PLANO DE AULA DE PROGRESSÕES

Transcrição

1 PLANO DE AULA DE PROGRESSÕES Dados de Identificação: Escola: Colégio Estadual Maria Aguiar Teixeira. Professora: Adriana Vaz. Bolsistas ID: Aline Cagorni, Bruno Steinmetz e Lueinne dos Santos. Disciplina: Matemática. Série: 1º Ano Ensino Médio. Turmas: E, F, G e H. Período: Matutino. Conteúdos: Sequência ou sucessão; Progressão Aritmética e soma dos termos de uma P.A.; Definição, exemplos e abordagem da fórmula geral de uma P.A. e da soma do número de termos da P.A.; Progressão Geométrica e Soma dos Termos de uma P.G.; Definição, exemplos e abordagem da fórmula geral de uma P.G. e da soma do número de termos da P.G.; Objetivo geral: Introduzir o conceito de sequências e suas aplicações cotidianas, despertar o interesse matemático nos alunos, induzi-los a um pensamento crítico sobre quais e como algumas aplicações da matemática são acopladas no dia a dia. Objetivos específicos: Entendimento de progressões, análise relativa da aplicação das progressões, um conhecimento conceitual das progressões em geral, trabalho em grupo. ao nível de conhecimento associar, definir, escrever, diferenciar, identificar, reconhecer, mostrar; ao nível de aplicação calcular, demonstrar, dar um exemplo, ilustrar, localizar, montar, esboçar, solucionar; ao nível de solução de problemas desafiar, compor, construir, criticar, debater, defender, julgar, propor, recomendar; Tema: Sequências, progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.), soma do numero de termos de uma P.A. e soma do número de termos de uma P.G. Desenvolvimento dos temas: Inicialmente, será entregue aos alunos uma folha de definições e exemplos para que eles acompanhem o desenvolvimento das atividades sem que precisem copiar, e, além disso, será entregue também um roteiro e questões referentes à construção dos triângulos de P.A. e P.G.. Após isso será introduzido os seguintes tópicos: Sequência ou Sucessão; Progressão Aritmética; Soma do número de termos de uma P.A.; Progressão Geométrica;

2 Soma do número de termos de uma P.G.; Sequência ou Sucessão Consideremos a temperatura do ar, durante um período do dia: MEDIDAS TEMPERATURAS 1ª 11 C 2ª 15 C 3ª 18 C 4ª 21 C 5ª 17 C 6ª 16 C Dizemos que os valores da temperatura formam uma sequência das medidas de temperatura durante um período do dia. Os valores são denominados termos da sequência, e podem ser indicados da seguinte forma: Primeiro termo: a 1 = 11 C Segundo termo: a 2 = 15 C Sexto termo: a 6 = 16 C Definição: sequência ou sucessão é o conjunto formado por elementos considerados numa certa ordem. Exemplos: a) (1, 5, 9, 13) b) (-8, -6, -4) c) (, 2, 2, 4) Progressão Aritmética Sequência Prática: Propor aos alunos para que construam um triângulo a partir de triângulos menores, de forma a constituir uma P.A. de razão 2. Para isso, será entregue aos alunos um triângulo maior impresso em folha sulfite, de forma que ele esteja dividido em 3 faixas horizontais iguais. Para a construção do triângulo maior, entregaremos aos alunos triângulos menores já recortados, de tal forma que na primeira faixa horizontal caiba um triângulo, na segunda caibam três triângulos e na terceira faixa caibam cinco triângulos iguais. Os alunos deverão colar os triângulos menores nas faixas horizontais e, com isso, responder questões referentes ao desenvolvimento dos triângulos e completar uma tabela, os quais seguem abaixo: 1. Roteiro para a construção de um triângulo maior a partir de triângulos menores: I. Cole o maior número de triângulos possíveis na primeira linha do triângulo maior. II. Cole o maior número de triângulos possíveis na segunda linha do triângulo maior. III. Cole o maior número de triângulos possíveis na terceira linha do triângulo maior. 2. Responda as questões abaixo referentes ao triângulo maior: I. Quantos triângulos cabem na primeira linha?

3 II. Quantos triângulos cabem na segunda linha? III. Quantos triângulos cabem na terceira linha? IV. O que você pode perceber que acontece com os triângulos de uma linha para outra? V. O número de triângulos aumenta ou diminui de uma linha para outra? E qual a quantidade de triângulos que aumentam ou diminuem de uma linha para outra? VI. Quantos triângulos caberiam na 4º linha? E quantos triângulos caberiam na 9º linha? VII. Quantos triângulos caberiam na n-ésima linha? 3. Complete agora, a tabela abaixo conforme as respostas dos itens acima: LINHA QUANTIDADADE DE TRIÂNGULOS n Planificação da atividade: Sequência Didática: Definição, exemplificação do que é uma P.A., definir os elementos de uma P.A., exemplos numéricos, apresentação da fórmula geral de uma P.A., resolução de um exemplo sobre P.A. junto com os alunos; Definição: definimos Progressão Aritmética (P.A.) como sendo toda sequência de números reais, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado uma constante, denominada razão r da Progressão Aritmética. A representação é (a 1, a 2, a 3,..., a n ), onde: a 1 : primeiro termo; n: número de termos; r: razão; Para determinar a razão r de uma P.A., basta calcular a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecessor. Exemplos: a) (1, 3, 5, 7) P.A. finita, onde a 1 = 1, r = 2 e n = 5. r = 3 1 = 5 3 = 7 5 = 2. b) (-3, -7, -11,...) P.A. infinita, onde a 1 = - 3 e r = - 4. r = - 7 (-3) = - 11 (-7) = - 4.

4 a n = a 1 + r (n 1) Termo geral de uma P.A. a n : termo geral a 1 : primeiro termo n : número de termos r : razão Exemplo Proposto I: Em Boston, nos Estados Unidos, crianças costumam sair ás ruas durante a noite de Halloween batendo de porta em porta pedindo doces ou travessuras. Beth, uma americana de 12 anos, se fantasiou de bruxa e saiu pelas ruas à procura de doces na noite do dia 31 de outubro. Na primeira casa em que Beth bateu, Dona Susan deu a ela 7 balas. Após sair da casa de Susan, a jovem americana bateu na porta do senhor Wilson, o qual deu a ela 9 balas e 5 pirulitos. Na terceira casa em que Beth chegou, a senhora Ester deu a menina 6 pirulitos, 9 balas e 6 bombons. Sabe-se que o senhor Tyler mora na décima terceira casa em que Beth bateu e pediu doces. Descubra então, quantos doces Tyler deu a jovem americana. Após tudo isso, será entregue aos alunos as seguintes atividades para que eles resolvam: I. Determine o primeiro termo de uma P.A. em que o vigésimo (20º) termo é igual a 99 e a razão desta P.A. é igual a 5. II. Calcule o trigésimo (30º) termo da sequência (12, 10, 8, 6,...). III. Descubra qual a razão e depois calcule o oitavo (8º) termo da P.A. (1,, 2,...). Soma do número de termos de uma P.A. Sugerir como calcular a soma dos termos de uma P.A., apresentar a fórmula da soma da P.A., denominar os elementos que compõem a fórmula, resolução de um exemplo com os alunos. Para somarmos os termos de uma P.A. podemos soma-los um a um, ou usarmos a seguinte fórmula: S n = S n : soma dos n termos a 1 : primeiro termo a n : enésimo termo n : número de termos Exemplo Proposto II: I. Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.A. (4, 7, 10,...). Após tudo isso, será entregue aos alunos as seguintes atividades para que eles resolvam: I. Calcule a soma dos termos da P.A. (-16, -14, -12,..., 84). II. Qual a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (-15, -11, -7,...)?

5 Progressão Geométrica Sequência Prática: Propor aos alunos, para que construam três triângulos equiláteros com palitos de fósforo em cartolina, a fim de formar uma P.G. de razão 3. Para isso, será solicitado aos alunos para que formem grupos de três pessoas cada, para um melhor desempenho. Será concedido aos grupos uma folha de cartolina e 40 palitos de fósforo para que confeccionem três triângulos de tamanhos diferentes. O primeiro deverá ser construído a partir de três palitos, o segundo a partir de nove palitos e o terceiro a partir de vinte e sete palitos. Para a construção dos triângulos será entregue aos alunos o seguinte roteiro, e junto questões e uma tabela referentes ao desenvolvimento dos triângulos: 1. Roteiro para a construção de triângulos a partir de palitos de fósforo: I. Construa um triângulo equilátero (que possui todos os lados iguais) a partir de 3 palitos. II. Construa um triângulo equilátero (que possui todos os lados iguais) a partir de 9 palitos. III. Construa um triângulo equilátero (que possui todos os lados iguais) a partir de 27 palitos. 2. Responda as questões abaixo referentes aos triângulos de palitos: I. Quantos palitos cabem no primeiro triângulo? II. Quantos palitos cabem no segundo triângulo? III. Quantos palitos cabem no terceiro triângulo? IV. O que você pode perceber que acontece com a quantidade de palitos de um triângulo para o outro? V. O número de palitos aumenta ou diminui de um triângulo para outro? E qual a quantidade de palitos que aumentam ou diminuem de um triângulo para outro? VI. De quantos palitos você precisaria para construir o 4º triângulo? E para construir o 9º triângulo, de quantos palitos você precisaria? VII. De quantos palitos você precisaria para construir o n-ésimo triângulo? 3. Complete agora, a tabela abaixo conforme as respostas dos itens acima: TRIÂNGULO QUANTIDADADE DE PALITOS n Planificação da atividade:

6 Sequência Didática: Definição de uma P.G., exemplificação do que é uma P.G., nomear os elementos de uma P.G., apresentação de elementos numéricos, exibir a fórmula geral de uma P.G., resolução de um exemplo de aplicação em sala de aula; Definição: definimos Progressão Geométrica (P.G.) como sendo toda sequência de números não nulos em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu termo precedente por uma constante, denominada razão q da Progressão Geométrica. Para encontrar a razão q de uma P.G., basta dividir qualquer termo, a partir do segundo, por seu antecessor. Exemplos: i. Na P.G. (7, 21, 63, 189) temos: q = = = = 3. a n = a 1 q n - 1 Termo geral de uma P.G. a n : termo geral a 1 : primeiro termo n : número de termos q : razão Exercício Proposto III: Em um laboratório da Tailândia, cientistas desenvolviam experimentos com uma arma biológica, o T-VÍRUS. Um Vírus que ao entrar em contato com o ser humano, provoca mutações genéticas transformando o indivíduo em Zumbi. Durante um experimento um pesquisador distraído derrubou o frasco onde estava armazenado o T-VÍRUS. Um minuto após o acidente dois pesquisadores estavam contaminados sofrendo mutações genéticas, dois minutos depois quatro pessoas já estavam contagiadas, e três minutos depois o número de pessoas afetadas havia dobrado. Determine agora, qual será o número de pessoas transformadas em Zumbi, na Tailândia, dez minutos após o acidente. Feito isso, será entregue aos alunos as seguintes atividades para que eles resolvam: I. Calcule o primeiro termo de uma P.G., em que a 6 = 96 e q = 2. II. Qual é a razão de uma P.G. em que a 1 = 5 e a 4 = 135? III. (UGF RJ) Calcule a razão de uma P.G. em que a 1 = e a 4 =. Soma do Número de Termos da P.G. Sugerir como calcular a soma dos termos de uma P.G., apresentar a fórmula da soma da P.G., denominar os elementos que compõem a fórmula, resolução de um exemplo com os alunos.

7 Para somarmos os termos de uma P.G. podemos soma-los um a um, ou usarmos a seguinte fórmula: S n : soma dos n termos a 1 : primeiro termo S n = n : numero de termos q : razão da P.G. Exemplo Proposto IV: I. Calcule a soma dos nove primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,...). Feito isso, será entregue aos alunos as seguintes atividades para que eles resolvam: I. Calcule a soma dos nove primeiros termos da P.G. (2, 4, 8,...). II. Determine a soma dos seis primeiros termos de uma P.G. em que o sexto (6º) termo é 160 e a razão é igual a 2. Recursos didáticos: Quadro, giz, cartolina, papel sulfite, papel colorido, palitos de fósforo, cartolina, isopor, e.v.a, cola, tesoura e tachinhas.