Aula 01 Curso: Estatística p/ ICMS RJ Professor: Fábio Amorim. Curso: Estatística p/ ICMS RJ Teoria e Questões comentadas Prof. Fábio Amorim - Aula 01

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1 Aula 01 Curso: Estatística p/ ICMS RJ Professor: Fábio Amorim Prof. Fábio Amorim 1 de 67

2 Olá pessoal! Curso: Estatística p/ ICMS RJ Vamos dar continuidade ao nosso curso de Estatística para o concurso da SEFAZ/RJ, no cargo de Auditor Fiscal. Antes, porém, é válido dar algumas dicas iniciais para que você aproveite da melhor forma possível este curso. A disciplina de Estatística requer do candidato um tempo considerável para a realização das questões durante o concurso. Sendo assim, quanto mais o candidato estiver preparado, menos tempo ele gastará para responder as questões. Nesse sentido é fundamental que vocês estejam bem treinados nessa disciplina, e a melhor forma de fazer isso é praticar a resolução de questões. Vocês vão perceber já nesta aula, que a prova de Estatística aplicada pela Fundação Carlos Chagas segue um padrão bem definido. Não observamos questões mirabolantes, que demandem do candidato um conhecimento além do normal, entretanto, algumas questões podem ser trabalhosas. Sendo assim, para fazer uma boa prova de Estatística, o candidato, além de ter o conhecimento da teoria, deverá estar bem treinado na resolução das questões. Caso contrário, o candidato pode se atrapalhar na hora de resolver a questão e, no final, nem chegar à resposta correta. Na próxima aula, trarei algumas dicas de estudos que eu acumulei durante meu período de estudos para concursos. Nesta aula, veremos um tema recorrente nas provas, que é a teoria das probabilidades. Pelo Raio-X mostrado na aula 00, vocês podem perceber que essa matéria teve grande incidência nas provas anteriores. Então, vamos começar? Bons estudos! Aula 00 Probabilidades Assunto Página 1- Introdução Conceitos Axiomas das probabilidades Teoremas das probabilidades Questões comentadas Resumo final Lista de exercícios Gabarito 67 Prof. Fábio Amorim 2 de 67

3 1- Introdução O estudo das probabilidades começou com os jogos de azar, como o lançamento de dados, os jogos de roleta, de cartas, etc. A intenção, claro, era dimensionar, de alguma forma, a chance de sucesso sobre cada aposta feita. Sendo assim, caberia ao jogador arriscar mais naquelas situações em que a probabilidade de ganho fosse maior. Atualmente, o estudo das probabilidades está em todas as áreas, e, também, no nosso dia-a-dia. Qual a probabilidade de o Brasil ser campeão da Copa do Mundo? Qual a probabilidade de a inflação anual alcançar um percentual superior a 6%? Qual a probabilidade de chover hoje na sua cidade? Evidentemente, todos esses acontecimentos possuem um resultado incerto. Caso contrário, não falaríamos em probabilidade. Porém, apesar de serem imprevisíveis, é possível dimensionar a chance de acontecer, tendo como base, entre outras possibilidades, dados de observações anteriores. Por exemplo, são poucas as ocorrências de tornados no Brasil. Sendo assim, qual a probabilidade de acontecer um tornado no próximo mês no Estado de São Paulo? Para responder isso, é necessário realizar um levantamento dos acontecimentos anteriores, bem como analisar outros fatores que podem interferir nessa avaliação. Dessa forma, dado que ocorreram 205 tornados entre 1990 e 2010, qual a chance de ocorrer esse fenômeno no próximo mês? A teoria das probabilidades é quem dará a resposta. Assim, em resumo, podemos dizer que por meio da teoria das probabilidades é possível quantificar a ocorrência de um evento incerto, ou seja, de resultado imprevisível. Vamos aos principais conceitos que envolvem as probabilidades! 2- Conceitos 2.1 Experimento Aleatório Podemos conceituar o experimento, genericamente, como uma observação ou realização de certa atividade, com o objetivo de alcançar um determinado resultado. A depender do experimento, esse resultado pode ser previamente conhecido, ou então, imprevisível. Quanto ao primeiro caso, em que os resultados são conhecidos, dizemos que os experimentos são determinísticos. A Física e a Química possuem diversos exemplos de experimentos determinísticos. Entre eles, pode-se citar a força da gravidade: se jogarmos uma bola de vôlei para cima, é certo que, em condições normais, essa bola sofrerá a ação da gravidade e cairá em direção ao chão. Se esse Prof. Fábio Amorim 3 de 67

4 experimento for repetido diversas vezes, o resultado será conhecido, ou seja, a bola cairá no chão em todos os experimentos. Experimento determinístico Quanto à segunda hipótese, em que os resultados são imprevisíveis, dizemos que os experimentos são aleatórios. Nesses casos, o resultado varia de um experimento para outro, dificultando, pois, a sua previsão. São exemplos de experimentos aleatórios: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima; Jogar uma moeda e observar o resultado, se cara ou coroa; Contar o número de peças defeituosas na produção diária de um equipamento; Selecionar 20 pessoas de uma cidade e contar o número de pessoas que ganham acima de R$ 1.000,00 por mês. Experimento Aleatório O estudo das probabilidades, portanto, se atém aos experimentos aleatórios, haja vista que os resultados são desconhecidos. Sendo assim, serão esses os experimentos explorados na presente aula. Importante destacar, por fim, algumas características relativas à análise dos resultados de um experimento aleatório: O experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições e o resultado continuará a ser incerto; Prof. Fábio Amorim 4 de 67

5 Apesar de não se conhecer o resultado previamente, é possível estabelecer os possíveis resultados para o experimento; Se o experimento for repetido diversas vezes, haverá uma estabilidade da relação entre o número de sucessos (ocorrência de um resultado esperado) e o número de repetições do experimento. 2.2 Espaço Amostral Para cada experimento aleatório, define-se espaço amostral como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. Normalmente é representado pela letra S ou Ω. Assim, suponhamos o evento aleatório de lançamento de um dado comum, de seis faces. O espaço amostral desse experimento é representado pelo conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No caso do lançamento de uma moeda, o espaço amostral é o conjunto {cara, coroa}. 2.3 Evento Evento é um conjunto de resultados do experimento, em outras palavras, o evento é um subconjunto do espaço amostral. Normalmente é representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (,,...). Por exemplo, se lançarmos um dado comum, alguns eventos podem acontecer: Ocorrência de número par: = {2,4,6}; Ocorrência de um número menor que 3: = {1,2}; Ocorrência do número 2: = {2}. Os eventos que possuem um único elemento, como o exemplo anterior, = {2}, são chamados de eventos elementares. União entre eventos 2.4 Operação entre Eventos Sejam dois eventos A e B, dizemos que existe união entre os eventos quando, em um determinado experimento, tem-se a ocorrência dos eventos A ou B ou ambos. A união entre esses eventos é representada pela expressão. Prof. Fábio Amorim 5 de 67 S

6 União de dois eventos: A B Suponha-se o lançamento de um dado comum de seis faces (experimento). O espaço amostral S desse experimento é dado pelo conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Caso o evento A seja representado pelos números pares, ou seja, = {2,4,6}, e que o evento B sejam os números menores que 4, = {1,2,3}, a união entre esses eventos,, é representado pelo evento {1,2,3,4,6}. Intersecção de dois eventos Sejam dois eventos A e B, dizemos que existe intersecção desses eventos quando, em um determinado experimento, A e B ocorrerem simultaneamente. A intersecção entre esses eventos é representada pela expressão. Interseção de dois eventos: A B Tomando-se o exemplo anterior, em que = {2,4,6} e = {1,2,3}, a intersecção é representada pelo evento {2}. Evento complementar Seja A um evento qualquer, chamamos de evento complementar aqueles eventos em que A não ocorre. O evento complementar de A é representado pela expressão. Prof. Fábio Amorim 6 de 67

7 Evento complementar do evento A: Tendo como base o exemplo anterior, em que = {2,4,6}, o evento complementar de A,, é representado por {1,3,5}. 2.5 Probabilidades Estabelecidos esses conceitos iniciais, podemos definir probabilidade de um evento como a relação entre o número de vezes que um evento ocorre no experimento e o número de vezes que o experimento é realizado. Porém, para chegarmos ao resultado preciso da probabilidade, é necessário realizar o experimento por diversas vezes, até que haja uma estabilização entre o número de ocorrências do evento e o número de vezes que o experimento ocorreu. Ou seja, ocorre uma quantificação mais precisa a respeito da possibilidade do evento incerto. Assim, se jogarmos uma moeda para o alto, o resultado pode ser cara ou coroa. Se fizermos o lançamento dez vezes, não necessariamente, o número de resultados cara vai ser igual a 5, ou 50% do número de lançamentos. Porém, se efetuarmos o mesmo experimento por vezes, a tendência é que o número de resultados cara represente um número muito próximo a 50% do total de lançamentos. Assim, caso o experimento seja repetido por diversas vezes, a probabilidade de um evento tende a ser, portanto, a razão entre o número de elementos desse evento, e o número de elementos do espaço amostral. Vamos ao exemplo para assimilarmos melhor esses conceitos. Se lançarmos um dado comum de seis faces, qual a probabilidade de o resultado ser maior que 4? R. Chamamos de A o evento em que a face superior do dado seja maior que 4. Dessa forma, = {5,6}. Prof. Fábio Amorim 7 de 67

8 O espaço amostral, S, é representado pelo conjunto dos possíveis resultados desse lançamento. Dessa maneira, = {1,2,3,4,5,6}. A probabilidade de ocorrência do evento A, P(A), pode ser calculada pela expressão: () = º! " º! #$ç $ &$ = 2 6 = 0,33 Percebam que a probabilidade P(A) está associada a um número. No exemplo, a probabilidade é de 33%. Isso significa, conceitualmente, que a quantificação da possibilidade de ocorrência do evento maior que 4 é igual a 33%. Matematicamente, significa que se efetuarmos esse lançamento por centenas, milhares de vezes, a tendência é que o número de lançamentos com o resultado maior que 4 seja igual a 33% do número total de lançamentos feitos. Apesar disso, a probabilidade sempre está ligada à incerteza, ou seja, mesmo que a probabilidade seja de 33% para o evento maior que 4, pode ocorrer de realizarmos 10, 20, 30 lançamentos, e não aparecer o evento maior que 4 em nenhuma das vezes! 3- Axiomas das probabilidades Axiomas são postulados básicos sobre uma ciência. No caso do estudo das probabilidades, temos três axiomas. Considerando P(A) como a probabilidade de ocorrência de um evento A, pertencente a um espaço amostral S, então: Axioma 1: A probabilidade de um evento A ocorrer é quantificada por um número situado entre 0 e 1, para todo evento A pertencente ao espaço amostral S. Ou seja, ( *(+),, + /. Ou seja, a probabilidade sempre estará entre o número 0 (evento impossível de ocorrer) e o número 1 (evento que ocorre com certeza). Axioma 2: A probabilidade de ocorrer o evento espaço amostral S é igual a 1. Ou seja, *(/) =,. Suponhamos o lançamento de um dado comum, de seis faces. Desejamos saber a probabilidade de ocorrer o evento do espaço amostral, ou seja, que o resultado do lançamento esteja no conjunto {1,2,3,4,5,6}. Logicamente, a probabilidade de ocorrência desse evento é igual a 1, ou 100%, já que, em todo lançamento, o resultado será um dos elementos do espaço amostral. É um evento certo. Prof. Fábio Amorim 8 de 67

9 Axioma 3: Sejam A e B eventos pertencentes ao espaço amostral S. Se a interseção entre os eventos A e B é um conjunto vazio, então a probabilidade de ocorrência do evento é igual à probabilidade de ocorrência do evento A, somada à probabilidade de ocorrência do evento B. Se +,0 / + 0 =, então, *(+ 0) = *(+)+*(0). Por exemplo, no lançamento de um dado comum, o evento A é representado pelo conjunto {2}, e o evento B, pelo conjunto {3}. Como A e B pertencem ao espaço amostral, ou seja, ao conjunto {1,2,3,4,5,6}, e =, então ( ) = ()+() = 1/6+1/6 = 0,33, onde = {2,3}. 4- Teoremas das probabilidades Pessoal, agora vamos explorar os principais teoremas decorrentes dos axiomas das probabilidades. 4.1 Teorema do Evento Complementar Sejam os eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o teorema do evento complementar, a probabilidade do evento ocorrer é calculada da seguinte forma: 4 5 = () () Como () = 1 (78$ 2), então *4+ 5 =, *(+) Exemplo: No lançamento de um dado comum de seis faces, a probabilidade de o resultado ser igual ao número 3 (evento A) é igual a 1/6. Qual a probabilidade de o resultado não ser o número 3 (evento complementar de A)? R. O evento complementar de A é formado por todos os resultados possíveis, que não o evento A. Sendo assim, = {1,2,4,5,6}, e a probabilidade de ocorrência de é igual a: 4 5 = 1 () = = 5/6 4.2 Teorema da União Dado o espaço amostral S, e os eventos A e B, tal que ambos pertencem a S, a probabilidade da ocorrência de é dada pela expressão: Prof. Fábio Amorim 9 de 67

10 *(+ 0) = *(+)+*(0) *(+ 0) Vamos visualizar o diagrama a seguir para entender bem essa fórmula. + Se somarmos ()+(), apenas, iremos automaticamente somar duplamente a probabilidade ( ), por isso, precisamos descontá-la na fórmula de ( ). O diagrama abaixo, portanto, retrata ( ): ( ) = ()+() ( ) Normalmente, as questões do concurso que abordam o teorema da união se restringem a dois eventos, como vocês verão nas questões comentadas. No entanto, é possível que apareçam questões com três eventos, conforme o diagrama abaixo. Prof. Fábio Amorim 10 de 67

11 Para três eventos, a probabilidade de é igual a: ( ) = ()+()+() ( ) ( ) ( )+( ) Sejam A, B e C três eventos quaisquer definidos em um espaço amostral S. Então, P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) refere-se à probabilidade da ocorrência de: (A) um ou dois dos eventos. (B) exatamente um dos eventos. (C) pelo menos um dos eventos. (D) no máximo dois eventos. (E) pelo menos dois eventos. R. Percebam que a expressão ()+()+() ( ) ( ) ( ) é parte da fórmula de ( ) vista anteriormente. Sendo assim: ( ) = ()+()+() ( ) ( ) ( )+( ) ()+()+() ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Portanto, a expressão do enunciado é igual a ( ) ( ). Desenhando o diagrama, podemos visualizar melhor essa probabilidade: Prof. Fábio Amorim 11 de 67

12 A área hachurada representa a expressão ( ) ( ). Ou seja, refere-se à probabilidade de ocorrer A ou B ou C ou ( ) ou ( ) ou ( ). Ou seja, um ou dois eventos. Resposta, letra A. 4.3 Teorema da Probabilidade Condicionada Dado o espaço amostral S, e os eventos A e B, tal que ambos pertencem a S. Denomina-se probabilidade condicionada, a probabilidade de um evento A, dado a ocorrência de um evento B. Em outras palavras, ocorre uma redução do espaço amostral, de S para B. Assim, supondo-se a ocorrência de B, calcula-se a probabilidade de A. Essa situação é representada pela expressão ( ), e pode ser representada graficamente por: O teorema da probabilidade condicionada permite calcular ( ) pela expressão: *(+ 0) = *(+ 0) *(0) Prof. Fábio Amorim 12 de 67

13 4.4 Eventos Mutuamente Exclusivos Curso: Estatística p/ ICMS RJ Dado dois eventos A e B, dizemos que estes são eventos mutuamente exclusivos, ou disjuntos, quando =, ou seja, a intersecção entre os eventos de A e B é representada pelo conjunto vazio. Graficamente, podemos representar por: No caso de eventos mutuamente exclusivos, o teorema da união é trazido pelo Axioma 3, visto anteriormente: 0 ( ) = ()+() ( ) ( ) = ()+() Já o teorema da probabilidade condicionada resulta em: 0 ( )= ( ) () ( )=0 4.5 Teorema do Produto Dado os eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S. Pelo Teorema do Produto, a probabilidade de ocorrência do evento é dada por: ou então *(+ 0)=*(0) *(+ 0) *(+ 0)=*(+) *(0 +) Esse teorema nada mais é do que uma consequência do teorema da probabilidade condicionada. Prof. Fábio Amorim 13 de 67

14 4.6 Eventos Independentes Curso: Estatística p/ ICMS RJ Eventos independentes são definidos como aqueles em que a probabilidade de ocorrência de um evento não interfere na probabilidade de ocorrência de outro. Dado o espaço amostral S, e os eventos A e B, tal que ambos pertencem a S, podemos representar os eventos independentes como: () = ( ) e ()=( ) Aplicando-se essa consideração no teorema do produto, temos: ( )= ( ) () =() ( )=() () Percebam, pois, que, para eventos independentes, ( )=() (). No entanto, para eventos dependentes, ( )=() ( )=() ( ). Exemplo: Em uma caixa existem três bolas, uma branca, uma preta e outra vermelha. Se retirarmos da caixa duas bolas, sendo que, a bola retirada na primeira é devolvida na caixa, qual a probabilidade de as duas bolas retiradas serem brancas? R. Percebam que a probabilidade da segunda retirada não é influenciada pela primeira retirada, já que a primeira bola é recolocada na caixa. Sendo assim, dizemos que a primeira e a segunda retirada são eventos independentes. Se quisermos então calcular a probabilidade de retirar duas brancas, basta considerarmos dois eventos: Evento A: retirada da primeira bola branca. Evento B: retirada da segunda bola branca. A probabilidade do evento A é igual a 1/3, correto? O mesmo se aplica ao evento B, já que existe a reposição. Dessa forma: P(A)=P(B)=1/3. Portanto, para calcularmos a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser branca ( ):, basta utilizarmos o teorema do produto aplicado aos eventos independentes: ( )=() ()= =1 9 Um exemplo de evento dependente seria o mesmo exemplo anterior, no entanto, sem recolocar a primeira bola retirada da caixa. Desse modo, as Prof. Fábio Amorim 14 de 67

15 probabilidades da segunda retirada estariam condicionadas às probabilidades da primeira retirada. (SEFAZ/RJ FGV/2010) Se A e B são eventos independentes com probabilidades [] = 0,4 e [] = 0,5 então [ ] é igual a: (A) 0,2 (B) 0,4 (C) 0,5 (D) 0,7 (E) 0,9 Resolução: Pessoal, se A e B são eventos independentes, então ( ) = () (). O problema quer saber o valor de ( ), assim, aplicando-se o teorema da união, temos: ( ) = ()+() ( ) = ()+() () () ( ) = 0,4+0,5 0,4 0,5 = 0,7 Resposta letra D. Prof. Fábio Amorim 15 de 67

16 5- Questões Comentadas 1. (SEFAZ/RJ FGV/2009) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para P(A B). (A) 0,13 (B) 0,22 (C) 0,31 (D) 0,49 (E) 0,54 Resolução: Inicialmente, precisamos considerar que () ( ) 1 e () ( ). Sendo assim *(+ 0) (,B (I). Depois, vamos aplicar o teorema da união, para relacionar ( ) e ( ): ( ) = ()+() ( ) ( ) = 0,4+0,9 ( ) = 1,3 ( ) Além disso, podemos aplicar o segundo axioma visto nesta aula, ou seja, que a probabilidade de qualquer evento deve ser igual ou inferior a 1. ( ) = 1,3 ( ) 1 *(+ 0) (,C (II) Portanto, juntando (I) e (II) temos: 0,3 ( ) 0,4. Resposta, letra C. 2. (FCC-TRT/1ª-2011) Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral. Sabe-se que: P (A) = 0,4 e P (B) = 0,75. Nessas condições, é verdade que: (A) A e B são disjuntos. (B) 0 ( ) 0,05 (C) 0 ( ) 0,10 (D) 0,15 ( ) 0,40 (E) A e B são independentes Resolução: (Método de Resolução idêntico ao anterior). Inicialmente, precisamos considerar que () ( ) e () ( ). Sendo assim *(+ 0) (,B (I). 1 Se ( )= D(E F) D(F) e ( ) 1($78$ 1), então D(E F) D(F) 1 () ( ) Prof. Fábio Amorim 16 de 67

17 Depois, vamos aplicar o teorema da união, para relacionar ( ) e ( ). ( ) = ()+() ( ) ( ) = 0,4+0,75 ( ) = 1,15 ( ) Além disso, podemos aplicar o segundo axioma visto nesta aula, ou seja, que a probabilidade de um evento deve ser igual ou inferior a 1. ( ) = 1,15 ( ) 1 *(+ 0) (,,G (II) Portanto, juntando (I) e (II) temos: 0,15 ( ) 0,4. Resposta, letra D. 3. (FCC-SEPLAG/MG-2012) Antonio, Bruno e Celso disputaram uma corrida. Dadas as condições físicas e de preparo, Bruno tem o triplo de chances de vencer Antonio e Celso tem o quádruplo de chances de vencer Bruno. Dessa forma, a probabilidade de Bruno vencer é de (A) 1/16 (B) 3/16 (C) 3/4 (D) 3/8 Resolução: Vamos convencionar que: Probabilidade de Antonio ganhar: P(A) Probabilidade de Bruno ganhar: P(B) Probabilidade de Celso ganhar P(C) Dadas as informações do enunciado: () = 3 () () = 4 () Os eventos P(A), P(B) e P(C) são mutuamente exclusivos, ou seja, ( ) = ( ) = ( ) =. Além disso, considerando que a corrida sempre terá um vencedor, ( ) = 1 Sendo assim: ( ) = ()+() +() = 1 ( ) = () 3 +()+4() = 1 Resposta, letra B. () = 3 16 Prof. Fábio Amorim 17 de 67

18 4. (FCC-SEPLAG/MG-2012) Em uma pesquisa realizada com 100 jovens, 40 são loiros, 30 usam óculos e 20 são loiros e usam óculos. Escolhendo um desses jovens ao acaso, a probabilidade de que ele não use óculos é de (A) 30% (B) 35% (C) 50% (D)70% Resolução: Dadas as informações do enunciado, temos: nº total de jovens: () = 100 ( #$ç $ &$) nº loiros: (H) = 40 nº usam óculos: (I) = 30 nº são loiros e usam óculos: (H I) = 20 Probabilidade de usar óculos: (I) = (I) () = = 30% Probabilidade de não usar óculos (evento complementar): Resposta, letra D. (I) = 1 (I) (I) = 100% 30% = 70% (I) = 70% 5. (FCC-SEE/SP-2010) Uma avenida possui 3 semáforos, identificados por A, B e C, funcionando de forma independente um do outro. Cada semáforo deixa de funcionar com probabilidade de 1 em A probabilidade de que dois dos três semáforos estejam funcionando e um esteja quebrado é de (A) K.LMMM² LMML³ (B) 3P LMMM LMML QK (C) LMMM² LMML³ (D) 3P LMMM R Q S LMML (E) LMMM LMML³ Resolução: Probabilidade de o semáforo estar quebrado: (T) = L LMML Probabilidade de o semáforo estar funcionando: (U) = 1 L = LMMM LMML LMML Percebam que o problema pergunta a probabilidade de dois dos três semáforos estarem funcionando, sem especificar quais seriam. Sendo assim, nos interessa as seguintes combinações: Semáforo A Semáforo B Semáforo C Combinação M quebrado quebrado funcionando Combinação N quebrado funcionando quebrado Combinação O funcionando quebrado quebrado Prof. Fábio Amorim 18 de 67

19 Desse modo, precisamos calcular a probabilidade dessas três combinações que nos interessa. Como são eventos independentes: (T U U) = (T) (U) (U) = = 1000V 1001 K Os mesmos valores se aplicam a (U T U) e (U U T) Somando-se as três combinações, temos: Resposta, letra A. (T U U)+(U T U)+(U U T) = V 1001 K 6. (FCC-TRT/6ª-2012) As probabilidades de um contador, A, demorar uma, duas ou três horas para preencher uma declaração de imposto de renda são dadas, respectivamente, por 1/4, 1/2 e 1/4. Dentre 5 declarações escolhidas aleatoriamente e com reposição, das declarações que A deverá elaborar, a probabilidade dele demorar para o preenchimento, em três delas 1 hora, em uma 2 horas e na restante 3 horas, é igual a (A) 3/64 (B) 9/64 (C) 5/32 (D) 5/64 (E) 5/128 Resolução: Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que, nas declarações escolhidas, no total de cinco, três devem ter sido preenchidas em uma hora (A), uma em uma hora (B), e uma em duas horas (C). P(A)=1/4 P(B)=1/2 P(C)=1/4 Dentre as cinco amostras retiradas, com reposição, um dos conjuntos que nos interessa é representado por {A, A, A, B, C}. Supondo, inicialmente, a ordem {A, A, A, B, C}, como são eventos independentes, sua probabilidade é calculada por: &W$W88!$! = () () () () () = = No entanto, nos interessa não apenas {A, A, A, B, C}, mas também todas as permutações possíveis desse conjunto. Portanto, precisamos calcular o número de permutações, considerando a repetição de 3 elementos A (conforme vimos na aula 0): K X = 5! = 20 # 8W88!$! 3! Assim, além da amostra {A, A, A, B, C}, nos interessam outras 19. Prof. Fábio Amorim 19 de 67

20 Desse modo, a probabilidade de o contador demorar, em três declarações 1 hora, em uma declaração 2 horas, e na declaração restante, 3 horas, pode ser calculada por: &W$W88!$! = = Resposta, letra E. 7. (FCC-TRE/SP-2012) Sabe-se que A, B e C são eventos independentes, associados a um mesmo espaço amostral, com probabilidades dadas, respectivamente, por 1/3, 1/5, 1/2. A probabilidade de que exatamente dois desses eventos ocorram é igual a (A) 1/10 (B) 2/15 (C) 7/30 (D) 1/3 (E) 11/30 Resolução: Para que dois desses eventos ocorram, é necessário calcular ( ),( ) ( ), sem considerar a intersecção ( ). por: Como são eventos independentes, a probabilidade pode ser calculada ( ) = () () = = 1 15 ( ) = () () = = 1 6 ( ) = () () = = 1 10 ( ) = () () () = = , ( )+ ( )+ ( ) 3 ( ) = = = 7 30 Resposta, letra C. Prof. Fábio Amorim 20 de 67

21 8. (FCC-METRO/SP-2008) Em uma cidade em que existem somente os jornais A e B, 20% da população lê somente o jornal A, 15% lê o jornal A e o jornal B e 10% não lê nenhum dos jornais. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desta cidade, a probabilidade dela ler um e somente um dos jornais é de (A) 55% (B) 60% (C) 65% (D) 70% (E) 75% Resolução: dadas as informações do enunciado, convencionamos que: Probabilidade de a pessoa ler o jornal A: P(A) Probabilidade de a pessoa ler o jornal B: P(B) a) Informa o enunciado que 20% da população leem somente A, então: () ( ) = 20% b) Além disso, que 15% da população leem o jornal A e o jornal B, assim: ( ) = 15% () = 35% c) Por fim, 10% não leem nenhum dos jornais, portanto: ( ) = 10% d) O enunciado pergunta a probabilidade de que o escolhido leia apenas o jornal B, ou, apenas o jornal A. Sendo assim, precisamos somar as parcelas [() ( )] e [() ( )]. Para tal, precisamos calcular P(B): Aplicando o teorema do evento complementar: ( ) +( ) = 100% ( ) = 100% ( ) = 100% 10% = 90% Aplicando o teorema da união dos eventos: ( ) = ()+() ( ) 90% = 35%+() 15% () = 70% e) Calculando, finalmente, [() ( )] e [() ( )]: () ( ) = 70% 15% = 55% () ( ) = 20% (!$!! #&W$) Portanto, [() ( )]+[() ( )] = 55%+20% = 75% Resposta, letra E. Prof. Fábio Amorim 21 de 67

22 9. (FCC-TRT/7ª-2009) O grupo que trabalha num departamento de uma empresa estatal é composto de 3 analistas e 4 advogados. Se 4 indivíduos são escolhidos aleatoriamente e se lhes atribui um projeto, a probabilidade de que o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é (A) 2/17 (B) 4/15 (C) 9/17 (D) 5/19 (E) 18/35 Resolução: Pessoal, apresento a resolução desse problema por dois métodos diferentes! Método 1 Precisamos calcular a probabilidade de que a escolha tenha dois analistas, ou seja, precisamos estudar o experimento, cujo evento é formado por dois analistas (n) e dois advogados (a). Vamos supor que a ordem de escolha tenha sido = {,,$,$}. Neste caso, supondo-se a escolha primeiramente de um analista, temos a seguinte probabilidade: ( L ) = º!8 #í"8! $$8 $ º $!!8 #í"8 = 3 7 A probabilidade de a segunda escolha ter sido um analista é dada por: ( V L ) = º!8 #í"8! $$8 $ º $!!8 #í"8 = 2 6 A probabilidade de a terceira escolha ter sido um advogado é dada por: ($ K L V ) = º!8 #í"8! $!"\$! º $!!8 #í"8 = 4 5 A probabilidade de a quarta escolha ter sido um advogado é dada por: ($ ] L V $ K ) = º!8 #í"8! $!"\$! º $!!8 #í"8 = 3 4 Aplicando o teorema do produto para todos os quatro elementos, temos que: P( L V $ K $ ] ) = ($ ] L V $ K ) ($ K L V ) ( V L ) ( L ) = = = 3 35 Ou seja, basta apenas efetuar o produto das probabilidades condicionadas. No entanto, não nos interessa somente a ordem {,,$,$}, mas também as demais permutações desses elementos: {,$,,$},{$,,$,},^. Precisamos, pois, calcular o número de permutações: Prof. Fábio Amorim 22 de 67

23 V,V ] = 4! = 6 # 8W88!$! 2!2! Curso: Estatística p/ ICMS RJ Desse modo, a probabilidade de que o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é calculada por: Resposta, letra E. = = Método 2 R. Precisamos calcular a probabilidade de que a escolha tenha dois analistas, ou seja, precisamos estudar o evento A, cuja amostra é formada por dois analistas (n) e dois advogados (a). = {,,$,$} a) A probabilidade de ocorrência do evento A é dada pela razão: () = º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ b) Vamos calcular, inicialmente, o número de possibilidades do espaço amostral desse experimento. O espaço amostral é representado por todas as seleções, com quatro elementos. Assim, temos um conjunto com 7 elementos e precisamos, dele, extrair apenas 4. Sendo assim, duas técnicas de contagem seriam possíveis, ou o arranjo ou a combinação. Mas percebam que não importa a ordem das seleções. Sendo assim, conforme vimos na aula 0, a técnica de contagem mais adequada para essa situação é a combinação. Desse modo, temos que contar o número de combinações possíveis de 7 elementos, tomados 4 a 4, ou seja, _, ` = a, ]. a, ] = 7! (7 4)!4! = 7! 3!4! = ! = 35 # 8W88!$! 3! ( ) c) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento A: {,,$,$} Temos 3 analistas e precisamos selecionar, destes, 2 analistas. Essa vai ser nossa tarefa T1. Além disso, temos 4 advogados e precisamos selecionar, destes, 2 advogados. Essa vai ser nossa tarefa T2. Após calcularmos T1 e T2, iremos aplicar o princípio fundamental da contagem para calcular, finalmente, o número de possibilidades de ocorrer o evento A. Tarefa T1: Não importa a ordem de escolha. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 3 elementos tomados 2 a 2, ou seja, C 3, 2. K, V = 3! (3 2)!2! = 3! 1!2! = 3 2! = 3 # 8W88!$! 1! 2! Prof. Fábio Amorim 23 de 67

24 Tarefa T2: Não importa a ordem de escolha. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 4 elementos tomados 2 a 2, ou seja, C 4, 2. ], V = 4! (4 2)!2! = 4! = 6 # 8W88!$! 2!2! Princípio Fundamental da Contagem: para calcularmos o número de possibilidades da tarefa T1, seguida da tarefa T2: Tarefa 1 Tarefa 2 3 x 6 = 18 possibilidades d) Por fim, podemos calcular a probabilidade P(A). Resposta, letra E. () = º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ = (FCC-SEED/SE-2003) Nelson tem no bolso 4 cartelas iguais. Em uma cartela está escrita a letra N, na outra, a letra U, na outra, a letra P, e na última a letra E. Nelson vai retirar sem olhar, uma cartela de cada vez de seu bolso. Qual é a probabilidade dele conseguir formar, na ordem de retirada, a palavra PNEU? (A) 1/48 (B) 1/24 (C) 1/12 (D) 1/8 (E) 1/4 Resolução: Método 1 Na primeira retirada, Nelson terá que conseguir a Letra P, entre quatro cartelas: () = º! " º! #$ç $ &$ = 1 4 Na segunda retirada, Nelson terá que conseguir a Letra N, entre três cartelas: (b ) = º! " b º!8 #í"8 = 1 3 Na terceira retirada, Nelson terá que conseguir a Letra E, entre duas cartelas: (c b) = º! " c º!8 #í"8 = 1 2 Na quarta retirada, Nelson terá apenas a letra U para retirar: Prof. Fábio Amorim 24 de 67

25 (d b c) = Como todos os eventos devem ocorrer: º! " d º!8 #í"8 = 1 1 ( b c d) = () (b ) (c b) (d b c) = Curso: Estatística p/ ICMS RJ = = 1 24 Resposta, letra B. Método 2 Outra forma de resolver é considerar que existe uma possibilidade de, a partir das letras (e, n, p, u), conseguirmos retirar as letras na ordem {p, n, e, u}. Todavia, outras possibilidades podem ocorrer, como {n, p, u, e}, {e, p, u, n}, e assim por diante. Para calcular o número total de possibilidades de ordenar as letras (e, n, p, u), basta calcular a permutação desses 4 elementos. Dessa forma a probabilidade de obter a palavra pneu, nesta ordem é: (#e) = Resposta, letra B. º # 8W88!$!! {#,,,e} º! #&e$çõ = 1 ] = 1 4! = (SEFAZ/RJ FCC/2013) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é (A) LK LMM (B) LK XX (C) a XX (D) g LLM (E) g XX Resolução: Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que a extração da amostra tenha, no máximo, um artigo bom. Nessa situação, interessa para nós dois eventos: O evento A, cuja amostra é formada por três elementos defeituosos, apenas. = {!,!,!} O evento B, cuja amostra é formada por dois elementos defeituosos e um elemento bom. = {!,!,} Método 1 a) Inicialmente, vamos calcular a probabilidade do evento A Nessa amostra, o primeiro elemento extraído tem que ser defeituoso: Prof. Fábio Amorim 25 de 67

26 (! L ) = º!h8e º!8 #í"8 = 4 12 O segundo elemento extraído tem que ser defeituoso: (! V! L ) = º!h8e º!8 #í"8 = 3 11 O terceiro elemento extraído tem que ser defeituoso: (! K! L! V ) = Como todos os eventos devem ocorrer: º!h8e º!8 #í"8 = 2 10 Curso: Estatística p/ ICMS RJ (! L! V! K ) = (! L ) (! V! L ) (! K! L! V ) = = 1 55 b) Agora, vamos calcular a probabilidade do evento B. Vamos supor, inicialmente, que a ordem seja = {!,!,}. Nessa amostra, o primeiro elemento extraído tem que ser defeituoso: (! L ) = º!h8e º!8 #í"8 = 4 12 O segundo elemento extraído tem que ser defeituoso: (! V! L ) = º!h8e º!8 #í"8 = 3 11 O terceiro elemento extraído tem que ser bom: ( K! L! V ) = Como todos os eventos devem ocorrer: º W º!8 #í"8 = 8 10 (! L! V K ) = (! L ) (! V! L ) ( K! L! V ) = = 4 55 No entanto, não nos interessa apenas a ordem {!,!,}, mas também {!,,!} e {,!,!}, no total de três possibilidades. Portanto, a probabilidade do evento B é calculada por () = = c) Sendo assim, como nos interessa P(A)+P(B) Resposta, letra B. ()+() = = Prof. Fábio Amorim 26 de 67

27 Método 2 Curso: Estatística p/ ICMS RJ a) As probabilidades de ocorrência dos eventos A e B são dadas pelas razões: () = () = º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ b) Vamos calcular, inicialmente, o número de possibilidades do espaço amostral desse experimento. O espaço amostral é representado por todas as amostras, com três elementos, possíveis de serem extraídas do lote com 8 artigos bons e 4 defeituosos. Assim, temos um conjunto com 12 elementos e precisamos, dele, extrair apenas 3. Sendo assim, duas técnicas de contagem seriam possíveis, ou o arranjo ou a combinação. Mas percebam que não importa a ordem das extrações. Sendo assim, conforme vimos na aula 0, a técnica de contagem mais adequada para essa situação é a combinação. Desse modo, temos que contar o número de combinações possíveis de 12 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, _, ` = LV, K. LV, K = 12! (12 3)!3! = 12! 9!3! = ! = 220 # 8W88!$! 9! (3 2 1) c) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento A: {!,!,!} Como temos no lote 4 artigos defeituosos, e precisamos extrair dele, três defeituosos. Podemos contar o número de possibilidades fazendo uma combinação desses 4 artigos defeituosos, tomados 3 a 3, haja vista que, também, não nos interessa a ordem de retirada dos artigos. Portanto, _, ` = ], K = ]! = ]! = ] K! = 4 # 8W88!$! (]ik)!k! L!K! L K! d) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento B: {!,!,W} Temos 4 artigos defeituosos e precisamos extrair, destes, 2 defeituosos. Essa vai ser nossa tarefa T1. Além disso, temos 8 artigos bons e precisamos extrair, destes, 1 bom. Essa vai ser nossa tarefa T2. Após calcularmos T1 e T2, iremos aplicar o princípio fundamental da contagem para calcular, finalmente, o número de possibilidades de ocorrer o evento B. Tarefa T1: Não importa a ordem de retirada. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 4 elementos tomados 2 a 2, ou seja, C 4, 2. ], V = 4! (4 2)!2! = 4! 2!2! = 4 3 2! = 6 # 8W88!$! 2! 2! Prof. Fábio Amorim 27 de 67

28 Tarefa T2: Não importa a ordem de retirada. Dessa forma, precisamos calcular a combinação de 8 elementos tomados 1 a 1, ou seja, C 8, 1. j, L = 8! (8 1)!1! = 8! 7!1! = 8 7! = 8 # 8W88!$! 7! 1! Princípio Fundamental da Contagem: para calcularmos o número de possibilidades da tarefa T1, seguida da tarefa T2: Tarefa 1 Tarefa 2 6 x 8 = 48 possibilidades e) Por fim, podemos calcular a probabilidade P(A) e P(B). () = () = º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ = º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ = Como nos interessam as duas hipóteses, ()+() = ] VVM + ]j VVM = XV VVM = LK XX. Resposta, letra B. 12. (SEFAZ/RJ FGV/2009) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é: (A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 (E) 1/12 Resolução: Na primeira rodada, temos as seguintes opções de confrontos: Evento X A x B C x D Evento Y A x C B x D Evento Z A x D B x C Prof. Fábio Amorim 28 de 67

29 A probabilidade de ocorrência de cada um desses eventos é Evento X: (k) = (l) = (m) = 1/3 Curso: Estatística p/ ICMS RJ Supondo a ocorrência do evento X, a probabilidade de A e B irem para a final é igual a zero, haja vista que esses jogadores irão se enfrentar na semifinal. Evento Y: Para esse caso, a probabilidade do tenista A vencer o tenista C e conquistar uma vaga na final é igual a 1/2. O mesmo valor se aplica à probabilidade do tenista B vencer o tenista D na semifinal, 1/2. Como são eventos independentes, ou seja, a probabilidade de ocorrência do resultado de um jogo não interfere no outro, a probabilidade de ocorrência de ambos os eventos (Y 1) é calculada pelo teorema do produto: (l L l) = 1/2 1/2 = 1/4. Assim, precisamos calcular a probabilidade de ocorrência do evento l L l: (l L l) = (l) (l L l) = = 1 12 Além disso, precisamos considerar a probabilidade de A vencer B nessa final (evento l V,), ou seja: (l V [l L l]) = (l L l) (l V l L l) = = 1 24 Portanto, a possibilidade de ocorrer o evento Y, juntamente com o evento l L e l V, é igual a 1/24. Evento Z: Esse caso é análogo ao evento Y, haja vista que apenas houve uma troca entre os adversários de A e B na semifinal, o que não altera a probabilidade calculada anteriormente, assim: (m V m L m) = (m L m) (m V m L m) = = 1/24 Conclusão: Como nos interessa tanto as probabilidades calculadas para a vitória de A sobre B nos eventos X, Y e Z, a probabilidade desses eventos é igual a: Resposta, letra E. Probabilidade = 0+1/24+1/24 = 2/24 = 1/12 Prof. Fábio Amorim 29 de 67

30 13. (FCC-TRT/1ª-2011) Após o lançamento de um novo modelo de automóvel observou-se que 20% deles apresentavam defeitos na suspensão, 15% no sistema elétrico e 5% na suspensão e no sistema elétrico. Selecionaram-se aleatoriamente e com reposição 3 automóveis do modelo novo. A probabilidade de pelo menos dois apresentarem algum tipo de defeito é (A) 0,354 (B) 0,324 (C) 0,316 (D) 0,296 (E) 0,216 Resolução: Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que os automóveis escolhidos, no total de três, pelo menos dois devem possuir algum defeito (D). Considerando os defeitos possíveis no sistema elétrico (E) e na suspensão (P), a probabilidade de o automóvel possuir algum defeito é dado por: (w) = (c ) = (c)+() (c ) (w) = 20%+15% 5% = 30% Dentre os três automóveis selecionados, teremos que ter o conjunto {D, D, F} não necessariamente nessa ordem, ou então {D, D, D}. a) Supondo, inicialmente, o conjunto {D, D, F}, a probabilidade é calculada por: &W$W88!$! = = = 0,063 No entanto, nos interessa não apenas {D, D, F}, mas também todas as permutações possíveis desse conjunto. Portanto, precisamos calcular o número de permutações, considerando a repetição de 2 elementos D: V K = 3! = 3 # 8W88!$! 2! Assim, a probabilidade pode ser calculada por: &W$W88!$! = 3 0,063 = 0,189. b) Supondo, agora, a sequência {D, D, D}, a probabilidade é calculada por: &W$W88!$! = = = 0,027 Para essa sequência, não há permutações a fazer, já que todos os elementos são defeituosos. c) Dessa forma, a probabilidade de haver pelo menos dois automóveis defeituosos é de: 0,189+0,027 = 0,216 Prof. Fábio Amorim 30 de 67

31 Resposta, letra E. Curso: Estatística p/ ICMS RJ 14. (FCC-TRT/6ª-2012) A caixa A tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. A caixa B tem 8 cartas numeradas de 1 a 8. A caixa C tem 10 cartas numeradas de 1 a 10. Uma caixa é selecionada ao acaso e uma carta é retirada. Se o número da carta é impar, a probabilidade de a carta selecionada ter vindo da caixa B é (A) 5/16 (B) 7/32 (C) 1/6 (D) 5/32 (E) 1/4 R. Seja: P(A), P(B), P(C), as probabilidades de retirar as caixas A, B e C, respectivamente; P(I) a probabilidade de o número ser ímpar. Portanto, () = () = () = 1/3 (x ) = 3/5 = 0,6 (x ) = 4/8 = 0,5 (x ) = 5/10 = 0,5 Dessa forma: (x ) = (x ) () = 0,6 0,33 = 1/5 (x ) = (x ) () = 0,5 0,33 = 1/6 (x ) = (x ) () = 0,5 0,33 = 1/6 Portanto: (x) = (x )+(x )+(x ) = 8 15 ( x) = O enunciado pergunta o valor de ( x): ( x) (x) Resposta, letra A. = 1/6 8/15 = (FCC-TRT/2ª-2012) Uma amostra casual de tamanho n = 3, com reposição, é extraída de uma população com N = 8 elementos. A probabilidade de haver pelo menos uma repetição na amostra é de: (A) 11/32 (B) 13/32 (C) 11/64 (D) 19/32 (E) 21/32 Resolução: Para que haja pelo menos um elemento repetido (r), a amostra pode ser da seguinte forma: {r, r, n}, {r, n, r}, {n, r, r} ou {r, r, r}. Assim, são quatro possibilidades. Prof. Fábio Amorim 31 de 67

32 Para {r, r, n} Curso: Estatística p/ ICMS RJ &W$W88!$! = = 7 64 Para {r, n, r} &W$W88!$! = = 7 64 Para {n, r, r} &W$W88!$! = = 7 64 Para {r, r, r} &W$W88!$! = = 1 64 Para calcular a probabilidade de haver pelo menos uma repetição na amostra, basta somarmos: Resposta, letra A. = = = (FCC-INFRAERO/2011) Um dado é viciado de tal modo que a probabilidade de ocorrer face par é duas vezes mais provável do que ocorrer face ímpar. O dado é lançado duas vezes independentemente. Considere os seguintes eventos: A = a soma dos pontos das faces é 6; B = o número da face do primeiro dado é menor do que 3. Nessas condições, a probabilidade de A, sabendo que ocorreu B, é (A) 5/27 (B) 5/81 (C) 27/81 (D) 12/81 (E) 8/27 Resolução: Vamos convencionar que: Evento A: soma dos pontos das faces igual a 6 Evento B: número do primeiro dado é menor que 3 Considerando que a probabilidade de ímpar é o dobro de par: () = 2 (x) Assim, a probabilidade de cada número ímpar é (x) = 1/9 e cada par, () = 2/9. Temos que calcular, agora, a probabilidade de cada binário ( ),( x),(x ),(x x). Prof. Fábio Amorim 32 de 67

33 Como são eventos independentes: Curso: Estatística p/ ICMS RJ ( ) = = 4 81 ( x) = (x ) = = 2 81 (x x) = = 1 81 Para o evento A, temos as seguintes possibilidades: {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1} = 5 possibilidades. São 3 binários x x e 2 binários. Assim, a probabilidade do evento A é igual a: () = = Para o evento B, temos as seguintes possibilidades: {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6} = 12 possibilidades. São 3 binários x x, 3 binários e 6 binários x e x. Assim, a probabilidade do evento B é igual a: () = = O Conjunto é formado pelos binários {1, 5}, {2, 4}. Ou seja, binários x x e. Desse modo: ( ) = = 5 81 O enunciado quer saber o valor de P(A B), pelo teorema da probabilidade condicionada: ( )= ( ) () Resposta, letra A. = 5/81 27/81 = (FCC-TRT/4ª-2009) Considere amostras ordenadas de tamanho 4 com repetição, com escolhas aleatórias tomadas de uma população de tamanho 10. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma vez na amostra é Prof. Fábio Amorim 33 de 67

34 (A) 1/40 (B) 1/20 (C) 1/8 (D) 27/1000 (E) 63/125 Curso: Estatística p/ ICMS RJ Resolução: Pessoal, temos uma amostra de 10 elementos, e, destes, tiramos amostras com 4 elementos, havendo, pois, a reposição de cada elemento tirado. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma vez (evento A) é igual à probabilidade de que todos os elementos da amostra sejam diferentes. A partir daí, calculamos a probabilidade do evento A, da seguinte forma: A primeira amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos: ($ L ) = º º!8 #í"8 = A segunda amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos, desde que diferente do primeiro: ($ V $ L ) = º º!8 #í"8 = 9 10 A terceira amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos, desde que diferente do primeiro e do segundo: ($ K $ L $ V ) = º º!8 #í"8 = 8 10 A quarta amostra extraída pode ser qualquer um dos elementos, desde que diferente do primeiro, do segundo e do terceiro: ($ ] $ L $ V $ K ) = º º!8 #í"8 = 7 10 Como todos os eventos devem ocorrer: ($ L $ V $ K $ ] ) = ($ L ) ($ V $ L ) ($ K $ L $ V ) ($ ] $ L $ V $ K ) = = = Assim: () = = Resposta, letra E. 18. (FCC-TRT/4ª-2009) Uma urna contém n bolas numeradas de 1 até n. Duas bolas são retiradas ao acaso e com reposição. Seja X a variável aleatória que representa o valor da diferença absoluta entre os dois números observados. A probabilidade de X ser igual a um é Prof. Fábio Amorim 34 de 67

35 (A) 1/n (B) 1/² (C) 2( 1) ² (D) ( 1) ² (E) 2/² Resolução: Temos uma amostra de n elementos, e, destes, tiramos amostras com 2 elementos, havendo, pois, a reposição do primeiro elemento tirado. A probabilidade de que a diferença absoluta entre os dois elementos selecionados ser igual a 1 (evento A), pode ser calculada da seguinte forma: () = º # 8W88!$!! " º! # 8W88!$!! #$ç $ &$ a) O número de possibilidades do evento A pode ser calculada, partindo-se do seguinte raciocínio. Para que a diferença absoluta seja igual a 1, temos: i. considerando o primeiro elemento igual a 1, para satisfazer o evento A, o segundo elemento deve ser igual a 2, ou seja, para o elemento 1 temos apenas uma possibilidade; ii. iii. considerando o primeiro elemento igual a n, para satisfazer o evento A, o segundo elemento deve ser igual a n-1, ou seja, para o elemento n temos uma possibilidade; considerando que o primeiro elemento varie de 2 até n-1, para cada um dos elementos deste intervalo temos duas possibilidades de satisfazer A, o número posterior e o número anterior ao primeiro elemento, ou seja, temos (n-2) x 2 possibilidades. Sendo assim, temos as seguintes possibilidades para satisfazer A: º # 8W88!$!! " = 1+1+( 2) 2 = = 2( 1) b) O número de possibilidades do espaço amostral pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem. i. Considerando que o primeiro elemento de A pode ser qualquer um dos elementos do conjunto, temos n possibilidades. ii. iii. Considerando que há reposição, o número de possibilidades do segundo elemento também é n. Sendo assim, temos o seguinte cálculo: Elemento 1 Elemento 2 n x n = n² possibilidades Prof. Fábio Amorim 35 de 67

36 Assim: () = Resposta, letra C. º # 8W88!$!! " 2( 1) = º! # 8W88!$!! #$ç $ &$ ² Curso: Estatística p/ ICMS RJ 19. (FCC-METRO/SP-2008) Em uma assembleia com 25 participantes, sabe-se que 5 deles são contra a realização de determinado projeto e o restante a favor. Extraindo ao acaso uma amostra de 3 participantes desta assembleia, sem reposição, a probabilidade (P) de todos os 3 participantes serem a favor do projeto é tal que (A) < 50% (B) 50% < 60% (C) 60% < 70% (D) 70% < 80% (E) 80% < 90% Resolução: Método 1 Pessoal, precisamos calcular a probabilidade de que a extração da amostra três participantes favoráveis ao projeto (f). Nessa situação, interessa para nós o evento: O evento A, cuja amostra é formada por três participantes favoráveis. = {h,h,h} Nessa seleção, a primeira amostra extraída tem que ser de um participante favorável: (h L ) = º h$"&á"8 º!8 #í"8 = A segunda amostra extraída, sem reposição, tem que ser de um participante favorável: (h V h L ) = º h$"&á"8 º!8 #í"8 = A terceira amostra extraída, sem reposição, tem que ser de um participante favorável: (h K h L h V ) = º º!8 #í"8 = Como todos os eventos devem ocorrer: Prof. Fábio Amorim 36 de 67

37 (h L h V h K ) = (h L ) (h V h L ) (h K h L h V ) = = = = 0,49 Resposta, letra A. Curso: Estatística p/ ICMS RJ Método 2 Precisamos calcular a probabilidade de que a extração da amostra três participantes favoráveis ao projeto (f). Nessa situação, interessa para nós o evento: O evento A, cuja amostra é formada por três participantes favoráveis. = {h,h,h} a) A probabilidade de ocorrência do evento A é dada pela razão: () = º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ b) Vamos calcular, inicialmente, o número de possibilidades do espaço amostral desse experimento. O espaço amostral é representado por todas as amostras, com três elementos, possíveis de serem extraídas de 20 participantes favoráveis e 5 contrários. Assim, temos um conjunto com 25 elementos e precisamos, dele, extrair apenas 3. Sendo assim, duas técnicas de contagem seriam possíveis, ou o arranjo ou a combinação. Mas percebam que não importa a ordem das extrações. Sendo assim, conforme vimos na aula 0, a técnica de contagem mais adequada para essa situação é a combinação. Desse modo, temos que contar o número de combinações possíveis de 25 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, _, ` = VX, K. VX, K = 25! (25 3)!3! = 25! 22!3! = ! = 2300 # 8W88!$! 22! (3 2 1) c) Agora, vamos contar o número de possibilidades de ocorrer o evento A: {h,h,h} Como temos 20 participantes favoráveis, e precisamos extrair dele, três favoráveis. Podemos contar o número de possibilidades fazendo uma combinação desses 20 elementos, tomados 3 a 3, haja vista que, também, não nos interessa a ordem de retirada dos artigos. Portanto, VM, K = 20! (20 3)!3! = 20! 17!3! = ! = 1140 # 8W88!$! 17! (3 2 1) Prof. Fábio Amorim 37 de 67

38 () = d) Por fim, podemos calcular a probabilidade P(A). º # 8W88!$!! " º # 8W88!$!! #$ç $ &$ = = 0,49 Resposta letra A. Curso: Estatística p/ ICMS RJ 20. (FCC - Câmara dos Deputados-2007) Sabe-se que existem inúmeros fornecedores de um material X. Porém, somente 60% deles estão aptos a participar de uma licitação para fornecimento do material X para o setor público. Então, a probabilidade de que, numa amostra aleatória simples de 3 destes fornecedores, pelo menos um esteja apto a participar de uma licitação para fornecimento do material X para o setor público é (A) 60% (B) 78,4% (C) 80,4% (D) 90,4% (E) 93,6% Resolução: Precisamos calcular a probabilidade de que, dentre 3 fornecedores, pelo menos um esteja apto (a) a participar de uma licitação. Nessa situação, interessa para nós três eventos: O evento A, cuja amostra é formada por um fornecedor apto, apenas. = {$,,} O evento B, cuja amostra é formada por dois fornecedores aptos. = {$,$,} O evento C, cuja amostra é formada por três fornecedores aptos. = {$,$,$} Mas percebam que o cálculo do evento A, B e C pode-se tornar trabalhoso. O caminho mais fácil é calcular o evento complementar de, ou evento D, cuja amostra é formada por nenhum fornecedor apto w = {,,} a) A probabilidade de ocorrência do evento D é dada pela razão: (w) = #&W$W88!$!! " w #&W$W88!$!! " w = #&W$W88!$!! #$ç $ &$ 1 b) Basta calcular, então, o número de possibilidades do evento D. A probabilidade dos três fornecedores não serem aptos é dado por: (w) = 40% 40% 40% = 6,4% Sendo assim, ( ) = 1 (w) = 1 6,4% = 93,6% Resposta, letra E. Prof. Fábio Amorim 38 de 67

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