NILMAR BISPO SANTANA. Influência das Medidas Educacionais no Controle de Epidemias via Modelo Matemático SIER

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1 NILMAR BISPO SANTANA Influência das Medidas Educacionais no Controle de Epidemias via Modelo Matemático SIER Belo Horizonte - MG Junho de 2012

2 Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional INFLUÊNCIA DAS MEDIDAS EDUCACIONAIS NO CONTROLE DE EPIDEMIAS VIA MODELO MATEMÁTICO SIER Dissertação de Mestrado, submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Orientador: Professor Dr. Fausto de Camargo Júnior Belo Horizonte - MG Junho de 2012

3 Dedico este trabalho aos meus pais, Avelino e Geralda, e aos meus irmãos Jovimar, Elizana, Eliselma, Gilmar, Elza e Nilson.

4 Agradecimentos Agradeço a Deus pelo dom da vida e por ser o meu guia em toda a minha caminhada. Aproveito este espaço para também deixar meus agradecimentos: Aos meus pais, irmãos e familiares por sempre estarem comigo. Aos meus amigos da graduação em Matemática na Unimontes, em especial, aos amigos Fernando Cassiano, Celso, Elias, Guilherme, Renato, Leandro, Warley Mendes, Warley Figueira, Fernando Barbosa, Fernanda Soares, Luiza Giardini e Hugo Brenner. Aos amigos João, Marilza e toda a sua família pelo grande apoio que me deram enquanto cursava a graduação na cidade de Montes Claros. Aos amigos da Casa dos Estudantes de Rio Pardo de Minas (CERP), em especial aos amigos Mailson, Jailton, Bruno, Edinéia Teixeira, Maria Elisa e Eldir. Aos amigos Anselmo, Péricles e Elísio pelo grandioso apoio durante os três meses em que a CERP ficou fechada. Aos meus amigos Nilvânio, Geraldo, Gilson, Veridiano e Joverlano (Beréu) pela ajuda com transporte durante os meus quatro anos de faculdade. Aos professores e amigos da Escola Estadual Professora Marlene Carmo, em especial, os professores Antônio Marcos, Marcelo Favali e Clélia. Ao amigo Armindo e toda sua família pela ajuda no início da minha vida em Belo Horizonte. Aos meus amigos do Programa de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional, em especial aos amigos José Maurício, Henrique, Marcelo, Harley, Bruno Teixeira, Alline, Flaviana, Lillia, Celso Luiz, Gisele, Luiz Otávio, Saulo, Breno e Juliana. Aos meus amigos Abelardo, Gabriel Mota, Ivan Ávila, Cláudia Maia, Micaele Borges, Ana Paula França e José Sérgio. Aos professores do CCET da Unimontes, em especial aos professores Dr. Rosivaldo,

5 iv Dr. Higino, Dr. Edson, Ms. Sebastião Alves, Helder, Rosina, Ms. Marise e Ms. Carine; Ao programa de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional do CEFETMG. Ao professor Dr. Fausto pela orientação; À CAPES pelo apoio financeiro.

6 Resumo O modelo SIR, suscetível - infectado - recuperado, trata de problemas epidemiológicos de forma que o comportamento da doença permanece inalterado durante todo um surto epidêmico. Considerando o fato de que as pessoas podem aprender a se proteger da doença durante um surto epidêmico e mudar o seu comportamento para se proteger dela, acrescentamos ao modelo SIR a classe dos educados, indivíduos que possuem informação da doença. Este trabalho tem como base o artigo de [1] que propõe um modelo em que a população é dividida em três compartimentos, suscetíveis, educados e infectados. Ampliamos este modelo acrescentando-lhe a classe dos recuperados e o chamamos de SIER. O presente modelo é, na verdade, uma união do modelo SIR com o modelo proposto por [1]. Consideramos que os indivíduos recuperados não possuem imunidade perene. Eles podem voltar a ser suscetíveis ou educados. Palavras-Chave: Epidemiologia Matemática, Modelos Compartimentais, Critérios de Estabilidade

7 Abstract The SIR model, susceptible - infected - recovered, deals with epidemiological problems so that the behavior of the disease remains unchanged throughout an epidemic outbreak. Considering the fact that people can learn to protect themselves from disease during an epidemic and change their behavior to from protect it, we add to the SIR model the class of educated individuals who have information of the disease. This work is based on the article [1] proposes a model in which the population is divided into three compartments, susceptible, infected and educated. We extended this model by adding a class and call SIER recovered. This model is actually a union of the SIR model with the model proposed by [1]. We believe that individuals have no immunity recovered perennial. They can be re-educated or susceptible. Keywords: Epidemiology, Mathematics, A compartmental model, Stability Criteria

8 Sumário 1 Introdução Caráter interdisciplinar Estrutura do texto Epidemiologia Matemática Força de Infecção Número de Reprodutibilidade Basal Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases Estabilidade no sentido de Lyapunov Plano de fase para sistemas lineares Sistemas localmente lineares O Modelo SIR Pontos de Equilíbrio do modelo SIR O modelo SEIR Pontos de equilíbrio do modelo SEIR Critérios de Estabilidade Regra de Sinais de Descartes Exemplificando a regra de sinais de Descartes Critério de Estabilidade de Routh Exemplificando o Critério de Routh Casos especiais no Critério de Routh Critério de Estabilidade de Hurwitz Exemplificando o Critério de Hurwitz

9 SUMÁRIO viii 4 O Modelo SIER Número de Reprodutibilidade Basal do Modelo Pontos de Equilíbrio do Modelo Resultados Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio Simulação Numérica Eliminando a divulgação da informação Variando a eficácia média das medidas de proteção (γ) Doença sem reinfecção Conclusão 58

10 Lista de Figuras 2.1 Retrato de fases para o caso em que os autovalores são todos reais, distintos e de mesmo sinal Retrato de fases para o caso em que os autovalores são reais e de sinais opostos Retrato de fases para autovalores repetidos Retrato de fases para autovaloeres complexos Retrato de fase para autovalores complexos puros Diagrama do modelo SIR Plano s ι e plano de fases para o modelo SIR Diagrama do modelo SEIR Variação da população de suscetíveis, expostos e infectados para um caso em que R 0 > Variação da população de suscetíveis, expostos e infectados para um caso em que R 0 < Plano de fase S I para o modelo SEIR em que α = 0,2; β = 0,4783; µ = 0,13; ν = 0, Gráficos da função de prevalência ξ para n = 2, n = 4, n = Representação esquemática do modelo Suscetível-Infectado-Educado-Recuperado Gráfico da equação 5.8 para c = 10,4; µ = 1/75; σ = 0,1; δ = 0, Esboço gráfico de A 1 em função de γ Esboço gráfico de A 1, A 2 e A 3 em função de γ e A 4, A 5 e A 6 em função de α Resultado da simulação conforme tabela Variação da População de Suscetíveis, Infectados, Educados e Recuperados 52

11 LISTA DE FIGURAS x 5.6 Gráficos dos plano de fases: (5.6a) suscetíveis infectados, (5.6b) suscetíveis educados e (5.6c) educados infectados Variação da População para α = 0,18 e β = 0,032; R 0 = 0, Variação no número de indivíduos suscetíveis, infectados, educados e recuperados para α = 0,21 (linha contínua) e α = 0 (linha tracejada) Influência de α sobre λ para β = 0,13; γ = 0,91; µ = 1/72; P = 0,12; n = 2; c = 10,4; σ = 0,15; δ = 0,22; ϕ = 0,23; ρ = 0, População de indivíduos suscetíveis, infectados, educados e recuperados para diferentes valores de γ Variação da força de infecção com diferentes valores de γ Variação no número de indivíduos suscetíveis, infectados, educados e recuperados para ρ = ϕ =

12 Lista de Tabelas 2.1 Alguns valores de R 0 [17] Propriedades de Estabilidade de sistemas lineares X = AX Propriedades de Estabilidade de sistemas localmente lineares X = AX Parâmetros usados para a figura Parâmetros usados para a figura Parâmetros da função ξ Valores dos parâmetros utilizados nessa dissertação Parâmetros da figura Parâmetros da figura Parâmetros da figura Parâmetros da figura Parâmetros da figura

13 Capítulo 1 Introdução A epidemiologia é o ramo da medicina que estuda os diferentes fatores que intervêm na difusão e propagação de doenças, sua frequência, seu modo de distribuição, sua evolução e a colocação dos meios necessários à sua prevenção. O estudo da epidemiologia passou por pelo menos três fases, sendo elas a epidemiologia sanitária, a epidemiologia das doenças infecciosas e a epidemiologia das doenças crônicas [2]. Nesta pesquisa, interessam-nos a epidemiologia das doenças infecciosas, que surgiu, segundo Oliveira [2], graças às descobertas no campo da microbiologia. Pretendemos estudar modelos matemáticos que nos auxiliem no controle de doenças infecciosas como AIDS e dengue. O primeiro modelo matemático que se tem conhecimento é de autoria de Daniel Bernoulli e data de 1760 [3]. Ele propos e avaliou um modelo a fim de avaliar os efeitos da variolação com o objetivo de influenciar a política de saúde pública [4][5]. O modelo usado por Bernoulli está descrito nas equações (1.1)-(1.2) ds dt dn dt = as ms (1.1) = µas mn (1.2) em que S(t) representa o número de indivíduos suscetíveis, indivíduos que não possuem a doença e estão suscetíveis a contraí-la, e N(t) representa a população total. Os parâmetros a, m e µ representam, respectivamente, a taxa em que os indivíduos contraem a doença, a taxa de morte devido a doença e a taxa de morte devido a causas naturais. Bernoulli concluiu que se a varíola fosse eliminada, a vida média da população aumentaria em três

14 2 anos [4]. Mais tarde, no século XIX, William Farr usou conceitos matemáticos para ajustar uma curva do número de mortos no Reino Unido. Hamer e Ross, no entanto, foram os primeiros a formular teorias matemáticas para a transmissão de doenças infecciosas. Foi Hamer que postulou, em 1960, com modelo de tempo discreto, em que a dinâmica de uma epidemia depende da taxa de contato entre indivíduos suscetíveis e infectados. Mais tarde, Ross formulou modelos semelhantes em tempo contínuo. Tal princípio, descrito a seguir, é chamado delei de ação das massas. 1.1 (Lei da ação das massas) A taxa de espalhamento de uma infecção é proporcional ao produto da densidade dos indivíduos suscetíveis pela densidade dos indivíduos infectados. Kermach e McKendrick propuseram, em 1927, a chamada Teoria do Limiar [6], explicitada a seguir 1.2 (Teoria do limiar) A introdução de um pequeno número de indivíduos infecciosos em uma comunidade de suscetíveis não é capaz de se alastrar como um surto epidêmico a menos que a densidade (ou número) de suscetíveis esteja acima de um certo valor crítico, denominado limiar. A combinação entre a lei da ação de massas e a teoria do limiar formam a base da epidemiologia matemática moderna [3]. O modelo SIR, Suscetíveis - Infectados - Recuperados, é o mais usado em trabalhos de epidemiologia matemática [7]. Esse modelo divide a população em três compartimentos, sendo eles, Suscetíveis, Infectados e Recuperados, representados pelas letras S, I e R, respectivamente. No modelo SIR a população total é uma constante, ou seja S(t) + I(t) + R(t) = N. No modelo SIR, o comportamento individual permanece inalterado durante surtos de doenças infecciosas. Essa é uma característica de muitos modelos existentes [1]. As pessoas, no entanto, podem reagir e mudar os seus hábitos para se prevenir de uma doença em período de surto epidêmico. São muitos os trabalhos que analisam propagação de informações no controle de doenças epidemiológicas. Pachi, em sua tese de doutorado [8], Modelo Matemático para o

15 1.1 Caráter interdisciplinar 3 estudo da propagação de informações por campanhas educativas e rumores analisou a dinâmica do espalhamento de rumores levando em conta a simetria no número de contatos diretos entre suscetíveis e infectados pelo rumor e estudou também as implicações de uma campanha publicitária educativa na dinâmica do modelo. A fim de uma melhor aproximação com a realidade, propomos, neste trabalho, um estudo do efeito das campanhas de saúde pública no controle de doenças evitáveis. Para isso, a população será dividida em quatro compartimentos, Suscetíveis, Infectados, Educados e Recuperados. Neste modelo, diferente do modelo SIR, a população não é constante e N(t) = S(t) + I(t) + E(t) + R(t) representa a população total. 1.1 Caráter interdisciplinar A matemática atingiu um nível de importância em algumas áreas da biologia de tal forma que veio a surgir áreas de estudo como a Epidemiologia Matemática [9]. De forma geral, a epidemiologia matemática é uma área de caráter interdisciplinar, resultado da iteração entre epidemiologistas, biólogos, matemáticos e físicos; e pode ser considerado um campo ainda amplamente aberto à aplicação dos conceitos e métodos já bem estabelecidos na física e em outras disciplinas [8]. Um modelo de epidemiologia matemática deve ser formulado baseando em fundamentos biológicos que caracterizem a doença em estudo [5]. Pearce argumenta que os epidemiologistas perderam a visão da coletividade. Reconhece, porém, a importância de questões socioeconômicas e políticas como determinantes de doenças e o quão difícil é agir, ou implementar medidas de prevenção e controle [2, 10]. De fato, não é muito fácil controlar uma epidemia e os modelos de epidemiologia matemática podem ser usados como ferramenta para compreensão da transmissão das doenças infecciosas e identificar estratégias ótimas de controle. 1.2 Estrutura do texto Os demais capítulos deste trabalho foram divididos da seguinte forma: O capítulo 2 trata da Epidemiologia Matemática, bem como do modelo SIR e do modelo SEIR, Suscetíveis

16 1.2 Estrutura do texto 4 - Expostos - Infectados - Recuperados. Pontos de equilíbrio, força de infecção, número de reprodutibilidade basal e estabilidade no sentido de Lyapuniv também são tratados nesse capítulo. Dedicamos o capítulo 3 para tratarmos dos critérios de estabilidade. Neste capítulo apresentamos a regra de sinais de Descartes, que nos diz os possíveis números de raízes reais positivas ou negativas de um polinômio, e os critérios de estabilidade de Hurwitz e de Routh, que trata do sinal da parte real das raízes de uma equação polinomial. Apresentamos o modelo proposto no capítulo 4, onde encontramos os pontos de equilíbrio e o número de reprodutibilidade basal do modelo. Os resultados são apresentados no capítulo 5 e, no capítulo 6 descrevemos as principais conclusões observadas neste trabalho.

17 Capítulo 2 Epidemiologia Matemática O interesse pela epidemia de doenças infecciosas e a mortalidade humana associada a elas têm uma longa história, que se inicia na obra Epidemia de Hipócrates ( a.c) [5][8]. No século XIX, William Farr, valeu-se de conceitos matemáticos para ajustar uma curva do número de mortos pela varíola no Reino Unido. A epidemiologia matemática se baseia em fundamentos biológicos para o estudo da interação entre o hospedeiro (homem, animal, computador) e o parasita (vírus, bactérias). Um indivíduo, ao contrair uma doença virótica, deixa de ser suscetível e passa a ser infectado. Neste momento, o sistema imunológico do indivíduo passa a produzir anticorpos para combater o vírus invasor. Quando o indivíduo se cura da doença, dizemos que ele está recuperado e, em geral, tornou-se imune à doença. Através de Emérito [11] podemos fazer as seguintes definições: Epidemiologia: É o estudo do comportamento de doenças transmissíveis em uma população de indivíduos; Epidemia: É a ocorrência de uma doença excedendo a expectativa normal; Suscetíveis: São os indivíduos não infectados que podem contrair a doença; Expostos: São os indivíduos infectados que não podem transmitir a doença; Infectados: São os indivíduos infectados ativamente transmitem a doença; Removidos ou Recuperados: São aqueles indivíduos retirados da interação suscetível - infectado por recuperação com imunidade (temporária ou permanente), por isolamento até a cura ou por morte; Período Latente: É o intervalo de tempo entre o momento da infecção e a existência ma-

18 2.1 Força de Infecção 6 terial da infecção no organismo de um indivíduo suscetível; Período Infeccioso: É o período que subsegue imediatamente ao período latente; Período de Incubação: É o intervalo de tempo entre o momento da infecção e a aparição de sintomas A epidemiologia matemática procura estudar e entender a relação entre o número de suscetíveis e de infectados em cada instante de tempo. Em geral, os modelos descritos para explicar uma doença de transmissão direta são do tipo comportamental. Nesse tipo de modelo, a população é dividida em compartimentos que descrevem o estado em que os indivíduos se encontram em relação a doença [12]. Os compartimentos mais comuns são suscetíveis (S), expostos (E), infectados (I) e recuperados (R). 2.1 Força de Infecção O conceito central da teoria matemática aplicada é a chamada força de infecção [8]. A força de infecção, geralmente denotado por λ, é a taxa à qual indivíduos suscetíveis são infectados por uma doença infecciosa. Chamamos de prevalência, a proporção de indivíduos infectados na população enquanto que a incidência relaciona o número de indivíduos suscetíveis que se infectaram em um determinado tempo, ou seja, o número de novos casos da doença [5]. Encontramos a força de infecção dividindo a incidência pelo número de indivíduos suscetíveis. Pela lei de ação das massas, a incidência é proporcional ao produto do número de indivíduos suscetíveis pelo número de indivíduos infectados [8]. Sendo β o número médio de contatos em que a doença foi transmitida, então, o número βs I é chamado de Incidência da doença e a força de infecção é encontrada dividindo a incidência pelo número N de indivíduos suscetíveis. Os números I e N representam, respectivamente, o número de infectados e a população total. A força de infecção depende do número de indivíduos infectados e é diretamente proporcional ao número médio de contatos por pessoa por unidade de tempo.

19 2.2 Número de Reprodutibilidade Basal Número de Reprodutibilidade Basal A chance de uma epidemia permanecer sobre uma população e esta, por sua vez, vir a tornar-se infectada e diminuir por morte ocasionada pela doença é mostrada pelo número de reprodutibilidade basal, R 0, o qual é definido como o número de infecções secundárias causadas por uma infecção simples [13, 14][15][16]. Esse valor é de suma importância na epidemiologia matemática pois, pode-se mostrar que quando R 0 < 1 a doença estudada erradica e persiste caso contrário. Encontrar o valor de R 0 não é uma tarefa muito fácil, em alguns tipos de modelos ele pode ser obtido da equação diferencial que define o número de infectados. A tabela (2.1) ilustra alguns valores de R 0 para diferentes localidades em diferentes épocas. Doença Localização Geográfica Período R 0 Sarampo Reino Unido Ontário, Canadá Rubéola Reino Unido Polônia Gâmbia Poliomelite Estados Unidos Holanda HIV(tipo I) Reino unido (Homossexuais Masculinos) Tabela 2.1: Alguns valores de R 0 [17] Em alguns modelos determinísticos, em que a dinâmica de uma doença é descrita por equações diferenciais, é possível obter o número de reprodutibilidade basal através da equação que descreve o número de infectados. Este é, por exemplo, o caso do modelo SIR, descrito na seção 2.4.

20 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases Estabilidade no sentido de Lyapunov Antes de falarmos de estabilidade, é necessário definirmos métricas e bolas. Definição 1 (métrica) Dado um conjunto M /0, uma métrica, em M, é uma função d : M M R (x,y) d(x,y) que satisfaz (M 1 ) : d(x,y) 0 (M 2 ) : d(x,y) = 0 x = y (M 3 ) : d(x,y) = d(y,x) (M 4 ) : d(x,y) d(x,z) + d(z,y) Dado um conjunto não vazio M e uma métrica d definida em M, o par (M,d) será chamado espaço métrico. Quando não houver dúvida quanto a métrica definida, diremos simplesmente que M é um espaço métrico. Num espaço métrico (M,d), a métrica d também é chamada distância. Em nosso caso, a métrica adotada será sempre a métrica euclidiana, definida por d(x,y) = (x i y i ) 2, sendo x = (x 1,x 2,...,x n ) e y = (y 1,y 2,...,y n ) n i=1 Definição 2 (bola aberta) Seja x 0 um ponto de um espaço métrico (M,d). Sendo ε > 0 um número real, a bola aberta de centro x 0 e raio ε, representada por B(x 0,ε), é o subconjunto de M: B(x 0,ε) = {x M d(x,x 0 ) < ε} Da mesma forma, uma bola fechada com centro em x 0 e raio ε, representada por B[x 0,ε] é o subconjunto de M: B[x 0,ε] = {x M d(x,x 0 ) ε}

21 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases 9 Um sistema dinâmico contínuo pode ser representado por um sistema de equações diferenciais da forma x 1 = f 1 (x 1,x 2,...,x n,t) (2.1) x 2 = f 2 (x 1,x 2,...,x n,t) (2.2). x n = f n (x 1,x 2,...,x n,t) (2.3) onde x i = x i (t). Chamamos as variáveis x 1,x 2,...,x n de variáveis de estado do sistema e os planos x k x m ;k,m = 1,2,...,n;k m de plano de fase ou espaço de estados do sistema. Em notação matricial temos x 1 f 1 (x,t) x x = 2 f ; f (x,t) = 2 (x,t).. f n (x,t) x n Definição 3 O ponto x = x no espaço de estados é chamado de ponto de equilíbrio (ou ponto fixo) se quando as variáveis de estado começam em x permanecem em x para todo tempo futuro. Neste caso, tem-se que f (x,t) = 0, t R Dessa forma, os pontos de equilíbrio de um sistema dinâmico, como o sistema de equações (2.1)-(2.3), podem ser obtidos fazendo x 1 = x 2 = = x n = 0 Um ponto de equilíbrio x é chamado de assintoticamente estável se todas as suas trajetórias x(t), cujas condições iniciais estão contidas em uma bola de raio δ com centro em x tendem para x conforme o tempo passa [4]. Se x atrai todas as trajetórias na sua proximidade, será chamado de atrator e pode ser localmente ou globalmente estável. Ele será localmente assintoticamente estável se essa bola possuir raio finito e será chamado de globalmente assintoticamente estável se essa bola possuir raio infinito. Dizemos que x é ponto de equilíbrio neutramente ou marginalmente estável se existe uma bola de raio δ centrada em x tal que, para qualquer trajetória com condição inicial

22 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases 10 x(0) pertencente a essa bola, então x(t) permanece dentro de uma outra bola de raio ε centrada em x, conforme o tempo passa[4]. O ponto de equilíbrio x é instável se não existe uma bola de raio δ centrada em x tal que todas as trajetórias, cujas condições iniciais pertencem a essa bola, ficariam confinados no interior de uma outra bola de raio ε com centro em x. A seguir apresentamos um resumo de estabilidade para sistemas lineares e não-lineares Plano de fase para sistemas lineares Considere o sistema X = AX (2.4) onde A é uma matriz quadrada de ordem 2 e X é um vetor do tipo X = x 1(t). x 2 (t) Procuramos soluções do tipo X = v e ωt, substituindo então essa solução em (2.4), obtemos (A ωi) v = 0 e os autovalores de A são as raízes da equação polinomial det(a ωi) = 0. analisamos, a seguir, condições para cada caso. Para isso, definimos a matriz A como A = a 11 a 12 a 21 a 22 Os autovalores de A são encontrados resolvendo a equação det(a ωi 2 ) = 0, sendo I 2 a matriz identidade de ordem 2. Resolvendo essa equação obtemos ω 2 (a 11 + a 22 )ω + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = 0 (2.5) mas, a 11 + a 22 = tr(a) e a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a) e portanto, e equação (2.5) pode ser escrita da seguinte maneira: ω 2 T ω + = 0 (2.6) sendo T, o traço da matriz A e o determinante de A. Estamos interessados apenas nos sinais da parte real dos autovalores da equação (2.6). Segue-se um resumo dos sinais dos autovalores.

23 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases 11 Se < 0 Se > 0 e T Se > 0 e T 2 4 < 0 Autovalores reais de sinais contrários; Autovalores reais de mesmo sinal; Autovalores complexos. Segue uma análise da estabilidade em cada caso. Caso I: Autovalores Reais, distintos e de mesmo sinal A solução geral do sistema (2.4), para este caso, é X (t) = c 1 v1 e ω 1t + c 2 v2 e ω 2t, onde v1 e v 2 são autovetores correspondentes aos autovalores ω 1 e ω 2, respectivamente. Se ω 1 > ω 2 > 0, então X (t) quando t e o ponto crítico é chamado de nó repulsor. No caso em que ω 1 < ω 2 < 0, X(t) 0 quando t e o ponto crítico é chamado de nó atrator. A figura (2.1) ilustra o caso em que os autovalores são distintos e de mesmo sinal. (a) autovalores positivos (b) autovalores negativos Figura 2.1: Retrato de fases para o caso em que os autovalores são todos reais, distintos e de mesmo sinal Caso II: Autovalores Reais de sinais opostos A solução geral do sistema (2.4), para este caso, é X (t) = c 1v1 e ω1t + c 2v2 e ω2t, onde ω 1 < 0 e ω 2 > 0, então, quando t, x 1 0 e x 2, o ponto crítico, nesse caso, é chamado Ponto de Sela. A figura(2.2) ilustra o caso em que os autovalores são reais e de sinais opostos.

24 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases 12 Figura 2.2: Retrato de fases para o caso em que os autovalores são reais e de sinais opostos Caso III: Autovalores Repetidos Neste caso, o autovalor pode ter dois autovetores linearmente independentes ou pode ter apenas um autovetor associado a ele. Caso possua dois autovetores independentes, a solução de (2.4) é do tipo X = (c 1v1 + c 2v2 )e ωt, se ω < 0, então todas as trajetórias vão para a origem quando t e as trajetórias se afastam da origem se ω > 0. O ponto crítico, neste caso, é chamado de nó próprio. Se, no entanto, o autovalor possuir um único autovetor associado a ele, a solução de (2.4) é do tipo X = c 1 v e ωt + c 2 ( v te ωt + u )e ωt, onde u é o autovetor generalizado associado ao autovalor repetido. Neste caso, quando t, o termo dominante é c 2 v te ωt, de modo que todas as trajetórias do sistema tendem para a origem. Caso t, então as trajetórias afastam do sistema. A figura (2.3) mostra o retrato de fase para este caso. Figura 2.3: Retrato de fases para autovalores repetidos

25 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases 13 Caso IV: Autovalores Complexos Considere ω = a ± bi, com a 0. Neste caso, o ponto crítico é chamado de espiral, a orientação das trajetórias depende do sinal de a, se a < 0, as trajetórias vão para a origem; caso contrário, elas afastam da origem, como na figura (2.4) Neste caso, a solução geral de (2.4) é do tipo X = c 1 e at (cosbt + isenbt) + c 2 e at (cosbt isenbt) (a) Parte real negativa (b) Parte real positiva Figura 2.4: Retrato de fases para autovaloeres complexos Se a = 0, o ponto crítico será chamado de centro. Figura 2.5: Retrato de fase para autovalores complexos puros

26 2.3 Estabilidade no sentido de Lyapunov e topologia do retrato de fases 14 A tabela (2.2) fornece a relação entre o sinal dos autovalores e a estabilidade do sistema (2.4) [18]. Autovalores Tipo de ponto crítico Estabilidade ω 1 > ω 2 > 0 Nó Instável ω 1 < ω 2 < 0 Nó Assintoticamente Estável ω 2 < 0 < ω 1 Ponto de sela Instável ω 1 = ω 2 > 0 Nó próprio ou impróprio Instável ω 1 = ω 2 < 0 Nó próprio ou impróprio Assintoticamente Estável ω = a ± bi Ponto espiral... a > 0... Instável a < 0... Assintoticamente Estável a = 0 Centro Estável Tabela 2.2: Propriedades de Estabilidade de sistemas lineares X = AX Sistemas localmente lineares No caso de sistemas não lineares, é necessário antes aproximar o sistema de equações não lineares por um sistema de equações lineares. Para isso, calculamos a matriz jacobiana no ponto de equilíbrio (x 1,x 2 ). Seja F(x 1,x 2 ) = ( f 1, f 2 ), sendo f 1 = x 1 e f 2 = x 2, então, a matriz jacobiana é a matriz f 1 (x 1 x,x 2 ) f 1 (x1 1 x,x 2 ) 2 J (x 1,x2 ) = f 2 (x1 x,x 2 ) f 2 (x1 1 x,x 2 ) 2 No caso de sistemas de equações não lineares, analisamos a estabilidade pelos sinais da parte real dos autovalores da matriz jacobiana. A tabela (2.3) resume os pontos críticos para sistemas não lineares. Como exemplo considere o sistema de equações dx dt = x(1 0,5y) dy dt = y( 0,75 + 0,25x) (2.7)

27 2.4 O Modelo SIR 15 os pontos de equilíbrio do sistema (2.7) são as soluções de x(1 0,5y) = 0 e y( 0,75 + 0,25x) = 0 então os pontos de equilíbrio do sistema (2.7) são os pontos ε 1 = (0,0) e ε 2 = (3,2) e a matriz jacobiana no ponto de equilíbrio ε 1 é a matriz J ε 1 = 1 0,5x = 1 0 0, 25y 0, 75x 0 0, 75 com autovalores ω 1 = 1 e ω 2 = 0,75. Consultando a tabela (2.3), ε 1 é ponto de sela. Autovalores Tipo de ponto crítico Estabilidade ω 1 > ω 2 > 0 Nó Instável ω 1 < ω 2 < 0 Nó Assintoticamente Estável ω 2 < 0 < ω 1 Ponto de sela Instável ω 1 = ω 2 > 0 Nó ou Ponto Espiral Instável ω 1 = ω 2 < 0 Nó ou Ponto Espiral Assintoticamente Estável ω = a ± bi Ponto espiral... a > 0 Ponto Espiral Instável a < 0 Ponto Espiral Assintoticamente Estável a = 0 Centro ou Ponto Espiral Indeterminado Tabela 2.3: Propriedades de Estabilidade de sistemas localmente lineares X = AX 2.4 O Modelo SIR Kermack e McKendrick, em 1927, propuseram um modelo que divide a população em três compartimentos: Suscetíveis, Infectados e Recuperados. Na classe dos Suscetíveis (S) ficam todos os indivíduos que estão suscetíveis a contrair a doença, na classe dos Infectados (I) ficam todos os indivíduos que estão infectados e na classe dos Recuperados (R) ficam todas as pessoas que estão imunes a doença. Esse modelo foi construído de tal forma que S(t) + I(t) + R(t) = N, uma constante. Para manter a população constante, consideramos que a taxa de natalidade (µ) é igual à

28 2.4 O Modelo SIR 16 taxa de mortalidade. Um indivíduo sadio (suscetível) contrai a doença ao encontrar com um indivíduo infectado. Este, porém, ao se curar da doença sai da classe dos infectados e passa a compor a classe dos recuperados. Abaixo, descrevemos as equações diferencias do modelo SIR: em que ds dt di dt dr dt = µn µs βsi N = µi + βsi N (2.8) γi (2.9) = µr + γi (2.10) µ representa a taxa de natalidade/mortalidade β representa a taxa em que surgem novas infecções em decorrência dos contatos entre indivíduos γ representa a taxa de transferência dos indivíduos da classe dos infectados para a dos recuperados, ou seja, a taxa de recuperação da doença. Qualquer indivíduo já nasce suscetível. Temos, portanto, µn indivíduos suscetíveis a cada unidade de tempo, os termos negativos em µs, µi e µr indicam que, ao mesmo tempo em que nascem indivíduos Suscetíveis, morrem indivíduos suscetíveis, infectados e recuperados. O termo β IS representa a proporção dos indivíduos que deixam de ser N Suscetíveis e passam a ser Infectados no encontro entre esses indivíduos. Observem que ds/dt + di/dt + dr/dt = 0, o que já era esperado pois, a população total é constante e a derivada de uma constante é zero. A dinâmica do modelo SIR pode ser visualizada pela figura (2.6) Figura 2.6: Diagrama do modelo SIR

29 2.4 O Modelo SIR 17 Dividindo as equações (2.8)-(2.10) por N, obtemos o seguinte sistema de equações: ds dt = µ µs βsι (2.11) dι = µι + βsι γι (2.12) dt dr = µr + γι (2.13) dt onde ds dt = ds/dt N, dι dt = di/dt 1 dr e N dt = dr/dt N Dessa forma, temos que s(t) + ι(t) + r(t) = 1 = r(t) = 1 ι(t) s(t) e assim podemos reduzir o sistema de (2.11) - (2.13) em um sistema com duas equações não lineares, como a seguir: ds dt dι dt = µ µs βsι (2.14) = µι + βsι γι (2.15) Se considerarmos que a dinâmica da doença é muito rápida para provocar mortes podemos simplificar o modelo SIR fazendo µ = 0, nas equações (2.11) (2.13) ou seja, desconsiderando a taxa de natalidade/mortalidade. ds dt = βsι dι = βsι γι dt dr dt = γι Dividindo (2.17) por (2.16) obtemos dι ds = 1 + γ 1 β s (2.16) (2.17) (2.18) (2.19) Resolvendo a equação (2.19) usando separação de variáveis, obtemos: ι(s) = ι(0) s + s(0) + β γ ln( s s 0 ) (2.20) A representação no plano s ι é chamada de representação no plano de fases 1 Normalmente se utiliza o símbolo i para representar a proporção de indivíduos infectados na população. Preferimos usar o símbolo ι para não correr risco de confundir i com a unidade imaginária i = 1

30 2.4 O Modelo SIR 18 Para análise da dinâmica da doença, usa-se o termo R 0, chamado de número de reprodutibilidade basal, que é o número de casos secundários obtidos quando introduzimos uma porção de indivíduos infectantes dentro de uma população totalmente suscetível, conforme definido na seção 2.2. No caso do modelo SIR, esse número pode ser encontrado pela equação (2.9) I = µi + β SI N γi I = ( µ + β S N γ)i Como, o número de reprodutibilidade basal é obtido ao introduzirmos um pequeno número de infectados em uma população inteiramente suscetíveis, temos que S N. De modo que I ( µ + β γ)i I [β (µ + γ)]i ( ) β I (µ + γ) µ + γ 1 I e o número de reprodutibilidade basal é R 0 = β γ + µ ( ) β Observem que I (µ + γ) µ + γ 1 I então I(t) I(0)e (µ+γ)(r 0 1)t (2.21) (2.22) de modo que, se R 0 < 1, I(t) 0 quando t Teorema A doença erradica por conta própria, quando o número de reprodutibilidade basal (R 0 ) é menor do que 1. As figuras (2.7a) e (2.7c) mostram a variação da população de indivíduos suscetíveis e infectados enquanto que as figuras (2.7b) e (2.7d) mostram o plano de fase dos gráficos (2.7a) e (2.7c), respectivamente. Ambos os gráficos tem como parâmetros µ = 1/70 e γ = 0,15

31 2.4 O Modelo SIR 19 (a) (s 0,ι 0 ) = (0,99;0,01) e β = 0,32 (b) Evolução no plano de fases para o modelo SIR (c) (s 0,ι 0 ) = (0,3;0,4) e β = 0,2 (d) Evolução no plano de fases para o modelo SIR Figura 2.7: Plano s ι e plano de fases para o modelo SIR Pontos de Equilíbrio do modelo SIR Podemos encontrar os pontos de equilíbrio x = (s,ι ) do modelo SIR fazendo ds/dt = 0, dι/dt = 0 nas equações de (2.11)-(2.12), obtendo: µ µs βs ι = 0 (2.23) µι + βs ι γι = 0 (2.24) Pela segunda equação, temos que ι ( µ + βs γ) = 0 = ι = 0 ou s = γ + µ β. Se ι = 0 então, pela primeira equação, temos que s = 1. Por outro lado, temos que, se s = γ + µ β = 1 então µ µ β ι = 0 = β ι = µr 0 µ = ι = µ R 0 R 0 R 0 R 0 R 0 β (R 0 1). Temos, ( 1 então, os dois pontos de equilíbrio x1 = (1,0) e x 2 =, µ ) R 0 β (R 0 1)

32 2.5 O modelo SEIR O modelo SEIR Este modelo propõe a divisão da população em quatro compartimentos, acrescentando ao modelo SIR padrão a classe dos Expostos, indivíduos que possuem o vírus mas não o transmitem a outras pessoas, ou seja, indivíduos infectados mas não infectantes. Os indivíduos infectados, representados por βsi passam a compor a classe dos infectados, antes de passarem para o compartimento dos infectados. O número β representa um número médio de contatos por pessoa por unidade de tempo. Do compartimento dos expostos saem αe indivíduos que passam a compor o compartimento dos infectados após o período de permanência no estado exposto. o tempo médio em que um indivíduo permanece no estado exposto, T E, definido por T E = 1 µ + α, e o número P E = α α + µ, representa a probabilidade de um indivíduo sobreviver ao período exposto [19]. O parâmetro α representa a taxa com que indivíduos expostos se tornam infectados. A figura (2.8) mostra o diagrama para o modelo SEIR. Figura 2.8: Diagrama do modelo SEIR Assim como no modelo SIR, a taxa de natalidade, representado aqui por δ, é igual a taxa de morte. Estamos considerando, para esse modelo, que S(t)+E(t)+I(t)+R(t) = 1 em que segue as equações: ds dt = µ βsi µs (2.25) de = βsi αe µe dt (2.26) di = αe νi µi dt (2.27) dr = νi µr dt (2.28) µ taxa de natalidade/mortalidade;

33 2.5 O modelo SEIR 21 β α ν número médio de contatos em que a doença foi transmitida; taxa de transferência de indivíduos Expostos para Infectados; taxa de recuperação de indivíduos infectados. S(t), E(t) I(t) e R(t) representam a proporção de indivíduos, respectivamente, suscetíveis, expostos, infectados e recuperados na população. Como fizemos no modelo SIR, podemos fazer R(t) = 1 S(t) E(t) I(t), ficando com o sistema: ds dt = µ βsi µs (2.29) de = βsi αe µe dt (2.30) di = αe νi µi dt (2.31) Para este modelo, o número de reprodutibilidade basal é definido como [19] R 0 = βα (ν + µ)(α + µ) (2.32) Pontos de equilíbrio do modelo SEIR Os pontos de equilíbrio do modelo SEIR podem ser obtidos das equações (2.25) (2.28) Se R 0 < 1, o modelo SEIR possui o ponto de equilíbrio livre da doença P 0 = (1,0,0,0), caso contrário, o modelo possui o ponto de equilíbrio endêmico, que podemos encontrar fazendo S (t) = E (t) = I (t) = 0. Temos então que µ βs I µs = 0 (2.33) βs I αe µe = 0 (2.34) αe νi µi = 0 (2.35) Da equação (2.35), temos que αe (ν+δ)i = 0 E = ν + δ α I. De (2.34), temos que, βs I (α + δ)e = 0 S (α + µ)(ν + µ) =, ou seja, S = 1 e, finalmente, de (2.33), βα R 0 temos que µ β 1 I µ 1 = 0 I = µ(r 0 1). O valor de R pode ser encontrado R 0 R 0 β fazendo R = 1 S E I. Temos, portanto, o ponto de equilíbrio endêmico P = (S,E,I,R ), de tal forma que S = 1 E = ν + µ R 0 α I I = µ(r 0 1) β R = 1 1 R 0 ( ν + µ α + 1)I

34 2.5 O modelo SEIR 22 A figura (2.9) mostra a variação da população de suscetíveis, expostos e infectados para R 0 > 1 e a figura (2.10) mostra a variação da população para R 0 < 1. Figura 2.9: Variação da população de suscetíveis, expostos e infectados para um caso em que R 0 > 1 α β µ ν R 0 S I E 0,2 0,4783 0,13 0,007 2, ,4726 0,3033 0,2078 Tabela 2.4: Parâmetros usados para a figura 2.9 α β µ ν R 0 S E I R 0,4 0,3 0,26 0,81 0, Tabela 2.5: Parâmetros usados para a figura 2.10 A figura (2.11) mostra o plano de fases para S I.

35 2.5 O modelo SEIR 23 Figura 2.10: Variação da população de suscetíveis, expostos e infectados para um caso em que R 0 < 1 Figura 2.11: Plano de fase S I para o modelo SEIR em que α = 0,2; β = 0,4783; µ = 0,13; ν = 0,07

36 Capítulo 3 Critérios de Estabilidade A estabilidade de um sistema dinâmico é definida pelo sinal da parte real dos autovalores da sua equação característica. No entanto, polinômios com grau maior ou igual a três não são muito fáceis de se resolver. Na impossibilidade de encontrar as raízes de uma equação polinomial, usamos critérios que nos permitem descobrir os sinais dessas raízes sem necessariamente sabermos os seus valores. Dedicamos este capítulo especialmente para tratarmos de alguns desses critérios. 3.1 Regra de Sinais de Descartes O número de raízes reais positivas de uma equação polinomial é igual ao número de variações de sinais na sequência dos seus coeficientes, ou menor que esse número por um inteiro par. O número de raízes negativas é igual ao número de permanência de sinais na sequência dos coeficientes, ou menor por um inteiro par [20] Exemplificando a regra de sinais de Descartes Como exemplo, considere o polinômio P(x) = x 2 5x + 6. Pela regra de sinais de Descartes temos que o número de raízes reais positivas é 2 ou 0 (número de trocas de sinais ou menor por um inteiro par). O número de raízes reais negativas é 0 (número de permanências de sinais). Notem que não há permanência de sinais uma vez que a sequência nos sinais é positivo-negativo-positivo. Sabemos que as raízes desse polinômio é x 1 = 2 e x 2 = 3, duas raízes reais positivas. Considere agora a equação 3.1

37 3.2 Critério de Estabilidade de Routh 25 P(x) = x 3 3x 2 + 4x 2 (3.1) cujas raízes são x 1 = 1 x 2 = 1 + i x 3 = 1 i A regra de sinais de Descartes já nos garanti que não havia nenhuma raiz real negativa, uma vez que o número de permanência de sinais é zero. O número de raízes reais positivas é, pela regra de Descartes, 3 ou 1. Como já calculado, o polinômio (3.1) possui uma única raiz real positiva. A regra de sinais de Descartes não nos garante que o número exato de raízes reais positivas ou negativas é k, ela nos garante que é k ou menor que k por um inteiro positivo par. No entanto, casos como a equação (3.1) garantem que o número de raízes reais negativas é zero ou casos como a equação 3.2 nos garante que o número de raízes reais positivas é exatamente uma. P(x) = x 3 5x 2 9x 35 (3.2) Notem que há apenas uma troca de sinal na sequência dos termos do polinômio (3.2) de modo há uma única raiz real positiva. Quando a regra de sinais de Descartes não é suficiente para determinar a estabilidade de um sistema, restam-nos os critérios de Routh e de Hurwitz. 3.2 Critério de Estabilidade de Routh Considere o polinômio P(s) = a 0 s n + a 1 s n 1 + a 2 s n 2 + a n 1 s + a n (3.3) Sendo a i R, i = 0,1,...,n

38 3.2 Critério de Estabilidade de Routh Proposição: Uma condição necessária mas não suficiente para que todas as raízes da equação polinomial (3.3) tenha parte real negativa é que ela satisfaça as seguintes desigualdades [21] a 1 a 0 > 0, a 2 a 0 > 0, a 3 a 0 > 0,, a n 1 a 0 > 0, a n a 0 > 0 (3.4) 3.2 Demonstração: Como o polinômio possui coeficientes reais as suas raízes são reais ou complexas conjugadas. Denotando as raízes reais por s k,k = 1,2,..., p e as complexas por z j e z j, j = 1,2,...,q com q = n p, podemos escrever P(s) como 2 P(s) = a 0 P(s) = a 0 p k=1 p k=1 (s s k ) (s s k ) Como S k < 0 e Re(z j ) < 0 temos que P(s) são produtos de elementos positivos, implicando nas desigualdades de (3.4). a 0 q j=1 q j=1 (s z j )(s z j ) (s 2 2Re(s j s) + z j 2 ) O critério de Routh estabelece que todos os sinais dos coeficientes da equação (3.3) sejam positivos. Note que as desigualdades estabelecidas em (3.4) estão satisfeitas quando todos os termos do polinômio (3.3) são positivos. Condições adicionais para que as raízes do polinômio (3.3), segundo o critério de Routh, tenham parte real negativa podem ser dadas pela tabela de Routh. Essa tabela é construída segundo os passos a seguir Passos para construção da tabela de Routh [4]: Na primeira linha, escrevem-se os coeficientes a i com índice par, em ordem crescente e na segunda linha, os coeficientes com índice ímpar, na ordem crescente; Cada elemento da i ésima coluna das demais n 1 linhas é obtido da seguinte maneira. Calcula-se o determinante da matriz 2 2, cuja primeira coluna é formada pelos dois elementos da primeira coluna da tabela que estão nas linhas imediatamente acima e a segunda coluna é formada pelos dois elementos da coluna-(i + 1) da tabela que estão nas linhas imediatamente acima. Divide-se esse determinante pelo elemento da primeira coluna na linha imediatamente acima, tomando como sinal contrário;

39 3.2 Critério de Estabilidade de Routh 27 Essa tabela contém n+1 linhas, sendo que há apenas um elemento nas duas últimas linhas. s n a 0 a 2 a 4 s n 1 a 1 a 3 a 5 s n 2 b 1 b 2 s n 3. s 0 b 1 = 1 a 0 a 2 a 1 b 2 = 1 a 0 a 4 a 1 a 3 a 1 a 1 a 5 O critério de Routh estabelece que as raízes de um polinômio (no nosso caso, o polinômio característico) possuem raízes com parte real negativa se os elementos da primeira coluna da tabela de Routh são todos positivos. Havendo trocas de sinal dos elementos da primeira coluna, o número de trocas de sinal indicará o número de raízes com parte real positiva Exemplificando o Critério de Routh Polinômios de segundo grau Considere o polinômio P(s) = a 2 s 2 + a 1 s + a 0. A tabela de Routh é s 2 a 2 a 0 s 1 a 1 0 s 0 b 1 b 1 = 1 a 2 a 0 a 2 Logo b 1 = a 0a 1 a 1 0 a 2 Considerando a 2 > 0 (no caso de uma equação característica a 2 = 1 > 0), temos que a 0 a 1 deve ser positivo e portanto a 1 > 0 e a 2 > 0 para que todas as raízes desse polinômio tenham parte real negativa.

40 3.2 Critério de Estabilidade de Routh 28 Polinômios de terceiro grau Considere a equação polinomial P(s) = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 com a i > 0, i = 0,...3, todos positivos. A tabela de Routh para esse polinômio é s 3 a 3 a 1 s 2 a 2 a 0 s 1 b 1 s 0 b 2 b 1 = 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 0 e b 2 = 1 b 1 a 2 a 0 b 1 0 Logo temos que b 1 = a 2a 1 a 0 a 3 a 2 e b 2 = a 0. A condição para este polinômio ter raízes com parte real negativa é a 2 a 1 > a 0 a 3 Polinômio de sexto grau Considere o polinômio P(s) = a 6 s 6 + a 5 s 5 + a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 A tabela de Routh é s 6 a 6 a 4 a 2 a 0 s 5 a 5 a 3 a 1 s 4 b 1 b 2 b 3 s 3 c 1 c 2 s 2 d 1 d 2 s 1 e 1 s 0 f 1

41 3.2 Critério de Estabilidade de Routh 29 b 1 = 1 a 5 a 6 a 4 a 5 a 3 b 2 = 1 a 5 a 6 a 2 a 5 a 1 b 3 = 1 a 5 a 6 a 0 a 5 0 c 1 = 1 b 1 a 5 a 3 b 1 b 2 c 2 = 1 b 1 a 5 a 1 b 1 b 3 d 1 = 1 = c 1 b 1 b 2 c 1 c 2 d 2 = 1 c 1 b 1 b 3 c 1 0 e 1 = 1 d 1 c 1 c 2 d 1 d 2 f 1 = 1 e 1 d 1 d 2 e Casos especiais no Critério de Routh Ao montar a tabela de Routh pode acontecer de aparecer um elemento nulo na primeira coluna. Pode acontecer de duas formas 1. A linha em que o primeiro elemento é nulo possui algum elemento diferente de zero; 2. Todos os elementos da linha são iguais a zero. No primeiro caso, resolvemos o problema substituindo o elemento nulo por um valor ε tal que ε 0 +. Considere, por exemplo, o polinômio P(s) = s 5 + 3s 4 + 2s 3 + 6s 2 + 3s + 3 (3.5) A tabela de Routh é s s s Primeiro elemento da linha é nulo s 2 s 1 s 0 Substituindo então o valor nulo por ε 0 + temos que

42 3.2 Critério de Estabilidade de Routh 30 s s s 3 ε 2 s s 1 ε 2(ε 1) s 0 3 ( lim 6 6 ) ( ) ε < 0 e lim ε 0 + ε ε 0 + 2(ε 1) com parte real positiva. < 0. Então o polinômio (3.5) possui duas raízes Para resolver o segundo caso, substituímos a fila nula pelos elementos da derivada do polinômio formado pelos elementos da linha acima da linha nula. Sendo a linha s m ;m < n, a linha anterior à linha nula, então substituímos a linha nula por uma outra linha cujos elementos são os termos do polinômio Q(s) = c 1 s m + c 2 s m 2 + c k sendo k o número de elementos da linha anterior à linha nula e c i ;i = 1,...,k são os elementos da linha que antecede a linha nula. Considere como exemplo o polinômio P(s) = s 5 + 6s s s s + 6 (3.6) A tabela de Routh é s s s s Q(s) = 6s s Uma linha nula s 0 Q (s) = 12s. Então substituímos a linha nula pela linha formada pelos elementos 12 e 0. Ficamos então com a nova tabela

43 3.3 Critério de Estabilidade de Hurwitz 31 s s s s s s 0 6 Todos os elementos da primeira linha da tabela de Routh são positivos. Isso nos faz acreditar que todas as raízes do polinômio (3.6) possuem parte real negativa. No entanto, as raízes do polinômio Q são s = ±i, que possuem parte real nula. 3.3 Critério de Estabilidade de Hurwitz Outro importante método usado para analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos é o critério de Hurwitz. Segundo o critério de Hurwitz, todos os coeficientes de um polinômio devem ser positivos para que as suas raízes tenham parte real negativa, essa é uma condição necessária, mas não suficiente. Considere o polinômio com coeficientes reais positivos P(s) = a 0 s n + a 1 s n 1 + a 2 s n 2 + a n 1 s + a n (3.7) Condições adicionais para que todas as raízes do polinômio (3.7) tenham parte real negativa são definidas pela matriz H n n. Essa matriz é chamada de matriz de Hurwitz e é construída do seguinte modo [4]: Na primeira linha escrevem-se os coeficientes a i com índice ímpar em ordem decrescente. Na segunda linha escrevem-se os coeficientes a i com i par em ordem decrescente; As duas linhas seguintes são obtidas deslocando as duas primeiras linhas uma coluna para a direita e colocando zeros nas posições vazias; As demais linhas são construídas repetindo esse procedimento até a 0 ocupar o canto inferior direito. Para n par, temos que

44 3.3 Critério de Estabilidade de Hurwitz 32 H = a 1 a 3 a 5 a 7 a n 1 a 0 a 2 a 4 a 6 a n 0 a 1 a 3 a 5 a n 3 0 a 0 a 2 a 4 a n a 0 O critério de Hurwitz estabelece que o polinômio (3.7) possui todas as raízes com parte real negativa se a a 1 = a 1 ; 2 = 1 a 3 1 a 3 a 5 a 0 a 2 ; 3 = a 0 a 2 a 4 ; ; n = H 0 a 1 a 3 forem todos positivos Exemplificando o Critério de Hurwitz Pela fórmula de Bháskara é possível encontrar as raízes do polinômio P(s) = s 2 + 2s + 2 (3.8) Vamos, no entanto, usar o critério de Hurwitz para verificarmos se o sinal da parte real de suas raízes são todos negativos. Pelo critério de Hurwitz temos que H = = 2 = 2 > 0 e 2 = H = 4 > 0 Logo, pelo critério de Hurwitz, a parte real das raízes do polinômio (3.8) são todas negativas. De fato, as raízes do polinômio (3.8) são s 1 = 1 + i e s 2 = 1 i Considere agora o polinômio P(s) = 2s 4 + 5s 3 + 6s 2 + 7s + 1 (3.9)

45 3.3 Critério de Estabilidade de Hurwitz 33 A matriz de Hurwitz para esse polinômio é H = = 5 ; 2 = 2 6 ; 3 = Fazendo as contas encontramos que ; 4 = H 1 = 2; 2 = 16; 3 = 4 = 87 Logo, a parte real das raízes do polinômio (3.9) é negativa. Com o auxílio do matlab encontramos as raízes (aproximadas) do polinômio (3.9) s 1 = 1,8248; s 2 = 0,2563+1,2763i; s 3 = 0,2563 1,2723i e s 4 = 0,1627. Como esperado, a parte real é sempre negativa.