Conteúdo. Ao Leitor 01. Ternas Pitagóricas 02. Desconto por compra à vista 04. Sobre o logotipo da revista 06

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1 Coteúdo Ao Leitor 01 Teras Pitagóricas 0 Descoto por compra à vista 04 Sobre o logotipo da revista 06 Plaejado a costrução de estradas e potes 08 Problemas 09 REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO Edição, ilustrações, seções e artigos ão assiados: Calixto Garcia Revisão: Cárme Silvia P. S. de Lima Esta edição está composta em.doc, fote Times New Roma, corpo 1 Os artigos publicados são de resposabilidade dos autores. Solicitamos que a reprodução de artigos desta obra teha a idicação de fote. Cotatos: Colégio Absoluto - Aglo: Rua Atoio Nery, 550, Tietê, SP; A/C Prof. Calixto Garcia - Prof. Calixto Garcia: klixg@yahoo.com.br 4º bimestre 007 REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO Nº 0 4º bimestre de 007

2 Ao Leitor É com grade satisfação que auciamos o sucesso a Olimpíada de Matemática da Uicamp (OMU), obtido pelos ossos aluos Beatriz S. Rossitti, Luiz Ferado T. Novaes, Mateus Zaetti e Paulo R. Polastri, da ª e 3ª séries do Esio Médio. Parabeizamos o professor Carrariho pelo eficiete trabalho de treiameto, que vem realizado há aos com aluos participates desse toreio. No dia 6 de outubro, estivemos em Campias participado da soleidade de etrega de certificados e da cofraterização etre professores, diretores, familiares e atletas olímpicos. Esperamos que o cotetameto proporcioado por essa experiêcia cotiue cotagiado ossos aluos, estimulado-os a tomar parte cada vez mais dessa comuidade. O professor Carrariho agradece o apoio da direção do Colégio Absoluto, o custeio de provas e viages, e em possibilitar a implemetação das aulas de treiameto. Chegamos ao segudo úmero de ossa revista. Por meio de cometários, críticas, sugestões e participação a resolução dos problemas propostos, objetivamos o aprimorameto desse trabalho, visado ateder da melhor forma às votades de ossos leitores. Uma curiosidade sobre determiado assuto da Matemática, um problema que possa suscitar geeralização ou particularização, um método alterativo a resolução de certa situação-problema, etre outras idéias, podem ser objetos de estudo para publicação. Esta edição é referete ao 4º bimestre de 007. Lembramos que o próximo úmero será laçado o iício de 008 e que, a partir de agora, o coteúdo das revistas poderá também ser ecotrado o site de ossa escola ( Desejamos uma boa leitura! Calixto Garcia REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, Problemas propostos 1 A seqüêcia de figuras abaixo mostra as etapas da costrução de castelihos de cartas, em que o úmero de pisos vai aumetado. Quatas cartas são ecessárias para a costrução de um casteliho de cartas com pisos? (eviado por Mateus Zaetti) cartas 7 cartas 15 cartas 1 piso pisos 3 pisos Existem úmeros que têm o último algarismo da direita represetado o total de seus dígitos. Por exemplo, o 9074 é um deles (pois o 4 fial idica o úmero de seus dígitos). Você tem idéia de quatos úmeros desse tipo existem? a) há 45 úmeros assim b) há ifiitos úmeros desse tipo c) há um milhão de úmeros assim d) há cem milhões de úmeros desse tipo e) faltam dados para a solução umérica ser úica 3 (desafio) Nesta figura, temos dois círculos tagetes etre si, de raios de medidas iguais a 4 cm. Calcule a distâcia etre as retas paralelas r e s de modo que teham mesma área as duas regiões destacadas. REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0,

3 Problemas Teras Pitagóricas Resolução dos problemas propostos o úmero aterior 1 Os triâgulos ABC e CDM têm áreas iguais, pois têm bases e alturas iguais. Já que o triâgulo CMP é região comum a esses triâgulos, segue que a soma das áreas dos APM e BCM é igual à área do CDP. Se ehuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa, o úmero máximo de árvores que possuem úmero diferete de folhas é (desde a pelada até a com folhas). Se ali existem um milhão de árvores, existem certamete mais que uma com o mesmo úmero de folhas. [a] 3 Este problema foi proposto o livro Elemetos de Álgebra, publicado em 1770, em São Petersburgo, pelo grade matemático Euler. Vamos resolver esta questão à luz da Física. Para tato, sejam: u uidade de tempo; p c pulo do cachorro; p l pulo da lebre; V c velocidade do cachorro; V l velocidade da lebre. Das iformações coletadas, temos que:» V c = 3 p c / u Daí p l = /3 p c e V l = 8/3 p c / u» V l = 4 p l / u E a distâcia iicial etre eles é:» p c = 3 p l 50 p l = 50. /3 p c = 100/3 p c Assim sedo, as equações horárias de seus movimetos são:» S c = V c.t ou S c = 3.t O cachorro a pegará se S c = S l, isto é, se» S l = S o + V l.t ou 3.t = 100/3 + 8/3.t, ou seja, se t = 100 u.» S l = 100/3 + 8/3.t De S c = 3.t segue que S c = 300 p c Portato, para o cachorro pegar a lebre, deve dar 300 pulos. O triâgulo retâgulo é importate e ecatador aos matemáticos. Seus lados até recebem deomiações especiais: a hipoteusa (o maior deles) e os catetos. Um resultado muito cohecido, que leva o ome do profeta e místico Pitágoras ( a.c., aproximadamete), afirma que o quadrado da medida da hipoteusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. Se as medidas a, b, e c são iteiras e satisfazem o teorema de Pitágoras, etão dizemos que esse trio de úmeros costitui uma tera pitagórica. Eis algus exemplos, ode o maior valor represeta a medida da hipoteusa: (3, 4, 5) ; (5, 1, 13) ; (7, 4, 5) ; (8, 15, 17). Essas são cosideradas teras primitivas, isto é, formadas por úmeros sem fator comum diferete da uidade. Note, etão, que a tera (6, 8, 10) deriva da tera (3, 4, 5). Podemos fabricar uma ifiidade de teras pitagóricas em que o maior de seus elemetos é o sucessor de um dos outros dois, como podemos observar os três primeiros exemplos de teras acima. Aplicado o teorema de Pitágoras, ficamos com: k + = (k + 1), o que acarreta em = k + 1. Isso implica que é ímpar, ou seja, que é ímpar. REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, 007

4 Assim sedo, se = 7, etão = k + 1 = 49. Daí, k = 4 e k + 1 = 5, o que resulta a tera cohecida (7, 4, 5). Verifique que, para = 9, fabricamos a tera (9, 40, 41). Obteha outras desse tipo, atribuido valores ímpares para. Para gerar teras em que a medida da hipoteusa é uidades maior que a medida de um dos catetos, procedemos de maeira semelhate: Do teorema de Pitágoras: k + = (k + ), o que implica em = 4(k + 1), ou seja, em Neste caso, devemos atribuir valores pares para. Note que, para fabricarmos uma tera primitiva, devemos ter k ímpar (ou k + 1 par), o que sigifica que deve ser múltiplo de 4. Assim sedo, se = 4, etão, k = 3 e k + = 5, o que resulta a tera cohecida (3, 4, 5). Etre outras que você pode obter, verifique que, para = 1, fabricamos a tera (1, 35, 37). Outra maeira de costruir uma fábrica de teras pitagóricas é escrever as tais medidas em fução de uma só. Desse modo, explorado-se o caso de a medida da hipoteusa ser uma uidade maior que a medida de um dos catetos, e expressado-as em fução +1 de, obtemos k = e, daí, k + 1 =. Portato, se é um úmero ímpar maior que 1, as teras obedecedo a essa codição são + 1 do tipo,,. Obteha, você, a forma das teras pitagóricas para o caso de a medida da hipoteusa ser uidades maior que a medida de um dos catetos. = k + 1. Plaejado a costrução de estradas e potes Estradas e potes ão são baratas. A estrutura difereciada e a mão de obra especializada as toram obras dispediosas. Portato, o plaejameto de suas costruções é muito importate. Um quesito sigificativo é o comprimeto míimo que devem possuir, especialmete das potes. E é por isso que a grade maioria delas é ortogoal àquilo que traspõem (rios, estradas, vales etc.). Digamos que assim deve ser uma pote que ue duas cidades, distates e separadas por um rio (supohamos as marges dos rios retilíeas e paralelas), ão situadas a mesma direção perpedicular a ele. Em que local costruí-la para que a estrada que ue essas cidades teha comprimeto míimo? Coforme a figura, o poto A é obtido de A pela mesma traslação que leva perpedicularmete uma margem a outra do rio. O segmeto A B itercepta uma margem do rio em Q. Que tal trabalhar com rios separado essas cidades? Referêcias Bibliográficas O segmeto PQ, perpedicular ao rio, costitui a pote. O camiho APQB tem o mesmo comprimeto de AA QB. Já que A QB é um segmeto de reta, APQB tem comprimeto míimo. GARCIA, C. Vamos costruir? RPM º 58, SBM, São Paulo, 005. LEDERGERBER-RUOF, E. B. Isometrias e orametos o plao euclidiao. Atual Editora, São Paulo, 198. REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, 007 8

5 Descoto por compra à vista O leitor que possuir certa habilidade em maipulação algébrica está desafiado a desevolver e simplificar essa seteça. r Deverá cocluir que x = 1. r. r + r 1 Procededo da mesma forma, agora com os triâgulos OQ Q e O Q Q, verificamos que têm lados com medidas OQ = r 1 + r y ; QO = r + y ; Q O = r y e OQ = OC + y = CO OO + y, ou seja, OQ = r 1 r + y. O teorema de Pitágoras aplicado a esses triâgulos resulta em: (Q Q) = (r 1 + r y) (r 1 r + y) = (r + y) (r y), r coduzido a y = 1. r, ou seja, à mesma medida x do raio da outra r1 + r circuferêcia, como queríamos demostrar. Referêcias Bibliográficas BOYER, C. B. História da Matemática. Edgard Blücher, São Paulo, DALCIN, M. Circuferêcias gêmeas de Arquimedes. RPM º 54, SBM, São Paulo, 004. Em tempo de iflação alta, diheiro sob o colchão é certeza de prejuízo. O recomedável é aplicá-lo em uma istituição fiaceira, ou utilizá-lo a aquisição de um bem. Neste último caso, se a compra é feita à vista, é usual egociarmos esse valor, aida que o preço essa modalidade de pagameto esteja auciado. O objetivo desse artigo é obter, por meios matemáticos, uma fórmula que os dê o percetual de descoto que devemos exigir quado efetuamos uma compra à vista. Digamos, por exemplo, que a taxa mesal a qual coseguimos ivestir osso capital seja de 5 %. Um valor de 800 reais, se aplicado a essa taxa, após um mês, passará a 800 1,05 = 840 reais. No mês seguite, 840 1,05 = 88 reais, e assim por diate. Por outro lado, podemos dizer que, hoje, o valor de 441 reais tem o mesmo valor de = 40 reais daqui a um mês, = 400 1,05 1,05 reais daqui a meses, e assim por diate. Para a situação que se segue, cosideremos ser de % a tal taxa mesal. Supohamos que queremos comprar um produto oferecido pelo preço de tabela de 1000 reais ou em 5 vezes sem juros (supodo as prestações iguais e a primeira prestação paga o ato da compra). Assim sedo, pagamos agora 00 reais, 00 reais daqui a 1 mês, 00 reais daqui a meses, e assim por diate, até a 5ª parcela. Isso equivale a desembolsar a data atual: reais. 1,0 1,0 1,0 1,0 Este valor é cerca de 4 % meor que o preço tabelado. Portato, se desejamos adquiri-lo à vista, devemos exigir um descoto de pelo meos esse percetual. REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, 007 4

6 Calculemos, para o caso geral, o descoto míimo de taxa d que devemos requerer, o mometo da compra à vista de um produto, oferecido pelo preço de tabela V, ou em parcelas iguais a P (a primeira paga o ato da compra), sem juros. O pagameto parcelado, com base a data atual, é equivalete ao desembolso de: 1 P P P P = P 1+ i = P 1 + i 1 i 1+ i Note que a soma acima é de uma progressão geométrica de 1 primeiro termo P e razão. Após sofrer o referido descoto d, o 1+ i preço de tabela V =.P, trasforma-se em.p(1 d) e, este, deve ser o valor dessa soma. Assim sedo, de:.p(1 d) = P, temos que.. d = 1 i i Por exemplo, para uma taxa míima de atratividade i = 1,5 % (como é tecicamete chamada), se uma mercadoria lhe for oferecida em 6 vezes, o descoto míimo que você deve pleitear é de 3,6 %. Observações: Fica mais prático o cálculo da taxa d, com o uso de uma calculadora cietífica. Note que o valor de d idepede do valor da compra. Uma prática de preços atipicamete majorados pode sugerir iteção de impressioar o comprador pela magitude do descoto. Referêcia Bibliográfica GARCIA, C. À vista com descoto ou a prazo sem juros? RPM º 0, SBM, São Paulo, 199. Sobre o logotipo da revista O grade siracusao Arquimedes (87 1 a.c.) lidava com matemática avaçada. Algumas vezes, tratava de temas elemetares, como ecotrados o Livro dos Lemas, obra que cotém 15 proposições de Geometria. Uma delas estudava uma figura geométrica plaa com a forma de uma faca de sapateiro, deomiada arbelo, em que se observam três semicircuferêcias, como ilustrado a primeira figura a seguir: Dividido-se o arbelo com um segmeto perpedicular à reta que passa por seus potos agulosos, coforme mostra a seguda figura acima, criamos duas regiões, em cada qual podemos iscrever uma circuferêcia. Etre outros resultados desse estudo, Arquimedes provou que ambas possuem o mesmo raio. Covidamos o leitor, sobretudo aquele que aprecia a Geometria e a Álgebra, a acompahar os passos desta demostração, observado atetamete a figura que segue. Sedo os raios AO = r 1 e BO = r, e O o poto médio de AB, veja que AO = r 1 + r e que, por isso, OO = r. Temos também que OP = CO OO CP = r 1 r x, que OP = r 1 + r x, que PO = r 1 + x e, fialmete, que O P = r 1 x. Aplicado-se o teorema de Pitágoras aos triâgulos O P P e OP P, obtemos (P P) = (OP) (OP ) = (PO ) (O P ), isto é: (r 1 + r x) (r 1 r x) = (r 1 + x) (r 1 x) REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, REVISTA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO ABSOLUTO 0, 007 6