ELEMENTOS FINITOS PARA ONDAS NÃO LINEARES E DISPERSIVAS Finite elements for nonlinear dispersive waves

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1 as Jornadas de Hidráuica Recursos Hídricos e Ambiente [7] FEUP ISBN ELEMENTOS FINITOS PARA ONDAS NÃO LINEARES E DISPERSIVAS Finite eements for noninear dispersive waves PAULO AVILEZ-VALENTE Professor Auiiar FEUP/CEHRA Rua Dr Roberto Frias s/n P--65 Porto pvaente@feuppt Resumo Uma formuação de Petrov-Gaerkin do método dos eementos finitos é apicada para a resoução das equações de Boussinesq a duas dimensões horizontais O esquema utiizado neste trabaho recorre à discretização biinear no espaço e inear no tempo com condições de continuidade C O esquema de integração no tempo é do tipo predictor-corrector a um níve São garantidas precisão e estabiidade condiciona de ª ordem As funções de peso biineares no espaço e quadráticas no tempo permitem a introdução de termos de correcção da dispersão numérica e de um mecanismo dissipativo atamente seectivo mantendo a consistência da formuação e garantindo as suas propriedades conservativas São apresentados resutados numéricos para a osciação em massa de uma bacia quadranguar e para a propagação de uma onda periódica sobre um quebramar submerso Concui-se que o método proposto é estáve e preciso com características óptimas de conservação de massa e de convergência Paavras-chave: Petrov-Gaekin; Estabiidade Numérica; Precisão; Convergência; Conservação de Massa Abstract A Petrov-Gaerkin formuation for the finite eement method is appied to the DH Boussinesq equations The discretisation is biinear in space and inear in time with C continuit Time integration is performed b a one-eve predictor-corrector scheme Third order accurac and conditiona stabiit are guaranteed The weighting functions biinear in space and quadratic in time aow for the introduction of dispersion correction terms and of a high seective dissipative mechanism keeping the scheme consistenc and conservation properties Numerica resuts are presented for the osciation of a cosed basin and for the propagation of a periodic wave over a bar The proposed method is accurate and stabe with optima mass conservation and convergence properties Kewords: Petrov-Gaerkin; Numerica Stabiit; Accurac; Convergence; Mass Conservation 1 Introdução Os primeiros modeos de ondas não ineares e dispersivas devem-se a Boussinesq 17 Serre 195 e Peregrine 1967 Na útima década verificou-se um importante esforço de investigação na etensão destes modeos de forma a terem em conta a não inearidade competa (eg Gobbi et a Madsen et a ) a propagação em águas profundas (Nwogu 199 Wei e Kirb 1995 Madsen e Schäffer 199 e Gobbi e Kirb 1999) e a dissipação por rebentação (Zet 1991 Schäffer et a 199 Antunes do Carmo e Seabra- -Santos 1996 Kenned et a Chen et a e Veeramon e Svendsen ) A resoução numérica destes modeos recorre tradicionamente ao método das diferenças finitas (eg Abbott et a Antunes do Carmo et a 199a Wei e Kirb 1995 Shi et a 1 Fuhram e Bingham ) Estes esquemas recorrem a fitros numéricos para garantir a sua estabiidade e ao método de Runge-Kutta de eevada ordem para assegurar a precisão Mais recentemente foram propostos aguns métodos de voumes finitos de ª ordem (Bradford e Sanders Stansb e Erduran et a 5) Cienfuegos et a 6 propuseram um esquema de voumes finitos de ª ordem para as equações de Serre estendidas Os primeiros trabahos pubicados com apicações do método dos eementos finitos à discretização das equações de Boussinesq cássicas (eg Antunes do Carmo et a 199b Kawahara e Cheng 199) são formuações de Gaerkin de 1ª ou ª ordem Mais recentemente foram pubicadas apicações a modeos de Boussinesq estendidos (Antunes do Carmo e Seabra-Santos 1996 Li et a 1999 Wake e Berzins 1999 Sørensen et a ) Na maior parte dos casos não foi apresentada nenhuma anáise de estabiidade e/ou precisão sendo que a precisão máima deverá ser de ª ordem Por outro ado as formuações de Gaerkin são conhecidas por produzirem souções com eevada dispersão numérica (Aviez-Vaente e Seabra-Santos 1997) Aém disso em modeos não ineares sem dissipação a acumuação de energia nas escaas mais pequenas que a maha de cácuo consegue resover e o eventua efeito de transferência de energia por efeito de aiasing podem causar ruído numérico e tornar o esquema instáve (Hatiner e Wiiams 19) 95

2 P Vaente Os agoritmos numéricos para equações deste tipo devem ser estáveis e ter uma precisão de ª ordem (Abbott et a 197) A apicação de fitros numéricos é uma das técnicas utiizadas para garantir a estabiidade dos esquemas numéricos (Durran 1999) No entanto a sua apicação com esquemas de eementos finitos a DH é bastante compea conduzindo geramente a souções demasiado dissipativas (Fernandes e Fortes 5) Neste trabaho recorre-se a uma formuação de Petrov- -Gaerkin com eementos finitos espaço-temporais É uma etensão a duas dimensões horizontais de trabahos anteriores (Aviez-Vaente Aviez-Vaente e Seabra- -Santos Pecha e Aviez-Vaente 5) A função peso é definida de forma a garantir uma precisão de quarta ordem na ceeridade de fase inear e um mecanismo dissipativo de terceira ordem Devido à presença do termo não inear recorre-se a um esquema predictor-corrector para a integração no tempo sendo os coeficientes da função peso definidos para cada um dos passos deste esquema Na Secção é descrito o modeo de Boussinesq e a formuação de Petrov-Gaerkin Na Secção descrevem-se e comentam-se duas eperiências numéricas destinadas a anaisar a precisão e a convergência do esquema proposto No primeiro caso é simuada a osciação em massa de uma bacia portuária e são estudadas as propriedades de conservação e de convergência do método No segundo caso é simuada a propagação de uma onda periódica sobre um quebramar submerso sendo os resutados numéricos obtidos comparados com resutados eperimentais disponíveis na iteratura (Dingemans 199) Na Secção são apresentadas as concusões Modeo Matemático 1 Modeo de Boussinesq Na forma vectoria e a duas dimensões horizontais o modeo de Boussinesq para fundos muito suaves escreve- -se: L U U U U U U + A + A + B + B t t t ( ) U + B + CU t definido no domínio espaço-tempora Q Ω T com Ω e [ + [ B B B T O vector U e as matrizes A e C são dados por ζ u h + ζ v h + ζ U u A g u A g v v u v h h B 1 B 1 1 dh d dh d h B C 1 [1] A [] em que ζ é a eevação da superfície ivre u e v são as componentes da média vertica instantânea da veocidade horizonta h é a profundidade e g é a aceeração da gravidade O quadrado da ceeridade de fase do modeo de Boussinesq C Bou é um aproimante de Padé de ordem [ ] do quadrado da ceeridade de fase do modeo de Air: gh CBou ( kh) 1 + sendo k o número de onda Este modeo é váido apenas para kh < π não simuando correctamente a propagação de ondas em águas de profundidade reativa eevada Formuação de Eementos Finitos A formuação de Petrov-Gaerkin para o modeo dado pea Eq [1] consiste em encontrar a função vectoria ˆ ( ˆ ζ ˆ ˆ ( n) ( n+ 1) U u v) definida em Ω t t ta que: ( n+ 1 t ) ( n t ) Ω ( ) Wˆ L Uˆ d Wˆ [] Escoheram-se eementos finitos biineares no espaço e ineares no tempo com as funções de forma (no caso de um eemento reguar) dadas por: t t N N 1 1 t t t t N 1 N 1 1 t t [5] t t N5 1 1 N6 1 t t t t N7 N 1 t t Na Eq [5] e t são as coordenadas ocais sobre o ( n+ 1) ( n) eemento e e t t t as suas dimensões As funções de peso são funções vectoriais biineares no espaço e quadráticas no tempo iniciamente propostas por Yu e Heinrich 197 para modeos de convecção-difusão definidas em cada eemento por T Pi T Pi W P + α T ( A ) + α Tα ( A ) C C i i α t T Pi t T Pi + β T ( A ) + β Tβ ( A ) C t C t β t + T γ B h Na Eq [6] C T Pi t não dispersiva as matrizes [] [6] gh é a ceeridade para uma onda onga A e A são h h A g e A [7] g e os tensores T T e T são α β γ 1 T α β γ γ T 1 e T [] 1 γ 96

3 Eementos Finitos para Ondas não Lineares e Dispersivas As funções escaares para os quais t t : P i são cacuadas apenas para os nós t t P t t t t P t t [9] t t P7 6 1 t t t t P t t Os coeficientes β e β são seeccionados de forma a eiminar os erros de dispersão de ª ordem assegurando a precisão do esquema Os coeficientes α e α introduzem termos dissipativos de ª ordem nas equações de conservação da quantidade de movimento garantindo a estabiidade do método Os coeficientes γ e γ actuam sobre as derivadas cruzadas para que contribuam para a estabiidade do método Finamente a formuação de Petrov-Gaerkin pode ser escrita como um sistema de três equações escaares após integração por partes dos termos dispersivos (para detahes ver Aviez-Vaente e Seabra- Santos e Aviez-Vaente ) Esquema de Integração no Tempo Os termos não ineares na Eq [1] forçam à utiização de um esquema iterativo do tipo predictor-corrector com peo menos dois passos correctores Os coeficientes α α β β γ e γ são escohidos em cada passo de forma a garantir a precisão desejada (para detahes ver Pecha 6): ( ) ( 1) ( ) ( ) Cr β β β β ( ) ( 1) ( ) ( ) Cr β β β β ( ) ( 1) ( ) ( ) Cr α Cr α α α 1 Cr ( ) ( 1) ( ) ( ) Cr α Cr α α α 1 Cr [1] [11] [1] [1] ( k) ( k) ( k) ( k) γ Crα e γ Crα k 1 [1] Nas Eqs [1] a [1] o índice k corresponde ao passo predictor e k 1 corresponde aos passos correctores Cr e Cr são os números de Courant direccionais respectivamente: t t Cr C e Cr C [15] De forma a garantir a precisão e estabiidade do método α 1 e α 1 de onde resutam as condições: Cr 75 e Cr 75 [] Ensaios Numéricos O agoritmo foi testado com dois ensaios computacionais No primeiro ensaio bidimensiona simua-se a osciação em massa de uma bacia quadrada fechada Este teste permite verificar as propriedades de conservação da massa do esquema numérico e reaizar uma anáise de convergência do agoritmo A infuência da não inearidade da onda na convergência é estudada recorrendo a duas ondas: uma onda quase inear e uma onda de não inearidade eevada 1 Osciação em massa A osciação de uma bacia quadrada fechada permite anaisar a convergência do esquema numérico as suas propriedades conservativas e a quaidade do tratamento das derivadas cruzadas As dimensões da bacia são L L com L L L 75 m e a profundidade é h 5 m constante As fronteiras são paredes totamente refectoras A condição inicia é uma perturbação da superfície ivre com veocidade nua A perturbação é do tipo gaussiano cujo centro coincide com o centro da bacia e com a origem do sistema de coordenadas: 1 ζ ( ) H ep ( + ) σ [17] em que H é a ampitude da perturbação e σ 5 m é o coeficiente de forma Foram consideradas duas ondas: Onda A fracamente não inear com H 5 m; Onda B com não inearidade eevada H 5 m Os modos próprios ineares de osciação da bacia correspondem aos números de onda π knm n + m L ( ) [1] As frequências naturais correspondentes são dadas pea reação de dispersão inear do modeo de Boussinesq: ω gk nm nm nm ( knmh) Conservação da massa k h [19] O período de ressonância mais baio correspondente ao modo de osciação simétrico ( ) é T 6 s Num primeiro teste recorreu-se a uma discretização com eementos biineares reguares com 15 m e t 5 s Desta forma os números de Courant direccionais são Cr Cr 7 Na Figura 1 é registada a evoução da superfície ivre nos primeiros 5 s de osciação Ao fim de 1 s de osciação o erro reativo na variação da massa foi inferior a 1 1 muitíssimo inferior ao registado com o código FUNWAVE para o mesmo probema: 1 de acordo com Wei e Kirb 1995 Este resutado pode ser devido a uma mehor integração das condições fronteira no método dos eementos finitos quando comparado com o método das diferenças finitas ou à utiização de fitros demasiado dissipativos no FUNWAVE 1 Convergência Anaisou-se a convergência do esquema em função da discretização espacia e da discretização tempora A discretização espacia foi estudada numa sequência i i com m e i 1 K A discretização tempora foi mantida constante com t 15 s 97

4 P Vaente (a) (b) (c) (d) (e) (f) D (m) (a) H 5 m Figura 1 Osciação em massa para a Onda A (a) t s (b) t 1 s (c) t s (d) t s (e) t s (f) t 5 s O resíduo médio eucidiano das superfícies ivres cacuadas para t 5 s entre duas simuações com i 1 e i é cacuado para os mesmos nós computacionais: ( ) k ( k ) N 1 ζ ζ k 1 i i 1 RME i N 1 sendo N 1 o número de nós da maha com i 1 [] Da anáise da Figura pode-se concuir que o ogaritmo de RME decresce de uma forma inear com o refinamento da maha o que indica uma razão de convergência praticamente constante A razão de convergência de Cauch dada por : ( i 1 i ) ( i 1 i ) og RME RME Ri og tem um vaor médio R 7 para a Onda B [1] tanto para a Onda A como A anáise de convergência para a discretização tempora foi reaizada com uma sequência t i com t 5 s e i 1 K A maha espacia manteve uma discretização constante com 15 m A variação da convergência com a discretização tempora está registada na Figura para o instante t 5 s Foram obtidos os vaores de R e R 9 respectivamente para as Ondas A e B Estes vaores são superiores aos obtidos com o código FUNWAVE com coordenadas curviíneas (Shi et a 1) Propagação de Uma Onda Sobre um Quebramar Submerso Simuou-se a propagação de uma onda periódica unidimensiona sobre um quebramar submerso Os resutados são comparados com dados aboratoriais (Dingemans 199) D (m) (b) H 5 m Figura Convergência com o refinamento da maha A profundidade é de 6 m onge do quebramar e de m sobre o coroamento do quebramar O cana numérico tem m de comprimento A ampitude da onda é a m e o seu período é T 57 s Foi utiizada uma discretização espacia uniforme com 1 m e um passo de tempo t 1 s Portanto Cr 97 e kh 7 na entrada do cana e Cr 7 sobre o coroamento Durante o cácuo foram usados um passo predictor e dois passos correctores Foram registados resutados em 11 sondas (cf Quadro 1 e Figura ) As condições fronteira foram: a baramar ( t) 1 ( t) * ˆ ζ * 1 ζ ( t) ζ 1 ( t) e uˆ ( t) CBou * h + ζ [] em que ζ * 1 ( t ) é o sina eperimenta da sonda 1; na fronteira de sotamar foi imposta a condição de radiação ( t) ˆ ζ ( t) ˆ ζ uˆ ( t) CBou h + [] 9

5 Eementos Finitos para Ondas não Lineares e Dispersivas Nas Eqs [] e [] sinusoida com período T 57 s C Bou é a ceeridade de uma onda Na Figura 5 são apresentadas as séries temporais da eevação da superfície ivre nas sondas 6 e 9 11 A ampitude e a fase da onda são bem descritas peo modeo ecepto nas útimas sondas A anáise espectra dos sinais (ver Figura 6) mostra que para as sondas 9 11 a ª harmónica e outras superiores não são reproduzidas peo modeo Isto deve-se ao facto de que estas harmónicas têm frequências superiores a 9 Hz (imite assimptótico das equações de Boussinesq para h 6 m) Dt/1 (s) (a) H 5 m t (s) # t (s) # t (s) #1-6 t (s) # t (s) # t (s) #11 Figura 5 Registos temporais nas sondas Dados eperimentais (- -) e resutados numéricos ( ) Dt/1 (s) (b) H 5 m Figura Convergência com o refinamento da discretização tempora Quadro 1 Posição das sondas Sonda (m) # # # #5 #6 #7 # #9 #1 #11-1 (m) Ampitude (mm) Ampitude (mm) 1 1 f (Hz) # 1 1 f (Hz) #6 Ampitude (mm) Ampitude (mm) 1 1 f (Hz) #5 1 1 f (Hz) #9 Figura Geometria do quebramar submerso e posição das sondas Durante a propagação a baramar do quebramar a onda é essenciamente composta por uma única harmónica Sobre o taude de baramar são geradas harmónicas de ordem superior devido ao aumento da não inearidade Sobre o coroamento eiste um equiíbrio dinâmico entre os efeitos dispersivos e não ineares peo que a onduação se propaga como se de uma onda soitária se tratasse Sobre o taude posterior os efeitos dispersivos são dominantes e as várias harmónicas propagam-se com diferentes ceeridades Ampitude (mm) 1 1 f (Hz) #1 Ampitude (mm) 1 f (Hz) #11 Figura 6 Ampitudes espectrais Dados eperimentais (L ) e resutados numéricos ( ) 1 99

6 P Vaente Concusões Apresentou-se um esquema de eementos finitos com uma formuação de Petrov-Gaerkin para as equações de propagação de ondas Boussinesq cássicas Recorreu-se a uma discretização competa no espaço e no tempo com continuidade C O esquema introduz termos do tipo upwind os quais corrigem os erros de dispersão numérica e garantem a estabiidade do cácuo Os testes computacionais reaizados mostraram eceentes propriedades de conservação da massa e uma razão de convergência superior a tanto para a discretização espacia como a discretização tempora Verificou-se também que o esquema é estáve não sofrendo de perturbações de origem numérica Agradecimentos Este trabaho foi financiado pea Fundação para a Ciência e Tecnoogia através do projecto POCTI/ECM/1/1 com verbas da União Europeia programa FEDER e verbas próprias da Repúbica Portuguesa Referências Abbott MB McCowan AD Warren IR (19) Accurac of short-wave numerica modes J Hd Engrg Abbott MB Petersen HM Skovgaard O (197) On the numerica modeing of short waves in shaow water J Hd Res 17 Antunes do Carmo JS Seabra-Santos FJ (1996) On breaking waves and wave-current interaction in shaow water: a DH finite eement mode Int J Numer Methods Fuids 9 Antunes do Carmo JS Seabra-Santos FJ Ameida AB (199a) Numerica soution of the generaized Serre equations with the MacCormack finite-difference scheme Int J Numer Methods Fuids 75 7 Antunes do Carmo JS Seabra-Santos FJ Barthéem E (199b) Surface waves propagation in shaow water: a finite eement mode Int J Numer Methods Fuids 7 59 Aviez-Vaente P () Métodos de Eementos Finitos para a Modeação a Uma e a Duas Dimensões Horizontais da Propagação de Ondas em Engenharia Tese de Doutoramento Universidade de Coimbra Aviez-Vaente P Seabra-Santos FJ (1997) Características dispersivas do método dos eementos finitos apicado às equações de Boussinesq Actas do V Encontro Naciona de Mecânica Computaciona Out 1997 Guimarães 15 Aviez-Vaente P Seabra-Santos FJ () A DH finite eement method for the propagation of water waves around coasta structures Coasta Structures 99 Santander Aviez-Vaente P Seabra-Santos FJ () A Petrov- Gaerkin finite eement scheme for the reguarized ong wave equation Computationa Mechanics 56 7 Boussinesq J (17) Théorie des ondes et des remous qui se propagent e ong d un cana rectanguaire horizonta en communiquant au iquide contenu dans ce cana des vitesses sensibement pareies de a surface au fond J Math Pure et App Bradford SF Sanders BF () Finite-voume modes for unidirectiona noninear dispersive waves J Waterwa Port Coasta and Ocean Engrg Chen Q Kirb JT Darmpe RA Kenned AB Chawa A () Boussinesq modeing of wave transformation breaking and runup II: D J Waterwa Port Coasta and Ocean Engrg 56 Cienfuegos R Barthéem E Bonneton P (6) A fourth-order compact finite voume scheme for fu noninear and weak dispersive Boussinesq-tpe equations Part I: Mode deveopment and anasis Int J Numer Methods Fuids Dingemans MW (199) Comparison of computations with Boussinesq-ike modes and aborator measurements Technica Report Project 1: Waves MAST-GM Deft Hdrauics Durran DR (1999) Numerica Methods for Wave Equations in Geophsica Fuid Dnamics Springer-Verag NY páginas ISBN Erduran KS Iic S Kutija V (5) Hbrid finite-voume finite-difference scheme for the soution of Boussinesq equations Int J Numer Methods Fuids Fernandes JL Fortes CJEM (5) Anáise do desempenho de fitros num modeo não-inear de propagação de ondas Cong Métodos Numéricos en Ingeniería Granada 5 [CD-ROM] ISBN Furham DR Bingham HB () Numerica soutions of fu non-inear and high dispersive Boussinesq equations in two horizonta dimensions Int J Numer Methods Fuids 1 55 Gobb MF Kirb JT (1999) Wave evoution over submerged sis: tests of a higher-order Boussinesq mode Coasta Engineering Gobb MF Kirb JT Wei G () A fu non-inear Boussinesq mode for surface waves Part Etension to O( kh ) J Fuid Mech Hatiner GJ Wiiams RT (19) Numerica Prediction and Dnamic Meteoroog J Wie & Sons NY 96 páginas ISBN Kawahara M Cheng JY (199) Finite eement method for Boussinesq wave anasis Int J Comput Fuid Dnamics 1 17 Kenned AB Chen Q Kirb JT Darmpe RA () Boussinesq modeing of wave transformation breaking and runup I: 1D J Waterwa Port Coasta and Ocean Engrg 9 7 Li YS Liu SX Yu YX Lai GZ (1999) Numerica modeing of Boussinesq equations b finite eement method Coasta Engineering

7 Eementos Finitos para Ondas não Lineares e Dispersivas Madsen PA Bingham HB Liu H () A new Boussinesq method for fu non-inear and etreme dispersive water waves J Fuid Mech 6 1 Madsen PA Schäffer HA (199) Higher-order Boussinesqtpe equations for surface gravit waves: derivation and anasis Phi Trans R Soc Lond A Nwogu (199) An aternative form of the Boussinesq equations for modeing the propagation of waves from deep to shaow water J Waterwa Port Coasta and Ocean Engrg Peregrine DH (1967) Long waves on a beach J Fuid Mech Pecha S (6) Esquemas de Eementos Finitos para Ondas Dispersivas Tese de Mestrado Facudade de Engenharia da Universidade do Porto Pecha S Aviez-Vaente P (5) Modeação da propagação de ondas não ineares e dispersivas com espectro de banda estreita Cong Métodos Numéricos en Ingeniería Granada 5 [CD-ROM] ISBN Schäffer HA Madsen PA Deigaard R (199) A Boussinesq mode for waves breaking in shaow water Coasta Engineering 15 Serre F (195) Contribution à étude des écouements permanents et variabes dans es canau La Huie Banche 7 e 7 Shi F Darmpe RA Kirb JT Chen Q Kenned A (1) A fu noninear Boussinesq mode in generaized curviinear coordinates Coasta Engineering 7 5 Sørensen OR Schäffer HA Sørensen LS () Boussinesq-tpe modeing using an unstructured finite eement technique Coasta Engineering Stansb PK () Soitar wave run up and overtopping b a semi-impicit finite-voume shaow-water Boussinesq mode J Hd Res Veeramon J Svendsen IA () The fow in surf-zone waves Coasta Engineering Wake M Berzins M (1999) A finite eement method for the one-dimensiona etended Boussinesq equations Int J Numer Methods Fuids Wei G Kirb JT (1995) Time-dependent numerica code for etended Boussinesq equations J Waterwa Port Coasta and Ocean Engrg Yu C-C Heinrich JC (197) Petrov-Gaerkin method for mutidimensiona time-dependent convective-diffusion equations Int J Numer Methods Fuids 1 15 Zet JA (1991) The run-up of nonbreaking and breaking soitar waves Coasta Engineering