Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1,

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1 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-L p 1. Funções convexas e desigualdades Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1, φ((1 γ)x + γy) (1 γ)φ(x)+γφ(y). Proposição 1.2. Se φ é convexa em ]a, b[ então s, t, u, a<s<t<u<b, φ(t) φ(s) t s φ(u) φ(t). u t Demonstração. Considere-se a<s<u<b, partimos de φ((1 γ)s + γu) (1 γ)φ(s)+γφ(u) φ((1 γ)s + γu)(u s) (1 γ)(u s)φ(s)+γ(u s)φ(u) por u s>0, e fazendo agora t =(1 γ)s + γu t s = γu γs, teremos s<t<ue virá φ((1 γ)s + γu)(u s) (1 γ)(u s)φ(s)+γ(u s)φ(u) φ(t)(u s) (u t)φ(s)+(t s)φ(u) φ(t)(u t)+φ(t)(t s) (u t)φ(s)+(t s)φ(u) φ(t) φ(s) φ(t)(u t) (u t)φ(s) (t s)φ(u) φ(t)(t s) t s φ(u) φ(t). u t Corolário 1.3. φ é contínua em ]a, b[. Demonstração. Seja x ]a, b[ qualquer mas fixo, pela proposição anterior temos, para x>y ou para y<x φ(t) φ(s) t s φ(t) φ(s) t s φ(x) φ(y) x y φ(y) φ(x) y x 1 φ(u) φ(v) u v φ(u) φ(v) u v

2 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 2 isto com a<s<t<x,y<v<u<b. Donde, ( ) φ(x) φ(y) x y max φ(t) φ(s) t s, φ(u) φ(v) u v ( ) φ(t) φ(s) φ(x) φ(y) max t s, φ(u) φ(v) u v x y, donde sai a contínuidade. Proposição 1.4. Seja φ uma função definida em ]a, b[ tal que φ (t) 0,t ]a, b[ então φ é uma função convexa em ]a, b[. Demonstração. Vamos com vista a um absurdo supor que, para x, y ]a, b[, não se verifica, φ((1 γ)x + γy) (1 γ)φ(x)+γφ(y). Então temos, φ((1 γ)x + γy) > (1 γ)φ(x)+γφ(y) (1 γ)[φ((1 γ)x + γy) φ(x)] >γ[φ(y) φ((1 γ)x + γy)]. Supondo sem perda de generalidade que x<ye dividindo tudo por γ(1 γ)(y x) obtém-se (φ((1 γ)x + γy) φ(x)) (φ(y) φ((1 γ)x + γy)) > γ(y x) (1 γ)(y x) (φ((1 γ)x + γy) φ(x)) (φ(y) φ((1 γ)x + γy)) >. ((1 γ)x + γy) x y ((1 γ)x + γy) Pelo teorema do valor médio de Lagrange vão existir u e v tais que x<u<(1 γ)x+γy < v<ymas no entanto φ (u) >φ (v) oque contradiz φ 0. Exercicio 1. Mostre que a função x 2 é convexa. Exercicio 2. Mostre que a função exp(x) é convexa. Exercicio 3. Suponha que φ é uma função convexa em ]a, b[ eque ψ é uma função convexa crescente em φ(]a, b[). Mostre que ψ φ é convexa em ]a, b[. Teorema 1.5. (Desigualdade de Jensen) Seja (, F, µ) um espaço de probabilidade. Se f L 1 (µ, ), se ω, a<f(ω) <beseφ é convexa em ]a, b[, então: ( ) φ fdµ φ(f)dµ.

3 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 3 Demonstração. Se φ(f)dµ =+ a desigualdade é trivial. Como s, t, u, a < s < t<u<b, vem que fazendo temos φ(t) φ(s) t s φ(t) φ(s) t s φ(u) φ(t), u t ( ) φ(t) φ(s) β = sup s ]a,t[ t s β, s ]a, t[ φ(s) φ(t)+β(s t), s ]a, t[ e φ(u) φ(t) β, u ]t, b[ φ(u) φ(t)+β(u t), u ]t, b[. u t Concluindo-se que Como f(ω) ]a, b[ também será válido, φ(s) φ(t)+β(s t), s ]a, b[ et fixo. φ(f(ω)) φ(t)+β(f(ω) t),ω fazendo agora t = fdµ (repare-se que a<f(ω) <b, ω a< fdµ<b)vem, ( ) ( ) φ(f(ω)) φ fdµ + β f(ω) fdµ,ω eintegrando (uma vez que φ(f) é mensurável por φ ser contínua) obtém-se ( ) ( ) φ(f(ω))dµ φ fdµ dµ + β f(ω) fdµ dµ O que termina a prova. ( φ(f(ω))dµ φ fdµ ) ( µ() + β ( φ(f(ω))dµ φ fdµ fdµ ). ) fdµ Exercicio 4. Sejam p e q números reais superiores a 1 com (1/p)+(1/q) =1. Prove que para quaiquer a e b não negativos. ab ap p + bq q,

4 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 4 Teorema 1.6. Sejam 1 <p,q< tais que =1,e(, F,µ)umespaço de medida. p q Sejam f e g funções mensuráveis não negativas. Então, (1) (Hölder) (2) (Minkowski) ( 1/p (f + g) dµ) p Demonstração. ( ) 1/p ( 1/q fgdµ f p dµ g dµ) q, ( 1/p f dµ) p + ( 1/p g dµ) p. (1) Se por exemplo tivermos que f p dµ =0vemque f =0,µ q.p.t.p. mas então também fg =0,µ q.p.t.p. uma vez que {fg 0} {f 0} e nesse caso a desigualdade é trivial, tal como o será nocaso de algum dos integrais da direita ser infinito. Façamos agora ( 1/p ( a = f dµ) p e b = g q dµ ) 1/q que podemos supor positivos e finitos tendo em atenção o que já foi dito. Sejam agora F = f e G = g podemos escrever que ω tal que F (ω) > 0eG(ω) > 0 a b existem números reais x e y tais que F (ω) =exp(x/p) eg(ω) =exp(y/q) (basta considerar x = p ln(f (ω)) e y = q ln(g(ω))) donde por a função exponencial ser convexa virá, F (ω)g(ω) =exp(x/p + y/q) 1 p exp(x)+1 q exp(y) =1 p F (ω)p + 1 q G(ω)q mas como esta desigualdade também éválida para ω tal que F (ω) =0ou G(ω) = 0,podemos integrar sobre e concluir que F Gdµ 1 F p dµ + 1 G q dµ = p q = 1 ( ) p f dµ + 1 ( g ) q 1 dµ = p a q b p + 1 q =1. Substituindo F e G vem que: f ( f p dµ ) g 1/p ( gq dµ ) dµ 1 1/q

5 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 5 fgdµ ( f p dµ ) 1/p ( gq dµ ) 1 1/q o que permite concluir o pretendido. (2) Escrevamos (f + g) p = f(f + g) p 1 + g(f + g) p 1 pela alinea anterior virá, ( ) 1/p ( ) 1/q f(f + g) p 1 dµ f p dµ (f + g) (p 1)q dµ e ( ) 1/p ( 1/q g(f + g) p 1 dµ g p dµ (f + g) dµ) (p 1)q. Como (p 1)q = p vem, ( ) 1/p ( 1/q ( ) 1/p ( 1/q (f+g) p f p dµ (f + g) dµ) (p 1)q + g p dµ (f + g) dµ) (p 1)q ( ) [ 1/q ( 1/p ( ) ] 1/p (f + g) p (f + g) p dµ f dµ) p + g p dµ ( 1 1/q ( 1/p ( 1/p (f + g) dµ) p f dµ) p + g dµ) p, o que termina a prova pois 1 1/q =1/p. Nocaso do integral da direita ser nulo a conclusão é trivial. Se p = q = 2aprimeira desigualdade, ( ) 1/2 ( fgdµ f 2 dµ g 2 dµ é conhecida como a desigualdade de Schwarz. ) 1/2 Observação 1.7. Repare-se que tendo em atenção a definição de valor esperado, E[X], de uma variável aleatória X, asdesigualdades anteriores podem ser reescritas. Dado um espaço de probabilidade (, F, P): (1) (Desigualdade de Jensen) Para φ convexa e X L 1 temos, φ (E[X]) E[φ(X)].

6 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 6 (2) (Hölder) Para X, Y variáveis aleatórias não negativas e 1 <p,q<, =1 p q temos, E[XY ] E[X p ] 1/p E[Y q ] 1/q. (3) (Minkowski) Para X, Y variáveis aleatórias não negativas e 1 <p< temos, E[(X + Y ) p ] 1/p E[X p ] 1/p + E[Y p ] 1/p. (4) (desigualdade de Schwarz) Para X, Y variáveis aleatórias não negativas temos, E[XY ] E[X 2 ] 1/2 E[Y 2 ] 1/2. Exercicio 5. Mostre que se X L 1 é uma variável aleatória então, (E[X]) 2 E[X 2 ]. 2. Espaços L p Definição 2.1. Seja V um espaço vectorial sobre R. Uma norma em V é uma função. : V R que verifica: (1) v 0, v V. (2) v =0 v =0. (3) cv = c v, c R, v V. (4) v + w v + w, v,w V. Dada uma norma. definida num espaço vectorial V pode-se induzir uma métrica d(.,.) :V V R em V fazendo d(v, w) = v w. Repare-se que para f L 1 (µ, E) temos que a função f f dµ verifica todas as E propriedades da definição de norma menos a propriedade (2), uma vez que f dµ = E 0 f =0,µ q.p.t.p. em E. Então definimos L 1 (E) =L 1 (E)/ em que a relação de equivalência é definida por : f g se, esósef = g, µ q.p.t.p. em E.

7 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 7 Observação 2.2. Observe-se que, em L 1,não distinguiremos entre quaisquer duas funções f e g tais que f = g, µ q.p.t.p., pois pertencem à mesma classe de equivalência. Exercicio 6. Mostre que a relação definida por f g se, e só, se f = g, µ q.p.t.p. é uma relação de equivalência em L 1. Definição 2.3. Seja f L 1 (µ, E). Define-se agora f 1 = f dµ como sendo a norma L 1 de f. Exercicio 7. Verifique que. 1 édefacto uma norma sobre L 1. Exercicio 8. Considere a sucessão de funções (f n ) n 1 definidas no intervalo ]0, 1] por f n (x) =ni ]0,1/n]. Mostre que f n converge pontualmente para zero mas não converge em L 1. E Com as mesmas considerações que foram feitas sobre L 1 e definindo agora L p = L p /. Definição 2.4. Para 1 p<, diz-se que uma função mensurável f L p (µ, ) se: f p dµ <, e nesse caso define-se a norma L p de f por: { } 1 f p = f p p dµ. Exercicio 9. (1) Mostre que L p (µ, ) éumespaço vectorial sobre R para 1 p<. (2) Mostre que de facto. p é uma norma em L p. Definição 2.5. Seja V um espaço vectorial com a norma. V. Diz-se que uma sucessão (f n )deelementos de V é uma sucessão de Cauchy se, ε >0, N N : n, m N f n f m V <ε. Se toda a sucessão de Cauchy é convergente para um elemento de V então diz-se que V é completo.

8 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 8 Exercicio 10. Considere o espaço de medida (R, B(R),λ). Indique quais das seguintes sucessões são de Cauchy em L 1 (1) f n (x) = 1 n I ]n 1,n](x),n 1. (2) f n (x) = 1 n I ]0,n](x),n 1. EemL 2. Teorema 2.6. L p (µ) éumespaço métrico completo, para 1 p<. Demonstração. Seja (f n ) n N uma sequência de Cauchy em L p (µ). Então existe uma subsequência (f ni ),n 1 <n 2 <, tal que (2.1) f ni+1 f ni p < 1/2 i,, 2,... Façamos (2.2) g k = k f ni+1 f ni, g = Donde, por (1) e pela desigualdade de Minkowski, g k p k f ni+1 f ni p < k f ni+1 f ni. 1 < 1, k=1, 2,... 2i Vindo por aplicação do lema de Fatou à sucessão (g p k ) k 1 ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p lim inf g p k dµ lim inf g p k dµ = lim inf g p k dµ ( 1/p g dµ) p lim inf g k p g p < 1. Em particular podemos afirmar que g(x) <, µ q.p.t.p. eportanto a série f n1 (x)+ (f ni+1 (x) f ni (x)) converge absolutamente µ q.p.t.p.. Façamos agora, { } A = f n1 (x)+ (f ni+1 (x) f ni (x)) < e defina-se [ f(x) = f n1 (x)+ ] (f ni+1 (x) f ni (x)) I A (x)+0i A c(x).

9 Como temos que ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 9 k 1 f n1 + (f ni+1 f ni )=f nk, f(x) = lim f nk (x), em A. k Como encontrámos uma subsucessão da sucessão de Cauchy inicial que converge µ-q.p.t.p. para f, então a sucessão de Cauchy converge µ-q.p.t.p. para f e bastará provar que f L p para concluir que o espaço L p é completo. Fixando ε>0 qualquer, temos que N 1, n, m>n f n f m p <ε. Para cada m>n e como µ(a c )=0,olema de Fatou garante f f m p dµ = f f m p dµ+ f f m p dµ = f f m p dµ = lim inf f n i f m p dµ A A c A A i lim inf f ni f m p dµ lim inf f ni f m p dµ ε p, i A i donde se conclui que f f m L p eportanto f L p por f = f f m + f m e ainda que f f m p 0 quando m. Exercicio 11. Para as sucessões de Cauchy do exercicio (??) calcule os seus limites. Exercicio 12. Considere o espaço de medida (]0, 1], B(]0, 1]),λ)eR n a n-ésima função 1 de Rademacher. Mostre que n 1, R n n L 1,L 2 (λ, ]0, 1]), e 1 R n n 0, pontualmente, em L 1 eeml 2. Proposição 2.7. Se f e g são elementos de L 2 (µ, ) então fg L 1 (µ, ). Demonstração. Pela desigualdade de Schwarz virá, { fg dµ = f g dµ f 2 dµ o que permite concluir o pretendido por f,g L 2. } 1 2 { } 1 g 2 2 dµ, Corolário 2.8. Se µ() < então L 2 (µ, ) L 1 (µ, ). Demonstração. Seja f L 2 (µ, ) como g 1 L 2 (µ, ) por µ() <, então pelo teorema anterior f = fg L 1 (µ, ).

10 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 10 Corolário 2.9. Sejam f,g L 2 (µ, ), então também f + g L 2 (µ, ). Demonstração. Como f + g 2 dµ f 2 +2 f g + g 2 dµ = f 2 dµ +2 f g dµ + g 2 dµ. Como f 2 dµ, g 2 dµ < por f,g L 2 e f g dµ < pela proposição anterior. O que permite concluir que f + g L 2 (µ, ). Exercicio 13. Considere o espaço de medida (]0, 1], B(]0, 1]), λ). Mostre que f(x) = x 3/4 L 1 (λ, ]0, 1]) mas no entanto f(x) =x 3/4 / L 2 (λ, ]0, 1]). Exercicio 14. Considere o espaço de medida ([1, [, B([1, [),λ). Mostre que f(x) = x 3/4 L 2 (λ, [1, [) mas no entanto f(x) =x 3/4 / L 1 (λ, [1, [). Exercicio 15. Comente os resultados dos dois últimos exercicios à luz do corolário (??). Observação Podemos escrever a desigualdade de Schwarz em termos de normas vindo, para f,g L 2 E[fg] E[ fg ] f 2 g 2. Exercicio 16. Mostre que se g =0oug = cf, c R então a desigualdade de Schwarz pode ser substituida por uma igualdade. Proposição (Desigualdade Triângular) Se f,g L 2 então f + g 2 f 2 + g 2. Demonstração. Como f + g 2 2 = f + g 2 dµ f 2 +2 f g + g 2 dµ vem usando a desigualdade de Schwarz, f 2 dµ +2 f g dµ + g 2 dµ = f E[ fg ]+ g 2 2 f f 2 g 2 + g 2 2 =( f 2 + g 2 ) 2.

11 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 11 Exercicio 17. Um espaço de medida (, F,µ) diz-se σ-finito se existir (A n ) n N F N tal que = n N A n e µ(a n ) <, n N. Considere uma sequência de funções (f n ) n N em L 2 (µ, ). Seja Mostre que é σ-finito. ={ω ; f i (ω) 0, para algum i}. Indicação: Faça E m,n = {ω ; f n (ω) > 1/m} e mostre que = m,n E m,n. Proposição (Monotonia das Normas para variáveis aleatórias) Sejam (, F, P) um espaço de probabilidade, 1 r s< e X L s (P, ) uma variável aleatória, então X L r (P, ) e X r X s. Demonstração. Para r = s é trivial, para 1 r<se fazendo p = s r 1 p + 1 q =1vem pela desigualdade de Holder, ( ) r ( X r 1 dp ( X r ) s s r dp ) s r 1 s s s r dp. > 1eq tal que Donde sai ( ) 1 ( ) 1 X r r dp X s s dp, como queriamos mostrar, e tendo atenção que se o integral da direita for finito também o será o da esquerda. Exercicio 18. Se E[ X n ] < para algum n N então E[X k ] <, k n. Definição Para f,g L 2 (µ, ) define-se um produto interno por: f,g = fgdµ(= E[fg]sefôr sobre um espaço de medida). Observação Repare-se que este produto interno induz a norma L 2 uma vez que ( ) 1 f,f = f 2 2 dµ = f 2. Exercicio 19. Mostre que a função.,. definida em (??) é um produto interno.

12 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 12 Exercicio 20. Mostre que f,g L 2 temos a lei do paralelograma, f + g f g 2 2 =2 f g 2 2. Definição Se f,g L 2 então f e g dizem-se ortogonais (e escreve-se f g) se f,g =0. Exercicio 21. Sejam f,g L 2 (λ, R) com f = I ]0,1]. Mostre que f,g =0se, e só, se gdλ =0. ]0,1] Exercicio 22. Mostre que quaiquer duas funções de Rademacher R i,r j com i j são elementos ortogonais de L 2 (λ, ]0, 1]). Teorema (Pitágoras) Se f,g L 2 e f g, então f + g 2 2 = f g 2 2. Demonstração. Basta usar as propriedades de definição de um produto interno, f + g 2 2 = f + g, f + g = f,f + f,g + g, f + g, g = f g 2 2. No caso dos espaços de probabilidade temos, Definição Para duas variáveis aleatórias X, Y L 2, define-se a covariância entre X e Y por: Cov[X, Y ]=E[(X E[X])(Y E[Y ])]. Neste contexto o teorema de Pitágoras pode ser escrito, Cov[X, Y ]=0 V[X + Y ]=V[X]+V[Y ]. Podemos ainda falar de projecção ortogonal. Teorema Seja K um subespaço vectorial de L 2 (P, ). Então dado uma variável aleatória X L 2 (P, ), existe Y Ktal que: (1) X Y 2 = inf W K X W 2,

13 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 13 (2) X Y Z, Z K. Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada em [?], pag. 67. Definição Avariável aleatória Y no teorema anterior échamada de versão da projecção ortogonal de X em K. Se Ỹ é uma outra versão, então Ỹ = Y P-quasecertamente. As variáveis aleatórias em L p com p N desempenham um papel fundamental em probabilidades. Definição O momento de ordem n de uma variável aleatória X L n é definido por: E[X n ],n=1, 2,... Os momentos centrais de ordem n são definidos por: E[(X E[X]) n ]. Podendo ser apresentados em termos de função de distribuição de probabilidade: E[X n ]= x n dp X, E[(X E[X]) n ]= (x E[X]) n dp X. Ou em termos de densidade (caso exista) E[X n ]= E[(X E[X]) n ]= x n f X (x)dx, (x E[X]) n f X (x)dx. Exercicio 23. Mostre que os momentos centrais de ordem n podem ser determinados pelos momentos (não centrais) de ordem k n. Exercicio 24. Sendo X uma variável aleatória com distribuição N(µ, σ) mostre os momentos centrais de ordem impar são nulos e os de ordem par valem E[(X µ) 2k ]= (2k 1)σ 2k,k 1

14 ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-Lp 14 Exercicio 25. Seja X uma variável aleatória que toma os valores distintos a 0,a 1,...,a n,... com probabilidade p 0,...,p n,... Calcule os momentos centrais e não centrais de ordem k da variável X. Exercicio 26. Calcule os momentos centrais e não centrais de ordem k de uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli. Referências 1. [Adam86] M. Adams, V. Guillemin, Measure Theory and Probability, Birkhäuser, [Will91] D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, [Rudi87] W. Rudin, Real and Complex Analysis, third edition, McGraw-Hill, [Capi99] M. Capiński, E. Kopp, Measure, Integral and Probability, Springer, 1999.

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