GRUPO FISS BANCO DE DADOS

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1 GRUPO FISS NCO DE DDOS POSTIL DE MTEMÁTIC REVISÃO POSTIL DIGITLIZD POR LUNOS PR LUNOS SEM FIMS LUCRTIVOS COM UTORIZÇÃO DO PROFESSOR.

2 " - GEOMETRI Prof.: lexandre Coutinho 1- Noções primitivas l-s noções geométrias são estaeleidas por meio de definições.. dotaremos sem definir as noções de: PONTO, RET E PLNO 2- Notação de ponto reta e plano Pontos distinto: (i ) )Ponto pertene a reta: r ( E r) d)pontos olineares são pontos que pertenem a uma mesma reta Com letras Ponto -letras maiúsulas latinas:,,.. Reta -letras minúsulas latinas: a,,... Plano - Letras gregas minúsulas: a,p,y... Notações gráfias p o ponto P. reta r. o plano a. -' ~ 5- Postulados da determinação Da reta: Dois pontos distintos determinam uma únia que passa por eles. - Os pontos e distintos determinam a reta que indiamos por. ( ;é, E r, E r) =* r = -- expressão duas retas olnidentes é equivalente a uma únia reta. Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está ontida nesse mesmo plano. r = Ã8 Os: s proposiçoes geométrias são aeitas mediante demonstrações 3- Postulados da existênia. Numa reta, em om fora dela, há infinitos pontos. Num plano há infinitos planos. 4- posições de dois pontos e de ponto e reta e oinidentes - é o mesmo ponto, um só ponto, om dois nomes: e ( ;é-, r = Ã, E a, E =- r C a ) Três pontos não olineares determinam um únio plano que passa por eles Os pontos, e C não olineares determinam um plano a que indiamos por (,, C). O plano a é O únio plano que passa por. e C. 6," ' (=)

3 d) Pontos oplanares são todos os pontos que pertenem a um mesmo plano. e)retas onorrentes Definição 3-.Ângulos adjaentes: Dois ângulos onseutivos são adjaentes se, e somente se, não têm pontos internos omuns. Ô e ÔC são ângulos adjaentes. O~~ ~-- Duas retas são CfJnorrentes se, e somente se, elas têm um únio ponto omum. r n s = IP] 6- Segmento de reta - Definição Dados dois pontos distintos, a reunião do onjunto desses dois pontos om o onjunto dos pontos que estào entre elesé um segmento de ma. 'ssim, dados e, t, o segmento de reta (indiado por.4) é o que segue: 4-Ângulos opostos pelo vértie: Dois ângulos são opostos pelo vértie se, e somente se, os lados de um deles são as respetivas semi-retas opostas aos lados do outro. õã e õê opostas => O e OD opostas Ô e CÔD são opostos pelo vértie. Notemos que duas retas onorrentes determinam dois pares de ângn opostos pelo vértie. D x., 5- Ângulo suplementar adjaentes: a soma é igual a R = I, 1 U IX IX está emn e l I-Definição ÂNGULOS 29. Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não ontidas numa mesma reta (não olineares). a o 6- ângulos:. ~..... O = O U O O ponto O é o vértie do ângulo. ~ 4. s semí-retas O e O são os lados do ângulo. 2- Ângulos onseutivos: Ô = aô = ~h reto Dois ângulos são onseutivos se, e somente se, um lado de um deles é zmém lado do outro (um lado de um deles oinide om um lado do outro).,<o~'k Ô e ÔC são ÔC e ÔC são Ô e ÔC são onseutivos onseutivos onseutivos õã. é o lado omum). (OC é o lado omum). (00 é o lado omum). L..J...:..L-... ". a a é reto O ângulo é igual a 90

4 agudo Grau minuto segundo d é agudo O ângulo é menor de 90 0 ) otuso EXERCíCIOS 1) Simplifique as seguintes medidas: 30 70' d) '300" ' e) 30 56'240" ) 65 39'123" 2) Determine a soma: 30 40' ' 10 30'45" '20" e 3) Determine as diferenças: 20 50'45" '30" 31 40' - 20"45' ) 90 15'20" '50" d) '45" êré otuso O ângulo é maior de 90 d) Ângulo raso: 4) Determine os produtos: 2 x (10 35'45") 5 x (6 15'30") 5) Determine o valor de x nos asos: ~ ~ ~ O ângulo é igual a Áo. 30 x. x e) Ângulos omplementares: São os ângulos uja soma é igual a 90 0 a+ fj =90 0 f) Ângulos suplementares: São os ângulos uja soma é igual a a + fj = g) Ângulos replementares: São os ângulos uja soma é igual a a + fj = d) - / 1"_"0 /' ~ ~ Os: Se dois ângulos são opostos pelo vértie, então eles são iguais. 6) Determine o valor de x nos asos: ~ ~ 7- Unidade de medida de ângulos 1 0 Grau = 60' min l'min = 60" segundos

5 7) Determine o valor de a nos asos: 2x - 10 I \a = x )Calule O omplemento dos seguintes ângulos: ) 3r25' 9)Calule o omplemento dos seguintes ângulos: ) 93 15' 10)Dado um ângulo de medida x, indique: seu omplemento; seu suplemento; ) o doro do seu omplemento; d) o triplo do seu suplemento; e) a sétima parte do omplemento; f) a quinta parte do suplemento; 11) Dê a medida do ângulo que vale o doro do seu omplemento. TRIÂNGULOS 1- Definição : Dados três pontos,, e C não olineares, à reunião dos, - - seguimentos, C e C hama-se triangulo C. Indiação: Triangulo C = MC ~L a------~~ 2- Classifiação: Quanto aos lados, os triângulos podem se lassifiar em: - eqüiláteros se, e somente se, tem os três lados ongruentes; - isóseles se, e somente se, dois os três lados ongruentes; - esalenos se, e somente se, dois os três lados ongruentes; MC equílátero 6RST isóseles 6MNP esaleno R N 12) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu omplemento; 13) Calule um ângulo, saendo que um quarto do seu suplemento vale ) Qual é o ângulo que.exede o seu suplemento em ) Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calule o ângulo y. Quanto aos ângulos, os triângulos podem se lassifiar em: - retângulo se, e somente se, têm um ângulo reto; - autângulo se, e somente se, têm os três ângulos agudos; - otusângulo se, e somente se, têm os um ângulo otuso. o R p F T 6C retângulo em JJEF autârígulo 6RST otusângulo em S

6 3- Congruênia de triângulos Definição: Um triângulo é ongruente (ongruente ==) a outro se, somente se, é possível estaeleer uma orrespondênia entre seus vérties de modo que: seus lados são ordenadamente ongruentes aos lados do outro e seus ângulos são ordenadamente ongruentes aos ângulos do outro. 3 aso-lll Se dois triângulos têm ordenadamente ongruentes os três lados. er.- tão esses triângulos são ongruentes. 4 aso - Lo ' Se dois triângulos têm ordenadamente ongruentes um lado, um ângulo adjaente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são ongruentes. /~ o 1\ / \ / \ C' == '' ~ == ~') LVl C =-,_>ft 1\ "'C' Ç=> C _ == 'C _' e - == ' - ( C == 'C ê == t: ongruênia entre triângulos é reflexiva, simétria e transitiva. ~ Hipótese C == 'C (I), fi == fi' (2),  == Ã' (3) Tese ===>.6C ==,t\,''c Casos de ongruênia: 1 aso - LL - postulado: Se dois triân~ulos têm ordenadamente ongruentes dois lados e o angulo ompreendido, então eles são ongruentes. 4- Mediana de um triângulo - definição Mediana de um triângulo é um segmento om extremidades num vértie e no ponto médio do lado oposto. C. M( é o ponto médio do lado C. M( é a mediana relativa ao lado MJ é a mediana relativa ao vértie, M, 2 aso-l 5- issetriz interna de um triângulo definição "Se dois triângulos têm ordenadament~. ongrue~tes um lado e ~~ dois ângulos a ele adjaentes, então esses tnangulos sao ongruentes. t; ' ' = X ~~ ' C' ' C' íssetriz interna de um triângulo é o segmento, om extremidades num vértiee no lado oposto, que divide o ângulo desse vértie em dois ângulos ongruentes. S( E C, Sj == S(ÂC _ S( é a issetriz relativa ao lado C. S( é a issetriz relativa ao vértie.

7 ê 6- Teorema do ângulo externo Dado um /',e e sendo a a =Heta oposta à semi-reta é, o ân-.g;;jo 5- Se o MC é isóseles de ase C, determine x. = CX = t:gulo externo do /',e adjaente -t e não adjaente aos ângulos  e li. e~ :...\ O ângulo ê é o suplementar adjaente de ê., Exeríios 1- Se o MC é isóseles de ase C, determine x. 6- Se o MC é isóseles de ase C, determine x e y. 2- o MC é eqüilátero. Determine x e y. 2x Determine o valor de x e y, saendo que o MC é eqüilátero. 3- Se o MC é isóseles de ase C, determine C. :;s 2x + 4 C 4- Se o MC é isóselesde ase C, determine x. ~ C 8 y 8- Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 em, quanto mede ada lado? 9- Se o perímetro de um triângulo isóseles é de 100m e a ase mede 40 em, quanto mede ada um dos outros lados? 10- Determine o perímetro do MC nos asos: Triângulo eqüilátero om = x+2y, C=x+y+3 C=2x- y e y+4

8 Triângulo isóseles de as~ C om R = 2x + 3, C = 3x - 3e ;0 = x Num triângulo isóseles, o semiperímetro vale' '7,5 m. Calule os lados desse triângulo, saendo que a soma dos lados ongruentes é o quádruplo da ase. 12- Na figura, o triângulo C é ongruente ao triângulo DCE. Determine o valor de a e fi. PRLELISMO 1- 'Retas paralelas - definição - Duas retas são paralelas ( símolo: Ii ) se, e somente se, são oinidentes ( iguais ) ou' são oplanares e não têm nenhum ponto em omum. aa,a,an={} a E '"""jf-;;-t--;-hl--i-...::j.i~d 13- Na figura ao lado, o triângulo C é ongruente ao triângulo CD. Calule x e y e os lados do triângulo CD. o 2- Reta transversal - sejam a e duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma reta onorrentes om a e : t é uma transversal de a e : a a t ~ " x. ov C 14- Na figura, o triângulo C é ongruente ao triângulo CDE. Calule x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos. E Com mais detalhes podemos ter: - lternos internos: 3 e 5, 4 e 6 - lternos externos: 1 e 7, 2 e 8 - Colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5 - Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7 ) Ângulos ongruentes: (1=3=5=7) (2 = 4 = 6 = 8) D ÂNGULOS 1- Ângulo externo - Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjaentes a ele. G8 e=+ C

9 2- Soma dos ângulos internos de um triângulo 4- Na figura, sendo a //, alule a+p-r a I Â + + ê = Sendo a paralela a, alule x. Exeríios 1- Sendo a reta a paralela a reta, determine x nos asos: a ~ ~~\_w_ _ ~a ~~ _ 6- Sendo a paralela a, alule x. a 2) Se as retas r e s são paralelas, determine x nos asos: 7- Na figura aaixo, sendo r Ii s, alu1e x e y. t 3- Se as retas r e s são paralelas, determine x e y. 8- Sendo as retas r e s paralelas, determine x, y e z nos asos: s. s 2x s

10 9- Determine y nos asos: 13- Calule o valor de x, sendo r/i s. 40" r 10- Determine x nos asos: s 14- Calule o valor de x e y, sendo r I I s.. r 11- Determine x e y: Se r Ii s, alule a fi 12- Determine os ângulos do triângulo nos asos: 16- Se r Ii s, alule a. x + 20 <--.J. ~:::::.. 5 U' '--""

11 QUDRILÁTEROS NOTÁVEIS Definição: Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados que possuem duas diagonais e a soma dos ângulos internos igual a Trapézio: Um quadrilátero plano onvexo é um trapézio, se somente se, possuem dois lados paralelos. CDé trapézio <=> ( Ii CD) Trapézio isóseles, se os lados não paralelos são iguais. 3- Retângulo ângulos iguais dois. D D Possui os quatros e lodos iguais dois a C CD é retângulo <=>  = Ê == ê == f> - s diagonais são iguais e se ortam ao meio. 4- Losango - Possui quatro lados iguais e paralelos dois a dois e om isso os ângulos opostos tamém são iguais. D e CD são ases do trapézío isóseles == (ê == f> e  == fi CD é losango <=> == C = CD == D QD C Trapézio esaleno, se os lados não paralelos são diferentes. Trapézio retângulo (ou i-retângulo) é um trapézio que tem dois iin@; los retos. OLJDD a trapézl eesees trepéztõ esaleno trapézlo esaleno trapézlo retâng 1\ 1\ 1\ 1\ ==C e ==D 5- Quadrado - Possui quatro lados e quatro ângulos iguais - s diagonais são iguais e se ortam ao meio.dd ~. l- 2- Paralelogramo- Possui lados ângulos opostos iguais dois a dois. D ---::!./ L---/ C e CDéquadrado <=> ( == == ê == De == C == CD == D) Exeríios 1) Determine o valor de x nos asos: CD é paralelogramo -- e o DII C <=> II CD 1'\ '" 1\ ==C e ==D

12 4L Se P e P são issetrizes, determine x nos asos: ', " 2) Determine os ângulos do quadrilátero CD nos asos: D aj o o,--,---...,.--, w --- _=:::::~ fi 5) Se O' trapézio CD é isóseles de ases e C determine. 2x - 15 D~L L~C 3) Determine O' valor de x nos asos: P = P 6) Se CD é um paralelogramo e = 2x e C = x + 70, determine. D = D e C = CD 7) Calule os lados de um retângulo ujo perímetro mede 40 em, saendo que a ase exede a altura em 4 m.

13 SEMELHNÇ DE TRINGULOS I-Definição: dois triângulos são semelhantes se, somente se, possuem três ângulos ordenadamente ongruentes e os lados homólogos proporionais. C >. C Ã=Ã' ) C - ''Ç' -= es tl' e ~ = ~ = ~ ( ê"" t' a' ' ' Exeríios: l-os triângulos C e ''C' das.figuras são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1 0 para ao 2o e 3-2 determine: a, e C a razão entre os seus perímetros: 6' ' a' 3-0s triângulos KLM e FGH são semelhantes. Determine x. K s três lados de um triangulo C medem 8 em, 18 em e 16 m. Determine os lados de um Triangulo ' ' C' semelhante a C, saendo que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é 3. 5-Se DE//e, determine x nos asos: f-----~e M GG F x x = D a C E ' Ü' 14 C' 2- Os triângulos C e PQR semelhantes. Determine x e y. Q são 6- O perímetro de um triângulo é 60 m e um dos lados tem 25 m. Qual o perímetro do triangulo semelhante ujo o lado homólogo ao lado dado mede 15 em? '~'~ 20 C 7- Os lados de um triângulo medem 8,4 em, 15,6m e 18 em. Esse triângulo é semelhante a um triângulo ujo perímetro mede 35m. Calule o maior lado do segundo triângulo.

14 8-0s lados de um triângulo C medem 4 em, Sem e 6 em. Calule os lados de um triângulo semelhante a C, ujo perímetro mede 20em. ll-detennine x e y nos asos: 9-Se os ângulos om maras iguais são ongruentes, determine as inógnitas nos asos: ~ ~~ ~~ x 2:1-9~X 12-Sendo r e s retas paralelas, determine x. ~ y 6 10-Se a =p, determine x e y nos asos: 13- Nas figuras, determine x. ~ 17 2 y

15 RELCÓESMÊTIDCSNO TRIÂNGULO RETÂNGULO 2- Determine o valor de x nos asos: Sendo o triângulo C, retângulo em, om altura D. 5 ~/ x --_---"'...a.. C J x+2 6!! jh L I L_R 6 n D D Explorando a semelhança de triângulos, temos que: MC a 2 ~ I1D => - = - => = a.n ; n MC a 2 ~ I1DC => - = - => = a.m ; m h n 2 I1D ~ I1DC => - = - => = a.n. m h Essas são as prinipais relações do triângulo retângulo, mas outras relações são importantes, omo: - a.h =. - e o teorema de Pitágoras a 2 = x 3-Num triângulo retângulo, os atetos são de 3 em e 4m. Determine a hipotenusa, as projeções dos atetos sore a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa. 4- altura relativa à hipotenusa de um triangulo retângulo mede 4,8 e a hipotenusa mede 10m. Calule a medidas dos atetos. 5)Calule x, y, z e t no triangulo retângulo aaixo. Exeríios: 1- Determine o valor de x:, 5,~x x 15 6-Num triangulo retângulo a altura determina na hipotenusa dois segmentos de medidas 9 em e 16m. Calule a hipotenusa os atetos e a altura. 3

16 7- Determine o valor de x: quadrado O perímetro de um retângulo é de 30 m e a diagonal 5./5 m. Determine os lados desse retângulo. x (5 6. ~ Determine o valor de x e m ada aso: 8- Determine o valor de x e m ada aso: 4~ x } ~ Determine o valor de x nos asos : ) retângulo 5 12

17 ÁRES DE FIGURS PLNS * Retângulo Os: Área do triangulo eqüilátero de lado a. um triângulo eqüilátero de lado a-j3 a tem altura h=-- 2 e sua área é então: s ~ + a af = l_s_=: a_2_f3=-3_ *Trapézio: *Quadrado: Dada um quadrado de lado a. 2 a a o = a. a =>, o::;: a 2 I I ~ (, +,) h Tra 2 *Losango: *Parale1ogramo: Equivale a área do retângulo.,,,, r h I DJ I- o-j f---_ *Triângulo: * hexágono: Temos em um hexágono exatamente seis triângulos eqüiláteros ' :::.,' I T - --º--:...1L 2 I, r 1_ t ~1

18 hexásono = 6. S *Área da oroa irular 3lj 2 hexágono = ~ *Área do írulo r ~ indiadas. EXERCÍCIOS 1)Detennine a área das figuras aaixo, sendo o metro a unidades das medidas ã)\ quadrado ~~ retângulo Os: O omprimento da irunferênia é dado pela seguinte fórmula C = 2w *Área do setor 6 8 ) paralelogramo -;» 6 *Área do segmento irular ou ( D)~ 1rDz r = 'ir T = --4- R =(f-h)- segm 2

19 d) losango e) quadrado 4) Determine a área do retângulo nos asos a seguir, sendo o metro a unidade 8 de medida. g) trapézio h) paralelogramo D /~ 2,/ " ~*t" ) o C5J j) 5) Determine a área dos paralelogramos nos asos a seguir, sendo o metro a unidade de medida. 2) área do polígono é dada entre parênteses, em ada aso. Determine x. quadrado (36 m') quadrado (50 m Z ) <> ) 16 f 3 4- d) trapézio (10 m Z ) e) trapézio (18 m 2 ) x + 2 x + 2 3) Na figura temos um quadrado CD insrito no triângulo PQR. Se QC é igual ao lado do quadrado, RD= 3m, a altura, relativa a, do triângulo P é igual a 4m e a área do triângulo PQR é de 75m. Determine o lado do quadrado. p 6) Determine a área dos triângulos nos asos a seguir, sendo o metro a unidade de medida d) e) R '---:!:-.,!:- ~ Q

20 7)' Determine a área do triângulos nos asos a seguir, sendo o metro a unidade de medida. d) e) 6 Q.: ~' \~/12m 14) Determine a área da oroa irular nos asos: e) ~ 10 8) área de um retângulo mede 40m 2 e sua ase exede em 6 em a sua altura. Determine a altura do retângulo. 9) Um retângulo tem 24m 2 de área e 20 em de perímetro. Determine suas dimensões. IS)Determine a área do setor irular somreado nos asos aaixo: ~ W lo)uma das ases de um trapézio exede a outra em 4m. Determine as medidas dessas ases, sendo 40m 2 a área do trapézio e Sm sua altura. 11)Determine a área de um losango, sendo 120m o seu perímetro e 36m a medida do diagonal menor. ) d} 6m 12) Determina o lado de um quadrado, saendo-se que, se aumentarmos seu lado em 2m, sua área aumenta em 36m 2 13) Determine a área do írulo e o omprimento da irunferênia nos asos: 16) Determine a área da região somreada nos asos: quadrado de lado 8 m o

21 hexágono regular de lado 6 m o ) triângulo equilátero de lado 12 m 18) Calule a área da superfiie somreada. quadrado ' retângulo d) quadrado de lado 8 m o 19) Determine a área somreada, nas figuras aaixo, sendo C o triplo de C e igual a 32 m. e) hexágono regular de lado 12 m f) triângulo equilátero de 6 m de lado I------'*---+=:...--f 17) Calule a área da superfiie somreada, saendo-se que O quadrilátero dado é um quadrado. 20) Calule a área da superfiie somreada.