ESTIMAÇÃO MELHORADA NUM MODELO DE REGRESSÃO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Departamento de Estadística - Bogotá ESTIMAÇÃO MELHORADA NUM MODELO DE REGRESSÃO BETA COM PRECISÃO CONSTANTE Raydonal Ospina M. Departamento de Estatística Universidade Federal de Pernambuco, Brasil Leonardo Bautista In memoriam, Profesor - UNAL 1

2 I. MOTIVAÇÃO Uma importante área de pesquisa é o estudo do comportamento dos estimadores de máxima verossimilhança (MV) em pequenas amostras, em particular, análise de viés. O viés mede quão distante em média está um estimador do verdadeiro parâmetro estudado e, muitas vezes, esta medida é utilizada como um critério para avaliar a qualidade de um estimador. Para valores moderados de tamanho de amostra (n) o viés pode ser problemático. A correção de viés torna-se importante quando a informação disponível é pequena. A obtenção de expressões que permitam corrigir o viés possibilita a obtenção de estimadores mais precisos que os não-corrigidos. 2

3 Para modelos regulares, o viés do estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro θ k-dimensional pode ser escrito como B(θ ) = B 1(θ ) n Para n suficientemente grande, temos + B 2(θ ) n 2 + E( θ ) θ + B 1(θ ) n. Assim, uma correção padrão consiste em usar θ = θ B 1( θ ) n. Podemos mostrar que o estimador corrigido θ é tal que E( θ ) =θ +O(n 2 ). 3

4 CORREÇÃO = PRECISÃO Em termos de viés Ferrari & Cribari Neto (2004) propõem um modelo de regressão beta. A variável resposta segue um comportamento beta sob uma nova parametrização e a resposta média é modelada através de uma estrutura de regressão sujeita a um parâmetro de precisão. O objetivo principal deste trabalho é fornecer expressões que permitam corrigir os vieses até ordem O(n 1 ) dos estimadores de máxima verossimilhança do modelo de regressão beta proposto por Ferrari & Cribari Neto (2004). 4

5 II. MODELO BETA A distribuição beta é uma das mais usadas para modelar experimentos aleatórios que produzem resultados no intervalo (0, 1). Definição: Seja Y uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Ω,I,P). Y temdistribuiçãobetacomparâmetrosp,q > 0 se suafunçãodedensidade é dada por f(y;p,q) = Γ(p+q) Γ(p)Γ(q) yp 1 (1 y) q 1, y (0,1), 0, caso contrário. Os parâmetros p e q são parâmetros de ajuste, pois através da escolha de p e q podem ser obtidas diferentes distribuições em (0, 1). Reparametrização: Trabalhamos com a parametrização µ = p/(p+q) e φ = p+q, i.e., p = µφ e q = (1 µ)φ. Ainda, E(Y) = µ, 5

6 Var(Y) = µ(1 µ) 1+φ. O valor de µ é a média da variável resposta e φ pode ser interpretado como um parâmetro de precisão, no sentido de que, para µ fixo, se o valor de φ aumenta, a variância da variável resposta diminui. Nova densidade: A densidade da beta sob a nova parametrização é Γ(φ) Γ(µφ)Γ((1 µ)φ) yµφ 1 (1 y) (1 µ)φ 1, y (0,1), f(y;µ,φ) = 0, caso contrário. Quando µ = 1/2 as densidades se apresentam com forma simétrica; no entanto, quando µ 1/2 as formas são não simétricas. Para µ fixo, a dispersão da distribuição diminui quando φ aumenta. 6

7 Percebemos que no caso de µ = 1/2 e φ = 2 a densidade se reduz a uma distribuição uniforme padrão. A densidade beta permite modelar densidades de forma de U. Assumimos que a variável resposta está restrita ao intervalo (0, 1). No caso em que a resposta assuma valores no intervalo arbitrário (a,b), com a,b conhecidos, podemos modelar a variável (Y a)/(b a), a qual é uma padronização que permite trabalhar com a densidade anterior em (0, 1). 7

8 f(y) (0.05,5) (0.25,5) (0.50,5) (0.75,5) (0.95,5) f(y) (0.05,15) (0.10,15) (0.25,15) (0.50,15) (0.90,15) (0.75,15) (0.95,15) y y f(y) (0.05,50) (0.10,50) (0.25,50) (0.50,50) (0.75,50) (0.95,50) (0.90,50) f(y) (0.05,100) (0.10,100) (0.25,100) (0.50,100) (0.75,100) (0.95,100) (0.90,100) y y A distribuição beta como uma familia de distribuições. Densidades beta para diferentes valores de (µ, φ). 8

9 III. MODELO DE REGRESSÃO BETA Estrutura do modelo Ferrari & Cribari Neto (2003) propõem o seguinte modelo. Seja y = (y 1,...,y n ) onde os y i s são v.a.s independentes. Suponha que y t,t = 1,...,n, segue uma densidade da forma beta reparametrizada. A média de y t satisfaz uma relação funcional da forma k g(µ t ) = x ti β i = η t. i=1 β = (β 1,...,β k ) é um vetor de parâmetros de regressão desconhecidos (β IR k ) e x t1,...,x tk são observações de k covariáveis (k < n) conhecidas. A função de ligaçãog : (0,1) IR é estritamente monótonaeduas vezes diferenciável. 9

10 Podemos assumir que o modelo de regressão beta como função da densidade beta parametrizada é um modelo regular. A média µ t de y t é função dos parâmetros através da relação µ t = g 1 ( k x ti β i ) = g 1 (η t ), i=1 onde g 1 é a inversa da função de ligação. Podemos escolher diferentes funções de ligação: logit g(µ) = log{µ/(1 µ)}, probit g(µ) = Φ 1 (µ), log-log complementar g(µ) = log{ log(1 µ)}, entre outras. O modelo de regressão beta permite modelar taxas e proporções. 10

11 IV. ESTIMAÇÃO Os parâmetros do modelo de regressão beta podem ser estimados por máxima verosimilhança. A função de log-verossimilhança para o modelo de regressão beta é l(β,φ) = n l t (µ t,φ), t=1 onde l t (µ t,φ) = logγ(φ) logγ(µ t φ) logγ((1 µ t )φ) +(µ t φ 1)logy t +{((1 µ t )φ 1)}log(1 y t ). A função de escore é obtida pela diferenciação da função de log-verossimilhança em relação aos parâmetros desconhecidos. 11

12 Para r = 1,...,k, e onde l(β, φ) φ l(β, φ) β r = = n t=1 l t (µ t,φ) µ t dµ t dη t η t β r = n t=1 φ[y t µ t] dµ t dη t x tr n {µ t [yt µ t]+log(1 y t )+ψ(φ) ψ((1 µ t )φ)}, t=1 y t yt = log( ), 1 y t µ t = ψ(µ tφ) ψ((1 µ t )φ). 12

13 Os estimadores de máxima verossimilhança de β e φ são obtidos pela solucão do sistema U(θ ) = 0, i.e., U β (β,φ) = 0, U φ (β,φ) = 0. Estes estimadores não possuem forma fechada. Assim, eles têm que ser obtidos numericamente pela maximização da função de log-verossimilhança usando um algoritmo de otimização não-linear, tal como o algoritmo de Newton (Newton-Raphson, Fisher s scoring, BHHH, etc.) ou um algoritmo quasi-newton (BFGS). Ferrari & Cribari Neto (2003) sugerem usar como vetor inicial, para um esquema iterativo de maximização, a estimativa do vetor β obtida a partir de uma regressão linear auxiliar da variável resposta transformada g(y 1 ),...,g(y n ) em X, i.e., (X X) 1 X z, onde o vetor z é da forma z = (g(y 1 ),...,g(y n )). 13

14 Uma sugestão de estimativa inicial para φ é 1 n ˇµ t (1 ˇµ t ) 1, n ˇσ 2 t=1 onde ˇµ t = g 1 (x t (X X) 1 X z), e ˇσ 2 t = ě ě/[(n k){g (ˇµ t )} 2 ], sendo ě = z (X X) 1 X z o vetor de resíduos de mínimos quadrados da regressão linear auxiliar. Para determinar o comportamento da variabilidade dos estimadores dos parâmetros do modelo de regressão beta, é útil obter uma expressão para a matriz de informação de Fisher K(θ ). Notação: As derivadas da função de log-verossimilhança com respeito aos parâmetros desconhecidos são indicadas por índices, onde as letras r,s,... correspondem às derivadas em relação às componentes de β e a letra φ corresponde às derivadas com respeito ao parâmetro φ. Logo, U r = l/ β r, U φ = l/ φ, U φs = 2 l/ φ β s, U rsφ = 3 l/ β r β s φ, e assim por diante. A notação para os momentos destas derivadas é dada por Lawley (1956): κ rs = E(U rs ), κ φφ = E(U φ U φ ), κ rs,φ = E(U rs U φ ), κ rst = E(U rst ), etc., onde todos os κ s são 14

15 momentos sob a amostra, e em geral são de ordem O(n). Também as derivadas são denotadas por κ (t) rs = κ rs / β t,κ (φ) rφ = κ rφ/ φ, etc. κ rs = κ r,s representa o elemento (r,s) da inversa K 1 da matriz de informação. Os momentos de segunda ordem são n ( κ rs = φ 2 dµt ) 2xts w t x tr, dη t=1 t n dµ t κ rφ = c t x tr, dη t=1 t n κ φφ = d t, t=1 onde w t = [ψ (µ t φ)+ψ ((1 µ t )φ)], o vetor c = (c 1,...,c n ) é de dimensão n 1 com c t = φ[µ t w t ψ ((1 µ t )φ)], e analogamente, d t = (1 µ t ) 2 ψ ((1 µ t )φ)+µ 2 tψ (µ t φ) ψ (φ). 15

16 Definimos {( W ββ = diag φ dµ ) 2wt } t, dη t W βφ = Tc, W φβ = W βφ, W φφ = tr(diag(d t )). Por facilidade, definimos X a matriz aumentada de dimensão (n+1) (k+1) da forma ( ) X 0 X =. 0 1 Definimos a matriz W de dimensão (n+1) (n+1) por ( ) Wββ W W = βφ. W φβ W φφ 16

17 A matriz de informação de Fisher é dada por ( ) Kββ K K = K(β,φ) = βφ K φβ K φφ Se consideramosovetor de parâmetrosconjuntos θ = (β,φ), a matriz de informação de Fisher pode ser escrita como K(θ ) = K(β,φ) = X W X. NOTA: K βφ = Kφβ 0, o que indica que os parâmetros β e φ não são ortogonais, em contraste ao que se verifica na classe de modelos lineares generalizados (McCullagh & Nelder, 1989). Sob certas condições de regularidade aqui satisteitas, se garante a normalidade assintótica do estimador de máxima verossimilhança: 17

18 ) (( ) ) θ ( β φ = A β N k+1, K(θ φ ) 1 sendo β e φ os estimadores de máxima verossimilhanca de β e φ, respectivamente, e N k+1 uma distribuição normal (k +1)-variada. Se 0 < α/2 < 1/2 com z α/2 o quantil da distribuição N(0,1) então, para r = 1,...,k, β r ±z 1 α 2 (K( θ ) rr ) 1/2 e φ±z 1 α 2 (K( θ ) φφ ) 1/2, são os limites dos intervalos de confiança assintóticos (ICA). 18

19 Objetivo: V. ESTIMAÇÃO CORRIGIDA DOS ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Obter uma expressão para calcular o viés de segunda ordem usando a fórmula de Cox & Snell (1968) com a finalidade de obter estimativas corrigidas dos parâmetros de nosso modelo de regressão beta. A fórmula de Cox & Snell (1968): B( θ r ) = κ ru κ (κ st rs,t + 1 ) 2 κ rst. s,t,u O viés de segunda ordem das estimativas de máxima verossimilhança para a a-ésima componente do vetor β de nosso modelo é 19

20 B( β a ) = { κ ar κ su κ rs (u) 1 } 2 κ rsu + { κ aφ κ su κ (u) φs 1 } 2 κ φsu r,s,u φ,s,u + { κ ar κ φu κ (u) rφ 1 } 2 κ rφu + { κ ar κ sφ κ (φ) rs 1 } 2 κ rsφ r,φ,u r,s,φ + { κ aφ κ φu κ (u) φφ 1 } 2 κ φφu + { κ aφ κ sφ κ (φ) φs 1 } 2 κ φsφ φ,φ,u φ,s,φ + { κ ar κ φφ κ (φ) rφ 1 } 2 κ rφφ + { κ aφ κ φφ κ (φ) φφ 1 } 2 κ φφφ. r,φ,φ φ,φ,φ 20

21 Para a estimativa φ do parâmetro φ temos B( φ) = { κ φr κ su κ rs (u) 1 } 2 κ rsu + { κ φφ κ su κ (u) φs 1 } 2 κ φsu r,s,u φ,s,u + { κ φr κ φu κ (u) rφ 1 } 2 κ rφu + { κ φr κ sφ κ (φ) rs 1 } 2 κ rsφ r,φ,u r,s,φ + { κ φφ κ φu κ (u) φφ 1 } 2 κ φφu + { κ φφ κ sφ κ (φ) φs 1 } 2 κ φsφ φ,φ,u φ,s,φ + { κ φr κ φφ κ (φ) rφ 1 } 2 κ rφφ + { κ φφ κ φφ κ (φ) φφ 1 } 2 κ φφφ. r,φ,φ φ,φ,φ B( β a ) e B( φ) são vieses de segunda ordem dos estimadores de máxima verossimilhança de β a e φ, respectivamente. 21

22 Definimos as quantidades w t = [ψ (µ t φ)+ψ ((1 µ t )φ)], a t = 3 ( dµ t ) ( dµ ) t 2, µ t dη t dη t b t = dµ t[( 2 dµ t )dµ t dη t µ 2 + ( dµ t ) 2 ], t dη t dη t µ t dη t d t = (1 µ t ) 2 ψ ((1 µ t )φ)+µ 2 tψ (µ t φ) ψ (φ), s t = (1 µ t ) 3 ψ ((1 µ t )φ)+µ 3 tψ (µ t φ) ψ (φ), c t = φ[µ t w t ψ ((1 µ t )φ)], u t = φ{2w t +φ[µ t m t +ψ ((1 µ t )φ)]}, r t = 2[µ t w t ψ ((1 µ t )φ)]+φ[µ 2 t ψ (µ t φ), (1 µ t ) 2 ψ ((1 µ t )φ)] dµ t dη t. 22

23 Definimos as matrizes diagonais W 1 = diag { φ2 2 [φm t( dµ t ) } dη t 3 w ta t ], ( 1 ( dµt ) ( dµ )} t dµt ) W 2 = diag u t +c t, 2{ dη t µ t dη t dη t ( W 3 = diag 1 { φ 2 [µ t m t +ψ ((1 µ)φ)] dµ t, 2 dη t ( dµ } t dµt ) +c t ), µ t dη t dη t ( W 4 = diag 1 2 φ[µ2 tψ (µ t φ) (1 µ t ) 2 ψ ((1 µ t )φ)] dµ ) t, dη t ( W 5 = diag 1 2 r dµ ) t t, dη t S = diag(s t ). 23

24 Definimos e a o a-ésimo vetor coluna da matriz identidade de dimensão k k, δ ββ o vetor de dimensão n 1 obtido da diagonal principal da matriz XK ββ X. Aqui tr( ) denota o operador traço de uma matriz quadrada e diagonal( ) o operador que forma um vetor linha a partir dos elementos diagonais de uma matriz quadrada. Aqui definimos os operadores tr( ) como o traço de uma matriz quadrada e diagonal( ) como o vetor linha formado pela diagonal principal de uma matriz quadrada. 24

25 VI. ESTIMAÇÃO CORRETIVA O cálculo do viés de segunda ordem do estimador θ O viés de segunda ordem de β é B( β) = K ββ X (W 1 δ ββ +(W 3 +W 2 )XK βφ +diagonal(w 4 ) )K βφ (tr(w 3 XK ββ X ) +K φφ tr(s)+(diagonal(w 5 +W 4 ))XK βφ ). Definimos o vetor δ de dimensão (n+1) 1 como ( ) W 1 δ ββ +(W 3 +W 2 )XK βφ +diagonal(w 4 ) tr(w 3 XK ββ X )+K φφ tr(s)+(diagonal(w 5 +W 4 ))XK βφ. 25

26 Definimos o bloco superior da matriz K(θ ) 1 de dimensão k (k +1). por K β = (K ββ K βφ ). O viés de β pode ser escrito como B( β) = K β X δ. De forma análoga aos cálculos anteriores, deduz-se que B( φ) = K φβ X W 1 δ ββ +K φφ tr(w 3 XK ββ X ) +K φβ (X W 3 X)K βφ +K φβ (X W 2 X)K βφ +K φφ diagonal(w 5 )XK βφ +K φφ diagonal(w 4 )XK βφ +K φβ X diagonal(w 4 ) K φφ +K φφ K φφ tr(s), Definimos K φ = (K φβ K φφ ), 26

27 o bloco inferior da matriz K(θ ) 1 de dimensão 1 (k +1); assim, o viés de φ pode ser escrito como B( φ) = K φ X δ. Considerando o vetor conjunto θ = (β,φ), podemos escrever o viés de segunda ordem do estimador de máxima verossimilhança de θ como B( θ ) = ( X W X) 1 X δ. 27

28 Resultado principal : Seja ξ = W 1 δ, então, os coeficientes do vetor B( θ ) podem ser estimados a partir de uma regressão de mínimos quadrados generalizados dada pela equação B( θ ) = ( X W X) 1 X W ξ. Definimos a estimativa de máxima verossimilhança corrigida θ da forma θ = θ B( θ ), onde B( θ )denotaoestimadordemáximaverossimilhançadeb( θ ), i.e., osparâmetros desconhecidos são substituídos por suas respectivas estimativas de máxima verossimilhança. O estimador θ apresenta as mesmas propriedades assintóticas do estimador de máxima 28

29 verrosimilhança, i.e., θ é consistente para θ e sua distribuição assintótica é tal que θ A N(θ,K 1 (θ)). Para r = 1,...,k, e β r ±z 1 α 2 (K( θ ) rr ) 1/2 φ±z 1 α 2 (K( θ ) φφ ) 1/2, são os limites de intervalos de confiança assintóticos para β r e φ, de tamanho 100(1 α)%, respectivamente; os quais são construidos a partir do estimador corrigido corretivamente. Chamamos estes intervalos de (IACC). As variâncias assintóticas de β r e φ são K( θ ) rr e K( θ ) φφ, respectivamente, com K( θ ) rr o (r,r)-ésimo elemento da matriz K ββ avaliado em θ. 29

30 Densidades estimadas θ EMV ECCS Box plot ECCS EMV θ Comparação das densidades dos estimadores de máxima verossimilhança e corrigido por viés de Cox & Snell (1968) 30

31 VII. ESTIMAÇÃO PREVENTIVA Idéia de David Firth (1993). Introduzindo um pequeno viés na função de escore, o viés de θ pode ser reduzido. Se θ apresenta viés positivo B(θ), a função é deslocada pela quantidade K(θ)B(θ). O deslocamento define uma função de escore modificada dada por U (θ) = U(θ)+K(θ)B(θ) cuja solução θ de U = 0 produz uma estimativa modificada corrigida. O viés na equação anterior em geral é desconhecido, mas podemos estimá-lo utilizando a fórmula de Cox & Snell (1968). Para o modelo de regressão beta, o escore modificado é da forma U (θ) = U(θ)+ X δ 31

32 U(θ) U* (θ) 0 θ B(θ) θ K (θ) B(θ) Função de escore modificada. 32

33 De forma análoga ao método corretivo, o estimador θ apresenta as mesmas propriedades que o estimador de máxima verrosimilhança, i.e., θ é consistente para θ e sua distribuição assintótica é tal que θ A N(θ,K 1 (θ)) e E(θ ) =θ +O(n 2 ). Se utilizamos como estimador consistente da matriz de informação de Fisher a matriz K(θ ) sendo K(θ ) a matriz K(θ ) avaliada em θ, podemos construir intervalos de confiança assintóticos. Para r = 1,...,k, e β r ±z 1 α 2 (K(θ ) rr ) 1/2 φ ±z 1 α 2 (K(θ ) φφ ) 1/2, sãolimitesde intervalosde confiançaassintóticospara β r eφ, de tamanho100(1 α)%, respectivamente. Denominamos estes tipos de intervalo assintótico corrigido preventivamente (IACP). 33

34 Densidades estimadas θ EMV DFirth Box plot DFirth EMV θ Comparação das densidades dos estimadores de máxima verossimilhança e corrigido preventivo. 34

35 VIII. CORREÇÃO POR BOOTSTRAP Consideramos uma amostra aleatória y = (y 1,...,y n ) de uma variável aleatória populacional Y cuja distribuição está determinada completamente por sua função de distribuição acumulada P. Seja θ = t(p) uma função de P denominada parâmetro e θ = S( y ) um estimador de θ. P pertençe a uma família paramétrica dimensionalmente finita e conhecida, P η. A idéia do bootstrap Obter a partir da amostra original y, um grande número de amostras y = (y1,...,y n ) selecionadas com reposição, calcular as respectivas réplicas bootstrap de θ, θ = S( y ), e, com base na distribuição empírica de θ, estimar a função de distribuição de θ. Denotamos o viés do estimador θ = S( y ) por B P(θ, θ), da forma B P (θ, θ) = E P [S( y )] t(p) 35

36 onde o subescrito P indica que a esperança matemática é obtida com base na medida P. O estimador bootstrap do viés na versão paramétrica é definido substituindo a verdadeira distribuição P, que gerou a amostra original, pela distribuição Pˆη B Pˆη (θ, θ) = E Pˆη [S( y )] t(pˆη) O método: Gerando R amostras bootstrap ( y 1,..., y R ) de forma independente e calculando as respectivas réplicas bootstrap (θ1,...,θ R ) aproximamos a esperança bootstrap E Pˆη [S( y )] pela média θ ( ) = 1 R R θi. i=1 36

37 O viés estimado por bootstrap baseado nas R réplicas do estimador θ é B Pˆη (θ, θ) = θ ( ) S( y ), Resultado: O estimador corrigido por bootstrap é θ = S( y ) B Pˆη (θ, θ) = 2S( y ) θ ( ) A estimativa θ é denominada estimativa CBC (Constant-Bias-Corrections), MacKinnon & Smith (1998). 37

38 IX. INTERVALOS DE CONFIANÇA BOOTSTRAP Utilizando o método bootstrap obtemos o denominado intervalo percentil (ICP), com nível aproximado de cobertura de 1 α definido por ( P 1 (α/2), P 1 (1 α/2)). SeordenamosasRréplicasbootstrapde θ,oslimitesinferioresuperiordointervalode confiança percentil serão as réplicas R(α/2) e R(1 α/2), respectivamente, assumindo que R(α/2) e R(1 α/2) sejam inteiros e 0 < α < 0.5. Como observamos, esta construção garante a não inclusão de valores impróprios para o parâmetro de interesse no intervalo de confiança. Consideramos intervalos de confiança de tipo percentil para θ utilizando a distribuição empírica P dos estimadores corrigidos θ e θ, os quais chamamos de in- 38

39 tervalos de confiança percentil corrigidos corretivamente (ICCC) e preventivamente (ICCP) respectivamente. Efron(1981, 1982) introduz um metodo de estimação intervalar por bootstrap que denominou de BC ( Bias-corrected ), o qual pode ser extendido ao considerar variações do erro padrão para diferentes valores do parâmetro θ. Este intervalo de confianca denominado de BCa ( Bias-Corrected and accelerated ). Construimos intervalos de confiança BCa ( Bias-Corrected and accelerated ) com probabilidade de cobertura de aproximadamente 1 α para θ da forma ( P 1 (Φ(z [α/2] )), P 1 (Φ(z [1 α/2] ))). 39

40 Na expressão acima z[α/2] = v v 0 +z α/ a(v 0 +z α/2 ), z[1 α/2] = v v 0 +z 1 α/ a(v 0 +z 1 α/2 ). v 0 está ligado ao viés da mediana de θ e a constante de aceleraração a mede a razão de mudança do erro padrão de θ com respeito ao verdadeiro valor do parâmetro, e ela pode ser estimada através da expressão â = 1 6 Skew( l θ ( θ)) θ= θ, ondeskew( )denotaocoeficientedeassimetriadadistribuiçãodadae l θ ( θ)éaderivada da função de log-verossimilhança avaliada no ponto θ. De forma análoga ao método percentil, os limites do intervalo BCa com nível de 40

41 cobertura aproximadamente 1 α são os percentis δ 1 e δ 2 definidos através da distribuição bootstrap de θ por ( v 0 +z ) α/2 δ 1 = Φ v â( v 0 +z α/2 ) ( v 0 +z ) 1 α/2 δ 2 = Φ v 0 +, 1 â( v 0 +z 1 α/2 ) onde v 0 estima v 0 através de ( v 0 = Φ 1 # θ i < θ ), R com Φ 1 ( ) a inversa da função de distribuição normal padrão. A principal desvantagem do método BCa é a grande quantidade de réplicas bootstrap (em geral, são usadas entre 1000 e 2000 réplicas bootstrap) de θ. 41

42 X. AVALIAÇÃO NÚMERICA Através de simulações de Monte Carlo avaliamos o desempenho dos estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros do modelo de regressão beta com suas versões corrigidas em amostras de tamanho finito. Consideramos o modelo de regressão beta com estrutura g(µ t ) = β 0 +β 1 x t, t = 1,...,n onde g é a função de ligação logit, e os valores da variável explicativa x t, para cada observação, são conhecidos. Os parâmetros β 0,β 1 e φ de nosso modelo são desconhecidos e definem nosso vetor θ = (β 0,β 1,φ). Definimos valores verdadeiros dos parâmetros: 42

43 β 0 = 1.5, β 1 = 1.8, φ = 120. Os valores da covariável x t são selecionados de uma variável aleatória distribuída exponencialmente, exp(3), com a qual formamos a matriz de regressores X. Consideramos tamanhos de amostra n = 20,40,60, número de réplicas de Monte Carlo M = 5000 e número de réplicas bootstrap R = 600. A função de log-verossimilhança é maximizada através do método BFGS (com derivadas anaĺıticas) e a solução da função de escore modificada é encontrada através do método de Newton-Raphson. Para a análise de resultados da estimação pontual foram calculados para cada tamanho de amostra: a média, a estimativa do viés, o viés relativo, a estimativa da variância, a estimativa do erro médio quadrático e a estimativa da raiz do erro médio quadrático das 5000 estimativas. 43

44 Para cada réplica de Monte Carlo foram consideradas estimativas intervalares de tipo assintótico ICA, IACC, IACP; bootstrap percentil ICP, ICCC, ICCP e bootstrap BCa. São apresentadas as probabilidades de cobertura nominais 1 α, a média dos 5000 limites superior (Superior) e inferior (Inferior), a média dos 5000 comprimentos (Tamanho), a probabilidade de cobertura observada (Cobertura), a probabilidade observada do limite inferior de confiança ser maior do que o verdadeiro valor do parâmetro (% Esquerdo) e a probabilidade observada do limite superior de confiança ser menor do que o verdadeiro valor do parâmetro (% Direito). Todo o procedimento de cálculo foi programado na linguagem de programação Ox (Cribari Neto & Zarkos, 2003; Doornik, 2001). 44

45 XI. RESULTADOS Tabela 1. Resultados de simulação para as estimativas de máxima verossimilhança do parâmetro β 0 = 1.5 e suas versões corrigidas. n Estimador Média Viés Viés Rel. Variância EQM EQM β β β β β β β β β β β β

46 Tabela 2. Resultados de simulação para as estimativas de máxima verossimilhança do parâmetro β 1 = 1.8 e suas versões corrigidas. n Estimador Média Viés Viés Rel. Variância EQM EQM β β β β β β β β β β β β

47 Tabela 3. Resultados de simulação para as estimativas de máxima verossimilhança do parâmetro φ = 120, e suas versões corrigidas. n Estimador Média Viés Viés Rel. Variância EQM EQM φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ

48 n = % % % Intervalos de Confiança ICA IACC IACp ICP ICCC ICCP BCa β 0 Figura 1: Estimação intervalar para β 0 com n =

49 A Figura 1 mostra que todos os intervalos de confiançaconsiderados para β 0 são aproximadamente simétricos ao redor de β 0 e balanceados, i.e., as probabilidades observadas % Esquerdo e % Direito estão sendo repartidas uniformemente nas caudas da distribuição do estimador de máxima verossimilhança de β 0 considerando os diferentes níveis de confiança e tamanhos de amostra. 49

50 n = % % % Intervalos de Confiança ICA IACC IACp ICP ICCC ICCP BCa β 1 Figura 2: Estimação intervalar para β 1 com n =

51 A Figura 2 mostra que todos os intervalos de confiança considerados para os diferentes níveis de cobertura para β 1 são aproximadamente simétricos ao redor de β 1, mas um pouco não-balanceados, já que as probabilidades observadas % Direito são levemente superiores às probabilidades observadas % Esquerdo, sendo que este comportamento é reduzido com o aumento do tamanho de amostra. 51

52 n = Intervalos de Confiança ICA IACC IACp ICP ICCC ICCP BCa φ 99% 95% 90% Figura 3: Estimação intervalar para φ com n =

53 A Figura 3 mostra que todos os intervalos de confiança para φ considerando os diferentes níveis nominais de cobertura são assimétricos ao redor de φ, e apresentam um forte não-balanceamento, dado que as probabilidades observadas % Esquerdo são elevadamente superiores às probabilidades observadas % Direito. Os intervalos de tipo BCa são balanceados para os níveis de confiança de 90% e 95%; já para o nível de confiança de 99% se perde o balanceamento, pois sua precisão depende do número de réplicas bootstrap. 53

54 XII. CONCLUSÕES Derivamos para o modelo de regressão beta uma expressão que permite remover o viés de segunda ordem das estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros do modelo de regressão beta e do vetor de medias. Mostramos que o viés de segunda ordem obtido através da fórmula de Cox & Snell (1968) pode ser escrito em termos de uma regressão de mínimos quadrados generalizados, o que facilita seu cálculo. Os resultados de simulação mostram que as correções de viés são eficazes quando os tamanhos de amostra são pequenos. As correções anaĺıtica de Cox & Snell (1968) e por bootstrap apresentam os melhores desempenhos em termos de viés, viés relativo, EQM e EQM. 54

55 A correção preventiva dos estimadores dos parâmetros fornece estimativas com desempenhos desfavoráveis comparados ao das estimativas de máxima verossimilhança. As estimativas corrigidas dos parâmetros de regressão não apresentam uma forte melhoria no desempenho e precisão quando comparadas com as estimativas de máxima verossimilhança, indicando que apresentam boas propriedades em amostras finitas. No caso do parâmetro de precisão, observamos que as estimativas de máxima verossimilhança se apresentam muito viesadas e, desta forma, recomendamos fortemente sua correção de viés, em particular via bootstrap. Ao analisarmos o comportamento das estimativas intervalares, observamos que em geral para os parâmetros de regressão os intervalos de tipo percentil ICCP e assintótico IACP são os que apresentam os menores comprimentos e que os intervalos do tipo IACC apresentam as melhores coberturas, no sentido de aproximar-se ao verdadeiro nível de cobertura. 55

56 Todos os intervalos construídos para os parâmetros de regressão são aproximadamente simétricos e balanceados. Para o parâmetro de precisão os intervalos de confiança construídos são assimétricos e desbalanceados. Os intervalos assintóticos IACC apresentam os menores comprimentos e os IAC as melhores coberturas quando os tamanhos da amostra são relativamente pequenos. Para um nível de cobertura de 90% os intervalos do tipo BCa são os de menor comprimento e os mais balanceados. Em geral, para o parâmetro φ os intervalos assintóticos apresentam os melhores desempenhos. Recomendamos para o parâmetro de precisão φ o intervalo de confiança assintótico IACC. 56

57 REFERÊNCIAS 1. Bartlett, M. S. (1953). Aproximate confidence intervals. Biometrika, 40, Bowman, K. & Shenton, L. R. (1965). Biases and covariances of maximum likelihood estimators. Report K-1633, Union Carbide Corporation, Oak Ridge. 3. Box, M. (1971). Bias in nonlinear estimation (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society B, 33, Bury, K. (1999). Statistical Distributions in Engineering. New York: Cambridge University Press. 5. Cook, R., Tsai, C. & Wei, B. (1986). Bias in nonlinear regression. Biometrika, 73, Copas, J. B. (1988). Binary regression models for contaminated data. Journal of the Royal Statistical Society B, 50, Cordeiro, G. M. & McCullagh, P.(1991). Bias correction in generalized linear models. Journal of the Royal Statististical Society B, 53, Cox, D. & Snell, E. (1968). A general definition of residuals. Journal of the Royal Statistical Society B, 30, Cribari Neto, F., Botter, D. A., Cordeiro, G. M. & Ferrari, S. L. P. (1998). Bias reduction in one-parameter exponential familiy models. Communications in Statistics, Simulation and Computation, 27, Cribari Neto, F. & Vasconcellos, K. L. P. (2002). Nearly unbiased maximum likelihood estimation for the beta distribution. Journal of Statistical Computation and Simulation, 72, Cribari Neto, F. & Zarkos, S. G. (2003). Econometric and statistical computing using Ox. Computational Economics, 21, DiCiccio, T. J. & Tibshirani, R. (1987). Bootstrap confidence intervals and bootstrap aproximations. Journal of the American Statistical Association, 82, Efron, B. (1979). Bootstrap methods: another look at the jackknife. Annals of Statistics, 7,

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