Progressões 3. Semelhança de Triângulos 10. Trigonometria no Triângulo Retângulo 16. Figuras Planas 26. Introdução à Estatística 39

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2 º Unidade Capítulo VI Progressões 3 Capítulo VII Semelhança de Triângulos 0 Capítulo VIII Trigonometria no Triângulo Retângulo 6 Capítulo IX Figuras Planas 6 Capítulo X Introdução à Estatística 39 Questões de ENEM e Vestibulares 48 Organização: Apoio:

3 Capítulo VI Determinação De Uma Sequência Os elementos de uma sequência podem ser determinados através de uma lei de formação. Exemplo Vamos determinar os cinco primeiros termos da sequência definida por a n 3n² +, n ℕ*. an representa o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência, onde n,, 3. Por esse motivo, an é chamado termo geral da sequência. Atribuindo valores permitidos para n, encontramos os termos procurados: n a 3. ² + a 5 n a 3. ² + a 4 n 3 a3 3. 3² + a3 9 n 4 a4 3. 4² + a4 50 n 5 a5 3. 5² + a Assim, a sequência procurada é (5, 4, 9, 50, 77,...) Exemplo Consideremos a sequência definida por an 3n 6, n ℕ*. Podemos descobrir o valor de a5 + a6: a e a Assim, a5 + a Se quisermos saber se o número 3 pertence à sequência, devemos substituir a n por 3 e verificar se a equação obtida tem solução natural: 3 3n 6 3n 9 n 43 Concluímos, então, que o número 3 pertence à sequência e ocupa a 43ª posição. Outra maneira de determinarmos os elementos de uma sequência é através da lei de 3

4 Capítulo VI recorrência. Essa lei nos permite encontrar um termo qualquer da sequência a partir do termo anterior. Exemplo 3 Vamos construir a sequência definida pelas relações: a 5 an+ an +, n ℕ* (I) Determinaremos o º termo a partir do º; o 3º a partir do º, e assim por diante. Para isso, basta atribuirmos valores para n em (I): n a a + a 5 + a 7 n a3 a + a3 7 + a3 9 an+ an + significa que o sucessor (an+) de um elemento é igual ao antecessor (an) mais n 3 a4 a3 + a4 9 + a4 n 4 a5 a4 + a5 + a5 3 Assim, a sequência procurada é (5, 7, 9,, 3, ). Progressão Aritmética Observe a seguinte sequência: (4, 7, 0, 3, 6, 9,,...) Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa sequência e seu antecedente é sempre igual a 3: 7 4 3; 0 7 3; 3 0 3; 6 3 3; 9 6 3; 9 3,... Podemos observar ainda que, considerando três termos da sequência, o termo central é dado pela média aritmética entre os outros dois termos: (a, a, a3) (4, 7, 0) Temos: (a3, a4, a5) (0, 3, 6) Temos: (a5, a6, a7) (6, 9, ) Temos: 9 6 Ou, ainda, o termo central também é dado pela média aritmética dos termos equidistantes a ele: (a, a, a3, a4, a5, a6, a7) (4, 7, 0, 3, 6, 9, ) Temos: , 3, 4 0, 6. 4

5 Capítulo VI Podemos definir uma Progressão Aritmética (P.A.) como uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do º) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é chamada razão da P.A. e é indicada por r. Vejamos alguns exemplos:. Na P.A. (3, 6, 9,, ) temos r Na P.A.,,,,... temos r. 3. Na P.A. (-6, -, 4, 9, ) temos r Na P.A. (5, 5, 5, 5, ) temos r Na P.A. (3, 0, 7, 4, ) temos r -3. De acordo com o sinal da razão, podemos classificar as progressões aritméticas da seguinte forma: a) Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente, como nos exemplos e 3. b) Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente, como nos exemplos e 5. c) Quando r 0, todos os termos da P.A. são iguais; nesse caso, dizemos que ela é constante, como no exemplo 4. Termo Geral da P.A. Pretendemos encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da P.A., conhecendo apenas o º termo e a razão. Isso é possível graças à obediência dos termos de uma P.A. a uma regra especial de formação. Temos: a a r a a + r a3 a r a3 a + r a3 a + r a4 a3 r a4 a3 + r a4 a + 3r. De modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:.. an a + (n-)r Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.A., permite-nos conhecer qualquer termo da P.A. em função de a e r. Assim, por exemplo, podemos escrever: a9 a + 8r; a5 a + 4r; a73 a + 7r, e assim por diante. Exemplo Vamos calcular o 0º termo da P.A. (6, 3, 36, 4, ): Sabemos que a 6 e r

6 Capítulo VI Utilizando a expressão do termo geral, podemos escrever: a0 a + 9r a a0 Exemplo ea Vamos determinar a P.A. que possui as seguintes características: o 0º termo vale 6 soma do 5º com o 9º termo é igual a : De acordo com o enunciado, temos: a0 6 a5 + a9 a + 9r 6 (a + 4r)+(a + 8r) a + 9r 6 a + r Resolvendo o sistema, segue que r 5 e a -9. Assim, a P.A. pedida é (-9, -4, -9, -4, ). Exemplo 3 Vamos encontrar o primeiro termo negativo da P.A. (63, 59, 55, 5,...) Sabemos que a 63 e r -4 O temo geral da P.A. é an a + (n-)r Então: an 63 + (n-)(-4) an 63-4n + 4 an 67 4n Agora temos condição de descobrir o º termo negativo da P.A. 67 Façamos an < 0, isto é, 67 4n < 0 n > 4 n > 6,75. Como n pertence aos naturais, concluímos que o º termo negativo da P.A. é o 7º, cujo valor é a a7 -. Exemplo 4 Determinemos x de modo que a sequência (x+5, 4x, x² ) seja uma P.A.: Utilizando a propriedade da média aritmética de três termos consecutivos, podemos escrever: 4 x x 5 x 8x x² + x + 4 x² 7x As raízes dessa equação são x e x 6. Podemos verificar que, para x, a P.A. é (6, 3, 0) e, para x 6, a P.A. é (, 3, 35) Soma dos n Primeiros Termos de uma P.A. Reza a lenda que, em 787, o diretor de uma escola alemã chamado Büttner pediu aos seus alunos que somassem os números inteiros de um a cem, pois a turma estava fazendo muita bagunça. O diretor mal havia enunciado o problema e um garoto de apenas 0 anos de nome Johann Carl Friedrich Gauss (que futuramente seria conhecido como príncipe dos matemáticos e considerado por muitos como o maior gênio da Matemática) já havia lhe 6

7 Capítulo VI apresentado uma resposta: Büttner ficou descrente quanto à sua resposta tão rápida e só pode ter certeza de sua verossimilhança quando os outros alunos depois de muito tempo, após terem feito , chegaram à mesma conclusão que Gauss. Ao final da aula, ao ser perguntado sobre seu método para realizar esta tarefa percebeu-se que este brilhante menino havia descoberto a soma dos n primeiros termos de uma P.A. Está curioso para saber como raciocinou Gauss? Você verá que o seu raciocínio foi bem simples. Acompanhe: Gauss simplesmente percebeu que a soma dos pares equidistantes das pontas e 00, e 99, 3 e 98,..., é sempre igual a 0 e, como são 50 pares, bastaria calcular 50 x 0. Assunto encerrado! Trocando em miúdos, Gauss somou o primeiro com o último termo dessa sequência 00 (0 + 00) e multiplicou o resultado pela metade do número de termos 50. A partir daí, deduz-se a seguinte fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma P.A.: S n a a n. n Exemplo Calculemos a soma dos dez primeiros termos da P.A. (38, 4, 46, ): Sabemos que a 38 e r 4. Precisamos determinar o 0º termo da P.A.: a0 a + 9r a a0 74 Assim, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é: S 0 a a n.0 S Progressão Geométrica Observe a sequência: (3, 6,, 4, 48,...) Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente, o a 6 a 3 a 4 4 ; ;, e assim por diante. resultado é sempre igual a : a 3 a 6 a 3 Temos também que, considerando três termos consecutivos dessa sequência, o quadrado do termo central é igual ao produto dos outros dois. Dizemos que o termo central é a média geométrica dos extremos. Assim, temos: (a, a, a3) (3, 6, ) e 6² 3. 7

8 Capítulo VI (a, a3, a4) (6,, 4) e ² 6. 4 Analogamente a uma P.A., a idéia da média geométrica pode ser estendida aos termos equidistantes do termo central: (a, a, a3, a4, a5, a6, a7) (3, 6,, 4, 48, 96, 9) Temos:² 3. 48; 4² 6. 96; 4² 3. 9 Portanto, podemos definir a Progressão Geométrica (P.G.) como uma sequência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante). Essa constante é chamada razão da P.G. e é indicada por q. Vejamos alguns exemplos: (, 6, 8, 54, ) é uma P.G. de razão q 3 (-5, 5, -45, 35, ) é uma P.G. de razão q -3 5 (0, 0, 5,, ) é uma P.G. de razão q (4, -4, 4, -4, ) é uma P.G. de razão q - Quando q < 0, como nos exemplos e 4, dizemos que a P.G. é alternada ou oscilante. Termo Geral da P.G. Vamos encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da P.G. conhecendo apenas o º termo (a) e a razão (q). Isso é possível graças à obediência dos termos de uma P.G. a uma lei especial de formação: Seja (a, a, a3,, an) uma P.G. de razão q. Temos: a q a a q a a3 a q a 3a q a 3a q a4 q a 4a 3 q a 4a q 3 a3 De modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por: an a. qn- Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.G., permite-nos conhecer qualquer termo da P.G. em função do º termo (a ) e da razão (q). Assim, temos: a 6 a. q5; a a. q0; a75 a. Q74; e assim por diante. 8

9 Capítulo VI Exemplo Vamos determinar o 0º termo da P.G. 3,,3,9,... : Sabemos que a 3 e q 3. Assim, pela expressão do termo geral, podemos escrever: a0 a. q9 a a0 38 a Exemplo Numa P.G., o 4º termo é igual a 3 e o º termo é igual a. Vamos determinar a razão da P.G. e, em seguida, obter seu 8º termo: Como a4 a. q3, vem: 3. q³ q³ 64 q 4 Usando novamente a expressão do termo geral, determinemos o 8º termo: 4 a8 a. q7 a8. 47 a8. (²)7 a8 a

10 Capítulo VII Congruência de Triângulos Dois triângulos serão congruentes se os lados e os ângulos correspondentes são congruentes. Lembremos que dois segmentos ou dois ângulos são congruentes se tem a mesma medida. Informalmente, podemos dizer que duas figuras planas, em particular dois triângulos, são congruentes se um deles puder ser deslocado, sem alterar as suas medidas nem a sua forma, até coincidir com o outro. No caso da comparação entre dois triângulos, para verificarmos se eles são congruentes não é necessário saber a medida de todos os seus elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Daí nasceu os casos de congruência (L.L.L., L.A.L., A.L.A., L.A.Ao.). Resumindo, em dois triângulos quaisquer, eles serão congruentes se ambos: Possuírem três lados congruentes, assim os três ângulos, consequentemente, também serão (caso L.L.L.). Possuírem dois lados e o ângulo por eles formados congruentes, assim o terceiro lado e os outros dois ângulos também serão (caso L.A.L.). Possuírem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado congruentes, assim, consequentemente, os outros dois lados e o outro ângulo também serão (caso A.L.A.). Possuírem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado congruentes, assim, o outro ângulo e os outros dois lados também serão (caso L.A.Ao.). Responda rápido: Qual a razão entre os lados correspondentes de dois triângulos congruentes? 0

11 Capítulo VII Exemplo Pelo caso L.A.L., ABC DEF (Lê-se: o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF), pois AB DE, AC DF e A D A,8 cm D 80º, cm B,8 cm C 80º, cm E F Exemplo Pelo caso A.L.A., ABC DEF, pois BC EF, B E e C F A D 60º 50º 3 cm B 60º C 50º 3 cm E F Exemplo 3 Pelo caso L.L.L., ABC DEF, pois AB DE, AC DF e BC EF A D 3 cm cm B 4 cm 3 cm cm C E F 4 cm Exemplo 4 Pelo caso L.A.Ao., ABC DEF, pois BC EF, B A E e D A D 00º 00º 45º B 45º 5 cm C E 5 cm F

12 Capítulo VII Tales e Quéops O filosofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga, por volta do ano 585 a. C. Tales de Mileto passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo faraó Amásis por ter medido a altura da pirâmide de Quéops sem precisar escalá-la. Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base. A altura da piramide é a distancia do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura é a medida do segmento VH. Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:. Quando dois triângulos tem os ângulos iguais, então seus lados correspondentes formam uma proporção.. Os raios solares são paralelos. 3. Já que os raios solares são paralelos, então os ângulos de incidência desses raios solares num mesmo instante tem a mesma medida. Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar. Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles um ângulo reto e um ângulo de mesma medida (ângulo de incidência do raio solar). Nesse caso, Tales, usando seus conhecimentos de semelhança de triângulos, foi capaz de calcular a altura da pirâmide. A Semelhança entre os Triângulos Imagine que você seja um fotógrafo e um cliente seu lhe pediu para ampliar uma foto. Como você faria a ampliação sem distorcer a imagem? Bom, se você não tiver conhecimentos

13 Capítulo VII de semelhança de figuras planas certamente não terá como realizar esse trabalho, daí terá que procurar outro emprego. Faça a medição dos lados dos triângulos abaixo com uma régua, e se tiver um transferidor, calcule os seus ângulos: D A B C F E Qual é a sua conclusão a partir das medições? O que dizer quanto aos seus lados e ângulos? Você deve ter percebido que os lados dos triângulos são proporcionais e os ângulos são congruentes. Pois bem, esses dois triângulos são semelhantes! E é exatamente essa característica que determina a semelhança entre duas figuras planas quaisquer, em particular os triângulos, o fato dos seus lados serem proporcionais e seus ângulos congruentes. A partir das medições, você deve ter concluído que AB BC,5 cm, BC, cm, DE EF 4,5 cm, DF 6,3 cm e A C D F 45º e B E 90º. Podemos concluir, a partir desses valores, que os lados do triângulo DEF é três vezes maior que os lados do triângulo ABC, pois a razão (que recebe o nome de razão de AB BC AC semelhança) entre os lados correspondentes vale 3, ou seja, DE EF DF 3. Lê-se: AB está para DE assim como BC está para EF, BC está para EF assim como AC está para DF ou, então, AB está para DE assim como AC está para DF Enquanto que na congruência de triângulos a razão de semelhança vale sempre, na semelhança de triângulos essa razão pode variar. Portanto, para ampliar uma foto, basta usar seus conhecimentos de semelhança de figuras e multiplicar as dimensões da foto (comprimento e altura) pela razão de semelhança que desejar. Podemos formalizar uma definição para semelhança de triângulos da seguinte maneira: Dois triângulos ABC e DEF são semelhantes quando tem os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais e denotamos por: ABC ~ DEF 3

14 Capítulo VII Critérios de Semelhança Vimos que, se dois triângulos tem os ângulos respectivamente congruentes, eles tem os lados respectivamente proporcionais. Portanto, eles são triângulos semelhantes. Na verdade, para saber se dois triângulos são semelhantes, não é preciso verificar se eles tem os três ângulos respectivamente congruente e se os lados correspondentes são proporcionais, pois existem, também, certos casos que estabelecemos para esse reconhecimento. Vejamos quais são: Caso AA (Ângulo-Ângulo) Nos triângulos, a soma dos ângulos internos é 80º. Assim, se dois ângulos forem respectivamente congruentes, o mesmo acontecerá com o ângulo restante. Ou seja, basta verificarmos apenas dois ângulos correspondentes. A 45º D 40º B 45º C 40º E F F 40 A D 95º e ABC ~ DEF B E 45º, C Caso L.A.L. (Lado-Ângulo-Lado) Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e ângulos congruentes compreendidos entre estes lados, então estes dois triângulos são semelhantes. I cm J 63º L 3,4 cm cm K M 63º,7 cm N 3,4 A D 63º IJK ~ LMN Temos que:,7 (são proporcionais) e Caso L.L.L. (Lado-Lado-Lado) Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então estes triângulos são semelhantes. 4

15 Capítulo VII 3 cm Q R,5 cm,8 cm U 0,9 cm,5 cm S P 3,5 cm T,5,8 Temos que:,5,5 0,9 (são proporcionais) PQR ~ STU Retornando ao Problema de Tales Agora que sabemos reconhecer quando dois triângulos são semelhantes, vamos entender o que se passou na cabeça de Tales. O primeiro conceito de semelhança de triângulos que Tales aplicou foi o critério de semelhança AA, pois os dois triângulos imaginários, como você vê na figura acima, tinham em comum o ângulo de 90º e o ângulo de incidência solar. Então, já que esses triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais, daí vale a relação que resulta na razão de semelhança. No caso: altura da pirâmide sombra metade da base da pirâmide altura da estaca sombra da estaca Como era fácil calcular a altura da estaca, sua sombra e a sombra da pirâmide juntamente com a metade da sua base, bastou substituir os valores na relação acima para poder calcular a altura da pirâmide em qualquer momento. 5

16 Capítulo VIII A trigonometria é a parte da Matemática que trata dos cálculos nos triângulos. Podemos ainda dizer, que a trigonometria relaciona medidas de lados com medidas de ângulos. Seu significado vem das palavras gregas trigonom (triângulo) e metría (medição). Apesar da trigonometria tratar dos cálculos em qualquer triângulo, ela nasceu a partir dos estudos do triângulo retângulo, e para começarmos a estudá-lo precisaremos relembrar alguns conceitos acerca deste tipo de triângulo: Os lados de um triângulo retângulo são chamados de cateto e hipotenusa. De acordo com o teorema de Pitágoras: (hipotenusa)² (cateto)² + (cateto)² Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 80º, num triângulo retângulo um de seus ângulos é reto (90º) e os outros dois são sempre agudos e complementares (soma 90º) Construindo Triângulos Retângulos Semelhantes Seja um ângulo agudo x qualquer: 6

17 Capítulo VIII Observe que a partir desta construção, podemos desenhar uma infinidade de triângulos retângulos: Então, a partir de um ângulo agudo temos condições de desenhar vários triângulos retângulos: M K I G E C A x Figura B D F H J L Repare que, pelo critério de semelhança AA, todos os triângulos retângulos desenhados são semelhantes, pois todos tem em comum o ângulo x e o ângulo reto. E como esses triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais, então valem as seguintes relações: BC DE FG HI JK LM Relação : AC AE AG AI AK AM..., AB AD AF AH AJ AL Relação : AC AE AG AI AK AM... e BC DE FG HI JK LM Relação 3: AB AD AF AH AJ AL... Relacionando os Lados e os Ângulos de um Triângulo Retângulo FG, HI Primeiramente, para diferenciar os catetos num triângulo retângulo, os lados BC, DE,, JK e LM da figura, que estão no lado oposto do ângulo x, são chamados de 7

18 Capítulo VIII cateto oposto, e os lados AB, AD, AF, AH, AJ e AL, que estão ao lado do ângulo x, ou seja, são vizinhos desse ângulo, são chamados de cateto adjacente. Observando as três relações da folha anterior, percebemos que:. A primeira relaciona os catetos opostos ao ângulo x com as hipotenusas.. A segunda relaciona os catetos adjacentes ao ângulo x com as hipotenusas. 3. E a relação 3 relaciona os catetos opostos ao ângulo x com os catetos adjacentes ao ângulo x. Então, reescrevendo as proporções obtidas na figura usando essa nova nomenclatura, em relação ao ângulo x, temos: BC DE cateto oposto AC AE hipotenusa AB AD cateto adjacente AC AE hipotenusa BC DE cateto oposto AB AD cateto adjacente Essas três relações trigonométricas que acabamos de generalizar, pela sua importância na trigonometria, recebem nomes especiais: cateto oposto. A primeira é chamada seno do ângulo x e escreve-se: sen x hipotenusa. A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escreve-se: cos x cateto adjacente hipotenusa cateto oposto 3. A última denomina-se tangente do ângulo x e escreve-se: tg x cateto adjacente 8

19 Capítulo VIII Entendendo Melhor as Relações Trigonométricas Seno Seja uma escada de 5 m de comprimento que está encostada a uma parede num ponto B e ao solo num ponto C. Em A temos um ângulo reto. BC 5 m B BC 0 m BC 5 m BA 4 m A A BA 8 m C C BA m AC 3 m AC 6 m AC 9 m A C Se uma pessoa estiver descendo a escada a partir de B: Ao atingir o ponto C terá percorrido 5 m, terá descido verticalmente 4 m e estará afastada da parede 3 m; Ao atingir o ponto C terá percorrido 0 m, terá descido verticalmente 8 m e estará afastada da parede 6 m; Ao atingir o ponto C terá percorrido 5 m, terá descido verticalmente m e estará afastada da parede 9 m. Calculando as razões A C 3 A C 6 AC 9,,, verificamos que todas são iguais, BC 5 BC 0 BC 5 sendo o valor comum 0,6. Mudando a inclinação da escada, como os triângulos BA C, BAC e BAC são semelhantes, as razões continuam iguais entre si, porém o valor comum mudará. Isso deve significar que esse valor comum das razões depende do ângulo que a escada forma com a parede. De fato, indo mais adiante, podemos afirmar que o ângulo de medida determina o valor das razões do tipo cateto oposto a sobre a hipotenusa nos triângulos retângulos BAC, BAC e BAC da figura. E essa figura é o seno de. No caso da figura: A C A C AC 0,6. BC BC BC Ou seja, em geral, para um ângulo agudo de um triângulo retângulo: sen cateto oposto a hipotenusa 9

20 Capítulo VIII Cosseno Voltando à figura da escada, utilizando o mesmo raciocínio observaremos agora as razões do tipo cateto adjacente ao ângulo sobre a hipotenusa nos triângulos retângulos BAC, BAC e BAC. Verificamos que: BA BA BA 0,8. BC BC BC Este valor comum das razões é o cosseno de. Daí, num triângulo retângulo: cos catetoadjacente a hipotenusa Tangente Ainda no problema da escada, calculando as razões do tipo cateto oposto a sobre cateto adjacente a nos triângulos BAC, BAC e BAC, obtemos: A C A C AC 0,75. BA BA BA E essa razão é a tangente de. Temos, então: tg cateto oposto a cateto adjacente a Tabela Trigonométrica Como vimos, para calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo, basta desenhar um triângulo retângulo que possua esse ângulo, medir com bastante precisão os seus lados e calcular as raízes. Vejamos como calcularíamos essas raízes para um ângulo de 3º: Vamos utilizar um papel milimetrado (papel quadriculado onde os lados de cada quadradinho medem milímetro mm) para tentar ser bastante precisos. Observe que construímos um ângulo de 3º e o triângulo OPQ. Medindo seus lados temos: OP 50 mm, PQ 3 mm, OQ 59 mm 3 sen 3º 59 0,5 50 cos 3º 59 0,84 0

21 Capítulo VIII 3 tg 3º 50 0,6 No entanto, esses valores, obtidos por processos gráficos, por melhor que seja nosso desenho, apresentam sempre imprecisões. Além disso, seria muito trabalhoso obter os valores de senos, cossenos e tangentes de ângulos graficamente, cada vez que precisássemos desses valores. Existem processos para calcular senos, cossenos e tangentes com muitas casas decimais exatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já trazem teclas com essas funções. Para usá-las, basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla correspondente à função desejada. Outro recurso muito utilizado é consultar uma tabela trigonométrica, que está anexada na última folha. Nessa tabela, poderemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente com uma aproximação de 4 casas decimais para todos os ângulos com medidas inteiras entre º e 90º. Exemplo Um torneiro mecânico precisa moldar uma peça e recebe o projeto a seguir. Todas as medidas necessárias à fabricação constam na figura. No entanto, como saber exatamente onde ele deve começar a fazer a inclinação para obter um ângulo de 5, como mostra o projeto? Esse é um exemplo de aplicação da trigonometria dos triângulos retângulos na indústria. Para resolver o problema, o que precisamos é determinar o cateto x do triângulo retângulo a seguir: Com os dados do projeto, podemos calcular AP:

22 Capítulo VIII AQ 50 e BR 0 Assim, AP Sendo o ângulo B de 5 no triângulo ABP, podemos escrever: tg 5 cateto oposto AP 0 cateto adjacente BP x De acordo com a tabela, tg 5 0,4663. Usando apenas 3 casas decimais, temos: 0, x x ou 0, Dessa maneira, o torneiro descobre que o comprimento 00 da figura está dividido em duas partes, uma valendo 43 e a outra 67. Em 67 unidades de comprimento não há inclinação, e nas outras 43 ele deve inclinar a peça de tal maneira que seu final fique com 4 unidades de comprimento. Ângulos Notáveis Apesar de termos à nossa disposição uma tabela com todos os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos compreendidos entre e 90, daremos uma atenção especial a alguns ângulos chamados de notáveis, pois, além de serem geometricamente mais simples, são também uns dos mais facilmente encontrados no nosso dia a dia. Esses ângulos são os de 30, 45 e 60. O Ângulo de 45 Uma figura geométrica muito simples e bastante utilizada é o quadrado. Traçando um segmento de reta unindo dois vértices não consecutivos do quadrado (uma diagonal), dividimos o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.

23 Capítulo VIII Em qualquer um desses triângulos, dois lados são iguais aos lados do quadrado, a hipotenusa é igual à diagonal do quadrado, e os dois ângulos agudos são iguais a 45. Sabendo que os dois catetos medem ℓ podemos calcular o comprimento d da hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras: d² ℓ² + ℓ² d² ℓ² d ℓ d ℓ Assim, para qualquer quadrado de lado ℓ, calculamos facilmente o comprimento da diagonal multiplicando ℓ por. Usando as relações trigonométricas, temos condições de descobrir o seno, cosseno e tangente de 45 : sen 45 catetooposto ℓ hipotenusa ℓ cos 45 cateto adjacente ℓ hipotenusa ℓ tg 45 cateto oposto ℓ cateto adjacente ℓ Você já observou um par de esquadros? Existem tipos de esquadro. Um deles é formado por um ângulo reto e dois ângulos de 45, e o outro possui um ângulo reto, um ângulo de 30 e outro de 60. Esquadro Esquadro 3

24 Capítulo VIII Os Ângulos de 30 e 60 Imagine que tenhamos esquadros iguais como o esquadro. Se unirmos esses esquadros pelos catetos graduados, ou seja, com os ângulos de 60 para baixo, formaremos um triângulo equilátero. Os dois catetos que estão encostados tornam-se a altura deste triângulo equilátero, e como todos os seus lados são iguais vamos chamá-los de ℓ. A palavra equilátero vem do latim aequilateralis (aequi igual e lateralis lado) e recebe esse nome porque todos os seus lados tem valores iguais. Por conta disso, seus ângulos também são equivalentes e valem 60. A sua altura é também mediana (divide o lado oposto em duas partes iguais) e bissetriz (divide o ângulo do vértice em dois ângulos iguais). Usando o Teorema de Pitágoras podemos calcular a medida da altura h em função do lado ℓ: ℓ ℓ² h² + h² ℓ² h² ℓ 4 4ℓ² ℓ² 4 3ℓ² ℓ 3 h² 4 h Assim, conhecendo a medida do lado de um triângulo equilátero, pode-se calcular sua altura através do resultado que acabamos de encontrar. Utilizando as razões trigonométricas temos condições de encontrar o seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30 e 60 : 4

25 Capítulo VIII ℓ 3 catetooposto 3 sen 60 hipotenusa ℓ ℓ ℓ cateto adjacente cos 60 hipotenusa ℓ ℓ ℓ 3 catetooposto tg 60 3 catetoadjacente ℓ ℓ h ℓ 30 ℓ 3 ℓ 60 ℓ ℓ 3 cateto adjacente 3 cos 30 hipotenusa ℓ ℓ cateto oposto sen 30 hipotenusa ℓ ℓ catetooposto 3 tg 30 cateto adjacente ℓ 3 3 Podemos resumir os resultados obtidos numa tabela: seno cosseno tangente

26 Capítulo IX Antes de começarmos o estudo de figuras planas, vamos relembrar alguns conceitos que relacionam ângulos e retas. Retas Você já deve saber que duas retas podem ser paralelas ou concorrentes. As retas paralelas são as que não tem nenhum ponto em comum, ou seja, não se encontram. Já as concorrentes são aquelas que se cruzam em um ponto. Retas concorrentes Retas paralelas O. P. V. As retas concorrentes determinam pares de ângulos, ambos opostos pelo vértice (ponto de interseção das retas). b c a d Repare que os ângulos a e b formam um ângulo raso (ângulo de 80 ) e que b e c também formam o mesmo ângulo. Como b é o mesmo nos dois casos, podemos afirmar que a e c, que são ângulos opostos pelo vértice (O. P. V.) são congruentes. Analogamente, 6

27 Capítulo IX concluímos o mesmo para b e d. Portanto, podemos dizer que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Ângulos de Duas Retas com uma Transversal Agora, consideremos duas retas paralelas r e s cortadas por uma terceira reta t transversal às outras duas: t a r d c e s h b f g De acordo com o que já aprendemos, podemos concluir que os pares de ângulos a e c, b e d, e e g, f e h são congruentes pois são opostos pelo vértice. Como a inclinação da reta s em relação à reta t é a mesma da reta r em relação à t, f, a e, d h, c g e, consequentemente, pois s e r são paralelas, podemos afirmar que b d f h. teremos também a c e g, b Por causa das igualdades, esses ângulos se correspondem, então, podemos dizer que ângulos correspondentes são congruentes. Polígonos Podemos dizer, de um modo geral, que polígono é a região do plano limitada por uma poligonal fechada. Mas o que poligonal? A poligonal é formada por uma sucessão de pontos consecutivos não colineares. Poligonal Aberta Quando a extremidade do último segmento se liga à origem do primeiro, temos uma poligonal fechada, que forma um polígono. 7

28 Capítulo IX Vejamos alguns exemplos de polígonos: Polígonos Simples Polígonos Entrelaçados Polígonos Convexos: Um polígono é convexo quando o segmento reto que une dois pontos internos está contido na região interior do polígono. Polígono não convexo: Um polígono é não convexo quando o segmento reto que une dois pontos internos quaisquer pode ter uma parte externa à figura. Os polígonos convexos são aqueles que são mais encontrados no nosso dia a dia, por isso são os mais importantes, os mais utilizados e, por causa disso, os mais estudados. A partir de agora, nos limitaremos a estudá-los. Os Incas da América do Sul foram habilidosos construtores em pedra. Observe como são variados os polígonos empregados em suas construções. 8

29 Capítulo IX Elementos de um Polígono Convexo Seja o polígono ABCD a seguir: A D B C. Vértices - são os pontos extremos dos segmentos: A, B, C e D. Lados - são os segmentos que se unem pelas extremidades: AB, AD, BC e CD, 3. Diagonal - são os segmentos de retas que unem vértices não consecutivos: BD e AC 4. Ângulos internos - são os ângulos formados por dois lados consecutivos:, B, C e D A Alguns polígonos convexos recebem nomes especiais, dependendo do numero de lados. Numero de lados Nomes Numero de lados Nomes 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 0 Decágono 5 Pentágono Undecágono 6 Hexágono Dodecágono 7 Heptágono 5 Pentadecágono 8 Octógono 0 Icoságono 9

30 Capítulo IX Polígonos Regulares Um polígono convexo é regular, quando tem os lados e os ângulos congruentes. Ex.: B AB BC CD DA C A D Número De Diagonais De Um Polígono Seja o retângulo ABCD: B C A D Tomemos o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono Se k é o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os três vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A, criaremos uma fórmula que descreve a quantidade de diagonais a partir de um único vértice. k n 3 (onde n é o número de vértices do polígono) Aplicando essa fórmula ao retângulo acima temos; k 4 3. Portanto, para o vértice A, temos apenas uma diagonal possível a ser traçada. Agora, aplicando o mesmo raciocínio aos outros vértices, teremos: a) Para o vértice B: k 4 3 b) Para o vértice C: k 4 3 c) Para o vértice D: k 4 3 Concluímos, então, que em cada vértice sai uma diagonal. Portanto, até agora, contamos 4 diagonais no total (mesmo número de vértices do polígono). Aprimoraremos a fórmula anterior para k n(n-3). Mas, se repararmos bem, perceberemos que as diagonais foram contadas duas vezes. Contamos a diagonal AC a partir de A e também a partir de C. O mesmo acontece com a diagonal BD. Portanto, concluímos que contamos o dobro de diagonais que realmente tem no retângulo, então aprimoraremos pela última vez a fórmula dividindo o resultado por dois para corrigir o problema: d n n 3 30

31 Capítulo IX Então, aplicando a fórmula para retângulo encontraremos duas diagonais apenas. Área dos Polígonos Digamos que você receba duas ofertas de compra de dois terrenos de mesmo valor. As plantas dos terrenos estão a seguir: 8 m 0 m 0 m Terreno do Sr. Y Terreno do Sr. Z m 6 m A escolha mais acertada, certamente deverá ser pelo terreno de maior área. Vamos desenvolver fórmulas para as áreas das figuras geométricas. Retângulos 3 cm Consideremos um retângulo de 3 cm por 4 cm. Vamos dividir o comprimento em 4 partes iguais e a largura em 3 partes iguais. Cada quadradinho de cm de lado tem cm² de área, que corresponde à uma unidade de área. cm² 4 cm Portanto, se contarmos todos os quadradinhos, o retângulo terá unidades de área ou cm² de área, que é justamente a multiplicação do comprimento ou base (b) pela largura ou altura (h). Então, podemos dizer que a fórmula para o cálculo da área de um retângulo é: ARETANGULO: b x h Triângulos Seja um retângulo qualquer. Tracemos uma diagonal. 3

32 Capítulo IX Podemos observar que essa diagonal determina dois triângulos idênticos. Daí, podemos pensar que a área do retângulo é o dobro da área do triângulo. Portanto, a área do triângulo vale a metade da área do retângulo. Então, bxh ATRIÂNGULO: Podemos pensar também em um triângulo qualquer. Se o duplicarmos o dispormos como abaixo, formaremos um paralelogramo. Então a área do triângulo será a metade da área do paralelogramo. Paralelogramo Um paralelogramo é todo quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Portanto, concluímos que o retângulo e o quadrado são paralelogramos. Na realidade, são casos particulares de paralelogramos. Para calcular sua área transportaremos uma parte da figura para o outro lado como mostrado na figura: Repare que formamos um retângulo, então podemos concluir que a área do paralelogramo é a mesma da área do retângulo. Então, APARALELOGRAMO: b x h 3

33 Capítulo IX Losango De acordo com as suas propriedades, um losango possui os quatro lados congruentes e os ângulos opostos iguais. Ao traçarmos as suas diagonais verificaremos que o losango possui uma diagonal maior que a outra. No caso do losango abaixo, a diagonal AC ( D) é maior que a diagonal BD (d). A B D C Se repararmos bem, a diagonal menor (d) determina dois triângulos congruentes, pois C e os ângulos da base do ABD e BCD também são congruentes. Então, podemos A pensar na área do losango como a soma desses triângulos isósceles. Como já sabemos, área de um triângulo é dada por bxh, mas as bases desses triângulos são dadas por d e suas alturas são dada pela metade da diagonal maior (D). Então, D dx. Somando as áreas dos triângulos a área de cada triângulo do losango é dada por obteremos: dx D dx D dx D d x D dxd Portanto, a fórmula da área de um losango qualquer é dada por: Dxd ALOSANGO: Trapézio O trapézio é o único quadrilátero que possui apenas um par de lados opostos paralelos. 33

34 Capítulo IX Assim como fizemos com o losango e o paralelogramo, vamos dividir a figura para calcular sua área. Vamos representar as bases do trapézio por B e b e a altura por h: b h B Desta vez, ao invés de dividirmos a figura em dois triângulos, dividiremos em um retângulo e um triângulo retângulo. Para calcularmos sua área, basta somarmos essas outras áreas. A área do retângulo nesse trapézio é dada por b x h. E a área do triângulo no trapézio é dada por B b h. Então somando as áreas temos: bh+ B b h bh +Bh bh Bh+bh B+b h Dai, concluímos que a área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula: ATRAPÉZIO: B+b h Voltemos aos problemas dos terrenos: 0 m Terreno do Sr. Y 8 m 0 m m Terreno do Sr. Z A área do terreno do Sr. Y vale 0 x 440 vale m m² e a área do terreno do Sr. Z 44 m. Portanto, a melhor compra será do terreno retangular, pois tem a maior área. Círculo O Número PI ( ) e o Contorno Do Círculo A constante foi encontrada pelos matemático gregos, da escola de Pitágoras, da seguinte maneira: 34

35 Capítulo IX Eles tomaram três discos de tamanhos diferentes, mediram experimentalmente o contorno e o diâmetro de cada um. Depois, dividiram a medida de cada contorno pelo diâmetro correspondente. Verificaram, então, que o quociente obtido era quase o mesmo. Assim, ficou determinado o número constante pelo qual devemos multiplicar o diâmetro, para acharmos o contorno de uma circunferência qualquer. A multiplicação pelo diâmetro se deve ao fato de que como o número π é dado pela razão entre o contorno e o Você também pode fazer esse experimento em casa. Faça as medições dos contornos e diâmetros de objetos redondos e coloque em um quadro como no ao lado, informando a razão entre essas medidas. diâmetro, encontrados manualmente, c d compensamos operando a multiplicação dessa razão pelo diâmetro afim de encontrarmos o contorno da circunferência, ou seja, c c dπd cπd. d Como já sabemos, o diâmetro é o segmento de reta, que passa pelo centro do círculo e o divide em duas metades e o raio é o segmento de reta que parte do centro da circunferência em direção a qualquer ponto dela. Concluímos, então, que o raio é a metade do diâmetro ou que o diâmetro é o dobro do raio. Portanto, cπd cπ r ou, então, c πr. A fórmula para encontrarmos o comprimento de uma circunferência é: c πr Há 00 anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o número π com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 5 anos! Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número π com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos. π 3, Na prática, usa-se apenas 3,4 ou 3,46 para aproximar o valor de π. 35

36 Capítulo IX Área Do Círculo Consideremos um círculo qualquer com polígonos inscritos nele. Observe que quanto mais aumentamos o número de lados do polígono regular inscrito ao círculo mais seu perímetro vai se aproximando do comprimento da circunferência. Figura Figura 4 Figura Figura 5 Figura 3 Figura 6 Observe os polígonos regulares na mesma circunferência: Imagine que dividamos o quadrado, na figura, em quatro triângulos, ligando o centro da circunferência até seu vértice. Poderemos pensar na sua área como a soma dos triângulos 36

37 Capítulo IX isósceles que o determinam. O mesmo podemos pensar no pentágono da figura 3, que pode ser divido em 3 triângulos. Assim, sucessivamente, podemos pensar em dividir os polígonos regulares das figuras 4, 5 e 6 em triângulos isósceles. Nesses termos, percebemos que as áreas desses polígonos vão aumentando e ficando cada vez mais próximas da área desconhecida do círculo. Observe como fica a área de um dodecágono inscrito: ah Chamando de a o valor do seu lado, sua área fica:. Então, a área de qualquer polígono regular inscrito em uma circunferência pode ser ah dada por n Mas n a é o valor do perímetro de uma figura de n lados. Dai, podemos pensar na área h desse polígono inscrito como: perímetro do polígono inscrito. Então, aumentando cada vez mais o número de lados desse polígono inscrito, a tendência é do seu perímetro ficar cada vez mais parecido com o comprimento da circunferência, e a altura de cada triângulo formado no polígono regular ficar igual ao raio do círculo. Assim, podemos concluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser indicada da mesma forma que a área de um polígono regular de n lados: perímetro ou comprimento do círculo r ou r πr πr Portanto, a área de um círculo é dado A CIRCULO πr por: Área Do Setor Circular Consideremos um setor de ângulo α e raio r. 37

38 Capítulo IX A área do setor é diretamente proporcional à medida do ângulo central. Como a área de um círculo, que sempre tem 360, é πr², então a área do setor circular poderá ser calculada pela regra de três: Área Ângulo central Setor A α Círculo πr² 360 A α πr α A SETORCIRCULAR 360 πr 360 Então, a área do setor circular de qualquer círculo é dada por: A SETOR CIRCULAR πr α

39 Capítulo X Variável Um colégio está interessado em traçar um perfil de seus alunos dos cursos do º grau. Para isso, escolheu uma equipe de pesquisadores que definiu seis diferentes objetos de estudo: sexo, idade, área da carreira universitária pretendida, número de irmãos, disciplina favorita e renda familiar mensal. A investigação dos itens acima permitirá à equipe traçar o perfil desejado. Para isso, a equipe entrevistou 0 alunos do colégio, os quais transmitiram as informações pedidas. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir. Algumas variáveis, como sexo, área da carreira universitária pretendida e disciplina favorita, apresentam como resultado uma qualidade (atributo) ou preferência do estudante entrevistado. Variáveis dessa natureza recebem o nome de variáveis qualitativas. Se considerarmos, por exemplo, a variável área da carreira universitária pretendida, diremos que exatas, humanas e biológicas correspondem às realizações dessa variável. Outras variáveis, como idade, numero de irmãos e renda familiar mensal, apresentam como resposta um número real, resultante ou de contagem ou de mensuração. Variáveis assim definidas são chamadas variáveis quantitativas. Estudando a variável número de irmãos, por exemplo, dizemos que 0,,, 3 ou 4 são as realizações ou valores assumidos por essa variável. Sexo Idade Área da carreira universitária pretendida Masculino 6 Humanas História, Masculino 7 Biológicas 3 Biologia 8,5 Feminino 5 Humanas Geografia, Número de irmãos Disciplina favorita Renda familiar mensal (em salários mínimos) 39

40 Capítulo X Masculino 4 Exatas Matemática,5 Feminino 4 Exatas Geografia 0 Feminino 5 Biológicas 0 Química 0,7 Masculino 5 Biológicas 0 Biologia,6 Masculino 5 Exatas Português,4 Masculino 9 Humanas 3 Português 5,9 Feminino 5 Biológicas Química 9,6 Feminino 0 Humanas 4 História 6,3 Masculino 7 Humanas 0 Matemática,9 Masculino 6 Humanas História 3,4 Feminino 6 Humanas Geografia 3, Feminino 6 Biológicas Matemática,7 Feminino 8 Humanas Geografia 7,6 Masculino 5 Exatas Matemática,6 Masculino 8 Exatas 3 Física 3, Masculino 8 Biológicas 4 Química 5,4 Masculino 4 Biológicas Física 8,7 Tabelas de Frequência A simples observação dos dados brutos apresentados na tabela anterior não nos permite explicar o comportamento das variáveis em estudo. Um primeiro passo a ser dado, na obtenção de informações mais resumidas e precisas a respeito do comportamento das variáveis, é a construção de tabelas de frequência. Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que ocorre cada uma de suas realizações (ou valores). O número obtido é chamado frequência absoluta e indicado por ni (cada realização de uma variável apresenta um valor para n i). Considerando as realizações da variável área da carreira pretendida, temos os seguintes valores de ni: Humanas: 8 Biológicas: 7 Exatas: 5 A frequência absoluta não é uma medida muito conveniente para a analise dos dados, especialmente nos casos em que se deseja comparar a distribuição de uma mesma variável ao longo de populações diferentes (poderíamos estar interessados em comparar a carreira pretendida por estudantes em diferentes colégios). Assim, precisamos definir uma medida que leve em consideração o número total de observações colhidas. Para isso, definimos a frequência relativa (indica-se por ƒi) como a razão entre a 40

41 Capítulo X frequência absoluta (ni) e o número total de observações (n), isto é: f i ni n. Como ni n, segue que 0 ƒi. Por esse motivo é comum expressar ƒi em porcentagem. Exemplo Para a variável área da carreira universitária pretendida, construímos a seguinte tabela de frequência: Área da carreira universitária pretendida Frequência absoluta (ni) Frequência relativa (ƒi) Porcentagem Humanas 8 8 0,4 0 40,00% Biológicas 7 7 0, ,00% Exatas 5 5 0,5 0 5,00% Total 0 00,00% A construção das tabelas de frequência par as demais variáveis do exemplo acima é análoga. Muitas vezes, porém, pode ocorrer que os valores assumidos por uma variável quantitativa variem em determinado intervalo real, não havendo, praticamente, repetição de valores. Por exemplo, os valores da renda familiar mensal da tabela anterior variam no intervalo [8,9[ (em salários mínimos). Nesse caso, construímos a tabela de frequência em classes ou intervalos de valores. Exemplo Vejamos a tabela de frequência para a variável renda familiar mensal (em salários mínimos): Classes de valores Frequência absoluta (ni) Frequência ni relativa n Porcentagem 8 Ⱶ 0 0, 0,00% 0 Ⱶ 6 0,3 30,00% Ⱶ 4 7 0,35 35,00% 4 Ⱶ 6 0, 0,00% 6 Ⱶ 8 0, 0,00% 8 Ⱶ 0 0,05 5,00% 4

42 Capítulo X Total 0 00,00% A notação a b refere-se ao intervalo a,b, que inclui a mas não inclui b. A amplitude da classe a b é dada pela diferença b a. No exemplo anterior, a amplitude de cada uma das classes é igual a. Não há regras fixas para a construção das classes da tabela anterior, a partir dos dados brutos. Dependendo da natureza dos dados, podemos ter um número maior ou menor de classes. Procuraremos, na medida do possível, construir classes de mesma amplitude e evitaremos, apenas, considerar classes de amplitude muito grande ou muito pequena, a fim de que não haja comprometimento na análise. Representação Gráfica Os gráficos constituem poderoso instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados. Eles aparecem nos mais variados veículos de comunicação. Pesquisas de opinião pública, pesquisas eleitorais, economia, agricultura, saúde são apenas alguns exemplos de assuntos em que as representações gráficas assumem um papel fundamental para explicar o comportamento do objeto de estudo. Os mais poderosos recursos fornecidos pelos gráficos são a facilidade e a rapidez na absorção e interpretação dos resultados, por parte do leitor. Estudaremos aqui duas representações gráficas: o gráfico de setores e o gráfico de barras. Gráfico de Setores Suponhamos que a variável em estudo apresenta k realizações (ou valores) distintas. O processo consiste em dividir um círculo em k partes (setores circulares) proporcionais às frequências das realizações observadas. Mais precisamente, os ângulos dos setores circulares são proporcionais às realizações da variável. Exemplo A tabela abaixo relaciona o tipo de transporte utilizado por 40 pessoas de uma metrópole nacional. Transporte Frequência absoluta (ni) Metrô 90 Frequência relativa f i 0,375 ni n Porcentagem 37,50% 4

43 Capítulo X Ônibus 80 0, ,33% Trem 30 0,5,50% Particular 40 0,66 6 6,67% Total 40,000 00,00% Para cada tipo de transporte podemos utilizar a seguinte relação entre a frequência relativa (ou porcentagem) e o ângulo do setor:. metrô: Como sua frequência relativa é 0,375 (ou 37,5%), o ângulo de seu setor circular é 0,375 x ; 7% 38%. ônibus: % metrô ônibus trem 3. trem: 0,5 x particular 4. particular: % Com o auxílio de um transferidor, podemos traçar o gráfico de setores ao lado. Gráfico de Barras e Historiograma Construímos um sistema de eixos coordenados xoy, dispondo, no eixo x, os valores assumidos pela variável e no eixo y as respectivas frequências (pode-se considerar a frequência absoluta, ou a frequência relativa, ou ainda a porcentagem). Exemplo Uma pesquisa levantou aspectos socioeconômicos de 50 famílias paulistanas, investigando alguns itens de conforto nos domicílios, como o número de aparelhos de TV: Número de aparelhos ni ƒi Porcentagem 0 5 0, , , , ,04 4 Total 50,00 00 Construímos, assim, o seguinte gráfico de barras: 43

44 Capítulo X (%) Número de TV s Quando os dados estão agrupados em classes de intervalos reais, construímos, de forma análoga, um gráfico denominado histograma. Exemplo 3 A altura de 80 homens de uma comunidade está distribuída de acordo com a tabela abaixo: Altura (metros) ni ƒi Porcentagem,60 Ⱶ,65 4 0,050 5,65 Ⱶ,70 0,50 5,70 Ⱶ,75 8 0,5,5,75 Ⱶ,80 6 0,35 3,5,80 Ⱶ,85 0 0,5,5,85 Ⱶ,90 8 0,00 0,90 Ⱶ,95 0,05,5 Total 80, Porcentagem ,60 Ⱶ,65,65 Ⱶ,70,70 Ⱶ,75,75 Ⱶ,80,80 Ⱶ,85,85 Ⱶ,90,90 Ⱶ,95 altura (m) 44

45 Capítulo X Medidas de Centralidade No item anterior estudamos as representações gráficas, que constituem um importante recurso na interpretação de um conjunto de dados. Procuraremos, agora, estabelecer para esses dados medidas (números) que sejam representativas, isto é, que resumam como se distribuem os valores de uma variável quantitativa. Para isso, será necessário estabelecer um valor médio ou central e outro valor que indique o grau de variabilidade (em torno do valor central) dos dados da variável em estudo. Média Aritmética Sejam x, x,..., xn os valores de n observações de determinada variável X. Definimos a média aritmética (indicada por x ) como a razão entre a soma de todos os valores observados e o número total de observações: x +x +x n x n Exemplo As notas finais de 5 alunos de um curso de computação estão apresentadas abaixo. Qual a média das notas obtidas? x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x x x3 x4 x5 7,5 9,0 4,5 4,0 5,5 8,0 8,5 9,0 7,5 7,5 7,0 6,5 7,5 9,0 6,5 Temos: x 7,5 9 4,5 6,5 07,5 7,7 5 5 Assim, a nota média da classe é 7,7 A média aritmética é a medida de centralidade mais amplamente usada no cotidiano (aparece no cálculo de aproveitamento escolar, em pesquisas de opinião pública, nos índices referentes a saúde, educação etc. Exemplo Os dados abaixo referem-se ao tempo de vida útil, em anos, de determinado aparelho eletrônico: x x x3 x4 x Calculando a média aritmética, temos: x x 8 anos

46 Capítulo X Assim, concluiríamos que, em média, a vida útil desse aparelho seria de 8 anos. Porém, o cálculo dessa medida foi muito influenciado por uma observação discrepante (0 anos), o que provocou uma distorção no tempo médio de vida. De modo geral, quando há dados discrepantes em um conjunto de observações, a média aritmética não é uma medida muito apropriada para análise dos dados. Para contornar problemas dessa natureza, definiremos, a seguir, uma medida de centralidade mais resistente às observações discrepantes, denominada mediana. Mediana Sejam x x xn os n valores ordenados de uma variável X. A mediana (indicada por Me) é o valor central desse conjunto de valores. Notemos que a mediana é o valor tal que o número de observações menores (ou iguais) a ela é igual ao número de observações maiores (ou iguais) a ela. Exemplo 3 O controle de qualidade de uma industria forneceu o seguinte número de pecas defeituosas (por lote de 00 unidades): x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x Vamos determinar a mediana do número de peças defeituosas. Para isso, ordenamos esses valores: x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x Como n é impar, temos Me x6, isto é, a mediana é igual à 6ª observação. Assim, Me 5 Podemos observar, por fim, que há cinco valores menores (ou iguais) a 5 e cinco valores maiores (ou iguais) a 5. Exemplo 4 As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, foram medidas durante 0 dias: C 7 C 9 C 5 C 6 C 9 C 6 C 5 C 5 C 8 C Determinemos a mediana das temperaturas: como n 0 é par, temos Me x +x Me 5 6, isto é, a mediana é a média entre a 5ª e a 6ª observações, quando elas estão ordenadas. Assim: 46

47 Capítulo X 5 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 9 C C 5 C 6 C Me 8 9 Me 8,5 C Moda Moda de um conjunto de valores (indicado por Mo) é a realização mais frequente entre os valores observados. Exemplo 5 Vamos encontrar a moda dos seguintes conjuntos de valores: a) A moda é Mo 8, pois há três observações iguais a 8. b) Há duas modas: e 3. Dizemos que se trata de uma distribuição bimodal. c) Nesse caso, todos os valores aparecem com a mesma frequência unitária. Assim, não há moda nessa distribuição. 47

48 Questões (ENEM 008) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. I. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: II. comece com um triângulo equilátero (figura ); III. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; IV. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura ; V. repita sucessivamente os passos e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3). De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é: 48

49 Questões (ENEM 007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 0 será igual a A) 465 B) 493 C) 498 D) 538 E) 699 (ENEM 009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de, metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3, metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: A),6 metros B) 3,0 metros C) 5,4 metros D) 5,6 metros E) 7,04 metros (ENEM 998) A sombra de uma pessoa que tem,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: A) 30 cm B) 45 cm C) 50 cm D) 80 cm E) 90 cm 49

50 Questões ( ENEM 009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de :50. Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? A),9 cm 3,4 cm B) 3,9 cm 4,4 cm C) 0 cm 5 cm D) cm 6 cm E) 9 cm 4 cm (ENEM 009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 0 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 0 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 0 alunos da equipe Gama foram 0; 6,5; 8; 0; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe: A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0 B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 0 C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8 D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9 (ENEM 009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 007 e 008. De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era 50

51 Questões igual a: A) R$ 73,0 B) R$ 8,50 C) R$ 8,00 D) R$ 83,00 E) R$ 85,30 (ENEM 009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas. Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: A) inferior a 0,8 B) superior a 0,8 e inferior a 0,50 C) superior a 0,50 e inferior a,50 D) superior a,50 e inferior a,80 E) superior a,80 (ENEM 009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 00 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 0ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período

52 Questões Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor: A) inferior a 300 milhões de dólares B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares E) superior a 600 milhões de dólares (ENEM 009) O Indicador do CadÚnico (IcadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), NV NA em quetc NF,TA NV, NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV 3.600, então NF é igual a: A) B) C) D) E)