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1 Valor em risco de longo prazo: uma abordagem para modelos da Família Ach e redes neuronais Long erm value-a-risk: an Arch Models and neural neworks approach Leandro Sanos Maciel leandro_maciell@homail.com Graduando em Ciências Econômicas, Deparameno de Teoria Econômica Insiuo de Economia da Universidade Esadual de Campinas UNICAMP/Brasil Edior Cienífico Responsável Prof. Dr. Humbero Elias Garcia Lopes Programa de Pós-Graduação em Adminisração da Ponifícia Universidade Caólica de Minas Gerais/Brasil Resumo Submissão: 04/08/009 Aprovação: 9//00 Ese arigo comparou diferenes esimaivas para o Valor em Risco (VaR) de longo prazo no mercado de ações brasileiro. Foram avaliados rês modelos: o modelo convencional sugerido pelo RiskMerics, baseado no produo do VaR de curo prazo pela raiz quadrada do holding period; o modelo proposo por Dowd (00); e um modelo proposo nese rabalho, baseado no VaR de curo prazo, em ermos de parâmeros previsos. A meodologia de compuo do VaR proposa fundamenou-se na previsão da volailidade e dos reornos das ações por meio de um processo do ipo GARCH (,) e por um modelo de Rede Neuronal mulicamadas, respecivamene. Os resulados mosraram que o modelo sugerido pelo RiskMerics superesima o valor real do VaR. Além disso, o modelo com base em previsão proposo apresenou superioridade aos demais, viso que suas esimaivas mais se aproximaram dos valores observados no mercado. Palavras-chave: Value-a-Risk de longo prazo. Redes Neurais Arificiais. Modelos GARCH. Absrac This paper compared differen Long Term Value-a-Risk esimaive in Brazilian Sock Markes. Three models was esed: he convenional model suggesed by RiskMerics, based on shor erm VaR muliplied by he square roo of holding period; he model proposed by Dowd (00); and, he model proposed in his work, based on shor erm VaR in erms of forecasing parameers. The VaR valuaed mehodology proposed was founded in asses volailiy and reurns forecasing by GARCH (,) process and a mulilayer neural nework model, respecively. The resuls showed ha he model suggesed by RiskMerics overesimaes he real VaR. Neverheless, he suggesed forecasing model performed superioriy in comparison o he ohers mehods, since heir esimaive mos approached o he values observed in he sock marke. Keywords: Long erm Value-a-Risk. Arificial Neural Neworks. GARCH Models. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

2 INTRODUÇÃO E&G - REVISTA ECONOMIA E GESTÃO ISSN Um dos desenvolvimenos mais significaivos na área de gesão de riscos foi a emergência da ferramena do Value-a-Risk. Uilizado para a mensuração dos riscos de mercado, o Valor em Risco, ou VaR, surgiu como uma resposa aos desasres financeiros do começo dos anos de 990. O VaR de uma careira ou porfólio mensura a perda esperada ao longo de deerminado inervalo de empo, sob condições normais de mercado e denro de um nível de confiança (JORION, 003). Traa-se de uma mensuração muio úil para represenação dos riscos de mercado, e é amplamene uilizada para os mais diversos insrumenos financeiros. Além disso, o VaR pode ser uilizado para avaliação de riscos de fluxos de caixa e evenuais riscos operacionais (ver DANIELSSON e al., 998; DOWD, 998, 000). Enreano as aplicações dessa meodologia esão associadas principalmene com riscos relaivos a horizones curos, em que os riscos de longo prazo deixam de er imporância cenral, por moivos de sua dificuldade de exrapolação. Como a esimação do VaR inclui as observações hisóricas dos reornos dos aivos ou careira em quesão, a previsão da perda poencial em prazos mais longos orna-se cada vez mais complexa. O problema maior esá cenrado na previsão da volailidade, argumeno fundamenal para o compuo do VaR, que se orna mais difícil para horizones mais longos. Dowd (00) propôs uma nova abordagem para a esimação do VaR com posições de longo prazo, em conraposição à fórmula apresenada na emenda sobre risco de mercado do acordo de Basileia, ou seja, o produo do VaR de curo prazo com a raiz quadrada do horizone emporal. Para o auor, a meodologia convencional é irreal e superesima o valor do VaR. Em seu rabalho, apresena uma fórmula analíica para o VaR de longo prazo com base nos parâmeros usuais do VaR, porém não requer a esimação dia-a-dia para a volailidade em longos horizones de empo. Ese rabalho oferece uma comparação, para o mercado de ações brasileiro, do modelo do VaR de longo prazo proposo por Dowd com a esimação indicada pelo Comiê da Basileia e, ambém, com um modelo proposo de previsão dia-a-dia para as variáveis que compõem o Um bom exemplo dessas aplicações é o sisema de riscos do J. P. Morgan, o RiskMerics. Especificamene, a emenda sobre risco de Mercado sugere que os bancos devem esimar o VaR para um horizone de 0 dias úeis, e que essas esimaivas devem se basear no VaR diário, ou seja, de curo prazo, muliplicando-o pela raiz quadrada do horizone emporal, ou holding period (Comiê da Basileia, 996, Seção B-4, parágrafo c, página 44). Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

3 VaR, baseado num modelo GARCH (,) para previsão da volailidade e num modelo de Redes Neurais para a previsão do preço do aivo em quesão. Foram escolhidas umas das ações mais líquidas da BM&FBOVESPA: as ações preferenciais da Perobrás, Vale do Rio Doce, Grupo Gerdau, Banco IaúUnibanco e BM&FBOVESPA. O conjuno de dados é composo pelos preços de fechameno diários das ações no período de 000 a 006, uilizados para o cálculo do VaR de longo prazo, ou seja, com holding period de 5, 0, e 3 dias úeis. O modelo de previsão dia-a-dia corresponde à abordagem radicional do VaR em ermos de previsão dos parâmeros, i.e., a volailidade será previsa por um processo do ipo GARCH (,) e o valor de mercado da ação será previso por um modelo de rede neuronal mulicamadas do ipo feedforward, com base no algorimo de reropropagação do erro (backpropagaion). Os valores do VaR de longo prazo foram comparados com os valores do VaR de curo prazo, baseados nos dados observados no mercado, ou seja, as previsões foram comparadas com seus valores reais, com a uilização da mérica do erro quadráico 3. O presene arigo esá esruurado como segue. A Seção apresena o modelo de VaR de longo prazo convencional e modelo proposo por Dowd (00). O modelo de previsão diaa-dia é descrio na Seção 3, junamene com uma sínese de processos de ipo GARCH e o modelo de redes neurais. Segue-se, enão, a meodologia empregada. A análise e a discussão dos resulados compõem a Seção 5. Finalmene, a conclusão encerra ese rabalho, seguida das noas e das referências bibliográficas. VALOR EM RISCO DE LONGO PRAZO. Modelo convencional: Acordo de Basileia e RiskMerics O Value a Risk (Valor em Risco), VaR, sineiza a maior (ou pior) perda esperada denro de deerminados períodos de empo e nível de confiança (JORION, 003). A maior vanagem do cálculo do VaR consise em resumir, num único número de fácil compreensão, a 3 Ese rabalho corresponde a uma abordagem inédia do VaR de longo prazo para o mercado brasileiro e um ese empírico para o modelo de Dowd (00). Além disso, apresena uma nova proposa para previsão do VaR em prazos mais longos. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

4 exposição oal ao risco de mercado de uma insiuição. Traa-se, conudo, de uma medida probabilísica e, porano, nada diz a respeio da magniude das perdas. Além disso, assume que as relações preérias enre as variáveis de ineresse coninuarão sendo verificadas no fuuro (DOWD, 998). Para o cálculo do VaR, fixa-se um inervalo de empo e um nível de significância esaísica de α% (0<α<). O Value-a-risk (VaR) de uma careira de aivo ou porfólio de valor P, no período é definido como: P { P VaR } = α% () em que P represena a variação do valor da careira ou aivo de preço P. Exisem dois méodos para a esimação do VaR: o paramérico e o não-paramérico. O méodo paramérico consise na pressuposição de se conhecer a disribuição de probabilidades da variável em esudo. Dessa forma, o valor do VaR pode ser derivado direamene com a esimação da variância, por isso paramérica, envolvendo a esimação de parâmeros. Esse méodo é simples, convincene e produz medidas de VaR mais precisas (JORION, 003). Denre os modelos paraméricos em-se o VaR Dela-Normal. O méodo não-paramérico consise na análise de amosras dos reornos, no qual os dados são usados direamene como cenário para o cálculo do VaR. Como exemplo de méodo não-paramérico em-se a Simulação Hisórica. Nese arigo, esima-se o VaR por meio do méodo não-paramérico. Para isso supõese a normalidade para a disribuição dos reornos das séries esudadas, como na maioria dos rabalhos empíricos da área. Assim, o VaR pode ser calculado da seguine forma: VaR = P Zα % σ () em que Zα % represena o quanil de uma disribuição Normal de probabilidade com um nível de confiança de α %, e σ represena a volailidade esimada 4. 4 O sinal negaivo corresponde ao VaR associado às perdas, uma vez que os riscos esão associados em casos de ocorrências de perdas não previsas. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

5 Se o VaR (h) represena o VaR para um horizone emporal de h dias (ou seja, para um deerminado holding period), ele pode ser obido pela equação em () muliplicada pela raiz quadrada de h, e isso significa: VaR( h) = VaR h (3) Essa abordagem para o VaR de longo prazo é baseada numa sólida fundamenação eórica, sugerida pelo RiskMerics e pelo Comiê da Basileia. Pode ser derivada de um movimeno geomérico browniano em que a variável segue um processo aleaório com disribuição Normal com média zero; porém, não pode ser generalizada quando não saisfaz essas condições. Com base nessas quesões, Dowd (00) propôs uma nova abordagem para o compuo do VaR de longo prazo, que será apresenada na subseção seguine.. Modelo de Dowd Dowd (00) afirma que a meodologia convencional para o cálculo do VaR de longo prazo, além de ser irreal, superesima o valor do VaR; e, sobreudo, a esimação da volailidade dia-a-dia se orna cada vez mais difícil com o aumeno do período a ser avaliado. Para superar esses problemas, apresenou uma abordagem com base nos parâmeros convencionais do VaR de curo prazo, porém não requer previsão dia-a-dia para a volailidade e pode gerar esimaivas do VaR de longo prazo subjeivo, baseado em hipóeses probabilísicas para cenários fuuros. Esse modelo será descrio a seguir. Suponha um porfólio que gere um reorno logarímico aleaório diário com média µ > 0 e desvio-padrão (ou volailidade) σ. Os reornos posiivos correspondem a lucros, enquano os negaivos a perdas. Considere, por conveniência, que a composição do porfólio não mude ao longo do período correspondene ao invesimeno. O nível de confiança do VaR é α %, e considere-o em um horizone de h dias. O auor supõe rês disribuições alernaivas para os reornos logarímicos diários para avaliar as diferenes assunções de disribuição para os resulados do VaR: disribuição Normal, de Suden com 5 graus de liberdade, e disribuição do Valor Exremo (ou Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

6 disribuição de Gumbel). Essas disribuições apresenam vanagens e limiações, que esão descrias no Quadro. Disribuições Vanagens Limiações Normal Conveniene e se orna úil pela Evidências empíricas mosram que as propriedade assimérica séries financeiras apresenam de Suden Valor Exremo Permie acomodar a caracerísica das caudas pesadas Lieraura apresena como a melhor forma para se esimar o VaR com elevado nível de confiança (EMBRECHTS; KLUPPELBERG; MIKOSCH, 997; LONGIN, 997). Quadro : Vanagens e limiações das disribuições de probabilidades Fone: DOWD, 00. lepocurose (ou caldas pesadas) Com o aumeno dos graus de liberdade converge a uma Normal, o que gera problemas dependendo do horizone emporal e do grau de lepocurose Ainda apresena poucas evidências empíricas de sua efeividade. Dowd (00) apresena uma fórmula diferene para o cálculo do VaR de longo prazo de acordo com cada disribuição de probabilidade. O VaR associado à disribuição Normal para os reornos logarímicos é: ( P P) * = ( P exp[ h + Z h ln P] ) µ α VaR( h) = % σ + (4) em que P é o valor correne do porfólio, P* corresponde ao ( α ) percenil (ou percenil críico) do valor final do porfólio depois de um holding period de h dias, e Z α % é a variável de uma Normal associada ao nível de confiança α % escolhido (i.e., se α = 95%, Z α % =,645 ). Com base na disribuição -Suden, o VaR se apresena como: ( P P *) = ( P exp[ h + h P] ) VaR( h) = µ gl σ + ln (5) em que gl é uma variável que corresponde à uma variável -Ssuden com um cero nível de confiança, e um cero número de graus de liberdade (gl). Por fim, o VaR associado à disribuição de valores exremos é: Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

7 ( P P *) = ( P exp[ a( h) b( h) log[ log( ( %))] ln P] ) VaR( h) = α + (6) em que a(h) e b(h) são conhecidos como parâmeros de escala e local (ou meio) da disribuição. a(h) e b(h) podem ser escrios em ermos de µ e σ : a ( h) 6 h = µ h 0,577 σ (7) π b ( h) = σ 6 h π (8) 3 Modelo de previsão dia-a-dia: GARCH e Redes Neurais Para uma comparação mais consisene enre os modelos de VaR de longo prazo, propôs-se nese rabalho um modelo de previsão dia-a-dia, represenado por: ( h) Z ˆ σ ( h) VaR( h) = Pˆ % (9) α em que ( h) Pˆ represena o valor previso da careira para h passos no fuuro, Zα % o valor correspondene a uma disribuição Normal de probabilidade com um nível de confiança de α % e σˆ ( h) a previsão da volailidade para h passos no fuuro. Diferenemene dos demais modelos, a proposa dese esudo consise numa abordagem de previsão do VaR para períodos mais longos. Enreano o que caraceriza a meodologia são os insrumenos para previsão das variáveis fundamenais: Redes Neurais (previsão para o preço) e um processo GARCH (previsão para a volailidade). Essas meodologias êm apresenado desaque na lieraura de finanças, devido a seus resulados saisfaórios e relaiva facilidade de implemenação 5, e são apresenadas com mais dealhes a seguir. 5 Ver Gaely (996), Zang, Paauwo e Hu (998), Wong e Selvi (998) e Chaerjee e al. (000) Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

8 3. Processos GARCH As séries financeiras apresenam diversas caracerísicas peculiares, denre elas: a heeroscedasicia, na qual a volailidade ou variância muda ao longo do empo; grandes (baixos) valores em cero insane de empo são seguidos por valores ambém alos (baixos) nos próximos períodos (agrupamenos de volailidade); os reornos não são independenes ao longo do empo; assim como o quadrado dos reornos apresena auocorrelação esaisicamene significaiva. Com isso, essa auocorrelação no quadrado dos reornos implica auocorrelação na variância, pois a esperança do quadrado dos reornos corresponde à variância em diferenes insanes de empo, decorrene da hipóese de que a média dos reornos assume o valor zero. Ao se deerminar essa esruura de correlação, podem-se prever valores fuuros da variância. Enreano essas previsões serão as condicionais, ou seja, que levam em cona as informações do presene como ambém as observadas no passado, e, além disso, as não-condicionais que apresenam maior variabilidade. A variância condicional é um processo auorregressivo (AR), o que resula em erros condicionalmene heeroscedásicos. Dada a imporância das previsões de variância condicional, méodos esaísicos começaram a ser proposos com essa finalidade. O pioneiro nesse campo foi Engle (98), que, com o objeivo de esimar a variância da inflação, propôs o modelo ARCH (Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Esse modelo é baseado num processo auorregressivo na variância com o objeivo de prever a variância condicional no próximo período. Um processo auorregressivo pode ser definido como um processo esocásico em que uma variável aleaória esabelece uma relação de dependência com seus valores passados e com erros aleaórios. Assim, um modelo ARCH (p) pode ser definido como: r = σ 0 ε, σ = α + α r α r i p (0) Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

9 sendo ε uma sequência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas (i.i.d.) com média zero e variância uniária, α0 > 0, αi 0, i > 0; σ represena a variância e r represena o reorno de um aivo financeiro qualquer no insane, no qual é calculado por uma simples relação com o preço do aivo, P, em quesão em deerminado insane : P r () = ln = ln P ln P P As séries financeiras se enquadram a esses modelos, pois apresenam a variância condicional evoluindo com o empo. Uma generalização do modelo ARCH foi proposa por (BOLLERSLEV, 986), denominado GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Traa-se de uma écnica de séries emporais, na qual as variâncias observadas no passado servem para explicar a variância no fuuro, ou uma écnica de séries emporais que permie modelar a dependência serial da variância. O modelo GARCH pode ser usado para descrever a volailidade com menos parâmeros que um modelo ARCH. Esses ipos de modelos, enreano, são não-lineares no que se refere à variância. Um modelo GARCH (p, q) pode ser represenado como: r = σ ε, σ = α + 0 p q α = + i ir i β j= jσ j () m i = no qual ε i.i.d. com média 0 e variância.0, α > 0 0, α 0, β j 0(condições de nãonegaividade da variância condicional), e ( α + β ) <, m = max (p, q). A expressão que relaciona i i σ expressa a volailidade, ou seja, como a variância σ se compora de acordo com o reorno dos períodos passados, r, e a própria variância i passada σ i (BOLLERSLEV e al., 99). Assim, no modelo ARCH, a variância do reorno em deerminado período depende dos reornos dos períodos passados. No modelo GARCH, essa variância depende dos reornos mas ambém das variâncias passadas (BOLLERSLEV, 986; ENGLE, 98). Assim como nos modelos ARCH, quando se êm volailidades alas, esas são precedidas de reornos ou volailidades grandes (MORETTIN; TOLOI, 004). Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez. 00.

10 Um modelo GARCH (p, q) apresena a seguine variância não-condicional: Var( r ) = q α 0 p α i i= j= β i (3) Se essa variância não for consane, raa-se de um processo não esacionário. Conudo não se pode dizer a mesma coisa da variância condicional, pois a observação de heerocedasicidade condicional não é moivo para não esacionaridade. Ao se rabalhar com séries financeiras, o modelo usado com maior frequência é o modelo GARCH (,), sendo o mais uilizado pelos agenes de mercado (SOUZA, 999). Esse modelo, comumene usado na práica, pode ser represenado como: r = σ ε, σ = α + α 0 r + β σ (4) com α 0, β <, α + β < (condição para a esacionaridade do modelo). A uilização de modelos GARCH, conudo, implica algumas ressalvas. Apesar da eficiência do modelo, ao se avaliarem os riscos de aivos negociados no mercado financeiro, os resulados obidos funcionam apenas como pare para um conjuno de soluções com relação à alocação financeira, dado que as decisões nesse campo são omadas com base em inúmeros ouros faores, devido à incereza desses mercados (NELSON, 99). Além disso, o modelo GARCH apresena melhor desempenho em condições de mercado com relaiva esabilidade. Embora modele a variância condicional, esse modelo não consegue capurar fluuações elevadas nos mercados, como crashs, que são capazes de levar a resulados qualiaivamene disinos, como mudanças esruurais (ENDERS, 995; MELLAGI FILHO; ISHIKAWA, 000). Oura caracerísica das séries financeiras, a qual não é capurada pelos modelos GARCH, são as caudas pesadas. Enreano a heerocedasicia consegue explicar essa ocorrência em pares, por isso disribuições do ipo -Suden são frequenemene uilizadas na modelagem GARCH (ANDERS, 006). 3. Redes Neurais Arificiais Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez. 00.

11 Redes Neurais Arificiais (RNAs) podem ser definidas, basicamene, como sendo sisemas de processameno paralelo e disribuído, baseados no sisema nervoso biológico (HAYKIN, 00). São composas por elemenos compuacionais, chamados neurônios. Os neurônios arificiais capam os dados de enrada, ponderam de acordo com deerminados pesos sinápicos, que, após passar por uma função de ransferência ou aivação, resringem a saída do neurônio (FIG. ). Figura : Neurônio Arificial Fone: HAYKIN, 00 Uma caracerísica fundamenal das redes neurais é sua arquieura ou opologia. A rede percepron mulicamadas (MuliLayer Percepron MLP) é uma das mais conhecidas e aplicadas arquieuras de redes neurais, ao qual apresena uma generalização do percepron proposo por Rosembla (958) 6. A opologia desse modelo consise em uma camada de enrada, uma ou mais camadas inermediárias e uma camada de saída, como pode ser viso na Figura. O reinameno da opologia MLP é supervisionado, ou seja, é necessário um professor para indicar a resposa desejada para o padrão de enrada apresenado à rede durane a fase de aprendizagem. Um sinal de erro é definido como a diferença enre a resposa desejada e a resposa observada. Os parâmeros da rede (pesos e limiares) são ajusados de acordo com esse sinal. O méodo de aprendizado mais uilizado é o algorimo de reropropagação do erro. Compõe-se por duas fases. Na primeira fase, conhecida como fase 6 As RNAs podem ser do ipo Single Layer Feed Forward, ambém conhecido como perceprons, que possui apenas uma camada de nós de enrada ligada direamene à camada de neurônios de saída, ou Mulilayer Feed Forward, que, assim como a arquieura anerior, possui camadas de enrada e saída e ambém uma ou mais camadas inermediárias (HAYKIN, 00). Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

12 forward, as enradas são apresenadas e propagadas aravés da rede, camada por camada, calculando a saída de cada neurônio. Nessa fase, os pesos são fixos e a saída calculada é comparada com a saída desejada, resulando em um erro para cada unidade. Na segunda fase, o erro calculado é propagado da camada de saída para a camada de enrada, fase backward, e os pesos são ajusados de acordo com a regra de correção do erro, originando o ermo reropropagação do erro. Figura - Rede Neural Percepron Mulicamadas Fone: BALLINI, 000 O algorimo de aprendizagem de reropropagação (back-propagaion) consise em alerar os pesos da rede a fim de minimizar a diferença enre as saídas desejadas e as saídas fornecidas pelo modelo. Se o erro na camada de saída não é menor que uma dada olerância, enão o erro é reropropagado aravés da rede, endo como base para a aualização dos pesos a Regra Dela, a qual implemena o Méodo do Gradiene Descendene (HAYKIN, 00). Seja y dj ( n) a saída desejada do neurônio j e (n) a saída calculada pela rede para uma enrada n. O erro e j (n) na camada de saída é: y j e ( n) = y ( n) y ( n) 5) j d j j O valor do erro quadráico para o neurônio j é definido como sendo. A ( e ( n)) j soma dos erros quadráicos é obida para odos os neurônios da camada de saída, iso é: ε ( n) = ( e j ( n)) (6) j Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

13 Com N represenando o número oal de pares enrada/saída-desejada, conidos no conjuno de dados de reinameno, o erro quadráico médio é obido pela soma do erro ε (n) sobre odo n, normalizado com relação ao número de padrões N: E = N N n= ε ( n) (7) O processo de reinameno objeiva ajusar os parâmeros livres (pesos) da rede, minimizando uma função objeivo represenada pelo erro quadráico médio 7. Ou seja, N min E = min ε ( n) (8) N n= O nível de aivação inerna do neurônio j, v j (n), é uma função linear das saídas y dos i neurônios que esão conecados ao neurônio j aravés dos pesos w ji dado por: j p v ( n) = w ( n) y ( n) (9) i= 0 ji i em que p é o número de neurônios da camada imediaamene anerior ao neurônio j. O peso sinápico w j0 é igual ao limiar θ 0 e corresponde à enrada y 0 =. A saída y j ( n) do neurônio j é um valor real, dada por uma função de aivação nãolinear: y j ( n) = f j ( v j ( n)) (0) Para minimizar (8) usando o méodo do gradiene descendene, é necessário calcular a derivada parcial de ε em relação a cada peso da rede 8. 7 Para a derivação do algorimo de reropropagação, é considerado, inicialmene, um méodo de reinameno em que os pesos são ajusados enrada a enrada, ou seja, o ajuse dos pesos é realizado de acordo com o erro calculado para cada enrada apresenada à rede. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

14 4. METODOLOGIA Esa seção descreve a meodologia empregada para a consrução dos rês modelos avaliados para a mensuração do Valor em Risco de Longo Prazo, desde a composição da amosra de dados à esruuração e esimação dos modelos. 4. Dados Os dados uilizados correspondem aos valores de fechameno diários das ações preferenciais da Perobrás (PETR4), Vale do Rio Doce (VALE5), Grupo Gerdau (GGBR4), Banco IaúUnibanco (ITAU4) e BM&FBOVESPA (BMEF3), comercializadas na bolsa de valores brasileira 9. A amosra se inicia em 3 de janeiro de 000 e vai aé o dia 9 de dezembro de 006. Como o objeivo é ober o Valor em Risco para prazos de 5, 0, e 3 dias úeis (du), as esimações do VaR avaliaram a máxima perda desses aivos para os dias: 8 de janeiro de 007 (prazo 5 du), 5 de janeiro de 007 (prazo 5 du), 30 de janeiro de 007 (prazo du) e 3 de fevereiro de 007 (prazo 3 du). Porano, com os dados hisóricos aé dezembro de 006, previu-se o VaR desses aivos para o início de Modelo Convencional: Acordo de Basileia e RiskMerics Para esruuração do modelo de VaR de Longo Prazo, proposo pelo acordo de Basileia e sugerido pelo RiskMerics, consruiu-se um processo GARCH (,) para a esimação da volailidade das séries avaliadas. A escolha desse modelo se explica por sua facilidade de implemenação, por ser uma esruura que apresena bons resulados para séries 8 A derivação do modelo do gradiene descendene pode ser visa em Haykin (00). 9 Os dados foram obidos em <hp:// Acesso em: 6//008. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

15 financeiras e por ser amplamene uilizado por agenes de mercado e insiuições financeiras (JORION, 003) 0. Para a esimação do modelo uilizou-se o logarimo dos reornos das séries (equação ). Assumiu-se disribuição Normal para a os reornos logarímicos das séries. Essa assunção, apesar de fore e resriiva, permie uma adequação significaiva dos dados, gerando resulados de esimação acurados. Na verdade, não se buscou saisfazer a realidade de odas as hipóeses, mas enar chegar a um modelo de esimação que mais se aproxime dos valores reais observados no mercado. Porano, com o valor do logarimo dos reornos, assunção de Normalidade para as séries e esimação da volailidade dos aivos por um processo GARCH (,), o VaR de longo prazo dos aivos realizou-se por meio da equação (3), ou seja, o VaR para os prazos esipulados se deu com base no VaR dos aivos calculado para dezembro de 006; assim, esse valor foi exrapolado para os vérices por meio da muliplicação pela raiz quadrada do prazo (holding period) 3. A Tabela apresena o valor obido para o VaR nos diferenes prazos esabelecidos. Tabela : VaR de Longo Prazo: Modelo Convencional (Acordo de Basileia) Papéis VaR (5 du) VaR (0 du) VaR ( du) VaR (3 du) PETR4-0,644-0,9085 -,365 -,5996 GGBR4 -,089 -,5404 -,33 -,7 VALE5-0,79 -,03 -,4944 -,857 ITAU4-0,8805 -,453 -,8046 -,95 BMEF3-0,94 -,334 -,9309 -,346 Fone: Resulados da pesquisa. 4.3 Modelo de Dowd 0 A modelagem foi realizada no sofware Malab. A esaísica descriiva das séries avaliadas mosrou que elas apresenam excesso de curose, caracerísico das séries financeiras, pela presença das chamadas caudas pesadas (ou fa ales). Alguns valores, que por alguns podem ser visos como ouliers, foram manidos na amosra, uma vez que o objeivo da modelagem é prevenir perdas, reirá-los significaria perder grande pare do propósio do rabalho de esimação. Para avaliação da disribuição das séries aspecos de assimeria e achaameno foram levados em consideração, em que se comparou os percenis da calda esquerda das séries empíricas com os de uma Normal (aspeco de assimeria), e realizou-se o ese de Chebyshev (aspeco de achaameno). Os resulados mosraram que pode ser considerada uma boa proxy a disribuição com inovações gaussianas para as séries esudadas. 3 Denominam-se vérices os períodos avaliados nese rabalho, 5, 0, e 3 dias úeis, uma vez que se raa de um ermo muio uilizado no mercado financeiro para vencimenos de íulos ou negócios. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

16 O modelo de Dowd (00), uilizado nese rabalho, corresponde ao associado à disribuição Normal dos logarimos dos reornos (como apresenado na Equação 4), uma vez que o próprio auor apresena em seu rabalho resulados que comprovem a boa adequação desse modelo. Além disso, como ese arigo apresena uma comparação enre diferenes abordagens, a assunção da mesma hipóese com relação à disribuição de probabilidades das séries avaliadas orna-se necessária para verificação dos resulados. As variáveis para aplicação do modelo de Dowd foram as mesmas uilizadas no modelo convencional. Ou seja, o preço do aivo é represenado pelo reorno logarímico dos preços, a volailidade foi obida por meio de um modelo GARCH (,), assumiu-se a hipóese de disribuição Normal para as séries e a média dos reornos foi obida pela esimaiva convencional não-viesada da média 4. A Tabela apresena os valores do VaR de Longo Prazo pelo modelo de Dowd. Tabela VaR de Longo Prazo: Modelo de Dowd Papéis VaR (5 du) VaR (0 du) VaR ( du) VaR (3 du) PETR4-0,4-0,5874-0,8433 -,83 GGBR4-0,8 -,75 -,7760 -,670 VALE5-0,4870-0,669 -,080 -,3374 ITAU4-0,5879-0,905 -,3 -,6998 BMEF3-0,6750-0,970 -,4857 -,9039 Fone: Resulados da pesquisa. Ao observar a diferença enre os VaR obidos pelos modelos aé agora apresenados, pode-se perceber que os valores para os diferenes prazos obidos pelo modelo de Dowd são menores se comparados ao modelo convencional, principalmene para os prazos mais longos, o que pode confirmar a hipóese de superesimação do VaR pelo modelo convencional, conforme Dowd (00). 4.4 Modelo de Previsão dia-a-dia 4 Vale ressalar que o coeficiene de confiança uilizado nos modelos foi de 95%, e, além disso, foi realizada uma análise da correlação e correlação parcial do logarimo dos reornos para a confirmação da uilização da esruura (,) para o processo GARCH. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

17 Nese modelo, calculou-se o VaR de Longo Prazo em ermos de valores previsos, ou seja, aplicou-se a equação (), porém os parâmeros, o preço e a volailidade, serão previsos pelo méodo de Redes Neurais e por um processo GARCH (,), respecivamene. Na modelagem da volailidade, a meodologia empregada não difere dos demais modelos para a esruuração. Isso significa que foi consruído um modelo de ipo GARCH (,) com base nos dados hisóricos que compõem a amosra. Enreano, em vez de se considerar a volailidade consane, como nos demais modelos, aqui se fez sua previsão com o número de passos de acordo com o prazo, em dias úeis, avaliado. Ao realizar esse procedimeno, rabalhou-se com previsão em cima de previsão, ou seja, previsão com n passos no fuuro. Assumem-se as limiações desse ipo de previsão, uma vez que o erro aumena quando se preveem valores com base em valores já previsos, enreano buscou-se um modelo que mais se aproximasse da realidade. Com isso, a volailidade foi previsa para os períodos de 5, 0, e 3 dias úeis, com base num modelo GARCH (,) 5. Para o preço, represenado pelo logarimo dos reornos, uilizou-se um modelo de previsão com base no méodo de Redes Neurais, écnica de ineligência arificial amplamene uilizada na área de finanças. Na lieraura, não exise rabalho que especifique os parâmeros ideais para a consrução de uma modelagem de Rede Neural que leve aos melhores resulados; porano, envolve escolhas empíricas que variam de acordo com a especificidade dos dados e o objeivo de previsão (KAASTRA; BOYD, 995). Dessa forma, a esruura apresenada nese rabalho corresponde a um resulado obido por diversas enaivas de aleração dos valores que esruuram a rede em busca aos melhores resulados. Os dados de enrada (inpu daa) uilizados para se prever o logarimo dos reornos no fuuro das séries foram os úlimos 35 reornos logarímicos observados no passado. Ou seja, esruurou-se um modelo de Rede Neural de ipo mulicamadas, com o objeivo de se prever o logarimo dos reornos das ações no fuuro e, para isso, os dados apresenados à rede foram os reornos logarímicos observados nos úlimos 35 dias úeis. Os dados foram divididos em rês amosras disinas: reinameno, validação e ese. Os conjunos reinameno e validação compõem os dados hisóricos que formam a amosra dese rabalho, em que cada um coném 90% e 0% do oal dos dados, respecivamene. O conjuno ese coném os valores observados no mês de janeiro e fevereiro de 007, para que se possa avaliar o quano a rede foi capaz de se aproximar aos valores observados no mercado. Porano, a esruura da rede 5 Também nese caso, assumiu-se disribuição Normal para o logarimo dos reornos das séries em quesão. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

18 corresponde a um modelo do ipo Mulilayer Perceprons, com 35 neurônios na camada de enrada, uma camada inermediária composa por 5 neurônios e uma camada de saída, que represena o valor previso para o logarimo do reorno do papel avaliado. O reinameno do modelo de Rede Neural foi realizado com o algorimo backpropagaion, com um número de épocas esipulado em Ese número alo de épocas foi escolhido proposialmene para obrigar a rede a convergir quando aingisse o erro mínimo desejável e não o número máximo de épocas. Valores do erro do reinameno usado na simulação foram da ordem de (0-3 ) 7. Dessa forma, com os valores previsos para os reornos e as volailidades, apurou-se o valor do VaR para os prazos especificados, conforme a Tabela 3 apresena. Tabela 3 VaR de Longo Prazo: Modelo de Previsão dia-a-dia (GARCH e RNA) Papéis VaR (5 du) VaR (0 du) VaR ( du) VaR (3 du) PETR4-0,3505-0,509-0,8465 -,0397 GGBR4-0,804 -,334 -,754 -,043 VALE5-0,48-0,6658-0,9054 -, ITAU4-0,5459-0,853 -,3077 -,806 BMEF3-0,6793-0,9440 -,4660 -,7647 Fone: Resulados da pesquisa Com o valor do VaR de longo prazo obido pelas meodologias avaliadas é possível realizar a comparação enre os modelos com os valores de mercado, como apresena a seção seguine. 5 Análise e discussão dos resulados Na seção anerior apresenou-se a meodologia empregada para a esimação do VaR de longo prazo com base nos rês modelos avaliados. Enreano, para comparar qual foi o modelo que melhor esimou a máxima perda dos aivos para os prazos selecionados, fez-se uma comparação de seus valores com os observados no mercado de ações brasileiro. Ou seja, 6 Uma época é definida como oda apresenação de um conjuno enrada-saída para o reinameno da rede, na busca de minimizar a diferença enre o valor desejado e o valor esipulado pela rede. 7 O valor adoado da axa de aprendizagem foi 0,04. Ese é apresenado como defaul pelo algorimo e apresenou os melhores resulados Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

19 calculou-se o VaR de curo prazo para as daas esudadas com base no modelo simples, como na Equação em, uilizando os valores para reorno e volailidade observados no mercado; assim, verificou-se qual modelo se aproximou mais da realidade. Com isso, o valor do VaR para as daas 8 de janeiro de 007 (prazo 5 du), 5 de janeiro de 007 (prazo 5 du), 30 de janeiro de 007 (prazo du) e 3 de fevereiro de 007 (prazo 3 du) foi obido com a uilização do reorno observado em cada dia e com a volailidade esimada para cada daa específica, i. e., a máxima perda esperada em cada dia, de acordo com os dados observados (reais). A Tabela 4 apresena o valor do VaR para os vérices avaliados. Tabela 4 VaR de Curo Prazo para os Holding Periods avaliados Papéis VaR (8 jan 007) VaR (5 jan 007) VaR (30 jan 007) VaR (3 fev 007) PETR4-0,9-0,3356-0,549-0,7464 GGBR4-0,6675-0,958 -,480 -,8368 VALE5-0,460-0,4686-0,78-0,9394 ITAU4-0,443-0,673 -,034 -,554 BMEF3-0,4969-0,767 -,37 -,595 Fone: Resulados da pesquisa O próximo passo é avaliar, denre os modelos empregados, o que mais se aproximou do valor do VaR de curo prazo. Para isso, uilizou-se a mérica do erro quadráico, obido por: ( VaR. CP VaR. LP) EQ = () em que VaR.CP represena o VaR de curo prazo para as daas esimadas (valor real) e VaR.LP o VaR de longo prazo esimado pelos modelos (valor esimado). A Tabela 5 apresena o valor do erro quadráico, em ermos percenuais, para os modelos de VaR de Longo Prazo uilizados nese rabalho em odos os holding periods escolhidos. Ela nos permie inferir uma série de conclusões. Em primeiro lugar, pode-se confirmar a críica de Dowd (00) ao modelo convencional de esimação do VaR de longo prazo, como proposo no documeno do Acordo da Basileia e pelo RiskMerics, uma vez que é noória a superesimação do valor do VaR, principalmene para os vérices mais longos ( e 3 dias úeis, como na TAB. 5). A superioridade do modelo de Dowd (00) sobre o modelo convencional foi confirmada pela análise empírica dese rabalho. O modelo proposo pelo Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez. 00.

20 auor confere uma esimação mais precisa, e, além disso, principalmene para os prazos mais longos, a superioridade é ainda mais clara 8. Enreano, vale acrescenar que o erro aumena com a elevação do prazo, o que é coerene com qualquer modelo que visa prever valores no fuuro, viso que a volailidade aumena em decorrência das incerezas relaivas ao fuuro. Tabela 5 Erro quadráico dos modelos de VaR de longo prazo Erro Quadráico VaR (5 dias úeis) VaR (0 dias úeis) Papéis Basileia Dowd Previsão Basileia Dowd Previsão PETR4 7,8% 3,3%,47% 3,8% 6,34%,80% GGBR4 7,79%,39%,87% 33,89% 4,59% 3,07% VALE5 3,35% 5,8% 3,3% 3,66% 3,78% 3,89% ITAU4 0,8%,68%,48% 3,74% 5,6%,0% BMEF3 9,83% 3,7% 3,33% 3,95% 4,% 3,% VaR ( dias úeis) VaR (3 dias úeis) Papéis Basileia Dowd Previsão Basileia Dowd Previsão PETR4 58,88% 8,65% 8,84% 7,80% 3,83% 8,60% GGBR4 56,44% 8,70% 7,47% 76,6% 8,59% 7,5% VALE5 60,6% 9,60% 3,5% 76,79% 5,84% 7,44% ITAU4 59,79% 8,46% 7,63% 44,5% 3,04% 7,63% BMEF3 50,0% 8,87% 5,87% 68,3% 4,78% 6,0% Fone: Resulados da pesquisa O modelo de previsão proposo nese rabalho apresenou os melhores resulados, em geral. Vale a pena acrescenar, ainda, que seus resulados se aproximaram muio do modelo de Dowd, porém a maioria dos resulados do modelo de previsão dia-a-dia foram superiores. Esses resulados se explicam, em grande pare, pela capacidade elevada de previsão dos reornos por meio das Redes Neurais. O modelo de rede proposo conseguiu prever acuradamene os reornos das ações, implicando melhor esimação do VaR de longo prazo. Mesmo com um desvio de acurácia por meio do modelo GARCH, por se raar de um modelo radicional de séries emporais, sua capacidade de errar nos prazos mais longos pode ser compensada pelos bons resulados obidos da Rede Neural. Além disso, o bom desempenho dos modelos, modelo de Dowd e de previsão dia-a-dia, pode ser confirmado mesmo com a assunção de disribuição Normal para o logarimo dos reornos das séries em quesão 9. 8 Dowd (00) afirma que seu modelo é mais eficaz para a esimação do VaR de acordo com o aumeno do prazo. Essa proposição foi confirmada por ese ese empírico. 9 Vale ressalar, ainda, que a não uilização do ese de Kupiec se dá pelo fao de se esimar o VaR para períodos específicos no fuuro e não em se oberem esimaivas diárias, o que resularia em uma amosra significaiva para avaliação por meio das axas de exceções. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez. 00.

21 6 CONCLUSÕES O presene arigo avaliou rês modelos para compuo do Value-a-Risk de longo prazo para as ações preferenciais da Perobrás, Vale do Rio Doce, Grupo Gerdau, Banco IaúUnibanco e BM&FBOVESPA. O conceio de VaR de longo prazo se refere à esimação da máxima perda, com deerminado nível de confiança e em siuações normais de mercado, para as ações em inervalos de empo que podem ser considerados de longo prazo nese mercado: 5, 0, e 3 dias úeis. Os rês modelos uilizados foram: modelo convencional, adoado pelo RiskMerics e sugerido pelo Acordo de Basileia, com base no cálculo do VaR de curo prazo muliplicado pela raiz quadrada do horizone emporal (ou holding period); o modelo proposo por Dowd (00), embasado numa fórmula obida pela manipulação algébrica do modelo convencional do VaR de curo prazo; e um modelo proposo nese rabalho, que calcula os parâmeros do VaR em ermos de valores previsos, com a uilização do processo GARCH para a previsão da volailidade, e do modelo de Redes Neurais Arificiais para a previsão do logarimo dos reornos das ações. Para realizar essa análise, a amosra dos dados coninham os preços de fechamenos das ações avaliadas no período de 000 a 006, para a previsão do VaR dessas ações no mês de janeiro e fevereiro de 007. A volailidade dos modelos foi esimada com um processo de ipo GARCH (,), supondo-se que os reornos logarímicos seguem uma disribuição com inovações gaussianas, i.e., disribuição Normal. Para o modelo de previsão dia-a-dia proposo, foi consruído um modelo de rede neural mulicamadas, com base no algorimo de reropropagação do erro, para prever o valor dos reornos logarímicos das ações para os períodos esipulados. Finalmene, os resulados foram comparados com o valor do VaR de curo prazo auferidos com dados reais dos mercados nas daas sugeridas, na enaiva de conhecer o modelo que mais se aproximou da realidade. Os resulados confirmaram a proposição de Dowd (00), em que o modelo convencional do compuo do VaR de longo prazo uilizado pelo RiskMerics superesima o valor verdadeiro do VaR, e, para odos os vérices avaliados, apresenou os piores resulados. Enreano o modelo que apresenou esimaivas mais próximas da realidade foi o modelo de previsão dia-a-dia, proposo nese rabalho. As esimaivas obidas foram superiores, em geral, Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

22 se comparadas às obidas pelo modelo de Dowd, além disso, foram significaivamene acuradas. Trabalhos fuuros podem se concenrar na enaiva de se ober o processo gerador da volailidade por um modelo de rede neuronal, viso que essa écnica em apresenado melhores resulados em comparação com modelos radicionais de séries emporais e não requer ano esforço compuacional em visa de suas boas esimaivas. Além disso, esudos podem se concenrar na enava de uilizar ouros algorimos de aprendizagem ou esruura de rede neural na enaiva de incremenar os resulados. Referências ANDERS, W. Garch forecasing performance under differen disribuion assumpions. Journal of Forecasing, v. 5, n. 5, p , 006. BALLINI, R. Análise e Previsão de Vazões Uilizando Modelos de Séries Temporais, Redes Neurais e Redes Neurais Nebulosas f. Tese (Douorado em Engenharia Elérica) Universidade Esadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elérica e Compuação, Campinas. BASILÉIA (BASLE), Commiee on Banking Supervision. Amendmen o he Capial Accord o Incorporae Marke Risk. Bank for Inernaional Selemens, January, 996. BOLLERSLEV, T. R. Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics, v. 3, n.5, p , 986. BOLLERSLEV, T. R.; CHOU, R. Y.; KRONER, K. F. ARCH Modeling in Finance: A Review of he Theory and Empirical Evidence. Journal of Economerics, n.5, p.5-59, 99. CHATTERJEE, A.; AYADI, O. F.; BOONE, B. E. Arificial neural neworks and he financial markes: A survey. Managerial Finance, v. 6, n. 4, p.3-45, 000. DANIELSSON, J.; HARTMANN, P; DE VRIES, C. G. The cos of he conservaism: Exreme Reurns, Value-a-Risk, and he Basle Muliplicaion Facor. Risk, v., n., p. 0-0, 998. DOWD, K. Beyond Velue a Risk: The New Science of Risk Managemen. Nova Iorque: Wiley & Sons, p. DOWD, K. Esimaing Value a Risk: a subjecive approuch. Journal of Risk Finance, v., n. 4, p , 000. DOWD, K. Long-Term Value a Risk. The Pensions Insiue, Birkbeck College, Universiy of London Discussion Paper, June, 00. Revisa Economia & Gesão v. 0, n. 4, se/dez

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