da linha projetante com o plano não é reto. Na figura ao lado, o itema de projeção é o cilíndrico ortogonal. Em amba figura o itema é cilíndrico, claificação eta que etá em função do paralelimo entre a projetante. Quanto à claificação de oblíquo ou ortogonal, depende do ângulo de incidência da projetante com o plano de projeção. Nete cao, endo o referido ângulo, reto, ete recebe a claificação de ortogonal. 7

8 Um bom obervador já terá percebido que no deenho anteriore o objeto não é projetado em ua dimenõe reai, poi no Sitema Cilíndrico o paralelimo é a condição exigida para a obtenção da projeção em verdadeira grandeza. eja a íntee do Sitema Cilíndrico Ortogonal de Projeção que é o itema que fundamenta a Geometria Decritiva. 1 - linha projetante empre erá perpendicular ao plano de projeção. 2 - O objeto omente erá repreentado em ua quando etiver paralelo ao plano de projeção. 3 - ditância do objeto ao plano de projeção não interfere na dimenão da projeção, poi a linha projetante ão paralela, pouíndo, portanto, um memo ângulo de incidência. 4 - O fator que altera a dimenõe da projeção em relação ao objeto é a angulação do memo em relação ao plano de projeção. 8

9 2 DIEDRO 3 DIEDRO 1 DIEDRO 4 DIEDRO geometria decritiva (GD)promove o etudo do objeto atravé de ua projeçõe ortoédrica obre plano perperndiculare entre i. Inicialmente utiliza-e de um plano horizontal e outro vertical. À partir dete doi elemento, Gapar Monge cria um itema projetivo que permite regitrar a tridimenionalidade do objeto. intereção do plano horizontal e vertical determina uma reta denominada de Linha de Terra que o divide em emiplano e ete, por ua vez, delimitam o epaço em quatro regiõe denominado de "diedro". linha de terra recebe dua barrinha paralela em ua extremidade poicionada obre o. im, o imple reconhecimento da linha de terra permite identificar a poição do e. Poteriormente, cabe ao geômetra italiano, Gino Lória, o recuro de introduzir no itema mongeano de projeção o terceiro plano, perpendicular ao doi primeiro, plano ete que recebe o nome de - plano de perfil. Embora o etudo da Geometria Decritiva contemple quatro diedro, ete curo dará um enfoque quae que excluivo ao primeiro diedro. Ito objetivará ignificativamente a diciplina e facilitará a tranição entre o deenho técnico e o deenho arquitetônico. ESTUDO DO PONTO Um ponto ituado no epaço etabelece uma relação de ditância com o plano de projeçã. Portanto, cada ponto é definido por 3 coordenada que ão regitrada atravé da projeçõe obre o plano. ale alientar que a Geometria Decritiva faz uo do Sitema Cilíndrico Ortogonal de Projeção, fato ete que determina uma única projeção em cada plano de projeção. nte de apreentarmo a coordenada vamo etabelecer uma convenção para ditinguirmo a diferente projeçõe de um memo objeto em cada plano. projeção do ponto (P)obre o é denominada projeção de perfil ou terceira projeção P''. projeção do ponto (P) obre o é denominada projeção vertical P'. projeção do ponto (P) obre o é denominada projeção horizontal P. 9

10 notação do ponto erá feita com letra maiúcula ou número do alfabeto arábico, que deverão etar entre parêntee. expreão "Ponto" deve er empregada omente para o objeto. IMPORTNTE : quando repreentarmo um objeto no diedro, etaremo utilizando omente o plano orizontal e ertical de projeção, conequentemente o objeto erá repreentado atravé de dua projeçõe; ma quando a repreentação for feita no triedro, etaremo inerindo o plano de Perfil que também é conhecido por Terceiro Plano. linha imaginária, que contém a projeçõe P e P', é denominada LIN DE CMD. - COORDENDS Para que poamo ituar um objeto no epaço, preciamo conhecer a ditância de eu ponto para com o plano de projeção. im, cada ponto é definido por um trio ordenado compoto por x, y e z, denominado abcia, afatamento e cota, repectivamente, onde: bcia (ab) : é a ditância do ponto ao. fatamento (af) : é a ditância do ponto ao Cota (ct) : é a ditância do ponto ao plano Etá implícito que a "ditância" é a menor poível,ou eja, medida obre um alinhamento perperdicular ao plano. IDENTIFIQUEMOS LGUMS IGULDDES ditância do ponto (P) ao é igual à ditância da Linha de Chamada à origem (interecção do trê plano); portanto amba traduzem a abcia. ditância do ponto (P) ao é igual à ditância da projeção horizontal P à LT, portanto amba traduzem o afatamento. ditância do ponto (P) ao é igual à ditância da projeção vertical P' à LT, portanto amba traduzem a cota. 10

11 Logo, podemo ter dua definiçõe para a coordenada: uma ao nível epacial, relacionando o objeto ao plano, e outra ao nível projetivo, relacionando a projeçõe à Linha de Terra. É muito importante eta dupla conceituação da coordenada, poi é objetivo da Geometria Decritiva regitrar o objeto atravé de ua projeçõe, e ito exige que deenhemo uando o "conceito projetivo", ma que viualizemo o "conceito epacial", ou eja, e tivermo um objeto no epaço eremo capaze de deenhá-lo, e e no depararmo com o eu deenho eremo capaze de concebê-lo. CONCEITO ESPCIL bcia (ab) : é a ditância do ponto ao. fatamento (af) : é a ditância do ponto ao. Cota (ct) : é a ditância do ponto ao. CONCEITO PROJETIO bcia: é a ditância da Linha de Chamada à origem. fatamento: é a ditância da projeção horizontal à Linha de Terra. Cota: é a ditância da projeção vertical à linha de terra. - SINIS O plano de projeção, quando obervado lateralmente, reduzem ua uperfície à linha reta, e aemelham-e ao plano carteiano da matemática, aumindo o memo valore (poitivo e negativo), tanto para cota, quanto para o afatamento. Já a abcia terá como referencial a origem marcada obre a linha de terra. Então, o ponto ituado : à direita da origem pouem... CISSS POSITIS; á equerda da origem pouem... CISSS NEGTIS; acima do plano horizontal pouem...cots POSITIS; abaixo do plano horizontal pouem...cots NEGTIS; anteriore ao plano vertical pouem...fstmentos POSITIOS e poteriore ao plano vertical pouem...fstmentos NEGTIOS. ito que etaremo priorizando o Primeiro Diedro, etaremo excllulindo o inai negativo para afatamento e cota. 11

12 C - REPRESENTÇÃO EM ÉPUR té agora, temo utilizado a perpectiva, que não é baeada no itema cilíndrico ortogonal, para apreentação e compreenão da geometria decritiva. À partir dete momento, começaremo a caminhar no entido de no valer dela própria, para a análie de figura e objeto no epaço. Tomemo um ponto com coordenada genérica: () ( b ; f ; Ct ). Entre o centro de projeção e o objeto, poicionaremo um obervador que enxergue com "olho do itema cilíndrico ortogonal". Ob.: origem obre a linha de terra regitra a poição a er ocupada pelo Plano de Perfil oportunamente. Conideremo que, apó o regitro da projeçõe, o objeto eja retirado; com ito, o obervador na poiçõe 1 e 2, etaria recebendo a eguinte imagen. tente para o fato de que o obervador 1 percebe a coordenada abcia e afatamento, e o obervador 2 percebe abcia e cota. Novamente, uma da coordenada não é percebida de acordo com a poição do obervador. Ma e unirmo a dua figura pela Linha de Terra, teremo em um único deenho a coordenada b, f e Ct, onde a linha de chamada poiciona-e perpendicular à LT. 12

13 Imaginemo o Plano orizontal ubmeter-e a um giro de 90º no entido horário. Eta operação denomina-e RETIMENTO. Deta forma, o obervador faz "leitura" de toda a coordenada em uma única poição. Eta forma de repreentação denomina-e ÉPUR. Oberve que o reultado é exatamente o memo quando da junção da imagen vita eparadamente pelo obervador na poiçõe 1 e 2 na página anterior. ÉPUR - Chama-e épura a repreentação e o etudo do problema decritivo da figura e corpo do epaço, dado por ua projeçõe no doi plano ortogonai, depoi da coincidência dee doi plano apó o rebatimento. Ete rebatimento poderia acontecer também com o giro do plano vertical obre o horizontal no entido anti-horário, e teríamo o memo reultado final; ma por quetõe didática adotaremo o giro horário do plano horizontal. Deta maneira, a projeçõe horizontai poitiva, na repreentação em épura, apó o rebatimento, paam a er regitrada abaixo da LT, repeitando, aim, o rebatimento. Como o plano vertical permanece fixo no epaço, a projeçõe verticai com cota poitiva continuam a er regitrada acima da LT. De igual maneira, a abcia não ofrem alteraçõe em face ao rebatimento, continuando poitiva à direita da origem e negativa à equerda. Devido ao fato do plano horizontal e vertical receberem a trê coordenada neceária ao etudo do ólido durante ano procurou-e deenvolver todo o etudo epaciai apena com dua vita ortogonai. No entanto, o uo itemático do Plano de Perfil tornou a GD mai fácil. Então, o que acontece quando o Plano de Perfil etá preente? 13

14 Para que tenhamo um único obervador com capacidade de leitura em épura do trê plano imultaneamente, faz-e neceário um egundo rebatimento, agora do plano Plano de Perfil que ofrerá um giro de 90º para a direita conforme a figura a eguir. Eixo ' ct af " ct ' ct af " ct ' ct af " ct af af af Nete exemplo, o plano foram rebatido apó o regitro da trê projeçõe,ou eja, a terceira projeção já exite. Ma como eria obter a terceira projeção à partir da projeçõe repreentada apena no diedro? Oberve que a projeção obreo o Plano de Perfil é compota apenapela coordenada afatamento e da cota. D - TERCEIR PROJEÇÃO 1º PSSO Levar a informaçõe ( af e ct ) ao eixo. 2º PSSO lçar a ditância correpondende ao afatamento até a LT. 3º PSSO Cruzar a informaçõe e obter a 3ª projeção. operação alçamento deve er feira de maneira a manter inalterada a medida da informação que etá endo tranportada.para ito é neceário o uo do compao ou do equadro de 45º, apoiado na régua paralela. 14

15 poição primitiva do plano é na abcia "zero", por ito o eixo encontra-e junto à origem. No entanto um objeto pode pouir ponto que podem ficar à direita, à equerda ou memo obre o. Em épura, ito implica no poicionamento da linha de chamada do ponto em relação ao eixo. Ito em nada modifica o procedimento para a obtenção da 3ª projeção, apena muda a direção no momento de levarmo a informaçõe até o eixo; daí em diante é tudo igual. Oberve ete deenho. Podemo concluir que em relação ao eixo, o reultado ão iguai. No entanto, podemo no deparar com ituaçõe em que utilizar o eixo obre a origem pode cauar um congetionamento de projeçõe. ' " " ' ' ' D' D C'.. D" " C" ".. D" ' " ' C" D' " C' D C C Um do exemplo acima motra um congetionado cauado pela obrepoição da projeçõe, embora ambo etejam tecnicamente correto. ito que o objetivo dete material didáatico é facilitar o enino da GD, etaremo, empre que for conveniente, permitindo o delocamento do eixo para uma abcia diferente de zero ou ainda, utilizando um plano de perfil auxiliar. Oberve que em todo o cao a terceira projeção etá na mema altura da projeção vertical. Tome ito como regra. 15

16 ESTUDO D RET Chama-e projeção de uma reta obre um plano ao lugar geométrico da projeçõe de todo o eu ponto obre ee plano. - DETERMINÇÃO DE RETS. Uma reta pode er determinada por: a - doi ponto ditinto; b - um ponto e uma direção; c - doi plano ecante - POSIÇÕES RELTIS ENTRE RET E PLNO a - Equiditante: 1 - paralela 2 - pertencente nenhum ponto no plano todo o ponto no plano b - Concorrente 1- oblíqua 2 - perpendicular 16

17 C - CLSSIFICÇÃO DS RETS Doi ponto ditinto no epaço podem definir ete tipo genérico de reta. Primeiramente etaremo reunindo-a em trê grupo. Grupo 1 - Grupo da reta que etão perpendiculare a um do plano de projeçãoe conequentemente paralela ao outro doi. im pouem uma projeção pontual e dua projeçõe em verdadeira grandeza. São denominada reta PROJETNTES. ' " ' () " ' () " () RET ERTICL RET DE TOPO RET FRONTO-ORIZONTL Grupo 2 - Grupo da reta que etão paralela a omente um do plano de projeção, conequentemente oblíqua ao outro doi. im pouem apena uma projeção em verdadeira grandeza. ' () " ' () " ' " () RET ORIZONTL RET FRONTL RET DE PERFIL Grupo 3 - Grupo da reta que etão oblíqua ao trê plano de projeção, conequentemente nenhuma de ua projeçõe pouem verdadeira grandeza. RET QULQUER 17

18 gora etudaremo, uma a uma, a reta.. ocê deverá utilizar a maquete do triedro para analiar a reta que erá apreentada por ua perpectiva e épura. a - RET ERTICL CRCTERÍSTICS ' " ' " NO ESPÇO a reta é: perpendicular ao ; paralela ao ; paralela ao. () OS PONTOS da reta pouem: abcia iguai; afatamento iguai; cota diferente. EM ÉPUR a projeção: horizontal é pontual; vertical é perpendicualar à LT. a - RET DE TOPO CRCTERÍSTICS NO ESPÇO a reta é: paralela ao ; perpendicular ao ; paralela ao. OS PONTOS da reta pouem: abcia iguai; afatamento diferente; cota iguai. EM ÉPUR a projeção: horizontal é perpendicualar à LT; vertical é pontual. c - RET FRONTO-ORIZONTL CRCTERÍSTICS NO ESPÇO a reta é: paralela ao ; paralela ao ; perpendicular ao. OS PONTOS da reta pouem: abcia diferente afatamento iguai cota iguai EM ÉPUR a projeção: horizontal é paralela à LT vertical é paralela à LT a terceira projeção é pontual 18

19 RETS PRLELS SOMENTE UM DOS PLNOS DE PROJEÇÃO d - RET ORIZONTL CRCTERÍSTICS No epaço a reta é: paralela ao ; oblíqua ao ; oblíqua ao. O ponto da reta pouem: abcia diferente; afatamento diferente; cota iguai. EM ÉPUR a projeção: horizontal é oblíqua à LT; vertical é paralela à LT. e - RET FRONTL CRCTERÍSTICS NO ESPÇO a reta é: oblíqua ao ; paralela ao ; oblíqua ao. OS PONTOS da reta pouem: abcia diferente; afatamento iguai; cota diferente. EM ÉPUR a projeção: horizontal é paralela à LT; vertical é oblíqua à LT. f - RET DE PERFIL CRCTERÍSTICS NO ESPÇO a reta é: oblíqua ao ; oblíqua ao ; paralela ao. OS PONTOS da reta pouem: abcia iguai afatamento diferente cota diferente ORTOGONL LIN DE TERR EM ÉPUR a projeção: horizontal é perpendicular à LT vertical é perpendicular à LT poui na terceira projeção. 19

20 PERPENDICULR LIN DE TERR Eta é a única reta que poui verdadeira grandeza omente na terceira projeção, daí algun autore tratarem do aunto terceira projeção, voltado quae que excluivamente para a reta de perfil. reta de perfil pode epacialmente tocar ou não a Linha de Terra, ito e reflete em épura atravé de ua projeçõe. Oberve a terceira projeçõe deta reta de perfil, e compare-a. última dela, poui afatamento nulo no memo ponto em que a cota também é nula, portanto é uma reta de perfil perpendicular à LT. outra portanto erá ortogonal à LT. f - RET QULQUER CRCTERÍSTICS NO ESPÇO a reta é: oblíqua ao ; oblíqua ao ; oblíqua ao. OS PONTOS da reta pouem: abcia diferente; afatamento diferente; cota diferente. REERS À LIN DE TERR EM ÉPUR a projeção: horizontal é oblíquar à LT; vertical é oblíqua à LT. CONCORRENTE À LIN DE TERR Da mema forma que a reta de perfil, a reta qualquer também poderá tocar ou não a LT endo calificada de concorrente ou revera à LT repectivamente. Faça com ela a mema comparação que foi feita entre a reta de perfil. 20

21 D - PRTICULRIDDES O etudo da reta envolvem alguma particularidade, que detacaremo a eguir. Toda a reta paralela a um plano de projeção, pode pertencer a ele, batando que a coordenada correpondente eja nula. Ito implica que, epacialmente, a reta e torna coincidente com a própria projeção e pertencente ao plano. () () () () im endo, a reta horizontal, frontal e de perfil que ão paralela a um do plano de projeção... ' () " ' () " ' " () RET ORIZONTL RET FRONTL RET DE PERFIL... podem pertencer a omente um do plano de projeção. () ' " ' " () ' " () RET ORIZONTL do RET FRONTL do RET DE PERFIL do Para evidenciarmo eta condição particular da reta vamo acrecentar por "obrenome",tal caracterítica. 21

22 Já, a reta projetante, podem pertencer até doi plano de projeção. ' () " ' " () " () ' RET ERTICL do RET ERTICL do RET ERTICL do e do ' () " ' ' () " () " RET de TOPO do RET de TOPO do RET de TOPO do " ' () ' () " ' () " RET FRONTO-ORIZONTL do RET FRONTO-ORIZONTL do RET FRONTO-ORIZONTL do e do (Linha de Terra) única reta que não pode pertencer a nenhum do plano de projeção é a reta qualquer, poi a mema e encontra oblíqua ao trê plano de projeção. 22

23 E - PERTINÊNCI DE PONTO À RET Um ponto pertence a uma reta quando ua projeçõe pertencem à projeçõe de memo nome da reta, ou eja: - a projeção horizontal do ponto obre a projeção horizontal da reta - a projeção vertical do ponto obre a projeção vertical da reta - a terceira projeção do ponto obre a terceira projeção da reta P P P (P) P ' " P P Qualquer que eja a reta e um ponto pertencente a ela, eta trê condiçõe deverão er atifeita; ma, excetuando-e a reta de perfil, a demai reta podem er analiada apena no diedro ( e ), ou eja, um ponto pertencerá a reta e a projeçõe do ponto pertencerem a repectiva projeçõe horizontal e vertical da reta. P P P ' (P) " ' P " () P P RET DE PERFIL 3ª PROJEÇÃO Portanto, a reta de perfil deverá neceariamente er analiada na trê projeçõe, o que implica na obtenção da terceira projeção. 23

24 F - PONTO NOTÁEIS D RET () () São ponto no quai uma reta atravea plano também notávei. Etaremo enfocando a intereção da reta com o plano horizontal e vertical de projeção. Ete ponto onde a reta "fura" o plano ãodenominado de traço de reta. (Na GD traço = intereção) (r) (r) (r) Uma reta omente poui traço obre um plano quando for concorrente a ete; etando equiditante (paralela ou pertencente) não pouirá o traço. im endo, uma reta numa determinada poição pode pouir um ou mai traço. exceção fica para a reta fronto-horizontal, que é a única reta equiditante do plano analiado. Traço da Reta no Plano orizontal e ertical de Projeção O traço de uma reta é empre um ponto único, que pertence à reta e ao plano correpondente. Em relação ao plano horizontal e vertical no ambiente do Primeiro Diedro, a reta pode concorrer com ele em trê poiçõe genérica:, e obre a Linha de Terra. Então o que temo a fazer é a identificação da exitência dete ponto na reta. C C PONTO NO PONTO NO PONTO N LT DETERMINÇÃO DO TRÇO ORIZONTL ' ' () () " " O traço horizontal () empre pertencerá ao plano horizontal; aim, empre terá cota nula. Portanto, em épura prolongae a projeção vertical até a LT (onde a cota e torna nula) e determina-e a linha de chamada do ponto () procurado. projeção pertencerá a projeção e a projeção ' pertencerá a projeção '. ' ' 24

25 DETERMINÇÃO DO TRÇO ERTICL () ' ' " () " O traço vertical () empre pertencerá ao plano vertical; aim, empre terá afatamento nulo. Portanto, em épura prolongae a projeção horizontal até a LT (onde o afatamento e torna nulo) e determina-e a linha de chamada do ponto () procurado. projeção pertencerá a projeção e a projeção ' pertencerá a projeção '. ' ' EM RESUMO TEMOS: Para determinarmo um traço prolonga-e inicialmente a projeção de nome contrário até que a mema concorra com a LT, onde erá deteminda a linha de chamado correpondente ao traço procurado. tenção: eta regra não é válida para a reta de perfil que exige a determinação de eu ponto na terceira projeção. ejamo outro exemplo em épura. ' r' r' ' ' r' ' r r r ' " " () " Se a reta é concorrente à LT, ma poui doi traço (reta de perfil e qualquer), ele etarão coincidente na própria LT, ou eja, o ponto de afatamento nulo, também é o ponto de cota nula. tente para o fato de que doi ponto coincidente não definem uma reta. () () ' ' 25

26 Oberve no exemplo anteriore que dua projeçõe encontram-e obrigatoriamente obre a LT. São ela: - projeção horizontal do traço vertical (projeção referente ao afatamento nulo); ' - projeção vertical do traço horizontal. (projeção referente a cota nula). Ou eja, ' na LT. Tome ito como regra. TRÇOS ORIZONTL E ERTICL N RET DE PERFIL obtenção do traço horizontal e vertical na reta de perfil é realizada atravé da utilização da terceira projeção (vita lateral), poi nete tipo de reta a imple análie no diedro não é uficiente para a identificação da pertinência do ponto à reta. Deta maneira, temo que prolongar a terceira projeção da reta que encontrará a projeçõe " e " e retornar com a informaçõe para a abcia correpondente deteminando aim a projeçõe do traço horizontal e vertical repectivamente. G - POSIÇÕES RELTIS ENTRE DUS RETS a - Quando coplanare podem er: RETS QUE DMITEM POSSIILIDDE DE PERTENCEREM UM MESMO PLNO (b) (a) (b) (a) COINCIDENTES PRLELS (a) (b) (a) (b) CONCORRENTES PERPENDICULRES Quando concorrente, e formarem um ângulo reto, ão denominada de reta perpendiculare Tanto a reta paralela, quanto a concorrente, podem pertencer a plano ditinto, ma ainda aim ão coniderada coplanare, poi empre exitirá um plano que a contenham. 26

27 b - Quando não coplanare podem er: RETS QUE NÃO DMITEM POSSIILIDDE DE PERTENCEREM UM MESMO PLNO (r) (r) (a) (b) (c) (a) (b) (c) REERSS ORTOGONIS Toda a reta de um plano que não concorrem com uma reta oblíqua a ele ão denominada revera, ou ainda revea em relação à referida reta. Toda a reta de um plano que não concorrem com uma reta perpendicular a ele ão denominada ortogonai em relação à referida reta. Dua reta podem: - não pouir ponto comum (paralela e revera) ; - pouir um único ponto comum ( concorrente ou incidente) ; - pouir mai de um ponto comum (coincidente). NÁLISE DS POSIÇÕES RELTIS EM ÉPUR Com exceão da reta de perfil, poderemo, atravé da análie da projeçõe no diedro ( e ), conhecer qual é a poição relativa entre amba, ito porque a reta de perfil neceita de er analiada no triedro. a -Reta Concorrente: dua reta coplanare que pouem um único ponto comum ão denominada concorrente ou incidente. Teorema: dua reta concorrente projetam-e em geral, egundo projeçõe concorrente. PRIMEIRO CSO SEGUNDO CSO TERCEIRO CSO a b a b a b b a a b a b S PROJEÇÕES DE MESMO NOME, DS DUS RETS, CONCORREM EM UM MESM LIN DE CMD. DUS PROJEÇÕES DE MESMO NOME, SE CONFUNDEM, E S OUTRS DUS SÃO CONCORRENTES. UM PROJEÇÃO PONTUL PERTENCE PROJEÇÃO DE MESMO NOME D OUTR RET. 27

28 b -Reta Paralela: dua reta coplanare, que não pouem ponto comum ão denominada, reta paralela. Teorema: dua reta paralela projetam-e em geral, egundo projeçõe paralela. PRIMEIRO CSO SEGUNDO CSO TERCEIRO CSO a b b a a b a a b a b b S PROJEÇÕES DE MESMO NOME SÃO PRLELS ENTRE SI. DUS PROJEÇÕES DE MESMO NOME SE CONFUNDEM E S OUTRS DUS SÃO PRLELS. DUS PROJEÇÕES PONTUIS DE MESMO NOME SÃO DISTINTS. c -Reta Revera: dua reta ão revera quando não pouirem ponto comum e não forem paralela; portanto, poderemo identificá-la por excluão, ou obervando o doi cao abaixo. PRIMEIRO CSO SEGUNDO CSO a b a b a a b b S PROJEÇÕES DE MESMO NOME, DS DUS RETS, NÃO CONCORREM EM UM MESM LIN DE CMD. UM PROJEÇÃO PONTUL NÃO PERTENCE À PROJEÇÃO DE MESMO NOME D OUTR RET. d -Reta Coicidente: dua reta ão coicidente quando ua projeçõe de memo nome e confundem. Na prática, é uma única reta com doi nome. a b a b R a b a b R S S tenção: podemo ter egmento não coicidente obre reta coincidente. 28

29 e -Perpendicularimo Teorema de Monge: "Quando dua reta ão perpendiculare entre i no epaço, endo uma dela paralela a um plano dado, em que a outra eja perpendicular ao plano, a projeçõe deta dua reta obre o plano ão perpendiculare entre i. () (r) PERPENDICULRES r Em épura, ito ignifica que, e uma projeção de uma reta forma um ângulo reto com a projeção em de uma outra, a reta erão perpendiculare e concorrente, e ortogonai e revera (r) () PERPENDICULRES r Ma quando uma for paralela e a outra perpendicular ao plano, bata a projeção pontual pertencer à outra projeção, e erão perpendiculare entre i no epaço... () (r) r... contudo, e a projeção pontual etiver fora, erão ortogonai. ORTOGONIS Obervação: quando dua reta perpendiculare ou ortogonai no epaço (cao particulare de reta concorrente e reta revera repectivamente) etiverem oblíqua a um plano dado, erão identificada como tal, quando da aplicação de método decritivo, que envolvem conteúdo avançado; ma por hora poderemo identificá-la como concorrente ou revera. 29

30 - POSIÇÕES RELTIS ENTRE DUS RETS DE PERFIL No etudo da poiçõe relativa entre dua reta de perfil, iremo recorrer ao uo da terceira projeção, também conhecida por vita lateral. Podemo encontrá-la em dua ituaçõe genérica: quando pouírem a mema abcia e quando a abcia forem ditinta. a - Dua Reta de Perfil em uma mema abcia. POSSUINDO MESM CISS JMIS SERÃO REERSS OU ORTOGONIS b a b a a (a) (b) (a) (b) (a) (b) b (a) (b) a b PRLELS COICIDENTES CONCORRENTES PERPENDICULRES terceira projeçõe paralela terceira projeçõe conicidente terceira projeçõe concorrente terceira projeçõe perpendiculare b - Dua Reta de Perfil em abcia diferente POSSUINDO CISSS DIFERENTES, JMIS SERÃO CONCORRENTES OU PERPENDICULRES (a) a b (b) (a) a b b (b) a (b) (b) a (a) (b) (a) b PRLELS PRLELS REERSS ORTOGONIS terceira projeçõe paralela terceira projeçõe conicidente terceira projeçõe concorrente terceira projeçõe perpendiculare 30

31 ESTUDO DOS PLNOS - DETERMINÇÃO DE PLNOS Na geometria elementar temo plano definido por: () () (C) () TRÊS PONTOS DISTINTOS NÃO COLINERES UM RET E UM PONTO EXTERIOR EL DUS RETS CONCORRENTES DUS RETS PRLELS UM RET E UM DIREÇÃO Tal qual a reta, o plano podem ocupar vária poiçõe em relação ao plano de projeção, recebendo por io nome diferente. GD repreenta o plano, além do modo fornecido pela geometria elementar, pelo eu traço. Traço de plano é a reta reultante da intereção dete em outro plano. 31

32 O traço de um plano obre o plano horizontal de projeção é uma reta de cota nula, endo denominada de TRÇO ORIZONTL. O traço de um plano obre o plano vertical de projeção é uma reta de afatamento nulo, endo denominada de TRÇO ERTICL. Denominaremo de TERCEIRO TRÇO ou traço de perfil,a intereção do plano com o plano de perfil. Ete traço erá uma reta de abcia contante. TRÇO ORIZONTL TRÇO ERTICL TERCEIRO TRÇO Etaremo adotando a iniciai do nome genérico dado ao plano na língua portuguea. Utilizando por exemplo o plano (Q) temo: poiçõe do traço de um plano em relação à LT ão variávei, ito é, podem o traço ocupar poiçõe diferente, conforme a ituação do plano, ma quando um plano for oblíquo à LT, determinará obre ela um único ponto de concorrência. Dete ponto nacem o traço horizontal e vertical. Qo Q Q' O valor da abcia dete ponto, permite determinar o traço do plano à partir do conhecimeto da angulação dete com a LT. Ete ponto recebe a notação em épura de Qo para um plano (Q), To para um plano (T) e aim por diante. Lembre-e que ele poui afatamento e cota nulo, podendo ua abcia, aumir diferente valore. 32

33 - POSIÇOES RELTIS ENTRE DOIS PLNOS Um plano em relação a outro plano poderá etar oblíquo ou equiditatante. a) - quando equiditante paralelo coicidente b) - quando oblíquo concorrente perpendiculare Na GD quando um plano etá perpendicular a um plano de projeção, ele é denominado de plano projetante. Eta particularidade, e bem entendida, facilitará em muito o etudo do plano, portanto ante de claificarmo o plano egundo ua poiçõe em relalção ao plano de projeção, detalharemo melhor o plano projetante. Denominaremo o traço de um plano perpendicular a outro, de traço projetante, endo portanto, o reultado do perpendicularimo de um plano em relação a um plano de projeção. Oberve que a linha projetante ao incidirem perpendicularmente obre o plano de projeção tem ua trajetória obre o plano (a), o que implica na localização da projeçõe do elemento pertencente a ete plano, obre o próprio traço projetante. Quando um plano é projetante, eu traço repreenta, não omente a i próprio, ma também a toda infinita uperfície plana. 33

34 Quando um plano não é projetante, eu traço traduz tão omente ua intereção com o plano de projeção, portanto o elemento pertencento ao plano, ma que não etão no traço, projetam-e fora dete. Então podemo concluir que: O traço projetante recebe obre i toda a projeçõe de memo nome, do elemento pertencente ao plano. Tome ito como regra. Ito ignifica que: - o traço horizontal quando projetante recebe a projeçõe horizontai do elemento pertencente ao plano; - o traço vertical quando projetante recebe a projeçõe verticai do elemento pertencente ao plano; - e analiarmo o plano ao nível do triedro então um plano projetante em relação ao plano de perfil terá eu terceiro traço recebendo a terceira projeçõe do elemento pertencente ao plano. C - CLSSIFICÇÃO DOS PLNOS O plano ão ilimitado, o que permite que o memo alcancem mai de um diedro. Contudo, priorizaremo o etudo do plano à ua porçõe útei no primeiro diedro. Chamae porção útil de um plano num diedro à parte do plano compreendida por eu traço nee diedro. PORÇÃO ÚTIL DO PLNO NO PRIMEIRO DIEDRO naliado em relação ao trê plano de projeção, o plano podem er ditribuído em trê grupo. 34

35 Grupo 1 - Grupo do plano que ão paralelo a um do plano de projeção, e conequentemente, perpendiculare (projetante) ao outro doi. Plano orizontal Plano Frontal Plano de Perfil Grupo 2 - Grupo do plano que ão perpendiculare a omente um do plano de projeção, e conequentemente, oblíquo ao outro doi. Plano ertical Plano de Topo Plano Paralelo à LT Plano que Paa pela LT Grupo 3 - Grupo do plano que ão oblíquo ao trê plano de projeção, conequentemente, jamai erá paralelo ou perpendicular a qualquer um do plano de projeção. Plano Qualquer 35

36 1 - PLNO ORIZONTL OU DE NÍEL (plano projetante no e no ) L' L'' L' (L) Caracterítica no Epaço paralelo ao perpendicular ao perpendicular ao Caracterítica em Épura (diedro) poui apena o traço vertical paralelo à LT 2 - PLNO FRONTL OU DE FRENTE (plano projetante no e no ) (F) F" F F Caracterítica no Epaço perpendicular ao paralelo ao perpendicular ao Caracterítica em Épura (diedro) poui apena o traço horizontal paralelo à LT 3 - PLNO DE PERFIL (plano projetante no e ) P P' (P) Po P Po P Caracterítica no Epaço perpendicular ao perpendicular ao paralelo ao Caracterítica em Épura (diedro) o traço horizontal e vertical ão perpendiculare à LT 36

37 4 - PLNO DE TOPO (plano projetante no ) T' T" To T (T) Caracterítica no Epaço oblíquo ao perpendicular ao oblíquo ao Caracterítica em Épura (diedro) o traço vertical oblíquo à LT o traço horizontal perpendicular à LT 5 - PLNO ERTICL (plano projetante no ) Z (Z) Z' Z" Zo Zo Z Caracterítica no Epaço perpendicular ao oblíquo ao oblíquo ao Caracterítica em Épura (diedro) traço horizontal oblíquo à LT traço vertical perpendicular à LT Z 6 - PLNO PRLELO À LT (plano projetante no ) K' (K) K'' K K" K K Caracterítica no Epaço oblíquo ao oblíquo ao perpendicular ao Caracterítica em Épura (diedro) traço horizontal e vertical paralelo à LT 37

38 7 - PLNO QUE PSS PEL LT (plano projetante no ) Ete plano não conegue er definido por eu traço no diedro, poi para o memo traço pode o plano aumir diferente angulaçõe com o e o, neceitando portanto, de um ponto que o fixe no epaço. No exemplo abaixo o ponto () é o ponto auxiliar. ' X" () (X) X X' X" Caracterítica no Epaço oblíquo ao oblíquo ao perpendicular ao Caracterítica em Épura (diedro) traço horizontal e vertical coincidente com a LT 8 - PLNO QULQUER ( ÚNICO PLNO NÃO PROJETNTE ) Q' Qo Q' (Q) Q Q" Qo Q Caracterítica no Epaço oblíquo ao oblíquo ao oblíquo ao Caracterítica em Épura (diedro) traço horizontal oblíquo à LT traço vertical oblíquo à LT 38

39 D - RETS DO PLNO nte de analiarmo em épura, a pertinência da reta ao plano, apreentaremo o tipo de reta genérica que cada plano pode conter. tente para o fato deque o plano qualquer é o único plano que contém quatro tipo diferente de reta, enquanto o demai, apena trê. Lembre-e que o traço do plano (que ão reta), já revelam tipo de reta pertencívei ao plano. h = horizontal f = frontal v = vertical t= de topo fh = fronto-horizontal p = de perfil q = qualquer (fh) (h) (t) (f) (v) (p) (fh) (t) Plano orizontal Plano Frontal Plano de Perfil (f) (q) (v) (h) (q) (fh) (q) (p) (t) Plano de Topo Plano ertical Plano Paralelo à LT (q) (p) (q) (fh) (f) (p) (h) Plano que Paa pela LT Plano Qualquer 39

40 E - PERTINÊNCI DE RET PLNO EM ÉPUR De maneira prática uma reta pertence a um plano quando poui doi ponto ditinto obre ele. preentaremo cinco condiçõe para uma reta pertencer a um plano para analie em épura. condiçõe 1 e 2 não requerem a utilização do traço do plano. 1 - Toda reta concorrente com dua reta de um plano, em ponto ditinto, pertence ao plano () (x) (r) ' ' r r x 1 r r 1 x Toda reta concorrente com uma reta de um plano e paralela a outra do memo plano etá contida no plano. () ' ' 1 r r x (r) (x) r 1 r x 40

41 condiçõe 3 e 4 utilizam-e do traço do plano 3 - Toda reta que tem eu traço () e () ditinto, obre o traço de memo nome do plano, etá contida no plano. ' Q' ' Qo () Q () () Q Qo ' ' ' Q Qo () () Q' () () Q Quando uma reta ( qualquer ou perfil ) pouir o doi traço, e ete forem coincidente (ito ó acontece na LT), embora ejam doi, geometricamente e contituem em um único ponto, o que não é uficiente para determinar a pertinência da reta obre o plano. Nete cao, faz-e neceário a utilização de um ponto auxiliar obre o plano. eja o exemplo em épura na página 54 para a reta de perfil e 60 para a reta qualquer. 4 - Toda reta que e apóia em um do traço do plano e é paralela ao outro, etá contida no plano. Q' () Qo () Q 41

42 5 - CSO IMEDITO (PLNOS PROJETNTES) - Toda reta (nete cao válido para qualquer ente geométrico póivel de pertencer a um plano) que poui ua projeção obre o traço projetante de memo nome, pertence ao plano. (er página 41e42) Oberve que o único plano não projetante é o plano qualquer, portanto ete etá fora deta análie. O demai plano poderão er analiado no diedro, exceto o plano paralelo à LT e o plano que paam pela LT, que deverão er analiado no triedro (uo da terceira projeção). É importante alientar que neta condição de análie, não e neceita do traço da reta, ma quando determinado obedecerão à condiçõe repectiva expota anteriormente. T' T' ' T' a' (a) To ' a' To ' ' r' To a a T T T Plano de Topo K ' (K) K' () ' K" ' " () " K " ' " ' K" ' () PLNO PRLELO À LT K PLNO PROJETNTE NO eguir apreentaremo atravé da perpectiva e da épura a reta pertencente a cada plano, oberve que o traço da reta pertencem ao traço de memo nome do plano. 42

43 Reta pertencente ao PLNO ORIZONTL L' () ' L' " (L) " L" () RET DE TOPO ' L' L" " L' ' ' ' () (L) RET FRONTO-ORIZONTL L' () ' ' " () (L) L" L' ' ' ' ' RET ORIZONTL 43

44 Reta pertencente ao PLNO FRONTL ' " () (F) F" F F () RET ERTICL ' F" ' ' ' " () (F) F RET FRONTO-ORIZONTL F ' (F) () F" " ' ' ' () F RET FRONTL F 44

45 Reta pertencente ao PLNO DE PERFIL () P' ' ' (P) " P Po () Po P RET DE TOPO P P ' P' " ' () ' () Po (P) () P' (P) ' P ' " RET ERTICL P ' ' Po ' Po P ' " () () P RET DE PERFIL Ortogonal à LT P P' ' " () ' ' P0 () () ' RET DE PERFIL Perpendicular à LT P 45

46 Reta pertencente ao PLNO DE TOPO T' () ' T'' To To T' (T) () T RET DE TOPO T T' T' T'' ' () " To To T () (T) RET FRONTL T ' T' ' To () T ' T ' ' " () T'' (T) " () RET QULQUER Revera à LT To ' T ' ' ' T' ' To ' T' " " () " T'' To ' () () ' T (T) RET QULQUER Concorrente à LT T 46

47 Reta pertencente ao PLNO ERTICL Z ' Z' Zo ' " () ' () " Z (Z) Z" Zo ' ' Z RET ERTICL Z ' ' ' Z' ' " (Z) Zo () ' () Z" Zo Z RET ORIZONTL Z ' ' Z () Z' ' ' Zo () () " (Z) Z" Z Zo ' ' RET QULQUER Revera à LT Z Z ' Z' () ' " Zo () ' () (Z) Z" Z RET QULQUER Concorrente à LT Zo CONCORRENTE L.T. ' Z 47

48 Reta pertencente ao PLNO PRLELO À LT. (K) ' K' K" " ' K ' ' " " K" () K RET FRONTO-ORIZONTL K () ' K' (K) ' () ' " K" " " K ' ' K ' " K" () RET QULQUER Ete plano admite omente Reta Qualquer Revera à LT K K () ' K' " K" (K) ' " () ' ' ' " K" " () K RET DE PERFIL Ete plano admite omente Reta de Perfil Ortogonal à LT K 48

49 Reta pertencente ao PLNO que PSS Pela LIN DE TERR M M ' X' X () " X" (X) ' ' X X ' X" " " RET FRONTO-ORIZONTL M M M X" (X) X () " X" ' ' X X X' () () ' RET DE PERFIL Ete plano admite omente Reta de Perfil Perpendicular à LT M M M X" ' ' " " X X () () ' RET QULQUER Ete plano admite omente Reta Qualquer Concorrente à LT M 49

50 Reta pertencente ao PLNO QULQUER Q' () ' Q' " ' " () Q" Qo ' ' ' ' Qo Q (Q) RET ORIZONTL Q Q' ' Qo ' () () " " (Q) Q RET FRONTL ' " Q' ' " Qo () ' (Q) Q' ' " () () Q" Q Qo RET DE PERFIL Ortogonal à LT Q ' ' ' " " " 50

51 Reta pertencente ao PLNO QULQUER (continuação) ' () ' Qo Q' (Q) Q" ' " () Q () Qo ' ' Q' ' ' RET QULQUER Revera à LT Q Q' Qo ' Q' () () () ' " (Q) Q Q" RET QULQUER Concorrente à LT (Faz-e neceário o uo de uma reta e um ponto auxiliar) Qo a a a ' (da reta auxiliar) a Q P P Quando uma reta qualquer pouir o doi traço coincidente (ito ó acontece na LT), embora nominalmente ejam doi ponto, geometricamente e contituem em um único ponto, o que não é uficiente para determinar a pertinência da reta obre o plano. im, faze neceária a utilização de um ponto auxiliar obre o plano (P) que por ua vez neceita de uma reta auxiliar (preferencialmente a reta horizontal e frontal do plano). 51

52 F - QUDRO SÍNTESE DE PERTINÊNCI DE RET PLNOS Reta ertical no e Traço () Reta de Topo no e Traço () Reta Fronto-orizontal no e Não poui Traço Reta orizontal no Traço () Reta Frontal no Traço () Reta de Perfil no Traço () e () Reta Qualquer Não poui Traço () e () Projetante no e Plano orizontal (t) (fh) (h) Projetante no e Plano Frontal (v) (fh) (f) Projetante no e Plano de Perfil (v) (t) (p) Projetante no Plano de Topo (t) (f) (q) rev (q) Projetante no Plano ertical (v) (h) (q) (q) rev Projetante no Plano // à LT (fh) (p) (q) rev Projetante no Plano P/ P/ LT (fh) (p) (q) NÃO Projetante Plano Qualquer (h) (f) (p) (q) (q) rev 52

53 G - RETS DE MÁXIMO DECLIE (MD) E MÁXIM INCLINÇÃO (MI). São a reta de um plano que formam o maior ângulo poível com o plano orizontal e/ou ertical de projeção repectivamente, ou eja, formam o memo ângulo que o plano, ao qual pertencem, forma com o e ou com o. Sendo a reta (i) o traço (intereção) entre o plano genérico () e (), que formam entre i um ângulo alfa, podemo fazer a eguinte conideraçõe. (Tomemo alfa = 45º por exemplo) () () (t) (u) () (t) (u) (i) () O plano () pode conter infinita reta obre i. Eta reta poderão formar com o o plano () diferente ângulo que podem variar de 0º a 45º (nete cao o valor de alfa=45º) reta (), perpendicular ao traço entre o plano, forma com o plano () um ângulo de 45º. reta (t), oblíqua ao traço entre o plano, forma com o plano () um ângulo uperior a 0º e inferior a 45º. reta (u), paralela ao traço entre o plano, forma um ângulo igual a 0º com o plano (), etando portanto equiditante em relação ao referido plano. Obervando a reta (), podemo concluir que toda reta pertencente ao plano () que formar um ângulo reto como o traço (i), formará o maior ângulo poível com o plano (), que é o valor de alfa. Se eta análie for etendida ao plano que pouem traço obre o Plano orizontal de projeção (), podemo afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço horizontal também formará o maior ângulo poivel com o. Eta reta ão denominada de Reta de Máximo Declive. () TRÇO ERTICL () TRÇO ORIZONTL RET DE MÁXIMO DECLIE RET DE MÁXIM INCLINÇÃO No entanto e a mema análie for etendida ao plano que pouem traço obre o Plano ertical de projeção (), podemo afirmar que: toda reta do plano, que formar um ângulo reto com o traço vertical também formará o maior ângulo poivel com o Pv. Eta reta ão denominada de Reta de Máxima Inclinação 53

54 Todo ete raciocínio exemplificado atravé de plano não projetante é extenivo ao plano projetante em relação ao e (O plano projetante ão aquele perpendiculare ao plano de projeção). O fato do plano er ou não er projetante interfere apena na repreentação em épura. Oberve que no plano NÃO PROJETNTES, a reta perpendicular ao traço do plano gera obre o ou, uma projeção também perpendicular ao traço. Já no plano PROJETNTES, a reta perpendicular ao traço, também é perpendicular ao ou, gerando aim, uma projeção pontual obre o traço correpondente. () () () () () () TRÇO ORIZONTL () () TRÇO ORIZONTL TRÇO ERTOCL () () TRÇO ERTOCL () () ejamo eta reta de MD e MI no plano Qualquer. Em épura a reta de máximo declive de plano não projetante no, é caracterizada por pouir ua projeção horizontal também perpendicular ao traço horizontal. Q' Q' ' 90º ' ' ' Qo ' ' Qo ' ' Q Q 90º Na página eguinte, apreentamo um quadro íntee com todo o Plano e ua repectiva reta de máximo declive e/ou máxima inclinação. 54

55 - QUDRO SÍNTESE DE RETS DE MÁXIMO DECLIE E MÁXIM INCILNÇÃO. MÁXIMO DECLIE MÁXIM INCLINÇÃO MÁXIMO DECLIE MÁXIM INCLINÇÃO Q' (t) (v) Q Q Q (v) (t) Qo Qo Q Q (f) (t) Q Q (v) (h) Qo Qo Q Q (q) Qo Q ' Qo Q' 90º ' (q) 90º Q Q (p) Q ' Q Q" ' ' M M (p) M 55