Neste capítulo será demonstrado como analisar e construir estratégias em jogos. Para tanto é necessário definir um jogo com estratégias na linguagem

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1 6 Análise e Cnstruçã de Estratégias Neste capítul será demnstrad cm analisar e cnstruir estratégias em jgs. Para tant é necessári definir um jg cm estratégias na linguagem RllGame (seçã 4.5) e utilizar a traduçã de jg cm estratégias na linguagem de um verificadr de mdels (seçã 5.2.2). Cm a traduçã fi feita para a linguagem d SMV será utilizad a lógica CTL para a realizaçã de análise e cnstruçã de estratégias. Na seçã 6.1 será apresentad cm se realiza a análise de estratégias e a seçã 5.2 apresentará cm criar estratégias a partir de um cnjunt inicial de estratégias. As traduções e eecuções serã realizadas utilizand a ferramenta StratAn-RllGame (seçã 5.2.3). A figura 6.1 mstra um jg definid na linguagem RllGame e transfrmad pela ferramenta StratAn-RllGame na linguagem de especificaçã de mdels d SMV. A partir daí é eecutad SMV gerand resultad da análise. Estas últimas pdem ser utilizadas para ajustar as estratégias.

2 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 61 Será utilizad eempl d jg da velha para eemplificar cm sã feitas as análises (seçã 6.1) e a criaçã de estratégias (seçã 6.2). A seçã 6.3 mstrará utrs eempls de análises de estratégias para um jg sre a pssível guerra cntra Iraque. Para maires detalhes sre jg da velha e sre jg sre a guerra d Iraque vá a apêndices A e B. Eempl 7 Jg da Velha: O jg da velha pssui dis jgadres, jgadr 1 e jgadr 2, que jgam de frma alternada. Pssui um tauleir em frma de uma matriz 3 3 cm nve casas e inicialmente tdas as casas vazias. Cada jgadr tem um cnjunt de peças, d tip e para jgadr 1 e jgadr 2 respectivamente, e pde distriuir uma peça a cada jgada que lhe é permitida em uma casa vazia. O jgadr 1 cmeça jgand. O jg termina quand um ds jgadres cmpletar três u três em linha, cluna u diagnal, u ainda quand nã eistir mais casas vazias. O tauleir é representad aai cm as variáveis 1, 2, 3, y 1, y 2, y 3, z 1, z 2, z 3 que pdem estar ranc () u serem marcadas cm u. A matriz aai mstra a estrutura d tauleir.

3 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS Análises de Estratégias d Jg da Velha Chama-se de análise de estratégias uma prpriedade sre cmprtament ds jgadres de um jg cm estratégias. Para realizar a análise é necessári definir a mesma através de uma fórmula lógica em CTL. A partir da especificaçã d jg em RllGame cntend a análise em CTL, utiliza-se a ferramenta StratAn-RllGame para fazer a traduçã da linguagem RllGame na linguagem d SMV e, tamém, a eecuçã d verificadr de mdels SMV cm a finalidade de verificar se a prpriedade em CTL é válida u nã. Se ela fr válida será retrnad verdadeir para a fórmula. Cas cntrári, mstrase uma seqüência de jgadas que fazem cm que a prpriedade seja inválida. A seguir serã apresentads algumas análises realizadas n estud de cas 1 d apêndice. Aai estará descrit cm fi definid as estratégias para jgadr 1 d jg da velha. 1. A primeira jgada deve ser em 1; 2. Se puder ganhar jg, deverá ganhar; 3. Se 2 nã fr verdade, evitar que jgadr 2 ganhe; 4. Se 3 nã fr verdade, jgar nas pntas se puder ganhar; 5. Se 4 nã fr verdade, jgar de frma aleatória. A seguir será apresentad, de frma resumida, a especificaçã d jg da velha cm estratégias. ESTADO VARIAVEIS ESTADO 1 : {,,}; 2 : {,,}; : {,,}; JOGADORES jg1: lean; jg2: lean; ESTADO INICIAL VARIAVEIS ESTADO INICIAIS 1 := ; 2 := ; := ; JOGADORES INICIAIS

4 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 63 jg1 := 1; jg2 := 0; ACOES (1 = )&(jg1 = 1)&(jg2=0)&(fim=0) -> {1:=;jg1:=0;jg2:=1;}; (2 = )&(jg1 = 1)&(jg2=0)&(fim=0) -> {2:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ( = )&(jg1 = 1)&(jg2=0)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; (1 = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; (2 = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; ( = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; ESTRATEGIAS (1=&2=&3=&=&=&=&=&=&=) &(jg1 = 1)&(jg2=0) -> {1:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final 2 jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final 2 jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(2=)&(1=)&(fim=0) -> {2:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final 3 jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final 3 jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada 3 jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(3=)&(1=)&(fim=0) -> {3:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; (1 = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {1:=;jg1:=1;jg2:=0;}; (2 = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {2:=;jg1:=1;jg2:=0;}; ( = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; DEFINICOES fim := fim jg1 fim jg2 fim sem ganhadr; fim jg1:= ( ((1=)&(2=)&(3=)) ((3=)&(=)&(=)) ); fim jg2 := ( ((1=)&(2=)&(3=))

5 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 64 ((3=)&(=)&(=)) ); fim sem ganhadr := ((!(1=))&(!(2=))&(!(3=))) &(!(=))&(!(=))&(!(=)) &(!(=))&(!(=))&(!(=)) &(fim jg1=0)&(fim jg2=0)); jgada final 1 jg1 := ((1=&2=&3=) (1=&=&=) (1=&=&=)); jgada final jg2 := ((=&=&=) (=&=&3=) (=&=&1=)); jgada final jg1 := ((jgada final 1 jg1) (jgada final jg1)); jgada final jg2 := ( (jgada final 1 jg2) (jgada final jg2)); jgada 3 jg1 := (1= & 3= & ((2= & ( (=&=) (=&=)) ) ( (=&=)&(=&=) )) ); jgada jg1 := (1= &= & ((= & ( (=&3=) (=&=)) ) ( (=&3=)&(=&=) )) ); jgada jg1 := (1= &= & ((!= &!=)&(!2= &!=)) &((= & ( (=&=) (=&=)) ) ( =&=&=&= )) ); jgada pntas := (jgada jg1 jgada jg1 jgada 3 jg1); jgada 3 jg1 := (3= & ((!= &!= &!2=) (=&!=&!=))); jgada jg1 := (= & ((!= &!= &!=) (=&!=&!3=))); jgada jg1 := (= & ((!= &!3= &!= &!=) (!=))); A seguir serã apresentads quatr eempls de análises, nde cada fórmula CTL será verdadeira u falsa n jg acima especificad. Os dis primeirs eempls retrnam verdadeir e será mstrad uma figura para cada um cm resultad da eecuçã d SMV. Os dis últims eempls retrnam fals e será mstrad uma figura cm as seqüências de jgadas que trnam a prpriedade falsa para cada um. Para ver resultad cmplet da saída da eecuçã vá a apêndice.

6 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 65 Eempl 8 Verificar que jgadr 2 nunca vence: Esta prpriedade é representad pela fórmula!ef (e.f im jg2) que é verdadeira. -- specificatin!ef e.fim_jg2 is true resurces used: prcessr time: s, BDD ndes allcated: Bytes allcated: BDD ndes representing transitin relatin: Figura Resultad da eecuçã d SMV mstrand que a fómula CTL é falsa Eempl 9 Garantir que a estratégia definida para jgadr 1 sempre vence u pel mens empata: Esta prpriedade é representad pela fórmula AF (e.fim jg1 e.fim sem ganhadr) que é verdadeira. -- specificatin AF (e.fim_jg1 e.fim_sem_ganhadr) is true resurces used: prcessr time: s, BDD ndes allcated: Bytes allcated: BDD ndes representing transitin relatin: Figura Resultad da eecuçã d SMV mstrand que a fómula CTL é falsa Eempl 10 Mstrar um eempl de quand jgadr 1 vence: Esta prpriedade é representad pela fórmula!ef (e.f im jg1) que é falsa.

7 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS specificatin!ef e.fim_jg1 is false resurces used: prcessr time: s, BDD ndes allcated: Bytes allcated: BDD ndes representing transitin relatin: Figura Resultad da eecuçã d SMV mstrand uma seqüência de jgadas que faz jgadr 1 ganhar Eempl 11 Mstrar um eempl de quand nã há vencedr: Esta prpriedade é representad pela fórmula!ef (e.f im sem ganhadr) que é falsa.

8 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS specificatin!ef e.fim_sem_ganhadr is false resurces used: prcessr time: s, BDD ndes allcated: Bytes allcated: BDD ndes representing transitin relatin: Figura Resultad da eecuçã d SMV mstrand uma seqüência de jgadas nde nã há ganhadr

9 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS Cnstruçã de Estratégias para Jg da Velha Pde-se utilizar a técnica de verificaçã de mdels para cnstruir nvas estratégias a partir de um jg cm estratégias. Para tant, é necessári analisar jg e verificar se as análises fram satisfeitas; cas cntrári, serã gerads cntra-eempls. A partir daí, deve-se servar nde as estratégias nã edeceram as análises desejadas, e entã, alterá-las. Este prcess pde ser repetid até que cnjunt de estratégias seja cnsiderad satisfatóri. Nte-se que cnceit de satisfatóri depende d jg e das análises. A seguir será mstrad md pel qual, a partir d jg da velha cm estratégias definidas aai, criu-se jg cm estratégias definid n estud de cas 1 d apêndice. Seja jg da velha cm as seguintes estratégias: 1. A primeira jgada deve ser em 1; 2. Se puder ganhar jg, deverá ganhar; 3. Se 2 nã fr verdade, evitar que jgadr 2 ganhe; 4. Se 3 nã fr verdade, jgar nas pntas; 5. Se 4 nã fr verdade, jgar de frma aleatória. ESTADO VARIAVEIS ESTADO 1 : {,,}; 2 : {,,}; : {,,}; JOGADORES jg1: lean; jg2: lean; ESTADO INICIAL VARIAVEIS ESTADO INICIAIS 1 := ; 2 := ; := ; JOGADORES INICIAIS jg1 := 1; jg2 := 0; ACOES (1 = )&(jg1 = 1)&(jg2=0)&(fim=0) -> {1:=;jg1:=0;jg2:=1;}; (2 = )&(jg1 = 1)&(jg2=0)&(fim=0) -> {2:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ( = )&(jg1 = 1)&(jg2=0)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;};

10 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 69 ( = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; ( = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; ESTRATEGIAS (1=&2=&3=&=&=&=&=&=&=) &(jg1 = 1)&(jg2=0) -> {1:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final 2 jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final 2 jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(2=)&(1=)&(fim=0) -> {2:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final 3 jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final 3 jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=1)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(3=)&(1=)&(fim=0) -> {3:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=1)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=0)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; ((jgada final jg1=1)

11 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 70 (jgada final jg1=0&jgada final jg2=1) (jgada final jg1=0&jgada final jg2=0&jgada pntas=1)) &(jg1 = 1)&(jg2=0)&(=)&(1=)&(fim=0) -> {:=;jg1:=0;jg2:=1;}; (1 = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {1:=;jg1:=1;jg2:=0;}; (2 = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {2:=;jg1:=1;jg2:=0;}; ( = )&(jg1 = 0)&(jg2=1)&(fim=0) -> {:=;jg1:=1;jg2:=0;}; DEFINICOES fim := fim jg1 fim jg2 fim sem ganhadr; fim jg1:= ( ((1=)&(2=)&(3=)) ((3=)&(=)&(=)) ); fim jg2 := ( ((1=)&(2=)&(3=)) ((3=)&(=)&(=)) ); fim sem ganhadr := ((!(1=))&(!(2=))&(!(3=))) &(!(=))&(!(=))&(!(=)) &(!(=))&(!(=))&(!(=)) &(fim jg1=0)&(fim jg2=0)); jgada final 1 jg1 := ((1=&2=&3=) (1=&=&=) (1=&=&=)); jgada final 2 jg1 := ((2=&1=&3=) (2=&=&=)); jgada final jg1 := ((=&=&=) (=&=&3=) (=&=&1=)); jgada final 1 jg2 := ((1=&2=&3=) (1=&=&=) (1=&=&=)); jgada final jg2 := ((=&=&=) (=&=&3=) (=&=&1=)); jgada final jg1 := ((jgada final 1 jg1) (jgada final 2 jg1) (jgada final 3 jg1) (jgada final jg1 (jgada final jg1) (jgada final jg1)); jgada final jg2 := ((jgada final 1 jg2) (jgada final 2 jg2) (jgada final 3 jg2) (jgada final jg2) (jgada final jg2) (jgada final jg2)); jgada pntas := (3= = =);

12 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 71 Eempl 12 Neste jg, a análise a ser feita é verificar se jgadr 2 nã cnsegue ganhar d jgadr 1. A figura mstra que as estratégias acima definidas nã fazem cm que jgadr 1 sempre cnsiga vencer u empatar. Desta frma, sua estratégia deve ser melhrada. A seqüência de jgadas aai mstra que nã é satisfatóri para as estratégias d jgadr 1 jgar nas pntas de qualquer frma. Deve-se entã tentar melhrar a frma de jgar nas pntas. Deve-se jgar em cada pnta smente se eistir uma cndiçã de vitória para a mesma.

13 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS specificatin!ef (fim_jg2) is false resurces used: prcessr time: s, BDD ndes allcated: Bytes allcated: BDD ndes representing transitin relatin: Figura Resultad da eecuçã d SMV mstrand uma seqüência de jgadas nde jgadr 2 ganha 6.3 Análises de Estratégias d Jg sre a Guerra d Iraque O mund se encntra na iminência de uma guerra cm Iraque. O cnselh da ONU está para decidir se entrará em guerra u nã cm Iraque. Prém, s EUA decidiram que independente da resluçã da ONU entrarã em cnflit

14 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 73 cm Iraque. Cas ist crra, s EUA pderã sfrer sanções de alguns países e deiarã de eprtar alguns prduts. Desta frma, alguns países pderã se eneficiar se trnand eprtadres destes prduts. Cm s EUA estarã em guerra, eles precisarã imprtar alguns prduts a mais d que imprtam dependend da duraçã da guerra. Assim, s utrs países tamém cncrrerã para eprtar estes prduts para s EUA. Será utilizada a ardagem deste traalh para analisar este cntet. Para tant, serã realizadas algumas supsições, que sã apresentadas a seguir: 1. A guerra terá duraçã máima de 18 meses. 2. Os prduts que s EUA imprtarã sã: prdut1, prdut 2, prdut 3, prdut 4 e prdut Os prduts que s EUA deiarã de eprtar sã: prdut 6, prdut 7, prdut 8, prdut 9, prdut Smente três países, Brasil, China e Rússia, cncrrerã às eprtações ds prduts para s EUA. Cas s EUA entrem em guerra sem cnsentiment da ONU, estes mesms três países cncrrerã para sustituírem as eprtações que s EUA perderã n mercad internacinal devid as sanções. Cntud, para eprtar estes prduts s países precisam de algum temp para mdernizar suas fáricas. 5. As alcações de prduts para as eprtações sã feitas a cada três meses e as pssíveis alcações de cada país só valem para aquele mês determinad. Depis que um país cnseguir alcar determinad prdut nenhum utr pderá cncrrer cm ele. 6. Supnd que Brasil tenha a seguinte estratégia (figura 6.3.1): (a) O Brasil só cnseguirá eprtar u prdut 1 u prdut 3 ns primeirs 3 meses. () N mês 6 se prdut 1 fr eprtad entã ele pderá eprtar prdut 2 e prdut 4. (c) N mês 6 se prdut 3 fr eprtad entã ele pderá eprtar prdut 2 e prdut 5. (d) N mês 9 se ele eprtar prdut 5 pderá eprtar prdut 4. (e) N mês 12 se ele eprtar prdut 4 eprtar prdut 4. (f) N mês 12 se ele eprtar s prduts 4 e 5 eprtará s prdut 6 e 7. (g) N mês 15 se ele eprtar s prduts 4 e 5 eprtará s prdut 6 e 7. (h) N mês 18 se ele eprtar prdut 7 eprtará prdut 10. (i) Sae-se que prdut 8 e 9 Brasil nã terá cndições de eprtar.

15 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 74 Mês Prduts que pderã ser eprtads 3 Ou 1 u 3 6 Se 1, entã 2,4. Se 3, entã 2,5 9 Se 5, entã Se 4 e 5, entã 6,7. Se 4 e nã 5, entã 5 15 Se 4 e 5, entã 6,7. 18 Se 7, entã 10. Nã prduz 8,9. Figura Estratégias d Brasil 7. Sae-se que a China tem algumas pssiilidades para realizar as suas eprtações, sã elas (figura 6.3.2): (a) A China só cnseguirá eprtar prdut 1 ns primeirs três meses. () N mês 6 ela cnsegue prduzir u prdut 5 u prdut 6. (c) N mês 9 se ele eprtar prdut 5, entã ele pderá eprtar prdut 7 e prdut 8. (d) N mês 12 se ele eprtar prdut 6, entã ele pderá eprtar prdut 3 e prdut 4. (e) N mês 9 se ele eprtar prdut 5, entã ele pderá eprtar prdut 7 e prdut 8. (f) N mês 15 ele pderá prduzir prdut 9. (g) N mês 18 ele pderá prduzir prdut 8. (h) Sae-se que prdut 10 a China nã terá cndições de eprtar. Mês Prduts que pderã ser eprtads u 5 u 6 9 Se 5, entã 7,8. 12 Se 6, entã 3, Nã prduz 10. Figura Estratégias da China 8. Sae-se que a Rússia tem algumas pssiilidades para realizar as suas eprtações, sã elas (figura 6.3.3): (a) Só cnseguirá eprtar u prdut 2 u 4 ns primeirs três meses.

16 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DE ESTRATÉGIAS 75 () N mês 6 se prdut 2 fr eprtad, entã ela pderá eprtar prdut 1 e prdut 3. (c) N mês 9 se prdut 4 fr eprtad, entã ela pderá eprtar prdut 3 e prdut 5. (d) N mês 12 ela pderá prduzir prdut 8 e prdut 9. (e) N mês 15 ela pderá eprtar prdut 10. (f) N mês 18 ela pderá eprtar prdut 6. (g) Sae-se que prdut 7 a Rússia nã terá cndições de eprtar. Mês Prduts que pderã ser eprtads 3 Ou 2 u 4 6 Se 2, entã 1 e 3. 9 Se 4, entã 3, , Nã prduz 7. Figura Estratégias da Rússia A seguir serã apresentad algumas eempls de análises realizadas neste jg. Eempl 13 Análises sre s pssíveis prduts eprtads pr cada país. Resultad: Brasil cnseguirá eprtar s prduts: 1,2,3 e 5; a China cnseguirá eprtar s prduts: 1,3,4,5,6,7,8,9; a Rússia cnseguirá eprtar s prduts: 2,3,4,5,6,8,9,10; Eempl 14 Deseja-se saer se s países a interagirem, nã cnseguirã eprtar s prduts da seguinte frma: O Brasil eprta s prduts 3,2 e 5; a Rússia eprta s prduts 4,8 e 9; e a China eprta prdut 6. Resultad: fals. Eempl 15 Deseja-se saer se s países a interagirem, cnseguirã eprtar s prduts da seguinte frma: O Brasil eprta s prduts 1,2 e 4; a Rússia eprta s prduts 8, 9 e 10; e a China eprta prdut 3. Resultad: fals. Eempl 16 Deseja-se saer se s países a interagirem, cnseguirã eprtar s prduts da seguinte frma: O Brasil eprta s prdut 1; a Rússia eprta s prduts 3,4,5,9 e 10; e a China eprta prdut 6. Resultad: verdadeir.