MATEMÁTICA. Projeto Vestibular MÓDULO I PARTE I FUNÇÃO AFIM. f(x) = ax + b. b a. f: R R. Prof. Bruno Vianna FUNÇÃO AFIM. (ii) Função Constante:

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1 - Definição - Raíz ou zero f: R R f() = a + b f() =0 a + b = 0 - Representação Gráfica: (i) O (ii) O (0,b) b, 0, a 0 a b = a (ii) Função Constante: f: R R f() = b b > 0 b = 0 b < 0 (iii) Função Linear: f: R R f() = a Tipos de Funções Afins: (i) Função identidade: f: R R f() = Obs 1 : A função identidade é um tipo especial de função linear (a = 1) Obs : A função linear é função que representa uma relação entre grandezas diretamente proporcionais. Eemplos de Gráficos de funções: a) f() = + 1 f(0) = = 1, (0,1) r f() = 0, + 1 = 0, = -1, (-1,0) r Obs: Analiticamente chamada de: = (bissetriz dos quadrantes ímpares) = - (bissetriz dos quadrantes pares) 1

2 b) f() = f(0) = - 0 = 0 (0,0) r f(-1) = - (-1) = 1 (-1,1) r b tgα = tgα = a b = a = a + b a = b a coeficiente angular b coeficiente linear OBS: A reta = k, onde k R, é a única reta que não é função. E: = 0 c) f() = f(0) =,(0,) r f(1) =, (1,) r Obs : Quando falamos de função afim dizemos que o coeficiente angular é a: TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO Veja a seguinte situação: Em uma cidade do interior do Brasil, os táis cobram R$,00 de bandeirada e R$,00 por quilômetro rodado. Observe que o custo da corrida pode ser dado por uma função C() afim: C() = + Onde C() representa o custo da corrida e a quantidade de quilômetros rodados, veja o gráfico desta função: Função Afim (Interpretação Geométrica) Toda reta não-vertical é o gráfico de uma função afim P b α b

3 Observe que se destacarmos intervalos constantes no eio temos triângulos congruentes. 0) A função afim que melhor representa o gráfico ao lado é: (A) f() = 5 5 (B) f() = + 5 (C) f() = (D) f() = (E) f() = Repare que a razão entre os catetos é sempre a mesma 4 = que é o nosso coeficiente angular, ou melhor a taa de variação por quilômetro percorrido. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01) O gráfico que melhor representa a função f() = - +, é: (A) (B) (C) 1,5 1,5-1,5-04) (PM-05-1) A figura abaio mostra o gráfico de uma função f, que é uma reta: Com os dados que aparecem na figura, pode-se concluir que f(9) é igual a: (D) (E) (A) - (B) - (C) -4 (D) -5 05) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de % sobre o valor de uma mercadoria é: 1,5 - -1,5 0) Em que ponto a função f() = + 6 intercepta o eio das abscissas? (A) f() = (B) f() = 1,0 (C) f() = 1, (D) f() = (E) f() = 0,97 (A) (½,0) (B) (,0) (C) (0, ½) (D) (,0) (E) (0,6)

4 06) (ENEM-08) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 08, pela primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 0, baseada em crescimento linear no período de 08 a 0. Quando o número de torcedores atingiu , o relógio estava marcando 15 horas e: (A) min (B) 0 min (C) 40 min (D) 50 min 09) (PM-04-) Um helicóptero desloca-se numa De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em corresponderá, aproimadamente, a quantos bilhões de pessoas? (A) 4,00. (B) 4,10. (C) 4,15. (D) 4,5. (E) 4,50. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 07) (UNIRIO) O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$ 7.500,00 e que, depois de 6 anos de uso, é R$ 1.0,00, seu valor após 4 anos de uso, em reais é: (A).100 (B).400 (C).150 (D).00 08) (UERJ) - Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã torcedores. Três portões foram abertos às 1 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais portões e o fluo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaio: 1 + trajetória cuja equação é = 100. Um míssil disparado contra o helicóptero segue uma trajetória cuja equação é = ( 10) + k. Em ambas as equações, representa a altura em relação ao eio O. O míssil atinge o helicóptero a uma altura de 10 m. Se as distâncias e são dadas em metros, o valor de k será: (A) 0 (B) 10 (C) (D) 0 10) (UERJ-98) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico abaio, por 6 pontos de uma mesma reta. valor total da compra (R$) qtd unid com(r$) Quem comprar unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: (A) 4,50 (B) 5,00 (C) 5,50 (D) 6,00 4

5 11) (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica á cobrada uma taa mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse determinado nível. Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taa mínima referente a custo de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (em kwh) preço em (R$) foi o apresentado abaio: S = A + Bt + Ct, os valores numéricos das constantes A, B e C são, respectivamente: (A) 0, 1, 4 (B) 0, 1, 4 (C) 1, 4, 0 (D) 1, 4, R$ 14) (UFRJ-98-PNE) - O gráfico a seguir descreve o crescimento populacional de certo vilarejo desde 1910 até No eio das ordenadas, a população é dada em milhares de habitantes. 50 kwh a) Determine entre que valores de consumo em kwh é cobrada taa mínima b) Determine o consumo correspondente à taa de R$ 1.950,00. 1) (UFF-00) O gráfico da função f está representado na figura: a) Determine em que década a população atingiu a marca de habitantes b) Observe que a partit de 1960 o crecimento da população em cada década tem se mantido constante. Suponha que esta taa se mantenha inalterada no futuro. Determine em que década o vilarejo terá.000 habitantes. Sobre a função f é falso afirmar que: (A) f(1) + f() = f() (B) f() = f(7) (C) f() = f(1) (D) f(4) f() = f(1) (E) f() + f() = f(5) 15) (UFF-00-1) Na figura a seguir estão representadas as retas r e s. 1) (UERJ-0-1ª fase) A função que descreve a dependência temporal da posição S de um ponto material é representada pelo gráfico abaio. Sabendo que a equação da reta s é = e que OP mede 5 cm, a equação de r é: (A) = 4 (D) = (B) = 4 (E) = 5 Sabendo que a equação geral do movimento é do tipo (C) = 5 5

6 16) (UERJ-01) Admita que, a partir dos cinqüenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear, conforme mostra o gráfico abaio. Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 0 anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 0 anos, é igual a: (A) 14 (B) 18 (C) (D) 6 17) (UERJ-0) Uma panela, contendo um bloco de gelo a -40º C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo, em minutos, é descrita pela seguinte função real: Se o padrão na variação do período 04/10 se mantiver nos próimos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 10 é 968, então o número de favelas em 16 será: (A) menor que (B) 18 unidades maior que em 04. (C) maior que e menor que 1 0. (D) 177 unidades maior que em 10. (E) maior que ) (ENEM- 10) para conseguir chegar a um número recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 05 a 09. O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50º C, em minutos, equivale a: (A) 4,5 (B) 9,0 (C) 15,0 (D) 0,0 18) (ENEM- 10) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 04, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. 6 De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi: (A) (B) (C) (D) (E)

7 ) (ENEM-08) O gráfico a seguir ilustra a evolução do consumo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro setores de consumo, no período de 1975 a 05. b) Qual o função f() = a + b que está defina no gráfico acima no intervalo [0,]? c) Qual o valor comercial do carro quando atinge anos de uso? ) (UFF-0-) A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir. Observa-se que, de 1975 a 05, houve aumento quase linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma tendência se mantiver até 5, o setor energético brasileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda total aproimada de (A) 405 GWh. (B) 445 GWh. (C) 680 GWh. (D) 750 GWh. (E) 775 GWh. 1) Na vida as vezes perdemos até sem perceber, observe a situação abaio Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte. Observando que, entre 0 e 90 pontos, a variação da gratificação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos. ) (AFA-08) A arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e ao aumento da alíquota, cresceu mais de 140% nos últimos anos (em bilhões de reais por ano) Revista veja 14/0/07 valor (R$) 0 tempo (anos) Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 4.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a % do valor que tinha quando era novo. Responda: a) Qual o valor de fábrica do veículo (valor quando era novo)? Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico acima é linear do ano de 05 ao ano de 07 e que % representa o aumento da arrecadação do ano de 05 ao ano de 06, é correto afirmar que é um número do intervalo: (A) [8, 9[ (B) [9, 10[ (C) [10, 11[ (D) [11, 1[ 7

8 4) (AFA-0) Na figura abaio, tem-se o gráfico da função real f em que f() representa o preço, pago em reais, de quilogramas de um determinado produto. (Considere f() R) De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar que (A) o preço pago por 0 quilogramas do produto foi R$ 18,00. (B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas do produto. (C) com R$ 6,00, foi possível comprar 7 quilogramas do produto. (D) com R$,00, compra-se tanto 5,... quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto. DESAFIOS 6 0 f() ) A coleção de selos do professor Arquimedes, está dividida em três volumes. Dois décimos do total dos selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e 0 selos estão no terceiro volume. Apenas com essas informações, diga quantos selos o professor Arquimedes tem? (A).40 (B).465 (C).55 (D).570 (E).605 6) Renata desce andando uma escada rolante que se move para cima e conta 150 degraus sua irmã, Fernanda sobe andando a mesma escada e conta 75 degraus. Sabendo que a velocidade de Renata é o triplo da velocidade de Fernanda, o número de degraus visíveis desta escada é de: (A) 70 (B) 90 (C) 1 (D) 144 (E) 160 GABARITOS 01) D 0) B 0) D 04) B 05) E 06) D 07) D 08) B 09) D 10) A 11) a) 0 a 50 kwh b) 180kwh 1) E 1) D 14) a) Década de 40 do sec XX b) Década de 40 do séc XXI 15) B 16) D 17) C 18) C 19) E ) C 1) a) R$ 0.000,00 b) = - (6/5) + 0 c) R$ 7.600,00 ) R$ 710,00 ) B 4) B 5) C 6) C Resolução de Algumas questões Questão 10) Sabe-se que a reta que contém os 6 pontos é uma função afim da forma = a + b. Usaremos os pontos (5,150) e (0,50) para determinarmos a taa de variação: a = = = Logo : f() = 4 + b substituindo (0,50) achamos b = 170, finalmente teremos: f() = para sabermos o valor da função para = fazemos a substituição: f() = f() = f() = 90 Ou seja, quando compramos unidades do produto pagamos R$ 90,00. Logo o preço por unidade é dado por 8

9 90 = 4,5 Portanto pagaremos um total de R$ 4,50 por unidade comprada. Questão 14) a) Na década de 40 (entre 1940 e 1950). DESAFIOS: Desafio 5) total de selos k = = k k < 6, (8 5k) > 0 e (10605 = múltiplo de 8 5k) b) > > 10 logo: 10 7 a = = P = A + b por tentativa k = 5 e = 55 Desafio 6) Velocidade de Renata: V R Velocidade de Fernanda: V F Velocidade da escada: V E Nº de degraus visíveis: n V R V E =. (V F + V E ) (substituindo (1960,7)) teremos b = 87 ; daí: P = A 87 Fazendo P = P = A 87 >>> = A 87 >>>> + 87 = A >>>> 07 = A >>> 07 = A >>> A = 46, Finalmente obtemos 40 < A < 50 Velocidade = (espaço / tempo) o espaço percorrido por ambas é o da escada rolante que está associado ao nº de degraus visíveis (n) e utilizaremos a contagem delas como unidade de tempo. Logo: V R = n V E 150 Daí temos: V F = V R V E =. (V F + V E ) n n 1 = Resolvendo encontraremos n = 1 n +V E 75 V E e = 1 = n n Década de 40 do séc XXI Questão ) A gratificação que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida quando obtém 90 pontos. Tem-se, observando o gráfico, que: Portanto, = 710 Ou seja, a gratificação será de R$ 710,00. 9