PLANEJAMENTO DA ATRACAÇÃO DE NAVIOS EM UM PORTO DE CARGA GERAL POR MEIO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA O PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE BERÇOS CONTÍNUOS

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1 PLANEJAMENTO DA ATRACAÇÃO DE NAVIOS EM UM PORTO DE CARGA GERAL POR MEIO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA O PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE BERÇOS CONTÍNUOS Lhais Corradi Gaigher Rodrigo de Alvarenga Rosa Hugo Leonardo Louzada Vervloet Vinícius Bermond Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Transportes Universidade Federal do Espírito Santo RESUMO A operação portuária contribui com os altos custos logísticos na cadeia de valor dos produtos. Desta forma, os portos utilizam regras para recebimento e entrega de cargas, com o objetivo de estimar um fluxo operacional, minimizando o tempo de espera para atracar dos navios. Neste contexto, a proposta deste artigo é desenvolver um modelo matemático baseado no Problema de Alocação de Berços Contínuos com objetivo de minimizar o tempo de permanência dos navios no porto. O modelo foi aplicado ao Terminal de Produtos Siderúrgicos cuja finalidade é atender às siderúrgicas na exportação do produto final. Sendo assim, o modelo proposto considera a possibilidade de atracação de acordo com as restrições de calado, comprimento total e largura do navio. O modelo matemático foi resolvido utilizando o solver CPLEX e quando comparado com a média histórica do terminal, o modelo matemático sempre apresentou resultados melhores. ABSTRACT Port operation contributes to the high logistics costs in the products value chain. In this way, the ports use rules to receive and deliver products, with the objective to minimize the waiting time to berth of the vessels. In this context, the aim of this study is to develop a mathematical model based on dynamic continuous Berth Allocation Problem, through the minimization of the total service times of the vessels in the port. The model is applied to the Terminal de Produtos Siderúrgicos whose proposed is to meet the steelmakers in the final export products. Thus, the proposed model considers the possibility of berthing according to the restrictions in draft, total length and width. The mathematical model was solved using the software CPLEX. Comparing with the historical average of the terminal, always the mathematical model reached better results. Palavras chave: Problema de Alocação de Berços - Contínuo, Operação Portuária, Modelo Matemático. 1. INTRODUÇÃO O setor portuário brasileiro movimenta anualmente cerca de 700 milhões de toneladas e responde por 95% das exportações. Para atender esta demanda, o país dispõe de 34 portos públicos, entre marítimos e fluviais, dos quais 16 são cedidos ou arrendados (SEP, 2013). Diante dos altos custos existentes com o aluguel e manutenção dos navios, uma operação logística mais eficiente torna-se um diferencial competitivo entre as empresas que transportam suas cargas pelo modal marítimo. Neste cenário, os portos buscam reduzir o tempo de permanência do navio no porto, e como consequência reduzir as altas penalidades geradas,

2 quando realizado o atendimento do navio acima do tempo previamente acordado. Para minimizar esse tempo de permanência e otimizar a sequencia de atendimento dos navios no porto, foi proposto na literatura o Problema de Alocação de Berços (PAB) que se refere ao problema de planejar a sequência de atendimento de um conjunto de navios, dentro de um horizonte de tempo e em um layout de cais em um porto, atendendo a restrições operacionais e comerciais. Nos portos onde o cais não possui nenhuma subdivisão e os navios podem atracar em qualquer posição, o PAB é denominado de PAB Contínuo (PABC) (Bierwirth et al., 2010). Tendo em vista o volume de cargas movimentadas do setor siderúrgico e a importância econômica dos portos no escoamento destes produtos, este artigo propõe um modelo matemático para auxiliar os planejadores do porto a elaborar a sequencia de atendimento dos navios e minimizar o tempo de permanência no porto. Para avaliar o modelo proposto, o mesmo foi aplicado ao Terminal de Produtos Siderúrgicos (TPS), que se trata de um terminal portuário de produtos siderúrgicos. O TPS atende em média 330 navios por ano, totalizando aproximadamente 6,5 milhões de toneladas exportadas por ano. Para isso, o porto possui uma infraestrutura que conta com um cais contínuo de 638 metros de comprimento e calado de 13,5 metros. O artigo é organizado como segue. Na Seção 2 tem-se a definição do Problema de Alocação e uma revisão da literatura. Na Seção 3 é apresentado o modelo matemático proposto. Na Seção 4 são apresentados os experimentos computacionais e as análises dos resultados. Na última seção, têm-se as conclusões finais do trabalho. 2. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE BERÇOS O PAB refere-se ao problema de alocar um número fixo de berços a um conjunto de navios a chegar ao porto através da determinação da posição e horário de atracação no cais, com o objetivo de otimizar os serviços do porto. Existem vários objetivos, tais como: minimização do tempo de serviço dos navios, do tempo de estadia no porto, do número de navios rejeitados, do desvio entre a escala de atracação real e a planejada, além da maximização do número de navios atendidos e etc. O desempenho do PAB é usualmente mensurado em termos de custo, o que permite combinar diferentes objetivos numa função de custo totais (Bierwirth et al., 2010). As restrições espaciais limitam as possibilidades de variar as posições dos navios no berço de acordo com a divisão do cais. Segundo Imai et al. (2008), os casos de restrições espaciais consistem em: PAB Discreto (PABD); PAB Contínuo (PABC) e PAB Híbrido (PABH). Quanto às restrições temporais, elas são analisadas os tempos de atracação e desatracação dos navios. A chegada dinâmica representa o cenário da maioria dos portos, no qual os navios têm horários definidos de chegada e não têm permissão para atracar antes do horário previsto. No

3 caso de chegada estática, não há considerações quanto aos horários de chegada dos navios. Os tempos de chegada dos navios podem ser considerados como um fator determinístico ou estocástico. As chegadas determinísticas têm os tempos de chegada fixados como parâmetros do problema. Nas chegadas estocásticas, consideram-se as incertezas no tempo chegada dos navios decorrentes de problemas ocorridos em outros portos ou problemas de navegação e os tempos são estimadas com base em dados históricos. O tempo de serviço para o navio no porto inclui o tempo de espera entre o horário de chegada e o de atracação, assim como, o tempo de operação para carregamento e/ou descarregamento das cargas. (Bierwirth et al., 2010) PAB Contínuo (PABC) Garey et al. (1979) propõem uma analise do PABC utilizando um problema de corte bidimensional com restrições. A fim de minimizar o tempo total de permanência do navio no porto, Li et al. (1998), Guan et al. (2002) e Park, Kim (2003) e Guan et al. (2004) consideram o problema com tempo de chegada determinístico, ao passo que Gao et al. (2010) consideram os tempos de chegada como um comportamento probabilístico estocástico. Lim (1998) condicionou o PAB ao objetivo de minimizar o espaço do cais utilizando a premissa de que uma vez atracado o navio não será movimentado ao longo do cais antes de seu horário de partida. Lim (1999), Tong et al. (1999) e Goh et al. (2000) trabalharam com o mesmo objetivo, considerando que os tempos de atracação de navios já estão definidos pelos tempos de chegada. Moon (2000), Kim et al. (2003) e Briano et al. (2005) estudaram a minimização de atrasos como um objetivo em PABC dinâmico, através de heurísticas como o método do subgradiente e o simullated annealing. Park et al. (2003) estudaram o PABC com um objetivo similar ao apresentado por Kim et al. (2003), a diferença consiste em considerar o custo com atraso devido à espera entre o tempo estimado de chegada do navio e o horário de inicio de operação. Vale ressaltar que Park et al. (2002) e Kim et al. (2003) abordaram o BAP contínuo pela técnica de relaxamento de Lagrange (método do subgradiente). Minimização do comprimento de cais de atracação utilizado em dado tempo de carregamento foi estudada por Lim (1998) e Tong et al. (1999) como chegada estática. Imai et al. (2005) e Chang et al. (2008), por sua vez, correlacionaram a posição de atracação do navio no cais e o tempo de carregamento, além de considerar restrições de calado. A proposta apresentada por Imai et al. (2005) e Chang et al. (2008) se estruturou em duas etapas: num primeiro momento o problema é solucionado de maneira geral e numa segunda etapa são feitas modificações nas posições dos navios. Wang et al. (2007) buscaram a minimização dos custos de penalização para os navios rejeitados e apresentam uma heurística robusta que consegue resolver instâncias com até 400 navios. Arabshahi et al. (2010) propuseram minimizar o tempo de espera dos navios através

4 de um modelo cujos navios apresentam um ponto ótimo de atracação no cais e aplica penalizações devido a disparidade do ponto de atracação e o ponto ótimo. Rosa et al. (2012) propuseram a criação do Problema de Alocação de Berços de Múltiplas Cargas (PAB-MC), com base em um modelo matemático em PLIM e compara as soluções obtidos com as soluções reais. Elmany et al. (2013) e Arango et al. (2013) estudaram o PABC com chegada dinâmica e adicionam aos estudos o problema de atribuição de guindastes para os cais. Elwany et al. (2013) propuseram aplicar uma metodologia de solução heurística e obtiveram resultados preliminares de alta qualidade. Arango et al. (2013) propuseram a metodologia de algoritmo genético e analisaram experimentalmente para um porto da Espanha PAB Híbrido (PABH) Moorthy et al. (2006), e Chen et al. (1999) estudaram o PABH com tempo de chegada dinâmico, considerando o tempo de carregamento como fixo e a tempo de chegada dos navios de forma estocástica. Cordeau et al. (2005) e Imai el al (2007) estudaram o mesmo problema citado, porém consideraram que o tempo de operação é dependente da posição de atracação do navio. Nishimura et al. (2001) e Cheong et al. (2010) consideraram restrições de calado e chegada dinâmica. Dai et al. (2008) trataram o PABH num nível mais operacional, onde as posições precisas são pesquisadas dentro das áreas de atracação disponíveis usando Simulated Annealing. Chen et al. (1999) propuseram uma formulação PLIM considerando chegadas dinâmicas. Imai et al. (2007), Cordeau et al. (2005), Nishimura et al. (2001), Cheong et al. (2007) e Hoffarth et al. (1994) estudaram o PABH com diversas variações de função objetivo e de restrições. Umang et al. (2013) discutiram o PABH com tempo de chegada dinâmico para o caso de portos a graneis. Foram desenvolvidos algoritmos exatos e heurísticos para resolver o PAB no contexto de portos graneleiros e analisados do ponto de vista computacional quanto à aplicabilidade com base em casos inspirados a partir de dados de portos a graneis reais PAB Discreto (PABD) Imai et al. (1997), Imai et al. (2001), Theofanis et al. (2007) e Imai et al. (2008) analisaram o PABD com chegada estática e trataram o PAB como um problema de atribuição e sequenciamento de navios para berços tendo como objetivo minimizar o tempo de espera e de operação dos navios. Hansen et al. (2003) propuseram um modelo PLIM mais compacto para o mesmo problema. Imai et al. (2001), Monaco et al. (2007) e Imai et al. (2003) estudaram o PABD com chegada dinâmica. Zhou et al. (2008) e Han et al. (2010) lidam com o PABD com chegada dinâmica que considera o tempo de chegada e o tempo de carregamento com um comportamento estocástico.

5 Ainda para o PABD com chegada dinâmica, Cordeau et al. (2005) utilizaram a Metaheurística Tabu Search para resolver o PAB. Mauri et al. (2008) propuseram para o mesmo problema uma abordagem baseada em geração de colunas que segundo os autores gera melhores soluções num menor tempo de execução. Imai et al. (2008) propuseram a minimização do número de navios rejeitados por não ser atendido dentro do prazo máximo estabelecido. No modelo de Golias et al. (2006 e 2007) os horários de chegada e tempos de movimentação de navios foram considerados como variáveis estocásticas. Hansen et al. (2003) e Hansen et al. (2008) propuseram uma heurística Variable Neighborhood Search (VNS) para resolver o PAB que apresentou resultados superiores aos encontrados por Nishimura et al. (2001). Zhou et al. (2006) e Han et al. (2006) consideraram a chegada dos navios como estocástica e que existe uma restrição de tempo de espera na fila de navios. 3. MODELO MATEMÁTICO PROPOSTO O modelo matemático proposto é baseado em Programação Linear Inteira Mista (PLIM) e tem como objetivo a minimização do tempo total de permanência do navio no porto. Considera-se o TPS com chegada dinâmica e PAB Contínuo. Os tempos de chegada dos navios assumem comportamento determinístico e são obtidas na Praticagem ES (Praticagem, 2013). O modelo foi executado usando o solver CPLEX, versão O modelo matemático proposto é apresentado em cinco partes como segue: conjunto, variáveis de decisão, parâmetros, função objetivo e restrições. O Conjunto é o conjunto de navios para chegar ao porto,. A variável é relativa ao tempo de atracação do navio ; a variável corresponde à posição de atracação do navio ; e a variável determina o tempo de término do navio. Considerando-se o diagrama espaço-tempo com o tempo como abscissa e o cais como ordenada, têm-se as variáveis binárias e. A variável assume o valor de 1 se o retângulo do próximo navio a atracar estiver totalmente acima do retângulo referente ao navio no diagrama espaço-tempo e não houver sobreposição; e assume o valor será 0 em caso contrário. A variável possui valor igual a 1 se o retângulo do próximo navio a atracar estiver totalmente à direita do retângulo referente ao navio no diagrama espaço-tempo e não houver sobreposição; e valor 0 em caso contrário. Os parâmetros que compõe o modelo são o Comprimento do cais; o Horizonte de tempo ; o de operação do navio em unidade de tempo (1 hora); o Comprimento do navio em unidade de cais (1 metro) já incluindo a folga entre navios; e o de chegada do navio ao porto. - Função Objetivo

6 N min ( ci ai ) i 1 - Restrições (1) (2) (3) (4) (5) (6), (7) Para melhor entendimento das variáveis e parâmetros apresentados, foi desenvolvido o gráfico espaço-tempo (Figura 1) aplicado à nomenclatura utilizada no modelo do CPLEX. Figura 1 - Gráfico espaço-tempo aplicado ao modelo CPLEX A função objetivo (1) representa a diferença entre o tempo de término da operação, desatracação do navio, e o tempo de chegada do navio ao porto, ou seja, minimizar o tempo total do navio no porto. As restrições (2) e (3) garantem que não haja sobreposições no diagrama espaço-tempo no período e espaço. As variáveis e são variáveis binárias que consideram as posições relativas do retângulo do navio no gráfico espaço-tempo. Assim, no caso em que o retângulo do navio j está à direita do retângulo referente ao navio i, com isso,, e significa que o navio j vem depois do navio i. Por outro lado, caso o retângulo do navio j esteja à esquerda do retângulo

7 do navio i,, teremos que é sempre verdade, pois o horizonte de tempo é um valor muito maior do que os outros parâmetros. A não sobreposição dos retângulos é assegurada pela restrição (4). A equação (5) garante que o tempo de desatracação da embarcação é a soma da atracação com o tempo de operação. A restrição (6) garante que o navio seja atracado dentro do horizonte de tempo estipulado, ou seja, depois do ETA do navio e antes do tempo limite. Este horizonte de tempo, T, é calculado como a diferença entre o tempo de desatracação do último navio amostrado e o tempo de atracação do primeiro navio em análise, adicionando-se um delay. Por fim, a restrição (7) garante que e sejam variáveis binárias e evita que os navios e sejam tomados como o mesmo navio pelo modelo, assim como que as outras variáveis estejam dentro do universo dos números Reais e Positivos. 4. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS Com o objetivo de avaliar o modelo proposto e analisar sua capacidade operacional foram analisados os Cenários 1, 2, 3, 4 e 5 que contêm dados reais do TPS apurados no site da Praticagem e referentes respectivamente aos meses de agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro de Visto que existem meses com 30 dias e outros meses com 31 dias, o horizonte de planejamento foi estabelecido em 1200,0 horas, pois eventualmente nem todos os navios conseguem operar dentro do mês. Foi utilizado o comprimento real do cais do porto, ou seja, 638,0 metros. Assim, podem-se ver os cenários analisados na Erro! Fonte de referência não encontrada.. Tabela 1 Cenários estudados Num. Cenário Mês Navios Horizonte de Planejamento (h) Comprimento do Cais (m) 1 agosto ,0 638,0 2 setembro ,0 638,0 3 outubro ,0 638,0 4 novembro ,0 638,0 5 dezembro ,0 638,0 Os cenários estudados foram resolvidos pelo solver CPLEX 12.6, utilizando um computador Intel CORE i7, 2.0 GHz e 8 GB de memória RAM. Foi estabelecido um limite de tempo de 4 horas ou ,0 segundos de execução e os resultados podem ser vistos na Tabela 2. Decidiu-se comparar os resultados encontrados pelo CPLEX com os tempos médios reais do

8 porto estudado. Foram utilizados os dados do período de 2007 a 2012 e obteve-se o tempo médio de espera para atracação de 15,4 h e o tempo médio de estadia do navio no porto de 68,6 h. (USIMINAS, 2010). Esta comparação pode ser vista na Tabela 3. Tabela 2 Resultados do CPLEX CPLEX Cenário FO (h) GAP (%) Execução (s) ,0 0,0 0, ,0 0,0 21, ,0 0,0 77, ,0 0, , ,0 0, ,0 Tabela 3 Comparações dos Resultados encontrados pelo CPLEX s médios reais Redução CPLEX x CPLEX apurados s Médios reais Cenário Médio de Espera para Atracar (h) Médio de Estadia no Porto (h) Médio de Espera para Atracar (h) Médio de Estadia no Porto (h) Médio de Espera para Atracar (h) Médio de Estadia no Porto (h) 1 0,0 57,5 15,4 68,6-15,4-11,1 2 2,1 61,5 15,4 68,6-13,3-7,1 3 4,2 62,1 15,4 68,6-11,2-6,5 4 4,9 62,9 15,4 68,6-10,5-5,7 5 5,4 68,8 15,4 68,6-10,0 0,2 O CPLEX alcançou resultados melhores que a média histórica do porto, tanto para tempo médio de espera para atracar, quanto para tempo médio de estadia no porto. Mostrando, assim, que se eventualmente utilizado pela administração portuária, o porto pode ter ganhos operacionais o que pode representar a possibilidade de atracação de mais navios e a redução de pagamento de multas por conta da espera por atracação. No Cenário 5 apesar do modelo não ter obtido valores melhores que a média histórica, acredita-se que a diferença de 0,2 horas seja ínfima, podendo considerar que o CPLEX alcançou uma solução igual à média histórica. A fim de demonstrar graficamente o escalonamento fornecido pela solução do CPLEX, foi desenvolvidos os gráficos espaço-tempo para o Cenário 1 e 2 apresentados na Figura 2 e

9 Figura 3. Estes gráficos permitem perceber que não houve sobreposição em espaço ou tempo dos navios atracados no porto. Dessa forma, pode-se concluir que os resultados ótimos alcançados pelo modelo são plausíveis de aplicação, ou seja, o modelo é uma ferramenta que pode ser utilizada na prática do planejamento da atracação dos navios. Figura 2 - Programação de Atracação para o Cenário 1 Figura 3 - Programação de Atracação para o Cenário 2 5. CONCLUSÕES Este artigo apresentou um modelo matemático para solucionar o PAB em berços contínuos com chegada dinâmica. Para testar o modelo proposto e analisar sua capacidade operacional, aplicou-se o modelo ao TPS para cinco cenários, utilizando os dados reais do porto. Os resultados gerados pelo software CPLEX foram satisfatórios visto que foi possível apresentar a programação de atracação para os cenários em estudo, e ainda conseguir redução do tempo de espera para atracar, bem como, redução da estadia do navio no porto. Assim, pode-se considerar que o modelo matemático proposto pode vir a ser uma ferramenta utilizada

10 para auxiliar o planejamento da atracação dos navios no porto. REFERÊNCIAS Arabshahi, N., Ganji, S. S., Babazadeh, A. (2010). Analysis of the continuous berth allocation problem in container ports using a genetic algorithm. Journal of marine science and technology, 15(4), Arango, C.; Cortes, P.; Escudero A.; Onieva, L. Genetic Algorithm for The Dynamic Berth Allocation Problem in Real Time. Swarm Intelligence and Bio-Inspired Computation , Bierwirth, C., Meisel, F., (2010). A survey of berth allocation and quay crane scheduling problems in container terminals. European Journal of Operational Research, 202 (3) Briano, C., Briano, E., Bruzzone, A.G. (2005). Models for support maritime logistics: a case study for improving terminal planning. In: Merkuryev, Y., Zobel, R., Kerckhoffs, E. (Eds.), Proceedings of the 19th European Conference on Modeling and Simulation (ECMS). pp Chang, D., Yan, W., Chen, C. H., Jiang, Z. (2008). A berth allocation strategy using heuristics algorithm and simulation optimisation. International Journal of Computer Applications in Technology 32 (4), Cheong, C. Y., Lin, C. J., Tan, K. C., Liu, D. K. (2007). A multi-objective evolutionary algorithm for berth allocation in a container port. In: IEEE Congress on Evolutionary Computation 2007 (CEC 2007). IEEE Computer Society, Washington DC, pp Cheong, C., Tan, K., Liu, D., Lin, C. (2010). Multi-objective and prioritized berth allocation in container ports. Annals of Operations Research 180, Chen, C. Y., Hsieh, T. W. (1999). A time-space network model for the berth allocation problem. In: 19th IFIP TC7 Conference on System Modeling and Optimization, Cambridge. Cordeau, J. F., Laporte, G., Legato, P., Moccia, L. (2005). Models and tabu search heuristics for the berthallocation problem. Transportation Science 39 (4), Dai, J., Lin, W., Moorthy, R., Teo, C. P. (2008). Berth allocation planning optimization in container terminals. In: Tang, C.S., Teo, C.-P., Wei, K.-K. (Eds.), Supply chain analysis: a handbook on the interaction of information, System and Optimization. Springer, New York, Elwany, M. H.; Ali, I.; Abouelseoud, C. (2013) A heuristics-based solution to the continuous berth allocation and crane assignment problem. Alexandria Engineering Journal, pp , Gao, C., Zhang, R., Du, Y., Chen, Q. A proactive and reactive framework for berth allocation with uncertainties. In: Advanced Management Science (ICAMS). IEEE International Conference on, vol. 3, Garey, M. R., Johnson, D. S. (1979). Computers and intractability: a guide to the theory of NPcompleteness. San Francisco, LA: Freeman. Goh, K. S., Lim, A. (2000). Combining various algorithms to solve the ship berthing problem. In: Proceedings of the 12th IEEE International Conference on Tools with Artificial Intelligence (ICTAI 00). IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA, pp Golias, M., Boile, M., Theofanis, S. (2006). The berth allocation problem: a formulation reflecting time

11 window service deadlines. In: Proceedings of the 48th Transportation Research Forum Annual Meeting. Transportation Research Forum, Boston. Golias, M., Boile, M., Theofanis, S. (2007). The stochastic berth allocation problem. In: Proceedings of the International Conference on Transport Science and Technology (TRANSTEC 2007). Czech Technical University, Prague, pp Guan, Y., Cheung, R.K. (2004). The berth allocation problem: models and solution methods. OR Spectrum 26 (1), Guan, Y., Xiao, W. Q., Cheung, R. K., Li, C. L. (2002). A multiprocessor task scheduling model for berth allocation: heuristic and worst-case analysis. Operations Research Letters 30 (5), Han, M., Li, P., Sun, J. (2006). The algorithm for berth scheduling problem by the hybrid optimization strategy GASA. In: Proceedings of the Ninth International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision (ICARCV 06). IEEE Computer Society, Washington DC, pp Han, X., Lu, Z., Xi, L. (2010). A proactive approach for simultaneous berth and quay crane scheduling problem with stochastic arrival and handling time. European Journal of Operational Research, 207 (3) Hansen, P., Oguz, C. (2003). A note on formulations of static and dynamic berth allocation problems. Les Cahiers du GERAD 30, Hansen, P., Oguz, C., Mladenovic, N. (2008). Variable neighborhood search for minimum cost berth allocation. European Journal of Operational Research 191 (3), Hoffarth, L., Voß, S. (1994). Berth allocation in a container terminal development of a decision support system (in German). In: Dyckhoff, H., Derigs, U., Salomon, M., Tijms, H.C. (Eds.), Operations Research Proceedings Springer, Berlin et al.., pp Imai, A., Chen, H.C., Nishimura, E., Papadimitriou, S. (2008). The simultaneous berth and quay crane allocation problem. Transportation Research Part E 44 (5), Imai, A., Nishimura, E., Papadimitriou, S. (2001). The dynamic berth allocation problem for a container port. Transportation Research Part B 35 (4), Imai, A., Nishimura, E., Papadimitriou, S. (2003). Berth allocation with service priority. Transportation Research Part B 37 (5), Imai, A., Nishimura, E., Hattori, M., Papadimitriou, S. (2007). Berth allocation at indented berths for megacontainerships. European Journal of Operational Research 179 (2), Imai, A., Sun, X., Nishimura, E., Papadimitriou, S. (2005). Berth allocation in a container port: using a continuous location space approach. Transportation Research Part B 39 (3), Kim, K. H., Moon, K. C. (2003). Berth scheduling by simulated annealing. Transportation Research Part B 37 (6), Li, C. L., Cai, X., Lee, C. Y. (1998). Scheduling with multiple-job-on-one-processor pattern. IIE Transactions 30 (5), Lim, A. (1998). The berth planning problem. Operations Research Letters 22 (2),

12 Lim, A. (1999). An effective ship berthing algorithm. In: Thomas, D. (Ed.), Proceedings of the 16th International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI-99-vol-1). Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, pp Mauri, G. R., Oliveira, A. C. M., Lorena, L. A. N. (2008). A hybrid column generation approach for the berth allocation problem. In: van Hemert, J., Cotta, C. (Eds.), Eighth European Conference on Evolutionary Computation in Combinatorial Optimisation (EvoCOP 2008), vol of LNCS. Springer, Berlin et al.., pp Monaco, M. F., Sammarra, M. (2007). The berth allocation problem: a strong formulation solved by a Lagrangean approach. Transportation Science 41 (2), Moon, K. (2000). A mathematical model and a heuristic algorithm for berth planning. Ph.D. Thesis, Pusan National University, Pusan. Moorthy, R., Teo, C. P. (2006). Berth management in container terminal: the template design problem. OR Spectrum 28 (4), Nishimura, E., Imai, A., Papadimitriou, S. (2001). Berth allocation planning in the public berth system by genetic algorithms. European Journal of Operational Research 131 (2), Park, K. T., Kim, K. H. (2002). Berth scheduling for container terminals by using a sub-gradient optimization technique. Journal of the Operational Research Society 53 (9), Park, Y. M., Kim, K. H. (2003). A scheduling method for berth and quay cranes. OR Spectrum 25 (1), Praticagem Espírito Santo (2003). Porto Praia Mole. Disponível em: Acesso: 28/08/2013 às 08:00. Rosa, R. A.; Resendo, L. C.; Lopes, F. T. (2012). Proposta de um modelo matemático para o problema de alocação de berços para múltiplas cargas (PAB-MC) com restrições temporais e espaciais. In: XXVII Congresso nacional de Ensino e Pesquisa em Transporte, Joinville-SC. SEP, Secretaria dos Portos (2013). Sistema Portuário Nacional. Disponível em: < Acesso em: 10/09/2013 às 08:30. Theofanis, S., Boile, M., Golias, M. (2007). An optimization based genetic algorithm heuristic for the berth allocation problem. IEEE Congress on Evolutionary Computation 2007 (CEC 2007). IEEE Computer Society, Washington DC, pp Tong, C. J., Lau, H. C., Lim, A. (1999). Ant colony optimization for the ship berthing problems. In: Thiagarajan, P.S., Yap, R. (Eds.), Fifth Asian Computing Science Conference (ASIAN 99), vol of LNCS. Umang, N., Bierlaire, M., Vacca, I. (2013). Exact and heuristic methods to solve the berth allocation problem in bulk ports. In: Transportation Research Part E 54, USIMINAS, Terminal de Produtos Siderúrgicos (2010). Relatório de Apresentação da Empresa USIMINAS. Vitória-ES. Zhou, P., Kang, H., Lin, L. (2006). A dynamic berth allocation model based on stochastic consideration. In: Proceedings of the Sixth World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2006), vol. 2. IEEE Computer Society, Washington DC, pp

13 Zhou, P., Kang, H. (2008). Study on berth and quay-crane allocation under stochastic environments in container terminal. In: Systems Engineering - Theory & Practice, 28 (1) Wang, F., Lim, A. (2007). A stochastic beam search for the berth allocation problem. Decision Support Systems 42 (4),