REMUNERAÇÃO DE CAPITAIS. Registro FBN 21/05/2010 PARTE I TEÓRICA PARTE II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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1 REMUNERAÇÃO DE CAPITAIS Registro FBN 21/05/2010 PARTE I TEÓRICA PARTE II EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Uma conotação objetiva, com abordagens conceituais e exercícios resolvidos, para estudantes e para quem gosta de valorizar seus recursos financeiros. Autor: Mourão Lobato 1

2 PARTE I TEÓRICA Para evitar desconfigurações nas fórmulas de juros compostos, houve necessidade de adoção de símbolos de configuração. Assim, quando verificar em uma fórmula composta o termo ( ^ ), significa elevado a, ou exponencial; e (. ou x ou *), significa multiplicação. Também nos capítulos sobre Anuidades, considerei o Fator Price como sendo ( 1/a n! i ). ABORDAGEM INICIAL Antes de adentrarmos aos conceitos sobre remuneração de capitais, faremos uma abordagem rápida e necessária sobre álgebra. 1. Símbolos Matemáticos Utilizados nos Sistemas Informatizados: 1. Multiplicação: ( x,., * ) 2. Divisão: ( :, / ) 3. Exponencial: ( ^ ) 4. Separadores de operações nas equações: {colchetes}, [chaves], (parênteses). São utilizados para facilitarem a visualização, compreensão e segurança nos mecanismos das operações de multiplicações, divisões, somas, subtrações e exponenciações simultâneas nas equações algébricas. 2. Desenvolvimento de Equações Algébricas: 1. Operações com Multiplicação: A + B x C ou A + (B x C) A + B. C ou A + (B. C) A + B * C ou A + (B * C) 2. Operações com Divisão: A + B / C ou A + (B / C) 2

3 A + B : C ou A + (B : C) 3. Operações com Exponencial: A + B ^ C ou A + (B ^ C) 4. Operações Mistas: {(A + B) x (C+D) / E} + F ou {(A + B) x [(C+D) / E ]+ F} (A+B). (C+D) : (E+F) ou (A+B) x (C+D) : (E+F) (A + B)² x (C+D) / (E + F) ou [(A + B) ^2 ] x [(C+D) / (E+ F)] P = VF x [ ((1+i) ^ n) x i ] / {[ (1+i) ^ n ] 1 } P = VF x i x [ (1+i) ^ n ] / {[ (1+i) ^ n ] 1} ou P = VF. [ ((1+i) ^ n). i ] / {[ (1+i) ^ n ] 1 } P = VF. i. [ (1+i) ^ n ] / {[ (1+i) ^ n ] 1} OBJETIVO Detectar as variações de Capitais e suas formas de cálculos, tendo como referenciais: a taxa de juros; o capital aplicado; e o tempo de aplicação. 1. Porcentagens As relações percentuais são bastante úteis em nosso cotidiano. Podemos utilizá-las em cálculos de participações de lucros, em relações de grandezas numéricas, comparando-se uma parte com o todo, em análises financeiras de estrutura (ou vertical), horizontal (ou de evolução, ou de crescimento). 3

4 As terminologias adotadas são: x% (x por cento); percentual; porcentagem; variação percentual. Exemplos: 1. Imaginemos que em uma sala de aula existam dez alunos, sendo quatro morenos (x), três louros (y) e três negros (z). Qual a relação percentual de cada grupo de alunos em relação ao total de alunos? Sendo 10 alunos, correspondentes a 100% do conjunto de alunos (x, y, z): % x = 4 / 10 = 0,4 = 40% % y = 3 / 10 = 0,3 = 30% % z = 3 / 10 = 0,3 = 30% 2. Uma sociedade composta por três sócios possui a seguinte distribuição de cotas de seu capital, cabendo ao sócio A, 30%, ao sócio B, 40% e ao sócio C, o restante. Supondo-se um lucro a distribuir de $50, quanto caberá ao sócio C? O total de cotas corresponde a 100% do capital da sociedade. As participações percentuais de cada sócio serão: A = 30 / 100 = 30%; B = 40 / 100 = 40%; C = 30 / 100 = 30% Sendo o lucro a distribuir de $50, ao sócio C caberá: $50 x 30% = $15 3. Uma sociedade apresentou a seguinte demonstração de resultados: Vendas Líquidas $1.000 (-) Custo Operacionais $ 600 = Lucro Bruto $ 400 (-) Despesas Operacionais $ 200 4

5 Qual o percentual do custo dos produtos, do lucro bruto e das despesas operacionais em relação às vendas líquidas? Qual será o percentual do lucro operacional? % do Custo = 600 / 1000 = 60 / 100 = 60% % do Lucro Bruto = 400 / 1000 = 40 / 100 = 40% % das despesas operacionais = 200 / 1000 = 20% O lucro operacional será igual ao lucro bruto menos as despesas operacionais, ou seja, (40% - 20%) = 20%. 2. Regime de Juros Simples Nos capítulos posteriores utilizaremos, para efeito de cálculo, a seguinte convenção: - um ano comercial equivale a 12 meses; - um mês comercial equivale a 30 dias; - um ano comercial equivale a (12 x 30 dias), ou 360 dias Juros Simples aplicação. Neste sistema, os juros são proporcionais ao período ou tempo de O valor dos juros calculados está sempre associado ao tempo aplicado. J = C.i.n J = juros; i = taxa de juros; C = capital aplicado; n = período da aplicação. Exemplos: 5

6 1. Qual o juro proporcionado pela aplicação de $100, durante 2 meses, à taxa de juros simples de 2% ao mês? C = $100; n = 2 meses; i = 2% ao mês. J = $100 x 2% x 2 = $4 Assim, o valor dos juros ( J ) será de $4, ou 4% de $100. A taxa de juros deverá estar associada ao tempo da aplicação, ou seja:. 2% ao mês, quando o período de aplicação for o mês;. 2% ao bimestre, quando o período de aplicação for o bimestre (equivale a 1% ao mês);. 2% ao ano, quando o período for o ano Montante no Regime de Juros Simples Consiste em determinar o valor total de juros produzidos, a partir de determinado capital aplicado, após determinado tempo de aplicação. A partir da fórmula (j = c.i.n), podemos chegar à seguinte fórmula geral de montante no regime de juros simples: 1 o. período J1 = C.i M1 = C + C.i = C(1 + i) M1 = C(1 + i); 2 o. período J2 = C.i M2 = M1 + C.i M2 = C + C.i + C.i M2 = C (1+ 2i); 3 o. período J3 = C.i M3 = M2 + C.i M3 = C(1 + 2i) + C.i M3 = C (1+ 2i + i) M3 = C (1+ 3i) Podemos perceber que a cada período o novo montante será acrescido de (J = C.i.n) ao capital inicial, tal que: 6

7 Mt (montante total) = C (capital inicial) + J1 + J2 + J Jn; Como J1 = J2 = J3 =... = Jn, podemos deduzir que o total de juros será de (n.j) ou (n.c.i). Assim, a fórmula do Montante a juros simples será: Mn = C. (1 + i. n) Exemplo: 1. Calcular o montante produzido pelo capital $100, aplicado por 8 meses, à taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples. C = $100; n = 8 meses; i = 12% ao ano, ou seja, 1% ao mês. M8 = $100 x (1+ 1%x8) = $100 x 1,08 = $108; ou M8 = $100 x (1 + 8/12 x 12%) = $100 x (1+8%) = $100 x 1,08 = $108 Assim, o valor do montante M8 será de $ Desconto Simples Possui duas formas distintas: Desconto por Fora ou Comercial e Desconto por Dentro ou Racional Desconto Simples por Fora, ou Desconto Comercial Consiste em determinar o valor líquido (VL) que se quer receber, tendo como referência um valor ou capital futuro (VF), descontado a juros simples, à taxa (i), em n períodos antes de seu vencimento. VL = VF Dc 7

8 Sendo: Dc = VFxin e VL = VF VF x i.n Podemos escrever que: VL = VF. (1 - i.n) Exemplo: 1. Qual o desconto simples por fora sofrido por um título de $1000, descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 5% ao mês? VF = $1000; i = 5% ao mês; n = 2 meses VL = VF (1 - i.n) = $1000 x (1-5% x 2) = $1000 x 0,90 = $900 =>VL = $900 Valor do Desconto Comercial (DC): VF - VL = $ $900 = $100; Ou, Dc = VF x ni = $1000 x 5% x 2 = = $1000 x 10/100 = 100 Dc = $ Desconto Simples por Dentro ou Desconto Racional Consiste em determinar o valor líquido (VL), ou valor presente, tal que, acrescido a um valor de desconto (D), proporcionado pelo desconto a uma taxa i, encontremos o valor futuro (VF). VL + VL.i.n = VL.(1 + i.n) = VF 8

9 VL = VF / (1 + i.n) Considerando VL o Capital Inicial (C) e VF o Montante Final (M), temos: C = M / (1 + i. n ) M = C. (1+ i. n) Exemplo: 1. Qual o desconto por dentro de um título de $1000, descontado 2 meses antes do vencimento, à taxa de 5% ao mês? VF = $1000; i = 5% ao mês; n = 2 meses. VL = VF / (1 + i.n) = 1000 / (1 + 5% x 2) = 1000 / 1,10 VL = $909,09 Valor do Desconto Racional (DR): Dr = VF - VL = $ $909,09 = 90,91 Dr = $90,91 3. Regime de Juros Compostos 3.1. Juros Compostos Consiste em calcular os juros proporcionados pela incidência de determinada taxa de juros i, composta, sobre o capital inicial no primeiro instante e sobre o montante Mk nos demais instantes, sendo (k = 1 até n períodos), de forma que o montante antecedente seja o capital sobre o qual incidirá a taxa i para cálculo do montante consequente. 9

10 1 o. período: J1 = C.i, já que n é igual a 1 M1 = C + C.i = C(1 + i) M1 = C(1 + i); 2 o. período: J2 = M1.i M2 = M1 + J2 M2 = C(1 + i) + M1.i M2 = C(1 + i) + C(1 + i).i M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = C(1 + i)^2 ; 3 o. período: J3 = M2.i M3 = M2 + J3 M3 = C(1 + i)^2 + M2.i M3 = C(1 + i)^2 + C(1 + i)^2.i M3 = C(1 + i)^2. (1 + i) M3 = C(1 + i)^3 Podemos perceber que a cada período, o novo montante será acrescido do fator (1 + i) ao capital inicial, tal que: Mn (montante total) = C (capital inicial) x (1+i) x (1+i) x (1+i)... n vezes Assim, a fórmula do montante a juros compostos será: Mn = C. (1 + i)^n Para calcularmos o número de períodos da capitalização, fazemos: log Mn = log C.(1 + i)^n log Mn = log C + n.log (1+i) log Mn log C = n. log(1+i) n = (log Mn - log C) / log (1 + i) n = Log (Mn / C) / Log (1 + i) 10

11 Exemplos: 1. Qual o montante final do capital inicial $100, aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao ano, durante 8 anos? C = $100; i = 5% ao ano; n = 8 anos Mn = 100 x (1 + 5%)^8 = 100 x (1,05)^8 = 100 x 1,4775 Mn = $147,75 2. Recalcule o montante acima, para n = 8 anos e 6 meses. Em 1 ano a taxa é de 5%; 6 meses = ½ ano; 8 anos e 6 meses = 8,5 anos Assim, Mn = 100 x (1,05)^8,5 = 151,39 Mn = $151, Taxa Efetiva em Juros Compostos É efetiva a taxa de juros, quando coincide com a capitalização:. 2% ao mês, com capitalização mensal;. 2% ao bimestre, com capitalização bimestral;. 2% ao ano, com capitalização anual Taxa Nominal em Juros Compostos Sendo a taxa de juros diferente da de capitalização, a taxa será nominal: meses);. 72% ao ano, com capitalização mensal, equivale a 6% ao mês => (72/12 11

12 . 32% ao ano, com capitalização trimestral, equivale a 8% ao trimestre => (32/4 trimestres). Exemplo: 1. Qual o montante do capital de $500, ao fim de 2 anos, com juros compostos de 32 % ao ano, capitalizados ao trimestre? 1 ano possui 4 trimestres; 32% ao ano equivale a 8% ao trimestre. C = $500; n = 2 anos ou 8 trimestres; i = 8% ao trimestre Mt = 500 ( 1 + 8%)^8 = 500 (1,08)^8 = 500 x 1,85093 Mt = $925,46 A taxa efetiva de juros no caso foi de ($925,46 / $500) - 1 = 0,85092 ou 85,092%, equivalente a 36,04852% a.a. ou 2, % a.m. ou a 8% at Equivalência de Taxas na Capitalização Composta i (taxa); n (período de aplicação); k (regime em relação à taxa i); r (períodos correspondentes ao n-ésimo período da capitalização). i ( e ) = {[ (1+i) ^ (k/r)] - 1}x 100 Exemplos: 12

13 equivale a: 1. Taxa composta de 32% ao ano, capitalizados bimestralmente, O ano tem 6 bimestres; ou 1 bimestre é 1/6 do ano. Então: i ( e ) = ( 1,32^(1/6) - 1) x 100 = 4,7359% ao bimestre. equivalem a: 2. Taxa composta de 45% ao ano, capitalizados diariamente, (1/360), pois 1 ano tem 360 dias (comercial) i ( e ) = ( 1,45^(1/360) - 1 ) x 100 = 0,10327% ao dia Desconto Composto Possui duas formas distintas: Desconto Comercial Composto (DCc) e Desconto Racional Composto (DRc). A uma mesma taxa dada, com valores futuros iguais, o valor do DCc é sempre maior que o DRc Desconto Comercial Composto (Dcc) Dc1 = VF x i VL1 = VF Dc1 = VF x (1 - i) Dc2 = VL1 x i VL2 = VL1 Dc2 = VF x (1 - i) VF x (1 - i) x i VL2 = VF x ((1 - i) x (1 - i) = VF x (1 - i) ^ 2 Assim, podemos escrever que: 13

14 VLn = VF. ((1 - i) ^ n) Exemplo: 1. Qual o desconto de um título de $200, resgatado 2 meses antes do vencimento, pelo regime de desconto comercial composto, à taxa de 2% ao mês? VL = $200 ( 1-2% )^2 = $200 x (0,98)^2 = $192,08 Assim, o valor líquido VL = $192,08 D = $( ,08) = $7,92 => Dcc = $7, Desconto Racional Composto (Drc) É um caso de equivalência de Capitais como mais tarde demonstraremos. VL1 = VF / (1 + i) = VF x 1/(1+i) VL2 = VL1 / (1 + i) = VL1 x 1/(1+i) = [VF/(1+i)] x 1/(1+i) = VF / (1+i)^2 Assim, conclui-se que: VLn = VF / (1+i)^n Exemplo: 1. Qual o desconto racional composto, calculado para um título de $200, descontado 2 meses antes do vencimento, à taxa de juros compostos de 2% ao mês? VL = $200 / (1,02)^2 = $200 / 1,0404 = $192,23 => VL = $192,23 14

15 DRc = $( ,23) = $7,77 => Drc = $7,77 Podemos verificar que o Drc < Dcc do exercício anterior Equivalência de Taxas no Dcc e no Drc, na Capitalização Composta Considerando o mesmo capital, o mesmo prazo e o mesmo valor líquido após os descontos comercial composto e racional composto, às taxas Ic e Ir, respectivamente, temos: Dcc = VF VLn Drc = VF VLn VLn = VF Dcc VLn = VF Drc temos: Como de acordo com o enunciado, os dois valores líquidos são iguais, Dcc = Drc VF VF. (1- ic)^n = VF VF / (1+ ir)^n Como o enunciado, os Capitais também são iguais. Assim, temos: ( 1 ic )^n = 1 / (1+ ir)^n ou, [(1 - ic)^n] x [(1 + ir)^n] = Equivalência de Capitais Dois capitais, com datas diferentes, são equivalentes, quando transportados para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzirem valores iguais. 15

16 Exemplo: 1. Resgate, hoje, de um título de $1000, com vencimento para 4 meses, sendo i = 1% ao mês; de outro título de $1.020,10, com vencimento para 6 meses, com a mesma taxa de juros. Pergunta-se se são equivalentes? VL1 = $1.000 / (1+0,01)^4 = $1.000 / 1, = $960,98 VL1 = $960,98 VL2 = $1.020,10 / (1+0,01)^6 = $1.020,10 / 1, = $960,98 VL2 = $960,98 Como podemos verificar, para solução do problema acima, aplicamos o Desconto Racional Composto. Assim, podemos dizer que o Desconto Racional Composto é um caso de equivalência de Capitais Fluxos Equivalentes Dois fluxos são equivalentes quando, ao transportarmos as entradas e saídas de cada um deles, para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, as somas dos valores presentes coincidirem nos dois fluxos. Exemplo: 1. Consideremos uma dívida resgatável em 4 meses por $2400, com juros de 5% a.m. O devedor quer refinanciá-la em 2 pagamentos ( X1 e X2), sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 6 meses. Sabendo-se que X1 = 98% de X2, calcule X1 e X2. zero. Para solucionar este problema, devemos trazer os dois fluxos à data focal Assim, 16

17 X1 / (1,05)^3 + X2/(1,05)^6 = $2400/(1,05)^4 X1/1, X2/1,3401 = $2400/1, = 1974,49 (0,98/1, /1, ) X2 = 1974,49 1, x X2 = $1.974,49 => X2 = $1.239,65 X1 = 98% x 1.239,65 => X1 = $1.214,86 2. Considerando-se o fluxo de caixa a seguir, calcular o saldo na data focal zero, sabendo-se que a taxa de juros é de 10% ao mês: Entradas: final do 2 o. mês, 1100; final do 3 o. mês, 1200; Saídas: início do 1 o. mês, 1000; final do 1 o. mês, 500. Sz = $1.100 / (1,1)^2 + $1.200 / (1,1)^3 - $ $500 / (1,1) Sz= $(909, , ,55) = $356,12 $356,12. Assim, o saldo do fluxo de caixa acima para a data focal zero será de 4. Anuidades e Rendas Podem ser Postecipadas, Antecipadas e Diferidas Anuidades As anuidades são utilizadas quando desejamos verificar a parcela mensal a ser paga, em decorrência de financiamento de uma determinada quantia, a uma determinada taxa de mercado ou de financiamento, em determinado prazo Anuidades Postecipadas do período. O valor das prestações ou pagamentos são calculados considerando o final 17

18 P (prestação); VF (valor financiado); 1 / a n!i ( fator Price ); C R1 CR2 CR(n-1) CRn (Valor Principal) S (Montante) O valor atual corresponde, segundo a equivalência de capitais, à soma dos valores atuais de cada termo. Assim: C = R / ( 1+ i ) + R / ( 1 + i ) ^ R / ( 1 + i ) ^ (n-1) + R / ( 1 + i ) ^ n Utilizando-se os conceitos de Progressão Geométrica, temos: Sn = a1 x [( q ^ n) 1] / ( q - 1 ); Sendo, [a1 = R / (1 + i )]; e [q = 1 / ( 1 + i )] Temos: C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ 1 / ( 1 + i ) ^ n ] - 1 } / { [ 1 / ( 1 + i ) ] - 1 } C = [R / ( 1 + i )] x {[ 1 - ( 1 + i ) ^ n ] / [( 1 + i ) ^ n] } / {[ 1 - (1 + i ) ] / (1 + i) } C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ 1 - (1 + i) ^ n ] / [( 1 + i ) ^ n] } / { [ i ] / ( 1 + i ) } C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ 1 - ( 1 + i ) ^ n ] / [( 1 + i ) ^ n] } / { - i / ( 1 + i ) } Multiplicando-se os fatores acima por (-1), temos: C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / [( 1 + i ) ^ n] } / { i / ( 1 + i ) } C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / [( 1 + i ) ^ n] } x {( 1 + i ) / i} C = R / i x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / ( 1 + i ) ^ n } C = R x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / ( 1 + i ) ^ n x i } Por convenção, 18

19 [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / ( 1 + i ) ^ n x i = a n! i Assim, C = R x a n! i R = C x 1 / a n! i e [ 1 / a n! i ] é o Fator Price Fazendo: C = VF (valor financiado); e R = P (pagamentos ou parcelas pagas), temos: P = VF x ( 1 / a n! i ) Exemplos: 1. Mary comprou um televisor, em 20 parcelas de $200, com vencimento no final do mês, à taxa de 10% a.m. Qual o valor do televisor? Cálculo do Fator Price: $200 = VF x Fator Price (igual a 0, ) VF = $1702,71 2. Qual o valor da prestação de um financiamento concedido de $500, em 10 prestações mensais, à taxa composta de 3% a. m.? $500 = P x [ (( 1 + 0,03 ) ^ 10) 1 ] / [ (( 1 + 0,03 ) ^ 10) x 3 %] $500 = P x (0, / 1,343916) x 100 / 3 P = $15 / 8, P = $58,62 19

20 Anuidades Antecipadas As prestações são calculadas considerando o início de cada período, a partir da aprovação do contrato de financiamento. Considerando (1 / a n! i) sempre calculado para o final do período, e sendo a data origem da série antecipada de um período, então o cálculo da série antecipada deverá ser dividida pelo termo ( 1 + i ), tal que: P = VF. { [ ( ( 1+ i ) ^ n ). i ] / [ ( ( 1+i ) ^ n ) 1 ] } / ( 1 + i ) P = [ VF / ( 1 + i ) ] x ( 1 / a n! i ) Exemplos: 1. Compra de um televisor, com pagamento em 10 meses, vencendo as parcelas no início do período, com valor de $200 cada. Qual o valor atual do televisor, sabendo-se que a taxa de juros aplicada foi de 3% a. m.? Utilizando-se a fórmula descrita, para n = 10 e i = 3% a.m., o valor do Fator Price, na Tabela de Capitalização Price, é de de 0, $200 = VF x 0, x 1 / (1,03) VF = $200 / 0, VF = $ 1.757,22 2. Seja $500 financiados em 10 prestações mensais, sendo as parcelas pagas no ato da liberação do financiamento. Qual o valor da prestação, considerando-se a taxa de capitalização composta no valor de 2% a. m.? Utilizando-se a fórmula descrita, para n=10 e i=2% am, o valor do Fator Price, na Tabela de Capitalização Price, é de de 0, VF = $500; n = 10; i = 2 % a. m.; m = 1; p =? 20

21 p = $500 x 0, /1,02 = $500 x 0, = $54,57 p = $54, Anuidades Diferidas O valor das prestações é calculado considerando determinado período de carência, após o início do contrato. O primeiro pagamento só ocorre depois de decorridos m períodos de tempo após o contrato de financiamento. CR(1+m) R(2+m) R(n+m) CR [ m ] R(m+n-1).... P (prestação); VF (valor financiado); 1 / a n! i ( Fator Price ); R = ( 1 + i ) ^ m m = K (período de carência) 1, pois o Fator Price pressupõe o pagamento no final de cada período. Assim, temos: P = VF. R. {( 1+ i ) ^ n. i } / {( 1+i ) ^ n - 1} P = VF. ( 1 / a n! i ). R Exemplos: 1. Compra de um televisor, com pagamento parcelado em 10 meses, vencendo a primeira parcela no final de 3 meses do início do financiamento, com valor de $250 cada. Qual o valor atual do televisor, sabendo-se que a taxa de juros aplicada foi de 3% a. m.? 21

22 m = K (período de carência) 1 K = 3 => m = 2 $200 = VF x 0, x (1,03) ^ 2 VF = $200 / 0, VF = $ 1.608,11 2. Uma pessoa comprou um bem financiado em 12 prestações mensais, vencendo-se a primeira a 5 meses da data do financiamento. Considerando o valor financiado de $5000 e a taxa composta de 3% a. m., calcular o valor das prestações. n = 12; VF= $5000; i= 3 % a.m.; K = 5; p =? m = k 1 = 5-1 = 4 p = 5000 x 0, x (1,03) ^ 4 = 565,35 p = $565, Rendas O conceito de Rendas é geralmente utilizado quando necessitamos de determinar o valor total de depósitos ou aplicações mensais, no final de determinado período, considerando-se uma taxa determinada de mercado ou de aplicação financeira. que: Sendo Sn (somatório dos depósitos efetuados), e Dn (Depósitos), temos Sn = D + D(1+i) + D(1+i)^ D(1+i)^(n-1) D(1+i)^n Utilizando-se dos conceitos de uma PG qualquer, temos: Sn = a1. [( q ^ n ) 1] / ( q 1 ), onde: 22

23 Sn = soma de uma PG; a1 = D(Depósito); q(razão da PG) = (1+i) Assim, temos: Sn = D. [(( 1+i) ^ n) 1 ] / [( 1+i) 1 ] Sn = D. [(( 1+i) ^ n) 1 ] / i Fazendo: [ (( 1+i) ^ n) 1 ] / i = S n! i (Fator de formação de Capitais), Sn = D x S n! i Rendas Postecipadas Neste caso, os depósitos ou aplicações são efetuados no fim do período de determinado contrato. Sn = D x [(1+ i) ^ n - 1] / i Exemplos: 1. Uma pessoa deseja ter uma quantia de $1.500 no final de 12 meses. Quanto deverá depositar mensalmente em uma caderneta de poupança que pague taxa composta de 3 % a. m.? S = $1500 n = 12 i = 3% a. m. D =? $1500 = D x [ ((1,03 ) ^ 12) - 1 ] / 3% = D x 14, D = $105,69 2. Qual o montante gerado por 6 depósitos mensais e consecutivos de $200, no final de cada mês, à taxa de 2% ao mês. 23

24 S = $200 x [((1,02) ^ 6) 1] / 2% = $1261,62 S = $1261, Rendas Antecipadas Neste caso, os depósitos ou aplicações são efetuados no início do período de determinado contrato e a Renda Total considerada no final do período. Assim, considerando a fórmula Sn = D x [((1+ i) ^ n) - 1] / i para depósitos no final do período, quando fazemos a antecipação para o ínicio do período, devemos levar em conta a correção desse fator para o final do período em que será considerada a soma de todas as aplicações. Dessa forma, devemos multiplicar o termo acima por ( 1 + i ), chegando à fórmula de cálculo da Renda Antecipada somo a seguir: Sn = D x (1+i) x [(1+ i) ^ n - 1] / i Exemplo: 1. Aplicação financeira, com depósitos no início do mês, no valor de $200, em 20 meses, à taxa de 10% ao mês. Qual o Valor no final do período da aplicação? S = $200 x 1,1 x [((1,1) ^ 20) - 1] / 10% S = $1.260,05 / 10% S = $ ,50 5. Perpetuidade Representam recebimentos infinitos decorrentes de uma aplicação colocada para gerar rendas perpétuas. Esses recebimentos assemelham-se a 24

25 uma propriedade de valor X, que alugada, gerará um aluguel de y% mensalmente Perpetuidade Postecipada Representam recebimentos infinitos decorrentes de uma aplicação colocada para gerar rendas perpétuas, no final do período da assinatura do contrato. R (Renda Anual Perpétua) = C x i C = Capital; i = taxa de juros Exemplo: 1. Quanto deve ser depositado hoje, para obter-se uma renda anual perpétua de $1000, pagáveis no fim de cada ano, se a taxa de juros for de 10% ao ano. R = $1000; i= 10% ao ano; C = $1000 / 10% = C = $ Perpetuidade Antecipada Representam recebimentos infinitos decorrentes de uma aplicação colocada para gerar rendas perpétuas, no início do período da assinatura do contrato. R = C x i / ( 1 + i ) ou C = R x ( 1 + i ) / i C = Capital; R = Valor recebido periodicamente; i = taxa de juros 25

26 Exemplo: 1. Depósito para obtenção de renda anual perpétua de $1000, no início do período, com taxa de 10% a. a. C = R x 1,1 / 0,1 C = 1000 x 11 = $ C = $ Sistemas de Amortização Os mais aplicados são: SAC Amortização Constante, com prestações decrescentes; PRICE Sistema Francês, com prestações fixas; MISTO Média das prestações adotadas no SAC e PRICE; AS Sistema Americano, onde o retorno do Capital é de uma só vez, no fim do prazo contratado, obrigando-se o devedor ao pagamento do juro no fim de cada período a que se refere a taxa de juros; 6.1. SAC (Amortização Constante) 26

27 Neste sistema paga-se mais no início do período de amortização, pois estas são iguais ao longo do período de amortização e os juros decrescentes, fazendo com que as parcelas sejam decrescentes na proporção dos juros pagos. Seja uma dívida D, a ser amortizada em (n) parcelas, à taxa i de juros: Período Dívida Amortização Juros Prestação 1 D D/n Di D/n. (1+n.i) 2 D/n.(n-1) D/n D/n.(n-1)i D/n. [1+(n-1).i] 3 D/n.(n-2) D/n D/n.(n-2)i D/n. [1+(n-2).i] T D/n.(n-t+1) D/n D/n.(n-t+1)i D/n. [1+(n-t+1).i] n-ésima D/n D/n D/n.i D/n. (1+i) t é uma prestação qualquer das n possíveis. Exemplo: 1. Seja um empréstimo de $2000, com pagamento em 10 parcelas, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira 30 dias após a assinatura do contrato. Calcular o valor de cada pagamento. Utiliza-se a fórmula P = D/n. [1+(n-t+1).i], onde n é o prazo do contrato e t é o período a que se refere a prestação. Lembre-se que tratando-se de capital variável, no caso de correção do saldo devedor em determinado período, a correção das parcelas será determinada no contrato valores em $. Prestação Dívida Cálculos dos Juros Amortização Valor da Prestação * 5% = * 5% = * 5% =

28 Prestação Dívida Cálculos dos Juros Amortização Valor da Prestação * 5% = * 5% = * 5% = * 5% = * 5% = * 5% = * 5% = Price (Francês) Neste sistema, as prestações são fixas e calculadas conforme abaixo: P = VF. {[(( 1 + i ) ^ n). i] / [ (( 1 + i ) ^ n) 1]} VF = valor financiado; P = prestações; i = tx de juros; n = período de amortização. Exemplos: 1. Compra de um televisor por $1600, financiado em 6 parcelas iguais e mensais, sendo a taxa de juros i de 8% ao mês e a 1 a. parcela paga 30 dias após a compra. postecipada. O problema será resolvido com a aplicação dos conceitos de anuidade P = $1600 x 8% x {[((1,08) ^ 6) / [((1,08) ^ 6) - 1 ]} P = $1600 x 8% x [1,58687 / 0,58687] = $346,10 P = $346,10 2. Um conjunto de móveis foi vendido por $300 a vista ou em 12 parcelas mensais de $44, sendo a 1 a. parcela paga 30 dias após a compra. Qual a taxa de juros praticada? 28

29 Utilizando a tabela Price: 44 = 300 x {(1+i) ^ 12 / (1 + i ) ^ 12-1} então, 0,1467 = 1 / a _ n! i Procurando-se na Tabela Price (final da parte teórica) a linha correspondente à posição 12 meses, e na coluna correspondente ao fator acima, acharemos a taxa de juros i = 10% ao mês. da taxa real. 3. Dado i livre de risco, calcular o spread bancário para determinação (1+ Is) -> Spread (1+ Irf) -> Taxa livre de Risco (1+ Ir) -> Taxa Real Temos: (1+ Ir) = (1+Irf) x (1+ Is) 6.3. Misto A prestação corresponde ao valor da média das prestações no sistema SAC e PRICE. Prestação no Sistema SAC P = D/n. {1 + ( n - t + 1).i } D = dívida; n = parcelas financiadas; t = parcela a ser calculada. Prestação no Sistema Price P = VF. {[(( 1 + i ) ^ n). i] / [(( 1 + i ) ^ n) 1]} 29

30 Exemplo 1. Um televisor foi comprado a prazo, em 12 parcelas de $44, calculada pelo Sistema de Amortização Price. A 1 a parcela foi paga 30 dias após a compra, sendo a taxa de juros i = 10% ao mês. Calcule o valor da 3 a prestação no SAM. Price Sendo P = $44, ao substituirmos os dados do período e da taxa, dados, na fórmula Price, acharemos o valor financiado FV = $299, = VF. {[(( 1 + 0,10 ) ^ 12). 0,10] / [(( 1 + 0,10 ) ^ 12) 1]} 44 = VF. {[((1,10 ) ^ 12). 0,10] / [((1,10 ) ^ 12) 1]} 44 = VF. {0, / 2, } = VF. 0, VF = 44 / 0, = 299,80 VF = $299,80 SAC P3 = 299,80 / 12 * { 1 + ( ) * 0,10} P3 = 299,80 / 12 * { * 0,10 } = 299,80 / 12 * 2 P3 = 299,80 / 6 = 49,97 P3 = $49,97 Misto ( média das duas prestações) P3 = (49,97+ 44) / 2 = $93,97 / 2 = 46,98 P3 = $46, SA (Sistema Americano) Financiamento de VF, à taxa i, com pagamento final no k-ésimo mês. 30

31 Períodos Pagamentos 1 o. VF.i 2 o. VF.i... k-ésimo VF (1+i) Exemplos: 1. Qual o valor mensal que devo depositar no final do mês, para que no k-ésimo mês eu tenha VF. (1+i)? Trata-se de uma renda postecipada, ou seja: P = S.i / {((1+i) ^ n) - 1} 2. Seja um financiamento de $5000, com pagamento daqui a 5 anos, sendo a taxa de juros de 10% ao ano. Quanto deverei depositar ao final de cada ano para saldar a dívida no prazo contratado? Daqui a 5 anos minha dívida será de: D = 5000 * (1,1) ^ 5 = 8.052,55 P = 8.052,55 x 10% / {((1,1) ^ 5) - 1} = 8052,55 x 0,10 / 0,61051 = 1.318,99 P = $1.318,99 7. Aplicações em Bolsas de Valores Os investimentos em mercado de ações são considerados de risco e de maturação no médio e longo prazos. Embora conceitualmente o Mercado de Capitais tenha sido criado para que as empresas pudessem se capitalizar através de lançamento de ações no 31

32 mercado financeiro e buscarem recursos através de lançamento de títulos com rendimentos ou conversão em ações, na prática o que tem ocorrido são distorções muito grandes na movimentação de recursos especulativos, tornando essa atividade muito arriscada para pequenos investidores. Alguns Fundos de Investimentos de Bancos podem dar bons rendimentos aos aplicadores. Para conhecer os Fundos disponíveis nos mercados bancários, o melhor, antes de aplicar, é verificar em cada banco as carteiras de Fundos de Investimentos disponíveis e avaliar suas rentabilidades e as empresas participantes dos mesmos. Contudo, o bom é investir recursos disponíveis e não necessários no período mínimo de um ano, e investir aos poucos. Por exemplo, no primeiro momento, 25% dos recursos disponíveis, esperando as movimentações do mercado para aplicar o restante, pois pode acontecer que na época da aplicação o mercado caia abruptamente por razões desconhecidas dos investidores, dando chance para o investidor aplicar na baixa e reduzir o custo de sua aplicação para recuperar e até ganhar na alta do mercado. 32

33 PARTE II PRÁTICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS OBJETIVO Proporcionar ao leitor condições para aprender a lidar com cálculos de remuneração de capitais, através de exercícios resolvidos, facilitando, após a leitura da teoria, sua compreensão e assimilação. 1. Porcentagens Exercícios Resolvidos: 1. Três pessoas formaram uma sociedade com aporte de $1000 de Capital Social. Havendo um prejuízo de $100, quanto caberá a cada sócio, considerando que: O investidor A participou com $300; o B, com $400; e o C com $300. Devemos levar em conta, primeiro, a participação percentual de cada sócio na sociedade. Assim, caberá a cada sócio a seguinte participação: A = 300 / 1000 = 30%; B = 400 / 1000 = 40%; C = 300 / 1000 = 30% Portanto, ao prejuízo de $100, caberá a seguinte distribuição: A => 30% x 100 = $30; B => 40% x 100 = $40; C => 30% x 100 = $30 33

34 2. De quantos por cento sobre o custo, corresponde um lucro de 60% sobre a venda? Vendas (V) = 100% Lucro = 60% V Custo = 40% V L / C = 60% V / 40% V = 0,6 / 0,4 = 1,5 L = 1,5 C = 150% C O Lucro será de 50% a mais do que o Custo 3. Um cliente obteve um desconto de 20% no preço da mercadoria. Considerar o lucro, sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, corresponde a 120% do custo total. PV (Preço de Venda Bruto) = 120% C (Custo Total); LB = PV Desconto Custo = PV 20% PV PV / 120% LB = 80% PV PV / 1,2 = PV ( 0,8 1 / 1,2 ) LB = PV * (1,2 * 0,8 1 ) / 1,2 = (0,96 1 ) / 1,2 * PV = - 0,0333 PV Assim, não houve lucro, mas prejuízo de 3,33% sobre as vendas. 4. Em Belo Horizonte, o BHTRANS determinou aumento das passagens por dois anos consecutivos. Em 1997, aumentou 18%; e em 1998, aumentou 15%. Qual foi o reajuste no período considerado? 1997 => aumento de 18%, correspondendo ao fator 1,18; 1998 => aumento de 15%, correspondendo ao fator 1,15. Cálculo do aumento: 1,18 x 1,15 = 1,357 ou 135,7% (135,7 100)% = 35,7% de acréscimo percentual no período considerado. 34

35 5. Em 1994, o preço de um carro popular custava $7000. Em 1998, o preço desse mesmo carro custava $ Qual o aumento percentual verificado no período? Não considerar a inflação no período. $12000 / $7000 = 1,714 ou 171,40% (171,4 100)% = 71,40% de acréscimo percentual no período. Ou $ $7.000 = $5.000 de acréscimo; $5.000 / $ = 71,40% 6. Em uma compra a vista, o cliente pagaria por um televisor o valor de $600. Adquirindo parcelado, em 24 meses, pagaria $2000. Não considerando a perda de poder de compra da moeda (inflação), qual o valor pago a mais pelo cliente? 2000/ 600 = 3,3333 = 333,33% Valor pago a mais foi de: (333,33 100)% = + 233,33% Ou ainda, o valor pago a mais foi de: ( ) / 600 = 1400 / 600 = + 233,33% 7. Três sócios investiram $ em uma sociedade. O sócio A participou com $50.000, o sócio B, com $ e o sócio C, com o restante. No final do ano, a sociedade lucrou $ Sabendo-se que do lucro apurado, 30% serão distribuídos aos sócios, 10% aos empregados, 40% incorporado ao Capital Social e 20% à conta de Reserva de Lucros, pede-se quanto do lucro distribuído caberá a cada sócio. Lucro distribuído = $ x 30% = $ Sócios Valor do Capital $ % de Participação Lucro Distribuído $ A , B , C , TOTAL ,

36 8. Dois sócios A e B investiram, respectivamente, $ e $ em um empreendimento. No final do exercício, após ser apurado o montante do lucro a ser distribuído aos sócios, verificou-se que o sócio A recebeu $ do valor total distribuído. Quanto foi distribuído e, percentualmente, quanto representa sobre o total do capital investido? Sócios Capital Social $ % de Participação Lucro Distribuído - $ % LD / CS A , ,00 B , ,00 Total , ,00 Lucro distribuído total = $ / 40% = $ % de participação sobre o Capital Social = / = 30% 9. Dois sócios A e B investiram $ em um empreendimento. O valor integralizado pelo sócio A foi de $ no início do mês de maio/xx e pelo sócio B, de $ no início do mês de junho/xx. Sabendo-se que o lucro apurado no exercício foi de $30.000, quanto coube a cada um? Não considerar a variação da moeda. Sócio Aplicação $ Tempo % A meses 8 / 15 = 53,33 B meses 7 / 15 = 46,67 Total 100,00 Distribuição do Lucro de $30.000: Sócio A = 53,33% x $ = $ Sócio B = 46,67% x $ = $ A população mundial cresce 3% a cada ano. Sabendo-se que atualmente corresponde a 5 bilhões de seres humanos na terra, quantos serão daqui a 5 anos? Qual o acréscimo total em percentual? 36

37 Ano Percentual de aumento Acréscimo em Bilhões População total em bilhões 1 3% 0,150 5, % 0,155 5, % 0,159 5, % 0,164 5, % 0,169 5,797 Fator de aumento com aproximação: 5,79637 / 5,000 = 1,15927 ou, (1,03) ^ 5 = 1,15927 (115,93 100,00) % = +15,927% de acréscimo percentual. A Rigor, a população deveria corresponder a habitantes. 2. Regime de Juros Simples 2.1. Juros Simples J = C.i.n J = juros; C = capital aplicado; i = taxa de juros; n = período da aplicação Montante no Regime de Juros Simples: Sendo a taxa mensal, o período é mensal; sendo anual, o período é anual; sendo diária, o período é diário. Mn = C. (1 + i. n) Exercícios Resolvidos: 1. Qual o montante produzido por uma aplicação de $60.000, à taxa simples de 15% a.a., pelo prazo: 1 ano; 1 ano e 3 meses; e de 1 ano, 2 meses e 10 dias. 37

38 1 ano -> 360 dias -> 1 ano 1 ano e 3 meses -> 450 dias -> 1,25 do ano 1 ano, 2 meses e 10 dias -> 430 dias -> 1,19444 do ano Cálculo do Montante: a) Ma = x (1 + 0,15 x 1) = x 1,15 = Ma = $69.000,00 b) Mb = x (1 + 0,15 x 1,25) = x 1,1875 = Mb = $71.250,00 c) Mc = x (1 + 0,15 x 1,19444) = x 1, = Mc = $70.750,02 2. Qual o juro produzido pela aplicação de $50.000, à taxa simples de 1% a.m., durante o prazo de: 2 anos; 2 anos e 2 meses; e 2 anos, 2 meses e 20 dias. 2 anos -> 24 meses 2 anos e 2 meses -> 26 meses 2 anos, 2 meses e 10 dias -> 800 dias -> 26,667 meses Considerando o mês igual a 30 dias, temos: a) Ja = x (1% x 24,00) = Ja = $ b) Jb = x (1% x 26,00) = Jb = $ c) Jc = x (1% x 26,667) = Jc = $

39 3. Emprestei $ durante 19 dias e recebi um montante de $ Determine a taxa de juros mensal e anual na capitalização de juros simples. M = C. (1 + i. n) = x ( x id) 1+ 19id = / = 1,03125 => 19id = 1, id = 0,03125 / 19 = 0, => id = 0,16447%a.d. im = 0,16447% x 30 = 4,934% => im = 4,9340%a.m. ia = 0,16447% x 360 dias = 59,2096% a.a. ia = 59,2096%a.a. 4. Qual o valor a ser resgatado de um empréstimo de $10.500, ao prazo de 4 meses, à taxa linear de 6% a.a.? M (Valor de Resgate) = C. (1 + i. n) M = C x (1 + 6% x 4/12) = x 1,02 = M = $ Qual o juro obtido na aplicação de um capital de $ , durante 3 meses, à taxa simples de 10% a.m.,? J = x 10% x 3 = x 30% = $ J = $ Um capital K, aplicado à taxa de 6% a.m., durante 10 meses, produziu A/2 de juros. Qual o tempo necessário para que o mesmo capital produza o mesmo juro, caso a taxa simples seja de 15% a.m.? A / 2 = K x 6% x 10 A / 2 = K x 15% x n K x 6% x 10 = K x 15% x n 15% n = 60% n = 60 / 15 = 4 n = 4 meses 39

40 7. Um capital no valor de $15.000, à taxa de 3,6% a.m., produziu um juro simples de $500. Qual o tempo de aplicação? 500 = x 3,6% x n n = 0,03333 x 100 / 3,6 = 0,92593 meses n = 27,78 dias 8. Ao fim de quanto tempo ficará duplicado um capital, aplicado à taxa de 15% a.m.? M = C. (1 + i. n) M = X. ( %. n ) 2X = X. ( %. n ) 2 = %. n 15%. n = 1 n = 1 / 15% = 6,67 meses n = 6,67 meses 9. Um investidor aplicou um certo capital à taxa de 5% a.m., durante 4 meses, recebendo juros de $ Outro investidor aplicou um capital à taxa de 6% a.m., durante o mesmo prazo, e recebeu $ de juros. Qual o valor dos capitais aplicados? J1 = = A x 5% x = 20% x A => A = / 20% = $ J2 = B x 6% x 4 = = 24% x B => B = / 24% = $70.833, Um investidor aplicou um certo capital à taxa de 30% a.a., durante 5 meses. No final do prazo retirou $5.000 e reaplicou o restante à mesma taxa, durante 4 meses. Ao final do prazo resgatou o total de $ Qual o valor do capital aplicado? Cálculo do Período: 1 ano > 12 meses n anos > 5 meses => n = 5/12 40

41 M1 = C x (1 + 30% x 5 / 12) = C. ( 1 + 1,5 / 12) = M1 = 1,125 C M2 = (M ) x (1+ 30% x 4 / 12) = (M ) x 1, = (1,125 x C 5.000) x 1,1 = 1,2375 x C ,2375 x C = C = / 1,2375 = ,48 C = $44.848, Desconto Simples Relembrando os conceitos da parte teórica, possui duas formas distintas: Desconto por Fora ou Comercial, e Desconto por Dentro ou Racional Desconto Simples por Fora ou Desconto Comercial Sendo a taxa mensal, o período é mensal; sendo anual, o período é anual; sendo diária, o período é diário. VL = VN. (1 i. n) Exercícios Resolvidos: 1. Qual o valor atual ou valor líquido e valor nominal de um título, descontado por fora, 3 meses antes do seu vencimento, à taxa simples de 2% a.m., sabendo-se que o valor do desconto foi de $5.000? VL = VN VL = VN ( 1 2% x 3 ) = VN ( 1 6% ) = 94% VN VN = 94% VN => 6% VN = 5000 VN = 5000 / 6% = ,33 => VN = $83.333,33 VL = , = ,33 => VL = $78.333,33 41

42 2. Qual a taxa mensal que, utilizada para desconto comercial de um título de $60.000, resultou um valor líquido de $45.000, três meses antes de seu vencimento? VL = VN (1 - i. n) = (1 3 x i) / = 1 3 x i 0,7500 = 1 3i i = 0,25 / 3 = 0, Desprezando-se as demais casas, i = 8,333% a.m. 3. Desejando-se uma rentabilidade mensal linear (juros simples) de 10%, a que preço unitário um investidor deverá adquirir um título com 90 dias da data de seu vencimento? 90 dias = 3 meses VL = VN (1 3 x 10%) = VN ( 1 0,3) = 0,7 VN VL corresponde a 70% do seu valor nominal (VN). 4. Um título de $ , adquirido com 65 dias de seu vencimento, por $90.000, foi negociado a que taxa simples mensal? = x [ 1 (65 / 30)i] = x (30 65i) / / = (30-65i) / 30 90x30/105 = i 65 i = 30 25, i = 4, / 65 = 0,06593 i = 6,593% a.m. 5. Uma nota promissória, com valor de face de $10.000, foi descontada por fora, 98 dias antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m. Qual o valor líquido apurado e o valor do desconto? VL = ( 1 98 x 3% / 30) = ( 1 0,098 ) VL = x 0,902 = VL = $

43 Dc = VN VL = = 980 Dc = $ Rubens descontou 3 títulos em um banco, no regime de desconto simples comercial, a uma taxa de 18% a.a. O primeiro, A, vencia em 100 dias; o segundo, B, em 90 dias; o terceiro, C, em 60 dias. Sabendo-se que o total dos descontos foi de $ e que os títulos B e C correspondem, respectivamente, a 90% e 70% do A, qual o valor nominal de cada um? I) Da + Db + Dc = II) B = 90% A III) C = 70% A Cálculo do Desconto: Da = A x 18% x 100 / 360 = 0,05 x A Da = 5% A Db = Bx18% x 90 / 360 = 0,045 x B Db = 4,5 % B Dc = Cx18% x 60 / 360 = 0,03 x C Dc = 3% C Cálculo do Título: 5% A + 4,5% B + 3% C = % A + 4,5% x 90% A + 3% x 70% A = A ( 5% + 4,5% x 90% + 3% x 70% ) = ,15% A = A = $89.686,10; B = $80.717,49; C = $62.780,27 Substituindo-se em Da, Db e Dc, temos: Da = $4.484,30; Db = $3.632,29; Dc = $1.883,41 43

44 Desconto Simples por Dentro ou Desconto Racional VL = VN / ( 1 + i. n ) VLc = VN * ( 1 - ic.n ) VLr = VN / (1+ ir.n) Exercícios Resolvidos: 1. O valor líquido racional de um título descontado é igual a 95% do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que esse título venceria daqui a 6 meses. 95% VN = VN / ( 1 + 6i ) (1 + 6i) x 95% = 1 => 0,95 + 5,7 i = 1 i = 0,05 / 5,7 i = 0,00877 i = 0,877% a.m. 2. Seja um título com vencimento para 6 meses, no valor nominal de $60.000, descontado à taxa de desconto racional de 3% a.m. Qual o valor líquido a ser apurado se regatá-lo hoje? VL = / (1+ 3% x6) = / (1+18%) = / 1,18 VL = $50.847,46 3. Seja um título com vencimento para 5 meses, no valor nominal de $ Qual o valor líquido a ser resgatado hoje, considerando-se: a) Desconto comercial à taxa de 3%; b) Desconto racional à taxa de 3%; c) Qual é menor? 44

45 a) Desconto Comercial: VLc = x (1-3%x5) = x (1-15%) = 85% x VLc = $ Dc = = 7.500,00 Dc = $7.500,00 b) Desconto Racional: VLr = / (1+5x3%) = / 1,15 VLr = $43.478,26 Dr = ,26 = 6.521,74 Dr = $6.521,74 c) Podemos verificar em a e b que o desconto racional é menor que o desconto comercial. 4. Um título de $ produziu um desconto por dentro (racional), de $400, quando descontada dois meses antes de seu vencimento. Qual a taxa mensal aplicada? VN = VL (1+ in) = x (1+2 i) = x 2 i = x 2i 400 = x 2 i i = 4 / (96 x 2) = 4 / 192 i = 2,0833 % a.m. 5. Qual a diferença apurada entre o desconto por fora (comercial), e o desconto por dentro (racional), considerando o desconto de um título de $5000, descontado 4 meses e 20 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 18% a.a.? 45

46 VLc = 5000 x (1-18% x 140 / 360) = 5000 x ( 1 0,07 ) = 5000 x 0,93 VLc = $4.650 Dc = VN VL Dc = $( ) = $350 => Dc = $350,00 VLr = 5000 / (1 + 7%) = 5000 / 1,07 = 4.672,90 VLr = $4.672,90 Dr = VN VL Dr = $( ,90) = $327,10 => Dr = $327,10 Cálculo da diferença de modalidades de desconto: Dc Dr = $( ,10) = $22,90 => Diferença = $22,90 6. Um título, no valor de $10.000, foi adquirido a 182 dias de seu vencimento, à taxa de 18% a.a. de desconto racional. Apurar o valor pago pelo título. VL = /(1 + 18% x 182/360) = 10000/(1+9,1%) VL = / 1,091 = 9165,90 VL = $9.165,90 3. Regime de Juros Compostos 3.1. Juros Compostos M = C. (1 + i) ^ n Para calcularmos o número de períodos da capitalização, fazemos: logm = log[c. (1 + i) ^ n] = log C + n. log(1+i) 46

47 log M log C = n. log (1+i) n = Log (M / C) / Log (1 + i) Exercícios resolvidos: 1. Empréstimo de $15000, em 10 anos, à taxa de 12% a.a., corresponderá a que Montante na capitalização composta? M = x (1,12) ^ 10 = x 3, = ,72 M = $46.587,72 2. Por quanto devo adquirir um título, para que daqui a 6 meses obtenha um montante de $15.000, sabendo-se que a taxa de juros composta é de 3,5% a.m.? M = VA x (1+i) ^ n VA = / (1,035) ^ 6 = / 1, = ,51 VA = $12.202,51 3. Uma aplicação de $20.000, a juros compostos, gerou um montante de $ em 12 meses. Qual a taxa mensal de juros aplicada? = x (1 + i) ^ 12 = / = (1+i) ^ 12 ( 1 + i ) ^ 12 = 1, I = 1, i = 1, = 0, i = 4, % a.m. 4. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $19.000, com prazo de resgate para 155dias e taxa composta de 3% a.m., considerando-se as convenções linear e exponencial? Convenção Linear: 47

48 Neste caso, os juros correspondentes ao período fracionado serão calculados de acordo com o sistema de juros simples. A outra parcela será conforme o sistema de juros compostos. 155 dias / 30 = 5 meses + 5 dias VL = x [(1+3%) ^ 5 ] x (1 + 3% x 5/30) VL = x 1, x 1,005 = ,34 VL = $22.136,34 Convenção Exponencial ( a que mais se adequa ao conceito teórico de cálculo do montante no regime de juros compostos) compostos. Neste caso, os juros serão calculados de acordo com o sistema de juros VL = x (1,03) ^ 155/30 = x (1,03) ^ 5, VL = x 1, = ,99 VL = $22.134,99 5. Um investidor obteve um ganho de 98% em uma aplicação, aplicada à taxa de juros compostos, durante o prazo de 365 dias. Quanto ganharia, caso aplicasse o mesmo capital durante o prazo de 189 dias? Considere a ausência de inflação no período. (1,98) ^ (1/365) = 1, = 0, % a.d. (1, ) ^ 189 = 1, Poderíamos também escrever: 1,98 ^ (189/365) = 1, , = 0, , correspondente a uma rentabilidade de aproximadamente 42,43%. 6. Considerando o resultado apurado no exercício anterior, qual teria sido o ganho real, caso a inflação no período fosse de 20%? 48

49 O conceito de inflação considera que a moeda ao longo do tempo perde seu valor de compra, se desvaloriza. 1, / 120% = 1, Cálculo do ganho real (Gr), descontada a inflação no período de 20%: 1, = 0, Gr = aproximadamente 18,69%. 7. Determine o montante final de uma aplicação de $ , durante o prazo de 35 dias, considerando a taxa de juros compostos de 3% a.m., utilizandose o método do coeficiente linear. M = x 1,03 x ( 1+ 3% x 5/30 ) M = x 1,03 x 1,005 = M = $ Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ , com vencimento para 180 dias, considerando-se: 1. Taxa de juros compostos de 3% a.m.; 2. Comissão de aplicação de 5% sobre o valor aplicado, descontados no início do período; 3. Imposto de Renda de 20% sobre o valor do rendimento apurado. Aplicação líquida (VN Co) = x 0,95 = M = (VN Co) x [(1 + i) ^ n M = x (1,03) ^ 6 = x 1, = ,97 Rendimento Bruto (RB): RB = (VN Co) x [(1 + i) ^ n 1] , = ,97 RB = $18.434,97 49

50 Imposto de Renda: IR = RB x % IR ,97 x 20% = $3.686,99 Valor de Resgate (Vr): M Imposto de Renda = , ,99 = ,98 Vr = $ ,98 anterior? 9. Qual o percentual de ganho líquido apurado na aplicação do exercício ,98 / = 1, , = 0,09748 ou 9,748% % de ganho líquido mensal ( taxa real de aplicação): (1,09748) ^ 1/6 = 1, , = 0, ou 1,5623% a.m. 10. Um investidor aplicou $20.000, à taxa racional composta de 3% a.m., pelo prazo de doze meses. Qual o montante gerado? Então: A taxa racional composta é a taxa de juros no sistema de juros compostos. M = x ( 1+ 3% ) ^ 12 = x 1, = ,22 M = $28.515, Equivalência de Taxas na Capitalização Composta i (taxa); n (período de aplicação); k (regime em relação à taxa i); r (períodos correspondentes ao n-ésimo período da capitalização). 50

51 i ( e ) = { (1+i) ^ (k/r) - 1} x 100 Exercícios Resolvidos: 1. Qual é a taxa que em 95 dias equivale à taxa anual de 98%? i(e) = [(1,98) ^ 95/360-1] x 100% = [1, ] x 100% i(e) = 0, ou 19,75307% 2. Uma taxa de 36% a.a. corresponde a que taxa equivalente bimestral? i(e) = [(1,36) ^ 2/12-1] x 100% = [1, ] x 100% i(e) = 0,05258 ou 5,258% a.b. 3. Uma taxa de 6% a.m. corresponde a que taxa equivalente anual? i(e) = [(1,06) ^ 12-1] x 100% = [2, ] x 100% i(e) = 1, x 100 = 101,196% i(e) = 101,2196% a.a. 4. Qual a taxa diária, mensal, bimestral, trimestral e semestral que equivalem à taxa de 60% a.a.? Diária i(diária) = [(1,6) ^ 1/360-1] x 100% = [1, ] x 100% i(diária) = 0, x 100% = 0,1306% a.d. Mensal i(mensal) = [(1,6) ^ (1/12) - 1] x 100% = [1, ] x 100% i(mensal) = 0,03994 x 100% = 3,994% a.m. Bimestral i(bimestral) = [(1,6) ^ (2/12) - 1] x 100% = [1, ] x 100% i(bimestral) = 0, x 100% = 8,14837% a.b. 51

52 Trimestral i(trimestral) = [(1,6) ^ (3/12) - 1] x 100% = [1, ]x100% i(trimestral) = 0, x 100% = 12,4683% a.t. Semestral i(semestral) = [(1,6) ^ (6/12) - 1] x 100% = [1, ] x 100% i(semestral) = 0, x 100% = 26,4911% a.s % a.s. correspondem à taxa equivalente bimestral de? i(e) = [(2,18) ^ (2/6) - 1] x 100% = [ 1,2966-1] x 100% i(e) = 0,2966 x 100% = 29,66% a.b Desconto Composto Desconto Comercial Composto (Desconto Bancário) VL = VN (1 - i) ^ n DC = VN x [ 1 ( 1 i ) ^ n ] Exercícios Resolvidos: 1. Ao descontar-se por fora um título no Banco ABC S/A, quatro meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% a.m., obteve-se $3.000 de desconto. Qual o valor nominal do título e o líquido recebido? 3000 = VN VL = VN VN (1 0,02) ^ = VN x [ 1 (0,98) ^ 4 ] = VN x 0,07763 VN = 3000 / 0,07763 = ,94 VN = $38.643,94 52

53 VL = , = ,94 VL = $35.643,94 2. Determinar o prazo de um título de $65.000, que descontado comercialmente à taxa composta de 2,5% a.m., resultou um valor líquido de $ VL = VN x [ ( 1 i ) ^ n ] = x [( 1 2,5%) ^ n] 0, = ( 1 2,5%) ^ n = (0,975) ^ n log (0, ) = n log (0,975) n = - 0,04206 / - 0, = 3,8254 meses n = 3 meses e 24 dias 3. Qual a taxa de desconto bancário, considerando-se um título de $ , que descontado 3 meses antes de seu vencimento, proporcionou um valor descontado de $90.000? = x ( 1 i ) ^ 3 ( 1 i ) = ( 0,90 ) ^ 1/3 = 0, i = 1 0, = 0, i = 3,45% a.m., aproximadamente. 4. Um título descontado, à taxa de desconto bancário de 3% a.m., resultou em um desconto de $3.000, 3 meses antes de seu vencimento. Determine o valor atual desse título. VN = VN x ( 1 3% ) ^ 3 VN = 0, VN VN x ( 1 0, ) = VN = / 0, VN = $34.353,64 53