INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO J. ANDRADE MATEMÁTICA

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1 1 INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO J. ANDRADE MATEMÁTICA Teoria e Aplicações. Anderson Dias Gonçalves Juatuba, Fevereiro de 2007.

2 2 INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO J. ANDRADE MATEMÁTICA Teoria e Aplicações. TODOS OS DIREITOS RESERVADOS Este material didático foi desenvolvido exclusivamente para o uso nas aulas de Matemática ministradas pelo Prof. Anderson Dias Gonçalves. A autorização para a utilização deste material por outros professores deverá ser concedida pelo autor. Contato: Copyright c Anderson Dias Gonçalves 2007.

3 3 O AUTOR Anderson Dias Gonçalves Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário de Formiga UNIFOR, pósgraduado em Matemática e Estatística pela UFLA, pós-graduado em Ensino da Matemática pelo UNIFOR, mestre em Matemática e Estatística pela Universidade Vale do Rio Verde. Professor dos cursos de Administração, Ciências Contábeis e Publicidade e Propaganda do Instituto Superior de Ensino J. Andrade e professor dos cursos de Psicologia, Serviço Social e Ciências Contábeis da Faculdade de Ciências Econômicas, Administrativas e Contábeis de Divinópolis - FACED.

4 4 "A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens." Descartes

5 5 Apresentação O objetivo deste curso, que estamos chamando de Matemática - Teoria e Aplicações, é dotar o estudante universitário do curso de Administração o conhecimento sólido de alguns conceitos básicos fundamentais em matemática, de tal maneira que se sinta seguro e consciente para entender o que lê em textos, o que é posto em aula e para a forma como está operando matematicamente, e aplicar em situações de trabalho e ou pesquisa. Esperamos ainda, possibilitar que o estudante utilize este conhecimento que aqui propomos em outras disciplinas em períodos posterioes, e que possa obter consciência matemática, os invés de repetir alguns mecanismos de procedimentos, os quais, via de regra, ele não sabe justi car a razão de estar fazendo. Leia cada secção do capítulo sem interrupção, não se importe com o que não estiver entendendo na primeira leitura; leia-o, não desista. Leia o parágrafo até o nal, depois releia e prossiga com a leitura até o nal do capítulo, depois o releia mais uma vez. Não se aprende à primeira leitura. Depois, já com um apanhado geral do que está no parágrafo, retome a leitura pelo início do paragráfo. Não esqueça de destacar e identi car os conceitos já estudados que estão envolvidos no parágrafo, se não estiver assimilando, volte aos parágrafos nos quais foram de nidos. Como regra geral, tente sempre enquadrar o que você está estudando (ou pensando) no âmbito do seu conhecimento prévio ou atual. Depois, renove esse conhecimento.

6 6 SUMÁRIO 1. Capítulo 1 - Revisão Objetivo do Capítulo Potência Radiciação Módulo de um Número Real Podutos Notáveis Capítulo 2 - Conjuntos Objetivo do Capítulo Noção de Conjuntos Princiapais Símbolos Principais Conjuntos Numéricos Intervalos Capítulo 3 - Funções Objetivo do Capítulo Conceito de Função Noção de Função Via Conjuntos Igualdade de Funções Operações com Funções Estudo do Domínio de uma Função Real Plano Cartesiano Produto Cartesiano Representação Grá ca de uma função Capítulo 4 - Funções Usuais Objetivo do Capítulo Modelos Lineares Noção de Geoemtria Analítica Capítulo 5 - Função Quadrática Objetivo do Capítulo Um Modelo de Função do 2 Grau Caracterização Geral Vértice de uma Parábola da Função Quadrática 53

7 7 5.5 Principais Pontos de uma Parábola Imagem da Função Quadrática Crescimento e Decrescimento de uma Função Capítulo 6 - Aplicação de Função Objetivo do Capítulo Demanda de Mercado Oferta de Mercado Receita Total Custo Total Equilíbrio de Mercado (Break even-point) Capítulo 7 - Função Exponencial Objetivo do Capítulo Modelos defunções Exponenciais Equação Exponencial Caracterização Geral de uma Função Exponencial Grá co Cartesiano da Função Exponencial Logarítmo Capítulo 8 - Matrizes Objetivo do Capítulo Matriz Representação de uma Matriz Igualdade entre Matrizes Tipos Especiais de Matrizes Operações com Matrizes Capítulo 9 - Sistemas de Equações Lineares Objetivo do Capítulo Conceitos Operações Elementares Forma Escada Posto de uma Matriz Soluções de um Sistema de Equações Lineares 87

8 8 10. Capítulo 10 - Determinate Objetivo do Capítulo Determinantes Desenvolvimento de Laplace Capítulo 11 - Limite Objetivo do Capítulo Limite de uma Função Continuidade Limite no In nito Capítulo 12 - Conceito de Derivada Objetivo do Capítulo Taxa de Variação Derivada de uma Função em um Ponto Derivada como Inclinação da Reta Tangente Capítulo 13 - Técnicas de Derivação Objetivo do Capítulo Regra de Derivação Capítulo 14 - Aplicação de Derivadas no Estudo de Funções Objetivo do Capítulo Funções Crescentes e Decrescentes Teste da Derivada Primeira Pontos Críticos Pontos Extremos de uma Função Extremos Absolutos Concavidade e o Teste da Derivada Segunda Pontos de In exão Apêndice A Apêndice B Apêndice C Referência Bibliográ ca 133

9 9 1. CAPITULO REVISÃO 1.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nosso objetivo nesse capítulo e proporcinar ao estudante um breve momento de revisão de operações matemática elementares, que serão necessárias em capítulos posteriores. Iniciamos com noção de potência e radiciação, seguida de valor absoluto de um número e um estudo sobre produtos notáveis, incluindo a fatoração de polinômios. Para alguns estudantes, este capítulo pode até ser desprezado, mas para outros nem tanto POTÊNCIA Consideremos a seguinte situação: Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro possibilidades diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) ou (coroa, coroa). Se lançarmos três moedas diferentes, serão oito resultados possíveis. E assim por diante. Então, a relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na tabela abaixo: Número de Moedas Número de resultados Vemos através da tabela que: 2 = 2 1 ; 4 = 2 2 ; 16 = 2 4 ; 32 = 2 5 e assim por diante. Essa situação ilustra a operação de potenciação que iremos recordar nesse capítulo POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL Seja a um número real positivo. Para todo n 2 N; a potência a n, de base a e expoente n é de nida como produto de n fatores iguais a: Para n = 1, como não há produto de um só fator, põe-se a 1 = a, por de nição. De modo geral, para quaisquer m; n 2 N, tem-se: a m a n = a m+n (1)

10 10 Essa propriedade continua válida para um número qualquer de fatores. Para m 1 ; m 2 ; :::; m p quaiquer pertencentes a N, temos: a m 1 a m 2 ::: a mp = a m 1+m 2 +:::+m p (2) Convenção: a 0 = 1 Quanto deverá ser o valor de a 0, mantendo-se a propriedade fundamental? Como a propriedade fundamental deve ser mantida, temos que: a 0 a 1 = a 0+1 = a 1 (3) Vemos através da Eq (3) que a 0 a 1 = a 1, então podemos concluir que a 0 precisa ser igual a 1, então convencionou-se que: a 0 = 1 (4) PROPRIEDADES DE POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL As propriedades mostradas abaixo não serão demonstradas devido a nalidade do curso, porém o estudante que quiser fazê-las, terá como base a Eq(1). Sendo a e b reais e m e n racionais, valem as seguinte propriedades: [1] a m a n = a m+n [2] am a n = a m n [3] (a:b) n = a n b n a n [4] b = a n b n [5] (a m ) n = a mn a n [6] b = b n a [7] (a) n = 1 a n [8] a 1 n = np a; 8a 2 R [9] a m n = np a m ; 8a 2 R Exercícios Resolvidos 1. (4) 3 = ( 3) 2 = 9 3. ( 3) 3 = = 9

11 = (a 2 b 3 ) 5 (a 2 ) 3 b = a 10 b 15 7 a 6 b = 5p = 3p 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule as potências a) ( 2) 3 b) c) 2 d) (9) e) 2 f) g) 5 8 : ( 2. Calcule o valor de y = 12) 2 1 : 3+( 3 2) 2 3. Sabendo que 2 x + 2 x = 5, calcule o valor de 4 x + 4 x 4. Simpli que as expressões abaixo. a) 3x+2 3 x+1 3 x b) 5x 3 5 x +5 x 2 5 x 1

12 RADIACIAÇÃO De nição: Dados um número não negativo a e um número natural n, n 1; chama-se raiz enézima de a o número real e não negativo b tal que b = a. O símbolo np a; chamado de radical, indica a raiz enézima de a. Nele, a é chamado de radicando, e n o índice. np a = b, b 0 e b n = a (5) PROPRIEDADES Sendo a e b reais não negativos, m inteiro e n e p naturais não nulos, valem as seguintes propriedades: [1] np am = n:pp a m:p [2] np p a:b = n a: np b n [3] p a = np a b np b [4] ( p np a) m = np a m p [5] np p a = p:n a EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule os seguintes radicais a) p 48 b) p 40 c) 3p 72 d) p 243 e) p 196 f) 4p 625 g) 3p 216 q h) Calcule o valor de y = p p 0 3p 27: 3. Calcule o valor de: a) x = 3p 1 + p 49 r q b) y = p 3 + 3p 1

13 13 c) k = p 8 + p 32 + p 72 p 50 d) z = 3p 16+ 3p 54 3p Racionalize o denominador de cada uma das seguintes frações: a) 2 p3 b) 1 p2 c) p 3 p 2 d) 3 2 p 3 e) 1 3p 4 f) 2 5p 4 g) 14 3p MODÚLO DE UM NÚMERO REAL - VALOR ABSOLUTO De nição de valor absoluto: O valor absoluto de um número real a é: jaj = a, se a 0 a; se a < 0 O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim: Se jxj < a (com a > 0) signi ca que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre a e a, ou seja, jxj < a, a < x < a:veja a gura 1.1. (6) FIG. 1.1 Se jxj > a (com a > 0) signi ca que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é x, deve estar à direita de a ou à esquerda de a na reta real, ou seja: jxj > a, x > aoux < a:veja a gura 1.2. FIG.1.2

14 PROPRIEDADES DE VALORES ABSOLUTOS [1] Multiplicação: ja:bj = jaj : jbj [2] Potências: ja n j = jaj n [3] Divisão: a b = jaj p jbj [4] Raiz Quadrada: a2 = jaj [5] Desigualdade Triangular: ja + bj jaj + jbj EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Resolva a equação jx 5j = Resolva a equação jx 6j = j3 2xj. 3. Resolva a inequação j 2x + 6j < 2 4. Resolva a inequação j10 xj > 4 5. Resolva a equação j2x + 1j = j3x 1j 1.6. PRODUTOS NOTÁVEIS Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva. (a + b):(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b):(a b) = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b + c):(a + b + c) = a 2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ac + bc + c Somando os termos semelhantes: a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. A m de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis. Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. (a + b):(a b) = a 2 b 2 (7) Quadrado da soma (trinômio do quadrado perfeito): quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

15 15 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (8) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (9) Cubo da soma: cubo do primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (10) Cubo da diferença: cubo do primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (11) Observação: Diferença de dois Cubos. a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) (12) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Efetue os seguintes produtos notáveis a) (x + 2) 2 b) (3x 4) 2 c) (x 3) : (x + 3) d) (2 4x) (2 + 4x) e) p 2 + x 2 f) (2x + 3) 3

16 16 2. CAPÍTULO CONJUNTOS 2.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nosso obejtivo nesse capítulo é descrever uma linguagem formal sobre conjuntos, subconjuntos, conjuntos numéricos, operações entre conjuntos e intervalos. Toda o estudo sobre funções está solidi cado sobre a teroria dos conjuntos. Por esta razão vamos dar uma atenção especial na linguagem utilizada para representação e operacão de conjuntos NOÇÃO DE CONJUNTOS A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois a partir dela podem expressar todos os conceitos matemáticos. Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc. Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}. Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. Ex.: B = fx=x é número ímpar menor que seteg. Pelo diagrama de Venn, gura FIG.2.1

17 PRINCIPAIS SÍMBOLOS 2 pertence =2 não pertence = tal que está contido contém 9 existe ao menos um 9!existe um não existe 8 para todo ou qualquer ) implicação, equivalência [ união \ intersecção Exemplo Sendo P = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g, determina, por extensão, os seguintes conjuntos: A = fx 2 P=x = 3k; k 2 P g = f B = fx 2 P=x = 2k; k 2 P g = f g g Obseravações Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por? ou fg Quando o conjunto é in nito utilizamos reticências (:::). Ex.: E = f1; 2; 3; :::g. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Ex.: Se A = f1; 2; 3g e B = f1; 2; 3; 4; 5g então A B ou A é subconjunto de B. Chamamos de intersecção de dois conjuntos, o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B, e representamos por A \ B. Ex.: Se A = f1; 2; 3; 8g e B = f2; 8; 9g então A \ B = f2; 8g. Chamamos reunião ou união de dois conjuntos, o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A [ B = f1; 2; 3; 8; 9g:

18 PRINCIPAIS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais - N N = f0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g (13) Conjunto dos Números Inteiros - Z Z = f:::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; :::g (14) Conjunto dos Números Racionais - Q Q = fx=x = a ; coma 2 Z; b 2 Zeb 6= 0g (15) b Observações Z Q, pois se a 2 Z, a = a 1 2 Q; Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos: 1) a representação decimal é nita: 7 4 = 1; = 0; 6 2) a representação decimal é in nita periódica: = 0; 333::: = 0; 5222::: Conjunto dos Números Irracionais - I Considere os números p 2, p 3 e, suas representações decimais são: p 2 t 1; ::: p 3 t 1; ::: t 3; ::: e t 2; 71828:::( Número de Euler )

19 19 Observa que existem decimais in nitos não periódicos, os quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma a. Todas as raízes não exatas são exemplos de números b irracionais. Conjunto dos Números Reais - R R = Q [ I = fx=x é racional ou irracionalg (16) Portanto, são números reais: i) os números naturais; ii) os números inteiros; iii) os números racionais; iv) os números irracionais. Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a gura 2.2: FIG.2.2 (17) Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Complete usando os símbolos 2 ou =2: a) 7 N b) p 2 Q c) 1 I 2

20 20 d) q 9 4 Q e) 0; 16666::: Q f) p 64 R g) 3; 232 Q h) 3p 27 Z 2. Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: a) fx 2 N = 1 x 4g b) fx 2 Z = 3 < x 3g c) fx 2 Z = 0 x < 5g d) fx 2 N = x 3g e) fx 2 Z = 0 x < 4g 3. Encontre as frações geratrizes das dízimas dadas por: a) 2; 4333::: b) 0; 1444::: b) 31; ::: c) 0; ::: 2.4. SUBCONJUNTOS Um conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A pertence a B. Neste caso, dizemos que A está contido em B e designamos este fato por: A B [lê-se A está contido em B] Por exemplo, se A = f2; 4; 6g e B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, então temos que A B: Muitas propriedades e relações entre conjuntos cam claras quando representamos conjuntos por meio de regiões planas. Tais representações chamam-se diagramas de Venn. A gura 2.3 ilustra o fato de que A está contido em B:

21 A 2 FIG.2.3 B 2.5. REUNIÃO DE CONJUNTOS A reunião, ou união de dois conjuntos A e B, é o conjunto, designado por A [ B, formado por todos os elementos que pertencen a A ou B. Em outras palavras: x 2 A [ B, x 2 A ou x 2 B [AUB lê-se A união B] Por exemplo, se A = f1; 2; 3; 5g e B = f3; 4; 5; 7g, então A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 7g. O diagrama de Venn da gura 2.4, ilustra a reunião de A e B. A B FIG. 2.4

22 22 Propriedades da reunião de conjuntos Comutativa: A [ B = B [ A Elemento Neutro: A [? = A Associativa: A [ (B [ C) = (A [ B) [ C 2.6. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto, designado por A pelos elementos comuns a A e a B. Em outras palavras: \ B, formado x 2 A \ B, x 2 A e x 2 B [A \ B lê-se A interseção B] Por exemplo, se A = f1; 2; 3g e B = f2; 3; 4; 5; 6g, então A \ B = f2; 3g :O diagrama de Venn da gura 2.5, ilustra a intersecção de A e B A FIG. 2.5 B Propriedades da Intersecção: Comutativa: A \ B = B \ A Associativa: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C A \? =? Distributiva: A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

23 CONJUNTOS DISJUNTOS Dois conjuntos A e B são disjuntos se a intersecção é vazia, isto é, não possui nenhum elemento. Em outras palavras, A e B são disjuntos se e somente se A \ B =?: Por exemplo, se A = f1; 3; 5g e B = f2; 4; 6; 8g, então A \ B =? CONJUNTO DIFERENÇA O conjunto diferença de dois conjuntos A e B, designado por AnB, é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. [AnB lê-se A menos B] Por exemplo, se A = f5; 6; 7; 8g e B = f1; 2; 3; 7; 8g, então AnB = f5; 6g, enquanto BnA = f1; 2; 3g. O diagrama de Venn da gura 2.6, ilustra o conjunto diferença AnB A B FIG COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO Se todos os elementos em consideração pertecem a um mesmo conjunto U, este chamase conjunto universo. Se A é um subconjunto de U, então a conjunto diferença UnA chama-se complementar de A e é designado po C(A) ou A c. Em outras palavras: x 2 C(A), x 2 U e x =2 A O diagrama de Venn da Figura 2.7 ilustra o complementar de A.

24 24 w U x z y t v A FIG NÚMERO DE ELEMENTOS DA REUNIÃO DE CONJUNTOS Se A é um conjunto nito, designamos por n(a) o número de elementos de A. Por exemplo, se A=f0; 1; 5g, então n(a)=3. Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B dividimos o problema em dois casos: 1) A e B são disjuntos. Neste caso, é claro que: n(a [ B) = n(a) + n(b) (18) 2) A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n(a) cpom n(b) contamos os elementos de A\B duas vezes. Portanto: n(a [ B) = n(a) + n(b) n(a \ B) (19) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Sejam A = f1; 2; 3; 4ge B = f2; 3; 5; 7g. Determine: a) A [ B b) A \ B c) AnB d) BnA 2. Sejam A = f0; 1; 2; 3; 5g e B = f1; 2; 3; 4g. Calcule:

25 25 a) n(a [ B) b) n(a \ B) c) n(anb) d) n(bna) 3. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A nem B. Pergunta-se: quantas pessoas dessa população consomem tanto o produto A quanto o produto B? 4. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Telespectadores x Através desses dados qual o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas? 2.7. INTERVALOS Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: Intervalo aberto (a; b) = fx 2 R=a < x < bg intervalo fechado [a; b] = fx 2 R=a x bg intervalo semi-aberto à direita (a; b] = fx 2 R=a < x bg intervalo semi-aberto à esquerda [a; b) = fx 2 R=a x < bg intervalos in nitos (a; +1) = fx 2 R=x > ag [a; +1) = fx 2 R=x ag ( 1; a) = fx 2 R=x < ag ( 1; a] = fx 2 R=x ag

26 26 Observação: ( 1, + 1) = R EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Se A = fx 2 R=2 x < 5g e B = fx 2 R=3 x < 8g, determine A \ B, A [ B, e A B. 2. Se A = fx 2 R= 2 x 0g e B = fx 2 R=2 x < 3g, determine A \ B, A [ B, e A B. 3. Determine A \ B, A [B, e A B quando: a) A = fx 2 R=0 < x < 3g e B = fx 2 R=1 < x < 5g b) A = fx 2 R= 4 < x 1g e B = fx 2 R=2 x 3g c) A = fx 2 R= 2 x < 2g e B = fx 2 R=x 0g 4. Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos: a) ] 10; 5[ b) [3; 6] c) [0; 9] d) [ 4; 8[ e) ] 5; +1[

27 27 3. CAPÍTULO FUNÇÕES 3.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração, economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como crescimento e decrescimento, função linear, igualdade de funções, operações com funções, domínio de uma função real e representação grá ca, sempre associados a aplicações nas áreas administrativas, econômica e contábil. A parte da Matemática moderna gira em torno dos conceitos de função e de limite, e ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela, bem como em outras áreas de conhecimento CONCEITO DE FUNÇÃO Na análise de fenômenos econômicos, muitas vezes usamos funções matemáticas para descrevê-los e interpretá-los. Nesse sentido, as funções matemáticas são usadas como ferramentas que auxiliam na resolução de problemas ligados à ciências econômicas, administrativas e contábeis. Nesta seção descreveremos o conceito de função e algumas de suas representações. EXPLORANDO INTUITIVAMENTE A NOÇÃO DE FUNÇÃO. Analise as seguintes situações: Número de litros de gasolina e preço a pagar. Considere a tabela ao abaixo que relaciona o número de litros de gasolina comprados e o preço a pagar por eles: Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados. Número de litros Preço a pagar (R$) 1 2,50 2 5,00 3 7, , ,00 Preço a pagar: R$ 2,50 vezes o número de litros comprados. Pergunta-se: a) Qual valor será pago por 23 litros de gasolina? b) Quantos litros de gasolina poderão ser comprados com R$ 30,80? Exemplo 1: Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 Km/h.

28 28 a) Construa uma tabela que indique a correspondência entre a quantidade de horas (1,2,3,4,5) e a distância percorrida. b) O que é dado em função do quê? c) Qual é a regra que associa o número de horas e a distância percorrida? d) Nesse caso, se o carro percorreu 225 Km, quantas horas ele gastou? e) Se a viagem durasse 6 horas, quantos quilômetros seriam percorridos? 3.3. NOÇÃO DE FUNÇÃO VIA CONJUNTOS. Dados os conjuntos A e B, dizemos que uma relação y = f(x) é uma função de A em B, se e somente se, a cada elemento x 2 A, corresponder através de um único número y 2 B. Os conjuntos A e B são chamados respectivamente de domínio e contradomínio de f(x). Observe a Fig.1. FIG. 3.1 Notação : f : A! B x 2 A :! y 2 B Exemplo 2: Dados os conjuntos A={1,2,3) e B={1,2,3,4,5,6}, vamos considerar a função f : A! B de nida por f(x) = 2x. a) Faça o diagrama da função f: b) Qual o domínio da função f? c) Qual a imagem da função f? Exemplo 3:Dada a função de nida por f(x) = x 2 alguns pontos que é a imagem da função. 4 com domínio D = [0; 6], encontre 3.4. IGUALDADES DE FUNÇÕES Duas funções f e g são iguais quando possuem o mesmo domínio D e ainda f(x) = g(x), para todo x 2 D. Exemplo: Veri que se as funções f e g são iguais, onde f é de nida por f(x) = x 2 3 com domínio D = [0; 5] e g de nida por g(x) = x(x 3) + 3x 3 com domínio D = [0; 5].

29 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Sejam f e g funções reais de variável real. De nimos a soma, a diferença, a produto e o quaociente de f e g pelas seguintes expressões, respectivamente: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) (f:g)(x) = f(x):g(x) f g f(x) (x) = ; onde g(x) 6= 0 g(x) Por exemplo, se f(x) = 2x 3 e g(x) = 4x + 1, calcule a soma, a diferença, o produto e o quociente de f e g. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Sejam as funções f(x) = 5x + 1 e g(x) = x 2 2 ambas de nidas em um domínio D. Calcule a soma f(x) e g(x). 2. Sejam as funções f(x) = x 2 e g(x) = 2 x ambas de nidas em um domínio D. Calcule o produto das funções. 3. Sejam as funções f(x) = x e g(x) = 4 x 2, ambas de nidas no domínio D = [3; 20]. Calcule o quocinete da função f(x) pela função g(x) ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL Normalmente, para que uma função f seja bem caracterizada, é necessário que se conheça a lei de correspondência (lei de formação) que associa x (variável independente) a y ( variável dependente), além do domínio de f. Muitas vezes se faz referência a uma função f dizendo apenas qual é a lei de coorrespondência. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f, deve-se subentender que D é formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, efetuando os cálculos, resulte um y real. Vejamos alguns exemplos resolvidos: 1. O domínio da função de nida pela lei y = 2x 1 é R, pois, qualquer que seja o valor de x (real), o número 2x 1 também é real. 2. O domínio da função de nida pela lei y = x2 5; er f2g, pois para todo x real x 2 diferente de 2, o número x2 5 é real. x 2 3. O domínio da função y = p x é R +, pois só para valores negativos de x é que p x não é real. 4. A função y = 1 x 2 + p x 1 tem domínio D = fx 2 R=x 1ex 6= 2g, pois y só é real se x 1 0 e x 2 6= 0:

30 30 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Qual o domínio das funções abaixo: a) y = x 2 10x + 4? b) y = x+1 2x 8 c) y = 3 p x 5 d) f(x) = 1 x 1 e) g(x) = 10x+3 x 2 9 f) h(x) = p x + 4 g) k(x) = x A função f : R! Ré dada por f(x) = x + 2 x. Determine: a) f(3) b) f( 1 2 ) c) f(k + 1) 3. Dadas as funções f(x) = 2x 3e g(x) = 3x + a. Determine o valor de a sabendo que f(2) + g(2) = Expressa por meio de uma fórmula matemática a função que a cada real x associa: a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três 5. Uma livraria vende uma certa revista por R$ 15,00 a unidade. Considerando x a quantidade vendida, expresse por meio de uma fórmula matemática a função receita total como função da quantidade vendida. 6. Se A = f 2; 1; 0; 1g e de nida por f(x) = x 2 1 calcule Im(f) Plano Cartesiano Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes ( ), lósofo e matemático francês.o nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo Ox) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P = (a; b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

31 31 y Ordenada abscissa x FIG. 3.2 O primeiro número indica o deslocamento a partir da origem para a direita (se for positivo) ou para a esquerda (se for negativo). O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se for positivo) ou para baixo (se for negativo). Observe no desenho, abaixo, que: (a; b) 6= (b; a) se a 6= b. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme mostra a gura abaixo.

32 32 FIG Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B não vazios, de nimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x; y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. Se A possui m elementos e B possui n elementos, então A B possui m n elementos. A B = f(x; y) : x 2 A e y 2 Bg (20) Exemplo: Dados A = fa; b; c; dg e B = f1; 2; 3g, encontre o produto cartesiano AB. Referência Histórica: Leonhard Euler ( ), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos in nitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO Vamos, agora construir grá cos de funções determinadas por leis de formação y = f(x) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Para construir o grá co de uma função dada por y = f(x), com x2 D, no plano cartesiano, devemos: Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores correspondentes para y = f(x); A cada par ordenado (x; y) da tabela associar um ponto na plano cartesiano; Marcar um número su ciente de pontos, até que se tenha uma idéia do grá co da função (esboço do grá co). Exercícios Resolvido

33 33 Construa o grá co da função dada por f(x) = 2x + 1. Resolução: Inicialmente escolhemos alguns números aleatórios no domínio da função dada para colocarmos na tabela. Como nesse caso temos como domínio o conjunto dos números reais, podemos escolher qualquer um.veja a tabela abaixo. x y = f(x) = 2x Agora, colocamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na tabela acima. Desta forma, temos um esboço do grá co da função dada por f(x) = 2x + 1: FIG. 3.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Construa uma representação grá ca que se aproxime das funçãoes abaixo. a) f(x) = 2x + 3 b) g(x) = 20 4x 2x + 4; se x 0 c) y = x + 3; se x > 0

34 34 4. CAPÍTULO FUNÇÕES USUAIS 4.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, você analisará as funções constante, linear e suas aplicações estudando conceitos como taxa de variação; função receita, custo, lucro; demanda, oferta, break-even point, juros simples; restrição orçamentária, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar gra camente a função do primeiro grau, obtenção de uma equação linear que passa por dois pontos MODELOS LINEARES Analisaremos agora as funções do primeiro grau (linear); estas representam um dos tipos de funções mais simples e de grande utilização Função do 1 grau No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas. Quantidade(q) Custo(R$) Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta R$10; 00; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumento em R$20; 00. Concluímos que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma função do 1 grau. Para um maior entendimento da função do 1 grau desse exemplo, podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q, pela razão: m = taxa de variação em C taxa de variação em q = 10 5 = = = ::: = 2 (21) Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade na quantidade. Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas, haverá um custo xo de R$100; 00. Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com pessoal etc. De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte variável, o Custo Variável, com uma parte xa, o Custo Fixo: C = C V + C F (22) Para nosso exemplo, podemos modelar a função custo pela relação: C(q) = 2q + 100

35 35 O grá co da função de 1 grau é uma reta, onde m = 2 dá a inclinação da reta e termo independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical (y).observe o grá co abaixo. C 200 C=2q+100 variação em C= variação em q= q FIG. 4.1 Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função Receita obtida com a comercialização das unidades. Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p, pela quantidade, q, comercializada, ou seja, R = p:q. Supondo por exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja de R$7; 00, obtemos a função Receita, que é dada por: R(q) = 7q O grá co para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados. Veja o grá co abaixo. R R=7q 280 variação em R= variação em q= q FIG. 4.2

36 36 Das funções Custo e Receita é natural que passemos a questionar sobre o a função Lucro. De modo geral, podemos expressar a função Lucro fazendo Receita menos Custo, ou seja: Lucro = Receita Custo (23) Para nosso exemplo, se chamarmos L o lucro e supondo que as quantidades produzidas de camisetas são as mesmas comercializadas, então temos: L = R C L(q) = 7q (2q + 100) L(q) = 5q 100 Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função de 1 grau, cujo grá co é uma reta de inclinação m = 5 e que corta o eixo da vertical em 100. Veja o grá co abaixo. L 100 L=5q q 100 FIG. 4.3 Podemos observar pelo grá co que a reta que corta o eixo horizontal em q = 20. Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L = 0: L = 0 5q 100 = 0 Logo, q = 20 Tal valor indica que, se q < 20, temos lucro negativo ( L < 20, o que indica prejuízo) e,se q > 20, temos lucro positivo (L > 0 ).Na verdade, podemos obter a quantidade de dá lucro zero fazendo Receita = Custo. L = 0 R C = 0 R = C Gra camente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even point e é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. No nosso exemplo,

37 37 é dado pelos encontro das retas R = 7q e C = 2q A interpretação do break-even point é mostrada nos grá cos abaixo. R,C R=7q C=2q break even point 20 q L L=5q q FIG. 4.4 Como podemos observar, a função de 1 grau pode ser útil para representar o custo, a receita e o lucro na comercialização de um determinado produto Caracterização Geral De nição: uma função de 1 grau é dada por: y = f(x) = mx + b (24) com m 6= 0, onde: m é chamado de coe ciente angular, ou taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, y, em relação à variável independente, x, e pode ser calculado pela razão: m = Variação em y Variação em x = y x (25)

38 38 gra camente, dá a inclinação da reta que representa a função. b é chamado de coe ciente linear e pode ser obtido fazendo x = 0 gra camente, b dá o ponto em que a reta corta o eixo y. Como já foi dito, m dá a taxa de variação da função, que representa se a função está crescendo ou decrescendo e, gra camente, m dá a inclinação da reta, sendo mais ou menos inclinada positiva ou negativamente. Se m > 0, temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será inclinada positivamente e, quanto maior for o valor de m, maior será o crescimento de y a cada aumento de x, tendo a reta maior inclinação positiva. Se m < 0, temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta será inclinada negativamente Obtenção da função do 1 grau Trabalhando com fenômenos que permitem a representação do modelo matemático por meio de uma função de 1 grau, é importante a obtenção correta da expressão que representa tal função. Em outras palavras, se pudermos representar o modelo por meio de uma expressão do tipo y = mx + b, é importante obtermos de maneira correta os parâmetros m e b. Para a obtenção de m, devemos estar atentos para as informações que dizem respeito às taxa de variação,ou seja, qual a variação da variável dependente em relação à variável dependente, assim podemos utilizar a de nição da Eq(25): m = Variação em y Variação em x = y x Para a obtenção do valor de b, utilizaremos um valor de x, seu correspondente y e o valor de m obtido anteriormente, substituindo tais valores em y = mx + b, desta forma obteremos o valor de b. Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor xo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$840; 00, e que em um mês em que são feitas 20 horas extras, o salário é de R$1000; 00. Obtenha a relação que dá o salário em função das horas extras. Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e (5; 30) e (15; 10). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R$2; 30 por litro. a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V ) em função da quantidade de litros (q) abastecidos por consumidor.

39 39 b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, esboce o grá co da função obtida no item anterior. 2. Um vendedor de planos de saúde recebe de salário R$300; 00, mais uma comissão de R$5; 00 por plano vendido. a) Determine uma expressão que relacione o salário total (S) em função da quantidade de planos (x) vendidos. b) Sabendo que seu salário em um mês foi de R$1550; 00, qual foi a quantidade de planos vendidos? c) Esboce o grá co da função obtida no item (a). 3. Um vendedor de uma confecção recebe um salário de R$350; 00 mais 3% do valor das vendas realizadas. a) Determine uma expressão que relacione o salário em função do valor das vendas realizadas. b) Em um mês em que o salário foi de R$800; 00, qual o valor das vendas? 4. O valor inicial de um carro é R$20:000; 00, e a cada ano esse valor é depreciado em R$1250; 00. a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o grá co da função obtida no item (a). 5. Supondo aplicações no sistema de capitalização simples em que P indica o capital aplicado inicialmente e i a taxa de juros, obtenha para cada item, em função do período, as funções dos juros e do montante, esboçando também seus grá cos. a) P = R$250:000; 00 e i = 3%; b) P = R$4000; 00 e i = 1; 5%; 6. O custo de um produto é calculado pela fórmula c(q) = q, na qual indica o custo (em reais) e q, a quantidade produzida (em unidade). a) Construa o grá co de c em função de q. b) Observando no grá co, qual seria o custo para a produção de 9 unidades do produto?

40 40 7. Observe o grá co abaixo. Qual a função linear deu origem a este grá co? 4.0 y x FIG Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dadas, respectivamente, por C = 3q +90 e R = 5q e, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para o custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os grá cos de custo e receita. Determine também e indique no grá co o break-even point. b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu grá co e determine as quantidades necessárias para que o lucro seja negativo, nulo e positivo. 9. Um fabricante vende um produto por R$0; 80 a unidade. O custo do produto consiste numa taxa xa de R$40; 00 mais o custo de produção de R$0; 30 por unidade. a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto será o lucro ou prejuízo? 4.3. NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA Referência Histórica: Ao desenvolver o plano cartesiano, no início do século XVII, René Descartes revolucionou a maneira de encarar a matemática. Anteriormente a Descartes, a álgebra e a geometria constituíam ramos separados da matemática, com a pequena superposição. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemáticos a possibilidade de resolver problemas algebricamente e gra camente. Faremos uma revisão de alguns conceitos básicos da Geometria Analítica (GA) de Descartes. Nos anos de 1980, a introdução de instrumentos grá cos de fácil manejo, acarretou outra revolução na forma de estudar matemática. Com esta nova tecnologia, podemos estabelecer a analisar modelos matemáticos de forma muito mais simples do que anteriormente.

41 Coe ciente Angular Nesta secção utilizaresmos a linguagem da Álgebra auxiliado pela Geometria Analítica para descrever o conjunto de todos os pontos que pertecem a uma reta. Essa descrição algébrica chama-se equação de reta. O modelo matemático mais simnples para relacionar duas variáveis é a equação linear y = mx + b. Esta equação é chamada linear porque seu grá co é uma linha reta. No entanto, é necessário, discutir um importante conceito preliminar. O coe ciente angular de uma reta é o número de unidades que a reta se eleva (ou desce) verticalmente para cada unidade de variação horizontal da equerda pra a direita. Como vimos na Eq(25) o coe cinte angular é a taxa de varição em y (y) dividido pela taxa de variação em x (x). Agora vamos ver esse conceito do ponto de vista geométrico. Escolhemos dois pontos distintos da reta, digamos P 1 = (x 1 ; y 1 ) e P 2 = (x 2 ; y 2 ). Então, o coe ciente angular é denotado por m e de nido como sendo a razão: m = y 2 y 1 x 2 x 1 Observe a gura abaixo, nela está representado o coe ciente angular da reta que passa pelo pontos P 1 e P 2. (26) FIG. 4.6 Se invertermos a ordem de subtração no numerador e no denominador, o sinal de cada um deles muda, mas m penrmanece inalterado, ou seja: m = y 2 y 1 x 2 x 1 = y 1 y 2 x 1 x 2

42 42 Isto mostra que o coe ciente angular pode ser calculado como a diferença das coordenadas y dividida pela diferença das coordenadas x, numa das duas possíveis, contanto que ambas as diferenças sejam formadas na mesma ordem. Dai vemos que o coe ciente angular é simplesmente a variação em y quando um ponto (x,y) se move ao longo da reta de tal modo que x cresça de uma unidade. Temos portanto, as seguintes correlações importantes entre o sinal de m e as direções indicadas: m > 0; a reta tem inclinação àdireita m < 0; a reta tem inclinaçao à equerada m = 0; a reta é horizontal. Exemplo 1. Determine o coe ciente angular da reta que passa pelos pares de pontos. a) ( 2; 0) e (3; 1) b) ( 1; 2) e (2; 2) c) (0; 4) e (1; 1) d) (3; 4) e (3; 1) Equação de reta que passa por dois pontos. Se (x 1 ; y 1 ) é um ponto de uma reta de coe ciente angular m e (x; y) é um ponto arbitrário da mesma reta, então: m = y y 1 x x 1 Esta equação, envolvendo as variáveis x e y, pode ser na forma: y y 1 = m(x x 1 ) (27) A Eq(27) é a equação da reta com coe ciente angular m e que passa pelo ponto (x 1 ; y 1 ), podemos ainda escrever a Eq(27) de uma outra forma: y = m(x x 1 ) + y 1 Exercício resolvido: Dado os pontos (4; 3) e (0; passa por esses dois pontos. (28) 5), escreva a equação de reta que

43 43 Incialmente vamos encontrar o coe ciente angular. m = = 8 4 = 2 Agora utilizando a Eq(28) vamos encontrar a equação de reta. Sabemos que m = 2, então escolhemos um ponto arbitrariamente. Seja (4; 3) o ponto escolhido.dai segue-se que: y = m(x x 1 ) + y 1 y = 2(x 4) + 3 y = 2x y = 2x 5 Desta maneira encontramos a equação de reta que tem o coe ciente angular igual a 2 e passa pelo ponto (4; 3). Observação: A reta pode se apresentar na forma de equação geral: ax + by + c = 0 ou na forma de equação reduzida: y = ax + b, onde a = m ( coe ciente angular) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Encontre a equação de reta que passa pelos pontos: a) (0; 0) e ( 1; 3) b) (2; 3) e (2; 2) c) ( 3; 6) e (1; 2) d) (6; 1) e (10; 1 2. Escreva a equação de reta conhecido o seu coe ciente angular e um ponto dado. a) (0; 3) e m = 3 4 b) ( 2; 7) e m = 2 3 c) (0; 2) e m = 4 d) ( 2; 4) e m = Retas Paralelas e Retas Perpendiculares O coe ciente angular de uma reta constitui um recurso convenienete para determinar se duas retas são paralelas ou perpendiculares. 1. Duas retas distintas não-verticais são paralelas se e somente se seus coe cientes angulares são iguais, ou seja,

44 44 m 1 = m 2 : 2. Duas retas distintas não-verticais são perpendiculares se e somente se o produto de seus coe cientes angulares for igual a 1, ou seja, m 1 m 2 = 1 Exemplo:Determine a equação de reta que passa pelo ponto (2,-1) e é: a) Paralela à reta 2x 3y = 5; b) Perpendicular à reta 2x 3y = 5; EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto dado e é paralela à reta dada e perpendicular à reta dada. Faça o grá co das três equações no mesmo sistema de eixos coordenados. a) ( 3; 2) e x + y = 7 b) ( 6; 4) e 3x + 4y = 7 c) (2; 1) e 4x 2y = 3 d) (1; 1) e 2x + 3y = Intersecções de Retas Finalmente, lembramos que, quando trabalhamos simultaneamente com duas ou mais funções do 1 grau (linear), podemos investigar se tais funções têm valores em comum, ou seja, se há encontro das retas que representam as funções. Uma aplicação comum em administração, economia e contábeis, que envolve os pontos de intersecção, é a análise do ponto de equilíbrio (break-even point). O lançamento de um novo produto exige tipicamente um investimento especial. Uma vez vendido um número su ciente de unidades, de modo que a receita total passe a superar a custo total, a venda do produto atinge seu ponto de equilíbrio. O custo total da produção de x unidades é representado por C e a receita total da venda de x unidades do produto é representada por R. Podemos então achar o ponto de equilíbrio igulando o custo C à receita R, e resolvendo a equação em função de x. Matematicamente, isso signi ca dizer que estamos resolvendo um sistema de equação linear. Para investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resolver os sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema: y = mx + b S = y = m 0 x + b 0 Observações:

45 45 Se S tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em um único ponto comum, dizemos que tal sistema é possível e determinado; Se S não tiver solução, notamos que as retas não se interceptam, ou seja, são paralelas e dizemos que o sistema é impossível. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Encontre se possível, em cada caso, o ponto de encontro de cada uma das retas abaixo. a) 2x + y = 10 e 3x 2y = 1 b) 2x + 3y = 10 e 4x y = 1 2. Um industrial fabrica um produto ao custo de $0; 65 por unidade e vende-o a $1; 20 por unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de $10:000; 00. Quantas unidades o industrial deve vender para atinguir o ponto de equilíbrio? 3. Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções. a) x + y = 2 e 2x y = 1 b) 2x 3y = 13 e 5x + 3y = 1 c) x + y = 7 e 3x 2y = O custo mensal xo de uma fábrica que produz esquis é $4:200; 00 e o custo variável é $55; 00 por par de esquis. O preço de venda é $105; 00 por par de esquis. a) Se x pares de esquis são vendidos durante um mês, expresse o lucro mensal como uma função de x. b) Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro de dezembro se 600 pares de esquis forem vendidos nesse mês. c) Quantos pares de esquis devem ser vendidos para que a fábrica encerre um mês sem lucro nem prejuízo?

46 46 5. CAPÍTULO FUNÇÃO QUADRÁTICA 5.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções do segundo grau a partir da construção e análise de seu grá co. No esboço grá co da função do segundo grau, será dada atenção especial para a parábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para determinação de valores máximos e mínimos e intervalos de crescimento (ou decrescimento) das funções associadas UM MODELO DE FUNÇAO DO 2 GRAU Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polinomiais do segundo grau, chamadas simplesmente de funções do segundo grau. Uma dessas situações é a obtenção da função receita quando consideramos o preço e a quantidade comercializada de um produto. Sabemos que a receita R é dada pela relação: R = p:q em que p representa o preço unitário e a quantidade comercializada do produto. Por exemplo, se o preço dos sapatos de uma determinada marca variar de acordo com a relação: p = 2q podemos estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão: R = p:q R = ( 2q + 200):q R = 2q q Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um grá co a partir de uma tabela com algumas quantidades de sapatos vendidos e receitas correspondentes. Receita para a venda de pares de sapatos Quantidade (q) Receita($) Gra camente, temos a curva conhecida como parábola:

47 47 FIG. 5.1 Nessa parábola, convém observar alguns aspectos interessantes associados à função: R = 2q q A concavidade está voltada para baixo, pois o coe ciente do termo 2q 2 é negativo. O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0: R = 2(0) (0) = 0 Os pontos em que a curva corta o eixo q, ou seja as raízes da função, são obtidos fazendo R = 0: R = 2q q = 0 q = 0 ou q = 100 O vértice V = (50; 5000) da parábola em que q v raízes e R v = 5000 é a receita correspondente. = 50 é a média aritmética das Especi camente para essa função do 2 grau, o vértice é importante, pois nos dá a quantidade q v = 50 que deve ser comercializada para que a receita seja máxima R v = 5000.

48 CARACTERIZAÇÃO GERAL De nição: uma função do 2 grau é dada por: y = f(x) = ax 2 + bx + c (29) com a 6= 0: Para a obtenção do grá co, conhecido como parábola, devemos observar passos abaixo: e seguir os O coe ciente determina se a concavidade é voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0): a > 0 a < 0 y y x x O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e pode ser obtido fazendo x = 0; Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função y = f(x) = ax 2 + bx + c e podem ser obtidos fazendo y = 0: Para tal resolução dessa equação, utilizaremos a fórmula resolutiva de uma equação do 2 grau, (também conhecida como fórmula de Báskara): = b 2 4ac (30) x = b p 2a O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x, depende do discriminante (), em resumo temos: = 0 A função possui apenas uma raiz real (a parábola intercepta o eixo x em apenas um ponto): (31)

49 49 y x > 0 A função possui duas raízes reais (a parábola intercepta o eixo x em dois pontos): y x < 0 A função não possui nenhuma raiz real (a parábola não intercepta o eixo x): y x Observação: As três parábolas mostradas nas guras acima estão indicadas como sendo a > 0, caso, tivéssemos a < 0, as parábolas estariam com a concavidade voltada para baixo VÉRTICE DA PARÁBOLA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA O vértice de uma parábola é o ponto onde ela muda de sentido. Veja a gura abaixo:

50 50 O vértice de uma função quadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c é dado pela fórmula: x v = b 2a y v = 4a Logo podemos descrever o vértice como sendo: b V = 2a ; 4a (32) 5.5. PRINCIPAIS PONTOS DE UMA PARÁBOLA

51 IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do grá co e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo e mínimo. Veja os exemplos: 1. Encontre a imagem da função dada por f(x) = 2x 2 8x. Inicialmente, vamos encontrar o vértice da função. O vértice determina se o ponto é mínimo ou máximo, e a partir daí podemos encontrar a imagem de f(x). x v = b 2a = ( 8) 2(2) = 8 4 = 2 y v = 4a = (b2 4ac) 4a = [( 8)2 4(2):(0)] 4(2) = (64) 8 = 8 Daí segue que V = (2; termos a seguinte gura: 8 y 8). Desta forma se zermos o esboço do grá co da função f(x) x Neste caso podemos observar facilmente que o mínimo da função é 12 a imagem 14 é dado por: 8, e segue-se que Im(f) = fy 2 R = y 8g 22 De forma geral, seja f : R! R, onde f(x) = ax 2 + bx + c com a 6= 0 e vértice igual a V = (x v ; y v ), então a sua imagem é dada por: a > 0 ) y v é o valor mínimo da função, então Im(f) = fy 2 R= y y v g a < 0 ) y v é o valor máximo da função, então Im(f) = fy 2 R= y y v g

52 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA O crescimento de uma função quadrática depende do valor do coe ciente a da função f : R! R, de nida por f(x) = ax 2 + bx + c com a 6= 0. Para descobrirmos em qual intervalo a função é crescente e ou decrescente, devemos analisar os valores em x (domínio), para assim estabelecermos o intervalo de crescimento e ou decrescimento da função, oberserve as guras abaixo. 1 caso: a > 0 1 caso: a < 0 Observações: No 1 caso a função f é decrescente na intervalo ( (x v ; +1). 1; x v ) e crescente no intervalo No 2 caso a função f é crescente no intervalo ( (x v ; +1). 1; x v ) e decrescente no intervalo EXERCÍCIOS PROPOSTOS

53 53 1. Faça o estudo do crescimento e decrescimento das funções abaixo. a) f(x) = x 2 3x 4 b) f(x) = 3x 2 + 2x + 1 c) f(x) = x 2 + 4x + 4 d) f(x) = x 2 + 4x Em uma certa plantação de feijão, a produção P, de feijão depende da quantidade q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = 3q q Considerando nessa lavoura a produção medida em Kg e a quantidade de fertilizante em g=m 2, faça um esboço do grá co, comente os signi cados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima. 3. Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 21 dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de aparelhos vendidos, dados por N, em um função do número de dias, dado por t, pode ser obtido por N = 0; 25t 2 4t Diante dessa situação, esboce o grá co da função salientando os principais pontos e seus signi cados. 4. Em um ano, o valor v, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, indicados por t, é dado pela expressão v = 2t 2 20t Sabendo que o valor da ação é dado em reais (R$), faça um esboço do grá co, comente o signi cado dos principais pontos e determine a variação percentual da ação após um ano. LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C(x) = x 2 80x Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; b) o valor mínimo do custo; 2. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, veri cou-se que R(x) = 6000x x 2 e C(x) = x x. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 3. Para um determinado produto comercializado, a receita e o custo são dados, respectivamente, por R = 2q q e C = 200q Obtenha então:

54 54 a) Os grá cos da receita e custo do produto comercializado. b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade para que a receita seja máxima e a receita máxima. c) Os break-even points e seu signi cado. d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo. e) A função lucro e o seu grá co. f) A quantidade pra que o lucro seja máximo e o lucro máximo correspondente. 4. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E = t 2 8t + 210, onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = 1 a fevereiro e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195Kwh. b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano. c) Esboce o grá co de E. 5. O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros pode ser modelado pela expressão N = t t + 32, onde representa o mês da venda. a) Esboce o grá co dessa função a partir de uma tabela com o número de apólices vendidas para os dez primeiros meses de vendas. b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo número de apólices e qual o número máximo vendido? c) Qual a média de apólice vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para os dez primeiros meses? 6. Para cada item a seguir, esboce o grá co a partir da concavidade, dos pontos em que a parábola cruza os eixos e o vértice. a) y = x 2 4x 5 b) y = x 2 8x + 16 c) y = 3x 2 + 6x + 9 d) y = x 2 + 4x 6 e) y = 4x x + 16 f) y = 2x2 4x 2

55 55 7. O valor em (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão pode ser modelado pela expressão V = 0; 5t 2 8t Considere t = 0 o momento inicial de análise; t = 1 após um dia; t = 2 após dois dias e assim sucessivamente. a) a) Esboce o grá co indicando os principais pontos e o eixo de simetria. b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o valor mínimo? c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente? d) Determine a variação percentual do valor da ação após vinte dias de pregão. 8. Para a comercialização de relógios,um lojista nota que a receita é dada por R = 3q q e o custo é dado por C = 2q q a) Esboce o grá co da receita e custo sobre o mesmo sistema de eixos coordenados. b) Determine os break-even points. c) Indique no grá co do item anterior as quantidades para as quais o lucro é positivo. d) Obtenha a função lucro e esboce o grá co, indicando os principais pontos. e) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo? f) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo?

56 56 6. CAPÍTULO APLICAÇÕES DE FUNÇÕES 6.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, você estudará aplicações de funções em problemas de microeconomia, tais como: demanda de mercado, oferta de mercado, equilíbrio de mercado (break evenpoint), receita total, lucro total. Você analisará como problemas de microeconomia entre outros podem ser estudados como modelos matemáicos e ainda poderá fazer inferência a partir das terias de funções estudadas nos capítulos anteriores DEMANDA DE MERCADO A teoria Microeconômica ou teoria dos Preços, como também é conhecida, preocupa-se em estudar o comportamento econômico das unidades econômicas individuais, tais como consumidores, empresários e proprietários de recursos. Ela trata, basicamente, dos uxos dos recursos produtivos (ou seus serviços) dos seus proprietários para as empresas, da composição desses uxos e da formação dos preços dos componentes desses uxos. O termo demanda é empregado para fazer referência a toda uma escala de demanda ou curva de demanda. Um ponto na curva de demanda é chamado ponto de quantidade demandada e indica uma única relação preço quantidade. Seja U uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja D a demanda ou procura de mercado desta utilidade a um preço P, isto é, a soma das quantidades que todos os compradores do mercado estão dispostos e aptos a adquirir ao preço P, em determinado período de tempo, que pode ser dia, uma semana, um mês, um ano, etc. A função que a todo preço P associa a demanda ou procura de mercado ao preço P é denominada função demanda ou função mercado da utilidade, no período considerado. A representação grá ca desta função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade. Exemplo: A função dada por D = 45 5P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e D é a demanda de mercado correspondente. Responda: a) Qual o intervalo de variação de P? b) Qual a intervalo de variação de D? c) Construa a representação grá ca da função demanda OFERTA DE MERCADO Consideremos uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta utilidade a um preço P, isto é, a soma das quantidades que todos os produtos serão dispostos e aptos a vender ao preço P, durante um certo período de tempo. A função que a todo preço P associa a oferta de mercado ao preço P é denominada função oferta de mercado da utilidade, no período considerado. A representação grá ca desta função constitui a curva de oferta da utilidade. Exemplo: A função dada por S = 5 + P, com 0 < P 20, onde P é o preço por 2 unidade e S é a correspondente oferta de mercado.

57 57 a) Construa a representação grá ca desta função. b) Qual o valor mínimo de P para que a oferta seja positiva? 6.4. RECEITA TOTAL Seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidades seja um preço xo P o, para quantidades compreendidas entre q 1 e q 2 unidades. A função dado por: RT = P o :q (33) com q 1 q q 2 é denominada função receita total ou simplesmente receita total Exemplo: Uma empresa fabrica mensalmente 50 produtos de beleza da marca Pele Lisa. Cada produto tem o preço de venda xado em R$4; 00. a) Encontre a função Receita Total dessa empresa. b) Construa o grá co dessa função. c) Se a empresa vender 38 produtos, qual o valor da receita total referente a esses produtos? Observação: Considere agora a questão da receita, quando o preço de venda não for xo. Dada uma utilidade qualquer, seja A o conjunto de todos os pares (P; D) em que D é a demanda de mercado da utilidade ao preço P. A função que a todo par (P; D) 2 A associa o número: RT = P:D (34) é denominada de função receita total associada à venda da utilidade.(quando o preço não é xo). Exemplo: Suponhamos que a demanda de mercado seja dada por D = 40 5P, em que 0 < P < 8 e 0 < D < 40. a) Encontre a função receita total. b) Esboce o grá co da receita total.

58 CUSTO TOTAL O custo total (CT) em qualquer nível de produção é a soma do custo xo (CF ) e do custo variável (CV ) à aquele nível de produção. O custo xo permanece constante em todo o nível de produção e normalmente incluem fatores como aluguel, juros, instalação, equipamentos. O custo variável é aquele que varia com a produção e incluem fatores como mão-de-obra, matérias-primas e gastos promocionais. Exemplo: Uma companhia investiu R$98000; 00 em equipamentos para fabricar um novo produto. Cada unidade do produto custa R$12; 30 e é vendida por R$17; 80. Seja x o número de unidades produzidas e vendidas. A companhia deseja quitar o investimento assim que tiver lucros sobre as vendas. a) Escreva o custo total C como função de x. b) Escreva a receita total R como função de x. c) Escreva o lucro L como função de x. d) Construa o grá co da função L(x). e) Quantas unidades de x devem ser vendidas para que a companhia recupere todo o investimento feito em equipamentos? 6.6. EQUILÍBRIO DE MERCADO (BREAK EVEN-POINT) Diz-se que o equilíbrio de mercado ocorre em um ponto (preço) no qual a quantidade demanda dada de um bem ou serviço iguala-se à quantidade de ofertada. Esse encontro é chamado de preço de equilíbrio e denominaremos de (P E). Veja a gura abaixo: D Curva de oferta Preço de Equilíbrio (PE) Curva de demanda P Exemplo 1 : Estamos estabelecendo um negócio de tempo parcial com investimento inicial de $5000; 00.O custo unitário do produto é de $11; 80 e o preço de venda é de $19; 30. a) Determine as equações do custo total C e da receita R para x unidades.

59 59 b) Determine o ponto de equilíbrio achando o ponto de intersecção das equações de custo e receita. c) Quantas unidades produzirão um lucor de $1000; 00? Exemplo 2 : Um diretório estudantil deseja levantar fundos vendendo camisetas. Cada camiseta custa R$8; 00. O desenhista cobra R$200; 00 pelo Silk screen, mais R$2; 00 por camiseta. Cada camiseta é vendida or R$14; 00. a) Estabeleça equaçoes do custo total C e da receita R para a venda de x camisetas b) Determine o ponto de equilíbio EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. A demanda de mercado de um produto que é vendido em galões é dada por D = P. a) Determinar a intervalo de variação de P b) Determinar a intervalo de variação de D c) Representar gra camente a função demanda d) Calcular os valores da demanda correspondentes aos preços: P = R$40; 00 e P = R$75; 00 e) A que preço a demanda será de 4500 galões? 2. Sendo D = P 2 P + 56 a função demanda de um determinado produto,calcule: a) Qual o valor da demanda de mercado para P = R$6; 00? b) Qual o intervalo de variação de D? c) Qual o intervalo de variação de P? d) Construa o grá co que represente a função demanda. 3. Seja a oferta de mercado de uma utilidade de nida por S = P, com P 270(reias) a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da oferta quando P = R$270; 00? c) A que preço a oferta será de 80 unidades?

60 60 d) A partir de que preço a oferta será maior que 150 unidades? e) Faça o esboço do grá co da função oferta. 4. Seja a oferta de mercado de um produto de nida por S = P 2 11P + 28 com P 60(reais) a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da oferta quando P = R$50; 00? c) A que preço a oferta será de 40 unidades? d) Faça o esboço do grá co da função oferta. 5. Determinar o preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio em cada um dos casos abaixo: a) D = 34 5P e S = 8 + 2P b) D = 10 0; 2P e S = 11 + P 2 c) D = 81 P 2 e S = P 2 P 6 d) D = 2P 2 40P e S = 1 + P 2 6. Uma companhia vende 20:000 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é $14; 00 e a companhia determinou que pode vender 2:000 unidades a mais com uma redução de $2; 00 no preço unitário. Ache a equação de demanda, supondo-se linear, e trace um esboço da curva de demanda.

61 61 7. CAPÍTULO FUNÇÃO EXPONENCIAL 7.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partir do fator multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencial como montante de uma dívida ou aplicação, juros compostos, o crescimento populacional, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar a função exponencial MODELOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS Estudaremos nesta secção problemas e situações práticas que envolvem modelos exponenciais. Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de R$10:000; 00 e cujo montante da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre o montante do mês anterior. Podemos determinar tal montante utilizando um fator multiplicativo: Após o 1 mês: M(1) =Valor inicial+5% do valor inicial M(1) = 10: :10: M(1) = 10: ; 05:10:000 M(1) = 10:000(1 + 0; 05) M(1) = 10:000(1; 05) M(1) = Notamos por esses passos que, se quisermos aumentar em 5% uma quantia, basta multiplicá-la pelo fator 1; 05. Chamaremos esse fator de aumento de fator multiplicativo. Para determinação do montante após dois meses de maneira análoga aos passos anteriores, ressaltaremos o aparecimento do fator multiplicativo. Desta maneira temos: Após o 2 mês: M(2) =Montante após o 1 mês+5% do Montante após o 1 mês M(2) = M(1) + 5%M(1) M(2) = 10: %:10:500 M(2) = 10: ; 05:10:500 M(2) = 10:500(1 + 0; 05) M(2) = 10:500(1; 05) Mas por outro, temos da Eq(??) que M(1) = 10:500 = 10:000(1; 05), então segue que: M(2) = 10:000(1; 05):(1; 05) M(2) = 10:000(1; 05) 2 Após três meses, representando o montante por M(3) temos que: M(3) = 10:000(1; 05) 3

62 62 Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplicativo incidindo no montante do mês anterior, porém podemos simpli car ainda mais tais cálculos e obter o montante de qualquer mês sem, no entanto recorrer ao mês anterior. Na verdade, é possível obter o montante em um mês qualquer a partir do valor inicial e do fator multiplicativo se considerarmos os seguintes raciocínios: Observemos que o montante de cada mês é calculado multiplicando-se o valor anterior pelo fator 1; 05, então temos que: M(1) = 10:000(1; 05) M(2) = 10:000(1; 05) 2 M(3) = 10:000(1; 05) 3 M(4) = 10:000(1; 05) 4 De modo geral, podemos escrever o montante para x meses daseguinte forma: M(x) = 10:000(1; 05) x Nesse exemplo temos que o capital inicial (C ) era de R$10000; 00 e a taxa (i) era de 5% ao mês. Suponha, agora e, então o montante após x meses é dado por: M(x) = C:(1 + i) x Montante do exemplo anterior, é mostrado na gura abaixo. (35) FIG. 7.1 Observação: Notamos que tal função é crescente, e isso se deve ao fato de sua base 1; 05 ser um número maior que 1. Exemplo:Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos uma máquina cujo valor é depreciado no decorrer do tempo a uma taxa xa que incide sobre o valor da máquina no ano anterior. Nessas condições, se o valor inicial da máquina é de R$240:000; 00 e a depreciação é de 15% ao ano, vamos obter o fator multiplicativo e, na seqüência, a função que representa o valor no decorrer do tempo.

63 EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de equações exponenciais: a) 3 x = 81 b) 2 x 5 = 16 Qual a solução das equações acima? Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1. redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2. aplicação de propriedades de potência: Observação: Caso seja necessário volte ao capítulo 1, onde você encontrará todas as fórmulas para equação exponencial CARACTERIZAÇÃO GERAL DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL De nição: uma função exponencial é dada por: y = f(x) = b:a x (36) com a > 0, a 6= 1 e b 6= 0. O coe ciente b representa o valor da função quando x = 0 e dá o ponto em que a curva corta o eixo y; Se temos a base a > 1, a função é chamada de função crescente; Se temos a base 0 < a < 1, a função é chamada de função decrescente GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL O grá co de uma função exponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades: o grá co nunca corta o eixo das abscissas (Ox), ou seja, a função não tem zeros (raízes); o grá co corta o eixo das ordenadas (Oy) no ponto (0; 1); os valores de y são sempre positivos.

64 64 Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais positivos. Ou seja: D(f) = R Im(f) = R + Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: Base maior que um (a > 1) ) f(x) = a x ; A função é crescente; D(f) = R; Sua imagem são os reais positivos, ou seja, Im(f) = R +; Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 ) y 2 > y 1. Acompanhe o exemplo abaixo: f(x) = 2 x (nesse caso, a = 2, logo a > 1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o grá co abaixo: x y FIG. 7.2

65 65 Base entre zero e um (0 < a < 1) ) f(x) = a x ; A função é decrescente; D(f) = R; Sua imagem são os reais positivos, ou seja, Im(f) = R +; Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 ) y 2 < y 1. Acompanhe o exemplo abaixo: f(x) = 2 1 x (nesse caso, a = 1, logo 0 < a < 1) 2 Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o grá co abaixo: x y FIG. 7.3 As funções exponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2; 7182:::, número irracional chamado número de Euler. A função exponencial f(x) = e x é chamada de função exponencial natural. Para simpli- car a tipogra a, esta função é, algumas vezes, escrita como exp(x). Assim, por exemplo, você pode ver a relação e x 1+x 2 expressa como exp(x 1 + x 2 ) = exp(x 1 ):exp(x 2 ) Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função e x com alguma variação do comando EXP. Voltaremos a falar de exponencial e x, mas como a sua inversa que chamaremos de ln(x); quando falarmos sobre logarítmos. Exercícios Propostos

66 66 1. Trace o grá co das funções abaixo. a) f(x) = 6 x b) f(x) = ( 1 5 )x c) f(x) = 2 x LOGARÍTMO DEFINIÇÃO DE LOGARITMO DE UM NÚMERO Dados os números reais positivos a e b, com b 6= 1, chamamos de logaritmo de a na base b, o número real c, que deve ser o expoente de b, para que a potência seja igual ao número a, ou seja: log b a = c, a = b c (37) Com a > 0, b > 0 e b 6= 1: Neste caso a é chamado de logaritmando, b é chamado de base e c é o logaritmo. De acordo com a de nição, podemos escrever, por exemplo: log 2 8 = 3, 2 3 = 8 log 5 25 = 2, 5 2 = 25 No primeiro exemplo, 2 é a base; 8 o logaritmando ou antilogaritmo e 3 é o logaritmo. No segundo exemplo, 5 é a base; 25 é o logaritmando ou antilogaritmo e 2 é o logaritmo. Notamos que respeitadas as condições de existências, podemos escrever logaritmos em diversas bases, porém as bases mais usadas nos cálculos matemáticos e nos estudos de fenômenos naturais são a base 10 e a base e, onde e é um número irracional e seu valor é aproximado é e = 2; 71828:::, como já mostramos anteriormente. Quando se trabalha na base 10, denotamos log 10 c = x simplesmente por log c = x: Por exemplo: log 1000 = 3 ) 10 3 = 1000 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule os logaritmos abaixo nas respectivas bases. a) log 2 64 b) log 3 27 c) log 2 32 d) log 5 125

67 67 2. Calcule o valor de x. a) log x 8 = 3 b) log x 81 = 4 c) log 2 x = 5 d) log 4 x = 3 3. Dados log 2 = a e log 3 = b, qual o valor de log 60, em função de a e b. 4. Resolva as equações abaixo. log 2 (x 3) = log 2 (x) = 2 log 2 (x + 1) = 4 log x 3 (9) = 2 De modo análogo à base de 10, ao trabalhar na base e denotamos simplesmente por ln c = x (chamado de logaritmo natural). Em outras palavras, os símbolos log e e ln são iguais. Enfatizaremos o logaritmo escrito na base e, também conhecido como logaritmo natural, pois tal base é comum em muitos fenômenos naturais, bem como em várias aplicações nas áreas de administração e economia. As calculadoras cientí cas possuem as teclas log e ln e que calculam o valor do logaritmo nessas bases. As calculadoras nanceiras possuem pelos menos a tecla ln, que fornece o logaritmo natural, por esse motivo estaremos priorizando essa notação para o desenvolvimento das propriedades e dos problemas adiante. Nesse sentido, por exemplo, se em sua calculadora você digitar 200 e acionar a tecla ln, o resultado obtido será 5; , o que indica simplesmente que: ln 200 = log e 200 = 5; PROPRIEDADES DOS LOGARÍTMOS Na manipulação dos logaritmos, podemos trabalhar com muitas propriedades, entretanto, conforme proposto, vamos estabelecer apenas as propriedades necessárias para a resolução das equações que seguem nos problemas envolvendo funções exponenciais. Cabe ainda lembrar que as propriedades desenvolvidas a seguir são expressas nas base e, sendo válidas de forma similar, para outras bases. No que se segue, temos que a > 0, b > 0, e k 2 R. ln (a b) = ln(a) + ln(b) ln a b = ln(a) ln (b) ln (a) k = k: ln(a)

68 68 Decorre da de nição de logaritmo que ln(1) = 0, pois pelas propriedades de potências temos que e 0 = 1, e também que ln(e) = 1, pois e 1 = e. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por M(x) = C(1 + i 100 )x. Sabe-se que a dívida é de R$10:000; 00 e a taxa de juros ao mês é de 5%. Determine após quanto tempo o montante será de R$40:000; Um carro cujo valor inicial é de R$35:000; 00 e cuja depreciação é de 12; 5% ao ano. Determine após quanto tempo o valor do carro é e metade do valor inicial. 3. Seja uma aplicação nanceira no valor de R$50:000; 00 a uma taxa de juros de 8% ao ano. a) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial. b) Esboce o grá co do montante após x anos. c) Após quanto tempo o montante será de R$80:000; 00? 4. Um trator tem seu valor dado pela função V (x) = 125:000(0; 91) x, onde x representa o ano após a compra do trator e x = 0 o ano em que foi comprado o trator. a) Calcule o valor do trator após 1, 5 e 10 anos da compra. b) Qual o valor do trator da data da compra? c) Qual o percentual de depreciação do trator na data da compra? d) Esboce o grá co de V (x). e) Após quanto tempo o valor do trator será de R$90:000; 00? 5. Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ano. Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que seu valor na compra é de R$45:000; 00: a) Obtenha o valor V como função dos anos x após a compra do automóvel, isto é, V = f(x). b) Obtenha o valor do automóvel após 1, 5 e 10 anos após a compra. c) Esboce o grá co de V (x). d) Utilizando apenas a base da função, determine a depreciação percentual em 3 anos. e) Após quanto tempo o valor do automóvel será de R$25:000; 00? 6. Uma pessoa faz um empréstimo no valor de R$35:000; 00, que será corrigido a uma taxa de 3; 5% ao mês no sistema de juros compostos.

69 69 a) Obtenha o montante da dívida M como função dos meses após a data de empréstimo, isto é, M = f(x) b) Obtenha o montante da dívida após 12, 24 e 36 meses do empréstimo. c) Esboce o grá co de M(x). d) Após quanto tempo o valor do montante será de R$50:000; 00? 7. O preço médio dos componentes de um eletrodoméstico aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio inicial dos componentes é de R$28; 50, e a taxa percentual de aumento é de 4% ao mês. a) Obtenha o preço médio P como função dos meses t após o montante em que foi calculado o preço médio inicial, isto é, P = f(t). b) Calcule o preço médio dos componentes após 1,5 e 10 meses do momento em que foi calculado o preço médio inicial. c) Esboce o grá co de P (t). d) Após quanto tempo o preço médio dos componentes duplicará? 8. Uma cidade no ano de 2000 tinha 1:350:000 habitantes e, a partir de então, sua população cresce de uma forma exponencial a uma taxa de 1; 26% ano. a) Obtenha a população como função dos anos, isto é, P = f(t). b) Estime a população da cidade para os anos de 2001, 2003, 2005 e c) Esboce o grá co de P (t). d) Em que ano a população será de 15:000:000 habitantes? e) Após quanto tempo a população será duplicará?

70 70 8. CAPÍTULO MATRIZES 8.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Neste capítulo você estudará os conceitos básicos sobre matrizes. Estes conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles "ordenan e simpli cam " o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução MATRIZ Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela: Altura (m) Peso(Kg) Idade(anos) Pessoa 1 1, Pessoa 2 1, Pessoa 3 1, Pessoa 4 1, Ao abstraírmos os signi cados das linhas e colunas, temos a matriz: 2 3 1; ; ; ; Observe que um problema em que o número de variáveis e de observações é muito grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente indispensável. Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda outras matrizes REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: 2 3 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A mxn = = [a ij] mxn a m1 a m2 a mn

71 71 Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especi- car a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escreveremos A mxn. Também são utilizadas outras notações para matrizes, além de colchetes, como parentêses ouduas barras. Por exemplo: 2 1 e Veremos neste curso que serão utilizadas as matrizes na representação entre colchetes. Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. Por exemplo, na matriz: A 2x3 = O elemento que está na primeira linha e terceira coluna é 4, isto é, a 13 = 4. Ainda neste exemplo, temos a 11 = 1; a 21 = 4: 8.4. IGUALDADE ENTRE MATRIZES De nição: Duas matrizes A mxn = [a ij ]mxn e B rxs = [b ij ]rxs são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (a ij = b ij ). Exemplo: log = 9 sen TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades que diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, estes tipos de matrizes aparecem frequentemente na prática e, por isso, recebm nomes especiais. Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por A mxn Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, m = n: Exemplos: Matriz Nula é aquela em que a ij = 0, 2 para todo e qualquer 3 i e j: Exemplos: A 2x2 = B 0 0 3x5 = Matriz-Coluna 2 3é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 1 Exemplos: x e y 7 Matriz-Linha é aquela que possui uma núnica linha (m = 1). Exemplos: e

72 72 Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = 0, para i 6= j, isto é, os elementos que não estão na "diagonal 2 " principal 3 são nulos Exemplos: e Matriz Identidade é aquela matriz em que a ii = 1 e a ij = 0, para i 6= j: Exemplos: I 3 = e I 4 = Matriz Triangular Superior é aquela matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e a ij = 0, para i > j: Exemplos: a b e 0 c Matriz Triangular Inferior é aquela matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m 2 = n e a ij = 0, 3 para i < j: Exemplos: e Matriz Simétrica é aquela onde 2 m = n e a 3 ij = a ji : 2 3 a b c d Exemplos: e 6b e f g 7 4c f h i d g i k 8.6. OPERAÇÕES COM MATRIZES Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações. Por exemplo, consideremos as tabelas, que descrevem aprodução de grãos em dois anos consecutivos. Produção de grãos durante o primeiro ano. Soja Feijão Arroz Milho Região A Região B Região C Produção de grãos durante o segundo ano. Soja Feijão Arroz Milho Região A Região B Região C

73 73 Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores: = Ou seja: Produção de grãos durante os dois anos. Soja Feijão Arroz Milho Região A Região B Região C Podemos considerar agora a seguinte situação. Existe muitos incentivos para se incrementar a produção, condições climáticas favoráveis etc., de tal forma que a previsão para a safra do terceiro ano será o triplo da produção do primeiro ano. Assim, a matriz de estimativa de produção deste último será dada por: = Acabamos de efeturar, neste exemplo, duas operações com matrizes: soma e multiplicação por um número, que serão de nidas formalmente a seguir Adição de Matrizes A soma de duas matrizes de mesma ordem, A mxn = [a ij ] e B mxn = [b ij ], é uma matriz de ordem mxn, que denotaremos por A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é: A + B = [a ij + b ij ] mxn Exemplo Resolvido: Seja A = e B = , calcule A + B : ( 1) = 44 + ( 2) = Observação: Pela forma que foi de nida, a adição de matrizes tem as memas propriedades que a adição de números reais.

74 74 PROPRIEDADES Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: i) A + B = B + A (comutatividade) ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn Multiplicação por Escalar Seja A = [a ij ] mxn e k um número, então de nimos uma nova matriz: k:a = [k:a ij ] mxn Exemplo Resolvido 2 10 Seja A =, calcule 2A: A = 2: = PROPRIEDADES Dadas as matrizes A e B de mesma ordem mxn e números k, k 1 e k 2, temos: i) k(a + B) = ka + kb ii) (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A iii) 0 A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula. iv) k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A Transposição de Matrizes Dada uma matriz A = [a ij ] mxn, podemos obter uma outra matriz A t = [b ij ] nxm, cujas as linhas são colunas de A, isto é, b ij = a ji. A t é denominada transposta de A. Exemplo Resolvido: 2 I) Dada a matriz A = encontre a transposta de A. 1 4 A t = II) Dada a matriz B = 1 3 encontre a transposta de B. 3 2

75 75 B t = PROPRIEDADES i) Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é, se, e somente se A = A t. (observe o exemplo II acima) ii) (A t ) t = A. Isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. iii) (A + B) t = A t + B t. Em palavras, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas Multiplicação de Matrizes Antes de de nirmos formalmente a opreção de multiplicação de matrizes vamos a um exemplo prático. Supnhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I, II e III. A B C Alimento I Alimento II Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? Podemos representar o consumo dos alimentos I e II ( nesta ordem) ela matriz "consumo " 5 2 A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o "produto": = [( ) ( ) ( )] = Isto é, serão ingeridas 3o unidades da vitamina A, 15 de B e 2 de C. Outro problema que poderermos considerar em relação aos dados anteriores é o seguinte: Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A, B, e C respectivamente, 1:5, 3 e 5 u.c.p., quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente? 2 3 1: = [30 1: ] = [100] 5 Ou seja, pagaríamos 100 u.c.p.

76 76 Multiplicação de Matrizes DEFINIÇÃO: Sejam A = [a ij ] mxn e B = [b rs ] nxp : De nimos AB = [c uv ] mxp tal que: c uv = nx a uk b kv = a u1 b 1v + + a un b nv k=1 Observações: i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes A mxn e B lxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = l. Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem mxp. ii) O elemento c ij (i-ésima linha e i-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeria matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. Exemplos Resolvidos (2:1 + 1:0) (2: (1) + 1:(4) 2 2 I) = 4(4:1 + 2:0) (4:( 1) + 2:4) 5 = x2 (5:1 + 3:0) (5:( 1) + 3:4) 5 7 3x II) Não é possível efetuar esta multiplicação, porque o número 0 4 2x x2 de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda III) = x x2 4x3 3x2 PROPRIEDADES i) Em geral AB 6= BA (podendo mesmo um dos membros estar de nido e o outro não) Exemplo: Sejam A = e B = Então AB = e BA = ii) AI = IA = A ( isto signi ca o nome da matriz identidade) iii) A(B + C) + AB + AC (distributiva à esquerda da multiplicação, em relação à soma) iv) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita da multiplicação, em relação à soma)

77 77 v) (AB)C = A(BC) (associativa) vi) (AB) 0 = B 0 A 0 (observe a ordem!) vii) 0 A = 0 e A 0 = 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Sejam A = 1 2 3, B = Encontre: a) A + B b) A:C c) B:C d) C:D e) D:A , C = e D = 2 1 f) D:B 2 x 2. Seja A = 2. Se A 2x 1 0 t = A, então qual o valor de x? x y Encontre o valor de x, y, z, w se = z w Se A =, ache B de modo que B = A: Um construtor tem contratos para construir e estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa é dada pela matriz: Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno Mediterrâneo Colonial a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?

78 78 b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado?

79 79 9. CAPÍTULO SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 9.1. OBJETIVO DO CAPÍTULO Nosso obejtivo nesse capítulo é estudar um método para resolução de sistemas lineares em geral. A técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de sistemas muito simlples, mas tem a vantagem poder ser aplicada sempre e facilmente mecanizada. É particularmente útil em sistemas com grande número de incógnitas onde o uso de calculadoras é inevitável. Em síntese, este método, consiste em substituir inicial por sistemas cada vez mais simples, sempre "equivalentes "ao original, fazendo uso da álgebra matricial vista no capítulo anterior CONCEITOS Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: 8 >< >: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 2 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x b = b m ((i)) com a ij ; 1 i m, 1 j m, números reais (ou complexos). Uma solução do sistema é uma n-upla de números (x 1 ; x 2 ; x 3 ; ; x n ) que satisfaça simultaneamente estas m equações. Dois sistemas de equações leneares são equivalentes se, e somente se toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro. Podemos escrever o sistema (i) na forma matricial: a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x = b a m1 a m2 a mn x m b m ou ainda podemos escrever (i) como sendo: A X = B onde: 2 3 a 11 a 1n 6 7 A = é a matriz dos coe cientes. a m1 a mn

80 80 2 x 1 6 X = 4. 2 x n b 1 b n é a matriz das incógnitas B = 4. 5 é a matriz dos termos independentes. Uma 2 outra matriz que podemos 3 associar ao sistema lineares de equação é: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b n que chamamos de matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. Assim, 8 por exemplo, no sistema dado por: < x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4 : x 1 3x 2 2x 3 = 5 temos 2 a forma 3 matricial: x x 2 5 = x 3 5 Em termos de matrizes ampliadas, na resolução do sistema, partimos de: e2 chegamos em: que 82 é a matriz ampliada 3 do sistema (i); de onde temos: < x 1 = 3 4 x 2 = 25 : x 3 = 2 Esta matriz ampliada foi resolvida através de operações equivalentes efetuadas nas equações dos sistemas. Estas operações serão de nidas a seguir, e são chamadas de operações elementares sobre as linhas de uma matriz OPERAÇÕES ELEMENTARES São três as operações elementares sobre linhas de uma mesma matriz. i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (L i, L j ): Exemplo:L 2! L 3

81 ! ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. (L i! kl i ) 2Exemplo:L 3 2! 2 3L ! iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha. (L 1! L 1 + kl j ). Exemplo:L 2 3 3! 2 L 3 + 2L ! FORMA ESCADA De nição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada se: 1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é1. 2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos ps seus outros elementos iguais a zero. 3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas ( isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo) 4. Se as linhas 1; ; r são linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então k 1 < k 2 < < kr Exemplos: não é a forma escada pois a segunda condição não é satisfeita não é a forma escada pois a primeira e a quarta condições não são satisfeitas não é forma escada pois a primeira e a terceira condições não são satisfeitas é a forma escada, pois todas as condições são satisfeitas

82 POSTO DE UMA MATRIZ De nição:dada uma matriz A mxn, seja B mxn a matriz-linha reduzida à forma escada linha equivalente a A.O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n p: Observação: Dada uma matriz A qualquer, para achar seu posto necessitamos encontrar sua matriz-linha reduzida à forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. Este número é o posto de A. Exemplo: Desejamos 2 encontrar3 o posto da matriz A, onde: A = , após efetuarmos as operações possíveis com as linhas da matriz A, temos: A = O posto de A é SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES O objetivo desta secção é estudar detalhadamente todas as situações que podem ocorrer na resolução de um sistema linear. Caso Geral: Consideremos um sistema de m equações lineares e com n incógnitas x 1 ; x 2 ; ; x n : 8 >< >: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 2 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x b = b m cujos coe cientes a ij e termos constantes b i são números reais (ou complexos). Este sistema poderá ser: i) ter uma única solução; ii) in nitas soluções; iii) nenhuma solução. Em (i) dizemos que o sistema é possível (compatível) e determinado.em (ii) dizemos que o sistema é possível e indeterminado. E em (iii), dizemos que o sistema é impossóivel (incompatível). Teorema i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coe cientes;

83 83 ii) Se duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única; iii) Se as duas matrizes têm posto p e p < n, podemos escolher n outras p incógnitas serão dadas em função destas. p incógnitas, e as Para nalizarmos este assunto, convém ilustrá-lo. Dizemos no casso (iii) que o grau de liberdade do sistema é n p. Em cada exemplo, é dada a matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada.usamos a seguinte notação: p c =posto da matriz dos coe cientes e p a =posto da matriz ampliada. Se p c = p a denotamos simplesmente por p. Exemplos p c = p a = 3; m = 3, n = 3, p = 3. Então, a solução é única e x 1 = 3, x 2 = 2 e x 3 = p c = p a = 2, m = 2, n = 3 e p = 2. Temos um grau de liberdade: x 1 = 10 7x 3 e x 2 = 6 5x 3 : m = 3, n = 3, p c = 2 e p a = 3. O sistema é impossível e, portanto, não existe solução m = 3, n = 4, p c = p a = 2. Temos dois graus de liberdade: x 1 = x 2 = 4 7x 3 x x 3 + 2x 4 e EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.

84 84 a) b) 8 < : 8 >< >: x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4 x 1 3x 2 2x 3 = 5 2x y + 3z = 11 4x 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 2. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas a) b) c) Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinouse que: i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. ii) O alimento II tem 2,3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C. iii) O alimento III tem 3 unidades da vitamina A, 3 unidades da vitamina B e não contém a vitamina C. Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, a) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada. b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma solução custando exatamente R$1; 00? 4. Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coe cientes e, se possível, o grau de liberdade. a) x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3

85 85 b) c) d) 8 < : 8 < : 8 >< >: x + y + z = 4 2x + 5y 2z = 3 x + 7y 7z = 5 x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 3x + 2y 4z = 1 x y + z = 3 x y 3z = 3 3x + 3y 5z = 0 x + y + z = 1 5. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incóginitas aquele sistema cujos termos independentes, b i, são todos nulos. a) Um sistema homogêneo adimite pelo menos uma solução. Qual é ela? b) Encontre os valores de k 2 R, tais que o sistema homogêneo dado por: 8 < 2x 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 : 2x + kz = 0 tenha uma solução distinta da solução trivial (x = y = z = 0).

86 CAPÍTULO DETERMINANTE OBJETIVO DO CAPÍTULO Nosso objetivo nesse capítulo é dar ao estudante uma noção e revião de determinante de uma matriz. O conceito de determinante de uma forma geral envolve muitos símbolos, o que di culta a leitura. Para tornar a discussão mais simples e organizada, vamos introduzir algumas de nições necessárias e posteriormente trabalhar algumas técnicas que facilitarão nosso trabalho DETERMINANTE A cada matriz quadrada de ordem n, A = (a ij ) está associado um número escalar especial chamado de determinante de A, denotado por det(a), ou jaj ou ainda a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn Salientamos que um quadro nxn de escalares entre duas barras, chamado de determante de ordem n, não é uma matriz; denota o determinante entre aquelas duas barras. A função determinante foi descoberta no estudo de sistemas de equações lineares. Veremos que o determinante é um instrumento indispensável para investigar e obter propriedades de matrizes quadradas Determinante de Ordem Um e Dois. De nem-se como segue os determinantes de ordem um e dois: a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11:a 22 a 12 :a 21 Exemplo 1. 5 = = 5:3 4:2 = 15 8 = = 2:6 1:( 4) = = Utilizando Determinate para Resolver Sistemas Lineares 2x2. Consideremos duas equaçãoes lineares com duas incógnitas: a1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2

87 87 Um sistema de linear como mostrado acima tem solução única se e somente se: D a 1 b 2 a 2 b 1 6= 0 e que a solução é dada por: x = b 2c 1 b 1 c 2 a 1 b 2 a 2 b 1 e y = a 1c 2 a 2 c 1 a 1 b 2 a 2 b 1 Assim a solução pode ser expressa compeletamente através de determinantes: x = D x D y = D y D Aqui D, o determinante da matriz dos coe cientes, aparece no denominador de ambos os quocientes. Os numeradores Dx e Dy das expressões de x e y, respectivamente, obtêm-se substituindo a coluna dos coe cientes das incógnitas pela de termos constantes. Exemplo Resolvido 1. Resolva por determantes 2x 3y = 7 3x + 5y = 1 D = = 19 D x = = 38 D y = = 19 Assim a solução (única) so sistema é: x = Dx = 38 = 2 e y = Dy = 19 = 1 D 19 D 19 S = f(2; 1)g EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Utilizando determinantes, resolva os sistemas abaixo. 2x y = 3 a) x + 4y = 2 b) 2x + y = 5 x 3y = 6

88 Determinante de Ordem Três Seja a matriz arbitrária 3x3, A = (a ij ). O determinante de A de ne-se como: a 11 a 12 a 13 det(a) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 23 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Notse-se que há seis produtos, cada um deles consistindo de três elementos da matriz original. Três deles conservam seu sinal, três deles tomam o sinal "menos ". Exemplo Resolvido: = (2)(5)(4)+(1)( 2)(1)+(1)( 3)(0) (1)(5)(1) ( 2)( 3)(2) (4)(0)(1) = = 21 Propriedades de Determinantes P.1 Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são todos nulos, então det(a). P.2 det(a) = det(a t ): P.3 Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante ca multiplicado por esta constante. P.4 Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. P.5 O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é igual a zero. P.6 O determinante não se altera de somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. P.7 det(a:b) = det(a).det(b) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule o determinante das matrizes abaixo a) A = b) B =

89 DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE Na secção vimos que: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n jaj = == a 11 a 22 a 23 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a a m1 a m2 a mn Mas, podemos escrever esta soma como: a a 22 a a a 32 a 33 a 21 a a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Observe que o determinante da matriz inicial 3x3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2x2, iso é, det(a) = a 11 A 11 a 12 A 12 + a 13 A 13 Onde a matriz A ij é a submatriz da inicial, de onde i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas. Além disso, se chamarmos: ij = ( 1) i+j A ij a partir dai obtemos: det(a) = a a a Ao número ij ( que é o determinante afetado pelo sinal ( 1) i+j da submatriz A ij obtida de A retirando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna), chamamos cofator. Exemplo Resolvido A = Vamos escolher uma coluna para efetuarmos o determinante. Para tal, esolhemos uma coluna que possua números que facilitem o nosso trabalho. Por exemplo, na coluna 2 da matriz acima, temos dois números 1, o que vai facilitar os cálculos. Desta forma temos: A = ( 2) ( 1) = ( 1) = 2 22 = ( 1) = 8 32 = ( 1) = 7 Portanto, vemos que: A = ( 2) ( 1) 32 = ( 2)( 2) + (1)(8) + ( 1)(7) = 5 O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1. Em grande parte dos casos ele simpli ca muito o cálculo de determinantes.

90 90 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Calcule o det Dadas as matrizes A = e B = 1 0 a) det(a) + det(a + B) Dada A = calcule: calcule: 0 1 a) A 23 b) ja 23 j c) 23 d) det(a) Calcule o determinante da matriz dada por

91 Capítulo Limites OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, trabalharemos o conceito de limite de uma função em um determinado ponto. No cotidiano, referimo-nos ao limite de velocidade, ao limite da resistência humana. Todas essas expressões e muitas outras nos sugere que o limite é uma cota, que em certas ocasiões pode não ser atingida, mas em outras poder ser atingida ou ultrapassada. Nosso principal objetivo é estudar o conceito de limite de uma função próximo de um ponto, e a utilizamos para o estudo da continuidade de uma função. Em capítulos subseqüentes a noção de limite será usada na formulação das de nições de derivada e integral LIMITE DE UMA FUNÇÃO Limite de uma função num ponto Nosso objetivo agora é desenvolver uma linguagem que nos permita a descrever o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto b. Diremos que f está de nida à direita de b se estiver de nida num intervalo ]b; c[; do mesmo modo diremos que f está de nida à esquerda de b quando estiver de nida num intervalo ]a; b[. 1 o caso: Limite nito Seja f a função cujo grá co está na gura a seguir, de nida à direita e à esquerda de b. FIG.8.1 Observemos que quando x assume valores que se aproximam do ponto b pela direita, isto é, por valores maiores que b, os correspondentes valores f(x) se aproximam do número L 1. Para descrever este comportamento dizemos que o limite lateral direito de f no ponto b é o número L 1 e escrevemos: lim x!b+ f(x) = L 1

92 92 (lê-se: limite de f(x) para x tendendo a b pela direita é igual a L 1 ) Observemos, por outro lado, que quando x assume valores que se aproximam de b pela esquerda, isto é, por valores menores que b, os correspondentes valores f(x) se aproximam do número L 2. De novo, para descrever este comportamento dos valores f(x), dizemos que o limite lateral esquerdo de f no ponto b é o número L 2 e escrevemos: lim x!b f(x) = L 2 (lê-se: limite de f(x) para x tendendo a b pela esquerda é igual a L 2 ) No presente caso os limites laterais L 1 e L 2 não são iguais. Consideremos a função g cujo grá co está na gura seguinte. FIG.8.2 Observando a gura, podemos a rmar que: lim g(x) = L x!b+ lim x!b g(x) = L isto é, os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b e escrevemos: lim g(x) = L x!b (38) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Avalie os limites abaixo

93 93 a) lim x!2 3x 2 1 x+3 px+3 b) lim x!6 1 x 2 1 c) lim px +5 x!2 x 2 +5 e d) lim x +e x x!0 1+e x e) lim x!2 1 x 1 2+x x CONTINUIDADE Em matemática, o termo contínuo tem o mesmo signi cado que na linguagem cotidiana. Dizer que uma função é continua no ponto x = b signi ca que não há interrupção no grá co de f no ponto b. O grá co de f não se parte em b, e não há buracos, saltos ou lacunas. Apesar da simplicidade deste conceito, sua de nição precisa escapou aos matemáticos durante muitos anos.não foi senão em princípio do século XIX que se formulou uma de nição precisa. De nição de Continuidade Seja b um número no intervalo (a; c) e seja f uma função cujo domínio contém o intervalo (a; c). A função f é contínua no ponto b se veri car as seguintes condições: 1. f(b) é de nida; 2. lim x!b f(x) existe; 3. lim x!b f(x) = f(b) Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a; c), então f é contínua no intervalo (a; c). Veja a gura abaixo. FIG. 8.3

94 94 Grosso modo, podemos dizer que a função é contínua em um intervalo se seu grá co pode ser traçado com papel e lápis se levantar o lápis do papel, conforme é mostrado na gura acima. Exemplo 1. Veri que se a função f(x) = x 2 é contínua no ponto x = 2: I) Sendo x = 2, temos que f(2) = 4 é de nida; II) Existe o limite da função, ou seja, lim x!2 x 2 = 4 III) De I e II podemos concluir que lim x!2 x 2 = f(2) = 4, desta forma concluimos que a função f(x) = x 2 é contínua no ponto x = 2, como mostra a gura abaixo. FIG Veri que se a função dada por f(x) = x2 4, com x 6= 2, é contínua no ponto x = 2. x 2 I) Sendo x = 2, temos que f(2) não está de nido, pois f(2) = = 0 0 o que é indeterminado; II) Existe o limite da função, pois fatorando o numerador e simpli cando com o denominador temos: lim 2 4 = lim (x+2)(x 2) x = limx + 2 = 4; x!2 x 2 x!2 (x 2) x!2 III) Veri camos que I é indeterminado e que II existe, porém não se veri cando I, temos que a função f(x) = x2 4 não é contínua no ponto x = 2. x 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

95 95 1. Avaliar os limites indicados e determinar, em cada caso, se a função é contínua no ponto dado. a) lim x!2 (x 2 1) b) lim x! 2 c) lim x!1 d) lim x!3 e) lim x!0 f) lim x!2 3x+1 5 x 2 1 x 1 9 x 2 x 3 x 3 x x x 2 5x+6 x 2 x g) lim 2 3x+4 x!1 1+x+x 2 2 o caso: limite in nito Seja f uma função de nida à direita de um ponto b. Dizemos que f tem limite lateral direito +1 ( mais in nito ) no ponto b e escrevemos: lim f(x) = +1 x!b+ Quando, qualquer que seja o número k > 0, existe x > b, tal que f(x) > k. De modo análogo, se f está de nida à esquerda de b, dizemos que f tem limite lateral esquerdo +1 (mais in nito) no ponto b e escrevemos: lim x!b f(x) = +1 Quando para todo k > 0, existe x < b tal que f(x) > k: Se lim f(x) = lim f(x) = +1, dizemos que f tem limite +1 (mais in nito) no ponto x!b+ x!b b e escrevemos: limf(x) = +1 x!b (39) Exemplo 1. Encontre o limite da função dada por f(x) = 1 ; quando x! 0. jxj

96 96 Resolução: 1 lim = +1 x!0+ jxj abaixo. e lim x!0 1 1 = +1, portanto segue-se que lim jxj x!0 jxj = +1. Veja a gura FIG. 8.5 De modo análogo podemos de nir o limite: lim f(x) = 1 x!b (40) 2. Encontre o limite da função dada por f(x) = 1 x 2, quando x! 0. Resolução: lim x!0+ gura abaixo. 1 = 1 e lim x 2 x!0 1 1 = 1, portanto segue-se que lim = 1.Veja a x 2 x!0 x 2 FIG. 8.6 EXERCÍCIOS PROOSTOS

97 97 2. Avaliar em cada caso os limites abaixo. a) lim 1 x!5+ x 5 b) lim x!5 c) lim 1 x 5 1 x!0+ x 2 d) lim x+2 x!2+ 2 x e) lim x!0 3 x x LIMITE NO INFINITO Seja f uma função de nida num intervalo ]a; +1[. Se à medida que x assume valores cada vez maiores no intervalo ]a; +1[ os correspondentes valores de f(x) se aproximam de um número L, dizemos que o limite de f para x tendendo a +1 é L e escrevemos: lim f(x) = L x!+1 (41) Exemplos Resolvidos: 1. Encontre o limite da função dada por f(x) = ( 1 + 1), quando x! +1. x Resolução: lim ( 1 + 1) = 1. Veja a gura abaixo. x!+1 x FIG Seja f(x) = 2x+1, encontre o limite dessa função quando x! +1. x 2

98 98 Resolução: = lim x!+1 2x+1 x 2 lim x!+1 ( 2x+1 x ) ( x 2 x ) = lim 2+ 1 x x! x = 2 Se à medida que x assume valores cada vez maiores no intervalo ]a; +1[ os correspondentes valores de f(x) crescem inde nidamente (ou decrescem inde nidamente) dizemos que o limite de f quando x (respectivamente) e escrevemos: lim f(x) = +1 (respectivamente temos que lim f(x) = 1): x!+1 x! 1 Exemplo Resolvido Seja a função de nida por f(x) = x 2 : Encontre seu limite quando x! 1. Resolução: A mdeida que x se aproxima de 1, vemos que f(x) = x 2 tende a um número muito grande, ou seja, tende ao in nito. Desta forma vemos que lim x! 1 x2 = +1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Encontre em cada caso os limites abaixo. 1 a) lim x!+1 x+2 b) lim x!+1 c) lim x! 1 d) lim x! 1 e) lim x!+1 f) lim x!+1 g) lim x!+1 h) lim x! 1 i) lim x!+1 1 x 2 1 x 2 x+1 2x x 2 1 x 3 +2x 1 3x 4 4x 1 3x+2 x 2 +x+1 2x 2 3 x 3 +3x 2 x 3 1 x2 + 1 x j) lim x!+1 (2 ex ) x2 k) lim e1 x! 1 l) lim x!+1 (10 + e x )

99 CAPÍTULO CONCEITO DE DERIVADA OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, trabalharemos os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, você chegará ao conceito de derivada de uma função em um ponto e seu signi cado numérico e grá co. Fique atento à derivada de uma função, pois trata - se de um dos conceitos mais importantes do cálculo diferencial e integral. Nesse capítulo, você terá contato com as primeiras aplicações da derivada na análise do comportamento local de uma função e, nos próximos capítulos, você estudará inúmeras aplicações da derivada na análise geral de uma função e de modelos da economia, administração e contabilidade TAXA DE VARIAÇÃO Nesta seção, estudaremos o conceito de taxa de variação analisando a taxa de variação instantânea. Tais análises permitirão entender o conceito de derivada, que tem grande aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento. Naturalmente, nossa atenção estará voltada para aplicação de tal conceito, principalmente nas áreas de administração, economia e contabilidade Taxa de Variação Média Nos capítulos anteriores, estudamos o custo C para a produção de uma quantidade qq de camisas produzida, ou seja, C = f(q), vimos também que, para tal função, uma variação na quantidade de camisetas produzidas determinava uma variação correspondentes nos custos de produção e assim pudemos de nir que a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q, é dada pela razão: m = Variação em C Variação em q Em tal exemplo prático, por se tratar de uma função do 1 o grau, salientamos que a taxa de variação média representa o coe ciente angular da reta que representa gra camente tal função. A equação de tal reta (ou função) é dada por y = f(x) = mx + b. Na verdade, o conceito de taxa de variação média não é exclusivo das funções de 1 o grau. A taxa de variação média pode ser calculada para qualquer função. Se y representa a variável dependente e x a variável independente, então a taxa de variação média de y em relação a x é calculada pela razão: Taxa de Variação média = Variação em y Variação em x = y x Vamos explorar mais atentamente tal conceito em uma situação prática que norteará o desenvolvimento deste capítulo.

100 Taxa de Variação Média em um Intervalo. Nos capítulos interiores, estudamos a produção como função do insumo (fatores como matéria-prima, dinheiro, mão-de-obra, energia, etc) disponibilizado no processo de produção. Nesse sentido, considerando que, para um grupo de operários em uma indústria de alimentos, a quantidade P de alimentos produzidos (ou industrializados) depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do expediente e que tal produção é dada por P = kx 2 e fazendo k = 1, temos: P = x 2 onde P é dada em toneladas. Então, temos a produção como função do tempo x, ou seja, P = f(x), e podemos escrever a produção como: f(x) = x 2 O instante do início do expediente é representado por x = 0, ou seja, 0:00 hora. Vamos determinar a taxa de variação média da produção para o intervalo de tempo das 3:00 horas até as 4:00 horas e também para o intervalo das 4:00 horas até as 5:00 horas(ou seja, para 3 x 4 e para 4 x 5 ). De acordo com de nição dada anteriormente, podemos dizer que a taxa de variação média para esse exemplo será: Taxa de variação média : Variação em P Variação em x = P x Responda: Qual é a taxa de variação média para os intervalos acima? A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, na prática, têm unidades de medida, então a taxa de variação também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas. Percebemos tal fato ao notar que, para as taxas obtidas anteriormente, a tonelada é a unidade de medida da produção, então sua variação (P ) também é medida em tonelada, enquanto que hora é a unidade de medida do tempo, então sua variação (x) também é medida em hora, assim a taxa de variação média foi medida em: P x = tonelada hora Notamos também que, com o passar do tempo, as taxas de variação médias da produção aumentam e, como a produção é crescente, concluímos que a produção é crescente as taxas crescentes. O fato de as taxas de variação serem crescentes é observado gra camente, se notarmos que o grá co de tal função é parábola com a concavidade virada para cima. A taxa de variação média é sempre calculada para intervalos da variável independente. Se inscrevermos de maneira geral em um intervalo a até b, a taxa de variação média será dada por:

101 101 Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até b = f(b) b f(a) a Para essa forma de de nir a taxa de variação média, podemos ainda considerar o tamanho do intervalo como sendo h, ou seja: (42) b a = h Ao isolarmos b, obtemos: b = a + h e o intervalo de a até b passa a ser de a até a + b. Então, podemos escrever a taxa de variação média como: Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até a + h = f(a + h) f(a) h Perceberemos a seguir que escrever a taxa de variação média dessa forma pode ser bastante prático para a obtenção da taxa de variação instantânea. (43) Taxa de Variação Instantânea Estudamos até agora a variação da produção para intervalos de tempo, como das 3:00 às 4:00 horas ou ainda das 4:00 às 5:00 horas, e a taxa de variação média em um intervalo foi útil para analisar o comportamento da produção, pois dizer que a produção está variando a uma taxa de 5 ton=h signi ca que, em uma hora, são produzidas 5 toneladas. De modo que análogo, dizer que a produção varia a uma taxa de 9 ton/h signi ca que, em uma hora, são produzidas 9 toneladas produções essas referidas a intervalos de tempos distintos do processo de produção. Sabemos que tais taxas foram calculadas para intervalos de tempo especí cos. Nesse momento, cabe perguntar: a) É possível calcular a taxa de variação da produção para um instante especi co? b) Por exemplo, qual a taxa de variação da produção exatamente às 3 horas? c) Se for possível calcular a taxa, como realizamos tal calculo? Na verdade, estudar o comportamento da produção em um instante especi co nos remete ao desenvolvimento de ferramentas matemáticas que permitem estudar mais profundamente tal função e analisá-la de modo mais detalhado. Para a primeira pergunta feita, a resposta é sim! Podemos calcular a taxa de variação da produção para um instante especi co e, ao calcularmos tal taxa, vamos denominá-la taxa de variação instantânea. Ao perguntarmos Qual a taxa de variação da produção exatamente às 3 horas?, estamos perguntando: Qual a taxa de variação instantânea da produção no instante x = 3?

102 102 Para compreender como é possível o cálculo da taxa de variação instantânea da produção e qual o valor de tal taxa para o instante x = 3, vamos utilizar a seguinte idéia: calcularemos varias taxas de variações médias para intervalo de tempo muito pequenos, cada vez mais próximos do instante x = 3. Considerando o instante x = 3, vamos tomar para os cálculos das taxas de variação média o intervalo de 3 até 3+h, onde h representa o tamanho do intervalo; então, teremos: Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até 3 + h = f(3 + h) f(3) h Fazendo h = 0; 1 temos que a taxa de variação é igual a 6; 01; Fazendo h = 0; 01 temos que a taxa de variação é igual a 6; 001; Fazendo h = 0; 001 temos que a taxa de variação é igual a 6; Assim, calculamos as taxas de variação média para os intervalos de 3 até um instante um pouco maior que 3 e notamos que tal taxa é cada vez mais se aproxima do valor 6. Vamos agora calcular a taxa de variação média para intervalos de um instante pouco menor que 3 até o instante 3 e veri car se, nesses casos, a taxa também vai se aproximar do valor 6. Para obter tais intervalos e calculá-los basta tomar os valores negativos para h na expressão dada por: Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de a até 3 + h = f(3 + h) f(3) h Fazendo h = 0; 1 temos que a taxa de variação é igual a 5; 9; Fazendo h = 0; 01 temos que a taxa de variação é igual a 5; 99; Fazendo h = 0; 001 temos que a taxa de variação é igual a 5; 999: Por esses últimos cálculos, onde os intervalos são obtidos fazendo h negativo notamos que a taxa de variação média também se aproxima do valor 6. Dai podemos dizer que a taxa de variação instantânea de f(x) quando x = 3 é igual a 6 ton=h. Tal resultado permite dizer que às 3:00 horas, a produção é de 6 ton=h. Como a taxa de variação instantânea é calculada a partir de taxas de variações médias, é normal que se use para ambas a mesma unidade de medida ( tonelada / hora). O procedimento de tomar h próximo de zero e torná-lo mais próximo ainda se zero pode ser resumido por h! 0. Na verdade, o cálculo da taxa de variação instantânea em a partir das taxas de variação média para h! 0 pode ser resumido na linguagem de limites por: Taxa de variação instantânea de f(x) em x = 3 = lim h!0 f(3 + h) f(3) h

103 103 Considerando a taxa de variação instantânea assim de nida, os três primeiros cálculos da taxa de variação média, com h > 0, resume a tentativa de determinar o limite lateral dado por: f(3 + h) f(3) lim h!0+ h = 6 Os três últimos cálculos da taxa de variação média, com h < 0, resumem a tentativa de determinar o limite lateral dado por: (i) lim h!0 f(3 + h) f(3) h = 6 A partir de (i) e de (ii) chagamos a conlusão de que: (ii) f(3 + h) f(3) lim h!0 h = 6 A equação (iii) só é possível porque os limites laterais são um número, e tal número coincide nos dois limites laterais. Observação: Caso os limites laterais resultem em números diferentes, ou um deles resulta em +1 e o outro em 1, dizemos que o limite que da origem aos limites laterais não existe, ou seja, a taxa de variação instantânea não existe. (iii) DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO. A taxa de variação instantânea da função produção no instante x = 3 é muito importante e também recebe o nome derivada da função produção no ponto x = 3. Simbolizamos a taxa de variação instantânea, ou derivada, no ponto x = 3 por f 0 (3): Assim, de um modo geral, a derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função no ponto: f 0 (x) = lim h!0 f(x + h) f(x) h Encontre a partir da de nição de derivada a derivada da função f(x) = x 2. A partir da de nição de função derivada, vamos veri car se tal função realmente representa a derivada da produção ou, em outras palavras, vamos calcular algebricamente a derivada de f(x) = x 2 : Concluímos após a demonstração que, de fato, f 0 (x) = 2x: Vamos agora recordar cada um dos conceitos discutidos durante este capitulo resolvendo os itens do problema proposto a seguir: Problema: Na comercialização de um componente químico líquido, utilizado na fabricação de sabão e detergente, a receita R para a venda da quantidade q é dada por R(q) = 5q 2, onde a receita é dada em reais (R$) e a quantidade é dada em litros(l). (44)

104 104 a) Determine a taxa de variação média da receita para o intervalo 4 q 6. b) Determine, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita para q = 1. c) Determine a derivada da receita em q = 1. Qual a unidade de medida dessa derivada? d) Qual o signi cado numérico e grá co de tal valor? EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Para um produto, a receita R, em reais (R$), ao se comercializar a quantidade q, em unidades, é dada pela função R(q) = 2q q. a) Esboce o grá co de R ressaltando os principais pontos. b) Determine a taxa de variação média da receita para os intervalos 100 q 200. c) Estime a derivada da receita em q = 100, ou seja, R 0 (100). Qual a unidade de medida dessa derivada? 2. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P (t) = 2t t a) Esboce o grá co ressaltando os principais pontos. b) Encontre, algebricamente, a função derivada P 0 (t). c) Em que momento a produção é máxima? Utilizando P 0 (t), encontrada no item anterior, calcule o valor da derivada para esse ponto. Represente gra camente a reta tangente nesse ponto. d) Utilizando P 0 (t), encontrada no item (b), calcule o valor de P 0 (8) e comente seu signi cado numérico. e) Comente o sinal de P 0 (8) e sua relação com o comportamento da função P (t). 3. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p(t) = 0; 25t 2 2; 5t+60 para um período do ano, onde t = 0 representa o momento inicial de análise, t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses, etc. a) Esboce o grá co ressaltando os principais pontos. b) Encontre, algebricamente, a função derivada p 0 (t). c) Em que momento o preço é mínimo? Utilizando p 0 (t), encontrada no item anterior, calcule o valor da derivada para esse ponto. Represente gra camente a reta tangente nesse ponto. d) Utilizando p 0 (t),encontrada no item (b), calcule o valor de p 0 (7) e comente seu signi cado numérico. e) Comente o sinal de p 0 (7) e sua relação com o comportamento da função p 0 (t).

105 DERIVADA COMO INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE Sabemos que a taxa de variação instantânea representa a derivada de uma função no ponto, então visualizamos a derivada de uma função em um ponto pela inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Dada a derivada de uma função em um ponto x = a, temos: f 0 (a) = lim h!0 f(a + h) f(a) h (45) Gra camente, dizemos que: f 0 (a) representa a inclinação da reta tangente à curva f(x) no ponto x = a e obtemos a representação grá ca seguindo os mesmos passos realizados nos exemplos anteriores. Observe a gura abaixo. FIG Reta Tangente à Curva em um Ponto Para a representação grá ca da derivada em um ponto, estamos nos referindo à reta tangente à curva nesse ponto. Para a função produção, por exemplo, temos um esboço de tal curva. Vamos agora determinar a equação de reta tangente à curva. Conforme o estudado em capítulos anteriores, a equação de uma reta é dada por: y = mx + b onde m dá a inclinação da reta e o ponto em que a reta corta o eixo y. Para a reta tangente à curva em um ponto, sua inclinação é dada pela derivada da função nesse ponto; assim, se o ponto é x = a, a inclinação será m = f 0 (a). Dessa forma, em nosso exemplo anterior, no ponto x = 3 a inclinação da reta tangente será dada por:

106 106 m = f 0 (3) = 6: Sabendo que m = 6, na equação da reta tangente podemos escrever y = 6x + b. Falta então determinar o coe ciente b, que pode ser encontrado a partir do ponto em que a reta é tangente à curva. Para a produção, o ponto por onde passa a reta é dado por P = (3; f(3)) = (3; 9); assim, substituindo as coordenadas de (3; 9) em y = 6x+b, temos: 9 = 6(3) + b 9 = 18 + b 9 18 = b b = 9 Assim, a equação da reta tangente à curva da produção é dada por: y = 6x 9 A equação de tal reta é usada nos estudos de linearidade local de uma função, e tais aspectos, além de sua utilização. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Para um produto, a receita R, em reais (R$), ao se comercializar a quantidade q, em unidades, é dada pela função R(q) = 2q q. a) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 100. Faça também a representação grá ca sobre o grá co da função R(q). 2. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P (t) = 2t t a) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = 8 e represente-a sobre o grá co da função P (t). 3. O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p(t) = 0; 25t 2 2; 5t+60 para um período do ano, onde t = 0 representa o momento inicial de análise, t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses, etc. a) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = 7 e represente-a sobre o grá co da função p(t).

107 CAPÍTULO TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO OBJETIVO DO CAPÍTULO Nesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar de maneira prática as funções derivadas, ou seja, dada uma função, você aplicará as técnicas de derivação para obter de modo rápido a derivada de uma função dada, portanto é importante que você treine cada técnica apresentada REGRA DE DERIVAÇÃO No capítulo anterior, para algumas funções onde era dada a expressão algébrica que a de nia, obtivemos a função derivada a partir da de nição. Por exemplo, dada f(x) = x 2 obtivemos a função derivada /f 0 (x) = 2x a partir da determinação do limite dado por: f 0 (x) = lim h!0 f(x + h) f(x) h Notamos que, muitas vezes, o processo de determinação da função derivada é trabalhoso e, por isso, é interessante trabalhar com técnicas que permitem a determinação rápida da derivada. Nesta seção, estudaremos as principais regras de derivação necessárias para a obtenção das derivadas de maneira rápida e simpli cada. Abordaremos apenas as regras necessárias para a derivação das funções abordadas em nosso curso. Salientamos que nossa preocupação inicial é apresentar as regras de maneira simpli - cada, deixando de lado as demonstrações e justi cativas da validade de tais regras. Sugerimos ao leitor interessado nas demonstrações de tais regras a consulta de livros de cálculos indicados na bibliogra a, onde constam as demonstrações de todas as regras apresentadas a seguir. Entre os exemplos de aplicação para cada regra apresentada, procuramos utilizar funções já desenvolvidas nos capítulos anteriores Função Constante Seja a função f(x) = k, onde k é uma constante, então, sua derivada será: f 0 (x) = 0 (46) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = 7! f 0 (x) = 0 b) g(x) = 10! f 0 (x) = 0

108 Função Linear Seja a função linear dada pela lei de formação f(x) = mx + b.então, sua derivada será: f 0 (x) = m (47) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = 3x + 5 f 0 (x) = 3 b) g(q) = 2q + 10 g 0 (q) = 2 c) h(n) = 500n h 0 (n) = 500 d) f(x) = x f 0 (x) = Soma ou Diferença de Funções Seja a função f(x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x) e f(x) = u(x)+v(x).sendo u(x) e v(x) e deriváveis então a derivada de f(x) será dada por: f 0 (x) = u 0 (x) + v 0 (x) (48) Podemos realizar os cálculos de modo análogo para a diferença de u(x) e v(x). Podemos dizer que a derivada de uma soma / diferença de funções é a soma / diferença das derivadas das funções Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) Dada f(x) = u(x) + v(x), onde u(x) = 3x + 5 e v(x) = 7x + 15, obtenha f 0 (x) f(x) = u(x) + v(x) f(x) = (3x + 5) + (7x + 15) f(x) = 10x + 20 f 0 (x) = 10

109 Potência de x Seja a função f(x) = x n.onde n é um número real, então sua derivada será: f 0 (x) = nx n 1 (49) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. f(x) = x 3 f(x) = 15x 2 f 0 (x) = 3x f 0 (x) = 30x f(x) = x 1 f 0 (x) = x g(p) = 1000q 3 4 g 0 (x) = :q 1 4 = 750:q 1 4 = 750 4p q p(t) = t 3 6t 2 + 9t + 10 p 0 (t) = 3t 2 12t Função Exponencial Seja a função exponencial f(x) = a x, onde a é um número real tal que a > 1 e a 6= 1, então sua derivada será dada por: f 0 (x) = a x ln(a) (50) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. f(x) = 2 x f 0 (x) = 2 x ln(2) M(x) = 100(1; 05) x M 0 (x) = 100(1; 05) x ln(1; 05) Função Exponencial na Base e Seja a função exponencial f(x) = e x, onde e t 2; 71828:::, então sua derivada será dada por: f 0 (x) = e x (51) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = 5e x f 0 (x) = 5e x b) f(x) = 2e x + 3e f 0 (x) = 2e x

110 Logaritmo Natural Seja a função obtida pelo logaritmo de x, ou seja, f(x) = ln(x). Então, sua derivada será dada por: f 0 (x) = 1 x (52) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = 5 ln(x) f 0 (x) = 5 x b) f(x) = 20 ln(m) 188 f 0 (x) = 20 M Produto de Funções Seja a função f(x) obtida pelo produto das funções u(x) e v(x), ou seja, f(x) = u(x):v(x). Sendo u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada de f(x) será dada por: f 0 (x) = u 0 (x):v(x) + u(x):v 0 (x) (53) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = (5x + 10)(x 4 10x 2 ) f(x) = (5):(x 4 10x 2 ) + (5x + 10)(4x 3 20x) = 5x 4 50x x 4 100x x 3 200x = 25x x 3 150x 2 200x b) f(x) = x 2 :3 x = 2x(3 x ) + (x 2 ):3 x ln(3) Quociente de Funções Seja a função f(x) obtida pelo quociente das funções u(x) e v(x), ou seja, f(x) = u(x). v(x) Sendo u(x) e v(x) e deriváveis, então a derivada de f(x) será dada por: f 0 (x) = u0 (x):v(x) u(x):v 0 (x) [v(x)] 2 (54) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = 100x+300 f 0 (x) = x x x 300 (x+10) 2 = 700 (x+10) 2 (100)(x+10) (100x+300)(1) (x+10) 2 = b) f(x) = 500 f 0 (x) = (0):(x3 ) (500):(3x 2 ) = 1500x3 x 3 (x 3 ) 2 x 6

111 Função Composta Regra da Cadeia Seja a função f(x) obtida pela composição das funções u(x) e v(x);ou seja, f(x) = v[u(x)]. Sendo u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada de f(x) será dada por: f 0 (x) = v 0 [u(x)]:u 0 (x) (55) Exemplos Resolvidos 1. Encontre a derivada das funções abaixo. a) f(x) = (2x + 5) 3 Fazendo u(x) = (2x + 5) temos que: f(x) = v[u(x)] 3 Aplicando a regra da cadeia (55) temos: f 0 (x) = 3(u(x)) 2 :u 0 (x) = 3(2x + 5) 2 :(2) = 6(2x + 5) 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Para cada função a seguir encontre a sua derivada. a) y = 15 b) f(x) = 12x 35 c) q = 3p + 15 d) f(x) = x e) g(x) = x 4 f) h(x) = 20x 3 g) y = x 2 h) P = 24q 5 6 i) f(x) = 800 x 4 j) p(t) = 5t t 2 15t + 30 k) f(x) = 5 x l) M(x) = 25(1; 05) x m) g(x) = 2e x

112 112 n) f(x) = 5 ln(x) o) f(x) = (3x 20):(x 3 50x 2 ) p) h(x) = x 5 8 x q) f(x) = 25x+400 x+20 r) f(x) = (3x + 10) 3 5x 20 s) g(x) = 10 t) g(x) = (5x 2 + 2x) 4

113 CAPÍTULO APLICAÇÕES DE DERIVADAS NO ESTUDO DE FUNÇÕES OBJETIVO DO CAPÍTULO Neste capítulo, você utilizará a derivada para estudar detalhadamente o comportamento das funções, determinando seus principais valores e pontos para a análise numérica e grá ca. Você perceberá como as derivadas primeira e segunda são úteis para determinar intervalos de crescimento - decrescimento; pontos de máximo - mínimo; diferenças taxas de crescimento - decrescimento e pontos de in exão de uma função FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Uma propriedade muito importante que utilizaremos para a análise das funções e construção de seus grá cos relaciona o sinal da derivada de uma função e o comportamento de tal função em um intervalo. Sabemos que a derivada em um ponto dá a taxa de variação da função no ponto, bem como a inclinação da reta tangente no ponto. Uma função é crescente se seu grá co sobe quando x se desloca para direita, e é decrescente se seu grá co desce quando x se desloca para direita. A de nição a seguir constitui um enunciado mais formal: De nição de uma função Crescente e Função Decrescente Uma função f é crescente em um intervalo, se para quaisquer x 1 e x 2 no intervalo, x 1 > x 2 implica em f(x 1 ) > f(x 2 ). Uma função f é decrescente em um intervalo, se para quaisquer x 1 e x 2 no intervalo, x 1 > x 2 > implica em f(x 1 ) < f(x 2 ).

114 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA Teste para Funções Crescentes e Funções Decrescentes Seja f diferenciável no intervalo (a; b), então através da derivada primeira de f podemos dizer que: Se f 0 (x) > 0 para todo x 2 (a; b), então f é crescente no intervalo (a; b) ; Se f 0 (x) = 0 para todo x 2 (a; b), então f é constante no intervalo (a; b) ; Se f 0 (x) < 0 para todo x 2 (a; b), então f é decrescente no intervalo (a; b); Exemplo: De 1970 a 1990, o consumo C de aves (libras sem osso por pessoa por dia) admite como modelo funcional a função escrita por: C(t) = 33; 5 + 0; 074t 2, onde 0 t 20 Mostre através do uso de derivadas que o consumo de aves cresceu de 1970 a PONTOS CRÍTICOS De nição de um ponto crítico: Se f é de nida em c, então c é um ponto crítico de f se: f 0 (c) = 0 f 0 não é de nida em c. Diretrizes para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. 1. Encontrar a derivada da função f; 2. Determinar os pontos críticos de f, ou seja, f 0 (x) = 0 ; 3. Testar o sinal de f 0 (x); 4. Utilizar o teste das funções crescentes ou decrescentes. Exercício Resolvido 1. Encontre os intervalos onde a função dada por f(x) = x 3 3x2 2 é crescente ou decrescente. Resolução: Passo 1: Encontre a derivada da função: f 0 (x) = 3x 2 3x Passo 2: Encontre os pontos críticos da função, ou seja, f 0 (x) = 0 3x 2 3x = 0

115 115 3x(x 1) = 0 i)3x = 0 ou ii)x 1 = 0 De (i) temos que x = 0 e de (ii) temos que x = 1, segue-se então que os pontos críticos são x = 0 e x = 1: Passo 3: Testar o sinal da derivada da função. Para isso vamos utilizar uma tabela que facilita estes cálculos. Intervalo 1 < x < 0 0 < x < 1 1 < x < +1 Valor do Teste x = 1 x = 1 2 x = 2 Sinal da derivada f 0 ( 1) = 6 f 0 ( 1 2 ) = 3 4 f 0 (2) = 6 Conclusão Crescente Decrescente Crescente EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Mostre que f(x) = x 3 3x 2 + 3x é crescente em toda a reta real. 2. Utilizando uma tabela como feita no exercício anterior, encontre todos os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das funções dadas por: a) f(x) = 2x 2 + 4x + 3 b) f(x) = x 2 + 8x + 10 c) f(x) = x 2 6x d) f(x) = (x 1) 2 (x + 2) 3. Análise de Lucro: Um distribuidor nacional de brinquedos estabelece os seguintes modelos funcionais de custo e receita para um de seus jogos:

116 116 C(x) = 2; 4x 0; 0002x 2 ; onde 0 x 6000 R(x) = 7; 2x 0; 001x 2 ; onde 0 x 6000 Determine o intervalo onde a função lucro é crescente. 4. O custo da encomenda e do transporte C( em centenas de reais) para um distribuidor de automóveis é dado por: C(x) = 10( 1 x + x ); com x 1 x + 3 Encontre os intervalos em que é crescente ou decrescente. 5. O lucro P obtido por um cinema com a venda de x sacos de pipoca admite como modelo funcional a seguinte função: P (x) = 2; 36x x ; com 0 x a) Encontre os intervalos em que P é crescente ou decrescente; b) Se o leitor fosse o proprietário do cinema, que preço cobraria para obter máximo lucro com a venda das pipocas? Explique seu raciocínio PONTOS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO No estudo de situações práticas ou fenômenos econômicos, administrativos e contábeis, é muito comum surgirem perguntas como: Que quantidade devo comercializar para que o lucro seja máximo? Qual quantidade devo armazenar em estoque para que o custo de estoque seja mínimo? Quanto devo aplicar em propaganda para que a receita seja máxima? Qual a quantidade de insumo a ser usada para que a produção seja máxima? Em que momentos, em um curto intervalo de tempo, devo comprar e vender as ações de uma empresa para que o lucro na operação seja máximo? Nos fenômenos citados, se o lucro, custo, receita e produção são expressos por funções, então as respostas a tais perguntas envolvem pontos especiais, como os pontos de máximo, de mínimo e de in exão. Nos exemplos anteriores vimos como utilizar a derivada para determinar intervalos onde uma função é crescente ou decrescente. Agora estudaremos os pontos em que uma função passa de crescente para decrescente e vice e versa. Em tais pontos, a função tem um extremo relativo. Os extremos relativos de uma função incluem os pontos mínimos e máximos relativos da função. De nição de extremos relativos Seja f uma função de nida no ponto x = c:

117 117 f(c) é um máximo relativo da função f se existe um intervalo (a; b) contendo o ponto c, tal que f(x) f(c) qualquer que seja x 2 (a; b) f(c) é um mínimo relativo da função f se existe um intervalo (a; b) contendo o ponto c, tal que f(x) f(c) qualquer que seja x 2 (a; b). Se f tem um mínimo ou máximo relativo quando x = c, então c é um ponto crítico de f, isto é: f 0 (c) = 0 ou f 0 (c) não está de nida. Veja abaixo as possíveis representações grá cas dos extremos relativos. O Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos Seja f contínua no intervalo (a; b), no qual c é o único ponto crítico. Se f é diferenciável no intervalo (exceto possivelmente no próprio ponto c ), então f(c) pode ser classi cado como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois como se segue: 1. No intervalo (a; b), se f 0 (x) é negativa à esquerda de x = c e positiva à direita de x = c, então f(c) é um mínimo relativo. Veja a gura abaixo. 2. No intervalo (a; b), se f 0 (x) é positiva à esquerda de x = c e negativa à direita de x = c, então f(c) é um máximo relativo. Veja a gura abaixo.

118 No intervalo (a; b), se f 0 (x) tem o mesmo sinal à esquerda e a direita de x = c, então f(c) não é extremo relativo de f. Veja as guras abaixo. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Encontre todos os extremos relativos das funções abaixo. a) f(x) = 2x 3 3x 2 36x + 14 b) f(x) = x 4 x EXTREMOS ABSOLUTOS As expressões mínimo relativo e máximo relativo descrevem o comportamento local de uma função. Para indicar o comportamento global da função em todo um intervalo, podemos aplicar as expressões mínimo absoluto e máximo absoluto. De nição de Extremos Absolutos Seja f de nida em um intervalo I que contém o ponto c. 1. f(c) é mínimo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x 2 I. 2. f(c) é máximo absoluto de fem I se f(c) f(x) para todo x 2 I: O mínimo absoluto e o máximo absoluto de uma função em um intervalo são chamados, sem perda de generalidade, de mínimo e máximo de f em I.

119 CONCAVIDADE E O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA Concavidade Lembramos que, dada uma função f(x), após obtermos a função derivada f 0 (x), podemos obter a derivada segunda de f(x) simplesmente derivando a derivada f 0 (x) ou, em outras palavras, a derivada segunda de f(x) é a derivada da derivada de f(x). A derivada segunda de f(x) é simbolizada por f"(x):já vimos como a determinação dos intervalos em que uma função f(x) é crescente ou decrescente pode facilitar o traçado e a interpretação do seu grá co. Agora veremos que a determinação dos intervalos em que a derivada f 0 (x) é crescente ou decrescente servirá para indicar onde o grá co de f(x) se encurva para cima ou para baixo. Esta noção de encurvamento para cima ou para baixo é de nida formalmente como concavidade do grá co da função. De nição de Concavidade Seja f diferenciável em um intervalo aberto I. O grá co de f é: 1. côncavo para cima em I se f 0 é crescente no intervalo; 2. côncavo para baixo em I se f 0 é decrescente no intervalo. Pela gura abaixo podemos chegar a seguinte interpretação grá ca da concavidade: 1. Uma curva que é côncava para cima está acima de sua tangente; 2. Uma curva que é côncava para baixo está abaixo de sua tangente TESTE DA CONCAVIDADE Seja f uma função com derivada segunda em um intervalo aberto I : 1. Se f "(x) > 0 para todo x em I, então f é côncava para cima em I ; 2. Se f "(x) < 0 para todo x em I, então f é côncava para baixo em I. Diretrizes para Aplicação do Teste da Concavidade

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