Distribuições de Probabilidade. Distribuições usuais discretas

Transcrição

1 Distribuições de Probabilidade Distribuições usuais discretas 1

2 Distribuições usuais discretas Bernoulli Binomial Poisson 2

3 Distribuição de Bernoulli Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis pode ser descrita por uma variável aleatória de Bernoulli. Por convenção utilizam-se os valores 0 e 1 (0 insucesso, 1 sucesso) e designa-se por p a probabilidade da variável assumir o valor 1. X {0,1}, p [0,1], P(X=1)=f(1)=p P(X=0)=f(0)=1-p 3

4 Distribuição de Bernoulli Exemplos: O sexo de um indivíduo; Pretende-se estudar a incidência de uma certa doença numa certa população. X pode indicar se a doença está presente (X=1) ou ausente (X=0) num indivíduo da população (seleccionado ao acaso). O factor Rh do sangue das pessoa (ou é positivo ou é negativo). 4

5 Distribuição Binomial, X ~ B(n,p) X= número de sucessos em n experiências de Bernoulli (todas independentes), com n fixo à partida e p a probabilidade de sucesso em cada experiência. Exemplo: n = 6, x = 0 n = 6, x = 1 n = 6, x = 3 0 x n f(x)= P(X=x)= n C x p x (1-p) n-x, x=0,1,2,,n. 5

6 Distribuição Binomial Exemplos: O nº de pessoas com Rh positivo num conjunto de 10 indivíduos. O nº de gatas (fêmeas) numa ninhada de 5 gatinhos. O nº de alunos de Biologia (entre os que entraram este ano) que vão concluir o curso em 3 anos. µ =E[X]=np σ 2 = np(1-p) σ = np(1-p) 6

7 Gráfico de f(x) para a distribuição Binomial 7

8 Distribuição Binomial no SPSS No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Binom(x,n,p) Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Pdf.Binom na lista de funções Preencher os campos da função: Pdf.Binom(x,n,p) Carregar em OK Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela variable view. 8

9 Distribuição Binomial no SPSS No SPSS obtêm-se os valores de F(x)=P(X x)=σ i x f(i) no menu Transform / Compute: F(x)= Cdf.Binom(x,n,p) Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Cdf.Binom na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Binom(x,n,p) 9

10 Propriedades da distribuição Binomial A soma de duas variáveis Binomiais independentes e com o mesmo parâmetro p, é ainda uma variável Binomial com parâmetros n igual à soma dos respectivos parâmetros n 1 e n 2 e p. Exemplo: X representa o número de machos de uma ninhada de 6 ratos e Y o número de machos de uma ninhada de 5 ratos. Nas duas ninhadas o número de machos tem distribuição Binomial de parâmetros n=11 e p=probabilidade de um rato recém-nascido ser macho. 10

11 Distribuição de Poisson, X ~ P(λ) A distribuição de Poisson é utilizada para modelar contagens em intervalos de tempo ou regiões do espaço. X {0,1,2, } (pode ir até infinito); λ representa o valor médio da contagem (λ>0). f(x)= P(X=x)= e -λ λ x / x!, x=0,1,2, µ =E[X]= λ σ 2 = λ σ = λ 11

12 Distribuição de Poisson, X ~ P(λ) Exemplos: Nº de tigres existentes em determinada área (da Índia), num dado momento. Nº de carros que vão abastecer o depósito numa bomba de gasolina, num dia. Nº de chamadas telefónicas efectuadas por um aluno, num dia. 12

13 Gráfico de f(x) para a distribuição de Poisson 13

14 Distribuição de Poisson no SPSS No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Poisson(x,λ) Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Pdf.Poisson na lista de funções Preencher os campos da função: Pdf.Poisson(x,λ) Carregar em OK Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela variable view. 14

15 Distribuição de Poisson no SPSS No SPSS obtêm-se os valores de F(x)=P(X x)=σ i x f(i) no menu Transform / Compute: F(x)= Cdf.Poisson(x,λ) Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group Seleccionar a expressão Cdf.Poisson na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Poisson(x,λ) 15

16 Propriedades da distribuição de Poisson A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Exemplo: X representa o número de viaturas que abastecem o depósito de combustível numa estação de serviço de uma pacata vila alentejana na manhã de um certo dia (variável de Poisson com média 5.1) e Y representa o número de número de viaturas que abastecem o depósito na mesma estação de serviço durante a tarde do mesmo dia (variável de Poisson com média 8.4). Ao todo, no dia inteiro, o número de viaturas que abastecem o depósito tem distribuição de Poisson com média